v = 1 ρ. (2) website:

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Βασικές έννοιες στη μηχανική των ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 17 Φεβρουαρίου 2019 1 Ιδιότητες των ρευστών 1.1 Πυκνότητα Πυκνότητα ενός ρευστού ρ ονομάζουμε το λόγο της μάζας του ρευστού ως προς τον όγκο που καταλαμβάνει στο χώρο. Σε ένα δεδομένο σημείο του χώρου η πυκνότητα του ρευστού δίνεται από τη σχέση: ρ = dm dv. (1) Η μονάδα μέτρησης της πυκνότητας στο SI είναι το χιλιόγραμμο ανά κυβικό μέτρο (kg/m 3 ). Ειδικός όγκος v ονομάζεται ο όγκος που καταλαμβάνει η μονάδα της μάζας του ρευστού και ισούται με το αντίστροφο της πυκνότητας v = 1 ρ. (2) email:jmaay@physics.auth.gr, website: http://jomaaita.wordpress.com 1

Μονάδα μέτρησης του ειδικού όγκου είναι το κυβικό μέτρο ανά χιλιόγραμμο (m 3 /kg). Ενα μεγεθος το οποίο χρησιμοποιείται κυρίως στα προβλήματα στατικής των ρευστών και στα προβλήματα ροής υγρών με ελεύθερη επιφάνεια είναι το ειδικό βάρος του ρευστού και ορίζεται ως το γινόμενο της πυκνότητας επί την επιτάχυνση της βαρύτητας: γ = ρg. (3) Μονάδα μέτρησης του ειδικού βάρους είναι το Newton ανά κυβικό μέτρο (N/m 3 ). Η πυκνότητα των ρευστών εξαρτάται γενικώς από την πίεση και την θερμοκρασία. Η σχετική μεταβολή της πυκνότητας του ρευστού η οποία προέρχεται από τη μεταβολή της πίεσης υπό σταθερή θερμοκρασία δίνεται από το μέτρο της συμπιεστότητας k = 1 ρ ( ρ p ) T. (4) Μονάδα μέτρησης του μέτρου της συμπιεστότητας είναι είναι το P a 1. Η σχετική μεταβολή της πυκνότητας του ρευστού η οποία προέρχεται από τη μεταβολή της θερμοκρασίας υπό σταθερή πίεση δίνεται από το συντελεστή κυβικής διαστολής β = 1 ρ ( ρ T ) p. (5) Μονάδα μέτρησης του συντελεστή κυβικής διαστολής είναι το K 1. Τα υγρά σε συνήθεις συνθήκες, όπου δεν έχουμε απότομες ή μεγάλες μεταβολές της πίεσης, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι ασυμπίεστα. Στην περίπτωση που έχουμε απότομες ή μεγάλες μεταβολές της πίεσης τότε οι μεταβολές της πυκνότητας των υγρών είναι σημαντικές και δεν μπορούν να αγνοηθούν. Στα αέρια η πυκνότητα εξαρτάται σημαντικά από την πίεση και τη θερμοκρασία. Οπως είναι γνωστό η πίεση των τέλειων αερίων p σχετίζεται με τη πυκνότητα ρ και τη θερμοκρασία T και δίνεται από την καταστατική εξίσωση των αερίων p = ρr T, (6) 2

