τα βιβλία των επιτυχιών

Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

Νίκος Τάσος ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α & Β ΛΥΚΕΊΟΥ για μαθητές Γ Λυκείου

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Γ Λυκείου Βασικές έννοιες Μαθηματικών Α & Β Λυκείου για μαθητές Γ Λυκείου Νίκος Τάσος ISBN: 978-618-5325-27-5 Επιμέλεια κειμένου: Γαλάτεια Μπασέα Σχεδιασμός έκδοσης, σελιδοποίηση: Βαρβάρα Παπαδημητρίου Σχεδιασμός εξωφύλλου: Αλέξανδρος Γιαννακούλιας, Μαλβίνα Κότο Εικόνα εξωφύλλου: Shutterstock Υπεύθυνη έκδοσης: Μαλβίνα Κότο Copyright 2019 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο Κυκλοφορία έκδοσης: Μάιος 2019 Επικοινωνία με συγγραφέα: nikotaso@yahoo.gr 6944 34 34 15 Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Αριθμός έκδοσης: 1η Αριθμός αντιτύπων: 1000 Λ. Βουλιαγμένης 46 & Αλεξιουπόλεως, ΤΚ 164 52 Αργυρούπολη Τ. 210 4112507 www.ekdoseispoukamisas.gr info@ekdoseispoukamisas.gr

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών 11 1.2 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους 13 1.3 Δυνάμεις 15 1.4 Ταυτότητες 17 1.5 Παραγοντοποίηση 19 1.6 Διάταξη 22 1.7 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 27 1.8 Ρίζες πραγματικών αριθμών 28 1.9 Προτεραιότητα των πράξεων 32 2. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί 2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί 35 2.2 Ακτίνιο 36 2.3 Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών 36 2.4 Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο 37 2.5 Τριγωνομετρικές ταυτότητες 38 3. Πολυώνυμα 3.1 Ορισμός πολυωνύμου 41 3.2 Σταθερό και μηδενικό πολυώνυμο 41 3.3 Βαθμός πολυωνύμου 42 3.4 Ισότητα πολυωνύμων 43 3.5 Αριθμητική τιμή πολυωνύμου 43 3.6 Ρίζα πολυωνύμου 44 3.7 Διαίρεση πολυωνύμων 45 3.8 Σχήμα Horner 47 4. Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση 4.1 Εκθετική συνάρτηση 53 4.2 Λογάριθμοι 54 4.3 Λογαριθμική συνάρτηση 56 5. Εξισώσεις 5.1 Πολυωνυμικές εξισώσεις 1ου βαθμού 61 5.2 Εξισώσεις της μορφής x ν = α, ν!* 63 5.3 Εξισώσεις με απόλυτα 63 5.4 Πολυωνυμικές εξισώσεις 2ου βαθμού 69 5.5 Πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού 3 73 5.6 Ρητές εξισώσεις 74 5.7 Άρρητες εξισώσεις 75 5.8 Τριγωνομετρικές εξισώσεις 77 5.9 Εκθετικές εξισώσεις 79 5.10 Λογαριθμικές εξισώσεις 81 5.11 Ειδικές περιπτώσεις εξισώσεων 83 7

