Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία x, y, οπότε η συνισταμένη των δυνάμεων είναι F ẑ. ( + 5/ (α Δείξτε ότι η δυναμική ενέργεια είναι V και σχεδιάστε το γράφημά της. ( + / (β Βρείτε τα σημεία ισορροπίας, ευσταθή και ασταθή. (γ Ποια είναι η περίοδος μικρών ταλαντώσεων γύρω από το ευσταθές σημείο ισορροπίας; (δ Αν το σώμα ξεκινά από το διερευνήστε που καταλήγει ανάλογα με την τιμή της αρχικής ταχύτητας v. (ε Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσης.. Σώμα μάζας m και φορτίου q κινείται σε μαγνητικό πεδίο B B ˆφ, όπου B σταθερά και (ϖ, φ, οι κυλινδρικές συντεταγμένες. (α Δείξτε ότι οι ˆφ και ẑ συνιστώσες του νόμου Νεύτωνα m a q v B, με a ( ϖ ϖ φ ˆϖ + d ( ϖ φ ˆφ + ẑ, δίνουν τα ολοκληρώματα mϖ φ L και mż qbϖ p. ϖ dt (β Χρησιμοποιώντας τα ολοκληρώματα αυτά γράψτε την ˆϖ συνιστώσα του νόμου Νεύτωνα σαν m ϖ f(ϖ (η κίνηση ανάγεται σε «μονοδιάστατη». Γράψτε το ολοκλήρωμα της ενέργειας για αυτή την κίνηση m ϖ + V eff (ϖ E, όπου V eff (ϖ η ενεργός δυναμική ενέργεια. (γ Μελετήστε την συνάρτηση V eff (ϖ και βρείτε γραφικά τα όρια της ακτινικής κίνησης (δηλ. τα ϖ min και ϖ max για τυχούσες αρχικές συνθήκες.. Εστω σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της δεύτερης άσκησης της τέταρτης εργασίας F cos θ ˆ + sin θ ˆθ. (α Δείξτε ότι υπάρχουν ολοκληρώματα ενέργειας και στροφορμής (ṙ + θ + sin θ φ + cos θ E, sin θ φ L. (β Ενα τρίτο ολοκλήρωμα που προκύπτει από την ˆθ συνιστώσα της εξίσωσης ορμής είναι το ( L θ + sin θ + cos θ β. Χρησιμοποιώντας τα ολοκληρώματα δείξτε ότι η κίνηση του σώματος ανάγεται σε δυο «μονοδιάστατα» προβλήματα ṙ + V ( E με V ( β και 4 θ + V θ (θ β με V θ (θ L sin + cos θ, θ τα οποία μας επιτρέπουν να βρούμε τα όρια των και θ για διάφορες τιμές των E, β και L, από τις γραφικές παραστάσεις των V ( και V θ (θ. (γ Εστω αρχικά το σώμα βρίσκεται στη θέση ˆx ẑ (οπότε, θ π, φ και έχει ταχύτητα v ˆφ (οπότε ṙ, θ, φ. Βρείτε τα όρια των και θ και περιγράψτε την κίνηση του σώματος. Σε πόσο χρόνο θα φτάσει το σώμα στην αρχή των αξόνων;
ΛΥΣΕΙΣ:. (α Ισχύει V dv d ẑ ( + ẑ F. 5/ + Η δυναμική ενέργεια υπολογίζεται από V F d d με την αντικατάσταση ( + 5/ cot θ, όπου θ (, π. Προκύπτει V sin θ cos θ+σταθερά, αφού cos θ ( + / και sin θ (έχουμε μηδενίσει την αυθαίρετη προσθετική σταθερά. + + ( V + (, V 6 ( + 5/ ( + + 7/ + V + + V + + + V / V( -/ d/dt -/ / (β Σημεία ισορροπίας (ακρότατα της V ή ισοδύναμα μηδενισμοί της F είναι τα ±/. Το / είναι ευσταθές (αφού το V ελάχιστο και το / είναι ασταθές (αφού το V μέγιστο. (γ Γύρω από το ευσταθές, με +q είναι V V ( / +V ( / q+v ( / q /
