ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 1

Α. Τα βασικά σημεία της θεωρίας. 1. Να δοθεί ο ορισμός της Επιχειρησιακής Έρευνας. Επιχειρησιακή έρευνα είναι η ποσοτική ανάλυση για τη λήψη διοικητικών αποφάσεωνεπιχειρηματικών και επιχειρησιακών αποφάσεων. Περιλαμβάνει το σύνολο των τεχνικοοικονομικών μεθόδων λήψης αποφάσεων οι οποίες βασίζονται στην επιστημονική προσέγγιση για την επίλυση διοικητικών προβλημάτων. Αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούν μαθηματικά μοντέλα προκειμένου να περιγράψουν τη λειτουργία ενός συστήματος και τα οποία είναι σε θέση να συνδράμουν στη βελτίωση της λειτουργίας του συστήματος. 2. Τι γνωρίζετε για τη διαδικασία καθορισμού των παραμέτρων και των μεταβλητών; Ο καθορισμός των παραμέτρων του προβλήματος περιλαμβάνει το διαχωρισμό τους σε δυο κατηγορίες. Η πρώτη περιλαμβάνει εκείνους τους παράγοντες που οι έχοντες την ευθύνη της λήψης αποφάσεων μπορούν να αλλάξουν (ελεγχόμενες μεταβλητές) ώστε να προκύψει μια λύση του προβλήματος, ενώ η δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνει τους παράγοντες εκείνους που μπορεί να επηρεάζουν τη λύση του προβλήματος αλλά καθορίζονται από τρίτους ή από το γενικότερο επιχειρησιακό και οικονομικό περιβάλλον (μη ελεγχόμενες μεταβλητές-παράμετροι). 3. Σκιαγράφηση λύσεων-αναζήτηση και ανάλυση εναλλακτικών λύσεων. α) Απαραίτητη συνθήκη για τον ορισμό ενός επιχειρησιακού προβλήματος είναι να γνωρίζει ο λήπτης αποφάσεων πότε το πρόβλημα θα έχει επιλυθεί. Δηλαδή να είναι σε θέση να προσδιορίσει τι αναμένει ως λύση του προβλήματος και με ποιο τρόπο αυτή μπορεί να επιτευχθεί. Αυτό προϋποθέτει ότι έχει διαμορφώσει μια πρώτη εικόνα για το ποιοι είναι οι παράγοντες που καθορίζουν το πρόβλημα, τι μπορεί να αλλάξει και με ποιο τρόπο αυτό επηρεάζει το αποτέλεσμα που επιθυμεί να επιτύχει. β) Η σύγκριση των εφικτών εναλλακτικών λύσεων προσδιορίζει την άριστη ή βέλτιστη λύση όπως αποκαλείται στην ορολογία της επιχειρησιακής έρευνας, η επιλογή που δίνει το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα. Είναι προφανές ότι ο προσδιορισμός της βέλτιστης λύσης καθορίζεται από ένα συγκεκριμένο στόχο. Μόνο έτσι οι διάφορες εναλλακτικές λύσεις είναι δυνατό να συγκριθούν μεταξύ τους. Το αντικείμενο της επιχειρησιακής έρευνας είναι η ανάπτυξη συγκεκριμένων μεθόδων ανάλογα με τη φύση του προβλήματος για το προσδιορισμό της βέλτιστης λύσης. 4. Πως υλοποιείται η επιλεγείσα λύση; Το στάδιο αυτό είναι και το πιο δύσκολο τις περισσότερες φορές. Ακόμα και στη περίπτωση που η προτεινόμενη λύση είναι η καλύτερη δυνατή, αν οι υπεύθυνοι για την υλοποίηση της δεν πεισθούν για την αποτελεσματικότητα της τότε η όλη προσπάθεια μπορεί να αποτύχει. Η εμπειρία έχει δείξει ότι λάθος χειρισμοί στη φάση της υλοποίησης σωστών προτάσεων και επιλογών έχουν οδηγήσει την όλη προσπάθεια σε αποτυχία. Ακόμα και αν με την υλοποίηση της προτεινόμενης λύσης απαιτείται η παρακολούθηση και ο έλεγχος ώστε να εντοπιστούν τυχόν αλλαγές και βελτιώσεις που μπορούν να γίνουν ή όχι ορατές. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 2

5. Τι γνωρίζεται για τα Μαθηματικά Υποδείγματα (Μοντέλα); Η ποσοτική προσέγγιση για την επίλυση επιχειρηματικών προβλημάτων περιλαμβάνει τη χρήση μαθηματικών υποδειγμάτων ή μοντέλων. Ο όρος μοντέλο χρησιμοποιείται γενικώς για να δηλώσει μια αναπαράσταση (συνήθως με μαθηματική μορφή) μιας πραγματικής κατάστασης ή διαδικασίας. Για παράδειγμα, ένα μαθηματικό μοντέλο ενός διοικητικού-οικονομικού μοντέλου αποτελείται από ένα σύνολο μαθηματικών σχέσεων που περιγράφουν τις εξαρτήσεις μεταξύ των οικονομικών μεγεθών που αφορούν συγκεκριμένο πρόβλημα ή τη δεδομένη κατάσταση. 6. Ποιες είναι οι επιθυμητές ιδιότητες των μαθηματικών μοντέλων; Ένα μαθηματικό μοντέλο πρέπει να συγκεντρώνει δυο βασικές ιδιότητες: α) Να περιγράφει με αρκετή πιστότητα το επιχειρησιακό πρόβλημα που προσπαθούμε να λύσουμε β) Να είναι δυνατό να επιλυθεί 7. Ποια είναι τα συστατικά στοιχεία ενός μαθηματικού μοντέλου; Ένα μαθηματικό μοντέλο επιχειρησιακού προβλήματος περιλαμβάνει τα παρακάτω στοιχεία: Μεταβλητές Αποφάσεων: αντιπροσωπεύουν εκείνους τους παράγοντες ή εκείνα τα οικονομικά ή τεχνικά μεγέθη του προβλήματος, που είναι υπό τον έλεγχο αυτού που λαμβάνει την απόφαση (ελεγχόμενες μεταβλητές) και για τα οποία καλείται να αποφασίσει, δηλαδή να ορίσει τις τιμές τους. Παράδειγμα, σε ένα μοντέλο κόστους-εσόδων η ποσότητα παραγωγής είναι μια μεταβλητή απόφασης. Παράμετροι: εκτός των μεταβλητών σε κάθε πρόβλημα έχουμε μια σειρά άλλων δεδομένων τα οποία επηρεάζουν τη λύση του προβλήματος, αλλά οι τιμές τους δεν καθορίζονται από το λήπτη αποφάσεων αλλά θεωρούνται δεδομένες. α) Σε ορισμένες περιπτώσεις θεωρούμε τα δεδομένα του προβλήματος σταθερά και στην περίπτωση αυτή αναφερόμαστε σε προσδιοριστικά μοντέλα. Ο όρος σταθερά στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν σημαίνει ότι οι τιμές των συγκεκριμένων παραμέτρων δεν μεταβάλλονται ποτέ, αλλά δεν χαρακτηρίζονται από συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. β) Σε άλλες περιπτώσεις τα δεδομένα ενός προβλήματος δεν μπορούν να θεωρηθούν σταθερά γιατί από τη φύση τους υπόκεινται σε τυχαίες μεταβολές. Σε αυτές τις περιπτώσεις μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε τις λύσεις του μαθηματικού μοντέλου και κατ επέκταση του επιχειρησιακού προβλήματος που περιγράφει λαμβάνοντας υπόψη τις συνεχείς τυχαίες αλλαγές των τιμών των παραμέτρων του προβλήματος. Τέτοια μοντέλα, στα οποία το κύριο στοιχείο είναι οι τυχαίες διακυμάνσεις των παραμέτρων τους, καλούνται στοχαστικά μοντέλα. Αντικειμενικός στόχος: στα περισσότερα προβλήματα ο στόχος είναι η βελτίωση ενός οικονομικού ή τεχνικού μεγέθους. Περιορισμοί: Κάθε επιχειρησιακή έρευνα λαμβάνεται μέσα σε ένα συγκεκριμένο λειτουργικό και οικονομικό πλαίσιο, το οποίο οριοθετεί τα όρια μέσα στα οποία μπορεί να κινηθεί ο λήπτης της απόφασης. Σε ένα Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 3

