Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς"

Transcript

1 Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

2 wwwaskisopolisgr

3 Η θεωρία των πανελλαδικών εξετάσεων []

4 []

5 Ορισμοί ) Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; (4) ) Να ορίσετε πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) και πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] (4,8,,7) 3) Πότε η ευθεία y = λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο + ; (5,) 4)Πότε μια συνάρτηση f : A λέγεται - ; (5,5) 5)Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; (6) 6) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ; (6) 7) Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ; (6,,4,6) 8) Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; (7,,6) 9) Πότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; (7,6) ) Nα ορίσετε πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (5,) ) Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; (7,9,5) ) Πότε η ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ; (9,,5) 3)Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ; (,4) 4) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της; (,3) 5) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το f( ); (,4) 6) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; ( ) 7) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο; () 8) Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της f; (3) 9)Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο; (5) Δεν έχουν πέσει )Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση συνάρτησης; ) Τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g ; ) Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; 3)Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το f( ); 4) Πότε μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ή απλώς συνεχής; 5) Τι ορίζουμε σαν εφαπτομένη της C f στο σημείο της,f ; 6) Πότε ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κοντά στο t ; [3]

6 7) Πότε μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ή απλώς παραγωγίσιμη ; ; 8) Πότε μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, 9) Ποια συνάρτηση ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f 3) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη,y συνδέονται με τη σχέση y f (), τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο 3) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A τοπικό ακρότατο; 3) Πότε το είναι θέση τοπικού ελαχίστου και πότε θέση τοπικού μεγίστου ; 33) Ποια σημεία μιας συνάρτησης f λέγονται κρίσιμα σημεία και ποιες είναι οι θέσεις πιθανών ακροτάτων της f ; 34) Πότε το σημείο,f ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο, ; ( στο μπορεί να είναι απλώς συνεχής ) 35) Πότε η ευθεία y = λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο ; f 36)Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνεχούς συνάρτησης f στο Ερωτήσεις ) Aν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο () () (,f ( )) ) Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f ; () 3)Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f y, στο διάστημα -,6 Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα () 4) Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν γνωστές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος α f d β f gd γ a a f a g d,όπου, και f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] () 5) Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; (3,8,3,6) 6) Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού; [4]

7 (7) 7) Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle ( εσπερινά) 8) Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού λογισμού 9) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat )Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano ) Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής (3,6) (3) (4) (6) Δεν έχουν πέσει ) Πως ορίζονται οι πράξεις των συναρτήσεων; 3) Πως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση 4) Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη; 5) των ορίων; f και τι γνωρίζετε για τις γραφικές τους παραστάσεις; 6) Ποια είναι τα βασικά τριγωνομετρικά όρια στο ; 7) Ποιες είναι οι ιδιότητες του μη πεπερασμένου ορίου ; 8) Ποια είναι τα όρια πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης στο ; 9) Ποια είναι τα όρια της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης στα άκρα του πεδίου ορισμού της; ) Αν δύο συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο,τότε ποιες άλλες συναρτήσεις που ορίζονται μέσω της f είναι συνεχείς στο ; ) Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Bolzano ; ) Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών 3) Να διατυπώσετε για μία συνεχή συνάρτηση f το θεώρημα ελάχιστης και μέγιστης τιμής 4) Ποια είναι η σχέση κλίσης της εφαπτομένης συνάρτησης f στο σημείο,f και της παραγώγου της f στο o και ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο 5) Να δώσετε τον συμβολισμό της νιοστής παραγώγου και πως ορίζεται σε σχέση με τη f v 6) Πως ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t ; 7) Να διατυπώσετε το θεώρημα βάσει του οποίου εξετάζουμε την κυρτότητα μιας συνάρτησης f 8)Ποια είναι η σχετική θέση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f με μια εφαπτομένη της με βάση τη κυρτότητα μιας συνάρτησης; 9)Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής; Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και το σημείο,f ποια σχέση ισχύει για τη δεύτερη παράγωγο της f στο ; Πότε ένα σημείο είναι βέβαιο σημείο καμπής; 3) Να διατυπώσετε τους κανόνες DeL Hospital [5] είναι σημείο καμπής της, τότε

8 3)Να διατυπώσετε τις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος 3) Να δώσετε τους τύπους της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες και της ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής 33) Να διατυπώσετε το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού Αποδείξεις ) Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό (,3,7,3) ) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι : αν f() σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ (,,7) αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ (6) () 3)Εστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής:g()=f()+c, CΙR είναι παράγουσες της f στο Δ και G F C, C κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή: (,3,,5) 4)Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α, β] Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να δείξετε ότι f (t) dt G( ) G( ) (,8,3) 5) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο o, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη f g f g στο o και ισχύει: o o o (εσπερινό,7,9) 6)Έστω η συνάρτηση f () Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R { / } f συν (εσπερινό 3,5,ομογενείς 6)) και ισχύει 7) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα και ένα εσωτερικό σημείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι f (4,,6,8) 8)Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Αν η f είναι συνεχής στο και f για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα (4,9,4) 9)Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f f Να δείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον, ώστε f τέτοιος, [6]

9 (5,,5) )Έστω η συνάρτηση f με f() Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) και ισχύει: f () (5,9) ) Έστω η συνάρτηση f R και ισχύει f,, Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (7 εσπερινά) ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f () ln, * ln (8) 3)Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν στο και ότι το f f είναι τοπικό μέγιστο της f (,6), είναι παραγωγίσιμη στο [7], * και ισχύει:, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο f στο,, τότε να αποδείξετε 4) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα οποίο, όμως, η f είναι συνεχής Αν η διατηρεί πρόσημο στο,,, τότε να αποδείξετε ότι το δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο Δεν έχουν πέσει f f (4),, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο στο 5) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πολυώνυμο, ισχύει lim P P P 6) Να αποδείξετε ότι για τα πολυώνυμα P,Q,με P P lim Q Q, Q, ισχύει 7)Έστω η σταθερή συνάρτηση f () c, c Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f (), δηλαδή c 8) Έστω η συνάρτηση f () Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f (), δηλαδή () 9) Έστω η συνάρτηση f (), παραγωγίσιμη στο )Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση lna, δηλαδή f () * Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι * και ισχύει f (), δηλαδή ( ) lna ( ) f (), είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει )Έστω δυο συναρτήσεις f,g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι f,g είναι συνεχείς στο Δ και f () g () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f () g() c,

10 Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [, ] με f () g() για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f,g, και τις ευθείες = α και = β είναι: E( ) (f () g())d ) Έστω, μια συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [, ] με για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, του άξονα και τις ευθείες = α και = β είναι: E( ) g()d g [8]

11 Ερωτήσεις Σωστού λάθους Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη ) Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο τότε f ( ) f () Σωστό Λάθος ισχύει ) Aν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο f(), και παραγωγίσιμη σε αυτό, τότε για κάθε [9], Σωστό Λάθος 3) Aν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ τότε και η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Σωστό Λάθος 4) Αν η f στο (, ) (, ) και συνεχής στο τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β) Σωστό Λάθος 5) Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα Δ και ισχύει για κάθε εδ τότε f () g( ) () f( ) g() Σωστό Λάθος 6) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και έχει κ διαφορετικές ανά δύο ρίζες τότε η κ - διαφορετικές ανά δύο ρίζες Σωστό Λάθος 7) Αν η παράγωγος f μιας συνάρτησης f έχει κ διαφορετικές ανά δυο ρίζες τότε η f έχει κ + διαφορετικές ανά δύο ρίζες Σωστό Λάθος 8) Αν η f είναι πολυωνυμική και το κ είναι ρίζα της f, της f, της f αλλά όχι της f τότε το σημείο είναι σημείο καμπής Σωστό Λάθος 9) Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο, και συνεχής στο,, τότε η f παίρνει πάντοτε στο, μία ελάχιστη τιμή Σωστό Λάθος lim f lim f ) Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο και,τότε ) Αν lim f τότε f () κοντά στο ) Αν f d 3) Η εικόνα f, τότε κατ ανάγκη θα είναι f, για κάθε f έχει τουλάχιστον Σωστό Σωστό (, f ) Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα Σωστό Λάθος 4) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα,, στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle Σωστό Λάθος, στο οποίο η 5) Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα, f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο Τότε πάντα ισχύει ότι f και σημείο 6) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα, και υπάρχει, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f f τέτοιο ώστε Σωστό 7) Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο o, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Σωστό 8) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα σημείο o, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό Σωστό Σωστό Λάθος f, Λάθος Λάθος Λάθος

12 9) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ ) Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο o, τότε ισχύει: lim f g lim f lim g ( ) ( ) ( ) ( ) o o o f() σε κάθε εσωτερικό σημείο Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος ) Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Αν για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ Σωστό Λάθος ) Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση Σωστό Λάθος 3) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο f ( ) f( ) 4) Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα οποίο όμως η f είναι συνεχήςαν στο και f,, Σωστό, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο f στο,, τότε το f είναι Λάθος τοπικό ελάχιστο της f Σωστό Λάθος 5) Μία συνάρτηση είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή:αν, τότε f) ( f () Σωστό Λάθος 6) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y = f(), όταν f είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο f Σωστό Λάθος f () lim f() 7) Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο, τότε ισχύει lim, εφόσον lim g() g() lim g 8) f : lim f () l,,, αν κ αι μό νο α ν lim f () lim f () l () Σωστό Σωστό 9) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο,τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( f g) f g 3) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Αν f Σωστό σε κάθε εσωτερικό Λάθος Λάθος Λάθος σημείο του, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Σωστό Λάθος Αν G είναι μια παράγουσα της f στο,, τότε 3) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα, β f(t)dt G( ) G( ) α Σωστό Λάθος 3) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού και ορίζονται οι συνθέσεις fog και gof, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες Σωστό 33) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και y που διχοτομεί τις γωνίες Oy ˆ και Oy ˆ [] f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία Σωστό Λάθος Λάθος

