ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α) f(β), τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον (α,β), τέτοι ώστε f( ) η. Μονάδες 7 A. Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο ; ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Μονάδες 4 A. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο Α τοπικό ελάχιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθ, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof, τότε ισχύει πάντοτε ότι fog gof. β) Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi και γ δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. γ) Για κάθε ισχύει ότι ( συν ) ημ.
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν ισχύει ότι f() για κάθε [α,β] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε α β f()d. ε) Αν lim f() και f() κοντά στο, τότε lim. f() ΘΕΜΑ Β Μονάδες Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: 4. B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπ των εικόνων αυτών των μιγαδικών αριθμών είναι κύκλ με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ. B. Έστω Β. w, Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 7 όπου, δύο μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματ α) Ο w είναι πραγματικός και β) - 4 w 4. (μονάδες 4) (μονάδες 7) Μονάδες B. Αν w -4, όπου w είναι ο μιγαδικός αριθμός του ερωτήματ Β, να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους μιγαδικούς αριθμούς, και να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες A( ), B( ), Γ( ) των μιγαδικών αριθμών, και, με i, είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως πρ τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) f ( ) έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα. Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε. Γ4. Δίνεται η συνάρτηση g() 4 f(t)dt 4 5 f(4) f(t)dt,, Μονάδες 8 Μονάδες 4 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν: f() f() f () για κάθε και f(). Δ. Να αποδείξετε ότι f() n( ),. Μονάδες 5 Δ. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. (μονάδες ) ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, την ευθεία y και τις ευθείες και. (μονάδες 4) Δ. Να υπολογίσετε το όριο: Μονάδες 7 lim f (t)dt n f(). Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: Μονάδες 6 f(t )dt 8 f (t)dt έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,). Μονάδες 7 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω -πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρ των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόν δυνατής αποχώρησης:. π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 94 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 88 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 59 Α4. α. Λάθ, β. Σωστό, γ. Λάθ, δ. Σωστό, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β Β. τρόπ - 4 - - 4 4 - ( - 4)( - 4) 4( - )( - ) - 4-4 6 4-4 - 4 4 - - 4 4 τρόπ - 4 - yi, yir yi - 4 yi - ( - 4) yi ( - ) yi ( - 4) y ( - ) (y) ( - 4) y ( - ) - - y - y 4 4 (y) - 8 6 y 4-8 4 4y
B. α) 4 4 4 4 και 4 4 4 4 και τρόπ 4 4 w άρα w IR. τρόπ w w 4 w 4 8 8 8 8, που ισχύει w w τρόπο ς w IR 4 4 4 w 4R 4 άρα w IR 4 τρόπ w 4 4 R R, άρα w IR
β) τρόπ w 4 wir w 4-4 w 4 τρόπ 4 w 4 R 4R Είναι Είναι - R -4 4R 4-4 w 4, άρα η εικόνα του μιγαδικού κινείται στον μοναδιαίο κύκλο τρόπ w 4 4 R R Είναι 4, άρα η εικόνα του μιγαδικού κινείται στον κύκλο με κέντρο Ο (, ) και ακτίνα 4 δηλαδή -4 R 4-4 w 4
B. Για w -4 είναι -4-4 ( ) - : τρόπ (AΓ) - - i ( - i) - i 5 (ΒΓ) - - - i (- - i) - - i 5 άρα (ΑΓ) (ΒΓ) δηλαδή το ΑΒΓ είναι ισοσκελές. τρόπ Έστω α βi, δηλαδή A (α, β) Είναι - -α - βi, δηλαδή Β (-α, -β) και i i(α βi) β - βi, δηλαδή Γ(β, -α) (AΓ) (β - α) (-α - β) 4β - 4αβ α 4α 4αβ β 5β 5α (ΒΓ) (β α) (-α β) Δ 4β 4αβ α 4α - 4αβ β 5β 5α Δ Είναι (ΑΓ) (ΒΓ), άρα το ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
ΘΕΜΑ Γ Γ. f () ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) - ( - - ) ( - ) ( ) ( ) ( ) - f () f () και επειδή η f είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών, η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. im im, διότι - - im και im, αφού im ( ) - - - im im im DL'H - DL'H - επομένως το σύνολο τιμών της f είναι f (IR) (, ) f - - - Γ. f ( ( )) f ( ( )) f () 5 ( ) ( ) - f () To ανήκει στο σύνολο τιμών της f, άρα η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο IR και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, η ρίζα αυτή είναι μοναδική.
Γ. τρόπο 4 4 < f (4) < f (4) 4 4 > - - < f (4) < f (4) () ς Θεωρώ συνάρτηση F, με F () F παραγωγίσιμη στο [, 4], με F () f () από Θ.Μ.Τ. F (4) - F () υπάρχει ξ (, 4), τέτοιο ώστε F (ξ) 4 - f (ξ) 4-4 f () f (ξ) < f (4) ξ < 4 που ισχύει επομένως τρόπ < f (4) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, 4], άρα t 4 άρα f (4) - f (t) dt > 4 4 f () f (t) f (4) f (4) - f (t), για κάθε [, 4], αλλά όχι παντού μηδέν 4 f (4) dt - > f (4) dt > 4 f (4) t > 4 f (4) (4 - ) > f (4) > 4 4 4
Γ4. Θεωρώ συνάρτηση F, με F () 4 4 - F (4) - F. Η F είναι παραγωγίσιμη με F () f (). Για > είναι : g () im 4f (4) - f () 4f () - f () 4 - g (), f συνεχής () F (4) - F () 4F (4) - F () im g () im im DL'H άρα g συνεχής στο. 4 4 4 - g () 4 F (4) - F () - διότι >, 4 4F (4) - F () - 4 f (4) - f () - f (4) - f () f (4) - 4 f (4) - f () f (4) - 4 f (4) - > 4 4 από Γ και f (4) - f () >, αφού f είναι γνησίως αύξουσα και < 4. Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). >
ΘΕΜΑ Δ Δ. τρόπ f () -f () f () f () -f () f () f () f () -f () - () από συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () -f () - c, IR f () -f () Για είναι - c - c c f () f () f () άρα - - f () f () f () f () f () - - f () - () f () Θεωρώ συνάρτηση h, με h () -, H h είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών Eίναι h (), IR (). Έστω ρ ρίζα της h, δηλαδή h (ρ) ρ () h (ρ) ρ ρ ΑΤΟΠΟ άρα η h δεν έχει ρίζες στο IR. Aπό συνέπειες Θ. Βοlano η h διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR, f () και επειδή h () - >, θα είναι h () >, για κάθε IR. h () > () h () f () - f () f () n, IR
τρόπ f () -f () f () f () -f () f () f () f () -f () - () από συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () -f () - c, IR f () -f () Για είναι - c - c c f () -f () άρα -, IR () - Θεωρώ συνάρτηση φ, με φ () - -, - - φ () ( - ) >, άρα φ γνησίως αύξουσα στο IR n Eίναι φ ( n ) - n - - - () φ (f ()) φ ( n ) - - - - - και επειδή η φ είναι " - " ως γνησίως αύξουσα θα είναι f () n, IR
Δ. α) n f (), IR f () - f () - - - f () - f () σ.κ. Η f είναι κυρτή στο (-, ] και κοίλη στο [, ). f () n, άρα η C έχει σημείο καμπής το Ο (, ). β) ε : η εφαπτομένη της cf στο Ο (, ) ε : y - f ( ) f () ( - ) ε : y H C είναι κοίλη στο [, ], f f f άρα η C βρίσκεται κάτω από την (ε), με εξαίρεση το σημείο επαφής Ο (, ), δηλαδή f () E - f () d - n( ) d d - () n( ) d - ( ) d ( ) d n n - ( ) n n - - n ( ) τ.μ. d - ( )
Δ. τρόπ - im - n f () im f () n f () f () im f - f () H f (t) f (t) είναι συνεχής ως σύνθ άρα η f () εση συνεχών f Τέλ η f () - είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών, f δηλαδή im - f - είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής. f f () f () - - f f () DL'H im im im f () f () f,f,f συνεχείς im f f () f () f () θέτω f () u (- ) nu imf () n f () im (unu) im f () im u u u - im u im (-u) DL'H u u - u Επομένως - - f f () f () im n () im im n f ()
τρόπο - - n f () im n f (), διότι im ς im H f (t) άρα η f () - f (t) είναι συνεχής ως σύ νθεση συνεχών f Τέλ η f () - είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών, f δηλαδή im - είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής. f im f () f () - - f f (t) - dt f f () im im im DL'H f () - (- ) n f () f () - f () im n f () im im im DL'H - f () DL'H - f () - f () im f () Δ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση Q, με - Q () ( - ) - f (t ) dt ( - ) 8 - H f (t) f (t) είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών άρα η f () H είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής. f 4(t) f (t ) είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών άρα η f () 5 - είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής. Τελικά η Q είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών.
Q () - 8 - - 8 H f είναι κοίλη στο διάστημα [, ], άρα η C βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της y f στο Ο (, ) με εξαίρεση το σημείο επαφής Ο. Άρα στο [, ] : f (t) t f (t) t t - f (t) και επειδή δεν είναι παντού μηδέν θα είναι t - > t dt - > t 8 > > 8 > - 8 < Q () - f(t ) dt Q () < H f είναι κοίλη στο διάστημα [, ], άρα η C βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της y f στο Ο (, ) με εξαίρεση το σημείο επαφής Ο. Άρα στο [, ] : f (t) t f (t ) t t - f και επειδή δεν είναι παντού μηδέν θα είναι t - f (t ) dt > t dt - f (t ) dt > t (t ) > f (t ) dt > f (t ) dt > f (t ) dt - f(t ) dt > Q () > Aπό Θ. Bolano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε και επειδή ξ - και ξ -, θα είναι ξ - ξ Q (ξ) (ξ - ) - f (t ) dt (ξ - ) 8 - ξ - ξ - f (t ) dt 8 - ξ - ξ -