ΟΡΙΣΜΟΣ. 1. Αν f : R R παραγωγίσιμη συνάρτηση, να δείξετε ότι: α) Αν f άρτια τότε f περιττή β) Αν f περιττή τότε f άρτια.

Transcript

1 ΟΡΙΣΜΟΣ 1. Αν f : R R παραγωγίσιμη συνάρτηση, να δείξετε ότι: α) Αν f άρτια τότε f περιττή β) Αν f περιττή τότε f άρτια.. Aν f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο 0 και f(0) 0, να δείξετε ότι η συνάρτηση g()= f() : α) Είναι συνεχής στο σημείο 0 β) Δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 3. Aν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0 =α, να δείξετε ότι η συνάρτηση f()= -α g() είναι παραγωγίσιμη στο 0 =α αν και μόνον αν g(α)=0 4. Αν f()-ημ 4, για κάθε R, να βρείτε την f (0) 5. Αν f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο 0 για τις οποίες ισχύει f(0) = g(0) = 0 και f() g() για κάθε R, να δείξετε ότι f (0) = g (0) 6. Aν για κάθε R ισχύει f () + g () = και οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο σημείο 0 = -1, να δείξετε ότι α) f(-1)=g(-1)=0 β) [ f (-1)] + [ g (-1)] = 9 7. Αν f : R R για την οποία ισχύουν i) f(+y)=f() f(y)+y για κάθε, y R ii) f(0) 0. Nα δείξετε: α) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο R β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο α με f(α) 0, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο R f ( 1), 8. Έστω συνάρτηση f : R R με f (1)=0. Να δείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο: g() f (3 5), είναι παραγωγίσιμη στο 9. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 να δείξετε ότι: α) f( h) f ( ) 0 0 lim =f ( 0 ) h0 h β) f( 0 h) f (0 3h) lim = - 4f (h) h0 h 10. Δίνεται η συνάρτηση f : R R ώστε f(+y)=f() f(y) για κάθε,y R και f()=1+g() για κάθε R όπου g : R R με lim g() =1. Να δειχθεί ότι: 0 α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο R β) f()=e, για κάθε R 11. Aν f : R R παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει f(+y)= e f (y)+e y f()+y+α,,y R α) Να δειχθεί ότι f(0)=-α β) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων γ) Να δειχθεί ότι για κάθε R, f ()=f()+ f (0)e e 1 + (Δίνεται lim 1 ) Αν f () ( 1) και f(α)=7, όπου α πραγματικός αριθμός, να βρείτε την τιμή του α Αν h() f (g()) και g() 3, g () 1 και f (3) 5,να βρείτε τον αριθμό h (). 14. Δίνεται η συνάρτηση f()= ημ +014, [0, π] α) Να λύσετε την εξίσωση: f () (f () 009 1).

2 β) Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει ότι: f () όπου 15. Δίνεται η συνάρτηση f () e. α) Να βρείτε τις f () και f (). β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των α, β, γ ώστε f () βf () γf () f (). 16. Δίνεται η συνάρτηση f () 3 1. Να βρείτε: ,,,, 4 3 α) Τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γρ. παρ. της f στο σημείο ( 0,f ( 0)). β) Την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f: ι) που σχηματίζει με τον άξονα γωνία ιι) που είναι παράλληλη στον άξονα. π φ= 4. ιιι) που είναι παράλληλη στην ευθεία (ε):10 5y 1 0. ιv) που είναι κάθετη στην ευθεία ( ): y 009 v) που διέρχεται από το σημείο (-1,-1) 17. Μια συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιμη και έχει την ιδιότητα 3 3 f ( 1) 7. Να βρείτε: i) τις f(3) και f (3) ii) την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(3,f(3)). 18. Δίνεται η συνάρτηση f()= 3 +α, α R. Να βρείτε την τιμή του α ώστε στα σημεία της γραφικής παράστασης της f που έχουν τετμημένες 1 =1 και =- οι εφαπτόμενες να είναι παράλληλες. 19. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f()=- 3 και g()= +. Να αποδείξετε ότι σε ένα από αυτά έχουν κοινή εφαπτομένη 3 α β 0. Δίνεται η συνάρτηση f: R R με f () 4 με α, β ϵ R 3 i) Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f. ii) Αν f (1) 5 και limf () 6, να βρείτε τις τιμές των α, β. 1 iii) Για τις τιμές των α, β που βρήκατε να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο (0,f(0)) Δίνεται η συνάρτηση f: R R με f () 9 α β με α, β ϵ R Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f. i) Aν f 6 (1) f () 5 και f lim 0 3, να βρείτε τις τιμές των α, β. 5 6 ii) Για α=1 και β=1 να βρείτε: α) το πρόσημο της f. β) την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(κ,λ) όπου κ, λ είναι στοιχεία του συνόλου 1,0,1.. Να βρείτε τα α, β ώστε η ευθεία y=-1 να εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης στο σημείο ( 1,f ( 1)). 3. Δίνεται η συνάρτηση β 3 f () α β f () α. Έστω ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο

3 3π (, 5) και η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης σχηματίζει με τον άξονα γωνία φ. 4 i) Να βρείτε τα α, β. 1 ii) Για α και β=8 να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( 1,f ( 1)) 4 α β 4. Έστω η συνάρτηση f με τύπο f () e με α, β ϵ R. 3 i) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης αν η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(1,e ) και B( 1, e). ii) Να βρεθεί το σημείο τομής της C f με τον άξονα yy iii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf στο παραπάνω σημείο καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζει αυτή με τους άξονες. iv) Αποδείξτε ότι: f "() f () f () v) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτόμενης για. 1h 1h 3 e e vi) Να υπολογίσετε το lim h0 h 3 5. Δίνεται η συνάρτηση f () α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το ρυθμό μεταβολής της f στα σημεία αυτά. β) Στο σημείο με τη μικρότερη τετμημένη να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης. 6. Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση και η θέση του δίνεται από τη σχέση S(t)=t 3-30t +88t+1 όπου ο χρόνος t είναι σε sec και το S σε m. i) Βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνσή του την χρονική στιγμή t. ii) Πότε το κινητό κινείται στην θετική και πότε στην αρνητική κατεύθυνση; Πότε είναι ακίνητο; iii) Να βρείτε την επιτάχυνσή του τη χρονική στιγμή που έχει ταχύτητα 15 m/sec. iv) Να βρείτε το ολικό διάστημα που έχει διανύσει το κινητό κατά τα πρώτα 15 sec. v) Πόσο μετατοπίστηκε τα 15 πρώτα sec ; 7 Aν f() για κάθε χ ϵ R, ν αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να βρεθεί η f (0). 8. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f() f(y) (-y) για κάθε, y ϵ R. Ν αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε 0 ϵ R και f( 0 ) = Για την συνεχή, στο σημείο α, συνάρτηση f ισχύει: = κ > 0. Ν αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε α. 30. Δίνεται η συνεχής, στο σημείο α, συνάρτηση f και η g() = α f() η οποία είναι παραγωγίσιμη στο α. Ν αποδειχθεί ότι: f(α) = Έστω συνάρτηση g: R R, παραγωγίσιμη στο 0 και g(0) = 0.Έστω και η f: R R τ.ω 3. g() f() g() + για κάθε ϵ R. Ν αποδειχθεί ότι αν η f είναι παραγωγίσιμη τότε f (0) = g (0) 33. Αν για την παραγωγίσιμη στο f ισχύουν: f () = ½ και f() = 1 να υπολογιστεί το ***ΠΡΟΣΟΧΗ: μπορεί χ χ 0 ή h 0 (με 0 = h) ή h 1 (με / 0 = h)

4 34. Έστω συνάρτηση f: R R με f(+y) = f() + f(y) για κάθε, y ϵ R Ν αποδειχθεί ότι αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 τότε είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 0 ϵ R και f ( 0 ) = f (0). 35. Ομοίως αν για τη συνάρτηση f: (0, + ) R ισχύει f(y) = f() + f(y) και είναι παραγωγίσιμη στο 1 τότε είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 0 ϵ (0, + ) 36. Έστω συνάρτηση f με f(χ) =. Να υπολογιστούν οι α, β ώστε να είναι παραγωγίσμη. Εναλλακτικά: Να υπολογιστούν οι α, β ώστε η ευθεία y = αχ + β να εφάπτεται της καμπύλης: στο σημείο Μ(1,4) 37. Έστω συνάρτηση f με f(1) = 1 και f (1) = 3/. Έστω η συνάρτηση g() = Να υπολογιστεί το g (1). ΚΑΝΟΝΕΣ 1. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: α) f()=ημ(συν )συν(ημ ) β) f()=ημ 4 (ln 5 συνe ) γ) f()=, >0 δ) f()= (1+) 6 1 ε) f()= 4 1 ln στ) f()= 3, [,11) 3, [11, ). Aν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R, να βρείτε την f όταν: α) f()=g( g(α)), α ϵ R β) f()= g( g()) γ) f()=ln(1+g ()) δ) f()=g()e g() 3. Αν f()= 1 να δείξετε ότι: 4(1+ ) f ()=f()-4 f () 4. Nα δειχθεί ότι η συνάρτηση f()= ημ, 0 συν, 0 είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της 5. Αν f( 3 )= 6, να αποδείξετε f (8)=16 6. Αν f, g συναρτήσεις ορισμένες και παραγωγίσιμες στο [0.], και για κάθε [0,] ισχύει: f ()-g 3 ()+9=0, f(1)=3 και f (1)=1 να βρεθεί η g (1) 7. Αν f()=ασυν(ν)+βημ(ν), νn*, να δείξετε ότι : f ()+ν f()=0 8. Aν f()=e -λ, να βρείτε το λ ώστε να είναι f ()+ f ()-3 f()=0 9. Aν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R και για κάθε R ισχύει:

5 f(e -1 )=ημ(π), να υπολογίσετε τις f (1), f (1) 10. Αν f()=(-1)(-) (-100), να βρείτε την f (0) 11. Aν f()=(-α) 3 (-β) 5, να δείξετε ότι f () = με α β f() -α -β 1. Αν συν, 0 f () 0, 0 1, να βρείτε α) την f (0) β) το lim 0 1 ημ( συν ) 13. Αν f : R R παραγωγίσιμη στο 0 =α, α>0 να δείξετε ότι: α) f()ln-f(α)lnα f(α) lim +f (α)lnα β) -α α f()ln-f(α)lnα f(α) lim +f (α)lnα -α α 14. Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο Δ, με g() 0, για κάθε Δ. Θεωρούμε την συνάρτηση h()= f () g(). Aν f ( 0 ) h ( 0 ) 0 να δείξετε ότι : h( 0 )=, με g( 0 ) 0 g ( ) Να αποδειχθούν οι τύποι των νιοστών παραγώγων των παρακάτω συναρτήσεων: α) f()=e α, f (ν) ()=α ν e α β) f()= ημ(α), f (ν) ()=α ν ημ(α+ νπ ) γ) Ρ()=α ν ν + α ν-1 ν-1 + +α 1 + α 0, Ρ (ν) ()=ν!α ν, Ρ (ν+1) ()=0 16. Έστω f() πολυώνυμο βαθμού ν. Να δειχθεί ότι: α) Ο αριθμός ρ είναι διπλή ρίζα του πολυωνύμου αν και μόνον αν f(ρ)= f (ρ)=0 β) Να βρείτε τα α,β για τα οποία το πολυώνυμο (-1) είναι παράγοντας του πολυωνύμου f()=α ν+ -β+ 17. Να βρείτε πολυώνυμο P() ώστε να ισχύει: α) e P() =e (-1), για κάθε R β) Να έχει βαθμό ν 1 και να ισχύει [ P ()] =P(), με P(1)=0 γ) Να έχει βαθμό ν 1 και να ισχύει P()= P () P () 18. Δίνεται η συνάρτηση f()=5e +-. Nα δειχθεί ότι αντιστρέφεται και έπειτα να δείξετε: α) f(α) 0 για κάθε α ϵ R β) f (f ( )) γ) 1 1 f ( ) f (3) 6 1 1

