ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/1/014)
Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του Λυκείου του Δικτυακού Τόου mathematica.gr με βάση υλικό ου αναρτήθηκε στο mathematica http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=147&t=46866 Συνεργάστηκαν οι: Γιώργος Αόκης, Γιώργος Βισβίκης, Κωνσταντίνος Γεωργίου Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργης Καλαθάκης, Δημήτρης Κατούνης, Θόδωρος Καραμεσάλης, Γιώργος Λέκκας, Μάμης Στεργίου, Θανάσης Παασταθόουλος, Περικλής Παντούλας, Γιώργος Ρίζος, Γιώργος Ροδόουλος, Χρήστος Τσιφάκης, Σωτήρης Χασάης, Antonis_A, gga, Grosrouvre, emag57 Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα αό το δικτυακό τόο mathematica.gr
Θέματα ης Ομάδας Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου GI_V_ALG 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οοίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να αραστήσετε γραφικά στο είεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος ου ορίσατε στο (α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 15) 3x + 4y = 1 α) Θεωρούμε το σύστημα 6x + 8y = Αν ολλαλασιάσουμε την ρώτη εξίσωση με και την ροσθέσουμε στη δεύτερη, ροκύτει το ισοδύναμο σύστημα 3x + 4y = 1 0x + 0y = Η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη άρα το σύστημα είναι ράγματι αδύνατο. β) Οι εξισώσεις του συστήματος γράφονται αντίστοιχα 3 3 1 y= x+ 3, y= x+. 4 4 4 Οι ευθείες ου ορίζουν οι εξισώσεις του συστήματος έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, οότε είναι αράλληλες και εομένως το σύστημα είναι αδύνατο. 3
GI_V_ALG 16954 Δίνεται η εξίσωση : 8x + y = 7 (1) α) Να γράψετε μια άλλη εξίσωση ου να μην έχει καμία κοινή λύση με την (1) (Μονάδες 10) β) Να αραστήσετε γραφικά τις δύο εξισώσεις και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 15) α) Πρέει το σύστημα να είναι αδύνατο. Ειλέγουμε.χ. 8x + y = 11 β) Παρατηρούμε ότι οι ευθείες είναι αράλληλες, άρα το σύστημα είναι αδύνατο. 4
GI_V_ALG 16957 Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος αό το Βασίλη. α) Μορείτε να υολογίσετε την ηλικία του καθενός ; Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 13) β) Δίνεται ειλέον η ληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να υ ολογίσετε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες 1) Έστω x η ηλικία του Μάρκου και y η ηλικία του Βασίλη. Αό τα δεδομένα, ροκύτει ότι: x+ y= 7 (1) και x > y () α) Υοθέτουμε ότι οι x, y είναι θετικοί ρητοί αριθμοί. Αό τα αραάνω, δεν μορούμε να υολογίσουμε την ηλικία του καθενός, διότι η (1) αοτελεί μία γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, ενώ η () δεν εξασφαλίζει τη μοναδικότητα ττης λύσης. Για αράδειγμα, θα μορούσε (x,y) = (18,9) ή (x,y) = (17,10) κ.ο.κ. β) Τώρα, ξέρουμε ότι και x y= 5 (3) (καθώς και x> y ) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1),(3), αίρνουμε την εξίσωση x = 3 x = 16. Για x= 16, αό την (1) έχουμε: 16 + y = 7 y = 11 Δηλαδή, ο Μάρκος είναι 16 ετών και ο Βασίλης 11. Τα αοτελέσματα αυτά, εαληθεύουν όλα τα δεδομένα. 5
