Πριν λύσεις την εργασία σου διάβασε τα ποιο κάτω για να θυμηθείς. Η ενέργεια ταλάντωσης δεν είναι πάντα ιση με τη μηχανική ενέργεια συστήματος.

Πριν λύσεις την εργασία σου διάβασε τα ποιο κάτω για να θυμηθείς Η ενέργεια ταλάντωσης δεν είναι πάντα ιση με τη μηχανική ενέργεια συστήματος. Παράδειγμα : Έστω ένα σώμα αφήνεται από τη θέση φυσικού μήκους να εκτελέσει Α.Α.Τ.Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια στη θέση ισορροπίας εάν θεωρήσουμε ότι στη θέση αυτή η δυναμική ενέργεια λόγο βάρους είναι μηδέν. Φ.Μ U β =0 Θ.Ι Ε μηχ =Κ+U ελ +U βαρ = + + Ενώ η ενέργεια ταλάντωσης είναι Ε= Άρα η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι μικρότερη στο παράδειγμα από τη μηχανική ενέργεια του συστήματος. Εάν ένα σώμα ταλαντώνει σε οριζόντιο επίπεδο όπως στο σχήμα τότε :

Θ.Ι Η ενέργεια ταλάντωσης είναι := Η μηχανική ενέργεια είναι στην τυχαία θέση Χ : Ε=Κ+Uελ= + = Άρα στο οριζόντιο επίπεδο η ενέργεια ταλάντωσης ταυτίζεται με την ενέργεια ελατηρίου με την προϋπόθεση το φυσικό μήκος και η θέση ισορροπίας να ταυτίζονται. Στη διάρκεια μιας περιόδου ισχύουν :. Το σώμα διανύει διάστημα 4Α. Η μετατόπιση είναι μηδέν διότι η αρχική και η τελική θέση ταυτίζονται. 3. Το έργο της δύναμης επαναφοράς είναι μηδέν διότι η δύναμη επαναφοράς είναι συντηρητική δύναμη. 4. Η μεταβολή της ορμής είναι μηδέν διότι η αρχική και η τελική ταχύτητα είναι ισες. 5. Το σώμα περνά δυο φορές από τη θέση ισορροπίας,δυο φορές από την ακραία θέση.. 6. Σε χρόνο μιας περιόδου η κινητική ενέργεια γίνεται μέγιστη δυο φορές,η δυναμική ενέργεια γίνεται μέγιστη δυο φορές. 7. Η δυναμική γίνεται ιση με την κινητική ενέργεια τέσσαρις φορές σε χρόνο πάντα μιας περιόδου. Ποια μεγέθη έχουν ταυτόχρονα μέγιστη ή ελάχιστη απόλυτη τιμή ;. Η απομάκρυνση,η επιτάχυνση,η δύναμη και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής γίνονται ταυτόχρονα μέγιστα κατά ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης και μηδενίζονται ταυτόχρονα στη Θ.Ι.. Η ταχύτητα και η ορμή γίνονται ταυτόχρονα μέγιστες στη θέση ισορροπίας και μηδενίζουν στις ακραίες θέσεις ταλάντωσης. 3. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης είναι μηδέν τόσο στην θέση ισορροπίας όσο και στις ακραίες θέσεις. Βασικά βήματα στις ασκήσεις μηχανικών ταλαντώσεων :. Σχεδιάζουμε τη θέση φυσικού μήκους,θέση ισορροπίας

. Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις πάνω στα σώματα. 3. Υπολογίζουμε την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας. 4. Ελέγχουμε από ποια θέση ξεκίνησε το σώμα την ταλάντωση. Αν είναι θέση ισορροπίας ΣF=0 Aν είναι ακραία θέση υ=0 (Χ=+Α ή Χ=-Α) Αν είναι τυχαία θέση θα έχει και ταχύτητα και απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας 5. Ισος φανεί χρήσιμη η σχέση Α.Δ.Ε.Τ για τον υπολογισμό του πλάτους ή της ταχύτητας. 6. Βρίσκουμε αρχική φάση προσέχοντας τη φορά που μας έχει δώσει η εκφώνηση. 7. Εάν δυο ή περισσότερα σώματα αποτελούν ένα σύστημα και εκτελούν Α.Α.Τ τότε η σταθερά επαναφοράς του συστήματος είναι D=(M +M )ω.για κάθε σώμα ξεχωριστά ισχύει : D =M ω, : D =M ω Εάν ένα σύστημα αποτελείται από ελατήριο (Μ,Μ ) τότε D=K όμως : H δύναμη επαναφοράς είναι ΣF=-DX Για κάθε σώμα ξεχωριστά ΣF =-D X ΣF =-D X Το κάθε σώμα αλλά και το σύστημα έχουν ΙΔΙΑ Περίοδο,συχνότητα,γωνιακή συχνότητα. Πλάτος ταλάντωσης. Μέγιστη ταχύτητα. Μέγιστη επιτάχυνση. ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ. Σταθερά ταλάντωσης. Κινητική ενέργεια. Ορμή. Διότι έχουν διαφορετικές μάζες Δύναμη επαναφοράς. Ενέργεια ταλάντωσης. Διότι έχουν διαφορετικό D Δυναμική ενέργεια. ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΧΩ: Η αρχή διατήρησης της ενέργεια ισχύει για το σύστημα των σωμάτων Ισχύει και για κάθε σώμα ξεχωριστά αρκεί να βάζουμε στην δυναμική ενέργεια ταλάντωσης το κατάλληλο D 3

Παράδειγμα Ένα σώμα μάζας M βρίσκεται πάνω σε ελατήριο σταθεράς K Πάνω στο σώμα Μ βρίσκεται και άλλο σώμα μάζας m.το σύστημα εκτελεί Γ.Α.Τ.Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του συστήματος και τη σταθερά επαναφοράς κάθε σώματος ξεχωριστά ΛΥΣΗ : X X + Θ.Ι Τ.Θ Όταν το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία έχουμε : ΣF=0 μήκος ) B +B =KX () (Όπου Χ είναι η συσπείρωση το ελατηρίου από το φυσικό το Όταν το σύστημα τεθεί σε ταλάντωση και για τυχαία θέση ταλάντωσης Χ από τη θέση ισορροπίας ή Χ από το φυσικό μήκος έχουμε : 4

Σ F = B + B F Σ F = B + B K ( X + X ) Σ F = Β + Β ΚΧ ΚΧ ( ) Σ F = KX Άρα το σύστημα εκτελεί Γ.Α.Τ και η σταθερά επαναφοράς το συστήματος είναι D ολ =Κ. Η μάζα m εκτελεί και αυτή Γ.Α.Τ. και η περίοδος της είναι : T ' = π m D (Α) m + m Η περίοδος το συστήματος είναι : T = π (Β) D ολ Από τις σχέσεις (Α) και (Β) έχουμε : π m + m D ολ = π m D D = Dm m + m Με ανάλογο τρόπο υπολογίζουμε και την σταθερά επαναφοράς το m. Εδώ θα πρέπει να θυμηθούμε ότι ισχύει :D ολ =D +D ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΗΜΑ :Σχεδιάζουμε το σώμα πάνω σε μια τυχαία θέση και σημειώνουμε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω του.επιλέγουμε πάντα θετική φορά. 5

Ν Θέση ισορροπίας Β + Ν Τυχαία θέση Β ΒΗΜΑ.Πάνω στο σώμα Σ ασκούνται δυο δυνάμεις : Η αντίδραση Ν από το δίσκο και το βάρος του Β όπως φαίνεται και στο παραπάνω σχήμα.επειδή θεωρούμε εδώ τα y θετικά προς τα κάτω η επιτάχυνση α που κατευθύνεται πάντα προς τη θέση ισορροπίας εδώ είναι αρνητική και ιση προς : Έτσι από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα : = = ΣF=mα Προκύπτει ότι : Μg-N=mα ή mg-n=-mω Αημωt από την οποία έπεται Ν=mg+mω Αημωt Γραφική παράσταση του Ν σε συνάρτηση με το χρόνο.θεωρήσαμε ότι η αρχική φάση είναι μηδέν. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα Σ βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και από τη σχέση () έχουμε : Ν=mg+mω Αημ 0=mg Τη χρονική στιγμή Τ/4 Ν=mg+mω Αημ =mg+mω Α Τη χρονική στιγμή Τ/ Ν=mg+mω Αημ =mg Τη χρονική στιγμή 3Τ/4 Ν=mg+mω Αημ =mg-mω Α Τη χρονική στιγμή Τ Ν=mg+mω Αημ =mg ΠΑΡΑΤΗΤΗΣΕΙΣ :. Η αντίδραση Ν είναι περιοδική και όχι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου και κυμαίνεται γύρω από την τιμή mg 6