όπου R η ειδική σταθερά των αερίων, που ισούται με το λόγο της παγκόσμιας σταθεράς των αερίων ως προς τη μοριακή μάζα του αερίου R = R. M Τα πραγματικά αέρια ακολουθούν ικανοποιητικά την κατασταστική εξίσωση των τέλειων αερίων όταν βρίσκονται σε χαμηλές πιέσεις και υψηλές θερμοκρασίες. Με την αύξηση της πίεσης ή την μείωση της θερμοκρασίας έχουμε αποκλίσεις και για την περιγραφή της συμπεριφοράς χρησιμοποιούνται είτε πειραματικά δεδομένα είτε περισότερο σύνθετες καταστατικές εξισώσεις. Τα αέρια, σε αντίθεση με τα υγρά, δεν μπορούν να θεωρηθούν ασυμπίεστα σε συνήθεις συνθήκες. Οι πυκνότητες των υγρών μετριούνται σχετικά εύκολα με τη βοήθεια πυκνόμετρων ενώ αντίθετα η μέτρηση της πυκνότητας των αερίων είναι αρκετά δύσκολη. 1.2 Ιξώδες Το ιξώδες ή δυναμικό ιξώδες, µ, είναι η ιδιότητα των ρευστών να αντιστέκονται σε κάθε προσπάθεια αλλαγής της μορφής τους. Μονάδα μέτρησης του ιξώδους είναι το pascal επί το δευτερόλεπτο (P a s). Συχνά χρησιμοποιείται η μονάδα poise (P ) που ισούται με το 0.1P a s. Ιδιαίτερα το centipoise (cp ) είναι πολύ πρακτική μονάδα αφού το ιξώδες του νερού σε θερμοκρασία 20 o C είναι περίπου 1cP. Το κινηματικό ιξώδες δίνεται από τη σχέση ν = µ ρ, (7) και έχει μονάδα μέτρησης το m 2 /s ή το stokes (St), όπου 1St = 10 4 m 2 /s. Το ιξώδες ενός ρευστού μετριέται με τη βοήθεια του ιξωδόμετρου. Το ιξώδες των νευτώνιων ρευστών 1 εξαρτάται από τη μοριακή φύση του ρευστου, την πίεση και τη θερμοκρασία. Σε περίπτωση μειγμάτων το ιξώδες εξαρτάται και από τη σύσταση του μείγματος. 1 Νευτώνιο ρευστό είναι εκείνο το ρευστό στο οποίο ο τανυστής τάσης, σε τυχόν σημείο του ρευστού, τη στιγμή t, εκφράζεται ως γραμμική συνάρτηση του τανυστή ρυθμού παραμόρφωσης στο σημείο εκείνο, την ίδια χρονική στιγμή 3

Σε χαμηλές πιέσεις το ιξώδες των καθαρών ρευστών είναι πρακτικά ανεξάρτητο από την πίεση ενώ εξαρτάται από τη θερμοκρασία. Σε υψήλες πιέσεις, για δεδομένη θερμοκρασία, το ιξώδες του ρευστού είναι ανάλογο της πίεσης. Η θερμοκρασία επηρεάζει σε σημαντικό βαθμό το ιξώδες των ρευστών. Συγκεκριμένα, το ιξώδες των αεριών είναι ανάλογο της θερμοκρασίας ενώ των υγρών είναι αντιστρόφος ανάλογο της θερμοκρασίας του ρευστού. Η παραπάνω διαφορετική συμπεριφορά μεταξύ αερίων και υγρών μπορεί να εξηγηθεί αν ληφθεί υπόψη η μοριακή φύση του ρευστού. Το κινηματικό ιξώδες των υγρών, και κυρίως των αερίων εξαρτάται από την πίεση ακόμη και σε χαμηλές θερμοκρασίες (λόγω της εξάρτησης της πυκνότητας των ρευστών από την πίεση). Το κινηματικό ιξώδες των υγρών όσο και των αερίων είναι αντιστρόφος ανάλογο της θερμοκρασίας του ρευστού. Το ιξώδες των υγρών μπορεί να υπολογισθεί από την εμπειρική σχέση µ a = exp( µ 0 b + T a ), (8) b + T 0 όπου µ 0 το ιξώδες του υγρού στη θερμοκρασία T 0 (συνήθως T 0 = 273) και a, b χαρακτηριστικές του υγρού. Για κορεσμένα υγρά, το ιξώδες υπολογίζεται από τη σχέση log µ = a + bt 1 + ct + dt 2, (9) όπου a, b, c, d χαρακτηριστικές του υγρού. Το ιξώδες των αερίων υπολογίζεται από τον νόμο του Sutherland µ µ 0 = ( c + T 0 c + T )( T T 0 ) 1.5, (10) όπου µ 0 το ιξώδες του υγρού στη θερμοκρασία T 0 και c χαρακτηριστική του αερίου. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί και η απλοποιημένη μορφή (εκθετικός νόμος του ιξώδους των αερίων) µ µ 0 ( T T 0 ) n, (11) 4