13 34) Αν υπάρχει το όριο της f στο, τότε lim k f() k lim f() και k, εφόσον f κοντά στο, µε k Σωστό Λάθος f g για 35) Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: Σωστό 36) Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε µε f f, 37) Έστω η συνάρτηση f ισχύει: H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει f g c Σωστό f () Σωστό, f, της γραφικής παράστασης 38) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ, της εφαπτομένης στο σημείο μιας συνάρτησης f, παραγωγίσιμης στο σημείο του πεδίου ορισμού της είναι C f 39) Έστω η συνάρτηση f, όπου 4) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η f είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, f τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ f Λάθος Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f 4) Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ 4) Αν η f είναι συνεχής στο, f με f και υπάρχει, ώστε Σωστό Σωστό σε κάθε εσωτερικό Σωστό f, τότε κατ ανάγκη 43) Αν υπάρχει το lim f() g() τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα lim f() και lim g() Σωστό Σωστό 44) Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f Σωστό 45) Α ν lim f() = και f κοντά στο, τότε lim f() Σωστό 46) Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει f(t) dt f() f(α) για κάθε Δ α f Σωστό 47) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος 48) Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ Σωστό Λάθος []

14 49) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o Αν η f είναι κυρτή στο και κοίλη στο ή αντιστρόφως, τότε το σημείο,f είναι, o, υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f 5) Μία συνάρτηση f: συνεπαγωγή: αν o λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, τότε f f 5) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A όταν f f για κάθε A o, o Σωστό ισχύει η (ολικό) ελάχιστο, το Λάθος Σωστό Λάθος f, Σωστό Λάθος lim f > lim g 5) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο ο και ισχύει f g κοντά στο ο, τότε 53)Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα, διάστημα (α, β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: 54) Αν, τότε ισχύει lim 55) Έστω η συνάρτηση f ισχύει: f () συν 56) Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο 57) Αν υπάρχει το 58) Ισχύει ο τύπος Σωστό και παραγωγίσιμη στο ανοικτό f(β)-f(α) f Σωστό Σωστό R / και Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε: lim k f() lim f () τότε f () κοντά στο 3 3, για κάθε o o 59) Ισχύει η σχέση f ()g ()d f ()g() f ()g()d, όπου f,g Λάθος Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος k lim f() για κάθε σταθερά k 6)Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο ο και g, τότε η συνάρτηση f g είναι Σωστό Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β] Σωστό Λάθος παραγωγίσιμη στο ο και ισχύει: f f( o)g ( o) f ( o)g( o) o g g( ) Σωστό 6) Για κάθε ισχύει ln Σωστό 6) Μια συνάρτηση f: είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η f y έχει ακριβώς μία λύση ως προς εξίσωση o Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος []

15 63) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα, τότε β f(t)dt G( ) G( ) α 64) Έστω f πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Δ και Αν lim f() τότε lim f() Αν G είναι μια παράγουσα της f στο,, Έστω επίσης f Σωστό για κάθε Σωστό 65) Αν μία συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ' ένα σημείο o, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο o Σωστό 66) Έστω η συνάρτηση f 67) Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια με πεδίο ορισμού το lim f(), lim f() οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f,,,τότε f () είναι + ή, τότε η ευθεία 68) Αν f συνάρτηση συνεχής στο και για κάθε ισχύει, f για κάθε, Σωστό λέγεται Σωστό τότε f d Σωστό 69) Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στό Δ,τότε σε κάθε εσωτερικό f σημείο του Δ Σωστό 7) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο Σωστό 7) Αν α > τότε lim α 7) Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα Σωστό Σωστό 73) Αν f, g, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α, β], τότε f()g ()d f()d g ()d 74) Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει f(t) dt f() για κάθε Δ α 75) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα, σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα, όπου Α= lim f Σωστό Σωστό, τότε το και Β= lim f Σωστό 76) Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f g για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f g c Σωστό 77) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία (παράλληλη στον ) τέμνει τη γραφική παράστασή της το πολύ σε ένα σημείο Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος [3]

16 78) Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο, και lim f,,τότε f κοντά στο Σωστό 79) Aν f είναι συνεχής συνάρτηση στο, τότε η f παίρνει στο μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Σωστό 8) Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, τότε f, για κάθε Σωστό 8) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της f 8) Αν f,g,h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h f h ( g f ) h g f (g ), τότε ορίζεται και η f h g f Σωστό και ισχύει Σωστό 83) Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του έχουν ασύμπτωτες Σωστό 84) Αν μια συνάρτηση f : A είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση ισχύει: f (f ()), A και f (f (y)) y, y f(a) Σωστό 85) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της Σωστό 86) Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ f για κάθε πραγματικό αριθμό ανάγκη θα ισχύει 87) Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β,γ Δ τότε ισχύει β γ β f()d f()d f()d α α γ Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος 88) Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες Σωστό Λάθος 89) Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους Σωστό Λάθος 9) Το ολοκλήρωμα β f()d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από α τον άξονα μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα Σωστό Λάθος,, και ένας πραγματικός 9) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής αριθμός Τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim f () lim (f () ) 9) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (α, β) και f(α) = f(β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: f (ξ) = 93) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο f f για κάθε A Σωστό Σωστό A, όταν Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος [4]

17 94) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα, και ισχύει [5] f για κάθε,, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες, και τον άξονα είναι ( ) f ()d Σωστό 95) lim Σωστό 96) Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ για κάθε πραγματικό αριθμό f ανάγκη θα ισχύει 97) Α ν = και lim f() 98) Έστω η συνάρτηση f ισχύει: f () συν f κοντά στο, τότε lim f() Σωστό Σωστό R / και Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο Σωστό 99) lim Σωστό ) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Σωστό ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα, σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα, όπου Α= lim f ) Αν lim f τότε f () κοντά στο, 3) 4) Αν f,, τότε ισχύει 5) Αν lim f ή, τότε ( ) lim f 6) Αν f συνάρτηση συνεχής στο, και για κάθε, ισχύει τότε, τότε το και Β= lim f Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος f f d Σωστό Λάθος 7) Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης Σωστό Λάθος 8) Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα και για κάθε πραγματικό αριθμό c, ισχύει ότι: cf () cf (), για κάθε Σωστό 9) Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [α, β] είναι το κλειστό διάστημα [m, M], όπου m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της Σωστό Λάθος Λάθος

18 ) Αν lim f () τότε f κοντά στο Σωστό ) Για κάθε συνάρτηση f η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C f, που βρίσκονται πάνω από τον άξονα, και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C f, που βρίσκονται κάτω από τον άξονα Σωστό f g κοντά στο o, τότε ισχύει: ) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο o, και ισχύει lim f lim g 3) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο o και f g( ) f f g f g παραγωγίσιμη στο o και ισχύει: g g 4) Έστω P(), Q() πολυώνυμα διάφορα του μηδενικού Οι ρητές συναρτήσεις o, τότε και η συνάρτηση P Q f g Σωστό είναι Σωστό, με βαθμό του αριθμητή Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος P() μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρανομαστή, έχουν πλάγιες ασύμπτωτες Σωστό Λάθος 5) Ισχύει ότι: lim Σωστό Λάθος 6) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A f (ολικό) μέγιστο το, f όταν f για κάθε A Σωστό Λάθος 7) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και - στο διάστημα αυτό Σωστό Λάθος R / και 8) Έστω η συνάρτηση f ισχύει: f () ημ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο Σωστό 9) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο Σωστό ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της f Σωστό f Λάθος Λάθος Λάθος ) Αν είναι <α< τότε Σωστό Λάθος ) Για την πολυωνυμική συνάρτηση P( ) με ισχύει: 3) Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα, οποίο όμως η f είναι συνεχήςαν είναι τοπικό μέγιστο της f 4) Ισχύει ότι: για κάθε R f στο, Σωστό Λάθος, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο f στο,, τότε το f και Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος [6]

19 5) Αν μια συνάρτηση f είναι στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τεταγμένη Σωστό 6) Αν lim f (), τότε lim f () Λάθος Σωστό Λάθος 7) Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο ισχύει: ( fg) ( ) f( ) g( ) f( )g ( ) Σωστό Λάθος 8) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα Σωστό Λάθος 9) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ Σωστό Λάθος,, Ισχύει η 3)Έστω μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ισοδυναμία lim f lim f lim f o 3) Έστω f συνάρτηση συνεχής στο Αν ισχύει, είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό,τότε 3) Για κάθε ισχύει 33) Αν f ln για κάθε, τότε f f f d για κάθε για κάθε, 34) Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού, η οποία έχει ασύμπτωτη 35) Αν f d, τότε κατ ανάγκη θα είναι f 36) Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f στο,,, για κάθε Σωστό και η συνάρτηση δεν Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό,,, είναι σταθερή για κάθε Σωστό 37) Το πεδίο ορισμού της g f αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της f, για τα οποία το f () ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Σωστό 38) Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση στο,, τότε ισχύει f d f d Σωστό 39)Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα, Αν G είναι μια παράγουσα της f στο,, Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος τότε α f(t)dt G( ) G( ) Σωστό Λάθος 4)Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχουν, με τέτοια, ώστε f f Σωστό Λάθος [7]

20 4)Αν ένα σημείο, ανήκει στη γραφική παράσταση μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης f, τότε το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση της, f Σωστό Λάθος 4)Για κάθε συνεχή συνάρτηση f :,, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο υπάρχει ακριβώς ένα τέτοιο ώστε, f 43) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f :,, αν ισχύει f d τότε 44) Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f: τότε lim f g και g:, f, αν f, αν lim f και lim g 45)Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A, B αντίστοιχα, τότε η g f f A B 46)Για κάθε συνάρτηση f: για κάθε f f, τότε Σωστό για κάθε, ορίζεται αν Σωστό, Σωστό Σωστό που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος 47)Αν είναι <α< τότε Σωστό Λάθος Ερωτήσεις Σωστού-λάθους με δικαιολόγηση ) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο, είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό» α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α ) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο,,αν για κάποιο ισχύει f,τότε το είναι θέση σημείου καμπής της f α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α) Ερωτήσεις συμπλήρωσης ) Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση: f :, f f,τότε : Για κάθε συνεχή πρόταση,αν ισχύει α) Η εξίσωση f δεν έχει λύση στο, β) Η εξίσωση f έχει ακριβώς μία λύση στο, γ) Η εξίσωση f έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο, δ) Δεν μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f» στο, [8]

21 Η θεωρία του σχολικού βιβλίου σε ερωτήσεις [9]

22 []