GI_V_ALG 16960 α) Με βάση τα δεδομένα του σχήματος, να ροσδιορίσετε τις εξισώσεις των ευθειών (ε), (η). (Μονάδες 1) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους. (Μονάδες 13) α) Η εξίσωση η οοία αριστάνει μια ευθεία (ου δεν είναι κάθετη στον άξονα x'x) είναι της μορφής y = λx + β, όου λ ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας αυτής (λ = εφω, όου ω είναι η γωνία κλίσης της ευθείας με τον άξονα x'x). Παρατηρώ ότι η ευθεία (ε) με εξίσωση y = λx + β τέμνει τους άξονες στα σημεία, Α(0,) και Β(,0), οότε: για το σημείο Α(0,) είναι = λ0 + β β= για το σημείο Β(,0) είναι 0= λ+ β λ= β λ= 1 Και έτσι η ευθεία (ε) θα έχει εξίσωση: y= x+ Η ευθεία (η) τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Γ(4,0) και σχηματίζει γωνία45 με τον x'x, οότε λ = ε φ45 = 1. Εομένως η εξίσωση της ευθείας (η) γίνεται : y= x+ β και εειδή το σημείο Γ(4,0) ανήκει στην ευθεία αυτή τότε : 0= 4+ β β= 4. Τελικά η ευθεία (η) θα έχει εξίσωση y= x 4 Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών αυτών θα λύσουμε σύ y= x 4 y= x 4 y= 1 στημα:. y= x+ x+ = x 4 x= 3 Άρα το σημείο τομής έχει συντεταγμένες (3, 1). 6
GI_V_ALG 1696 α) Να διατάξετε αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αρακάτω αριθμούς: 17 συν, συν, συν (Μονάδες 1) 6 4 10 3 β) Αν < x1 < x <, να συγκρίνετε τους αριθμούς: ημ x 1, ημ x (Μονάδες 13) 17 α) Κάνω αναγωγή στο ρώτο τεταρτημόριο για το συν 10 Χρησιμοοιώντας διαδοχικά γωνίες ου διαφέρουν κατά και στην συνέχεια γωνίες ου έχουν άθροισμα αίρνουμε: 17 7 7 3 συν συν = + = συν = συν ( Αφού 7 + 3 = ) 10 10 10 10 10 10 Έτσι οι γωνίες,, 3 6 4 10 ανήκουν στο διάστημα 0,, στο οοίο η συνάρτηση του f(x) = συνx είναι γνησίως φθίνουσα. 3 3 Εομένως: < < συν > συν > συν 6 4 10 6 4 10 β) Ισχύει ότι ημ x1 = συνx1 (Γωνίες συμληρωματικές) και ημ x = συνx (Γωνίες συμληρωματικές) 3 3 Ισχύει < x1 < x < δηλαδή x,x 1,. Στο διάστημα αυτό η συνάρτηση f(x) = συνx είναι γνησίως αύξουσα. Εομένως: x1 < x συνx1 < συνx ημ x1 < ημ x Άλλη λύση: ( 1 3 ) 3 Αφού < x1 < x < > x1 > x > 3 > x1 > x > > x1 > x > Άρα οι γωνίες x, 1 x ανήκουν στο διάστημα,, ου όως γνωρίζουμε η συνάρτηση g(x) = συνx είναι γνησίως φθίνουσα. Εομένως x1 > x ημ x 1 < ημ x. 7
GI_V_ALG 16965 Δίνεται η συνάρτηση f(x) x 4x 5 = +, x R α) Να αοδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x ) + 1. (Μονάδες 1 ) β) Στο σύστημα συντεταγμένων ου ακολουθεί, να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f, μετατοίζοντας κατάλληλα την y= x. (Μονάδες 13 ) α) f(x) = x 4x+ 5= x 4x+ 4+ 1 = (x ) + 1 β) Η γραφική αράσταση της f με τη μορφή της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f(x) = (x ) + 1 είναι μία οριζόντια μετατόιση y = x κατά μονάδες ρος τα δεξιά και ταυτόχρονα κατακόρυφη μετατόιση κατά 1 μονάδα ρος τα άνω. Όλα αυτά φαίνονται στο αρακάτω σχήμα. 8