. Η αντίδραση Ν του δίσκου μεταβάλλεται ανάμεσα σε μια μέγιστη τιμή και σε μια ελάχιστη 3. Η μέγιστη τιμή της αντίδρασης Ν αντιστοιχεί στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς και η ελάχιστη τιμή του Ν στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς. 4. Στο χρονικό διάστημα που ο δίσκος είναι κάτω από τη Θ.Ι η αντίδραση του Ν είναι κατά μέτρο μεγαλύτερη από το βάρος του σώματος. 5. Όταν το σώμα χάσει την επαφή του με το δίσκο η αντίδραση Ν μηδενίζεται.η αντίδραση Ν δεν παίρνει ποτέ αρνητικές τιμές. 6. Υπάρχει ένα οριακό ή μέγιστο πλάτος ταλάντωσης Α max για το οποίο ισχύει : Ν=mg-mω Α max Σε αυτό το πλάτος ταλάντωσης το σώμα βρίσκεται συνεχώς σε επαφή με το δίσκο,ακλουθώντας την ταλάντωση του,αλλά συνεχώς χάνεται η επαφή του με το δίσκο.αυτό θα συμβεί στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς του αν η ταλάντωση άρχισε με πλάτος Α max.από τα παραπάνω βγαίνει ότι = 7. Αν η ταλάντωση αρχίσει με πλάτος Α>Α max η επαφή μεταξύ σώματος και δίσκου θα χαθεί (θα μηδενιστεί η αντίδραση Ν ) σε κάποια θέση y πάνω από τη Θ.Ι και το σώμα θα αποσπαστεί εκτελώντας στη συνέχεια ελεύθερη κίνηση.,ενώ ο δίσκος θα προσαρμοστεί σε νέα ταλάντωση.με κυκλική συχνότητα ω. =! Στη θέση στην οποία θα αποσπαστεί το σώμα έχουμε : Ν=mg-mω y. Για Ν=0 έχουμε : mg-mω y = 8. Η επιτάχυνση που έχει το σώμα Σ είναι : = #$ = = =.Αρα η επιτάχυνση της ταλάντωσης του Σ δεν μπορεί να είναι ποτέ μεγαλύτερη του g 9. Το σώμα Σ μπορεί να αποσπαστεί από το δίσκο αν αυξήσουμε τη συχνότητα και διατηρήσουμε το πλάτος σταθερό. = = () ( ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ένα σώμα έχει μάζα Μ=Κg και είναι δεμένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=00Ν/m Το κάτω άκρο του ελατηρίου δένεται στο έδαφος.το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας.τη χρονική στιγμή t=0 τοποθετούμε πάνω στο σώμα Σ ένα άλλο σώμα Σ μάζας m=3kg και το σύστημα αρχίζει να εκτελεί Α.Α.Τ..(θεωρούμε θετική φορά προς τα κάτω ) Α.Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του σώματος Σ και του σώματος Σ Β.Σε ποια θέση το σώμα Σ δέχεται τη μεγαλύτερη δύναμη εξαιτίας της επαφής του με το σώμα Σ ; Γ.Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ δεν θα χάσει την επαφή του με το σώμα Σ. 7

Δ.Να γίνει η γραφική παράσταση της δύναμης που δέχεται το σώμα Σ από το σώμα Σ ΛΥΣΗ Τα δεδομένα και τα ζητούμενα καταχωρούνται σε πίνακα Σύστημα S.I Δεδομένα Μ=Κg K=00N/m M=3Kg ζητούμενα D,D Αντίδραση Ν σε συνάρτηση με το Χ και το t Ξαναδιάβασε το πρόβλημα προσεκτικά και φτιάξε απλό και καθαρό σχήμα N + B Θ.Ι Τ.Θ Κατασκευάσαμε το σύστημα στη θέση ισορροπίας και σε μια τυχαία θέση.(συνήθως επιλέγουμε η τυχαία θέση να είναι στη θετική φορά που επιλέξαμε )..τώρα σκέψου Α.Όλο το σύστημα ταλαντώνει με την ίδια γωνιακή συχνότητα ω. ω = D ( M + m) = 5rad / s Η σταθερά επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : D = mω. Άρα το κάθε σώμα έχει τη δική του σταθερά επαναφοράς εφόσον ταλαντώνει με το ίδιο ω αλλά έχει διαφορετική μάζα. Η σταθερά επαναφοράς του σώματος Μ είναι : D = Mω = * 5 5N / m = Η σταθερά επαναφοράς του σώματος μάζας m είναι : D = mω = 3* 5 75N / m = 8