6. Ανισώσεις 6.1 Πολυωνυμικές ανισώσεις 1ου βαθμού 91 6.2 Ανισώσεις με απόλυτα 93 6.3 Πολυωνυμικές ανισώσεις 2ου βαθμού 98 6.4 Πολυωνυμικές ανισώσεις γινομένου 102 6.5 Πολυωνυμικές ανισώσεις βαθμού 3 104 6.6 Ρητές ανισώσεις 106 6.7 Άρρητες ανισώσεις 111 6.8 Εκθετικές ανισώσεις 115 6.9 Λογαριθμικές ανισώσεις 117 6.10 Ειδικές περιπτώσεις ανισώσεων 119 7. Καρτεσιανό επίπεδο 7.1 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων 125 7.2 Απόσταση δύο σημείων στο επίπεδο 130 7.3 Απόσταση σημείου από ευθεία 132 7.4 Απόσταση ευθείας από ευθεία 134 8. Συστήματα 8.1 Γραμμικά συστήματα 139 8.2 Μη γραμμικά συστήματα 142 8.3 Εκθετικά συστήματα 143 8.4 Λογαριθμικά συστήματα 144 9. Συναρτήσεις 9.1 Η έννοια της συνάρτησης 147 9.2 Πεδίο ορισμού & σύνολο τιμών συνάρτησης 148 9.3 Μονοτονία & ακρότατα συνάρτησης 150 9.4 Άρτια & περιττή συνάρτηση 153 9.5 Γραφική παράσταση συνάρτησης 154 9.6 Η συνάρτηση f(x) = αx + β 161 9.7 Η συνάρτηση f(x) = αx 2 166 9.8 Η συνάρτηση f(x) = αx 3 169 9.9 Η συνάρτηση f(x) = αx 2 + βx + γ 171 9.10 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 179 9.11 Σύνοψη γραφικών παραστάσεων βασικών συναρτήσεων 182 10. Γεωμετρία 10.1 Βασικά στοιχεία τριγώνων & είδη τριγώνων 187 10.2 Ισότητα τριγώνων & κριτήρια ισότητας τριγώνων 189 10.3 Ομοιότητα τριγώνων & κριτήρια ομοιότητας τριγώνων 189 10.4 Εμβαδόν & περίμετρος επίπεδων σχημάτων 190 10.5 Εμβαδόν & όγκος γεωμετρικών στερεών 191 Ευρετήριο όρων 195 8

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί

1.1 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών A. Βασικά σύνολα αριθμών Το σύνολο των φυσικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με N, είναι: N = {0, 1, 2, 3, } Με n * συμβολίζουμε τους φυσικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή: * n n 0 xn / x 0 Το σύνολο των ακεραίων αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με Z, είναι: Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, } Με Z * συμβολίζουμε τους ακέραιους που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή: * Z Z 0 xz / x 0 Το σύνολο των ρητών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με q, είναι: Q Z,, 0 Με Q * συμβολίζουμε τους ρητούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή: * Q Q 0 xq / x 0 Το σύνολο των άρρητων αριθμών, που δεν έχει κάποιον ιδιαίτερο συμβολισμό, είναι όλοι εκείνοι οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με r, αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους. Με R * συμβολίζουμε τους πραγματικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή: * R R 0 xr / x 0 Για τα σύνολα N, Z, q, που είναι υποσύνολα του βασικού συνόλου r, ισχύει ότι: n Z Q R και με τη βοήθεια ενός διαγράμματος Venn προκύπτει το εξής: r Q Z N 11

Πραγματικοί Αριθμοί B. Ο άξονας των πραγματικών αριθμών Ο άξονας των πραγματικών αριθμών είναι μία ευθεία πάνω στην οποία ορίζουμε: ένα σημείο, το οποίο θεωρείται ως αρχή μέτρησης, ένα μέτρο, τη θετική φορά. x 2 e 3 2 1 0 1 2 3 x + Γ. Αντίθετοι & αντίστροφοι αριθμοί Δύο αριθμοί α, β ονομάζονται: Αντίθετοι, αν, και μόνο αν, α + β = 0 Αντίστροφοι, αν, και μόνο αν, α β = 1 i. Ο αντίθετος του 5 είναι ο 5, αφού 5 + 5 = 0. ii. Ο αντίθετος του α β είναι ο β α, αφού (α β) + (β α) = α β + β α = 0. iii. Ο αντίστροφος του 2 3 είναι ο 3 2, αφού 2 3 3 23 6 2 32 6 1. 2 1 iv. Ο αντίστροφος του α 2 + 4 είναι ο 2 4, αφού 1 4 (α2 + 4) 2 2 4 4 = 1. Δ. Άρτιοι & περιττοί αριθμοί Κάθε ακέραιος αριθμός που διαιρείται με το 2 (ή είναι πολλαπλάσιο του 2) λέγεται άρτιος. Συμβολικά κάθε άρτιος αριθμός έχει τη μορφή: 2ν, όπου ν ακέραιος Κάθε ακέραιος αριθμός που δεν διαιρείται με το 2 λέγεται περιττός. Συμβολικά κάθε περιττός αριθμός έχει τη μορφή: 2ν + 1, όπου ν ακέραιος 12

