Ψηφιακά Συστήματα 3. Λογικές Πράξεις & Λογικές Πύλες
Βιβλιογραφία 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd Thomas L., Ψηφιακά ηλεκτρονικά, ΣΤΕΛΛΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΟΕ, 2007. [14795] 3. Πογαρίδης Δ., Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων, ΙΩΝ, 2004. 4. Κ. Φανουράκης, Γ. Πάτσης, Ο. Τσακιρίδης, Σημειώσεις Θεωρίας, Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, 2014. 2
Εισαγωγή: Λογικά Κυκλώματα και Λογικές Πύλες Τα λογικά κυκλώματα (Λ.Κ): εκτελούν υπολογισμούς που προγραμματίζουμε. Τα απλούστερα Λ.Κ, τα δομικά στοιχεία που ορίζουν τον επεξεργαστή, είναι οι λογικές πύλες. Οι λογικές πύλες εκτελούν απλές πράξεις, αλλά συνθέτοντάς τις σε Λ.Κ. πραγματοποιούμε περίπλοκες πράξεις. 3
Εισαγωγή: Άλγεβρα Boole Άλγεβρα Boole: κλάδος των μαθηματικών που οι τιμές των μεταβλητών παίρνουν μόνο 2 τιμές: Αληθές (ένα - 1) και Ψευδές (μηδέν - 0). Πράξεις μεταβλητών: Λογικό ΚΑΙ: σύμβολο ( ) Λογικό Ή: σύμβολο ( + ) Λογικό ΌΧΙ: σύμβολο (τόνος ή παύλα ) Προτεραιότητα πράξεων: (παρενθέσεις), ΌΧΙ, ΚΑΙ, Ή Βασικές Πράξεις στην Άλγεβρα Boole είναι: Πολλαπλασιασμός (X Y): Πρόσθεση (X + Y): Συμπλήρωμα (X ): 0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 0 1 1 0 4
Εισαγωγή: Λογικές Συναρτήσεις Λογική Συνάρτηση (Λ.Σ.): μια συνάρτηση που δέχεται ως ορίσματα λογικές μεταβλητές κάνει έναν υπολογισμό της άλγεβρας Boole και επιστρέφει 0 ή 1. Λογικό κύκλωμα: υλοποιεί μια συνάρτηση Παράδειγμα 3.1: Η ακόλουθη Λ.Σ. εκτελεί μια σειρά από λογικές πράξεις στα ορίσματά της : f X, Y, Z = X + Y Z Αν Χ = 0, Υ = 1 και το Ζ =0 η επιστρεφόμενη τιμή της συνάρτησης θα είναι : f 0,1,0 = 0 + 1 1 = 0 + 0 = 0!!! Προσοχή: στην προτεραιότητα στην των πράξεων Συμπλήρωμα πολλαπλασιασμός - πρόσθεση 5
Εισαγωγή: Πίνακες Αληθείας Πίνακας Αλήθειας: παρουσιάζει την έξοδο της Λ.Σ. για κάθε συνδυασμό των εισόδων της. Παράδειγμα 3.2: Ο πίνακας αληθείας της f X, Y = X + Y : Παράδειγμα 3.3: Ο πίνακας αληθείας της F = XΥ + Ζ : Χ Υ f(x,υ) 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Χ Υ Ζ F 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Πρέπει να είμαστε σε θέση να κατασκευάζουμε τους Πίνακες Αληθείας μιας Λ.Σ. 6
Λογικές Πύλες Πύλη ΝΟΤ Αντιστροφής - Λογικό Συμπλήρωμα Complement ( ΝΟΤ ): Η Λογική Πύλη ΝΟΤ (λογική πύλη ΌΧΙ) δέχεται μια είσοδο και παράγει στην έξοδο το αντίστροφο της εισόδου (πύλη αντιστροφέας). Σύμβολο: Πίνακας Αληθείας: Λογική συνάρτηση: X f(x) = തX 0 1 1 0 f X = X ή f X = NOT(X) + - Ισοδύναμο κύκλωμα με διακόπτες και ΠΥΛΗ NOT Rπ 1 Α 0 Ζ ~ = Α Ζ Πότε έχουμε στην έξοδο f(x) = 1 ; 7
Λογικές Πύλες Πύλη OR - Λογική Πρόσθεση: Η Λογική Πύλη OR (λογική πύλη Ή) δέχεται 2 εισόδους και παράγει στην έξοδο το λογικό Ή των εισόδων της. Αν τουλάχιστον μια από τις εισόδους είναι 1, τότε η έξοδος είναι 1. Αν και οι δυο είσοδοι είναι 0, τότε μόνο η έξοδος είναι 0. Σύμβολο: Πίνακας Αληθείας: Λογική συνάρτηση: Χ Υ f(x)=(χ+υ) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Ισοδύναμο κύκλωμα με διακόπτες και ΠΥΛΗ OR Α Ζ + - = ~ Rπ Uled=1,5-2,5V Β Iled=10-20mA Α Β Ζ f X, Y = X + Y ή f X, Y = OR(X, Y) Πότε έχουμε στην έξοδο f(x) = 1 ; 8