μαθηματικό μοντέλο οι λειτουργικοί περιορισμοί του προβλήματος περιγράφονται επίσης με μαθηματικές σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές αποφάσεων με τις παραμέτρους του προβλήματος. 8. Ανάλυση ευαισθησίας της λύσης Εφόσον το μαθηματικό μοντέλο αποτελεί μόνο μια μαθηματική απεικόνιση της πραγματικότητας, είναι προφανές ότι η λύση που προέκυψε εξαρτάται απόλυτα από τις τιμές των παραμέτρων του. Διαφορετικές τιμές των παραμέτρων μπορεί να οδηγήσουν σε διαφορετική λύση. Η ανάλυση ευαισθησίας του βέλτιστου αποτελέσματος σε σχέση με μεταβολές στα δεδομένα του μοντέλου ή στη δομή του μοντέλου αποτελεί το πιο σημαντικό μέρος της ανάλυσης των αποτελεσμάτων. Η ανάλυση ευαισθησίας προσδιορίζει το βαθμό στον οποίο διαφοροποιείται η προτεινόμενη λύση όταν υπάρξουν μεταβολές στα δεδομένα ή στο μοντέλο. Αν μικρές μεταβολές των παραμέτρων επηρεάζουν κατά πολύ την προτεινόμενη λύση τότε θα απαιτηθεί επιπλέον προσπάθεια για να υπάρξουν όσο το δυνατόν πιο αξιόπιστα δεδομένα αλλιώς υπάρχει κίνδυνος να υιοθετήσουμε και να υλοποιήσουμε λανθασμένες επιλογές. Αντίθετα, αν η προτεινόμενη λύση δεν διαφοροποιείται σημαντικά σε πιθανές μεταβολές των παραμέτρων, έχουμε μεγαλύτερο βαθμό εμπιστοσύνης στην προτεινόμενη λύση. 9. Ποιες είναι οι τεχνικές της επιχειρησιακής έρευνας; Η κατηγοριοποίηση των τεχνικών αναφέρεται είτε στο πεδίο εφαρμογής είτε στον τύπο του μαθηματικού μοντέλου. Γραμμικός Προγραμματισμός: αποτελεί τη βασικότερη ίσως μεθοδολογία της επιχειρησιακής έρευνας. Ο αντικειμενικός στόχος περιγράφεται από μια γραμμική συνάρτηση των μεταβλητών του προβλήματος και το ίδιο συμβαίνει με τους επιχειρησιακούς περιορισμούς. Κλασικό παράδειγμα είναι η κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον αποτελεσματικότερο τρόπο. Οι περιορισμοί μπορούν να αφορούν το διαθέσιμο προσωπικό, τις διαθέσιμες ώρες των μηχανημάτων, τα κεφάλαια μιας επιχείρησης, τους αποθηκευτικούς χώρους κ.λπ. Προβλήματα μεταφοράς: με δεδομένα τη διαθέσιμη ποσότητα σε κάθε σημείο αποθήκευσης και τη ζήτηση σε κάθε σημείο κατανάλωσης, καθώς και το κόστος μεταφοράς από σημείο σε σημείο, το μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να μεταφερθούν από κάθε αποθηκευτικό χώρο σε κάθε χώρο κατανάλωσης. Θεωρία αποφάσεων-θεωρία παιγνίων: τα μοντέλα αποφάσεων συστηματοποιούν τις μεθόδους σύγκρισης εναλλακτικών αποφάσεων και επιλογής της βέλτιστης λύσης σε συνθήκες αβεβαιότητας και ρίσκου. Βασίζονται στην παράσταση των δεδομένων κάθε προβλήματος λήψης αποφάσεων με τη μορφή πίνακα κερδών/ζημιών για κάθε εναλλακτική λύση. Ουρές αναμονής: στόχος είναι η καλή λειτουργία μονάδων εξυπηρέτησης. Όπως για παράδειγμα ο χρόνος αναμονής των πελατών σε μια τράπεζα. Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων: τα αποθέματα αποτελούν σημαντικό κόστος για μια επιχείρηση, διότι αντιπροσωπεύουν κεφάλαια που είναι δεσμευμένα και τα οποία η επιχείρηση δεν μπορεί να αξιοποιήσει σε άλλες δραστηριότητες. Το σημαντικό ερώτημα στον προγραμματισμό Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 4