Κεφάλαιο 1 1.2 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Α. Ιδιότητες των πράξεων Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι ιδιότητες που αναφέρονται στον επόμενο πίνακα, οι οποίες αποτελούν τη βάση του αλγεβρικού λογισμού. Ιδιότητα Πράξη Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = α α 1 = α Επιμεριστική α(β + γ) = αβ + αγ B. Ιδιότητες που προκύπτουν από τις πράξεις πραγματικών αριθμών 1. Για κάθε α, β, γ, δr ισχύει ότι: α β α + γ = β + δ γ δ Δηλαδή, μπορούμε δύο ισότητες να τις προσθέτουμε κατά μέλη. 2. Για κάθε α, β, γ, δr ισχύει ότι: α β α γ = β δ γ δ Δηλαδή, μπορούμε δύο ισότητες να τις πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη. 3. Για κάθε α, β, γr ισχύει ότι: α = β α + γ = β + γ (ιδιότητα διαγραφής στην πρόσθεση) Δηλαδή, μπορούμε και στα δύο μέλη μιας ισότητας να προσθέτουμε (ή να αφαιρούμε) τον ίδιο πάντα αριθμό. 4. Για κάθε α, β, γr με γ 0, ισχύει ότι: α = β α γ = β γ (ιδιότητα διαγραφής στον πολλαπλασιασμό) Δηλαδή, μπορούμε και τα δύο μέλη μιας ισότητας να τα πολλαπλασιάζουμε (ή να τα διαιρούμε) με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό. 13

Πραγματικοί Αριθμοί 5. Για κάθε α, βr, ισχύει ότι: α β = 0 α = 0 ή β = 0 Δηλαδή, το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, αν, και μόνο αν, ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς είναι ίσος με το μηδέν. Άμεση συνέπεια της ιδιότητας αυτής είναι η: α β 0 α 0 και β 0 6. α 2 + β 2 = 0 α = 0 και β = 0 7. α + β = 0 α = 0 και β = 0 8. α 2 + β 2 0 α = 0 και β = 0 9. α 2 + β 2 > 0 α 0 ή β 0 Παγίδες Προσέξτε ότι στις ιδιότητες (1) και (2) δεν ισχύει το αντίστροφο, γι αυτό άλλωστε χρησιμοποιούμε το σύμβολο της συνεπαγωγής (). Με άλλα λόγια, αν ισχύει α + γ = β + δ, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι α = β και γ = δ. Όμοια, για τη (2), αν ισχύει α γ = β δ, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι α = β και γ = δ. Για παράδειγμα: 2 + 5 = 3 + 4 δεν ισχύει ότι 2 = 3 και 5 = 4 3 4 = 2 6 δεν ισχύει ότι 3 = 2 και 4 = 6 Γ. Λόγος του α προς τον β, όπου β 0 Αν α και β είναι δύο πραγματικοί αριθμοί με β 0, ονομάζουμε λόγο του α προς τον β το πηλίκο της διαίρεσης α : β και συμβολίζουμε. Δ. Ανάλογοι αριθμοί Δύο αριθμοί α, β λέγονται ανάλογοι προς δύο άλλους αριθμούς γ και δ, όταν ο λόγος του α προς τον γ είναι ίσος με τον λόγο του β προς τον δ, δηλαδή όταν ισχύει: 1. Ε. Ιδιότητες αναλογιών α δ = β γ, βδ 0 14