GI_V_ALG 16968 α) Είναι η τιμή x = λύση της εξίσωσης 3συν4x + 3 = 0 ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή 4 σας. (Μονάδες 10 ) β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f(x) = συν4x με την ευθεία y= 1. (Μονάδες 15 ) α) Είναι 3συν4 3 3(συν 1) 3( 1 1) 0 4 + = + = + =, άρα η τιμή x = είναι λύση της εξίσωσης 4 3συν4x + 3 = 0 β) Αναζητούμε τις λύσεις της εξίσωσης f(x) = y. k συν4x = 1 = συν 4x = k+ x = +,k 4 GI_V_ALG 17647 x y= 8 (1) Δίνεται το σύστημα: με αραμέτρους α,β,γ. αx + βy = γ () α) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (, 3). (Μονάδες 13) β) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο. (Μονάδες 1) α) Αρκεί η ευθεία () να διέρχεται αό το σημείο (, 3) ). Αρκεί να "ειλέξουμε" μια ευθεία ου διέρχεται αό αυτό το σημείο,.χ. την x=, η οοία ροκύτει με α = 1, β = 0, γ = Η (1) εαληθεύεται αό το σημείο (, 3),αφού ισχύει : ( 3) = 8 8= 8,οότε διέρχεται αό το δοσμένο σημείο και εομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση. β) Θα ειλέξουμε ευθεία αράλληλη της (1). Ειλέγουμε ( α= 1,β = 8,γ = 0 ), οότε το σύστημα είναι αδύνατο. 9
GI_V_ALG 17650 Δίνεται ένα ορθογώνιο αραλληλόγραμμο με μήκος xcm, λάτος ycm, ερίμετρο ίση με 38cm και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά cm και μειώσουμε το λάτος του κατά 4cm, θα ροκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων x,y του ορθογωνίου. (Μονάδες 15) α) Το δοσμένο ορθογώνιο έχει εμβαδόν xy και ερίμετρο x + y = 38. Αν γίνουν οι αλλαγές στις διαστάσεις του, το εμβαδόν του θα γίνει (x + )(y 4) και θα είναι ίσο με το αρχικό. Εομένως έχουμε το σύστημα : β) Είναι : x + y = 38 (x + )(y 4) = xy x + y = 38 x + y = 19 x + y = 19 (x + )(y 4) = xy xy 4x + y 8 = xy 4x + y = 8 y= 19 x y= 19 x y= 14 x + 19 x = 4 3x = 15 x = 5 Εομένως οι διαστάσεις του είναι x= 5,y= 14 Σχόλιο : Εειδή, αραδοσιακά, λέμε μήκος τη μεγαλύτερη λευρά και εειδή εδώ ροκύτει ότι το μήκος είναι μικρότερο αό το λάτος, ας μην αρασυρθούν οι μαθητές αό τις λέξεις. 10
GI_V_ALG 17651 Στο δημοτικό parking μιας εαρχιακής όλης στις 10 το ρωί, το σύνολο των δίκυκλων και τετράτροχων οχημάτων ου έχουν αρκάρει είναι 830 και το λήθος των τροχών τους.700. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. (Μονάδες 13 ) β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων. (Μονάδες 1 ) α) Έστω x,y ο αριθμός των δίκυκλων και των τετράτροχων οχημάτων αντίστοιχα. Η μία εξίσωση του συστήματος είναι x + y = 830 (1) Τα δίκυκλα έχουν συνολικά x τροχούς, ενώ τα τετράτροχα 4y τροχούς. Η άλλη εξίσωση λοιόν του συστήματος είναι x + 4y = 700 ή x + y = 1350 () β) x + y = 830 ( ) x + y = 830 x = 310 x + y = 1350 y = 50 y = 50 Έχουμε λοιόν 310 δίκυκλα και 50 τετράτροχα οχήματα. GI_V_ALG 1765 Δίνεται γωνία ω ου ικανοοιεί τη σχέση: ( ημω + συνω) = 1 α) Να αοδείξετε ότι είτε ημω = 0 είτε συνω = 0. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας ω. (Μονάδες 1) α) Είναι ( ) ημω + συνω = 1 ημ ω + συν ω + ημω συνω = 1 β) ημω 0 ω κ 1+ ημω συνω = 1 ημω συνω = 0 ημω = 0 ή συνω = 0 = = ή ( ) ω = κ + = κ + 1,κ. Γενικά ω= κ, κ συνω = 0 συνω = συν ω = κ ±,κ. Γενικά ω= κ+, κ (Το σύνολο των δυνατών τιμών της γωνίας ω θα μορούσε να εκφραστεί γενικά αό την σχέση ω= κ, κ ). 11