6 19. Αν η συνάρτηση f : (0,+ ) R είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: f(y)=yf()+f(y) για κάθε, y >0, να δειχθεί f () f () f (1) 0. Αν f :(0,+ ) R με τις ιδιότητες i) f(y)=f()+f(y) για κάθε,y >0 ii) f παραγωγίσιμη στο 0 =1 Nα δειχθεί ότι: α) Η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε >0 β) f( ν )=νf() και ν-1 f ( ν )= f () με > 0 και ν ϵ N* 1. Έστω f()=α ν ν + α ν-1 ν-1 + +α 1 + α 0, α ν 0, α 0 0 με ρίζες ρ 1, ρ,,ρ ν διάφορες ανά δύο. Να δείξετε ότι: f () i) = , ρi i=1,,3,...,ν f() -ρ -ρ -ρ 1 ν ii) f()f () < [f ()], για κάθε ϵ R iii) Nα υπολογίσετε το άθροισμα ρ ρ ρ 1 ν iv) Αν f(ρ 1 )= f (ρ 1 )=0 και f (ρ 1 ) 0 να δείξετε ότι ρ ρ -ρ ρ -ρ ν ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 1) Ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση + y = 4. Καθώς περνάει από το σημείο Α(-1, 3 ), η τετμημένη του ελαττώνεται με ρυθμό 6 m/sec.να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης τη χρονική στιγμή που το σώμα περνάει από το Α. Το σώμα περνάει από το Α ακολουθώντας τη θετική φορά κίνησης ή όχι; ) Ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση + y = ρ με d dt κινείται στον κύκλο κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού ή αντίθετα; = y. Βρείτε το dy dt όταν y 0.Το σώμα 3) Έστω 0 και Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, το οποίο έχει κορυφές τα σημεία Ο(0,0), Α(4,0) και Β(0, -). Αν το μεταβάλλεται με ρυθμό cm/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του Ε όταν = 9 cm. 4) Ένα σημείο Α κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() =. Tη χρονική στιγμή t 0 βρίσκεται στη θέση (,0) και το αυξάνει με ρυθμό 3 cm/sec. i) Να βρεθεί το df() dt τη χρονική στιγμή t 0. ii) Να βρείτε σε ποια θέση dy d 0, όπου y = f(). dt dt 40 5) Ένας πληθυσμός μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση Ν(t) = t 1 19., όπου t ο χρόνος σε λεπτά. Αν οι φυσιολογικές απώλειες Μ κάθε λεπτό είναι ανάλογες του τετραγώνου του υπάρχοντος πληθυσμού με συντελεστή κ = 10-3, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής Μ.

7 6) Μια σκάλα μήκους 13m είναι ακουμπισμένη σ έναν κατακόρυφο τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας έλκεται από τον τοίχο με ρυθμό m/sec. Να βρείτε: i) Πόσο γρήγορα γλιστράει το πάνω άκρο της σκάλας όταν το κάτω άκρο απέχει από τον τοίχο 5m. ii) Tον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου που σχηματίζει η σκάλα με τον τοίχο και το έδαφος όταν το κάτω άκρο της απέχει από τον τοίχο 1m. 7) Το εμβαδόν της περιοχής ανάμεσα σε δύο ομόκεντρους κύκλους είναι πάντα 9π cm. O ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του μεγαλύτερου κύκλου είναι 10π cm /sec. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του μήκους του μικρού κύκλου όταν αυτός έχει εμβαδόν 16π cm. 8) Σε μια δεξαμενή που έχει σχήμα κώνου χύνεται νερό με ρυθμό 5π cm 3 /sec.to ύψος του κώνου είναι 0m και η ακτίνα της βάσης είναι 10m. Να βρείτε πόσο γρήγορα ανέρχεται το επίπεδο του νερού στη δεξαμενή κατά τη χρονική στιγμή t 0 που το νερό έχει βάθος 5m; 9) Ένα αερόστατο που ανέρχεται από το έδαφος με ταχύτητα 3 m/sec εντοπίζεται από ένα αποστασιόμετρο σ ένα σημείο Α το οποίο απέχει 600m από το σημείο απογείωσης Β. Να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο η γωνία θ = BAM και η απόσταση S = (ΑΜ), (όπου Μ η θέση του αερόστατου) μεταβάλλονται κατά τη χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία το μπαλόνι βρίσκεται 600m πάνω από το έδαφος. 10) Δίνεται η συνάρτηση f() =ln, 0 και το σημείο Μ(α,lnα), α 0. i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Μ. ii) Για ποια τιμή του α η εφαπτόμενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων; iii) Αν το σημείο Μ απομακρύνεται από τον άξονα y y με σταθερή ταχύτητα v = m/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία η εφαπτομένη στο Μ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 11) Δίνεται η συνάρτηση f() = 3, και το σημείο Μ(α,α 3 ), α 0, που απομακρύνεται από τον άξονα y y με σταθερή ταχύτητα v = 3 m/sec. i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Μ. ii) Να αποδειχθεί ότι η παραπάνω εφαπτόμενη τέμνει τη C f και σε δεύτερο σημείο Ν. iii) Να εκφραστεί το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΜΒΝ (με διαγώνιο ΜΝ και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες) με μεταβλητή το α. iv) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία το Μ απέχει από τον άξονα y y απόσταση m.