αποθεμάτων είναι ο καθορισμός της ποσότητας παραγγελίας και του χρόνου που δίνεται μια παραγγελία για ένα είδος. Μοντέλα δικτύων: χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν μια πραγματική κατάσταση σε μορφή δικτύου. Η πιο διαδομένη και γνωστή εφαρμογή είναι ο προγραμματισμός και ο έλεγχος εκτέλεσης ενός έργου. Μη γραμμικός- Ακέραιος προγραμματισμός: είναι ειδικές περιπτώσεις που αποτελούν επέκταση του μοντέλου του γραμμικού προγραμματισμού. Στην περίπτωση του ακέραιου προγραμματισμού υπάρχει ο επιπλέον περιορισμός ότι κάποιες ή όλες οι μεταβλητές αποφάσεων λαμβάνουν μόνο ακέραιες τιμές, όπως για παράδειγμα στον προγραμματισμό δρομολογίων που ένα μεταφορικό μέσο θα πρέπει να εκτελέσει σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο. 10. Ποιες είναι οι κατηγορίες των μαθηματικών μοντέλων; Μια θεώρηση των μαθηματικών μοντέλων αφορά το διαχωρισμό τους σε κατηγορίες ανάλογα με τις μεθόδους επίλυσης, το αποτέλεσμα που προκύπτει από την εφαρμογή του μοντέλου και τον τρόπο αντιμετώπισης των συνθηκών αβεβαιότητας. Α. Κατηγοριοποίηση ως προς τις μεθόδους επίλυσης 1 ο Αναλυτικά μοντέλα Η λύση του προβλήματος προκύπτει από την εφαρμογή μαθηματικών τύπων που καθορίζουν την τιμή των μεταβλητών του μοντέλου με βάση τις τιμές των παραμέτρων του. Για παράδειγμα, ο προσδιορισμός του βέλτιστου ύψους αποθεμάτων και του σημείου παραγγελίας στα προβλήματα προγραμματισμού και ελέγχου αποθεμάτων. 2 ο Αλγοριθμικά μοντέλα Η λύση προκύπτει από την εφαρμογή ενός αλγορίθμου, δηλαδή μιας σειράς μαθηματικών πράξεων και μετασχηματισμών η οποία εκτελείται με συγκεκριμένους κανόνες που περιλαμβάνουν διακλαδώσεις ή επαναλήψεις βημάτων. Παράδειγμα, ο γραμμικός προγραμματισμός. 3 ο Ευρετικές μέθοδοι Αποτελούν ειδική κατηγορία αλγορίθμων που χρησιμοποιούνται όταν η ακριβής επίλυση ενός προβλήματος είναι είτε αδύνατη λόγω πολυπλοκότητας του μοντέλου είτε πρακτικά πολύ δύσκολη λόγω του μεγέθους του. 4 ο Προσομοίωση Είναι μια γενική μέθοδος ανάλυσης σύνθετων και πολύπλοκων προβλημάτων των οποίων ο προσδιορισμός της βέλτιστης λύσης μέσω ενός μαθηματικού μοντέλου δεν είναι δυνατή είτε λόγω πολυπλοκότητας είτε διότι οι τιμές των παραμέτρων τους παρουσιάζουν τυχαίες διακυμάνσεις. Στην τελευταία περίπτωση χρησιμοποιείται ο υπολογιστής για να εξετάσει τον τρόπο λειτουργίας του υπό ανάλυση συστήματος όταν Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 5

οι παράμετροι του μοντέλου λαμβάνουν διαφορετικές τυχαίες τιμές ανάλογα με τη διακύμανση που παρουσιάζουν. 5 ο Πολυκριτήριες μέθοδοι Αποτελούν μια ειδική οικογένεια μεθόδων και τεχνικών ανάλυσης προβλημάτων στα οποία τα κριτήρια βελτιστοποίησης ή αποφάσεων είναι περισσότερά από ένα και χαρακτηρίζονται από τον όρο πολυκριτήριας ανάλυσης αποφάσεων. Παραδείγματα, Θεωρία Πολυκριτήριας Χρησιμότητας, οι Μέθοδοι Υπεροχής και η Ανάλυση Προτιμήσεων. Β. Κατηγοριοποίηση ως προς το στόχο 1 ο Μοντέλα βελτιστοποίησης Στόχος είναι η μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας μεταβλητής ή της τιμής μια συνάρτησης γενικότερα η οποία εκφράζει τον επιθυμητό επιχειρησιακό στόχο. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί μέσω αναλυτικών, αλγοριθμικών ή ευρετικών μεθόδων επίλυσης. Το αποτέλεσμα είναι οι τιμές των μεταβλητών που καθορίζουν τη βέλτιστη τιμή του στόχου. 2 ο Περιγραφικά Μοντέλα Σε αυτή την περίπτωση ενδιαφέρει η αναζήτηση και η ποσοτικοποίηση σχέσεων μεταξύ των διαφορετικών μεταβλητών του μοντέλου έτσι ώστε να προσδιοριστούν οι αλλαγές που θα προκύψουν σε ένα μέγεθος όταν σε ένα άλλο ή άλλα μεγέθη που το επηρεάζουν μεταβάλλονται. Το αποτέλεσμα συνήθως απεικονίζεται γραφική παράσταση των εξεταζόμενων μεγεθών. 3 ο Μοντέλα Πρόβλεψης Είναι κυρίως στατιστικά μοντέλα ανάλυσης ιστορικών στοιχείων σε μορφή χρονοσειρών με σκοπό τον προσδιορισμό μιας μαθηματικής σχέσης μεταξύ μιας εξαρτημένης μεταβλητής (π.χ. πωλήσεις) και ενός ή περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών που μπορεί να την επηρεάζουν (π.χ. διαφήμιση, πληθυσμός, χρόνος κ.α.) έτσι ώστε με βάση μελλοντικές τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών, να είναι δυνατή η πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 6