23 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y Το y ονομάζεται τιμή της f στο και συμβολίζεται με f Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: f : A f Το γράμμα παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α και λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της f συμβολίζεται με Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα A, λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με Είναι δηλαδή: f A f A y / y f, A D f 3 Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση συνάρτησης; Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Οy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο M,y για τα οποία ισχύει y f, δηλαδή το σύνολο των σημείων Το σύνολο των σημείων M,f, A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται με C f 4 Πότε δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες; Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει f () g() Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f g 5 Πως ορίζονται οι πράξεις των συναρτήσεων; Ορίζουμε ως άθροισμα f g, διαφορά f g, γινόμενο fg και πηλίκο f g δύο συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους (f g)() f() g(), (f g)() f() g(), f f () (fg)() f ()g(), () g g() Το πεδίο ορισμού των f g, f g και fg είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g, δηλαδή το σύνολο A και B με g f g είναι το A B, εξαιρουμένων των []

24 6Τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g; Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με gof, τη συνάρτηση με τύπο (gof )() g(f ()) Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A { A f () B} Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται αν, δηλαδή αν f (A) B f () A ΣΧΟΛΙΑ Γενικά, αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι gof και fog, τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof ), τότε ορίζεται και η (hog)of και ισχύει ho(gof ) (hog)of Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε με hogof Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις 7 Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα και πότε γνησίως μονότονη σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση f λέγεται: γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: f ( ) f ( ) (Σχ α) γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: f ( ) f ( ) (Σχ β) y f( ) f( ) Ο Δ (a) Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f Δ (αντιστοίχως f Δ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ y f( ) f( ) Ο Δ (β) []

25 8 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο και πότε ελάχιστο; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο (ολικό) μέγιστο, το f () f ( ) για κάθε A (Σχ α) Παρουσιάζει στο (ολικό) ελάχιστο, το f () f ( ) για κάθε (Σχ β) y A A A f ( ) f ( ), όταν, όταν y f( ) f() O (a) C f f() f( ) O (β) C f 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται -; Μια συνάρτηση f :A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f ( ) f ( ) Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι: Μια συνάρτηση είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε ισχύει η συνεπαγωγή: αν f ( ) f ( ), τότε f :A, A, ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f () y έχει ακριβώς μια λύση ως προς Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο y y A A B O O συνάρτηση - συνάρτηση όχι - Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση " " [3]

26 Πως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση γραφικές τους παραστάσεις; f μιας συνάρτησης f και τι γνωρίζετε για τις Έστω μια συνάρτηση Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι, τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών,, της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει f () y Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g :f (A) με την οποία κάθε αντιστοιχίζεται στο μοναδικό A για το οποίο ισχύει Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της f, A f(a) έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και f ισχύει η ισοδυναμία: f() y g(y) yf (A) f : A f (A) f (A) Αυτό σημαίνει ότι, αν η f αντιστοιχίζει το στο y, τότε η g αντιστοιχίζει το y στο και αντιστρόφως Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με f f () y g(y)= Επομένως έχουμε g y=f() f () y f (y) οπότε f (f ()), A και f (f (y)) y, y f (A) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και την ευθεία y που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ f είναι συμμετρικές ως προς Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής,, lim f αν και μόνο αν lim f lim f lim f lim f lim f limf h h lim και lim c c, τότε: Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη; Για το όριο και τη διάταξη ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν lim f (), τότε f () κοντά στο Αν lim f (), τότε f () κοντά στο [4]

27 ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο και ισχύει κοντά στο, τότε lim f () lim g() f () g() Ποιες είναι οι ιδιότητες των ορίων; Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο, τότε: lim f () g lim f () lim g() lim kf () 3 lim f ()g k lim f () για κάθε σταθερά k lim f () lim g() f () lim g lim f (), εφόσον lim g lim f () lim f () k k lim g lim f () lim f () εφόσον f () κοντά στο 7 lim f () lim f (), 3 Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πολυώνυμο P, ισχύει lim Έστω P Σύμφωνα με τις ιδιότητες ορίων, ισχύει: P P, lim P lim lim lim lim lim lim lim lim P 4 Να αποδείξετε ότι για τα πολυώνυμα P, Q,με P P lim Q Q Q, ισχύει Είναι P lim P P lim Q lim Q Q 5 Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής Έστω οι συναρτήσεις f,g,h Αν h() f () g() κοντά στο και lim h() lim g(),τότε και lim f () [5]

28 6 Ποια είναι τα βασικά τριγωνομετρικά όρια στο ; lim για κάθε lim lim lim (η ισότητα ισχύει μόνο για ) 7 Ποιες είναι οι ιδιότητες του μη πεπερασμένου ορίου ; 3 Αν lim f () lim f () lim f () lim f () lim f () lim f () αν 4 Αν αν 5 Αν 6 Αν αν lim f (), τότε lim f () τότε lim f () lim f () lim f () f () f () τότε lim f () τότε lim f () ή, τότε κοντά στο κοντά στο, ενώ lim f () lim f () και f () κοντά στο lim f () και f () κοντά στο, τότε, τότε, ενώ lim, ενώ f () lim f () 7 Αν 8 Αν lim f () ή, τότε lim f (), τότε lim lim f () f () Συνέπειες lim και γενικά lim, lim και γενικά lim,, ενώ lim και γενικά lim,, f,, Δηλαδή δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της [6]

29 8 Ποια είναι τα όρια πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης στο ; Για την πολυωνυμική συνάρτηση P με, ισχύει και lim P lim lim P lim Για τη ρητή συνάρτηση f lim f lim,,, ισχύει: και lim f lim 9 Ποια είναι τα όρια της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης στα άκρα του πεδίου ορισμού τους; Αν, τότε: Αν, τότε:, lim, limlog lim,, limlog lim lim και lim log και lim log 3 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο του πεδίου ορισμού της; Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο συνεχής στο, όταν lim f () f ( ) του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η f είναι 3 Πότε μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής ; Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέμε ότι είναι συνεχής συνάρτηση 3 Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο (α, β); Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, 33 Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο, ; Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (, ) και επιπλέον lim f () f ( ) και lim f () f ( ) 34 Αν δύο συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο, τότε ποιες άλλες συναρτήσεις που [7] ορίζονται μέσω των f,g είναι συνεχείς στο ; Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο, τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις: f g, cf, όπου c, f g, f g, f και f

30 Επιπλέον αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f ( ) 35 Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να «δώσετε» την γεωμετρική του ερμηνεία Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f ( ) f ( ), τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα f ( ) f () Γεωμετρική ερμηνεία (, ) (, ) y f(β) O f(a) a Α(α,f(α)) β B(β,f(β)) Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [, ] Επειδή τα σημεία A(,f ( )) και βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο B(,f ( )) ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ (Σχ ) y y O a f()> β O a f()< β (α) (β) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της y ρ + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: [8]

31 α)βρίσκουμε τις ρίζες της f β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα 36 Να διατυπώσετε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών και να το αποδείξετε Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος, ώστε f ( ) f ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (, ) Ας υποθέσουμε ότι Τότε θα ισχύει f ( ) f ( ) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() f (), [, ], παρατηρούμε ότι: y η g είναι συνεχής στο [, ] και g( )g( ), f(β) B(β,f(β)) αφού g( ) f ( ) και η g( ) f ( ) y=η Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, f(a) υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε g( ) f ( ), Α(α,f(α)) οπότε f ( ) O a β 37 Τι γνωρίζετε για την εικόνα ενός διαστήματος Δ μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης; f Η εικόνα διάστημα ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι 38 Να διατυπώσετε για μια συνεχή συνάρτηση το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [,, ] τότε η f παίρνει στο [, ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή, υπάρχουν, [, ] τέτοια, ώστε, αν m f ( ) και M f ( ), να ισχύει ( ), m f M, για κάθε [9]

32 ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [, ] είναι το κλειστό διάστημα m,m, όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Τέλος, αποδεικνύεται ότι: Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα lim f () και B lim f () Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (B,A) (, ) (, ) όπου,, τότε το σύνολο τιμών της στο [3]

33 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 39 Tι ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της A(, f ( )) ; Έστω f μια συνάρτηση και A(,f ( )) ένα σημείο της C f Αν υπάρχει το f () f ( ) και είναι lim ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A(,f ( )) είναι f () f ( ) y f, όπου lim C f 4 Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο ορισμού της; του πεδίου Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο f () f ( ) το lim και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο f () f ( ) f ( ) lim και συμβολίζεται με του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει f Δηλαδή: 4 Πότε ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κοντά στο t ; Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο ενώ, όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά κοντά στο t t ισχύει ισχύει S(t) S(t ), οπότε είναι (t ), t t S(t) S(t ), οπότε είναι (t ) t t 4 Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο είναι και συνεχής στο σημείο αυτό, τότε Για έχουμε f () f ( ) f () f ( ) ( ), οπότε f () f ( ) f () f ( ) lim[f () f ( )] lim ( ) lim lim ( ) f ( ) αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως, lim f () f ( ), δηλαδή η f είναι συνεχής στο [3]

34 ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, δεν ξέρουμε αν είναι παραγωγίσιμη στο 43 Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α; H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A 44 Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα της;, του πεδίου ορισμού Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο (, ), του πεδίου ορισμού της, όταν είναι 45 Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα της;, του πεδίου ορισμού Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα παραγωγίσιμη στο, και επιπλέον ισχύει, f () f ( ) lim του πεδίου ορισμού της, όταν είναι και f () f ( ) lim 46 Πως ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t ; Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης st τη χρονική στιγμή t Δηλαδή t st 47 Τι ονομάζεται κλίση της f στο και ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο ; Κλίση της f στο ή συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: y f f Cf στο 48 Ποια συνάρτηση ονομάζεται πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης f; f, ονομάζεται το Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α το σύνολο των σημείων του Α στο οποίο αυτή είναι παραγωγίσιμη Αντιστοιχίζοντας κάθε A στο f, ορίζουμε τη συνάρτηση f : A f η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f [3]