8 ROLL Παρατηρήσεις: Η συνέχεια της f στα άκρα του διαστήματος στο οποίο εφαρμόζεται το θεώρημα είναι απαραίτητη!!! (πχ f() =. Ασυνεχής στο 1 κλπ. Βλ. C f ) Το αντίστροφο δεν ισχύει. Πχ f(χ) = χ, -1 χ. I. Αν f (χ) 0 για κάθε χ στο D f της f τότε η f είναι 1 1. II. Αν f (χ) 0 για κάθε χ στο D f της f τότε η f(χ) = 0 έχει μια το πολύ ρίζα. III. Αν f (χ) 0 για κάθε χ στο D f της f τότε η f(χ) = 0 έχει δύο το πολύ ρίζες. IV. Αν η f είναι παραγωγίσιμη και έχει δύο ρίζες (έστω χ 1 < χ )τότε η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (χ 1, χ ). V. Αν η f είναι παραγωγίσιμη και έχει δύο ρίζες (έστω χ 1 < χ )τότε η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (χ 1, χ ). VI. Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και έχει τρεις ρίζες τότε η f έχει δυο τουλάχιστον ρίζες και η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα. 1. Ισχύει το Θ. ROLLE για την f με f() = στο [-1, 1] και για ποιο χ 0 ;. Έστω f, g δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν τις συνθήκες: i) Είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα [α,β] ii) f(α) = f(β) = 0 και f() 0, (α,β). Να αποδείξετε ότι: α) Για τη συνάρτηση h() = f()e -g(), [α,β] εφαρμόζεται το θ. Rolle στο διάστημα [α,β]. β) Υπάρχει 0 (α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C g στο σημείο της Α( 0,g( 0 )) να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ : f ( 0 ) - f( 0 )y + κ = Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [α,γ] και ισχύουν f(α) = f(γ) και f (α) = f (γ) = 0, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία 1, (α,γ) τ.ώ. f ( 1 ) = f ( ). 4. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,] και παραγωγίσιμη στο (0,), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (0,)τέτοιο, ώστε f (ξ) = f (-ξ). 5. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β). Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα f( 0 )-f(α) τουλάχιστον 0 (α,β) τέτοιο, ώστε: f ( 0 ) =. β Αν α,βr με α<β και τα α, β είναι ρίζες της εξίσωσης e - = συν, να αποδείξετε ότι η εξίσωση e (ημ-συν) = 1 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β). αν αν-1 α α1 α0 7. Αν =0, νν *, να αποδείξετε ότι η: α ν ν + α ν-1 ν α + α 1 + α 0 = 0, έχει ν+1 ν 3 1 μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1). 8. Να λυθεί η εξίσωση: + 5 = + 5.

9 9. Αν ο ν είναι άρτιος θετικός ακέραιος και α 0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση (+α) ν = ν + α ν έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. i) Να λυθεί η εξίσωση: (+3) 1996 = (+1) Ν αποδειχθούν οι παρακάτω ανισότητες: i. συνβ συνα β α, α, β R ii. Ν. Υ το όριο: iii. Ν.Δ.Ο. : - ln, (0, + ) iv. Ν.Δ.Ο. : ln.ln(ln) + e > ln, χ > e 11. Για να «δούμε» αν μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα ακολουθούμε τα εξής βήματα: i. Ελέγχουμε για προφανείς ρίζες ii. iii. iv. Ελέγχουμε αν το μηδέν περιέχεται στι σύνολο τιμών Ελέγχουμε αν υπάρχει σχετική συνάρτηση για την οποία εφαρμόζεται το Θ. BOLZANO Ελέγχουμε αν υπάρχει παράγουσα σχετικής συνάρτησης για την οποία εφαρμόζεται το Θ. του ROLLE Ν.Δ.Ο. η εξίσωση: 6χ + αχ = α +, α R έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1). 1. Αν οι f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο R και f (). g() f(). g () για κάθε χ R και α < β δύο ρίζες της f τότε υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της g() = 0 στο (α, β). (Ανάμεσα σε δύο συνεχόμενες ρίζες της μιας υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της άλλης) 13. Ν.Δ.Ο. η εξίσωση: χ ν+1 + α = (ν+1)χ, α R και ν Ν* έχει μια το πολύ ρίζα στο (-1, 1). 14. Ν.Δ.Ο. η εξίσωση: ln + χ = α, α R έχει μια ακριβώς ρίζα στο (0, + ). 15. Ν.Δ.Ο. η εξίσωση: χ 4 - χ 3 + 4χ - χ + 15 = 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. 16. Έστω η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και f(-π) = f(π) = 0. Ν.Δ.Ο. υπάρχει ξ (-π, π) τ.ω. f (ξ) = ημξ. 17. Έστω η συνάρτηση f: [α, β] -> R, α > 0, f(χ) > 0 για κάθε χ [α, β] και [f(β)] α = [f(α)] β Ν.Δ.Ο.: υπάρχει ξ (α, β) τ.ω. f(ξ)ln(f(ξ)) =ξ f (ξ). 18. Έστω f: R R παραγωγίσιμη συνάρτηση στο 0 και λ, μ, ρ πραγματικοί με λ μ. Αν: = ρ. να υπολογίσετε το f (0) συναρτήσει των λ, μ, ρ και το:. 19. Αν η f με f(χ) > 0 είναι παραγωγίσιμη στο και f () = για κάθε χ στο και f(1) = 1 να βρεθεί η f(χ). 0. Ν αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο ξ ενός ανοιχτού διαστήματος Δ αν και μόνο αν υπάρχει συνεχής στο ξ συνάρτηση g(χ) : f(χ) f(ξ) = g(χ)(χ ξ) κοντά στο ξ. 1. Έστω f συνεχής στο ξ ϵ R. Να δειχθεί ότι η ευθεία : αχ + β είναι εφαπτομένη της f στο (χ 0, f(χ 0 )) αν και μόνο αν: = 0.. Η εφαπτομένη της γρ. παρ. της α χ, α > 1, στο Μ(ξ, f(ξ)) τέμνει τον άξονα των χ στο Α. αν Μ είναι η προβολή του Μ στον χ να υπολογιστούν τα: ΑΜ, ΟΑ, και τέλος ΟΜ (Ο η αρχή των αξόνων). 3. Έστω συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R και τ.ω. : f() για κάθε χ στο R ( α < β).