+ 8 5/ q και mż q. Άρα το ολοκλήρωμα της ενέργειας είναι q + 8 5/ q E +. Παραγωγίζοντάς το βρίσκουμε q + 6 4 q, δηλ. εξίσωση αρμονικού ταλαντωτή με ω 5/ 5/4 και περίοδο π ω 5/4 π. Ισοδύναμα μπορούμε να αναπτύξουμε κατά Taylo το νόμο Νεύτωνα m F (. Με +q είναι F F ( / +F ( / q V ( / q 6 6 q οπότε βρίσκουμε q+ q. 5/ 5/ (δ E mv + V ( v. Αν v κινείται προς μικρότερα και καταλήγει στο. Αν v > αρχικά κινείται προς μεγαλύτερα και ανάλογα με την τιμή της ενέργειας έχουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Αν E < < v < θα ανακλαστεί στο σημείο όπου V ( E και στη συνέχεια θα /4 κινείται προς μικρότερα μέχρι το. Αν E v κινείται επ άπειρον προς το ασταθές σημείο ισορροπίας /. /4 Αν E > v > κινείται διαρκώς προς μεγαλύτερα μέχρι το +. /4 (ε Το διάγραμμα φάσης έχει σχεδιαστεί κάτω από το γράφημα της V. Παρακάτω φαίνονται οι διάφορες ενέργειες, με κόκκινο οι E < (περαττωμένη κίνηση, με πράσινο η E (με ż για, με μπλε οι < E <, με μωβ οι E και με μαύρο οι E >. d/dt E< E <E</ E/ E>/ -/ /. (α m a q v B m ( ϖ ϖ φ ˆϖ + m ϖ d ( ϖ φ ˆφ + m ẑ q dt ˆϖ ˆφ ẑ ϖ ϖ φ ż B
m ( ϖ ϖ φ qbż d ( mϖ φ dt m qb ϖ Η δίνει το ολοκλήρωμα mϖ φ L. L είναι η ẑ συνιστώσα της στροφορμής L m v η οποία είναι αναμενόμενο ότι διατηρείται αφού δεν υπάρχει δύναμη στην ˆφ κατεύθυνση. Η ολοκληρώνεται επίσης αφού και τα δύο μέλη γράφονται σαν χρονικές παράγωγοι d(mż dt d(qbϖ. Ετσι προκύπτει mż qbϖ p. dt Αυτή είναι η ẑ συνιστώσα της «κανονικής» ορμής, mv + qa, με A το διανυσματικό δυναμικό του μαγνητικού πεδίου. Για το πεδίο του προβλήματος είναι B ˆφ ( Bϖẑ και άρα A Bϖẑ. (β Αντικαθιστώντας στην τις σχέσεις φ L mϖ και ż p m + qb ϖ βρίσκουμε m ϖ f(ϖ m με f(ϖ L mϖ qbp m q B m ϖ. Το ολοκλήρωμα ενέργειας γράφεται m ϖ + V eff (ϖ E, με V eff (ϖ f(ϖdϖ ( L mϖ + qbp m + q B m ϖ dϖ L mϖ + qbp m ϖ + q B m ϖ + C, όπου C αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης. (Ισοδύναμα μπορούμε να βρούμε το ολοκλήρωμα πολλαπλασιάζοντας την m ϖ f(ϖ με ϖ. Το ολοκλήρωμα εκφράζει την πραγματική ενέργεια του φορτίου, δηλ. την κινητική του ενέργεια (το μαγνητικό πεδίο δεν παράγει έργο και γι αυτό δεν υπάρχει