35 49 Έστω η σταθερή συνάρτηση, c Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f (), δηλαδή f () c (c) Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει: f () f ( ) c c f () f ( ) Επομένως, lim, δηλαδή (c) 5 Έστω η συνάρτηση στο και ισχύει f ( ) f( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, δηλαδή () Πράγματι, αν f () f ( ) είναι ένα σημείο του Επομένως,, τότε για f () f ( ) ισχύει: lim lim, δηλαδή () 5 Έστω η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο Πράγματι, αν f (),, Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι και ισχύει f (), δηλαδή είναι ένα σημείο του, τότε για ( ) ισχύει: f () f ( ) ( )( ) οπότε f () f ( ) lim lim ( ) δηλαδή ( ),, 5 Έστω η συνάρτηση f ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει f( ), δηλαδή Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του,, τότε για ισχύει: f () f ( ) ( )( ), ( )( ) ( )( ) οπότε f () f ( ) lim lim, δηλαδή ( ) f () f () Στο είναι lim lim lim, δηλαδή η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο [33]

36 53 Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (f g) ( ) f ( ) g ( ) f g f,g Για, ισχύει: (f g)() (f g)( ) f () g() f ( ) g( ) f () f ( ) g() g( ) Επειδή οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: (f g)() (f g)( ) f () f ( ) g() g( ) lim lim lim f ( ) g ( ), Δηλαδή (f g) ( ) f ( ) g ( ) 54 Έστω η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο f ( ) *, * Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι και ισχύει f ( ), δηλαδή ( ) Πράγματι, για κάθε f ( ) έχουμε: () ( ) ( ) ( ) 55 Έστω η συνάρτηση f ( ) εφ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο { συν } και ισχύει f( ) συν, δηλαδή (εφ ) συν Πράγματι, για κάθε έχουμε: ημ (ημ) συν ημ(συν) συνσυν ημημ συν ημ (εφ) συν συν συν συν συν 56 Πότε η συνάρτηση διάστημα Δ; f g είναι παραγωγίσιμη στο και πότε σε ένα Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η f είναι παραγωγίσιμη στο g( ), τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει (f g) ( ) f (g( )) g ( ) Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g( ), τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει Δηλαδή, αν u g, τότε f g f gg f u f u u [34]

37 57 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει ( ) f, δηλαδή f ( ) ( ), είναι παραγωγίσιμη στο (, ) Πράγματι, αν y e ln και θέσουμε u ln y (e ) e u e u u ln, τότε έχουμε u y e Επομένως, 58 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f( ) ( ) f ln, δηλαδή ( ) ln, είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Πράγματι, αν ln y e και θέσουμε u ln u u ln y (e ) e u e ln ln, τότε έχουμε f ( ) f ( ) Επομένως, 59 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) ln, ισχύει (ln ) * είναι παραγωγίσιμη στο * και Πράγματι αν αν, τότε (ln ) (ln ), ενώ, τότε ln ln( ), οπότε, αν θέσουμε y ln( ) και u, έχουμε y ln u Επομένως, y (ln u) u ( ) και άρα (ln ) u 6 Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο συνδέονται με τη σχέση (, ), τι ονομάζουμε Αν δύο μεταβλητά μεγέθη,y συνδέονται με τη σχέση y f (), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο παράγωγο f ( ) ; την 6 Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, ) και f ( ) f ( ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ) y Μ(ξ,f(ξ)) Α(α,f(α)) Β(β,f(β)) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο M(,f ( )) να είναι παράλληλη στον άξονα των O α ξ ξ β [35]

38 6 Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης τιμής και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε: (, ) f ( ) f ( ) f ( ) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M(,f ( )) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ y Ο M(ξ,f(ξ)) A(a,f(a)) a ξ ξ β Β(β,f(β)) 63 Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η f είναι συνεχής στο Δ και για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, να αποδείξετε ότι:η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ f( ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε ισχύει f ( ) f ( ) Πράγματι Αν, τότε προφανώς f ( ) f ( ) Αν, τότε στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής f ( ) f ( ) Επομένως, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε f ( ) () Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ( ),οπότε, λόγω της (), είναι f ( ) f ( ) Αν, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f ( ) f ( ) Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f ( ) f ( ), 64 Αν για μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σύνολο Α που αποτελείται από ένωση διαστημάτων, είναι παραγωγίσιμη στο Α και f( ) για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Α, τότε η f είναι σταθερή στο Α; Δώστε παράδειγμα Έστω η συνάρτηση, f () Παρατηρούμε ότι, αν και f () για κάθε, (,) (, ), εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο (,) (, ) [36]

39 65Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι είναι συνεχείς στο Δ και f ( ) g( ) για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f ( ) g( ) c f, g f, g Η συνάρτηση f g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει (f g) () f () g () Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση f g είναι σταθερή στο Δ Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει f () g() c, οπότε f () g() c y y=g()+c y=g() O 66 Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ Αν σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ f( ) f( ) Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f () Έστω με Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ) Πράγματι, στο διάστημα ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει τέτοιο, ώστε, (, ) [, ] f ( ) f ( ) f ( ), οπότε έχουμε f ( ) f ( ) f ( )( ) Επειδή f ( ) και, έχουμε f ( ) f ( ), οπότε f ( ) f ( ) Στην περίπτωση που είναι f () εργαζόμαστε αναλόγως ΣΧΟΛΙΟ Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ 67 Να δώσετε τους ορισμούς για το τοπικό μέγιστο, το τοπικό ελάχιστο και το τοπικό ακρότατο Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει, τέτοιο ώστε f () f ( ) για κάθε A (, ) Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f ( ) τοπικό μέγιστο της f Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει, τέτοιο ώστε f () f ( ), για κάθε A (, ) Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το f ( ) τοπικό ελάχιστο της f Τα τοπικά μέγιστα και τα τοπικά ελάχιστα της f λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής 68 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: f ( ) η f [37]

40 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει τέτοιο, ώστε (, ) και f () f ( ), για κάθε (, ) () Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει f () f ( ) f () f ( ) f ( ) lim lim Επομένως, αν (, ), τότε, λόγω της (), θα είναι f () f ( ) f ( ) lim () αν (, ), τότε, λόγω της (), θα είναι f () f ( ) f ( ) lim Έτσι, από τις () και (3) έχουμε (3) f ( ) f () f ( ), οπότε θα έχουμε f () f ( ), οπότε θα έχουμε Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη y f( ) O δ +δ 69 Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων και ποια σημεία ονομάζονται κρίσιμα; Οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται 3 Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της) Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ 7 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι: i) Αν f( ) στο (, ) και f( ) στο (, ), τότε το f( ) είναι τοπικό μέγιστο της f ii) Αν f( ) στο (, ) και f( ) στο (, ), τότε το f( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Επειδή f () για κάθε (, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] Έτσι έχουμε f () f ( ), για κάθε (, ] () Επειδή f () για κάθε (, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) Έτσι έχουμε: f () f ( ), για κάθε [, ) () Επομένως, λόγω των () και (), ισχύει: f () f ( ), για κάθε (, ), που σημαίνει ότι το f ( ) είναι μέγιστο της f στο (, ) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής [38]

41 ii) Εργαζόμαστε αναλόγως 7 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο f( ) του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), να αποδείξετε ότι το δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (, ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ f( ) Έστω ότι f (), για κάθε (, ) (, ) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα και Επομένως, για ισχύει f ( ) f ( ) f ( ) Άρα το δεν είναι τοπικό ακρότατο της f Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Πράγματι, έστω, (, ) με Αν, (, ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο, θα ισχύει f ( ) f ( ) Αν, [, ), επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο, θα ισχύει f ( ) f ( ) Τέλος, αν, τότε όπως είδαμε f ( ) f ( ) f ( ) Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f ( ) f ( ), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Ομοίως, αν f () για κάθε (, ) (, ) [, ) (, ] [, ) f ( ) (, ) 7 Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, πότε θα λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω και πότε προς τα κάτω; (, ] Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ 73 Με βάση ποιο θεώρημα εξετάζουμε την κυρτότητα μιας συνάρτησης f; Ισχύει το αντίστροφό του; Δώστε παράδειγμα Έστω μια συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Αν f () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ y Αν f () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει Για παράδειγμα, 4 3 έστω η συνάρτηση f () (Σχ 4) Επειδή η f () 4 είναι γνησίως αύξουσα στο 4, η f () είναι κυρτή στο O Εντούτοις, η f () δεν είναι θετική στο αφού f () y= 4 4 [39]

42 74 Ποια είναι η σχετική θέση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f με μία εφαπτομένη της με βάση τη κυρτότητα της συνάρτησης f; Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω (αντιστοίχως πάνω ) από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους 75 Πότε το σημείο Α( της f;, f ( ) ) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του Αν η f είναι κυρτή στο και κοίλη στο, ή αντιστρόφως, και η έχει εφαπτομένη στο σημείο A(,f ( )), τότε το σημείο A(,f ( )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f C f (, ) (, ) 76 Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής; Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και το σημείο, f ( ) σημείο καμπής της, τότε ποια σχέση ισχύει για τη δεύτερη παράγωγο της f στο Πότε ένα σημείο είναι βέβαιο σημείο καμπής; είναι Ο ι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω ν κ α μ π ή ς μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι: i) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f μηδενίζεται, και ii) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f Αν το A(,f ( )) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε f ( ) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα (, ) και (, ) Αν η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του και ορίζεται εφαπτομένη της στο A(,f ( )) τότε το A(,f ( )) είναι σημείο καμπής C f 77 Πότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f; ; Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim f (), lim f () είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f ή, τότε η ευθεία λέγεται 78 Πότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο (αντιστοίχως στο ); Αν lim f () (αντιστοίχως lim f () ), τότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο (αντιστοίχως στο ) [4]

43 79 Πότε η ευθεία λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο, (αντιστοίχως στο ); y Η ευθεία y, αν lim[f () ( )], αντιστοίχως λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο lim[f () ( )], αντιστοίχως στο ΣΧΟΛΙΑ Αποδεικνύεται ότι: Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του δεν έχουν ασύμπτωτες Οι ρητές συναρτήσεις P() Q(), με βαθμό του αριθμητή P() μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f αναζητούμε: Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f δεν ορίζεται Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής Στο,, εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (, ) 8 Να διατυπώσετε τους κανόνες de L Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Αν lim f (), lim g(), {, } και υπάρχει το f () f () τότε: lim lim g() g () ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Αν lim f (), lim g(), {, } και υπάρχει το άπειρο), τότε: f () f () lim lim g() g () (, ), αντιστοίχως f () lim (πεπερασμένο ή άπειρο), g () f () lim (πεπερασμένο ή g () [4]

