8 45 38. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν: ln ln ln ln ln (),. ln ln ln ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα κεηαβνιώλ πξνθύπηεη όηη: Η ζπλάξηεζε είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην, θαη γ λ ε ζ ί ωο θζίλνπζα ζην,. Β. Δίλαη α β άξα έρνπκε: Β3. Δίλαη Η ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη η ν π η θ ό κ έ γ η ζ ην ην ().,, κε α, β, θαη ε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην lnα lnβ α β βlnα α lnβ lnα lnβ α β α β νπόηε είλαη: β α β α ln ln,
8 46 ln ln ln ln Καηαζθεπάδνπκε πίλαθα πξνζήκσλ ηεο. () είλαη, γηα θαη Δπνκέλσο ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη: Αιιά είλαη:, γηα E Ω d d d d ln ln d d ln d ln d ln u ddu u ln d udu ln u ddu u 4 ln d udu 5 E η.κ 39. Θ Ε Μ Α Β B. Βξίζθνπκε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο C κε ηνλ άμνλα. Έρνπκε 3 3 () ε γξαθηθή παξάζηαζε C ηεο ζπλάξηεζεο ηέκλεη ηνλ ζην ζεκείν A,. Οκνίσο βξίζθνπκε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο C κε ηνλ άμνλα. Έρνπκε
8 47 g() 3 3 ή ε γξαθηθή παξάζηαζε C ηεο ζπλάξηεζεο g ηέκλεη ηνλ ζηα ζεκεία θαη A, B,. Δπνκέλσο νη C θαη C η έ κ λ ν λ η α η ζην ζεκείν A, θαη A. B. Γηα λα βξνύκε ηηο ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνκήο ησλ C θαη C ιύλνπκε ηελ εμίζσζε g, νπόηε έρνπκε: 3 3 g 3 3 3 4 Δθαξκόδνπκε ζρήκα Hornr ζηελ () θαη έρνπκε: 3 3 4 ή Γ,9, αθνύ C θαη C ηέκλνληαη ζηα ζεκεία A, θαη g 9. Δπνκέλσο κνλαδηθό δεύηεξν ζεκείν πνπ νη θακπύιεο ηέκλνληαη είλαη ην,9. Οη ζπλαξηήζεηο παξάγσγν: 3 () θαη g() 3 3 είλαη παξαγσγίζηκεο ζην κε 3 () 3 θαη g () 3 3 6 Οπόηε είλαη () 3 θαη g () 6, άξα είλαη: θαη g g Δπνκέλσο νη C, C έρνπλ θ ν η λ ή ε θ α π ην κ έ λ ε ζην ζεκείν,9 B3. Θεσξνύκε ηελ ζπλάξηεζε 3 3 h g 3 3 3 4, Από ην πξνεγνύκελν εξώηεκα Β είλαη: 3 3 4 ή Μειεηάκε ην πξόζεκν ηεο ζπλάξηεζεο h: 8 h() Δπνκέλσο ην δεηνύκελν ε κ β α δ ό λ είλαη:
8 8 48 4 3 3 EΩ hd hd 3 4d 4 4 5 7 4 8 8 4 8 η.κ. 4 4 4 4. Θ Ε Μ Α Β Β. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην κε παξάγσγν: Έρνπκε: () ( α) α( ) α α α α. α α α α α α () α () Τ.Δ. Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη έ λ α α- θ ξ ό η α η ν ( ε ι ά ρ η ζ η ν ), γηα θάζε α, ην 3 3 (α) ( α)α α( α) α α α α α α α α α Β. Τν αθξόηαην (α) α α είλαη αξλεηηθόο αξηζκόο, άξα α α Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, α θαη α ζύκθσλα κε ην Θ ε ώ ξ ε κ α B o l za n o, νπόηε () ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ, ηέηνην ώζηε άξα ε Β3. Έρνπκε α α,. C ηέκλεη ηνλ άμνλα ζε έ λ α ηνπ ι ά ρ η ζ η ν λ ζεκείν, α ()d 5 5 α 5 α 4.