Γ. Κατηγοριοποίηση ως προς τη διαχείριση της αβεβαιότητας 1 ο Προσδιοριστικά-Ντετερμινιστικά Όταν οι τιμές των παραμέτρων του προβλήματος που επηρεάζουν τη λύση του θεωρούνται σταθερές, με την έννοια ότι δεν χαρακτηρίζονται από συνεχείς τυχαίες αλλαγές. 2 ο Πιθανολογικά-Στοχαστικά Όταν οι παράμετροι του προβλήματος αντιπροσωπεύουν μεγέθη που από τη φύση τους υπόκεινται σε τυχαίες μεταβολές. 11. Τι είναι γραμμικός προγραμματισμός και πότε ένα σύστημα είναι γραμμικό; Ποιες οι πιθανές τιμές και οι λύσεις του; Γραμμικός Προγραμματισμός (ΓΠ) είναι το όνομα της μεθοδολογίας που χρησιμοποιείται για τη λύση προβλημάτων που έχουν σκοπό τη μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης που υπόκεινται σε γραμμικούς περιορισμούς υπό τη μορφή γραμμικών ανισοτήτων. Από οικονομική άποψη ο ΓΠ ασχολείται με το πρόβλημα της κατανομής των περιορισμένων πόρων ενός συστήματος σε ανταγωνιζόμενες δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Ο όρος «προγραμματισμός» δεν έχει την έννοια του προγραμματισμού Η/Υ αλλά του «σχεδιασμού». Τέλος, ένα σύστημα ονομάζεται γραμμικό όταν οι μεταβλητές δεν είναι υψωμένες σε καμία δύναμη πέραν της μονάδας και δεν υπάρχουν γινόμενα μεταξύ των μεταβλητών. Υπόδειγμα Γ.Π. Κάθε μαθηματικό πρόγραμμα της μορφής: max ή min f(x)=c 1 x 1 +c 2 x 2 + + c n x n [αντικειμενική συνάρτηση] όταν α j1 x 1 +α j2 x 2 + + α jn x n {, =, } β j, j-1,2, m, (1) x 1, x 2, +x n 0, (2) γραμμικοί περιορισμοί όπου c j,α ji, β j πραγματικοί αριθμοί ονομάζεται γραμμικό πρόγραμμα. Παρατηρήσεις Ι. Στο Γ.Π. η αντικειμενική συνάρτηση και οι συναρτήσεις (των πρώτων μελών) των (1) είναι γραμμικές ενώ οι μεταβλητές λαμβάνουν μη αρνητικές τιμές (οικονομοτεχνική σημασία) ΙΙ. Κάθε λύση του Γ.Π. που ικανοποιεί και τον περιορισμό (2) ονομάζεται δυνατή ή εφικτή λύση του. ΙΙΙ. Η δυνατή ή εφικτή λύση του Γ.Π. που παρέχει την ακρότατη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ονομάζεται άριστη ή βέλτιστη τιμή του Γ.Π. και συμβολίζεται με x o. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 7

IV. Ένα Γ.Π. ονομάζεται εφικτό (ή μη εφικτό) όταν έχει (ή δεν έχει) δυνατές ή εφικτές λύσεις. V. Ένα Γ.Π. έχει μη πεπερασμένη άριστη λύση (άπειρη) όταν η ακρότατη τιμή απειρίζεται. 12. Ποιες είναι οι αρχές του Γραμμικού Προγραμματισμού; Για τα υποδείγματα του Γ.Π. ισχύουν οι παρακάτω αρχές: α. Διαιρετότητα: Σύμφωνα με αυτή οι μεταβλητές μπορούν να πάρουν κάθε τιμή στο σύνολο των πραγματικών θετικών αριθμών. β. Σταθερών αναλογιών: Σύμφωνα με αυτή την αρχή ο πολλαπλασιασμός της ποσότητας ενός μεγέθους λ>0 προϋποθέτει τον πολλαπλασιασμό επί λ των ποσοτήτων όλων των συντελεστών παραγωγής του. γ.προσθετικότητα: Σύμφωνα με αυτή η χρησιμοποίηση περισσοτέρων της μιας παραγωγικών δραστηριοτήτων προϋποθέτει την πρόσθεση των αντίστοιχων ποσοτήτων των συντελεστών παραγωγής αυτών. 13. Ποια είναι τα βήματα επίλυσης ενός προβλήματος για τη λήψη της βέλτιστης λύσης; Τα βήματα για τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος είναι: 1 ο Αναγνώριση και καθορισμός του προβλήματος 2 ο Συλλογή των δεδομένων 3 ο Καθορισμός των κριτηρίων επιλογής 4 ο Εύρεση του συνόλου των εφικτών λύσεων (με χρήση διαγράμματος) 5 ο Αξιολόγηση των εφικτών λύσεων με βάση τα κριτήρια και επίλυση του μοντέλου 6 ο Επιλογή της βέλτιστης λύσης (λήψη απόφασης) 7 ο Εφαρμογή της βέλτιστης λύσης στο σύστημα 8 ο Αξιολόγηση των αποτελεσμάτων και ανατροφοδότηση. 14. Αναφέρατε τους βασικότερους λόγους που μας οδηγούν στη λήψη αποφάσεων με την ανάπτυξη κατάλληλων μοντέλων. Οι πιο σημαντικοί λόγοι είναι: 1 ον Το μοντέλο βοηθά στην κατανόηση της λειτουργίας της επιχείρησης, στην οριοθέτηση των στόχων και στον εντοπισμό των περιορισμών και των υποθέσεων που διέπουν τη λειτουργία του. 2 ον Ένα μοντέλο αποτελεί ένα πλαίσιο εργασίας και ελέγχου πιθανών σεναρίων. Ο έλεγχος εναλλακτικών σεναρίων είναι πολλές φορές αδύνατον να πραγματοποιηθεί μεταβάλλοντας το πραγματικό σύστημα. 3 ον Το μοντέλο επιταχύνει τη διαδικασία μελέτης και βελτιστοποίησης της λειτουργίας του συστήματος. 4 ον Η χρήση και η ανάπτυξη ενός μοντέλου είναι συχνά λιγότερο δαπανηρή από την εφαρμογή εναλλακτικών σεναρίων στο ίδιο σύστημα. 5 ον Με τη χρήση του μοντέλου συνδυάζουμε τις εμπειρικές παρατηρήσεις και την τεχνογνωσία των στελεχών της επιχείρησης και ορίζουμε με σαφήνεια το πρόβλημα. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 8