αντίστοιχη δυναμική ενέργεια. Πράγματι, mv m ( ϖ + ϖ φ + ż m ϖ + L mϖ + m (p + qbϖ E C+ p m σταθερά (αν επιλέξουμε C p m προκύπτει ακριβώς mv E. (γ Για ϖ η V eff (ϖ + (κυριαρχεί ο όρος με το ϖ ο οποίος έχει θετικό συντελεστή. Οπότε σκεπτόμενοι τα όρια κίνησης στο διάγραμμα της V eff (ϖ, όποιες και αν είναι οι αρχικές συνθήκες υπάρχει άνω όριο στην ακτίνα ϖ (με ϖ max την μεγαλύτερη λύση της V eff (ϖ E. Αλλιώς: Η «δύναμη» f(ϖ σε μεγάλα ϖ είναι f(ϖ q B ϖ, δηλ. είναι αρνητική (ελκτική ϖ m και το έργο της f(ϖdϖ γίνεται για ϖ. Αυτό σημαίνει ότι δεν θα αφήσει το σώμα να φτάσει σε άπειρη απόσταση ϖ, όσο μεγάλη και αν είναι η αρχική του κινητική ενέργεια. Ομοια φαίνεται ότι για ϖ + η V eff (ϖ + (κυριαρχεί ο όρος της στροφορμής οπότε υπάρχει και κάτω όριο της ακτίνας ϖ. Είναι δηλ. ϖ min ϖ ϖ max και η κίνηση του φορτίου στην ακτινική κατεύθυνση είναι ταλάντωση. Στην τετριμμένη περίπτωση μηδενικής στροφορμής L δεν ισχύει V eff (ϖ + για ϖ +. Οταν όμως είναι L η κίνηση γίνεται σε ένα επίπεδο φ σταθερό με το μαγνητικό πεδίο κάθετο στο επίπεδο και με ίδια τιμή σε κάθε σημείο, οπότε προκύπτει η κλασική κυκλική κίνηση Lamo. (Αν το φορτίο περνά τον άξονα η φορά του B αντιστρέφεται, όμως πάλι η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί τμηματικά κυκλική κίνηση Lamo.
Παρότι η παρατήρηση ότι η V eff (ϖ απειρίζεται για ϖ και ϖ + είναι αρκετή για να καταλάβουμε ότι υπάρχουν μέγιστες και ελάχιστες τιμές της κυλινδρικής ακτίνας, είναι εφικτή λεπτομερέστερη μελέτη της V eff (ϖ. Είναι V eff(ϖ L mϖ + q B 4 m > οπότε η V eff(ϖ L mϖ + q B ϖ είναι αύξουσα, μεταβαλλόμενη από για ϖ + σε + για ϖ. Άρα μηδενίζεται σε ένα μόνο σημείο ϖ c. Για m ϖ < ϖ c είναι V eff < και άρα η V eff είναι φθίνουσα (ξεκινά από το + για ϖ +, ενώ για ϖ > ϖ c είναι V eff > και άρα η V eff είναι αύξουσα (καταλήγει στο + για ϖ +. Η V eff έχει ελάχιστο στο ϖ c και η εξίσωση V eff (ϖ E έχει δύο λύσεις, τις ϖ min και ϖ max. Οι λύσεις αυτές γίνονται μια διπλή αν η ενέργεια είναι η ελάχιστη τιμή του V eff (ϖ (οπότε ϖ min ϖ max ϖ c και η τροχιά γίνεται πάνω στον κύλινδρο ϖ ϖ c. V eff E ϖ min ϖ c ϖ max ϖ. (α Για να υπάρχει ολοκλήρωμα ενέργειας πρέπει η F να είναι συντηρητική. Πρέπει δηλ. να υπάρχει V τέτοια ώστε F V cos θ ˆ + sin θ ˆθ V ˆ V θ ˆθ V sin θ φ ˆφ, άρα cos θ, V θ sin θ πρέπει να ισχύουν V Ολοκληρώνοντας την πρώτη έχουμε