Κεφάλαιο 1 2. 3. 4., αβγδ 0, βγδ 0, βδ 0 5. Αν, τότε:, βδ(β + δ) 0 1.3 Δυνάμεις Α. Ορισμός δύναμης Η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού α με εκθέτη έναν ακέραιο αριθμό, τον οποίο συμβολίζουμε με α ν, είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α, δηλαδή: α ν, για ν > 1 και α 1 = α, για ν = 1 Αν επιπλέον ισχύει α 0, ορίζουμε ότι: α 0 = 1 και α ν = 1 i. 2 4 = 2 2 2 2 = 16 ii. ( 3) 2 = ( 3)( 3) = 9 iii. ( 2) 3 = ( 2)( 2)( 2) = 8 iv. 0 4 = 0 v. 5 0 = 1 vi. 3 2 = 1 1 3 = 2 9 Β. Ιδιότητες δυνάμεων Για δυνάμεις με εκθέτη κ, λz ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: 1. α κ α λ = α κ+λ 2. α κ β κ = (α β) κ 3. (α κ ) λ = α κλ 4. α κ α κ λ 5. α κ λ κ α β α κ 6. β α κ β β α κ 15

Πραγματικοί Αριθμοί i. 3 4 3 6 = 3 4 + 6 = 3 2 = 9 ii. 4 2 5 2 = (4 5) 2 = 400 iii. (2 4 ) 2 = 2 8 = 1 1 2 = 8 256 iv. 4 3 = ( 4) 5 3 = ( 4) 2 = 16 4 v. 6 3 4 4 6 3 4 = ( 2) 4 = 16 vi. 5 2 3 4 4 4 4 3 3 2 2 3 2 4 81 16 Παγίδες Τα λάθη που παρατηρούνται πιο συχνά και πρέπει να αποφύγουμε είναι τα εξής: Λάθος Σωστό 2 3 = 2 3 = 6 2 3 = 2 2 2 = 8 2 3 + 2 2 = 2 5 = 32 2 3 + 2 2 = 8 + 4 = 12 2 3 2 2 = 2 1 = 2 2 3 2 2 = 8 4 = 4 3 2 = 9 3 2 = 9 4 2 3 = 8 3 = (2 3 ) 3 = 2 9 4 2 3 = 2 2 2 3 = 2 5 Γ. Πρόσημο δυνάμεων Ισχύουν τα εξής: 1. Αν ν άρτιος, τότε: α. α ν > 0, αν α 0 β. α ν = 0, αν α = 0 2. Αν ν περιττός, τότε: α. α ν > 0, αν α > 0 β. α ν = 0, αν α = 0 γ. α ν < 0, αν α < 0 3. Ισχύει επίσης ότι: ( α) 2ν α 2ν ενώ ( α) 2ν + 1 = α 2ν + 1, νz i. ( 5) 2022 > 0 ii. 69 301 > 0 iii. 7 100 < 0 iv. 0 210 = 0 v. ( 4) 51 < 0 vi. 12 0 = 1 < 0 16

Κεφάλαιο 1 Δ. Δυνάμεις με εκθέτη ρητό Αν α > 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε: μ α ν ν α μ Αν μ, ν θετικοί ακέραιοι, τότε ορίζουμε: 0 = 0 1 1 i. 16 2 2 1 = 16 = 16 = 4 ii. 8 3 3 2 3 = 8 = 64 = 4 2 2 Για α > 0, είναι: 3 3 4 3 4 3 4 5 3 5 3 5 29 12 Παγίδα Αν αr, μ, νn * και μ άρτιος, τότε: ν α μ μ α ν 1.4 Ταυτότητες Α. Βασικές ταυτότητες Ταυτότητα είναι κάθε ισότητα με μεταβλητές, η οποία επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2 2. (α β) 2 = α 2 2αβ + β 2 3. α 2 β 2 = (α β)(α + β) 4. (α + β) 3 = α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3 5. (α β) 3 = α 3 3α 2 β + 3αβ 2 β 3 6. α 3 + β 3 = (α + β)(α 2 αβ + β 2 ) 7. α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) 8. (α + β + γ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ 17