44 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Τι ονομάζετε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ; Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F () f (), για κάθε 8 Να αποδείξετε ότι: Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής G( ) F( ) c,, είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( ) F( ) c, Κάθε συνάρτηση της μορφής G() F() c, όπου c, είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού G () (F() c) F () f (), για κάθε Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ Τότε για κάθε ισχύουν F () f () και G () f (), οπότε G () F (), για κάθε Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G() F() c, για κάθε c 83 Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ), τον άξονα των και τις ευθείες και E 3 y είναι y= 5 y y= 6 c O Ω O v Μια μέθοδος να προσεγγίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν είναι η εξής: Χωρίζουμε το διάστημα [,] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους, με άκρα τα σημεία:,,,,, Σχηματίζουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτά και ύψη την ελάχιστη τιμή της f σε καθένα από αυτά (Σχ 6) Μια προσέγγιση του εμβαδού που ζητάμε είναι το άθροισμα,, των εμβαδών των παραπάνω ορθογωνίων Δηλαδή, το: v v v [4]

45 f () f f f ( ) ( ) 3 3 [ ( ) ] Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις y τα παραπάνω υποδιαστήματα και ύψη την y= μέγιστη τιμή της f σε καθένα απ αυτά (Σχ 7), τότε το άθροισμα f f f των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού Είναι όμως, f f f v v v v ( )( ) 3 3 ( ) Το ζητούμενο, όμως, εμβαδόν Ε βρίσκεται μεταξύ των και E Δηλαδή ισχύει οπότε lim lim Επειδή lim lim, έχουμε 3 3 O 7, 84 Να δώσετε τον ορισμό του εμβαδού χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση f, τον άξονα και τις ευθείες = α και = β μιας συνάρτησης f με Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω εργαζόμαστε ως εξής: Χωρίζουμε το διάστημα [, ] σε ν ισομήκη y υποδιαστήματα, μήκους, με τα σημεία y=f() Σε κάθε υποδιάστημα [, ] επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο και σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν f(ξ ) f(ξ ) Ω f(ξ k ) f(ξ ν ) βάση και ύψη τα f ( ) Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι O α= ξ ξ k- ξ k Δ k βa v ν- ξ ν ν=β S f( ) f( ) f( ) [f( ) f( )] Υπολογίζουμε το lim S [43]

46 Αποδεικνύεται ότι το σημείων lim S υπάρχει στο και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επιπέδου χωρίου Ω και συμβολίζεται με Είναι φανερό ότι ( ) 85 Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνεχούς συνάρτησης f στο, Με τα σημεία χωρίζουμε το διάστημα [, ] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα [, ], για κάθε {,,, }, και σχηματίζουμε το άθροισμα y O a= ξ ξ k v- ξ v v =β ξ y=f() S f( ) f( ) f( ) f( ) το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής: () S f ( ) Το όριο του αθροίσματος S, δηλαδή το lim ( ) ν f ξκ Δ () υπάρχει στο και είναι ν κ ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων Το παραπάνω όριο () ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης f από το α στο β, συμβολίζεται με β f d α και διαβάζεται ολοκλήρωμα της f από το α στο β Δηλαδή, f ()d lim f ( ) Από τους ορισμούς του εμβαδού και του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει ότι: Αν f () για κάθε [, ], τότε το ολοκλήρωμα f ()d δίνει το εμβαδόν E( ) του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα και τις ευθείες β α και Δηλαδή, f d ΕΩ ( ) Επομένως Αν f (), τότε f ()d y O y=f() α Ω β 86 Ποιες οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος; ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω f,g σ υ ν ε χ ε ί ς συναρτήσεις στο [, ] και, f ()d f ()d [f () g()]d f ()d g()d [44] Τότε ισχύουν

47 και γενικά [ f () g()]d f ()d g()d ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν η f είναι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστημα Δ και,,, τότε ισχύει f ()d f ()d f ()d ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο Έστω f μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] Αν f () η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε f ()d για κάθε [, ] και 87 Ποιος είναι ο τύπος της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης; όπου f,g f ()g ()d [f ()g()] f ()g()d, είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [, ] 88 Ποιος είναι ο τύπος της ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής; όπου f,g f (g())g ()d f (u)du, u είναι συνεχείς συναρτήσεις, u g(), du g ()d και u g( ), u g( ) u 9 Να διατυπώσετε το θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού και να το αποδείξετε Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [, ] Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [, ], τότε f (t)dt G( ) G( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση F() f (t)dt είναι μια παράγουσα της f στο [, ] Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο [,, ] θα υπάρχει c τέτοιο, ώστε G() F() c () Από την (), για, έχουμε G( ) F( ) c f (t)dt c c, οπότε c G( ) Επομένως, G() F() G( ), οπότε, για, έχουμε G( ) F( ) G( ) f (t)dt G( ) και άρα f (t)dt G( ) G( ) 9 Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [, ] με f ( ) g( ) για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f,g, και τις ευθείες = α και = β είναι: E( ) ( f ( ) g( )) d [45]

48 y y=f() y y=f() y Ω y=g() Ω y=g() Ω O (α) Παρατηρούμε ότι O (β) ( ) ( ) ( ) f ()d g()d (f () g())d E( ) (f () g())d Επομένως, 9 Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f,g, και τις ευθείες = α και = β είναι: E( ) ( f ( ) g( )) d Επειδή οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο [, ], θα υπάρχει αριθμό c τέτοιος ώστε f() c g() c, για κάθε [, ] Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (), έχουμε: y O (γ) y y=f()+c y=f() Ω Ω α O β y=g()+c y=g() (α) α O β Άρα ( ) ( ) [(f () c) (g() c)]d (f () g())d E( ) (f () g())d (β) 93 Έστω, μια συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [, ] με g για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, του άξονα και τις ευθείες = α και = β είναι: E( ) g( ) d Επειδή ο άξονας είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (), έχουμε E( ) (f () g())d [ g()]d g()d Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g() για κάθε [, ], y O α Ω β τότε E( ) g()d y=g() [46]

49 Θέματα πανελλαδικών εξετάσεων ανά κεφάλαιο [47]

50 [48]

51 Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρεθούν τα όρια: β) Να βρεθούν τα, Συναρτήσεις Όρια lim f, lim f 8 6, α ln 5 e e, 5, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο =5 γ) Για τις τιμές των α,β του ερωτήματος Β) να βρείτε το lim f, Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f () 3, α) Να βρείτε την τιμή του α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο = β) Να υπολογίσετε τα όρια lim f (),limf () Εσπερινά f,, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός α) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο 3Δίνεται η συνάρτηση Αν β) Να αποδείξετε ότι η f είναι - γ) Να αποδείξετε ότι η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι η f, 3 3 δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και 3 τότε: Παράγωγος και Γραφική παράσταση f 3, Ομογενείς 6 4 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f β) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια [49]

52 i) limf ii) 3 limf iii) 5 limf iv) 7 limf v) limf 9 Για τα όρια που δεν υπάρχουν να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια i) lim f ii) lim 6 f iii) limf f 8 δ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας ε) Να βρείτε τα σημεία Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας f του πεδίου ορισμού της f για τα οποία ισχύει Ρυθμός μεταβολής Επαναληπτικές 6 5Η κατανάλωση σε λίτρα ανά χιλιόμετρα ενός κινητήρα, όταν αυτός λειτουργεί με χιλιάδες στροφές ανά λεπτό, δίνεται από τη συνάρτηση 3 f (), <<5 9 3 α) Να βρείτε την τιμή του για την οποία έχουμε τη μικρότερη κατανάλωση, καθώς επίσης και πόση είναι η κατανάλωση αυτή β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της κατανάλωσης του αυτοκινήτου για και για (δηλαδή για στροφές ανά λεπτό και 4 στροφές ανά λεπτό αντίστοιχα) Εσπερινά Εφαπτομένη 4 6 Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, για την οποία ισχύει: f () e lim 5 α) Να βρείτε το f() β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο = h e f, να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και γ) Αν h στα σημεία,f και,h 7Έστω η συνάρτηση f :, με f ln αντίστοιχα είναι παράλληλες Έστω c > και έστω ότι η ευθεία y c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f στα Α και Β είναι κάθετες μεταξύ τους,, α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι: i συνεχής στο ii παραγωγίσιμη στο 8Έστω η συνάρτηση f β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A, Εσπερινά 8 9Δίνεται η συνάρτηση f :, με, η οποία είναι συνεχής στο, στο, Αν ισχύει f 5 και f 5, να αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, και παραγωγίσιμη [5]

53 β) Υπάρχει σημείο M,f : 5y γ) Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή Δίνεται η συνάρτηση f: α) Να αποδείξετε ότι β) Αν στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι κάθετη στην ευθεία 5, με f και ότι Εσπερινά 3,,, να αποδείξετε η εξίσωση γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο δ) Αν 5 4 και Δίνεται η συνάρτηση f () f, να βρείτε τα α και β, η οποία είναι συνεχής στο έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο, R,,f Εσπερινά α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f β) Να αποδείξετε ότι f f () για κάθε f ( ) γ) Να υπολογίσετε το όριο im δ) Να βρείτε τις εξισώσεις όλων των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που διέρχονται από το σημείο (3, ) Εσπερινά 6 ΘRolle ΘΜT Συνέπειες ΘΜΤ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο να δείξετε ότι: α) Η ευθεία y 3 τέμνει τη C f β) υπάρχει,, τέτοιο ώστε f, και ισχύει για κάθε, σ ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη, Αν f και f 4, 3 4 f f f f M,f να είναι παράλληλη γ) υπάρχει,, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο στην ευθεία y 3Έστω η συνάρτηση f :, η οποία είναι συνεχής στο, f α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, τέτοια ώστε : f f 4, παραγωγίσιμη στο, και f, 4Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με f για κάθε α) Να δείξετε ότι η f είναι - [5]