V cos θ και V φ. Η τρίτη σημαίνει ότι V V (, θ. + f(θ. Αντικαθιστώντας στην δεύτερη εξίσωση προκύπτει ότι df/dθ, επομένως η f είναι αυθαίρετη προσθετική σταθερά. Οπότε η δύναμη είναι πράγματι συντηρητική με την δυναμική ενέργεια (αγνοώντας την προσθετική σταθερά κάτι που δεν βλάπτει την γενικότητα V cos θ. Η ταχύτητα είναι v ṙˆ + θˆθ + sin θ φ ˆφ οπότε το ολοκλήρωμα ενέργειας είναι mv + V E, ή (ṙ + θ + sin θ φ + cos θ E. Αφού δεν υπάρχει δύναμη στην ˆφ κατεύθυνση η ẑ συνιστώσα της στροφορμής ẑ ( m v (ẑ m v sin θ ˆφ m v m sin θ φ L διατηρείται. (Είναι L ẑ L ẑ ( F (ẑ F sin θ ˆφ F. Ισοδύναμα, η ˆφ συνιστώσα της επιτάχυνσης σε σφαιρικές συντεταγμένες γράφεται a φ d ( sin θ sin θ dt φ, οπότε ο μηδενισμός της από το νόμο Νεύτωνα αν F φ δίνει κατευθείαν sin θ φ σταθερά L/m. (β Η έκφραση του ολοκληρώματος β γράφεται 4 θ + V θ (θ β με V θ (θ L sin + cos θ. θ
Απαλείφοντας τα θ και φ στο ολοκλήρωμα ενέργειας, μέσω των φ L m sin θ και θ β V θ (θ 4 καταλήγουμε στην ṙ + V ( E με V ( β. (γ Από τις αρχικές συνθήκες, με sin θ, cos θ, είναι L 4, β 4, E 8. 9 Τα όρια του θ θα βρεθούν από την V θ (θ β, όπου V θ (θ 6 sin θ + cos θ και β 4. Είναι V θ 9 cos θ 8 sin θ sin θ > 9 6 cos θ > sin4 θ. Σχεδιάζοντας τα δύο μέλη στο διάστημα (, π συμπεραίνουμε ότι V θ > για θ > θ c, όπου θ c (π/, π η ρίζα της 9 6 cos θ c sin 4 θ c. Άρα η V θ απειρίζεται στα θ + και π και έχει ένα ελάχιστο στο θ c. V θ β θ min θ max π θ Οι λύσεις της V θ β είναι θ min π/.94 και θ max accos 7 6.94 ad. Μπορούν να βρεθούν είτε αριθμητικά, είτε αναλυτικά παραγοντοποιώντας το 4 7 sin ( cos θ + (cos θ (cos θ + 7. θ 6 6 Με την πάροδο του χρόνου το σώμα μπορεί να κινείται μεταξύ αυτών των δύο κώνων. Τα όρια του θα βρεθούν από την V ( E, όπου V ( 8 και E 8. V E max 9 6 sin θ + cos θ +
Προκύπτει ότι το σώμα κινείται συνεχώς προς το κέντρο με ταχύτητα στην ακτινική κατεύz q d θυνση (αρνητική (E V. Καταλήγει στο κέντρο μετά από χρόνο tc Z h i d. Z Z d d Ομοια μπορούμε να βρούμε την ακτίνα σε κάθε χρόνο, t q h i t /4, ενώ θ(t και φ(t είναι λύσεις των (4 t θ 9. cos θ 4 και φ sin θ (4 t sin θ Με την πάροδο του χρόνου η απόσταση του σώματος από το κέντρο διαρκώς μειώνεται. Η κίνηση γίνεται μεταξύ των δύο κώνων θ θmin και θ θmax, ενώ ταυτόχρονα το σώμα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα...5. -.5 -.. -. -.5 x.5.. y.5 -.5. -.