15. Αναφέρατε πρακτικούς κανόνες ελέγχου των μεταβλητών ενός Γ.Π. Η διαδικασία προσδιορισμού των μεταβλητών του προβλήματος δεν είναι πάντα τόσο προφανής. Μερικοί πρακτικοί κανόνες που βοηθούν τη διαδικασία καθορισμού των μεταβλητών μπορούν να προκύψουν μέσω της απάντησης των πιο κάτω ερωτημάτων: 1 ο Είναι δυνατό να υπολογιστεί το ζητούμενο αποτέλεσμα αν γνωρίζουμε τις τιμές των μεταβλητών που ορίσαμε ή χρειάζονται επιπλέον πληροφορίες και επιπλέον μεταβλητές; 2 ο Αντιπροσωπεύουν οι μεταβλητές οικονομικά μεγέθη τέτοια που οι τιμές τους μπορεί να καθοριστούν αποκλειστικά από το λήπτη της απόφασης; 3 ο Είναι οι μεταβλητές μετρήσιμες και ποια είναι η μονάδα μέτρησης της καθεμίας; 16. Αναφέρατε πρακτικούς κανόνες ελέγχου των περιορισμών ενός Γ.Π. Οι περιορισμοί του προβλήματος περιγράφουν λειτουργικές ή επιχειρησιακές συνθήκες που έμμεσα θέτουν όρια στις τιμές των μεταβλητών. Τα παρακάτω ερωτήματα ελέγχου βοηθούν στην ορθή διατύπωση των περιορισμών σε ένα πρόβλημα Γ.Π. 1 ο Είναι δυνατόν να οριστούν οι φυσικοί περιορισμοί λόγω της παραγωγικής διαδικασίας της δυναμικότητας, ή άλλων συνθηκών που είναι σημαντικές για το πρόβλημα μέσω μαθηματικών σχέσεων των μεταβλητών; Αν όχι πιθανόν να απαιτούνται επιπλέον ή διαφορετικές μεταβλητές. 2 ο Κάθε περιορισμός διατυπώνεται με τη μορφή ισότητας ή μιας ανισότητας και αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη συνθήκη, δηλαδή ένα μέγεθος πρέπει να είναι ίσο ή να ξεπερνά ή να ξεπερνά ή να υπολείπεται μιας συγκεκριμένης τιμής. Μπορούμε να περιγράψουμε λεκτικά τι αντιπροσωπεύει το αριστερό και δεξιό μέλος του περιορισμού; 3 ο Οι μονάδες μέτρησης κάθε περιορισμού είναι διαφορετικές από τις μονάδες μέτρησης των μεταβλητών. Έχουν καθοριστεί οι μονάδες μέτρησης σε κάθε περιορισμό με σαφήνεια και είναι οι ίδιες και στα δυο μέλη του περιορισμού; 17. Τι γνωρίζετε για τον έλεγχο και τη αναθεώρηση προβλημάτων ΓΠ; Σε ένα πρόβλημα ΓΠ, η προσθήκη επιπλέον περιορισμών έχει ως αποτέλεσμα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης να μειωθεί ή να παραμείνει ίδια. Το αντίθετο θα συμβεί σε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Αυτό συμβαίνει γιατί η περιοχή εφικτών λύσεων περιορίζεται ακόμα περισσότερο, οπότε κάποιες από τις λύσεις που προηγουμένως εφικτές μπορεί να μην είναι πλέον επιλέξιμες λόγω της προσθήκης του (των) νέου (ων) περιορισμών. Η προσθήκη ενός νέου περιορισμού μπορεί να αλλάξει τελείως τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης, ενώ περιορισμοί που δεν είναι δεσμευτικοί δεν επηρεάζουν τη βέλτιστη λύση. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 9

Β. Διαμόρφωση μοντέλων Γ.Π. (περισσότερες από 2 μεταβλητές) 1 Παράδειγμα 1 (προγραμματισμός παραγωγής) Ας θεωρήσουμε μια βιομηχανική μονάδα η οποία για την παραγωγή (4) προϊόντων Π 1, Π 2, Π 3, Π 4 διαθέτει (3) μηχανές Μ 1, Μ 2 και Μ 3. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται ο χρόνος που απαιτείται για την επεξεργασία μιας μονάδας για κάθε προϊόν σε κάθε μηχανή, ο διαθέσιμος χρόνος κάθε μηχανής και το κέρδος ανά μονάδα προϊόντος. Τα μηδενικά στοιχεία του πίνακα υποδηλώνουν ότι τα Π 2, Π 4 δεν υφίστανται επεξεργασία στη μηχανή Μ 3. Το ζητούμενο είναι να κατασκευάσουμε το Γ.Π. με στόχο τη μεγιστοποίηση του κέρδους από την πώληση των προϊόντων αυτών. Χρόνος επεξεργασίας μιας μονάδας κάθε προϊόντος στις μηχανές (min) (Υ) Π1 Π2 Π3 Π4 Μ1 5 2 3 1 300 Μ2 1 2 1 2 200 Μ3 1 0 1 0 100 Μηχανή (Χ) Κέρδος ανά μονάδα προϊόντος (Ω) 6 4 2 1 Διαθέσιμος ημερήσιος χρόνος λειτουργίας κάθε μηχανής (min) (Ζ) (ι) Τα στοιχεία που επηρεάζουν το κριτήριο της απόδοσης του συστήματος είναι: X, Y, Ω. (ιι) Αποφάσεις χρειάζονται για τις ποσότητες x 1, x 2, x 3, x 4 που θα παράγονται ημερησίως από τα Π 1,Π 2,Π 3 και Π 4. [μεταβλητές: x 1, x 2, x 3, x 4 ] (ιιι) Κριτήριο ή μέτρο απόδοσης: το κέρδος. Κατά συνέπεια το συνολικό κέρδος ανά μονάδα προϊόντος προκύπτει από το άθροισμα: Ζ=6x 1 +4x 2 +2x 3 +x 4. [Αντικειμενική συνάρτηση του μοντέλου]. Είναι φανερό ότι όταν αυξάνεται η παραγωγή των x 1, x 2, x 3, x 4 τότε θα αυξάνει και το κέρδος. Ωστόσο, οι παραγόμενες ποσότητες δεν είναι δυνατόν να αυξηθούν απεριόριστα, δεδομένου ότι ο ημερήσιος χρόνος απασχόλησης κάθε μηχανής πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος ( ) του αντίστοιχου διαθέσιμου ημερήσιου χρόνου λειτουργίας κάθε μηχανής και θα πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω περιορισμοί: 5x 1 +2x 2 +3x 3 +x 4 300 x 1 +2x 2 +x 3 +2x 4 200 x 1 +x 3 100 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Γραμμικοί περιορισμοί Ενώ, το μαθηματικό μοντέλο της αντικειμενικής συνάρτησης είναι: max Z=6x 1 +4x 2 +2x 3 +x 4. 1 με μέθοδο Simplex Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 10

