ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 5Νο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Να παραγωγιθούν οι συναρτήσεις με τύπους : α) f() = (ημ) β) f() = ημ γ) f() = ημ (Απ. α) f () = (ημ) χ [ln(ημ) + σφ] β) f () = συν για (κπ, κπ + π) και f () = -συν για (κπ + π, κπ + π), επίσης στα άκρα των διαστημάτων δεν ορίζονται οι παράγωγοι γ) f () = -συν γιά (-, 0) και f () = συν γιά ( 0, + ), επίσης δεν ορίζεται η f (0).). Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης : f() = ημ + συν t e (Απ. f () = συν ημ συν t e ) 3. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f με f() = (e ) ln, > 0. (Απ. f () = ) 4. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f με f() = log. (Απ. f () = ½ ) 5. Δίνεται η συνάρτηση f με f() = e - ημ. α) Να βρεθεί η f και η f. β) Να δείξετε ότι f < και ότι γ) Να δείξετε ότι η f είναι μια συνεχής συνάρτηση. f <, για IR * +. (Απ. α) f () = e - (συν - ημ) και f () = -e - συν) ean+_1(d())/cl ΣΕΛΙΔΑ 1

6. α) Δίνονται οι συναρτήσεις f και g που είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα (α, β). Υποθέτουμε ότι 0 (α, β). Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση φ, ώστε : φ() =, ( α, 0 ), [, β) f g o ι) Αν f( 0 ) = g( 0 ) και f ( 0 ) = g ( 0 ), να δείξετε ότι η φ είναι παραγωγίσιμη στο 0. ιι) Αν η φ είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε να δείξετε ότι f( 0 ) = g( 0 ) και f ( 0 ) = g ( 0 ) β) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, ώστε η συνάρτηση φ με : α( + 1), ( 3, 0) φ() = β e, [ 0, 4) να είναι παραγωγίσιμη στο 0. (Απ. α =, β = 1) 7. Δίνεται η συνάρτηση f : IR IR η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 3, με f( + 1), f (3) = 0 και η συνάρτηση g με g() =. f( 1), > Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και ισχύει ότι g () = 0. 8. Έστω η συνάρτηση f : IR IR η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 0. Αν η 3 f + 3 f, 0 συνάρτηση h με h() = είναι παραγωγίσιμη στο 0, να f + 3, > 0 υπολογίσετε τα f(0) και f (0). (Απ. f(0) = 1 και f (0) = 0) 9. Δίνεται η συνάρτηση f με f() = ( π) ημ, (, 1) ( 1, + ) 1. 0 = 1 α) Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. β) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 1. διάστημα (-1, 0). (Απ. α) f () = ( ) ( 1) ημπ συνπ π 1 ημ π (Θέμα εξετάσεων) για 1 και f (1) = π ) ΣΕΛΙΔΑ

10. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f, με τύπο ημ 3, 0 f() = 0 = 0 είναι συνεχής στο = 0, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. 11. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων : α) f() = ημ, 0 0, = 0 1 β) f() = 3 1 συν, > 0 0, = 0 1 e ημ, < 0 (Aπ. α) f () = 1 1 ημ συν, 0 0, = 0 1 1 3 συν + ημ, > 0, β) f () = 0, = 0 1 e ημ συν, > 0 ) 1. Αν η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο IR και παραγωγίσιμη στο α IR και ισχύει g(α) = g (α) = 0 και 1 g ημ, α α f() = 0, = α να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α και ισχύει ότι f (α) = 0. 13. Αν f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο IR με f( 0 ) = 0, g() 0 για f g κάθε IR και F : IR IR με F() = e και F ( 0 ) = 0, να δείξετε ότι f ( 0 ) = 0. 14. Για τη συνάρτηση g ισχύουν τα παρακάτω : Η g είναι παραγωγίσιμη στο 0. g() g(y) 1, για κάθε, y IR. g + g( y) g( + y) =, για κάθε, y IR. 1 g g y Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη σ όλο το IR. ΣΕΛΙΔΑ 3