Β Το σώμα Σ ταλαντώνει με γωνιακή συχνότητα ω.οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Σ είναι το βάρος του και η αντίδραση Ν από την επαφή του με το σώμα Σ. Εφόσον ταλαντώνει και δεχόμενοι ότι η τυχαία θέση είναι στον θετικό ημιαξονα έχουμε : B N =ΣF N = B N = m g ( D y) N = m g+ D y ΣF To σώμα θα αποκτήσει τη μέγιστη αντίδραση Ν όταν βρεθεί στην κατώτερη θέση ταλάντωσης του και η σχέση γράφεται : N = m g+ D A Τρόπος υπολογισμού του Α Τη χρονική στιγμή t=0 το σύστημα των δυο σωμάτων βρίσκεται στη θέση ισορροπίας () (Είναι η στιγμή που αφήνουμε το σώμα Σ πάνω στο Σ ) Η θέση αυτή απέχει από το φυσικό απόσταση L = Mg K Το σύστημα ισορροπεί ποιο κάτω και άρα απέχει από το φυσικό μήκος απόσταση ( M + m) L = g K Οι δυο θέσεις ισορροπίας απέχουν μεταξύ τους : m 3*0 L = L L = g = = 0. 3m K 00 Εδώ θα πρέπει να προσέξουμε ότι τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα Σ πάνω στο σώμα Σ η ταχύτητα του συστήματος είναι οριακά μηδέν,άρα και η κινητική ενέργεια ταλάντωσης είναι μηδέν. Έτσι η θέση ισορροπίας () είναι η ακραία θέση της νέας ταλάντωσης.δηλαδή το σύστημα ταλαντώνει γύρω από τη νέα θέση ισορροπίας με πλάτος Α=0,3m Γ.Το σώμα Σ μπορεί να χάσει την επαφή του με το σώμα Σ όταν η αντίδραση Ν=0 Από τη σχέση : N = m g+ D y 0 mg y = D g = ω = m g+ D y 9

Άρα η θέση που μπορεί να χαθεί η επαφή του σώματος Σ από το Σ είναι g 0 y = = = 0, 4m D 00 ( M + m) (+ 3) Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α=0,3m Άρα Af y και το σώμα Σ δεν μπορεί να χάσει την επαφή του με το σώμα Σ. Η αντίδραση Ν δίνεται από τη σχέση : N = m g+ D y (θετική φορά ταλάντωσης προς τα κάτω ) y=0 N=m g=30n y=+a y=-a N=m g+d A=5,5N N=m g-d A=-7,5N Και η γραφική παράσταση της αντίδρασης σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας () είναι 5.5 Ν 7.5 y -0,3 0,3 0

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΑ Σώμα είναι τοποθετημένο πάνω σε ορίζοντα δίσκο.ο δίσκος τίθεται σε οριζόντια αρμονική ταλάντωση με συχνότητα f.αν ο συντελεστής μέγιστης στατικής τριβής μεταξύ σώματος και δίσκου είναι μs ποια η μέγιστη τιμή ταλάντωσης του δίσκου ώστε το σώμα να μη γλιστρά πάνω στη δίσκο ; Στο σώμα Σ ασκούνται δυο δυνάμεις : (α) το βάρος του mg και (β) η αντίδραση R του δίσκου R Κίνηση δεξιά B T Ν Κίνηση δεξιά B.Η αντίδραση R πρέπει να περιέχει την κατακόρυφη συνιστώσα Ν,ιση με το βάρος του σώματος και την οριζόντια τριβή Τα,η οποία πρέπει να παίζει το ρόλο της δύναμης