Πραγματικοί Αριθμοί Β. Χρήσιμες ταυτότητες Μερικές ακόμη εφαρμογές ταυτοτήτων είναι οι εξής: ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. α 2 + β 2 = (α + β) 2 2αβ 2. α 2 + β 2 = (α β) 2 + 2αβ 3. (α + β) 2 = (α β) 2 + 4αβ 4. (α β) 2 = (α + β) 2 4αβ 5. α 3 + β 3 = (α + β) 3 3αβ(α + β) 6. α 3 β 3 = (α β) 3 + 3αβ(α β) 7. (α + β γ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2αβ 2αγ 2β 8. α 3 + β 3 + γ 3 3αβγ = 1 2 (α + β + γ)[(α β)2 + (β γ) 2 + (γ α) 2 ] i. (3x 2 + 2y) 2 = (3x 2 ) 2 + 2 3x 2 2y + (2y) 2 = 9x 4 + 12x 2 y + 4y 2 ii. (x 2y 3 ) 2 = x 2 2 x 2y 3 + (2y 3 ) 2 = x 2 4xy 3 + 4y 6 iii. (x + 3y)(x 3y) = x 2 (3y) 2 = x 2 9y 2 iv. (3x + 4) 3 = (3x) 3 + 3 (3x) 2 4 + 3 (3x) 4 2 + 4 3 = 27x 3 + 108x 2 + 144x + 64 v. (2x y) 3 = (2x) 3 3 (2x) 2 y + 3 (2x) y 2 y 3 = 8x 3 12x 2 y + 6xy 2 y 3 vi. 8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x)(2 2 2x + x 2 ) = (2 + x)(4 2x + x 2 ) vii. 27 x 3 = 3 3 x 3 = (3 x)(3 2 + 3x + x 2 ) = (3 x)(9 + 3x + x 2 ) viii. (2x + y + 1) 2 = (2x) 2 + y 2 + 1 2 + 2 2x y + 2 2x 1 + 2 y 1 = = 4x 2 + y 2 + 1 + 4xy + 4x + 2y Παγίδες Προσέχουμε τις παρακάτω ισότητες: ( α β) 2 = (α + β) 2 ( α + β) 2 = (β α) 2 ( α β) 3 = (α + β) 3 ( α + β) 3 = (β α) 3 18

Κεφάλαιο 1 1.5 Παραγοντοποίηση Α. Ορισμός παραγοντοποίησης Η παραγοντοποίηση μιας παράστασης είναι ο μετασχηματισμός της σε γινόμενο παραγόντων. Β. Μέθοδοι παραγοντοποίησης 1. Κοινός παράγοντας Όταν οι όροι της παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε η παράσταση μετατρέπεται σε γινόμενο με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας. i. 4αβ 2α 2 + 3α = α(4β 2α + 3) ii. 4α 3 β 2 2α 4 β 3 + 8α 7 β 5 = 2α 3 β 2 (2 αβ + 4α 4 β 3 ) 2. Παραγοντοποίηση κατά ομάδες (ομαδοποίηση) Όταν οι όροι που εμφανίζονται σε μια παράσταση δεν έχουν όλοι κοινό παράγοντα, τότε τους διασπάμε σε ομάδες ώστε: οι ομάδες που δημιουργούμε να έχουν κοινό παράγοντα, οι παραστάσεις που θα προκύψουν, μετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα, να είναι ίδιες. i. 20α 2 + 5α 2β 8αβ = 5α(4α + 1) 2β(1 + 4α) = (4α + 1)(5α 2β) ii. 6α 3 2α 3 β + 3α αβ + β 3 = 2α 3 (3 β) + α(3 β) + β 3 = = 2α 3 (3 β) + α(3 β) (3 β) = (3 β)(2α 3 + α 1) 3. Ταυτότητες 1. α 2 2αβ + β 2 = (α β) 2 2. α 2 + 2αβ + β 2 = (α + β) 2 3. α 2 β 2 = (α β)(α + β) 4. α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) 5. α 3 3α 2 β + 3αβ 2 β 3 = (α β) 3 6. α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3 = (α + β) 3 19