10 α. Να δειχθεί ότι υπάρχει χ 1 στο (α, β) τ.ω. f (χ 1 ) = 0. β. f (α) = f (β) = 0. γ. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ στο (α, β) τ.ω. f (ξ) = Έστω f: R R συνεχής και g: R R γν. αύξουσα τ.ω. ln(f()) = g() για κάθε χ στο R. α. Να δειχθεί ότι η f είναι γν. αύξουσα στο R. β. Να δειχθεί ότι: = 0 και = -. γ. Αν = g(1) καιf(1) 1 να δειχθεί ότι: g(1) = ln(). δ. Αν f(1) = και = να δειχθεί ότι υπάρχει χ 1 στο (1, - ) τ.ω. f( 1 ) = Έστω f: R R παραγωγίσιμη με = 0 και = f(5). α. Να δειχθεί ότι η f() = + έχει λύση στο (3, 5). β. Αν f (χ) < 0 να βρεθεί το πλήθος των ριζών της f (χ) = 0 στο (3, 5). 10. Έστω f: f() = ln( 3 +1), ϵ (-1, + ) και g() = ln, ϵ R. α. Να δειχθεί ότι οι γρ. παρ. τους έχουν ένα κοινό σημείο το οποίο και να βρεθεί. β. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων στο κοινό σημείο και των δύο γρ. παρ. γ. Να βρεθούν τα σύνολα τιμών των f, g και να αποδειχθεί ότι η f έχει μία μόνο ρίζα στο (-1, 0) ενώ η g έχει μία μόνο ρίζα στο (0, 1). ΘΜΤ, -1 1) Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. 3, >-1 στο διάστημα [-3,] και αν ναι, να βρείτε όλα τα ξ(-3,) που να επαληθεύουν το Θ.Μ.Τ. ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α) = 3 β και f(β) = 3 α, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο Μ(ξ,f(ξ)), να σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω =. 3 3) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [1,5] με f(1) = - και f () για κάθε (1,5), να αποδείξετε ότι: -10 f(5) 6. 4) Με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ. να λύσετε την εξίσωση: = ) Nα αποδείξετε ότι: ln(ημβ)-ln(ημα) π σφβ σφα, αν 0<α<β< β-α 6) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [0,], παραγωγίσιμη στο (0,) με f(0)= f(), να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία α, β(0,) τέτοια ώστε: f (α) + f (β) = 0. Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρασμα. 7) Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R της οποίας η παράγωγος f είναι αύξουσα στο R. Αν α, βr με α β και f (α) = f (β) = 0. Να δειχθεί ότι: f(α) = f(β).

11 8) Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α) = β και f(β) = α. Να αποδείξετε ότι: i) Η εξίσωση f() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β). ii) Υπάρχουν ξ 1, ξ (α,β)τέτοια ώστε: f (ξ 1 ). f (ξ ) = 1. 9) Αν ισχύουν α γ β, και f (γ) = 0 και f () θ για κάθε [α,β], να αποδείξετε ότι f(α)+f (β) θ(β-α). 10) Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν υπάρχει εφαπτομένη της C f η οποία έχει με τη C f δύο τουλάχιστον κοινά σημεία, να αποδείξετε ότι: i) Η f δεν είναι 1-1. ii) Υπάρχει 0 R με f ( 0 ) = 0. 11) Η συνάρτηση f: [α,β] είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) και συνεχής με f(α) = f(β) = 0. Να αποδείξετε ότι: i) αν υπάρχει 0 (α,β) με f( 0 ) 0, τότε υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ) 0, ii) αν υπάρχει 0 (α,β) με f( 0 ) 0, τότε υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ) 0. 1) Η συνάρτηση f: [0,4] είναι συνεχής στο διάστημα [0,4], παραγωγίσιμη στο (0,4). Αν f(0) = -3 και f () 1 για κάθε (0,4), να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα στο (0,4). 13) Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1], με f(0) = 0 και f(1) = 1, να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει γ(0,1) τέτοιο, ώστε: f(γ) = 1, ii) υπάρχουν ξ 1, ξ (0,1) τέτοια, ώστε: 1 1. f ( ) f ( ) 1 14) Έστω α 0 και η δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [-α,α]συνάρτηση g. Αν g(0) = g(α) + g(-α), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(-α,α) τέτοιο, ώστε: g (ξ) = 0. 15) Αν f, g συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β] και παραγωγίσιμες στο (α, β) και g(α) g(β) Ν.Δ.Ο. υπάρχει ξ (α, β) τ.ω : =. (Θ, Cauchy) 16) (Απόδειξη Ταυτοτήτων) Ν.Δ.Ο.: ημ χ + συν χ = 1 και ln( + y) = ln() + ln(y). 16) (ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) i. α. Αν για τη συνάρτηση f: (0, + ) -> R ισχύει ότι f(1) = 4 και f (χ) = + χ -1 να βρεθεί ο τύπος της. ii. β. Ομοίως για την f για την οποία ισχύει ότι: f(0) = - και f (χ) =. iii. γ. Ομοίως για την f για την οποία ισχύει ότι: f(0) = 1, f() = 13 και (χ -1)f (χ) = χ + χ 3. iv. δ. Ομοίως αν: f (χ - 1) = 1 3χ για κάθε χ R και f(1) = 3. v. ε. Ομοίως αν: f (χ 3 ) = 5χ για κάθε χ (0, + ) και f(8) = 97. vi. στ. Ομοίως αν f (χ) = f(χ) για κάθε χ R και : f (0) =, f(0) = 0. (περιπτώσεις κατά τις οποίες έχουμε: f (χ) +α(χ)f(χ) = β(χ) χρησιμοποιούμε τον πολλαπλασιαστή: e A() όπου A (χ) = α(χ))