54 β) Αν η C f διέρχεται από τα σημεία f 4 f 8 A,5 και B, γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της στην ευθεία ε: y Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: κάθε α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση β) Να αποδείξετε ότι f με C f f, να λύσετε την εξίσωση, στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη για την οποία ισχύει ότι: g f είναι σταθερή στο, γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο, ώστε 5 f f για 3, Μονοτονία - Άκρότατα 6Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι e f, f: τέτοια, ώστε: f f e για κάθε β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f με 7Tη χρονική στιγμή t χορηγείται σ έναν ασθενή ένα φάρμακο Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο αίμα του t ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση f t,t,, και t ο χρόνος σε ώρες Η μέγιστη τιμή της t συγκέντρωσης είναι ίση με 5 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου α) Να βρείτε τις τιμές των α, β β) Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά 8Φάρμακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά Έστω f t η συνάρτηση που περιγράφει τη συγκέντρωση του φαρμάκου στον οργανισμό του ασθενούς μετά από χρόνο t από τη χορήγησή του, όπου t Αν ο ρυθμός 8 μεταβολής της είναι t f t f t α) Να βρείτε τη συνάρτηση β) Σε ποια χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φαρμάκου, η συγκέντρωση του στον οργανισμό γίνεται μέγιστη; γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγμή t 8υπάρχει ακόμα επίδραση του φαρμάκου στον οργανισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t η επίδρασή του στον οργανισμό έχει μηδενιστεί (Δίνεται ln,4 ) [5]

55 9Η τιμή Ρ (σε χιλιάδες δραχμές) ενός προϊόντος, t μήνες μετά την εισαγωγή του t 6 στην αγορά, δίνεται από τον τύπο Pt 4 5 t 4 α) Να βρείτε την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά β) Να βρείτε το χρονικό διάστημα, στο οποίο η τιμή του προϊόντος συνεχώς αυξάνεται γ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τιμή του προϊόντος γίνεται μέγιστη δ) Να δείξετε ότι η τιμή του προϊόντος μετά από κάποια χρονική στιγμή συνεχώς μειώνεται, χωρίς όμως να μπορεί να γίνει μικρότερη από την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά Για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών 3 3 f f f 6 για κάθε 3, ισχύει ότι:,όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα (,) f ( ) 3 α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f,, είναι γνησίως αύξουσα 3 β) Η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα, Ένα τουριστικό λεωφορείο έχει να διανύσει απόσταση 65 km με σταθερή ταχύτητα km την ώρα Σύμφωνα με τον Κώδικα Οδικής Κυκλοφορίας το μέγιστο όριο ταχύτητας είναι 9 km την ώρα Τα καύσιμα κοστίζουν 6 δραχμές το λίτρο, η ωριαία κατανάλωση είναι 5,5 λίτρα και η αμοιβή του οδηγού είναι δραχμές την ώρα α)να αποδείξετε ότι το συνολικό κόστος Κ () της διαδρομής είναι: 8 K() 5, 9 9 β) Να βρείτε την ταχύτητα του λεωφορείου για την οποία το κόστος της διαδρομής γίνεται ελάχιστο Εσπερινά 3Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι - α) Να δείξετε ότι η g είναι - g f 3 g f έχει ακριβώς δύο θετικές και μία β) Να δείξετε ότι η εξίσωση: αρνητική ρίζα 4Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f f f για κάθε και α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα f γ) Έστω η συνάρτηση g Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g f στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45 ο 3 [53]

56 k,, της οποίας η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο 4 σημείο έχει συντελεστή διεύθυνσης α) Να αποδείξετε ότι k 4 5Δίνεται η συνάρτηση f O, β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ολικό μέγιστο, το οποίο και να βρείτε γ) Να αποδείξετε ότι στο διάστημα,4 υπάρχει μοναδικό σημείο ξ, στο οποίο η εφαπτομένη της f είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, όπου και A,f 6Δίνεται η συνάρτηση f ln ln, > α) i Να αποδείξετε ότι: ln ln, > [54] B 4,f 4 ii Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα β) Να υπολογίσετε το lim ln γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός 7 ίνεται η συνάρτηση f, Εσπερινά 5, ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει ακριβώς ρίζες στο πεδίο ορισμού της στο τέτοιος ώστε 6 γ) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σημείο με και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης B,e με ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α είναι ρίζα της εξίσωσης A,ln g ln h e f δ) Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες 6 3 8Για κάθε k δίνεται η συνάρτηση f k, α) Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(,f()) είναι παράλληλη στον άξονα β) Για k = 3 i να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, ii να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα iii για κάθε 4,5 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = α 5 έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα Εσπερινά 6, 9Δίνεται μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει: α) Να αποδείξετε ότι η f είναι - f, β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα στο γ) Αν για τη συνάρτηση g: ισχύει ότι f g 3 f 3 3 f f 8 8 στο σημείο για κάθε, για κάθε,να βρείτε το στο οποίο η g παρουσιάζει ελάχιστο Εσπερινά 7 3Έστω συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει f για κάθε α) Να βρείτε το f β) Να αποδείξετε ότι f 3 για κάθε, γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο, Εσπερινά 7

57 3Δίνεται η συνάρτηση f α) Να αποδείξετε ότι f 5 e ln, 4, f 4 και 5 f e β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 3 3Δίνεται η συνάρτηση f 3, έχει ακριβώς δύο ρίζες στο,, M,f Ομογενείς 7 α) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο, να βρείτε την τιμή του λ β) Για i να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλες στην ευθεία y 9 iii να αποδείξετε ότι η εξίσωση f, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 3 33Δίνεται η συνάρτηση f 3, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f γ) Να λύσετε την εξίσωση f 8 f 6 έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα f δ) Να βρείτε το όριο lim Εσπερινά 34Δίνεται η συνάρτηση f 3 9 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β) Να βρείτε την παράγωγο της f: i στο διάστημα 3,3 ii στο 3 γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f Εσπερινά 35Δίνεται η συνάρτηση f, όπου, 5 A, δέχεται εφαπτομένη της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι α) Να αποδείξετε ότι και 4 β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f,, Εσπερινά 9 ακέραιοι αριθμοί Η γραφική παράσταση της f στο σημείο της 3 δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: k 4k 4 () είναι ισοδύναμη με την f 5 8 k, k και στη συνέχεια να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης () για τις διάφορες τιμές του k Εσπερινά 36Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύουν: f f, lim και f f f f - 3 α) Να αποδείξετε ότι και β) Αν η g f, και ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα,, να βρείτε τον αριθμό α [55]

58 γ) Για να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο [56], τέτοιο ώστε f δ) Για να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο ξ του προηγούμενου ερωτήματος Εσπερινά 37Έστω f: μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f f για κάθε και α) Να βρείτε την f β) Αν f, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα f 4 3 γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f f 3 3 μια τουλάχιστον ρίζα στο,4 δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο Δίνεται η συνάρτηση f με,4 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο f 3, και Εσπερινά 3 α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα και τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως φθίνουσα β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f η οποία: i) είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση y 4 3 και ii) η τετμημένη του σημείου επαφής της με την γραφική παράσταση της f είναι ακέραιος αριθμός g f, έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση θέση τοπικού μεγίστου Εσπερινά 4 3 f,, 39Δίνεται η συνάρτηση α) Να υπολογίσετε την τιμή του α, ώστε η ευθεία y 4 να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο A,f Στη συνέχεια για β) i Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f 3 f ii Να λύσετε στο την εξίσωση f γ) Να υπολογίσετε το όριο lim Εσπερινά 4 f, α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f β) Να αποδείξετε ότι f f για κάθε 4Δίνεται η συνάρτηση f γ) Να υπολογίσετε το όριο lim δ) Να βρείτε τις εξισώσεις όλων των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που διέρχονται από το σημείο 3, Εσπερινά 5 4Δίνεται η συνάρτηση f, α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, όπου g f 3 γ) Να λύσετε την εξίσωση f f,,

59 δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f 5 στο σημείο,f να διέρχεται από το σημείο M, Εσπερινά 5 4Δίνεται η συνάρτηση, ln f,, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο διάστημα, β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε δ) Να υπολογίσετε το όριο f e lim e f ισχύει f f ln Ομογενείς 6 43Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος με πλευρά cm Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓΔ: α) Να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ συναρτήσει του β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΕZΗΘ δίνεται από τη συνάρτηση: f 4 4, γ) Nα βρείτε για ποιες τιμές του το εμβαδόν του τετραγώνου ΕΖΗΘ γίνεται ελάχιστο και για ποιες μέγιστο, f του δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει, για το οποίο το εμβαδόν αντίστοιχου τετραγώνου ΕΖΗΘ ισούται με o 4e cm Κυρτότητα 6 Επαναληπτικές,Ομογενείς,Εσπερινά Έστω η συνάρτηση f 3,, Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του α η γραφική παράσταση της f έχει μόνο ένα σημείο καμπής, το οποίο για τις διάφορες τιμές του α ανήκει σε παραβολή 45Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α,β) Αν f f,,, f f, να ισχύει και υπάρχουν αριθμοί, έτσι ώστε αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f στο διάστημα, β)υπάρχουν σημεία,, τέτοια ώστε f και f γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f 3 f 46Δίνεται η συνάρτηση ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατά της β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f 4 [57]

60 ln,, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της 47Δίνεται η συνάρτηση f γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης για όλες τις τιμές του πραγματικού αριθμού α f f f για κάθε 8 δ) Να αποδείξετε ότι 48Δίνεται η συνάρτηση f ln α) Αν f β) Για e,,, για κάθε, να αποδείξετε ότι e i να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή ii να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, iii αν,,,, να αποδείξετε ότι η εξίσωση, με e και γνησίως αύξουσα στο, f f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο 9 49Δίνεται η συνάρτηση f ln e, α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη f f ln γ) Να αποδείξετε ότι:, για κάθε R, Ομογενείς 5Έστω η παραγωγίσιμη στο διάστημα, συνάρτηση f με f 3 και η συνάρτηση g f,, με g() -3,,,όπου Δίνεται επιπλέον ότι η παράγωγος της f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν κοινό σημείο με τετμημένη και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό β) Να δείξετε ότι g και ότι η κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη είναι η y 3 f,, έχει μοναδική ρίζα το γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση, δ) Να δείξετε ότι f 3, για κάθε, Εσπερινά f 5Δίνεται η συνάρτηση f ln, α) Να αποδσείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο κυρτότητα, και να μελετήσετε την f ως προς τη β) Να βρείτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό α τέτοιο, ώστε στο διάστημα, 4 f f 4 να έχει μια τουλάχιστον λύση γ) Να λύσετε στο διάστημα, την ανίσωση ln 5Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, για την οποία ισχύουν: f e f για κάθε και f e α) Να αποδείξετε ότι f, e η εξίσωση Ομογενείς 3 [58]