Πραγματικοί Αριθμοί i. 4α 2 12αβ 2 + 9β 2 = (2α) 2 2 2α 3β + (3β) 2 = (2α 3β) 2 ii. 16α 4 + β 2 + 8α 2 β = (4α 2 ) 2 + 2 4α 2 β + β 2 = (4α 2 + β) 2 iii. 1 4α 2 = 1 2 (2α) 2 = (1 2α)(1 + 2α) iv. 27α 3 8β 3 = (3α) 3 (2β) 3 = (3α 2β)[(3α) 2 + 3α 2β + (2β) 2 ] = = (3α 2β)(9α 2 + 6αβ + 4β 2 ) v. 8α 3 12α 2 + 6α 1 = (2α) 3 3 4α 2 1 + 3 2α 1 2 1 3 = = (2α) 3 3 (2α) 2 1 + 3 2α 1 2 1 3 = (2α 1) 3 vi. α 3 + 12α 2 β + 48αβ 2 + 64β 3 = α 3 + 3 α 2 4β + 3 α 16β 2 + (4β) 3 = = α 3 + 3 α 2 4β + 3 α (4β) 2 + (4β) 3 = (α + 4β) 3 4. Σε κάποιες περιπτώσεις παραγοντοποίησης θα χρειαστεί να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε κάποια παράσταση, προκειμένου να δημιουργήσουμε το ανάπτυγμα κάποιας γνωστής ταυτότητας. Οι περιπτώσεις αυτές είναι εξαιρετικά δύσκολες και απαιτούν μεγάλη εμπειρία. α 4 + 4β 4 = α 4 + 4β 4 + 4α 2 β 2 4α 2 β 2 = = (α 2 + 2β 2 ) 2 (2αβ) 2 = = (α 2 + β 2 2αβ)(α 2 + β 2 + 2αβ) 5. Συνδυασμός περιπτώσεων Σε πολλές περιπτώσεις για την παραγοντοποίηση μιας παράστασης χρειάζεται να κάνουμε συνδυασμό των παραπάνω τρόπων. 9α 2 18αβ + 9β 2 3α + 3β = 9(α 2 2αβ + β 2 ) 3(α β) = = 9(α β) 2 3(α β) = 3(α β)[3(α β) 1] = = 3(α β)(3α 3β 1) 20

Κεφάλαιο 1 6. Τριώνυμο Διακρίνουσα Δ = β 2 4 α γ Ρίζες Δ > 0 x 12, 2 Μορφή τριωνύμου αx 2 + βx + γ αx 2 + βx + γ = α(x x 1 )(x x 2 ) Δ = 0 x 0 2 αx 2 + βx + γ = α(x x 0 ) 2 Δ < 0 Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες Δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων i. Το τριώνυμο 3x 2 + x 2 έχει α = 3, β = 1 και γ = 2. Οπότε η διακρίνουσα του είναι: Δ = β 2 4 α γ = 1 2 4 3 ( 2) = 1 + 24 = 25 > 0 Επομένως, το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, τις: 15 4 2 1 25 x 12, 15 6 6 3 2 23 6 15 6 1 6 6 Άρα, το τριώνυμο 3x 2 + x 2 παραγοντοποιείται ως εξής: 2 3x 2 + x 2 = 3 x 3 (x ( 1)) = (3x 2)(x + 1) ii. Το τριώνυμο 4x 2 + 12x + 9 έχει α = 4, β = 12 και γ = 9. Οπότε η διακρίνουσα του είναι: Δ = β 2 4 α γ = 12 2 4 4 9 = 144 144 = 0 Επομένως, το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα, τη: 12 12 3 x 0 = 2 2 4 8 2 Άρα, το τριώνυμο 3x 2 + x 2 παραγοντοποιείται ως εξής: 2 2 3x 2 + x 2 = 3 x 3 x 3 3 2 2 iii. Το τριώνυμο 2x 2 5x + 6 έχει α = 2, β = 5 και γ = 6. Οπότε η διακρίνουσα του είναι: Δ = β 2 4 α γ = ( 5) 2 4 2 6 = 25 48 = 23 < 0 Επομένως, το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες και συνεπώς δεν παραγοντοποιείται. 21