12 17) Έστω η συνάρτηση f: R -> R που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και για την οποία ισχύει: f() 1 και [f(0)] + [f (0)] = 4. Ν.Δ.Ο. υπάρχει ξ τ.ω. f(ξ) + f (ξ) = 0. 18) Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f Ν.Δ.Ο.: f(κ) = f (κ) = 0 f(χ) = (χ κ) P(χ). 19) Έστω η συνάρτηση f: Δ -> (0, + που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη Ν.Δ.Ο.: i. Η g(χ) = ln(f(χ)) στρέφει τα κοίλα επάνω f(χ)f (χ) (f (χ)). ii. Να βρεθεί το διάστημα στο οποίο η: h(χ) = ln(χ +) στρέφει τα κοίλα επάνω. iii. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα η: g(χ) = α χ χ αν 0 < α < 1 και χ R. iv. Να υπολογιστεί ο λ R αν: - α λ- = λ 4 (λ ) και 0 < α < 1. 0) Έστω η συνάρτηση f: R -> R που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και f (χ) 0 για κάθε χ στο R. Έστω επίσης η g: g(χ)f (χ) = f(χ) για κάθε χ στο R. Ν.Δ.Ο. : Αν στο ξ η C f έχει σ.κ. τότε η εφαπτομένη της C f στο ξ είναι // της y -χ + 5= 0 1) Έστω η συνάρτηση f: f(χ) = χ και g: g(χ) = -χ +χ + 1. Ν.Δ.Ο. οι C f και C g έχουν κοινά σημεία τα: (0, 1) και (1, ) και η h(χ) = f(χ) g(χ) είναι κυρτή και έχει ελάχιστο. ) Έστω η συνάρτηση f: (0, + ) -> R, παραγωγίσιμη και f(1) =. Αν f(χ) e χ-1 + lnχ + χ για κάθε χ > 0. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1, ). 3) Έστω η παραγωγίσιμη και κοίλη στο [-3, 3] συνάρτηση f. Ν.Δ.Ο. f(1) + f() > f(0) + f(3). 4) Έστω η συνάρτηση f: R -> R που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και f (0) = f(0) = 0, f (χ) = 014. Να υπολογιστεί το όριο:. 5) Έστω οι f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [0, 1] και παραγωγίσιμες στο (0, 1) τ.ω. f(0) = f(1) = 0 και f(χ) 0 για κάθε χ στο (0, 1). Ν.Δ.Ο. η: h(χ) = f (χ) e g(χ) πληροί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle και υπάρχει ξ στο (0, 1) τ.ω. = - 6) Έστω f: f(χ) = e χ + 5χ. Ν.Δ.Ο. i) Η f αντιστρέφεται ii) Να λυθεί η: - e 4χ- = -5χ +10χ -5 7) Ν.Δ.Ο. : i) e -1, για κάθε χ στο R και ii) 1 χ, χ 0 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 1) Nα αποδείξετε ότι: α) ln 1 για κάθε > 0. Πότε ισχύει η ισότητα; β)αν α>0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = ln-lnα -α είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (0,α). ) i) Nα αποδείξετε ότι ln + 1 > για κάθε >1 ii) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f() = ln 1 Να προσδιορίσετε τον μ R που ικανοποιεί τη σχέση (μ+1) ln(μ +5) = (μ +4) ln(μ +μ+). 3) Δίνεται η συνάρτηση f: R -> R με f () <0 για κάθε R Να αποδείξετε ότι αν α R, τότε ισχύει: iii)

13 f() f (α)(-α) + f(α), για κάθε R. 4) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και ισχύουν f(α)=f(β)=1 και f () >0 για κάθε [α,β], να αποδειχθεί ότι f() <1 για κάθε (α,β). 5) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) και f () >0 για κάθε (α,β). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f()-f(α) -α 6) Έστω μια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: i) η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] ii) f (α).> 0 και f () > 0 για κάθε [α,β]. Να αποδειχθεί ότι: f(α) <f(β). είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β). 7) Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και f ()> 0 για κάθε [α,β]. Να αποδειχθεί ότι: α+β f <f(α)+f(β). 8) Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ), με f () >0 για κάθε >0 και limf () 0 =0. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g ()= f () γνησίως αύξουσα στο (0, + ). 9) Έστω η συνάρτηση f() = α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης β)να λυθεί η εξίσωση ( )5 1-3 <( )5-1 10) Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) = f(β). Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β), να αποδείξετε ότι για κάθε (α,β) ισχύει: f() <f(α). 11) Αν η συνάρτηση f: R -> R είναι παραγωγίσιμη, και ισχύουν f()>-1 και f () e 1 f () = για κάθε R α)να αποδειχθεί ότι η f είναι σταθερή. β) Να βρεθεί ο τύπος της f. 1) Δίνεται η συνάρτηση : f() = (1- )(ln-). i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() = 0. iii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. iv)να αποδείξετε ότι: (1-)(ln-) -1, για κάθε > 0. 13) α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f() = ln006-ln007 β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση δεν τέμνει τον χ χ. 14) Δίνεται η συνάρτηση : f() =ln- α +α, >0. Aν f() 0 για κάθε >0 i) Να δειχθεί ότι α = -1 ii) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f iii)να λυθεί η εξίσωση f() =0 iii) Να λυθεί η ανίσωση 1 1 ln( +)- >ln( +3)- +3 +