61 β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα, γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αριθμών e έχει ακριβώς τρείς ρίζες στο σύνολο των πραγματικών δ) Δεδομένου ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα, εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της f e 3e για κάθε, να βρείτε την εξίσωση της,f και να αποδείξετε ότι: Ομογενείς 5 53α) Να λύσετε την εξίσωση e -, β) Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:r R που ικανοποιούν την σχέση f e κάθε γ) Αν και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας f e -, να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή = - για δ) Αν f είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ3, να λυθεί η εξίσωση: f 3 f f 3 f όταν, 6 Ασύμπτωτες- De l Hospital 54Έστω f,g : συνεχείς συναρτήσεις με f()-g()= - 4 για κάθε Έστω ότι η ευθεία y 3 7 ασύμπτωτη της C f στο g g 3 α) Να βρείτε τα όρια: i lim και ii lim f () 3 β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 3είναι ασύμπτωτη της C g στο είναι f, -,, Αν η ευθεία ε: y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο, να βρείτε τα α,β 55Έστω η συνάρτηση, f, - - e ln,, e α) Να υπολογίσετε το όριο lim β) Να βρείτε το α ώστε η f να είναι συνεχής στο γ) Για, τέτοια, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής 56Δίνεται η συνάρτηση να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον A,f παράστασης της συνάρτησης f στο 57Δίνεται η συνάρτηση να είναι παράλληλη στον άξονα, f, όπου, ln, α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της β) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β, ισχύει: και, τότε: f i Να υπολογίσετε το lim [59]

62 ii Να υπολογίσετε τα όρια: f f lim, f f lim 4 58Δίνεται η συνάρτηση f k, 3 α) Αν η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της,k β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα C f, και 3 στο, να αποδείξετε ότι, στο οποίο η εφαπτομένη της και k 3 παράλληλη στον άξονα γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο Εσπερινά 5 C f είναι f 3, 4 με 8 4, 4 α) Να βρείτε την τιμή του για την οποία η συνάρτηση f είναι συνεχής στο β) Για i να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ii να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο 6 59Δίνεται η συνάρτηση, 8 5 6, α) Να αποδείξετε ότι η αι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 6Δίνεται η συνάρτηση f β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία 6Δίνεται η συνάρτηση f ln α) Να αποδείξετε ότι f M,f y είναι ασύμπτωτη της C f στο Εσπερινά 7, για κάθε β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f ln, γ) Έστω η συνάρτηση g f k, i Να βρείτε την τιμή του k ώστε η g να είναι συνεχής ii Αν k, να αποδείξετε ότι η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 6 Δίνεται η συνάρτηση f k, k α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο,e 8 M,f είναι παράλληλη στον άξονα, να βρείτε το k γ) Για k, i Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f ii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο διάστημα, Εσπερινά 8 [6]

63 63Δίνεται η συνάρτηση f ln ln,, α) Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να υπάρχει το όριο limf και να είναι πραγματικός αριθμός β) Έστω ότι i να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f iii να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει μοναδική λύση για κάθε 9, 3, α) Αν η f είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι γ) Για, να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 64Δίνεται η συνάρτηση f και 4, 5 και f g, Εσπερινά 9 65Δίνεται η συνάρτηση f e, α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της y e C f στο σημείο A,f β) Για i να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii να αποδείξετε ότι ο άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη της, 66Δίνεται η συνάρτηση f 3, Να βρείτε: α) Τα τοπικά ακρότατα της f β) Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f C f 4 να είναι παράλληλη στην ευθεία στο γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο δ) Το σημείο M,f, παράλληλη προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με A,f και f 67Δίνεται η συνάρτηση 3 A,f, της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι 3ln, B 3,f 3 Εσπερινά α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή β) Να αποδείξετε ότι ο άξονας y y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f f,e Ομογενείς γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα Ομογενείς 9 68Δίνεται η συνάρτηση f:, δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f f, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: e f f f f για κάθε α) Να αποδείξετε ότι: f ln e, β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln e έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα, [6]

64 69Έστω η συνεχής συνάρτηση f: e, α) Να αποδείξετε ότι f, β) Να αποδείξετε ότι oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση,για την οποία ισχύει: f e, για κάθε f [6] και να βρείτε το πεδίο ορισμού της γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο συνέχεια, αν είναι γνωστό ότι η f είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f, A,f ακριβώς μία λύση lim ln ln f Επαναληπτικές δ) Να βρείτε το 7Δίνεται η συνάρτηση α) Αν είναι β) Αν είναι f, με, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, να αποδείξετε ότι η εξίσωση, f, έχει ακριβώς μία λύση στο, γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f: i έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη για κάθε α,β, την οποία και να βρείτε iiέχει οριζόντια ασύμπτωτη μόνο για α= και, την οποία και να βρείτε δ) Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες η f παρουσιάζει στο σημείο τοπικό ακρότατο, το f 7 Στη Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος του ακροτάτου αυτού Εσπερινά 7Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν: f ( ) ( f - 3) f για κάθε f α) Να αποδείξετε ότι f 3 f : έχει, και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του ερωτήματος α) γ) Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση: δ) Να βρείτε την τιμή του κ R ώστε: lim f k 5 3 f 5 8 f 8 Εσπερινά 3 7Δίνεται η συνάρτηση h με h,, Αν η ευθεία με εξίσωση y είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο, τότε: α) Να αποδείξετε ότι β) i Να εξετάσετε αν η ευθεία με εξίσωση y είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h και στο ii Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h 3 4 γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση h έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 73Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, για την οποία ισχύουν: f f για κάθε, f 9 α) Να αποδείξετε ότι f,, Εσπερινά 4

65 β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f f δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε f, Εσπερινά 4 74Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: f για κάθε, α) Να αποδείξετε ότι f, β) Να υπολογίσετε τη παράγωγο της συνάρτησης f για κάθε f για την οποία ισχύει ότι: γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f Δίνεται η συνάρτηση f 3 4, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, Εσπερινά 5, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός Αν η f παρουσιάζει στο τοπικό ακρότατο, τότε: α) Να αποδείξετε ότι β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε τις τιμές του f για κάθε, ώστε γ) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη στο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f g, 3 f δ) Να υπολογίσετε το όριο lim για τις διάφορες ακέραιες τιμές του ν Εσπερινά 5 76Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι: f (), για κάθε, α) Να αποδείξετε ότι f (), β) Να υπολογίσετε την παράγωγο f () της συνάρτησης f για κάθε γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y = δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, Εσπερινά 5 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης, α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία f η είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οποία f η είναι κοίλη και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης γ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα α),β), γ) να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) 6 77Δίνεται η συνάρτηση f [63]

66 78Δίνονται οι συναρτήσεις f ln, και α) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g β) Αν h f g ln,, g,, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της e h,, να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως προς τη μονοτονία, τα e ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής γ) Αν δ) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ και να τη σχεδιάσετε (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) 79Έστω f: Ολοκληρώματα συνεχής συνάρτηση και συνάρτηση Ι παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο 8Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο 3 α) Να αποδείξετε ότι: 7 f d f d 3 7 β) Έστω ότι τέτοιο, ώστε 4 f d f d 4 4 I f t t f t t dt, 7 Να αποδείξετε ότι η 5 t f t dt Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα,7 f 334 8Η συνάρτηση f: έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί τη σχέση: f f e d,α,β με Να αποδείξετε ότι: α) f f β) Η εξίσωση f 8Δίνεται η συνάρτηση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, e e f, α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f έχει μοναδική ρίζα το β) Να δείξετε ότι η εξίσωση γ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: f 83Δίνεται η συνάρτηση f α) Να αποδείξετε ότι f d lim f β) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f, όταν το τείνει στο f f γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να αποδείξετε ότι d ln 3 [64]

67 84Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύει, f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, [65] f α) Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχει ξ τέτοιος ώστε f f f β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h e, > είναι συνάρτηση - στο διάστημα e 5 γ) Αν h e, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα, 3 I f d 85Δίνεται η συνάρτηση g e f, όπου f παραγωγίσιμη στο με α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον f f 3, τέτοιο, ώστε: β) Αν f 3, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα γ) Να βρείτε το όριο lim 3 f f g d,α 4 86Θεωρούμε τη συνάρτηση f ln e,, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα β) Να βρεθούν τα όρια: ln lim e f 5, lim, lim f, γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση στο διάστημα e f e δ) Έστω f 87Δίνεται η συνάρτηση f, f d f d Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Π ln 5 α) Να αποδείξετε ότι 3,, lim f 3 β) Αν f και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο, να αποδείξετε ότι: 3, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα γ) Αν 3 f d Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει: f f 4e και 4 α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h e f e είναι σταθερή 3 β) Να αποδείξετε ότι f e e γ) Να υπολογίσετε το ολκλήρωμα I δ) Να βρείτε το όριο I lim 89Δίνεται η συνάρτηση f f t dt f Ομογενείς 7 ln, α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να υπολογίσετε το όριο lim f και ότι η

68 γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I e f d Ομογενείς 8 9Δίνεται μια συνάρτηση f :, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες 4 f 4f 4f ke,, f f, f f e και, k f f α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g 3,, ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε να ισχύει: f 4f 6 e 4f γ) Να αποδείξετε ότι k 6 και ότι ισχύει για κάθε δ) Να αποδείξετε ότι 3 f ε) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα,, e, g f d 9Δίνεται η συνάρτηση f ln, e, f e 9 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Να λύσετε την εξίσωση 3 3 ln 4 γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει δύο σημεία καμπής και ότι οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία καμπής της τέμνονται σε σημείο του άξονα y y δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I f d f 9Δίνεται η συνάρτηση f: με 3 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι - (μονάδες ) και να βρείτε την αντίστροφή της 3 β) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: f f 6 f γ) Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης 3 y, σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης τετμημένης t, αν υποτεθεί ότι t για κάθε με t και y yt t y t Να βρείτε σε ποιο του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της δ) Αν g: είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f g d e Δίνεται η συνάρτηση h, e B Να μελετήσετε τη συνάρτηση h ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα B Να βρείτε το σύνολο τιμών της h B3 Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h B4 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e h d επαναληπτικές 6 Μονάδες 7 Μονάδες 7 Μονάδες 5 [66]