8 49 4. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, σο ινγαξηζκηθή θαη παξαγσγίζηκε ζην, κε παξάγσγν (), γηα θάζε ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην,, νπόηε είλαη θαη άξα αληηζηξέςηκε. Έζησ () y. Δίλαη y y y ln( ). (), B. Οη ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνκήο ηεο C θαη ηεο επζείαο κε εμίζσζε y είλαη: Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε () ln( ) ln( ) h() ln( ) ε νπνία έρεη πξνθαλή ξίδα ην. Δπίζεο είλαη h () = h (), h () > θαη h () < h () h() T.M. h()= ην είλαη κνλαδηθή ξίδα ηεο h, νπόηε ζεκείν ηνκήο ηεο y είλαη ην O,. C κε ηελ επζεία Οκνίσο νη ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνκήο ηεο C θαη ηεο επζείαο κε εμίζσζε y είλαη:
8 8 Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε ε νπνία έρεη πξνθαλή ξίδα ην. Δπίζεο είλαη t () = 4 () t() t (), t () > θαη t () < t () t() Τ.Δ. t()= Απνδεηθλύεηαη επνκέλσο όηη θαη ε t έρεη κνλαδηθή ξίδα ην, νπόηε ζεκείν ηνκήο ηεο C κε ηελ επζεία y B3. Έρνπκε: O,. είλαη ην lim g() = lim = lim =. ε δ ε λ ε ί λ α η θ α ηαθόξπ θε α ζ ύ κ π η ωη ε. lim g() = lim επεηδή = lim lim θαη lim. Οπόηε ε είλαη θ α η α θ ό ξ π θε α ζ ύ κ π η ωη ε. Δπνκέλσο ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη E Ω () ()d Λόγσ όκσο ηεο ζπκκεηξίαο ησλ C, C σο πξνο ηε επζεία y ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη δηπιάζην από ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ ζρεκαηίδεη ε C κε ηε επζεία y.
Αιιά απν εξώηεκα Β έρνπκε όηη άξα 4 E Ω () d d t(), E = ( )d = = = 5 η.κ. 4. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην σο πξάμεηο ζπλερώλ θαη παξαγσγίζηκε κε παξάγσγν ( ) (3 ) 3 ( 3) () = < ( ) ( ) ( ) γηα θάζε. ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο θ ζ ί λ ν π ζ α ζην. B. Δθόζνλ ε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα άξα είλαη θαη νπόηε νξίδεηαη θαη ε αληίζηξνθή ηεο. Θέηνπκε () y, νπόηε 3 y y 3 y 3y 3 y y y 3 y 3 y = ln, > y y 3 3 () = ln κε, B3. Έρνπκε: I d d. () 3 Θέηνπκε u du, νπόηε d. Γηα είλαη u θαη γηα είλαη u
4 Δίλαη u I = du. (3 u)u u A B u Au 3B ub, νπόηε (3 u)u 3 u u Α = Α Β = 3 3B = B = 3 B4. Έρνπκε: 3 3 I du ln(3 u) ln u 3 u u 3 3 3 = ln(3 ) ln 4 ln ln ln 3 3 3 4 3 4 5 νπόηε Δπεηδή ε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην Οκνίσο επεηδή ε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα. 4 5, είλαη (4 ) (5 ) (6 ) (8 ) από ηηο ζρέζεηο () θαη () πξνθύπηεη όηη 5 8 4 6 43. Θ Ε Μ Α Β study4ams Β. Γηαθξίλνπκε δύν πεξηπηώζεηο: Αλ ι ηόηε