Λογικές Πύλες Πύλη AND - Λογική Πρόσθεση: Η Λογική Πύλη AND (λογική πύλη KAI) δέχεται 2 εισόδους και παράγει στην έξοδο το λογικό KAI των εισόδων της. Αν τουλάχιστον μια από τις εισόδους είναι 0, τότε η έξοδος είναι 0. Αν και οι δυο είσοδοι είναι 1, τότε μόνο η έξοδος είναι 1. Σύμβολο: Πίνακας Αληθείας: Λογική συνάρτηση: Χ Υ f X, Y = X Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Ισοδύναμο κύκλωμα με διακόπτες και ΠΥΛΗ AND Α + Α Β - ~ = Β Ζ Rπ Ζ f X, Y = X Y ή f X, Y = AND(X, Y) Πότε έχουμε στην έξοδο f(x) = 1 ; 9
Λογικές Πύλες Πύλη NOR - Συμπλήρωμα OR (NOT-OR) : Η Λογική Πύλη NOR δέχεται 2 εισόδους και παράγει στην έξοδο το αντίστροφο του λογικού Ή των εισόδων της. Υπολογίζουμε το OR και παίρνουμε το αντίστροφο. Σύμβολο: Πίνακας Αληθείας: Λογική συνάρτηση: - + Χ Υ Χ + Υ f(x, Y) = Χ + Υ 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 Ισοδύναμο κύκλωμα με διακόπτες και ΠΥΛΗ NOR Rπ Α Β Ζ ~ = Α Β Ζ f X, Y = (X + Y) ή f X, Y = NOT(OR(X, Y))! Δεν είναι βασική πράξη. 10
Λογικές Πύλες Πύλη NAND - Συμπλήρωμα AND (NOT-AND) : Η Λογική Πύλη NAND δέχεται 2 εισόδους και παράγει στην έξοδο το αντίστροφο του λογικού ΚΑΙ των εισόδων της. Υπολογίζουμε το AND και παίρνουμε το αντίστροφο. Σύμβολο: Πίνακας Αληθείας: Λογική συνάρτηση: Χ Υ Χ Υ f(x, Y) = Χ Υ 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Ισοδύναμο κύκλωμα με διακόπτες και ΠΥΛΗ NAND f X, Y = (X Y) ή f X, Y = NOT(AND(X, Y))! Δεν είναι βασική πράξη. 11
Λογικές Πύλες Πύλη Αποκλειστικό-Η - exclusive OR (XOR): Η Λογική Πύλη XOR δέχεται 2 εισόδους και παράγει 1 αν οι δυο είσοδοι είναι διαφορετικές, αλλιώς παράγει 0. Παράγει 1 όταν οι είσοδοι είναι διαφορετικές και 0 αν οι είσοδοι είναι ίδιες. Σύμβολο: Πίνακας Αληθείας: Λογική συνάρτηση: + - Χ Υ f X, Y = Χ Υ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Ισοδύναμο κύκλωμα με διακόπτες και ΠΥΛΗ XOR Rπ 1 Β Α 0 Ζ ~ = Α Β Ζ f X, Y = Χ Υ ή f X, Y = XOR X, Y! Δεν είναι βασική πράξη. Μπορεί να υπολογιστεί μέσω των βασικών πυλών NOT & AND f X, Y = Χ Υ = XY + X Y 12
Λογικές Πύλες Πύλη XNOR: Η Λογική Πύλη XNOR δέχεται 2 εισόδους και παράγει 1 αν οι δυο είσοδοι είναι ίδιες, αλλιώς παράγει 0. Παράγει 1 όταν οι είσοδοι είναι ίδιες και 0 αν οι είσοδοι είναι διαφορετικές. Σύμβολο: Πίνακας Αληθείας: Λογική συνάρτηση: - Χ Υ f X, Y = Χ Υ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Ισοδύναμο κύκλωμα με διακόπτες και ΠΥΛΗ XNOR + Rπ Α 0 1 Β Ζ ~ = ή Α Β Α Β Ζ Ζ f X, Y = (Χ Υ) = Χ Υ ή f X, Y = XΝOR X, Y! Δεν είναι βασική πράξη. Μπορεί να υπολογιστεί μέσω των βασικών πυλών NOT & AND f X, Y = Χ Υ = XY + X Y 13
Πύλες OR & AND πολλαπλών εισόδων Πύλες OR και AND πολλαπλών εισόδων μπορούν να υλοποιηθούν συνδέοντας πολλές αντίστοιχες πύλες δύο εισόδων, γιατί ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα: W + Χ + Υ = W + Χ + Y = W + X + Y W Χ Υ = W (Χ Y) = (W X) Y Πινάκας Αληθείας Πύλης OR και AND τριών (3) εισόδων W X Y W + X + Y W X Y 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 14
Πύλες: Κυκλώματα Άσκηση 3.1: Να σχεδιάσετε τα κυκλώματα που υλοποιούν τις παρακάτω λογικές συναρτήσεις με πύλες NOT, AND, OR α. Ζ1 = Α. Β + Α. Β + C β. Ζ2 = Α + Β Α + Β C ΛΥΣΗ 15
Πύλες: Κυκλώματα Άσκηση 3.1: Να σχεδιάσετε τα κυκλώματα που υλοποιούν τις παρακάτω λογικές συναρτήσεις με πύλες NOT, AND, OR α. Ζ1 = Α. Β + Α. Β + C β. Ζ2 = Α + Β Α + Β C ΛΥΣΗ http://circuits-cloud.com/user/login 16
Διάγραμμα Χρονισμού Διάγραμμα χρονισμού (timing diagram): γράφημα που απεικονίζει με ακρίβεια τη σχέση μεταξύ δυο ή περισσότερων κυματομορφών σε χρονική βάση. Διάγραμμα χρονισμού NOT: 17
Πύλες: Διαγράμματα Χρονισμού Διάγραμμα χρονισμού AND: Παράδειγμα πύλης AND που λειτουργεί με διεγέρσεις παλμών με ένα διάγραμμα χρονισμού που δείχνει τη χρονική σχέση εισόδου/ εξόδου 18
Πύλες: Διαγράμματα Χρονισμού Άσκηση 3.2: Για δυο κυματομορφές εισόδου Α και Β, να δείξετε την ΛΥΣΗ κυματομορφή εξόδου και τη σχέση της με τις κυματομορφές εισόδων 19
Πύλες: Διαγράμματα Χρονισμού Άσκηση 3.2: Για δυο κυματομορφές εισόδου Α και Β, να δείξετε την κυματομορφή εξόδου και τη σχέση της με τις κυματομορφές εισόδων ΛΥΣΗ Η κυματομορφή εξόδου Χ είναι HIGH μόνο όταν και οι δυο κυματομορφές εισόδου A, και B είναι HIGH. 20
Πύλες: Διαγράμματα Χρονισμού Άσκηση 3.3: Για την πύλη AND τριών εισόδων να προσδιορίσετε την ΛΥΣΗ κυματομορφή εξόδου και τη σχέση της με τις κυματομορφές εισόδων. 21
Πύλες: Διαγράμματα Χρονισμού Άσκηση 3.3: Για την πύλη AND τριών εισόδων να προσδιορίσετε την κυματομορφή εξόδου και τη σχέση της με τις κυματομορφές εισόδων. ΛΥΣΗ Η κυματομορφή εξόδου Χ είναι HIGH μόνο όταν και οι τρεις κυματομορφές εισόδου A,B,C είναι HIGH. 22
Πύλες: Διαγράμματα Χρονισμού Διάγραμμα χρονισμού OR: Παράδειγμα πύλης AND που λειτουργεί με διεγέρσεις παλμών με ένα διάγραμμα χρονισμού που δείχνει τη χρονική σχέση εισόδου/ εξόδου 23
Πύλες: Διαγράμματα Χρονισμού Άσκηση 3.4: Για δυο κυματομορφές εισόδου Α και Β, να δείξετε την ΛΥΣΗ κυματομορφή εξόδου και τη σχέση της με τις κυματομορφές εισόδων 24
Πύλες: Διαγράμματα Χρονισμού Άσκηση 3.4: Για δυο κυματομορφές εισόδου Α και Β, να δείξετε την κυματομορφή εξόδου και τη σχέση της με τις κυματομορφές εισόδων ΛΥΣΗ Όταν μια από τις δυο κυματομορφές εισόδου Α ή Β ή και οι δυο είναι HIGH η έξοδος είναι HIGH. 25
Πύλες: Διαγράμματα Χρονισμού Διάγραμμα χρονισμού NAND και NOR: 26
Πύλες: Διαγράμματα Χρονισμού Άσκηση 3.5: Για την πύλη NOR τριών εισόδων να προσδιορίσετε την ΛΥΣΗ κυματομορφή εξόδου και τη χρονική σχέση της με τις κυματομορφές εισόδων. 27
Πύλες: Διαγράμματα Χρονισμού Άσκηση 3.5: Για την πύλη NOR τριών εισόδων να προσδιορίσετε την κυματομορφή εξόδου και τη χρονική σχέση της με τις κυματομορφές εισόδων. ΛΥΣΗ Η κυματομορφή εξόδου Χ είναι LOW όταν οποιαδήποτε είσοδος (Α, Β, και C) είναι HIGH 28
Σύνοψη Πυλών 29
Πύλες: Διαγράμματα Χρονισμού Άσκηση για μελέτη: Χρησιμοποιήστε το multisim ή κάποιο ανάλογο λογισμικό για να προσομοιώσετε την 3-input AND με κυματομορφές εισόδου που περνούν από τους δυαδικούς 0 έως 9. 30
Αναφορές 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd Thomas L., Ψηφιακά ηλεκτρονικά, ΣΤΕΛΛΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΟΕ, 2007. [14795] 3. Κ. Φανουράκης, Γ. Πάτσης, Ο. Τσακιρίδης, Σημειώσεις Θεωρίας, Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, 2014. 4. Δ. Ψούνης, ΠΛΗ10, Μάθημα 1.3, https://youtu.be/iqy71uvfsnk 31