14 FERMAT 1) Αν α <1, να δείξετε ότι η f() = ( +α+)e δεν έχει ακρότατα. ) Να αποδείξετε ότι, αν για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο R, ισχύει: f 3 () + f() = +, τότε η f δεν έχει ακρότατα. 3) Να αποδείξετε ότι, αν για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο R, ισχύει: f() + ln(1+ f ()) = e , τότε η f δεν έχει ακρότατα. 4) Αν 0 α 1 και για κάθε >0 ισχύει ισχύει η ισότητα. α α, να αποδείξετε ότι α=e, με δεδομένο ότι για κάποιο 0 >0 5) Έστω οι συναρτήσεις f, g : R -> R οι οποίες είναι παραγωγίσιμες και ισχύουν: f() +1 (1) και f() e g() e (), για κάθε R. Αν η C f διέρχεται από το σημείο Α(0,1), να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των C f και C g στο 0 =0, τέμνονται κάθετα. 6) Έστω η συνάρτηση f() = 3 +α +3+β. Αν η f έχει δύο διακεκριμένα ακρότατα, να δείξετε ότι: i) α >3 και ii) υπάρχει ξ (-,-1) (1,+ ) ώστε f (ξ)=0. 7) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η συνάρτηση f() = 3 (λ-1) +(λ+5)- να μην έχει ακρότατα. 8) Έστω η συνάρτηση f : R -> R, η οποία είναι παραγωγίσιμη δύο φορές και ισχύει f( )- f () 1, για κάθε R. Να δείξετε ότι :i) Υπάρχει 0 (0,1) τέτοιο ώστε f ( 0 )=0 ii) f (0)= f (1).Η εξίσωση f () = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο (0,1). 9) Έστω η συνάρτηση f: R -> R, η οποία είναι παραγωγίσιμη δύο φορές με f()> 0 για κάθε R. Αν τα f ( ) α, β είναι θέσεις ακρότατων της f, να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο ώστε f ( ). f ( ) 10) Έστω η συνάρτηση f: (0,1) R, η οποία είναι παραγωγίσιμη τρεις φορές με f() 0 για κάθε (0,1). Αν υπάρχουν 1, (0,1) 1 τέτοια, ώστε f( 1 ) = f( ) = 0, να δείξετε ότι υπάρχει ξ(0,1) με f (ξ) = 0. 11) Αν g : R -> R συνάρτηση με g(0) = g(1) = 0 και f : R -> R παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει g()f () + f() = για κάθε R, τότε να αποδείξετε ότι f() = για κάθε [0,1]. 1) Έστω μια συνάρτηση f: R -> R η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: (1+e 1- ) f()+συνπ 3 για κάθε. Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(1,). 13) Έστω ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [1,4], παραγωγίσιμη στο (1,4) με f([1,4]) = [-,8] και f(1) =, f(4) = 1.i) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι 1-1. ii) Υπάρχει ξ(1,4) τέτοιο ώστε 3 f (ξ)+1=0. Αν επιπλέον η f είναι παραγωγισιμη στο (1,4), να δείξετε ότι υπάρχει 0 (1,4) με f ( 0 ) = 0. ΑΚΡΟΤΑΤΑ 1) Δίνεται η συνάρτηση f() = ημ +συν-1, [0,π]. i) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση f

15 ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. iii) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() = 0. ) Δίνεται η συνάρτηση f() = i)να βρείτε το σύνολο τιμών της f. ii) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 8 1 = 0. 3) Έστω η συνάρτηση f() = ln. Να βρείτε το σημείο της C f στο οποίο η f έχει τη μικρότερη κλίση. 4) Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το. Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι 1-1. i) Να δείξετε ότι η g είναι 1-1. ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση: g(f()+ 3 -)=g(f()+-1) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα. 5) Έστω μια συνάρτηση f: R -> R με f () 0 για κάθε. Αν η f είναι συνεχής να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(e - ) = f(+α) 6) Δίνεται η συνάρτηση f() = ln-λ, λ>0. i) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης. ii) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ>0 για την οποία ισχύει: ln λ για κάθε (0,+ ). iii) Για την τιμή του λ που βρήκατε να δείξετε ότι η ευθεία ε: y = λ εφάπτεται στη C g όπου g() = ln. 7) Έστω μια συνάρτηση f: R -> R με f () 0 για κάθε R. Αν η f είναι συνεχής να λύσετε την. εξίσωση: f(συν)-f(- ) = 0. 8) Έστω η συνάρτηση f: [0,]-> R για την οποία ισχύουν για κάθε [0,], f() = f(-) και f () 0. i) Να λύσετε την εξίσωση f () = 0. ii) Αν η f είναι συνεχής στο [0,] και f(0)>f(1) να μελετήθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 3 9) Έστω f : R -> R με f()>0 R παραγωγίσιμη και ισχύει f () f () e 1 ln για κάθε R. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. 10) Δίνεται η εξίσωση λ = 0, λ. i) Να δείξετε ότι για κάθε λ R η εξίσωση έχει μια μόνο ρίζα. ii) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση να έχει μοναδική ρίζα στο (0,1). 11) Δίνονται οι συναρτήσεις f () = e, R και g () = ln, > 0. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους δεν τέμνονται. ii) Να βρείτε το σημείο της y = e, το οποίο απέχει τη μικρότερη απόσταση από την y =. iii) Ποια είναι τα σημεία των C f και C g που να απέχουν την ελάχιστη απόσταση; 1) Έστω η συνάρτηση f() = 3 +α +β+γ με ριζες ρ 1 <ρ <ρ 3 στο. Να δείξετε ότι i) α >3β ii) η f έχει δύο τοπικά ακρότατα iii) Αν η f έχει στο σημείο ξ τοπικό ακρότατο τότε =0 ξ-ρ ξ-ρ ξ-ρ 1 3