ι ι ι 43 Δ(ι) = ()d = (ln )d = () lnd (ι ) = ι ι = ln d ι = ιlnι (ι ) ι = = ιlnι ι ι = ιlnι ι (αθνύ ι ην ln ). Αλ ι ηόηε ι Δ(ι) = ( ())d = ( ln)d = ( ι) () lnd = Β. Έρνπκε: ι ι ι = ι ln (ln) d = ι ιlnι ( ι) = ιlnι ι. ι lnι lim Δ(ι) = lim (ιlnι ι ) = lim ιlnι = lim = ι ι ι ι ι (lnι) ι = lim = lim = lim ( ι) =. ι ι ι ι ι Β3. Η εμίζσζε ηεο ε θαπην κ έ λ ε ο ηεο Αιιά ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο είλαη: Β4. Γηα θάζε έρνπκε: ε : y ( ) ( )( ). ( ) ln θαη ( ) Μ, ( ) είλαη: C ζην ζεκείν ε: y ( ) ή ε: y. (), ε είλαη θ ν ί ι ε, νπόηε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην Μ βξίζθεηαη π ά λ ω από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο, κε ε μ α ί ξ ε ζ ε ην ζεκείν επαθήο
44 Δπνκέλσο: ΔΩ = d (ln )d = 4 = lnd ( ) = () lnd = [ln] d = ln ln = = η.κ.. 44. Θ Ε Μ Α Β study4ams Β. Η έρεη πεδίν νξηζκνύ ην, είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε κε () 3 γηα θάζε. ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην. Β. Από ην εξώηεκα Β έρνπκε όηη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην, άξα είλαη νπόηε α λ ηη ζ η ξ έ θ ε ηαη. Β3. Η είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην, άξα ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλαη: Δίλαη: lim (), lim () 3 lim () = lim ( ) = = 3 lim () = lim ( ) =. = (, ).
Δπνκέλσο ην π ε δ ί ν ν ξ η ζ κ ν ύ ηεο Β4. Δίλαη: Θέηνπκε (y), νπόηε είλαη: d (y)dy θαη, 45 είλαη: D = = (, ). I = ()d. άξα ηα λέα άθξα νινθιήξσζεο είλαη θαη. Δπνκέλσο: I = ()d = ((y)) (y)dy = y (y)dy = [y(y)] (y) (y)dy = 4 y 3 y y y () (y)dy = () ( y y )dy = y = 4 4 ( ) = 9 = 3 =. 4 4 4 45. Θ Ε Μ Α B Β. Αλ ε είλαη ζπλερήο, ζα είλαη ζπλερήο θαη ζην 3, Δίλαη lim () lim(α ) 9α 3 3 3 3 lim () lim () 3 3 3 ( ) 3 lim () lim lim lim( ) 3 3 3 3 (3) 9α. 3 ( 3) Β. Γηα 3 είλαη : 9α α 9
Δπνκέλσο '() Αθόκε είλαη 46 ( 3) ( 3) 3 3 3 3 ( ) ( 3) ( )( 3) ( 3) ( ) ( ) 4 (). 43 4 4 3 ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο C ζην ζεκείν () ε: y 4 4 4, Οπόηε από ηηο ζρέζεηο () θαη () πξνθύπηεη όηη A 4, 4 είλαη : ε : y ( ) ( 4), άξα ε : y 5. Β3. Η είλαη ζπλερήο ζην,, άξα ην δεηνύκελν ε κ β α δ ό είλαη 3 7 Ε = () d = α d = α d = α = α η.κ 3 3 46. Θ Ε Μ Α B 6 Β. Δίλαη () 4 4 4 6, Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, θαη παξαγσγίζηκε κε παξάγσγν () ( ) Δίλαη () γηα, άξα ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην,, άξα «-». Β. Αθνύ ε είλαη «-» είλαη αληηζηξέςηκε. Αξρηθά βξίζθνπκε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο. Η είλαη ζπλερήο ζην, θαη γλεζίσο αύμνπζα, άξα αθνύ (A), (),lim (), lim () lim ( 4 6) lim νπόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο αληίζηξνθήο ηεο.
8 8 Έρνπκε : 47 () y ( ) y ( ) y y y Β3. i. Έρνπκε :, κε () () 4 6 5 6 ή 3, άξα ηα θνηλά ζεκεία ηεο C θαη ηεο επζείαο y είλαη ηα Α, θαη Β3,3. Οκνίσο πξνθύπηεη όηη ηα θνηλά ζεκεία ηεο C θαη ηεο επζείαο y είλαη ηα Α, θαη Β3,3. Από ην πξνεγνύκελν εξώηεκα πξνθύπηεη όηη ηα θνηλά ζεκεία ησλ είλαη ηα Α, θαη Β3,3. C θαη Λόγσ ηεο ζπκκεηξίαο ησλ C, C σο πξνο ηε επζεία y ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη δηπιάζην από ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ ζρεκαηίδεη ε y. ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη: Δίλαη 3 3 E Ω () ()d () d () 4 4 5 6 C C κε ηε επζεία () 3 Δπνκέλσο ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη
48 3 3 3 5 EΩ () d = 4 6d = 6 η.κ 3 3 3 47. Θ Ε Μ Α Β Ε Π Α Ν. Β. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην σο πειίθν ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ θαη παξαγσγίζηκε ζην κε παξάγσγν (), γηα θάζε. ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα, ζπλεπώο θαη -, άξα αληηζηξέθεηαη. Ε ύ ξ ε ζ ε η ε ο α λ ηίζηξν θ ε ο : y y y y y y y ln y y y y () ln,, Β. Έρνπκε () ln ε εμίζσζε έρεη κ ν λ α δ η θ ή ξ ί δ α ην κ ε δ έ λ. Β3. Δίλαη / / I ()d ln d / / Θέηνπκε u, νπόηε είλαη d du γηα είλαη u θαη γηα είλαη u
Αιιά Δπνκέλσο / / 49 u I ln du u u u u ln ln ln, νπόηε u u u / / / u u u I ln du ln du ln du I u u u / / / I I I I 48. Θ Ε Μ Α Β Ε Π Α Ν. 4 Β. Δίλαη Αθόκε παξαγσγίζηκε ζην σο άζξνηζκα παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν m 4 5. () ln m lnm 4 ln4 5 ln5 Δπεηδή (), γηα θάζε έρνπκε () (), γηα θάζε, δειαδή ε παξνπζηάδεη νιηθό ειάρηζην ζην. ε παξνπζηάδεη αθξόηαην ζην ην είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ε είλαη παξαγσγίζηκε ζην Σύκθσλα κε ην ζ ε ώξ ε κ α F r m a t έρνπκε (). () ln m lnm 4 ln4 5 ln5 ln lnm ln4 ln5 ln ln m ln 4 ln5 ln(m) ln m m Β. Δπεηδή ε παξνπζηάδεη ειάρηζην ζην, ζα ηζρύεη (), γηα θάζε. 4 5 Δ(Ω) ()d ( 4 5 )d ln ln ln 4 ln5 9 3 4 η.κ ln ln ln 4 ln5
43 49. Θ Ε Μ Α Β Ε Π Α Ν. 6 Β. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην σο πειίθν ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ θαζώο θαη παξαγσγίζηκε ζην κε παξάγσγν (), γηα θάζε. Δπνκέλσο ε ζπλάξηεζε είλαη γ λ ε ζ ί ωο θζί λ ν π ζ α ζην. Β. α ηξόπνο Έρνπκε Θέηνπκε u, νπόηε είλαη: d du d du u I d d () Γηα είλαη u θαη γηα είλαη u νπόηε ην νινθιήξσκα γξάθεηαη: Έζησ όηη ππάξρνπλ A,B u u I du du u u u u ώζηε λα ηζρύεη ε ηζόηεηα u Α Β u u u u u Α(u ) Βu u (Α Β)u Α Α Β Α Α Β Δπνκέλσο β ηξόπνο I du ( ) du ln u ( ) ln u u u ln ln ( ) ln ln ( ) ln ln
Δίλαη : 43 I d d d d d d d ln ln ln Β3. Γηα ηζρύνπλ 5 θαη 6 5 6 θαη 7. 8 7 8. Από εξώηεκα Β γλσξίδνπκε όηη ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα, άξα (5 ) (6 ) θαη (7 ) (8 ). Με πξόζζεζε θαηά κέιε ησλ δύν ηειεπηαίσλ αληζνηήησλ πξνθύπηεη όηη (5 ) (7 ) (6 ) (8 ) 5. Θ Ε Μ Α Β Ε Π Α Ν. 7 Β. Δίλαη εκ3 εκ3 lim () lim 3 lim 3 3 3 Β. H είλαη ζπλερήο ζην, άξα Αιιά, lim 3 lim () lim () (), θαη lim Γηα, ε είλαη παξαγσγίζηκε κε Οπόηε Β3. Έρνπκε β, επνκέλσο β 3. () α βεκ α 3εκ π π π π α 3εκ π π π α 3 α 3.
43 π π 3 π 3 3 π 3π ()d 3 3ζπλ d 3εκ 3 3. 5. Θ Ε Μ Α Β Ο. Ε. Φ. Ε 4 Β. i. Έρνπκε: Τν θιάζκα Σην Γ είλαη Αθόκα: νπόηε: lim g() g () () () θαη lim () () νξίδεηαη ζε δηάζηεκα Γ ηεο κνξθήο g() g () () () () g () g () (), g () lim (). Από ην πξώην ζεώξεκα ηνπ D L H o s p i t a l πξνθύπηεη: ii. άξα ε Πάιη, άξα ε Δίλαη α,, αθνύ (). g() g() g () L lim lim lim () () () lim g() lim g(), C έρεη ζην ν ξ η δ ό λ ηη α α ζ ύ κ πηωη ε ηελ επζεία y. lim () lim () ( ), C έρεη ζην π ι ά γ η α α ζ ύ κ π η ωη ε ηελ επζεία y. B. Έζησ όηη ε g έρεη δύν δηαθνξεηηθέο ξίδεο ξ,ξ ζην κε ξ ξ. (απόδεημε κε άηνπν) Δθαξκόδεηαη ην ζ ε ώξ ε κ α Roll γηα ηελ g ζην ξ,ξ γηαηί, σο παξαγσγίζηκε ζην : ε g είλαη ζπλερήο ζην ξ,ξ ε g είλαη παξαγσγίζηκε ζην ξ,ξ, θαη αθόκα
g(ξ ) g(ξ ). 433 Δπνκέλσο, ππάξρεη μ ξ,ξ ηέηνην, ώζηε Τόηε: g μ. (μ) g (μ) (μ). Άηνπν γηαηί (). Έηζη, ε g έρεη ην πνιύ κία ξίδα ζην. B3. Έρνπκε () g () () g() (), άξα, από ηηο ζπλέπεηεο ηνπ Θ. Μ. Τ. ηνπ δηαθνξηθνύ ινγηζκνύ, ππάξρεη αξηζκόο c ηέηνηνο, ώζηε Δπεηδή ππάξρνπλ ηα όξηα από ηελ () είλαη ίζα. Πξνθύπηεη επνκέλσο:, είλαη: lim () () g() c () ή () g() c 4 () θαη c 4 c 4. () g() 4, lim g() c 4, [Σηελ () θαηαιήγνπκε θαη κε νινθιήξσζε ησλ δύν κειώλ ηεο () g () ] 5. Θ Ε Μ Α Β Ο. Ε. Φ. Ε 5 Β. Γηα θάζε, ln () (ln ) (ln ) (ln ) Β. Έρνπκε δηόηη Β3. Γηα θάζε, lim () lim ln lim θαη lim ln
8 Δίλαη 434 ln (ln ) ln ln ln () ln ln ln ln () () Σ.Κ. Β4. Έρνπκε / / ( ) ln M, ην ζεκείν θακπήο. ln ln ln E d d d (ln (ln ) / 6 8 η.κ ( ) ln ln ( ) 8 ( ) ( ) 53. Θ Ε Μ Α Β Ο. Ε. Φ. Ε 8 Β. Η είλαη ζπλερήο γηα, σο πνιπσλπκηθή θαη γηα, σο άζξνηζκα ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εκ κε ηελ ζηαζεξή c()=ι. Σην έρνπκε: lim () lim(εκ ι) ι, Αθόκα. lim () lim (κ ) Γηα λα είλαη ε ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην πξέπεη θαη αξθεί: lim () lim () () ι Δπνκέλσο, ε δεηνύκελε ηηκή είλαη
435 ι Β. Γηα έρνπκε: () () εκ ι εκ εκ lim lim lim lim Γηα έρνπκε: () () (κ ) (κ ) lim lim lim κ Γηα λα είλαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγίζηκε ζην πξέπεη θαη αξθεί: () () () () lim lim κ κ Δπνκέλσο, ε δεηνύκελε ηηκή είλαη Β3. Δίλαη π.ρ. (π) (π) ι, άξα Β4. Δίλαη κ ε ζπλάξηεζε δελ είλαη. εκ, αλ (), αλ θαη π π π ()d ()d ()d ( )d (εκ )d π ζπλ π 54. Θ Ε Μ Α Β Ο. Ε. Φ. Ε Β. i. Η, σο πνιπσλπκηθή, είλαη ζπλερήο θαη δύν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην κε () 4ι ι θαη () 4 4ι Δπεηδή ζην παξνπζηάδεη θακπή, είλαη ( ), δειαδή ii. Δπεηδή ι είλαη 4 4ι ι 3 () 4 θαη () 4 4 () 4 4 Δπνκέλσο ε είλαη θ ν ί ι ε ζην δηάζηεκα, θαη θ π ξ ηή ζην,.
436 Β. Θέηνπκε u (). Δπεηδή είλαη 3 lim () lim(4 ) 3 3 Β3. i. Η δεηνύκελε αξρηθή είλαη ε γηαηί γηα θάζε εκ() εκu lim lim () u 3 u 4 3 F() 4 c, κε c ζηαζεξά, είλαη 4 3 F () ( 4 c) 4 () Τν ζεκείν, αλήθεη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο F, νπόηε F(), άξα Δπνκέλσο ii. F() c 4 3 F() 4,. Βξίζθνπκε ηηο ξίδεο ηεο ζπλάξηεζεο: 3 () 4 4 ( 3) ή 3 Τν δεηνύκελν εκβαδόλ Δ ηζνύηαη κε ην νινθιήξσκα Σην δηάζηεκα 3, είλαη άξα Τόηε E 3 () d () 4 ( 3) E 3 ()d E F() F( 3) 6 7 η.κ 55. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN
8 437 Β. H ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, σο πξάμεηο ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ θαη παξαγσγίζηκε κε παξάγσγν ln ln,, νπόηε : ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα κεηαβνιώλ πξνθύπηεη όηη ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο θ ζ ί- λ ν π ζ α ζην, θαη γ λ ε ζ ί ω ο α ύ μ ν π ζ α ζην,. Β. Η παξνπζηάδεη ε ι ά ρ η ζ η ν γηα άξα είλαη : ηελ ηηκή, ln ln ln, γηα θάζε Β3. Σην δηάζηεκα, ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα, νπόηε : άξα Δπνκέλσο, ζην, E d d ln d ln d d ln d d ln ln d d ln d d ln 4 3 5 3 5 η.κ. 4 4 4 4 4
438 56. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN B. Η C ηέκλεη ηνλ άμνλα yy ζην ζεκείν Δπίζεο είλαη νπόηε, κε 7 4. 4 4 4 5. 8 8 ε εμίζσζε ηεο ε θ α πηνκέλεο (ε) ηεο, C ζην (ε) : y 7 5 (ε) : y 4 8 5 7 (ε) : y 8 4 Β. Κ α η α θ ό ξ π θ ε α ζ ύ κ πη ωη ε A θαη Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο είλαη ε lim lim 4 4, είλαη : C έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ επζεία κε εμίζσζε. Π ι ά γ η α ή ν ξ η δ ό λ ηη α α ζ ύ κ π η ωη ε ζην θαη ζην 4 6 6 4 4 4 4 lim lim lim lim ε lim lim 4 lim 4 4 4 4 y 4. C έρεη πι ά γ η α α ζ ύ κ πηωη ε ζην ηελ επζεία κε εμίζσζε Οκνίσο απνδεηθλύεηαη όηη ε C έρεη πι ά γ η α α ζ ύ κ π η ωη ε ζην ηελ επζεία κε εμίζσζε y 4.
B3. Σην δηάζηεκα, είλαη 439, νπόηε : E d 4 d 4 ln 4 4 ln6 ln 4 ln6 4 5 ln η.κ. 57. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN 5 Β. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, άξα lim lim () lim lim α α ln lim lim ln lim lim lim DLH από ηελ ζρέζε () πξνθύπηεη όηη Β. i. Έρνπκε επεηδή α α. lim lim lim DLH ln lim lim lim ln lim lim ε ζπλάξηεζε δ ε λ ε ί λ α η π α ξ α γ ωγ ί ζ η κ ε ζην. ii. Δίλαη Γηα. είλαη, ln,
8 Γηα είλαη 44 ln ln ln ln ln ln 8 () () Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην, θαη, θαη γ λ ε ζ ί ωο θ ζ ί λ ν π ζ α ζην iii. Σην δηάζηεκα, είλαη νπόηε:,. ln, E d d ln d ln d ln ln d d 4 η.κ. 4 4 4 58. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN 7 Β. Η h είλαη παξαγσγίζηκε ζην σο άζξνηζκα δύν παξαγσγίζηκσλ ζην ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν h () () () 4 () () 4 4 4 3 4 4 4 ( 4 ) 4 4 4 ε h είλαη ζ ηαζεξή ζην. Β. Δίλαη h 4, νπόηε: h() = () = =
επεηδή ε h είλαη ζηαζεξή ζην νπόηε Β3. Δίλαη Β3. Δίλαη Δίλαη Δπίζεο 44, έρνπκε h, γηα θάζε, () () () () 4 4 3 3 t 3t t 3t t I tdt dt 3t dt dt dt 3t t 3 3 3 3 3 3 3 3 I 3 3 3 I() 3 3 lim lim lim 3 3 3 ( ) ( ) lim lim lim lim lim ( ) () DLH DLH lim = 3 3 θαη lim = 3 I() lim lim lim lim 3 3 3 59. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN 8 Β. Δίλαη ln ln () = =, >
8 44 Η ζπλάξηεζε είλαη παξαγσγίζηκε ζην, κε παξάγσγν Δίλαη ln (ln) ln() ln () = = =, > ln () ln ln ln () ln ln ln () ln ln ε είλαη γ λ ε ζ ί ω ο α ύ μ ν π ζ α ζην, θαη γ λ ε ζ ί ωο θζί λ ν π ζ α ζην [, ). Παξνπζηάδεη νιηθό κ έ γ η ζ η ν γηα Β. Δίλαη, ην () =. ln ( ln ) lim () lim lim () DLH επεηδή είλαη lim =. Β3. Δίλαη () () ln I = ()d d d ln ln d ln ln ln 4 [] Τ.Μ. 6. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN
8 8 443 B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην θαη παξαγσγίζηκε κε παξάγσγν Δίλαη () ( ) () () > () Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα κεηαβνιώλ πξνθύπηεη όηη H είλαη γ λ ε ζ ί ωο θζίλνπζα ζην (, ] θαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην [, ). Η παξνπζηάδεη ν ι η θ ό ε ι ά ρ η ζ η ν γηα B. Έρνπκε άξα ε ζπλάξηεζε είλαη θ π ξ η ή. B3. Έρνπκε Πξνθαλήο ξίδα ην, αθνύ., ηελ ηηκή () = ( ) = 4 >, () () () () () () Δπνκέλσο ε εμίζσζε () έρεη κ ν λ α δ η θ ή ξ ί δ α ην. B4. Η εθαπηνκέλε ηεο C ζην = είλαη ε ε : y θαη επεηδή ε είλαη θ π ξ ηή, ε επαθήο, άξα C βξίζθεηαη πάλω από ηελ εθαπηνκέλε κε ε μ α ί ξ ε ζ ε ην ζεκείν () () (). E Ω = [() ] d = [ ] d = ()=
8 444 5 = = = η.κ. 6. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN 4 B. Η ζπλάξηεζε έρεη πεδίν νξηζκνύ ην A, άξα ε y y)., νπόηε έρνπκε ln lim () lim lim ln, δηόηη lim ln θαη lim C έρεη θ α ηαθόξπθε α ζ ύ κ π η ωη ε ηελ (δειαδή ηνλ άμνλα Δπίζεο έρνπκε άξα ε ln lim () lim lim lim DLH C έρεη ν ξ η δ ό λ ηη α α ζ ύ κ π η ωη ε ηελ y (δειαδή ηνλ άμνλα ). B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, θαη παξαγσγίζηκε κε παξάγσγν ln ln ln () ln () ln ln ln () ln ln () () ()=/ Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην, θαη γ λ ε ζ ί ωο θ ζ ί λ ν π ζ α ζην,. Η παξνπζηάδεη ν ι η θ ό κ έ γ η ζ ην ην ln ()
445 Δίλαη B3. Έρνπκε () (), γηα θάζε. ln () ln. Αλαδεηνύκε ην πξόζεκν ηεο ζην δηάζηεκα νπόηε έρνκε,, () () () () ln ln ln EΩ ()d d (ln ln) ( ) η.κ. ln 6. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN 5 B. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη ην (, ), άξα πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε είλαη ε επζεία (ν άμνλαο yy ). Δίλαη lim ln = ( ) = =. Δπνκέλσο ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ επζεία. Γηα λα βξνύκε αλ ππάξρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ππνινγίδνπκε ην επνκέλσο ε lim ln = =, C δ ε λ έ ρ ε η ν ξ η δ ό λ ηη α α ζ ύ κ πηωη ε ζην. B. Έζησ, (, ) κε <. Δίλαη < ln < ln () θαη
Από () θαη () πξνθύπηεη 446 < > < (). ( ) < ( ) επνκέλσο ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην (, ), άξα αλ έρεη ιύζε, απηή είλαη κνλαδηθή. Δπεηδή ε ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο σο δηαθνξά ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ θαη είλαη θαη γλεζίσο αύμνπζα, ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζην δηάζηεκα (, ) είλαη ην ην δηάζηεκα, αθνύ lim (), lim () lim () = =. θαη lim () =. Δπνκέλσο αθνύ πεξηέρεηαη ζην ζύλνιν ηηκώλ ην ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο έρεη ηνπιάρηζηνλ έλα ζεκείν ηνκήο κε ηνλ άμνλα ησλ θαη αθνύ είλαη γλεζίσο αύμνπζα απηό ζα είλαη κνλαδηθό. Δπνκέλσο ε εμίζσζε Ε λ α ι ι α θ η η θ ά έρεη κνλαδηθή ξίδα. Δθαξκνγή ζ ε ωξ ή κ α ηνο Bol z a n o ζην [, ]. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην [, ] σο δηαθνξά ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ. Δίλαη Οπόηε ()() <, () = < θαη () = >. άξα από ην ζ ε ώξ ε κ α Bol z a n o ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα B3. Γηα θάζε > είλαη Τν δεηνύκελν εκβαδό ηζνύηαη κε (, ) ώζηε ( ) =. ()> > () > () () >.
447 ()> EΩ = () d = ()d = ln d = lnd d = () ln d [ln] = [ln] (ln) d ln ln ln ln d ln ln ln d ln ln [] ln ln ln ln ln (ln ln ) (ln ln ) ln ln ln ln ln ln ( )ln η.κ.