όπου ο εκθέτης n παίρνει τιμές μεταξύ (0.5 1). Σε χαμηλές πιέσεις μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση µ = a + bt + ct 2, (12) όπου a, b, c χαρακτηριστικές του αερίου. Ο νόμος Sutherland δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα στην περιοχή θερμοκρασιών από 150 έως 1000 ενώ οι σχέσεις (9, 12) παρουσιάζουν αποκλίσεις (η πρώτη 2 5% και η δεύτερη 1 3% από τις αντίστοιχες πειραματικές τιμές). 2 Είδη ροής Ροή ονομάζουμε την κίνηση ενός ρευστού σε μια ορισμένη περιοχή του χώρου. Μπορούμε να ταξινομήσουμε τα ειδή της ροής σε διάφορες κατηγορίες με βάση διάφορα κριτήρια. Πολλές φορές τα είδη ροής επικαλύπτονται. Παρακάτω θα αναφερθούμε σε βασικές κατηγορίες ροής. 2.1 Ατριβη και ιξώδης ροή Άτριβη ονομάζεται η ροή ρευστών με μηδενικό ιξώδες (µ = 0). Αυτά τα ρευστά ονομάζονται ιδανικά ρευστά. Το ρευστό που κάνει άτριβη ροή έχει την ιδιότητα να ολισθαίνει πάνω στην επιφάνεια των στερεών σωμάτων με τα οποία έρχεται σε επαφή, χωρίς η ροή του να επηρεάζεται από την ανάπτυξη δυνάμεων τριβής στη διεπιφάνεια ρευστού- στερεού. Η ταχύτητα του ρευστού παραμένει ομοιόμορφη και σταθερή σε όλο το μήκος της πλάκας (σχήμα 1). Ιξώδης ονομάζεται η ροή των πραγματικών ρευστών (τα οποία όλα έχουν ιξώδες). Η θεώρηση του ιξώδους στην ανάλυση του προβλήματος αυξάνει σημαντικά τη δυσκολία διατύπωσης και επίλυσης των εξισώσεων της κίνησης ενός ρευστού. Η ιξώδης ροή επηρεάζεται σημαντικά από την παρουσία στερεών σωμάτων. Στην περίπτωση που έχουμε ροή πάνω από μία επιφάνεια ενός στερεού ισχύει η συνθήκη μη ολίσθησης σύμφωνα με την οποία τα πραγματικά ρευστά στα σημεία επαφής τους με στερεά σώματα αποκτούν την ταχύτητα του στερεού, 5

Σχήμα 1: Ατριβη ροή δηλαδή, η σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς το στερεό είναι μηδέν. Η συνθήκη μη ολίσθησης οφείλεται στην ιξώδη φύση των ρευστών και είναι ανεξάρτητη από το είδος του υλικού και την υφή της επιφάνειας του. Στην περίπτωση που ένα ιξώδες ρευστό κινείται πάνω από επιφάνεια στερεού τότε η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται συνεχώς όσο απομακρυνόμαστε από την επιφάνεια έως ότου αποκτήσει την οριακή τιμή της ταχύτητας του ρευστού οπότε και παραμένει σταθερή. Η περιοχή του ρευστού στην οποία η ταχύτητα του μεταβάλλεται ονομάζεται οριακό στρώμα (σχήμα 2). Το πάχος του οριακού στρώματος αυξάνεται συνεχώς κατά τη διεύθυνση της ροής. Η ανάπτυξη οριακού στρώματος συνεπάγεται και ανάπτυξη διατμητικών τάσεων λόγω της ανομοιόμορφης κατανομής της ταχύτητας του ρευστού εντός του οριακού στρώματος. Αντίθετα έξω από την περιοχή του οριακού στρώματος η ταχύτητα παραμένει ομοιόμορφη και δεν αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις. 2.2 Στρωτή και τυρβώδης ροής Στρωτή ροή ονομάζεται η ιξώδης ροή κατά την οποία τα σωματίδια του ρευστού κινούνται ομαλά και κατά στρώματα. Σε κάθε στρώμα η κατανομή της ταχύτητας του ρευστού είναι ομοιόμορφη σε όλη την έκταση της εγκάρσιας (ως προς τη διεύθνση της ροής) διατομής του στρώματος. Στην στρωτή ροή η μόνη κίνηση που παρατηρείται είναι κατά τη διεύθυνση της ροής αφού κατά τη κάθετη προς αυτή διεύθυνση δεν υπάρχει συνιστώσα 6