Συμπερασματικά, το Γ.Π. είναι το ακόλουθο: max Z=6x 1 +4x 2 +2x 3 +x 4. 5x 1 +2x 2 +3x 3 +x 4 300 x 1 +2x 2 +x 3 +2x 4 200 x 1 +x 3 100 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Παράδειγμα 2 (επιλογή επενδυτικού προγράμματος) Μια πολυεθνική επενδυτική εταιρεία προτίθεται να επενδύσει 80 εκ. σε κοινές μετοχές (κ.μ.) και προνομιούχες μηχανές (π.μ.) εταιρειών εισηγμένων στο χρηματιστήριο καθώς και σε ομόλογα του δημοσίου. Η αναμενόμενη απόδοση των (3) αυτών τύπων επένδυσης είναι κατά σειρά 15%, 17% και 12%. Δεδομένου ότι οι επενδύσεις σε μετοχές (κοινές-προνομιούχες) κρίνονται υψηλού ρίσκου, η εταιρεία έχει αποφασίσει να επενδύσει σε αυτές όχι περισσότερο από το 25% του συνολικού επενδυόμενου κεφαλαίου. Επιπλέον, το επενδυόμενο ποσό σε προνομιούχες μετοχές δεν πρέπει να υπερβαίνει το 75% της συνολικής επένδυσης σε μετοχές, ενώ τουλάχιστον το 20% του επενδυόμενου κεφαλαίου πρέπει να είναι σε ομόλογα του δημοσίου. Η εταιρεία ενδιαφέρεται να επιλέξει εκείνο το επενδυτικό σχήμα που μεγιστοποιεί την απόδοση του κεφαλαίου της. (ι) Μεταβλητές: x 1, x 2, x 3. Όπου x 1 : ποσά που θα επενδυθούν σε κ.μ. x 2 : ποσά που θα επενδυθούν σε π.μ. x 3 : ποσά σε ομόλογα δημοσίου (ιι) Αντικειμενική συνάρτηση Αποδόσεις x 1 : απόδοση 0,15 x 1. x 2 : απόδοση 0,17 x 2. x 3 : απόδοση 0,12 x 3. Κατά συνέπεια, εφόσον στόχος είναι η μεγιστοποίηση της συνολικής απόδοσης τότε: Ζ= 0,15 x 1 + 0,17 x 2 + 0,12 x 3 (ιιι) Περιορισμοί α) Το επενδυτικό ποσό δεν μπορεί να υπερβαίνει το διαθέσιμο: x 1 +x 2 + x 3 =80. β) x 1 +x 2 0,75 (x 1 +x 2 + x 3 ) ή 0,75 x 1 + 0,75 x 2-0,25 x 3 0. γ) Επιπλέον, το x 2 σε προνομιούχες μετοχές δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το 75% της συνολικής επένδυσης (x 1 +x 2 ) σε μετοχές. Δηλαδή, x 2 0,75 (x 1 +x 2 ) ή - 0,75 x 1 + 0,25 x 2 0. δ) Τουλάχιστον το 20% του επενδυόμενου κεφαλαίου x 1 +x 2 +x 3 πρέπει να έχει διατεθεί σε ομόλογα του δημοσίου. Άρα, x 3 0,20 (x 1 +x 2 + x 3 ) ή -0,20 x 1-0,20 x 2 + 0,80 x 3 0. Με βάση τα παραπάνω η βέλτιστη σύνθεση του επενδυτικού κεφαλαίου και το Γ.Π. είναι: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 11

max Ζ= 0,15 x 1 + 0,17 x 2 + 0,12 x 3 x 1 +x 2 + x 3 =80 0,75 x 1 + 0,75 x 2-0,25 x 3 0-0,75 x 1 + 0,25 x 2 0-0,20 x 1-0,20 x 2 + 0,80 x 3 0 x 1,x 2, x 3 0 Παράδειγμα 3 (Μεγιστοποίηση εσόδων. Πρόβλημα δίαιτας) Οι θρεπτικές ουσίες Α,Β,Γ,Δ χρησιμοποιούνται για την παρασκευή τεσσάρων ειδών διατροφής Ι,ΙΙ,ΙΙΙ,ΙV σύμφωνα με τον ακόλουθο πίνακα: Δ 1 1 2 0 π.χ. κάθε μερίδα του ΙΙΙ απαιτεί 1 μονάδα του Α, 1 του Β και 2 του Δ. Και τους εξής περιορισμούς: α) Οι ποσότητες των Α,Β,Γ,Δ που διατίθενται για την παρασκευή είναι 32,48, 160 και 136 μονάδες αντίστοιχα. β) Οι τιμές των Ι,ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV, δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερες των 100, 40, 80 και 60 χρηματικών μονάδων αντίστοιχα. Να κατασκευαστεί το Γ.Π. με στόχο τη μεγιστοποίηση των εσόδων. Αν x 1, x 2, x 3 και x 4 είναι αντίστοιχα οι τιμές διαθέσεως των Α,Β,Γ,Δ τότε στις τιμές x 1, x 2, x 3 και x 4 των Α,Β,Γ,Δ αντιστοιχούν συνολικά έσοδα 32x 1 +48x 2 +160x 3 +136x 4 των οποίων ζητείται η μέγιστη τιμή. Για τις τιμές x 1, x 2, x 3 και x 4 των Α,Β,Γ,Δ μια μερίδα του Ι κοστίζει 2*x 1 +1*x 2 +2*x 3 +1*x 4 χρηματικές μονάδες που δεν μπορούν να υπερβούν τις 100. Έτσι προκύπτει η πρώτη ανίσωση των περιορισμών κ.ο.κ. Κατά συνέπεια, προκύπτει το ακόλουθο Γ.Π.: I II III IV A 2 0 1 1 Β 1 0 1 2 Γ 2 1 0 1 max f=32x 1 +48x 2 +160x 3 +136x 4 όταν 2x 1 +x 2 +2x 3 +x 4 100 x 3 +x 4 40 x 1 +x 2 +2x 4 80 x 1 +2x 2 +x 3 60 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 12