15. Δίνεται η συνάρτηση f : IR IR, με f(1) = e και Να δείξετε ότι : f( + ψ) = f().f(ψ) α) f() > 0, για κάθε IR, β) f(0) = 1 για κάθε, ψ IR γ) Αν η f είναι συνεχής στο 0 = 0, τότε θα είναι συνεχής στο IR, δ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 = 0, τότε να θα είναι παραγωγίσιμη στο IR. 16. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f : IR IR και g : IR IR, τέτοιες ώστε να ισχύει g() f() g() + ( - α) για κάθε IR. (α IR) Να δείξετε ότι αν η g είναι παραγωγίσιμη για = α, τότε και f θα είναι επίσης παραγωγίσιμη για = α και θα είναι f (α) = g (α). 17. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση g που είναι ορισμένη στο [-1, 1], ενώ το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [1, ]. Ισχύει επίσης ότι - g() για κάθε [-1, 1] g Δίνεται επίσης η συνάρτηση f, για την οποία είναι f() = 1 + g για [-1, 1]. α) Να δείξετε ότι g(0) = 0. β) Να δείξετε ότι η g είναι συνεχής στο 0. γ) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο [-1, 1]. δ) Να δείξετε ότι f (0) = 0. 18. Θεωρούμε τη συνάρτηση f οριμένη στο IR για την οποία ισχύει ότι : 3 + ν f() 4 + + ν, για κάθε IR Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να υπολογίσετε την f (0). (ν IR) 19. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR, να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων στο σημείο = 0, όταν f(0) = 0 : α) g() = f().ln + 1 + και β) g() = f [ f] + +. 1 (Απ. α) g (0) = 0 β) g (0) = f (0) + 1 ΣΕΛΙΔΑ 4

0. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g που είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα [0, ]. Αν [f()] - [g()] 3 + 9 = 0, για κάθε [0, ] και f(1) = 3, f (1) = -, να δείξετε ότι g(1) = 3 και g (1) = - 8 9. 1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και f( 0 ) = 3, f ( 0 ) =, να f 6 υπολογίσετε το lim 0 0. (Aπ. 4). Αν f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο 0 = 0 και f (0) = -1, g (0) =, f(0) = -1, g(0) = -, να αποδείξετε ότι : fg lim = 0 0 3. Έστω η συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο IR με f(1) = και για f κάθε IR ισχύει f( ) = f(). Να υπολογίσετε το lim 1 1. (Υπόδειξη : Να θέσετε g() = f() ) (Απ. ) 4. Δίνεται η άρτια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο IR. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g() = ( + 1)f() + 3. α) Ποιό είναι το πεδίο ορισμού της g ; β) Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο IR. ) γ) Να δείξετε ότι g (0) = 3. (Απ. α) IR 5. α) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο IR, να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης : ( ) f g() = f() + ln + 1 β) Αν f(1) = f (1) = 1, να βρείτε τον αριθμό g (1). (Απ. α) g () = + f ( 1) f + ( ) f f + ( ln + 1), για 1 1 0,, e e +, β) g (1) = 5 ) 6. H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR και για κάθε IR ισχύει f( + 3 ) = 1 + 3. Nα βρείτε τον αριθμό f (). (Απ. f () = 3 4 ) ΣΕΛΙΔΑ 5

7. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης α) g() = f(), > 0 και β) g() = [1 + (f()) ], IR. (Απ. α) g () = f() f f ln +, β) g () = [1 + (f()) ]. ln 1 + f f + 1+ ( f ) f 8. Να βρείτε τη συνάρτηση f (f()) αν f() = συν. (Απ. f (f()) = - ημ(συν) ) 9. Δίνεται η συνάρτηση f, με f() = F() 3, όπου F() είναι πολυώνυμο νιοστού βαθμού. Αν η f παραγωγίζεται στο IR, να δείξετε ότι το πολυώνυμο F() έχει ρίζα ρ = 3. 30. α) Αν f() είναι πολυώνυμο βαθμού ν, να αποδείξετε ότι f() = ( - ρ) π() f(ρ) = f (ρ) = 0 β) Να βρείτε τις τιμές των α, β IR για τις οποίες το πολυώνυμο ( - 1) είναι παράγοντας του πολυωνύμου f() = α ν + - β ν + 1 +, ν. (Απ. β) α = (ν + 1) και β = (ν + ) ) 31. Οι συναρτήσεις f() - g() και f() + e g() είναι παραγωγίσιμες στο IR. Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση κf() + λg() είναι παραγωγίσιμη στο IR για κάθε κ, λ IR. 3. Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες στο IR. Aν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο α και η συνάρτηση g() + (1 + ημ )f() είναι παραγωγίσιμη στο α, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g δεν είναι παραγωγίσιμη στο α. 33. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με f() = 1 και g() = ln. α) Να βρεθεί αν ορίζεται η συνάρτηση (f o g). β) Να βρεθεί αν ορίζεται η συνάρτηση f o g. γ) Να εξετάσετε αν ισχύει : (f o g) = f o g. 1 (Απ. (fog) () = ln, ( f ο g )() = -, > 0 ) 34. Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο IR με πεδίο τιμών f(ir) = IR και f () = f(), να βρεθεί η παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης (f -1 ) (). (Απ. (f -1 ) () = 1 ) 35. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR, για την οποία ισχύει : f 3 () f () + 3f() =, για κάθε IR. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 = 0 και στο =, με f () + f (0) = 0. ΣΕΛΙΔΑ 6