16 1 3 iv) 0 f ( ) f ( ) f ( ) ) Έστω η συνάρτηση f: R -> R δύο φορές παραγωγίσιμη και άρτια με f ()<0 για κάθε. Να δείξετε ότι παρουσιάζει μέγιστο. 14) Έστω f() =(-)e +α+, α>1 i) Να δείξετε ότι f () α-1, για κάθε ii) Να βρείτε την μονοτονία της f. iii) Να δείξετε ότι η εξίσωση f () = 0 έχει μοναδική λύση. ΚΥΡΤΑ ΚΟΙΛΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ 1) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()= ln. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα ii) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής. iii)να βρείτε το σύνολο τιμών της f. ) Nα αποδείξετε ότι η C f της συνάρτησης : f() = 4 +4α 3 +3(α -4α+5) +α+1,α δεν έχει σημεία καμπής. 3) Nα αποδείξετε ότι η C f της συνάρτησης : f() = α 3 +β +γ+δ με α 0 και β = 3αγ δέχεται στο σημείο καμπής της οριζόντια εφαπτομένη 4) Έστω g μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει (g()) =5g()- e -α +005 για κάθε R και 1 α>0. Να αποδείξετε ότι η C g δεν έχει σημεία καμπής. 5) Η συνάρτηση f είναι κυρτή στο και η συνάρτηση g κοίλη στο. Να αποδείξετε ότι: i) Οι C f, Cg έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. ii) Αν οι C f και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάποιο κοινό σημείο τους, τότε οι C f και Cg έχουν μοναδικό κοινό σημείο. 6) i)να μελετήσετε τη συνάρτηση f() = ln- ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Nα δείξετε ότι συνάρτηση g() = ln +ln+ -3 είναι κυρτή στο (1,+ ). iii) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο 0 =1. iv) Nα δείξετε ότι: +ln 4-3, για κάθε >1. 7) Να βρείτε τις τιμές του α R ώστε η συνάρτηση f() = - 4 +α να είναι κοίλη στο R. 8) Έστω μια συνάρτηση f : R -> R για την οποία ισχύει f () > f ()+f() συνάρτηση g() = f()e - είναι κυρτή στο R. για κάθε R. Nα δείξετε ότι η 9) Έστω μια συνάρτηση f : R -> R για την οποία ισχύει f() >0 για κάθε R, και η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν g() = lnf() και g () >0 για κάθε R, να δείξετε ότι η συνάρτηση h() = e λ f() είναι κυρτή στο R για κάθε λr. 10) Δίνεται η συνάρτηση f: (0,+ ) R για την οποία ισχύουν f() < και f () = -f() δείξετε ότι: i) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. ii) Η f είναι κυρτή στο (0,+ ). για κάθε >0. Nα

17 11) Έστω η συνάρτηση f() = ln(ln). i) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f. ii) Nα δείξετε ότι η f είναι κοίλη στο Α. iii) Αν α, βα με α<β, να δειχθεί ότι: f(α)+f(β)< f( α+β ). iv) Aν α,β Α, να δείξετε ότι: ln ln.ln. 1) Έστω f μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f() >0 για κάθε R. Αν η συνάρτηση g() = lnf() είναι κυρτή στο R με g () 0, R, να αποδειχθεί ότι η f είναι είναι κυρτή 13) Αν f: f () >0 για κάθε R και f(0) = -, να δειχθεί ότι υπάρχει 0 R, ώστε f( 0 ) = 0. 14) Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R, να αποδείξετε ότι αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, τότε αυτό είναι και ολικό ελάχιστο της f. 15) Για την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f, να αποδείξετε ότι δεν είναι δυνατόν η f να έχει στο 0 τοπικό ακρότατο και σημείο καμπής. 16) Έστω f μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f στο R, f () 0 για κάθε R, f (1) =0 και η συνάρτηση g() = f()-f(-), για κάθε R. i) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. ii) Να βρείτε τα διαστήματα που η g είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της C g f () 17) Έστω f: R -> R παραγωγίσιμη συνάρτηση με lim 3 και f(3)=4 i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο 0 =. ii) Αν η f είναι κυρτή στο R να δείξετε ότι f() iii) Nα δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ζ(,3) στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο. DE L HOSPITAL 1) Να βρείτε τις τιμές των α, β, έτσι ώστε να είναι: lim ( +4+3-(α+β)) =0. ) Αν η ευθεία y=3+4 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f: R -> R στο +, να μf()+6 βρεθούν οι τιμές του μ R, ώστε: lim 1. f() ) Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: R -> R για τις οποίες ισχύει f()-g() = -4 για κάθε R. Αν η ευθεία y=3-7 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο +. α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = -3 είναι ασύμπτωτη της γρ. παράστασης της g στο + β) Να βρείτε e 1 τα όρια: i) lim 0 1 g(h()) 5h() (h()) ii) lim 0 h()f (h()) 3(h()) 1 e 1 με h()= 1 συν 4) Έστω οι συναρτήσεις f: (0,+ )-> R για τις οποίες ισχύει g () = f ()- για κάθε R και οι C f, C g τέμνονται πάνω στην ευθεία =1. Αν η C f έχει ασύμπτωτη στο + τον άξονα χ χ, να βρείτε στο + την ασύμπτωτη της C g. 5) Έστω μια συνάρτηση f: (0,+ ) -> R με f () = για κάθε >0. Αν η ευθεία ε: y = -1 είναι ασύμπτωτη 3 της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f να βρείτε την f.

18 6) Δίνεται η συνάρτηση f() = ln+α-β, >0 1, =0 (e -1)ln(-)+α, <0. Να βρείτε τα α,β ώστε η f να είναι συνεχής στο 0 =0. 7) Έστω μια συνεχής συνάρτηση f: R -> R για την οποία ισχύει f()+e ημ =f()ημ+e για κάθε R. Να βρείτε το f(0) 8) Έστω μια συνεχής συνάρτηση f: R -> R για την οποία ισχύει (1-συν)f() = ln(1+)- για κάθε >-1. Να βρείτε την f(0). Να λύσετε την εξίσωση 1+ln = στο (0,). Να βρείτε την εφαπτομένη της C f με f() = ln++, (0,) που περνά από τα σημεία Α(,5), f((0,)) 9) Έστω η συνάρτηση f() = 1 ln της f και να λύσετε την ανίσωση ln <-1.. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. Να βρείτε το σύνολο τιμών 10) Έστω η συν. f παραγωγίσιμη στο R με f (0) = 3 και f(0)=f (0)=0. Να δειχθεί : f()+f(-) lim συν 11) Η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει: f () lim f () lim f () lim f () και lim. Να υπολογίσετε το f () f () lim. f () 1) Έστω οι συναρτήσεις f, g:(0,+ )-> R με g() = f()++ln(+1)-ln για κάθε >0. Αν η ευθεία y = +3 είναι ασύμπτωτη της C f στο +, να βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο +. 13) Έστω η συνάρτηση f : R -> R η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Να αποδείξετε ότι: f ( h) 3f () f ( h) lim 3f (). h0 h Bbs