Γ. Διαμόρφωση μοντέλων Γ.Π. (με 2 μεταβλητές) 2 Παράδειγμα 1 (μεγιστοποίηση κέρδους) Μια βιομηχανία θέλει να μεγιστοποιήσει το κέρδος από την παράλληλη παραγωγή 2 προϊόντων. Το πρώτο προϊόν αποφέρει κέρδος 150 το κομμάτι και το δεύτερο 200 το κομμάτι. Η έρευνα αγοράς έχει δείξει ότι: (ι) Η παραγωγή και των (2) προϊόντων δεν πρέπει να ξεπερνά τα 1.200 το μήνα. (ιι) Το δεύτερο προϊόν πρέπει να είναι σε κομμάτια το πολύ το μισό του πρώτου. (ιιι) Το επίπεδο παραγωγής του πρώτου προϊόντος μπορεί να ξεπερνάει κατά 600 το πολύ κομμάτια το τριπλάσιο της παραγωγής του δεύτερου προϊόντος. Ποια πρέπει να είναι η μηνιαία παραγωγή των προϊόντων για να έχει η βιομηχανία το μέγιστο κέρδος και ποιο θα είναι αυτό; Έστω Χ κομμάτια από το πρώτο και Υ από το δεύτερο. Τότε το συνολικό κέρδος θα είναι Κ=150Χ+200Υ. Περιορισμοί Χ+Υ 1.200 Υ 1/2*Χ Χ 3Υ+600 Χ,Υ 0 ή Χ+Υ 1.200 Χ-2Υ 0 Χ 3Υ+600 Χ,Υ 0 y=1/2*x y 1.200 Γ (800,400) x-3y=600 Β (1050,150) Δυνατές Λύσεις Α Δ 0 600 1.200 x x + y=1.200 2 με τη γραφική μέθοδο. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 13

Οι εφικτές λύσεις βρίσκονται εντός του πολυγώνου ΑΒΓΔ Α(600,0), Β(1.050,150), Γ(800,400), Δ (0,0) Στο Α: το Κ=900 Στο Β: το Κ=187.500 Στο Γ: το Κ=200.000 Στο Δ: το Κ=0 Συνεπώς, στο σημείο Γ είναι το βέλτιστο σημείο. Παράδειγμα 2 (μεγιστοποίηση κέρδους) Οι μηχανές Α,Β,Γ παράγουν τα είδη Ι, ΙΙ κάτω από τους εξής περιορισμούς: (α) Κάθε μονάδα του Ι απασχολεί κάθε μηχανή από μια ώρα. (β) Κάθε μονάδα του ΙΙ απασχολεί την Α μια ώρα, την Β δύο ώρες και την Γ τέσσερεις ώρες. (γ) Οι Α,Β,Γ μπορούν να λειτουργήσουν το πολύ 5, 6 και 10 ώρες κάθε μέρα αντίστοιχα. (δ) Τα Ι και ΙΙ έχουν κέρδος 20 και 30 χρηματικές μονάδες αντίστοιχα. Να κατασκευαστεί το Γ.Π. με στόχο τη μεγιστοποίηση του κέρδους. Αν x 1,x 2 είναι αντίστοιχα οι παραγόμενες κάθε μέρα μονάδες των Ι, ΙΙ από τις μηχανές Α,Β,Γ. Μηχανές Προϊόντα Μέγιστο ωρών λειτουργίας των μηχανών Ι ΙΙ Α 1*x 1 1*x 2 5 Β 1*x 1 2*x 2 6 Γ 1*x 1 4*x 2 10 Η αντικειμενική συνάρτηση είναι: maxf=20x 1 +30x 2 η οποία μας δίνει το συνολικό κέρδος στις αντίστοιχες μονάδες των Ι,ΙΙ. Οι περιορισμοί προκύπτουν ως εξής: Για τις μονάδες των x 1, x 2, των Ι,ΙΙ η μηχανή Α απασχολείται 1*x1+1*x2 ώρες, που δεν μπορούν να υπερβούν τις 5 κ.ο.κ. Επομένως, προκύπτουν οι ακόλουθοι περιορισμοί: x 1 +x 2 5 x 1 +2x 2 6 x 1 +4x 2 10 x 1, x 2 0 (Απ. Βέλτιστη λύση x 1 0 =4 και x 2 0 =1 με maxf=110. Έχει λυθεί στις παραδόσεις του μαθήματος. Βλ. παράδειγμα 2 στο Δ λοιπές εφαρμογές) Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 14

Παράδειγμα 3 (ελαχιστοποίηση κόστους) Τα μηχανικά συγκροτήματα Α,Β παράγουν τα προϊόντα Ι, ΙΙ, ΙΙΙ κάτω από τους εξής περιορισμούς: (α) Η ημερήσια παραγωγή του Α σε μονάδες των Ι,ΙΙ,ΙΙΙ είναι 1,3,5 αντίστοιχα. (β) Η ημερήσια παραγωγή του Β σε μονάδες των Ι,ΙΙ,ΙΙΙ είναι 2,2,2 αντίστοιχα. (γ) Για τα Ι,ΙΙ,ΙΙΙ προβλέπονται ζητήσεις τουλάχιστον 80, 160 και 200 μονάδων αντίστοιχα. (δ) Το ημερήσιο κόστος κάθε συγκροτήματος ανέρχεται σε 200 χρηματικές μονάδες. Να κατασκευαστεί το Γ.Π. με στόχο την ελαχιστοποίηση του κόστους. Αν x 1,x 2 είναι αντίστοιχα οι μέρες εργασίας των Α και Β τότε: Προϊόντα Μηχανές Α Β Ζήτηση Προϊόντων Ι 1*x 1 2*x 2 80 ΙΙ 3*x 1 2*x 2 160 ΙΙΙ 5*x 1 2*x 2 200 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι στις x 1, x 2 μέρες εργασίας των Α,Β αντιστοιχεί συνολικό κόστος 200x 1 +200x 2 χρηματικών μονάδων. Οι περιορισμοί προκύπτουν ως εξής: Στις μέρες εργασίας x 1, x 2, των Α, Β αντιστοιχεί παραγωγή 1*x 1 +2*x 2 μονάδων του προϊόντος Ι, που δεν πρέπει να είναι λιγότερες από 80. Έτσι προκύπτει η πρώτη ανίσωση των περιορισμών κ.ο.κ. Κατά συνέπεια το Γ.Π. είναι: minf= 200x 1 +200x 2 όταν x 1 +2x 2 80 3x 1 +2x 2 160 5x 1 +2x 2 200 x 1, x 2 0 (Απ. Βέλτιστη λύση x 1 0 =40 και x 2 0 =20 με minf=1.200. Έχει λυθεί στις παραδόσεις του μαθήματος Βλ. παράδειγμα 3 στο Δ λοιπές εφαρμογές) Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 15

Δ. Λοιπές εφαρμογές Γ.Π. Παράδειγμα 1 Να λυθεί το παρακάτω Γ.Π. με τη γραφική μέθοδο. max f= x 1 +x 2. όταν -2x 1 +x 2 1 x 1 +x 2 3 x 1 2 x 1, x 2 0 Οι περιορισμοί ορίζουν το κατώτερο πολύφωνο (ΟΑΒΓΔ) x 2-2x 1 +x 2 =1 3 x 1 =2 Β 1 Α Γ Δυνατές Λύσεις 0 Δ x 1-1/2 2 3 x 1 +x 2 =3 Με Α (0,1), Β (2/3,7/3), Γ (2,1) και Δ (2,0). Εύρεση ευθειών -2x 1 +x 2 =1 Για x 1 =0: x 2 =1 Για x 2 =0: x 1 =-1/2 x 1 +x 2 =3 Για x 1 =0: x 2 =3 Για x 2 =0: x 1 =3 Σημείο Β -2x 1 +x 2 =1 x 1 +x 2 =3 x 1 =2/3, x 2 =7/3 Σημείο Γ x 1 =2 x 1 +x 2 =3 x 1 =2, x 2 =1 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 16

Μέγιστη τιμή Α: f Α =1, Β: f Β =3, Γ: f Γ =3, Β: f Δ =2. Άρα η ζητούμενη μέγιστη τιμή αντιστοιχεί στις κορυφές των Β και Γ. Όμως, την ίδια τιμή δίνει και κάθε σημείο της ΒΓ αφού για αυτά ισχύει x 1 +x 2 =3. Συνεπώς, το Γ.Π. έχει απειρία λύσεων με max f =3. Παράδειγμα 2 Να λυθεί το παρακάτω Γ.Π. με τη γραφική μέθοδο. maxf=20x 1 +30x 2 όταν x 1 +x 2 5 x 1 +2x 2 6 x 1 +4x 2 10 x 1, x 2 0 Οι περιορισμοί (ανισώσεις) ορίζουν το κατώτερο κυρτό πολύγωνο ΟΑΒΓΔ με Α (0, 2.5), Β (2,2), Γ (4,1), Δ (5,0) και Ο (0,0). x 2 5 3 2,5A Β Δυνατές Λύσεις Γ x 1 0 Δ 5 6 10 x 1 +x 2 =5 x 1 +2x 2 =6 x 1 +4x 2 =10 Στη συνέχεια βρίσκουμε τα σημεία Β και Γ. Σημείο Β x 1 +4x 2 =10 x 1 =2, x 2 =2 x 1 +2x 2 =6 Άρα Β(2,2) Τις ευθείες τις βρίσκουμε θέτοντας κάθε φορά το x 1 =0 και x 2 =0 αντίστοιχα. Στη συνέχεια με δοκιμές καταλήγουμε στον να κρατήσουμε για λύσεις το πολύγωνο ΟΑΒΓΔ. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 17

Σημείο Γ x 1 +2x 2 =6 x 1 =4, x 2 =1 x 1 +x 2 =5 Άρα Γ(4,1) Μέγιστη τιμή Α: f Α =75, Β: f Β =100, Γ: f Γ =110, Δ: f Δ =100. Άρα η ζητούμενη μέγιστη τιμή αντιστοιχεί στην κορυφή Γ με maxf=110 Παράδειγμα 3 Να λυθεί το παρακάτω Γ.Π. με τη γραφική μέθοδο. minf= 200x 1 +200x 2 όταν x 1 +2x 2 80 3x 1 +2x 2 160 5x 1 +2x 2 200 x 1, x 2 0 x 2 100 A 80 B ΔΥΝΑΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1.Τις ευθείες τις βρίσκουμε θέτοντας κάθε φορά το x 1 =0 και x 2 =0 αντίστοιχα 2.Το σύνολο των περιορισμών του Γ.Π. δημιουργεί ένα κυρτό σύνολο με ακραία σημεία (Α,Β,Γ,Δ) που δεν μπορούν να είναι εσωτερικά σημεία οποιασδήποτε επιφάνειας. 40 Γ Δ x 1 40 53.3 80 5x 1+2x 2=200 3x 1+2x 2=160 x 1+2x 2=80 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 18

Εύρεση ευθειών x 1 +2x 2 =80 Για x 1 =0 το x 2 =40 Για x 2 =0 το x 1 =80 Ομοίως και οι άλλες ευθείες. Τα ακραία σημεία μετά τις δοκιμές είναι: Α(0,100), Β(20,50), Γ(40,20) και Δ(80,0). Ειδικότερα, τα σημεία Β και Γ τα βρίσκουμε ως εξής: Σημείο Β 5x 1 +2x 2 =200 x 1 =20, x 2 =50 3x 1 +2x 2 =160 Άρα Β(20,50) Σημείο Γ 3x 1 +2x 2 =160 x 1 =40, x 2 =20 x 1 +2x 2 =80 Άρα Γ(40,20) Ελάχιστη τιμή Α: f Α =20.000, Β: f Β =14.000, Γ: f Γ =12.000 και Δ: f Δ =16.000. Άρα η ζητούμενη ελάχιστη τιμή αντιστοιχεί στην κορυφή Γ με minf=12.000 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 19

Ε. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Κριτήρια για λήψη αποφάσεων σε συνθήκες αβεβαιότητας (i) Κριτήριο ΜΑΧΙΜΙΝ- Η απαισιόδοξη προσέγγιση Προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε (MAXImize) το μικρότερο (MINimum) σε κάθε περίπτωση. Στην πράξη θεωρούμε το χειρότερο αποτέλεσμα που μπορεί να συμβεί σε κάθε εναλλακτική απόφαση και βέβαια επιλέγουμε εκείνη την εναλλακτική απόφαση που κάτω από τις χειρότερες συνθήκες δίνει τα καλύτερα δυνατά αποτελέσματα. (ii) Κριτήριο ΜΑΧΙΜAX- Η αισιόδοξη προσέγγιση Προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε (MAXImize) το μεγαλύτερο (ΜΑΧimum) σε κάθε περίπτωση. Παράδειγμα Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κερδών/ζημιών ( ). Με βάση τα κριτήρια για τη λήψη αποφάσεων σε συνθήκες αβεβαιότητας να αποφασίσετε το ύψος της παραγωγής. Απόφαση Ύψος Παραγωγής Ζήτηση Κριτήριο απόφασης 1τν. 2τν. 3τν. ΜΑΧΙΜΙΝ ΜΑΧΙΜAX Ι. Παραγωγή 1 τν. 5.000 1.000-3.000-3.000 (maximin) 5.000 ΙΙ. Παραγωγή 2 τν. -5.000 10.000 6.000-5.000 10.000 ΙΙΙ. Παραγωγή 3 τν. -15.000 0 15.000-15.000 15.000 (maximax) Απάντηση: Με το MAXIMIN θα επιλεγεί παραγωγή ύψους 1 τν. και με το MAXIMAX θα επιλεγεί παραγωγή 3 τν. Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Σελίδα 20