69 93Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: α) Να δείξετε ότι: i f Ανισοτικές σχέσεις f για την οποία ισχύει: lim 5 f ii f β) Να βρείτε το έτσι, ώστε: lim 3 f γ) Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο και f f για κάθε να δείξετε ότι: i f για κάθε ii f d 5 94Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι: f f f f d και f lim e f f e για κάθε και α) Να δείξετε ότι f (μονάδες 4) και f β) i) Να δείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο R, ii) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R γ) Να βρείτε το lim f e f ln δ) Nα δείξετε ότι d 95Δίνεται η συνάρτηση f,, και το σημείο α) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες,, της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε και : y είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ, τότε να σχεδιάσετε τις β) Αν : y, και τη γραφική παράσταση της f, και να αποδείξετε ότι, όπου: 8 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες, και είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα ' γ) Να υπολογίσετε το όριο lim δ) Να αποδείξετε ότι e f d e 6 7 [67]

70 96Δίνεται συνάρτηση, f, 3 3, α) Να αποδείξετε ότι η f στο διάστημα, Αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, τότε: β) Να βρείτε την τιμή του α R γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f 3 δ) Να αποδείξετε ότι: f d ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f f e ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής έχει μοναδική λύση στο (,) Εύρεση τύπου συνάρτησης 3 97Έστω συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει: 3 α) Να αποδείξετε ότι: f 6 45 f 3 f t dt 45 β) Δίνεται επίσης μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο Να αποδείξετε ότι: g g h g lim h h γ) Αν για την συνάρτηση f του ερωτήματος Α και τη συνάρτηση g του ρωτήματος Β, ισχύει ότι: g h g g h lim f 45 και g g, τότε: h h 5 3 i να αποδείξετε ότι g Επαναληπτικές,εσπερινά 7 ii να αποδείξετε ότι η g είναι 8 98Δίνεται η συνάρτηση f ln, Εμβαδόν επίπεδου χωρίου α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο σημείο της, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, τον άξονα και την ευθεία, όπου είναι η θέση τοπικού ακρότατου της f 99Έστω η συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν C f 4 f, E του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες και, είναι E 4ln β) Να προσδιορίσετε τη τιμή του λ για την οποία το εμβαδόν Έστω f μια πραγματική συνάρτηση με τύπο: α) Αν η f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι α = 9 C f f 3 e, 3 3 E γίνεται ελάχιστο, 3 [68]

71 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης A 4,f 4 C f της συνάρτησης f στο σημείο γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες και α) Έστω δύο συναρτήσεις h, g συνεχείς στο, Να αποδείξετε ότι αν g για κάθε h,, τότε και h()d g()d β) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις σχέσεις: και f Δίνεται η συνάρτηση f f e, i Να εκφραστεί η f ως συνάρτηση της f ii Να δείξετε ότι f f για κάθε iii Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες, και τον άξονα, να δείξετε ότι E f 4 f 4 4 α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που τέμνει τον άξονα y y β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των και τις ευθείες, 5 3 3Έστω η συνάρτηση f α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση β) Να αποδείξετε ότι f e f για κάθε γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο, είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα των και την ευθεία με εξίσωση 3 3 4Θεωρούμε τη συνάρτηση f: με f m 4 5,m,, m α) Να βρείτε το m ώστε f για κάθε β) Αν m, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη, τον άξονα και τις ευθείες 4 και e, όπου ln, α) Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο β) Αν για τον πραγματικό αριθμό ισχύει : i Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο = ii Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f iii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της 5Θεωρούμε τη συνάρτηση f συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες και e 5 f C f f [69]

72 6Δίνεται η συνάρτηση f e, α) Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της C f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ y e γ) Δείξτε ότι το εμβαδόν E του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της C f,της εφαπτομένης στο Μ e και του άξονα y y, είναι E δ) Υπολογίστε το lim 5 7Θεωρούμε τη συνάρτηση f με α) Να αποδείξετε ότι η f είναι - β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση γ) i Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και 6 y f 3 8Δίνεται η συνάρτηση f 3, όπου f της f και να βρείτε τον τύπο της f με την ευθεία μια σταθερά με, α) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής έχει ακριβώς τρείς πραγματικές ρίζες β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f γ) Αν, είναι οι θέσεις τοπικών ακρότατων και ότι τα σημεία A,f,B,f και 3,f 3 3 η θέση του σημείου καμπής της f, να αποδείξετε βρίσκονται στην ευθεία y δ) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και την ευθεία y 7 9Δίνεται η συνάρτηση f, α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο,f β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y και y 3 γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα Ομογενείς 8 α) Να αποδείξετε ότι: f g β) Αν h f g, τότε: ίνονται οι συναρτήσεις f και g, για κάθε ln, i Να αποδείξετε ότι: h e, για κάθε,e ii Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα και τις ευθείες και e iiiνα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e h I e h h d Ομογενείς 9 Έστω η παραγωγίσιμη στο f f, και α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι σχέσεις f [7] g e f,, είναι σταθερή

73 β) Να αποδείξετε ότι γ) Να αποδείξετε ότι f e, f, για κάθε δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία Ομογενείς Ένα κινητό Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y, Ένας παρατηρητής βρίσκεται στη θέση, ενός συστήματος συντεταγμένωνοy και παρατηρεί το κινητό από την αρχή Ο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Δίνεται ότι ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του κινητού για κάθε χρονική στιγμή t, είναι m/min t t 6 α) Να αποδείξετε ότι η τετμημένη του κινητού, για κάθε χρονική στιγμή t, t δίνεται από τον τύπο: t 6t β) Να αποδείξετε ότι το σημείο της καμπύλης μέχρι το οποίο ο παρατηρητής έχει οπτική επαφή με το κινητό είναι το και, στη συνέχεια, να υπολογίσετε πόσο χρόνο διαρκεί η A 4, οπτική επαφή γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που διαγράφει η οπτική ακτίνα ΠΜ του παρατηρητή από το σημείο Ο μέχρι το σημείο Α δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή t, 4 κατά την οποία η απόσταση d M παρατηρητή από το κινητό γίνεται ελάχιστη Να θεωρήσετε ότι το κινητό Μ και ο παρατηρητής Π είναι σημεία του συστήματος συντεταγμένων Οy Επαναληπτικές 3Δίνεται η συνάρτηση f ln - -, α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f 3 β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e, έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες γ) Αν,με είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει, f f τέτοιο, ώστε δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g f με, τον άξονα και την ευθεία e του h ln e, 4Δίνεται η συνάρτηση α) Να μελετήσετε την h ως προς την κυρτότητα hh e β) Να λύσετε την ανίσωση e, e γ) Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο, καθώς και την πλάγια ασύμπτωτή της στο e h ln, Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που δ) Δίνεται η συνάρτηση περικλείεται από τη γραφική παράσταση της φ(), τον άξονα και την ευθεία = 5Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : A, A, με σύνολο τιμών f, f ώστε e f f 3 για κάθε, f A α) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση, τέτοια, f της f 4 [7]

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας 1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; (5 ΕΣΠ Β ) Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.

Διαβάστε περισσότερα

2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A wwwaskisopolisgr ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, Αν: η f είναι συνεχής στο, f f να

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ Α ο Διαγώνισμα στις παραγώγους Διάρκεια:,5 ώρες Α α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f στο Δ; Δώστε παράδειγμα β) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑo ΑAν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΘΕΜΑ Α A Έστω μια

Διαβάστε περισσότερα

Πες το με μία γραφική παράσταση

Πες το με μία γραφική παράσταση Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θέματα τύπου Σωστό-Λάθος στις Πανελλαδικές Εξετάσεις από το 2000 έως 204 χωρισμένα σε Κεφάλαια Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 = 2. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,

Διαβάστε περισσότερα

0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x

0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Θέμα Α ΑΈστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].

Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ]. ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα 1 A 1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2 Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9.6.7 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Διαγώνισμα περιόδου στις Συναρτήσεις και τα Όρια

2 ο Διαγώνισμα περιόδου στις Συναρτήσεις και τα Όρια Θέμα Α ο Διαγώνισμα περιόδου 7-8 στις Συναρτήσεις και τα Όρια Α Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β ; Μονάδες Α Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και να κάνετε την γεωμετρική του ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θ Ε Μ Α Τ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 3 Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Θ Ε Τ Ι Κ Η Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η ΘΕΜΑ ο : Α.. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [., ] Αν G είναι μια παράγουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x. Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. 3 η Έκδοση

ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. 3 η Έκδοση ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 3 η Έκδοση Οδηγός για τις πανελλαδικές εξετάσεις ΘΕΜΑ: Α, Β, Γ και Δ Σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες (1). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) Να διευκρινίσουμε το εξής σημείο. Αν η ερώτηση είναι πχ, η συνάρτηση φ ικανοποιεί το τάδε, εννοείται η λέξη ΠΑΝΤΑ, οπότε αν υπάρχει έστω και μία φ που δεν

Διαβάστε περισσότερα

για κάθε x 0. , τότε f x στο Απάντηση είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε (x , ισχύει

για κάθε x 0. , τότε f x στο Απάντηση είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε (x , ισχύει ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 6 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) & ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΘΕΜΑ Α Α Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim. ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) A. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι

Διαβάστε περισσότερα

αριθμοί σε τριγωνομετρική μορφή, να αποδείξετε ότι: z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 [συν (θ 1 +θ 2 )+i ημ (θ 1 +θ 2 )] ( 1Α/2002 ΙΟΥΛ)

αριθμοί σε τριγωνομετρική μορφή, να αποδείξετε ότι: z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 [συν (θ 1 +θ 2 )+i ημ (θ 1 +θ 2 )] ( 1Α/2002 ΙΟΥΛ) ο Γενικό Λύκειο Χανίων Τάξη Γ Μαθηματικών προσανατολισμού Θέματα εξετάσεων ΘΕΩΡΙΑ Μιγαδικοί αριθμοί. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z. Να αποδείξετε ότι: z z = z z. ( Α/00-007). Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα