τα βιβλία των επιτυχιών

Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ άλγεβρα α λυκείου

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο A Λυκείου Άλγεβρα Α Λυκείου Νίκος Τάσος ISBN: 978-618-5325-33-6 Σχεδιασμός έκδοσης: Γεωργία Λαμπροπούλου Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση: Μαλβίνα Κότο Συμπληρωματική σελιδοποίηση: Γεωργία Λαμπροπούλου Σχεδιασμός εξωφύλλου: Πωλίνα Κοντογεώργη Υπεύθυνη έκδοσης: Μαλβίνα Κότο Copyright 2019 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο Κυκλοφορία έκδοσης: Ιούλιος 2019 Επικοινωνία με συγγραφέα: Νίκος Τάσος nikotaso@yahoo.gr 6944 34 34 15 Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Αριθμός έκδοσης: 1η Αριθμός αντιτύπων: 1100 Λ. Βουλιαγμένης 46 & Αλεξιουπόλεως, ΤΚ 164 52 Αργυρούπολη Τ. 210 4112507 www.ekdoseispoukamisas.gr info@ekdoseispoukamisas.gr

Περ ι ε χ ο μ ε ν α ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ερωτήσεων απαντήσεων...13 εμβάθυνσης...16 Ερωτήσεις κατανόησης...17 2. ΣΥΝΟΛΑ ερωτήσεων απαντήσεων...18 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...24 εμβάθυνσης... 26 Ερωτήσεις κατανόησης...28 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3. ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ερωτήσεων απαντήσεων...33 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...38 εμβάθυνσης...45 Ερωτήσεις κατανόησης...48 4. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ερωτήσεων απαντήσεων...50 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...51 εμβάθυνσης...55 Ερωτήσεις κατανόησης...57 Κριτήριο αξιολόγησης...59 5. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ερωτήσεων απαντήσεων...61 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...64 εμβάθυνσης...70 Ερωτήσεις κατανόησης...72 Κριτήριο αξιολόγησης...74 6. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ερωτήσεων απαντήσεων...75 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...75 εμβάθυνσης...81 Ερωτήσεις κατανόησης...83 7. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ερωτήσεων απαντήσεων...85 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...91 εμβάθυνσης...101 Ερωτήσεις κατανόησης...104 Κριτήριο αξιολόγησης...106 8. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων...107 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...112 εμβάθυνσης...123 Ερωτήσεις κατανόησης...127 Κριτήριο αξιολόγησης...129 9.ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ερωτήσεων απαντήσεων...130 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...134 εμβάθυνσης...155 Ερωτήσεις κατανόησης...162 Κριτήριο αξιολόγησης...164

10. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων...167 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...169 εμβάθυνσης...177 Ερωτήσεις κατανόησης...181 Κριτήριο αξιολόγησης...182 11. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων...183 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...184 εμβάθυνσης...191 12. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Μεθοδολογίες Εφαρμογές...193 εμβάθυνσης...201 Ερωτήσεις κατανόησης...203 Κριτήριο αξιολόγησης...204 13. Η ΕΞΙΣΩΣΗ x ν = α ερωτήσεων απαντήσεων...205 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...206 2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ εμβάθυνσης...208 Ερωτήσεις κατανόησης...208 14.Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx 2 + βx + γ = 0 ερωτήσεων απαντήσεων...209 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...212 εμβάθυνσης...224 Ερωτήσεις κατανόησης...228 Κριτήριο αξιολόγησης...230 15. ΑΘΡΟΙΣΜΑ & ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ερωτήσεων απαντήσεων...232 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...233 εμβάθυνσης...241 Ερωτήσεις κατανόησης...246 Κριτήριο αξιολόγησης...248 16. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Μεθοδολογίες Εφαρμογές...250 εμβάθυνσης...255 17. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων... 261 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 262 εμβάθυνσης... 268 Κριτήριο αξιολόγησης... 270 18. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 271 εμβάθυνσης... 281 Ερωτήσεις κατανόησης... 283 Κριτήριο αξιολόγησης... 284 19. ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων... 286 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 288 εμβάθυνσης... 293 Ερωτήσεις κατανόησης... 294 20. ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων... 295 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 297 εμβάθυνσης... 313 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 317 Φύλλο αξιολόγησης... 319

4. ΠΡΟΟΔΟΙ 21. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ερωτήσεων απαντήσεων... 323 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 324 εμβάθυνσης... 330 Ερωτήσεις κατανόησης... 331 22. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ερωτήσεων απαντήσεων... 332 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 334 εμβάθυνσης... 352 Ερωτήσεις κατανόησης... 359 Κριτήριο αξιολόγησης 1... 362 Κριτήριο αξιολόγησης 2... 364 23. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ερωτήσεων απαντήσεων... 366 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 368 εμβάθυνσης... 391 Ερωτήσεις κατανόησης... 397 Κριτήριο αξιολόγησης 1... 400 Κριτήριο αξιολόγησης 2... 402 5. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ερωτήσεων απαντήσεων... 407 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 410 εμβάθυνσης... 423 Ερωτήσεις κατανόησης... 428 Κριτήριο αξιολόγησης... 430 25. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ερωτήσεων απαντήσεων... 432 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 436 εμβάθυνσης... 442 Ερωτήσεις κατανόησης... 444 26. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ερωτήσεων απαντήσεων... 445 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 446 εμβάθυνσης... 456 Ερωτήσεις κατανόησης... 461 Κριτήριο αξιολόγησης... 463 27. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β ερωτήσεων απαντήσεων... 465 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 470 εμβάθυνσης... 491 Ερωτήσεις κατανόησης... 498 Κριτήριο αξιολόγησης... 500 6. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 28. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = α x 2 ερωτήσεων απαντήσεων... 505 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 512 εμβάθυνσης... 521 Ερωτήσεις κατανόησης... 524 29. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = α x 2 + βx + γ ερωτήσεων απαντήσεων... 526 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 531 εμβάθυνσης... 545 Ερωτήσεις κατανόησης... 551 Κριτήριο αξιολόγησης... 553

ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ... 557 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ... 571 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ... 583 Απαντήσεις άλυτων ασκήσεων...631 Απαντήσεις τελικής επανάληψης...693 Απαντήσεις Τράπεζας Θεμάτων...699 Απαντήσεις ασκήσεων σχολικού βιβλίου...770

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. Πώς ορίζεται η έννοια της πρότασης στη Μαθηματική Λογική; Πρόταση είναι κάθε ισχυρισμός του οποίου το περιεχόμενο μπορούμε να χαρακτηρίσουμε ως αληθές ή ψευδές. Παραδείγματα Η φράση «Ο Ολυμπιακός έχει κατακτήσει τα περισσότερα πρωταθλήματα ποδοσφαίρου στην Ελλάδα» είναι μία πρόταση, διότι είναι αληθής. Η φράση «Ο Ολυμπιακός θα κατακτήσει την επόμενη χρονιά το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου στην Ελλάδα» δεν είναι πρόταση, διότι δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής ή ψευδής. Σχόλια ερωτήσεων απαντήσεων i. Προσοχή! Στα Μαθηματικά, για να ελέγξουμε αν ένας ισχυρισμός είναι πρόταση, δεν εξετάζουμε αν είναι γραμματικά και συντακτικά ορθώς. ii. Τις προτάσεις τις συμβολίζουμε συνήθως με τα λατινικά γράμματα P, Q. iii. Μία πρόταση χαρακτηρίζεται απλή όταν κανένα τμήμα της δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δημιουργήσει μία άλλη πρόταση. iv. Μία πρόταση χαρακτηρίζεται σύνθετη όταν μπορούμε να τη χωρίσουμε σε δύο ή περισσότερες προτάσεις. 2. Πώς ορίζεται η συνεπαγωγή και πώς συμβολίζεται; Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q. Συμβολίζουμε: P Q 13

Εισαγωγικό κεφάλαιο Παραδείγματα i. Μια μητέρα, προκείμενου να πείσει το παιδί της να φάει όλο το φαγητό του, του λέει: _ Αν φας το φαγητό σου θα σου πάρω παγωτό. ii. Αν α = 4 α = 2. Σχόλια i. Ο ισχυρισμός «P Q» λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν Ρ, τότε Q» ή «ο Ρ συνεπάγεται τον Q». ii. Ο Ρ λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής. iii. Η συνεπαγωγή είναι αληθής όταν: Ο Ρ είναι _ αληθής _ και ο Q είναι αληθής. π.x. 9 = 3 ( 9) 2 = 3 2 Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι αληθής. π.x. 1 = 1 ( 1) 2 = 1 2 Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι ψευδής. π.x. 1 = 1 2 ( 1) = 2 1 iv. Η συνεπαγωγή είναι ψευδής όταν: Ο Ρ είναι αληθής και ο Q είναι ψευδής. π.x. ( 1) 2 = 1 2 1 = 1 v. Με βάση τα όσα αναπτύσσονται στο σχολικό βιβλίο, εμείς θα ασχοληθούμε κυρίως με την περίπτωση όπου και οι δύο ισχυρισμοί P, Q είναι αληθείς. vi. Στο τέλος της ενότητας παραθέτουμε έναν πίνακα αλήθειας όπου είναι κλασικός στο πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής. 3. Πώς ορίζεται η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή και πώς συμβολίζεται; Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, και όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο P, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q. Συμβολίζουμε: P Q Παραδείγματα i. «Η Στέλλα είναι η σύζυγος του Νίκου.» «Ο Νίκος είναι ο σύζυγος της Στέλλας.» ii. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β, γ ισχύει ότι: α = β α + γ = β + γ iii. Για κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο A = B = Γ Σχόλια i. Ο ισχυρισμός «Ρ Q» λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «Ρ αν και μόνο αν Q» ή «Ρ τότε και μόνο τότε Q». ii. Ισοδυναμίες έχουμε στους ορισμούς. 14

1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 4. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος ή; Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ ή Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει. Παραδείγματα i. Για να προσληφθεί κάποιος σε ένα εστιατόριο ως μάγειρας πρέπει να ξέρει να μαγειρεύει ελληνικά ή ιταλικά φαγητά. Αυτό σημαίνει ότι ο μάγειρας που θα προσληφθεί πρέπει να ξέρει να μαγειρεύει ή μόνο ελληνικά φαγητά ή μόνο ιταλικά φαγητά ή, προφανώς, και από τις δύο κουζίνες φαγητά. ii. Όταν γράφουμε: α β = 0 α = 0 ή β = 0 εννοούμε ότι αληθεύει μία τουλάχιστον από τις προτάσεις «α = 0», «β = 0», δηλαδή: (α = 0 και β 0), (α 0 και β = 0), (α = 0 και β = 0) Σχόλια i. Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q» λέγεται διάζευξη των Ρ και Q. ii. Η διάζευξη Ρ ή Q είναι ψευδής μόνο όταν και ο ισχυρισμός Ρ και ο ισχυρισμός Q είναι ψευδείς. iii. Ο ισχυρισμός «ή Ρ ή Q» λέγεται αποκλειστική διάζευξη των Ρ και Q και είναι αληθής, όταν η μία είναι αληθής και η άλλη ψευδής. 5. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος και; Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ και Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν. Παραδείγματα i. Η Αθήνα είναι πόλη της Ελλάδας και της Ευρώπης. ii. Όταν γράφουμε: α β 0 α 0 και β 0 εννοούμε ότι αληθεύουν και οι δύο προτάσεις «α 0», «β 0». Σχόλια Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ και Q. 6. Πώς ορίζεται η άρνηση μίας πρότασης; Αν Ρ είναι ένας ισχυρισμός, τότε ο ισχυρισμός «όχι Ρ» ονομάζεται άρνηση του Ρ, συμβολίζεται συνήθως με Ρ ή Ρ και χαρακτηρίζεται ως: 15

Εισαγωγικό κεφάλαιο αληθής, αν ο Ρ είναι ψευδής, ψευδής, αν ο Ρ είναι αληθής. Παραδείγματα i. Αν Ρ: «α = β», τότε η άρνηση της Ρ είναι Ρ: «α < β ή α > β». ii. Η άρνηση του και είναι το ή και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνηση της πρότασης «θα φάμε κρέας και ρύζι» είναι η «θα φάμε κρέας ή ρύζι». iii. Η άρνηση του για κάθε είναι το υπάρχει και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνηση της πρότασης «για κάθε πραγματικό αριθμό α, ισχύει α 2 0» είναι η «υπάρχει πραγματικός αριθμός, ώστε α 2 < 0». Σχόλια Αν η συνεπαγωγή «Ρ Q» είναι αληθής, τότε και η συνεπαγωγή «Q Ρ» είναι αληθής και αντίστροφα. Ισχύει δηλαδή ότι: (Ρ Q) (Q Ρ) που είναι γνωστός ως νόμος της αντιθετοαντιστροφής. Ισχύει ότι: α β = 0 α = 0 ή β = 0 Επομένως, ισχύει και η αντιθετοαντιστροφή: α 0 και β 0 α β 0 7. Ποιος είναι ο πίνακας αλήθειας για τη Μαθηματική Λογική; Ο πίνακας είναι ο εξής: Ισχυρισμοί Συνεπαγωγή Ισοδυναμία Διάζευξη Σύζευξη P Q P Q P Q P ή Q P και Q Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Ψευδής Ψευδής Ψευδής Αληθής Ψευδής Ψευδής Αληθής Αληθής Ψευδής Αληθής Ψευδής Ψευδής Ψευδής Αληθής Αληθής Ψευδής Ψευδής Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Λογικές προτάσεις 1.1 Να εξετάσετε ποιοι από τους ακόλουθους ισχυρισμούς είναι προτάσεις και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς. i. Ο αριθμός 5 είναι μεγαλύτερος του 10. ii. Ο αριθμός x είναι περιττός. iii. Η Άλγεβρα είναι το καλύτερο μάθημα. 16

1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ iv. 2 3 = 6 v. 1 + 1 = 3 vi. Ο Παναθηναϊκός θα κερδίσει το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου την επόμενη χρονιά. ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ 1.2 Σε καθέναν από τους ισχυρισμούς Ρ, Q να εξετάσετε ποια από τις συνεπαγωγές Ρ Q ή Q P ισχύει. i. Ρ: Ο Κώστας είναι μαθητής της Γ Λυκείου. Q: Ο Κώστας τελειώνει το σχολείο. ii. Ρ: Σήμερα είναι 25 Δεκεμβρίου. Q: Σήμερα είναι Χριστούγεννα. iii. P: Στην Ελλάδα είναι χειμώνας. Q: Στην Ελλάδα βρέχει. iv. P: Ο Νίκος παίζει πιάνο. Q: Ο Νίκος αγαπάει τη μουσική. Ερωτήσεις κατανόησης Ερωτήσεις Σωστού Λάθους 1.3 Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. i. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β ισχύει ότι α 2 = β 2 α = β. ii. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β, γ ισχύει ότι α = β α + γ = β + γ. iii. Η σύζευξη «Ρ και Ρ» είναι πάντα ψευδής. iv. Ο ισχυρισμός «1 + 1 = 3» είναι μία πρόταση. v. Ο ισχυρισμός «Στην Ελλάδα θα εμφανιστούν εξωγήινοι» είναι μία πρόταση. vi. Ο ισχυρισμός «2014 < 2013» είναι μία πρόταση. vii. α 2 1 α 1 ή α 1 viii. α = 0 και β 0 α β = 0 ix. x = 5 x 2 = 25 x. x = 5 x 2 = 25 1.4 Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. i. x 5 x 2 25 ii. x 5 x 2 25 iii. x 5 και x 5 x 2 25 iv. x 2 x x 1 v. α β 0 α 0 ή β 0 vi. Αν β 0, ισχύει ότι: α β > 0 α β > 0 vii. α < 3 και β < 4 α β < 12 viii. α < 1 α 2 < 1 ix. α > 1 α 2 > 1 x. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, τότε A = B. Ερωτήσεις Αντιστοίχισης 1.5 Να αντιστοιχίσετε καθέναν από τους ισχυρισμούς της στήλης Α με τον ισοδύναμό του ισχυρισμό στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β i. 3α(α + 2) = 0 α. α = 1 ή α = 1 ii. α(α 1) = 0 και α(α + 1) = 0 β. α = 0 ή α = 2 iii. α 2 = 4, α > 0 γ. α 0 και α 2 iv. α 2 = 1 δ. α = 2 v. 3α(α + 2) 0 ε. α = 0 17

2ΣΥΝΟΛΑ ερωτήσεων απαντήσεων 1. Ποια είναι η έννοια του συνόλου; Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Σύνολα είναι: «τα ελληνικά νομίσματα του 20ού αιώνα», «οι πίνακες της Αναγέννησης στο μουσείο του Λούβρου», «τα αγγλικά γραμματόσημα που έχει ένας φιλοτελιστής» Σχόλια i. Τα αντικείμενα ενός συνόλου ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. ii. Όταν γράφουμε ότι ένα σύνολο είναι καλά ορισμένο, εννοούμε ότι τα στοιχεία του μπορούν να αναγνωρίζονται με σιγουριά. Αν, δηλαδή, γνωρίζουμε μία χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου, μπορούμε να ελέγχουμε αν ένα στοιχείο ανήκει ή όχι στο σύνολο. iii. Όταν γράφουμε ότι σε ένα σύνολο τα στοιχεία πρέπει να διακρίνονται το ένα από το άλλο, εννοούμε ότι δεν πρέπει να υπάρχει δύο φορές το ίδιο στοιχείο στο σύνολο. iv. Τα σύνολα τα συμβολίζουμε συνήθως με κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου. Για παράδειγμα Α, Β, Γ, Q, R κ.λπ. Παραδείγματα Δεν έχει νόημα να αναφερόμαστε στο σύνολο των μεγάλων αριθμών. Αυτό δεν είναι σύνολο, διότι δεν υπάρχει κάποιος σαφής κανόνας που να καθορίζει αν ένας αριθμός είναι ή δεν είναι μεγάλος. Το σύνολο που αποτελείται από το γράμματα της λέξης «ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑ» είναι αυτό που έχει τα γράμματα: Κ, Α, Θ, Ρ, Ι, Ο, Τ, Η. Δεν μπορούμε να γράψουμε τρεις φορές το Α, ούτε δύο φορές το Τ. 18

2. ΣΥΝΟΛΑ 2. Ποια είναι τα βασικά σύνολα αριθμών; Το σύνολο των φυσικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με, είναι δηλαδή: = {0, 1, 2, 3, } Το σύνολο των ακέραιων αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με, είναι δηλαδή: = {, 2, 1, 0, 1, 2, } Το σύνολο των ρητών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με, είναι δηλαδή: = { α β, α, β ϵ με β 0 } Το σύνολο των άρρητων αριθμών, το οποίο δεν έχει κάποιον ιδιαίτερο συμβολισμό και είναι όλοι εκείνοι οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με. Σχόλια i. Με * συμβολίζουμε τους φυσικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή: * = {0} = {x / x 0} Με * συμβολίζουμε τους ακέραιους που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή: * = {0} = {x / x 0} Με * συμβολίζουμε τους ρητούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή: * = {0} = {x / x 0} Με * συμβολίζουμε τους πραγματικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή: * = {0} = {x / x 0} ii. Υπενθυμίζουμε ότι ο αριθμός της μορφής 5,2 = 5,222 ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός και είναι ρητός, αφού μπορούμε να τον γράψουμε ως κλάσμα. 3. Τι σημαίνουν τα σύμβολα και ; Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε: x Α και διαβάζουμε «το x ανήκει στο Α». Άρα το σύμβολο σημαίνει ανήκει. Για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε: x Α και διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α». Άρα το σύμβολο σημαίνει δεν ανήκει. 2, 2, 3, 4 3, 3 2, 2 _ 4. Με ποιους τρόπους μπορούμε να παραστήσουμε ένα σύνολο; Ένα σύνολο μπορεί να παρασταθεί με τρεις τρόπους: 19

Εισαγωγικό κεφάλαιο με αναγραφή, όταν δίνονται όλα του τα στοιχεία και είναι σχετικά λίγα σε πλήθος. Στην περίπτωση αυτή βάζουμε τα στοιχεία από μία φορά το καθένα, χωρίζοντάς τα με ένα κόμμα, ανάμεσα σε δύο άγκιστρα. με περιγραφή, όταν τα στοιχεία του είναι πολλά, ανήκουν σε ένα σύνολο Ω και έχουν μία χαρακτηριστική ιδιότητα. Αναλυτικότερα, επιλέγουμε από ένα σύνολο Ω τα στοιχεία εκείνα που ικανοποιούν μία ιδιότητα Ι, οπότε έχουμε το σύνολο: {x Ω / x έχει την ιδιότητα Ι} με διάγραμμα του Venn, το οποίο θα εξηγήσουμε σε επόμενη παράγραφο. Αναγραφή Το σύνολο που έχει ως στοιχεία του τους ακέραιους από το 1 έως το 4 είναι το: Α = { 1, 0, 1, 2, 3} Περιγραφή Το σύνολο των ακέραιων που είναι (με την ιδιότητα) από το 1 έως το 4 συμβολίζεται με: Α = {x / 1 x < 4} 5. Πότε δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα και πώς συμβολίζουμε την ισότητα; Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Στην περίπτωση αυτή, γράφουμε Α = Β. Τα σύνολα: Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {x / 1 < x 7} είναι ίσα, διότι το σύνολο Β με αναγραφή είναι το Β = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, δηλαδή το Α. Σχόλια Με άλλα λόγια: Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και, αντιστρόφως, κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α. Δηλαδή: Α = Β όταν x A x B 6. Πότε ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β και πώς το συμβολίζουμε; Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Στην περίπτωση αυτή, γράφουμε Α Β. 20

2. ΣΥΝΟΛΑ Παραδείγματα i. Αν θεωρήσουμε τα σύνολα Α = {1, 3, 5, 7, 9} και Β = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β. Άρα το Α είναι υποσύνολο του Β. ii. Τα υποσύνολα του συνόλου Ω = {1, 2, 3} είναι τα: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3} = Ω, Σχόλιο Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι ακόλουθες σχέσεις μεταξύ συνόλων: i. Α Α, για κάθε σύνολο Α. ii. Αν Α Β και Β Γ, τότε Α Γ. iii. Αν Α Β και Β Α, τότε Α = Β. 7. Τι είναι το κενό σύνολο και πώς το συμβολίζουμε; Το σύνολο που δεν έχει στοιχεία ονομάζεται κενό. Συμβολίζεται με ή { }. Ας θεωρήσουμε το σύνολο Α = {x / x + 7 = 0} Είναι φανερό ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που να ικανοποιούν την ισότητα x + 7 = 0, αφού ο μόνος αριθμός που την ικανοποιεί είναι ο 7, για τον οποίο όμως ισχύει ότι 7. Συνεπώς, το σύνολο αυτό δεν έχει κανένα στοιχείο, άρα είναι κενό. Σχόλιο Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. 8. Τι είναι το βασικό σύνολο; Κάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενός συνόλου που λέγεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω. 9. Τι είναι τα διαγράμματα Venn; Τα διαγράμματα Venn είναι κλειστές γραμμές με τις οποίες παριστάνουμε τα σύνολα. Σχόλιο i. Το βασικό σύνολο Ω παριστάνεται με το εσωτερικό ενός Ω ορθογωνίου. 21

Εισαγωγικό κεφάλαιο ii. Κάθε σύνολο Α, με Α Ω, παριστάνεται με το εσωτερικό μίας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό του ορθογωνίου που παριστάνει το Ω. A iii. Αν Α Β, τότε το Α παριστάνεται με μία κλειστή καμπύλη που περιέχεται σε μία επίσης κλειστή καμπύλη που παριστάνει το Β. B A Για τα σύνολα,, είναι υποσύνολα του βασικού συνόλου. Ισχύει ότι και με τη βοήθεια ενός διαγράμματος Venn προκύπτει το εξής: 10. Πώς ορίζεται: Η ένωση δύο συνόλων; Η τομή δύο συνόλων; Το συμπλήρωμα ενός συνόλου; Η διαφορά δύο συνόλων; Ορισμός Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχειών του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με Α Β. Ισχύει δηλαδή: Α Β = {x Ω / x A ή x B} Διάγραμμα Venn Ω B A Αν: τότε: Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {5, 6, 7, 8, 9, 10} Α Β = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Σχόλια Για την ένωση συνόλων ισχύουν τα εξής: Α = Α Α Α Β Α Β = Β Α Α Α = Α Β Α Β Αν Α Β, τότε: Α Β = Β 22

2. ΣΥΝΟΛΑ Αν: τότε: Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {5, 6, 7, 8, 9, 10} Α Β = {5, 6, 7} Σχόλιο Για την τομή συνόλων ισχύουν τα εξής: Α = Α Β Α Α Β = Β Α Α Β Α Β Ορισμός Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α. Ισχύει δηλαδή: Α = {x Ω / x A} Α Α = Α Α Β Β Αν Α Β, τότε: Α Β = Α Διάγραμμα Venn Αν: τότε: Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Α = {3, 4, 5} Α = {2, 6, 7} Σχόλιο Για το συμπλήρωμα ισχύουν τα εξής: Α Α = Ορισμός Α Α = Ω Διάγραμμα Venn Η διαφορά Α Β είναι το σύνολο των στοιχείων του συνόλου Α που δεν ανήκουν στο σύνολο Β. Ισχύει δηλαδή: Α Β = {x Ω / x Α και x Β} Αν: τότε: και: Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {5, 6, 7, 8, 9, 10} Α Β = {2, 3, 4} Β Α = {8, 9, 10} 23

Εισαγωγικό κεφάλαιο Μεθοδολογίες Εφαρμογές Κατηγορία 1 Ασκήσεις στις οποίες δίνονται σύνολα με περιγραφή και ζητείται να τα γράψουμε με αναγραφή. Μέ θ ο δ ο ς Ερμηνεύουμε την ιδιότητα που μας περιγράφει το σύνολο και την αναγράφουμε με αριθμούς. Οι πιο συνηθισμένες ιδιότητες είναι κάποιες ανισώσεις με αριθμούς, λύσεις εξισώσεων, ιδιότητες γινομένων κ.λπ. Χρειάζεται, επίσης, να θυμόμαστε από τη θεωρία την ερμηνεία των συνόλων,,,. 2.1 εφαρμογή Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τα σύνολα: i. Α = {x / 2 < x 1} ii. B = {x / 9x 2 3x = 0} Λύση i. Το σύνολο των φυσικών αριθμών από το 2, χωρίς αυτό να συμπεριλαμβάνεται, μέχρι και το 1 είναι το: Α = {0, 1} ii. Η εξίσωση λύνεται ως εξής: 9x 2 3x = 0 3x(3x 1) = 0 3x = 0 ή 3x 1 = 0 x = 0 ή x = 1 3 Από τις λύσεις της εξίσωσης μόνο ο αριθμός 0 είναι ακέραιος. Συνεπώς: Β = {0} Κατηγορία 2 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται ο προσδιορισμός παραμέτρων, ώστε δύο σύνολα Α, Β να είναι ίσα. Μέ θ ο δ ο ς Δύο σύνολα είναι ίσα όταν τα στοιχεία τους είναι ίσα ένα προς ένα. Από αυτή την εξίσωση προσδιορίζουμε τις ζητούμενες παραμέτρους. α 2.2 εφαρμογή Να προσδιορίσετε τα κ, λ, ώστε τα ακόλουθα σύνολα να είναι ίσα. Α = {(x, y) / x, y και x y = 4} και Β = {(1, κ), (2, 2), (4, λ)} Για x = 1 και y = 4 έχουμε: x y = 4 Για x = 2 και y = 2 έχουμε: x y = 4 Λύση 24