επαναφοράς.στη διάρκεια της ταλάντωσης η στατική τριβή αλλάζει περιοδικά μέτρο και κατεύθυνση,ώστε να ισχύει η συνθήκη ΣF=-DX. Θ.Ι Ν Τ Τ B Καθώς το σώμα Σ ταλαντώνει γύρω από τη θέση ισορροπίας η στατική τριβή που παίζει το ρόλο της δύναμης επαναφοράς έχει πάντα φορά προς τη Θ.Ι Επειδή το σώμα δεν γλιστρά πάνω στο δίσκο η τριβή Τα είναι στατική τριβή.στη διάρκεια μιας ταλάντωσης πλάτους Α η στατική τριβή μεταβάλλεται περιοδικά από την τιμή μηδέν έως την τιμή Τ max =DA.Αυξάνοντας το πλάτος θα αυξάνει και η τιμή Τ.Ομως η στατική τριβή δεν μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη από Τ α =μ s Ν = μ s mg που αντιστοιχεί σε ένα μέγιστο πλάτος ταλάντωσης Α max.δηλαδή : Τ max =F επαναφορας,max Ή μ s mg=-d m A max και επειδή D m =mω η τελευταία σχέση γίνεται : μ s mg=- mω A max ) = ( * * = ) ( Παράδειγμα : Στο σχήμα που ακολουθει δίνεται η σταθερά Κ=00Ν/m οι μάζες Μ=Kg και m=kg ο συντελεστής στατικής τριβής μ s =0, και η επιτάχυνση g =0m/s.

Να βρεθεί το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης ώστε το σώμα m να μην ολισθαίνει πάνω στο Μ. Επειδή το σώμα δεν γλιστρά πάνω στο δίσκο η τριβή Τα είναι στατική τριβή.στη διάρκεια μιας ταλάντωσης πλάτους Α η στατική τριβή μεταβάλλεται περιοδικά από την τιμή μηδέν έως την τιμή Τ max =DA.Αυξάνοντας το πλάτος θα αυξάνει και η τιμή Τ.Ομως η στατική τριβή δεν μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη από Τ α =μ s Ν = μ s mg που αντιστοιχεί σε ένα μέγιστο πλάτος ταλάντωσης Α max.δηλαδή : Τ max =F επαναφορας,max Ή μ s mg=-d m A max και επειδή D m =mω η τελευταία σχέση γίνεται : μ s mg=- mω A max ) = ( * * = ) ( Όπου f= (!+) Aρα * = ) (.. 3

ΤΩΡΑ ΛΥΣΕ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ πάνω σε οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβές με πλάτος Α=0, m Σε ένα σημείο Χ =0,06m μακριά από τη θέση ισορροπίας η ταχύτητα του είναι υ =3m/s a. Ποια η περίοδος της ταλάντωσης. b. Ποια η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας όταν η ταχύτητα του είναι 0,4m/s.. c. Ένα μικρό αντικείμενο με μάζα πολύ μικρότερη από τη μάζα του σώματος τοποθετείται πάνω στο σώμα και ταλαντώνει.αν το μικρό σώμα είναι έτοιμο να ολισθήσει στο άκρο της διαδρομής να βρείτε την τιμή του συντελεστή της στατικής τριβής μεταξύ του αντικειμένου και του σώματος. ΛΥΣΗ : 4

5

ΘΕΜΑ Το ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά Κ =00Ν/m και στο ανώτερο άκρο του είναι προσηρτημένος δίσκος μάζας Μ=6Κg.Πάνω στο δίσκο τοποθετούμε σώμα μάζας m και το σύστημα ισορροπεί.προσφέρουμε πόσο ενέργειας Ε=6J και διαπιστώνουμε ότι το σύστημα ταλαντώνει με το μέγιστο δυνατό πλάτος του ώστε να μη χάνεται η επαφή του m πάνω στο Μ. a. Να βρεθεί η μάζα m. b. Nα βρεθεί η ταχύτητα με την οποία το σώμα m θα εγκαταλείψει το δίσκο αν προσφέρουμε ενεργεια αντί της αρχικής.των 6j Ε =4J. c. Ποιο το μέγιστο ύψος που φτάνει τότε η μάζα m ΛΥΣΗ : 6

7

8