Σχήμα 2: Ιξώδης ροή ταχύτητας. Τα γειτονικά στρώματα δεν ανταλλάσουν μεταξύ τους μάζα, δεν συμβαίνει μακροσκοπική ανάμειξη των γειτονικών στρωμάτων του ρευστού. Η επικοινωνία των στρωμάτων αυτών γίνεται μόνο σε μοριακό επίπεδο λόγω της θερμικής κίνησης των μορίων. Τυρβώδης ροή ονομάζεται η ιξώδης ροή κατά την οποία τα σωματίδια του ρευστού κινούνται σε ακανόνιστες τροχιές προς όλες τις διευθύνσεις κατά εντελός τυχαίο τρόπο. Εδώ η κίνηση των σωματιδίων του ρευστού μοιάζει σε μεγάλο βαθμό με τη θερμική κίνηση των μορίων. Εκτός από τη μοριακή κίνηση συμβαίνει και μακροσκοπική ανάμειξη των γειτονικών στρωμάτων του ρευστού η οποία είναι πολύ πιο έντονη από τη πρώτη. Στην τυρβώδη ροή οι ιδιότητες του ρευστού σε τυχόν σημείο διακυμαίνονται συνεχώς κατά εντελώς τυχαίο τρόπο. Η τυχαία αυτή διακύμανση καθιστά αδύνατη την πλήρη αναλυτική περιγραφή της τυρβώδους ροής σε αντίθεση με τη στρωτή. Μπορούμε να χαρακτηρίσουμε το είδος της ροής με βάση τον αριθμό Reynolds (Re). Η μετατροπή της ιξώδους ροής από στρωτή σε τυρβώδη γίνεται όταν ο αριθμός Reynolds ξεπεράσει μια κρίσιμη τιμή Re c. σχέση Ο αριθμό Reynolds για ροή σε αγωγό με κυκλική διατομή δίνεται από τη Re = ρud µ = ud ν, (13) 7

όπου d η εσωτερική διάμετρος του αγωγού και u η μέση ταχύτητα του ρευστού. Για ροή σε αγωγούς ο κρίσιμος αριθμός Reynolds εξαρτάται από την τραχύτητα των εσωτερικών τοιχωμάτων του αγωγού και κυρίως από τις αρχικές διαταραχές της ροής ( τις διαταραχές κατά την είσοδο του ρευστού στον αγωγό). Στους συνήθεις αγωγούς η ροή μετατρέπεται από στρωτή σε τυρβώδης για τιμές Re c > 2000. 2.3 Ασυμπίεστη και συμπιεστή ροή Ασυμπίεστη ροή ονομάζεται η ροή ενός ρευστού στην οποία δεν έχουμε μεταβολές της πυκνότητας. Συμπίεστη ροή ονομάζεται η ροή ενός ρευστού στην οποία η πυκνότητα μεταβάλλεται. Για τον χαρακτηρισμό μιας ροής ως συμπιεστής ή ασυμπίεστης χρησιμοποιούμε τον αριθμό Mach (Μ) που δίνεται από τη σχέση M = u α, (14) όπου u η τοπική ταχύτητα του ρευστού και α η ταχύτητα του ήχου. Ασυμπίεστη ροή χαρακτηρίζεται κάθε ροή στην οποία ο αριθμός Mach είναι M 0.3. 3 Ασκήσεις 1. Ενα μεταλλικό δοχείο διαστέλλεται σε όγκο κατά 1.2% όταν αυξάνεται η πίεση στο εσωτερικό του κατά 75MP a. Σε πίεση 100kP a το δοχείο χωράει 500kg νερό πυκνότητας 1000kg/m 3. Αν το μέτρο συμπιεστότητας του νερού είναι 480 10 12 P a 1, πόσο νερό πρέπει να προστεθεί στο δοχείο (όταν αυτό είναι γεμάτο) για να αυξηθεί η πίεση στο εσωτερικό του κατά 75MP a; 2. Να υπολογιστεί η πυκνότητα (α) αερίου προπανίου πίεσης 8, 5MP a και θερμοκρασίας 518K και (β) υγρής αμμωνίας σε κορεσμένη κατάσταση θερμοκρασίας 328K. 8

3. Να υπολογιστεί το ιξώδες του νερού σε πίεση 1atm και θερμοκρασία 100 0 C. 4. Να υπολογιστεί το ιξώδες και το κινηματικό ιξώδες του αερίου οξυγόνου σε θερμοκρασία 20 0 C και πίεση 150kP a. 5. Σε αγωγό κυκλικής διατομής, εσωτερικής διαμέτρου 0.2m ρέει: 1) υγρό βενζόλιο και 2) λάδι SAE 30 με σταθερή ταχύτητα 0.25m/s. Και τα δύο υγρά έχουν θερμοκρασία 20 o C και πίεσης 1atm. Να εξεταστεί το είδος της ροής τους (στρωτή ή τυρβώδης). 6. Σε μια εγκατάσταση κλιματισμού για τη διακίνηση του αέρα χρησιμοποιείται ένας φυγόκεντρος ανεμιστήρας, η πτερωτή του οποίου έχει διάμετρο 0.3m. Ποιά είναι η μέγιστη ταχύτητα περιστροφής της πτερωτής ώστε να αποφευχθεί η εμφάνιση φαινομένων συμπιεστότητας κατά τη μεταφορά του αέρα; 9