GI_V_ALG 17656 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = συνx,x α) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η ερίοδος της f; (Μονάδες 9) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f σε διάστημα λάτους μιας εριόδου. (Μονάδες 10) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μορεί να άρει την τιμή 1. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 6) 1 α) Η f έχει ελάχιστη τιμή και μέγιστη τιμή 1. Κάθε τιμή της συνάρτησης εαναλαμβάνεται όταν το x αυξηθεί κατά, οότε το x αυξάνεται κατά. Εομένως η ερίοδος της f είναι T =. β) Σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση στο διλανό σχήμα γ) Η συνάρτηση δεν μορεί να άρει την τιμή 1, εειδή έχει μέγιστη τιμή το 1. Αυτό άλλωστε φαίνεται και στη γραφική αράσταση. Η f δεν μορεί να άρει τιμές εκτός του διαστήματος 1 1,. ΣΧΟΛΙΟ: Το (β) ερώτημα είναι κάως ασαφές. Το διάστημα λάτους μιας εριόδου μορεί να είναι οοιοδήοτε διάστημα έχει λάτος,. χ το 3 7, 4 4. 1
GI_V_ALG 17659 y= x + 1 α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα x y = 1 (Μονάδες 15 ) β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος ου βρήκατε στο ερώτημα (α). (Μονάδες 10 ) α) y= x + 1 y= x + 1 x+ 1= x + 1 x(x 1) = 0 x y = 1 y = x + 1 y = x + 1 y = x + 1 x= 0 ή x 1= 0 x= 0 ή x= 1 x= 0 και y= 1 y= x+ 1 y= x+ 1 ή x= 1και y= Εομένως το σύστημα έχει τις λύσεις (x,y) = (0,1) ή (x,y) = (1,) β) Οι λύσεις του συστήματος είναι τα σημεία τομής της αραβολής με εξίσωση y= x + 1 και της ευθείας με εξίσωση y= x+ 1, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα 13
GI_V_ALG 17663 Αν 0< x< και (συνx+ 1) (5συνx 4) = 0, τότε: α) 4 Να αοδείξετε ότι συνx =. 5 β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x. (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) α) Αφού 0< x< (1ο τεταρτημόριο), είναι συνx> 0. (συνx+ 1) (5συνx 4) = 0 συνx+ 1= 0 ή 5συνx 4= 0 1 4 συνx = ή συνx =. 5 Αφού συνx> 0, δεκτό είναι μόνο το 4 συνx =. 5 β) Ισχύει ότι 4 16 9 ημ x + συν x= 1 ημ x+ = 1 ημ x+ = 1 ημ x =. 5 5 5 3 3 Άρα ημx = ή ημx =. 5 5 Εειδή ημx> 0, για κάθε x με 3 0< x<, είναι τελικά ημx =. 5 3 ημx 3 Είσης εφx 5 1 1 4 = = = και σφx = = =. συνx 4 4 εφx 3 3 5 4 14
GI_V_ALG 17664 Δίνονται οι γωνίες ω, θ με συνω 0 και συνθ 0, για τις οοίες ισχύει: 0 ω+ θ= 135 Να αοδείξετε ότι: α) εφ(ω+ θ) = 1 (Μονάδες 10) β) εφω + εφθ + 1 = εφω εφθ (Μονάδες 15) α) 0 0 0 0 Είναι εφ(ω+ θ) = εφ135 = εφ(180 45 ) = εφ45 = 1 β) Οότε, εφω + εφθ εφ(ω+ θ) = 1 = 1 εφω + εφθ = ( 1 εφω εφθ) 1 εφω εφθ εφω + εφθ = 1 + εφωεφθ εφω + εφθ + 1 = εφω εφθ GI_V_ALG 17681 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ημx+ 1, x α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f β) Για οια τιμή του x [0,] η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστη τιμή; (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) α) H συνάρτηση g(x) = ημx έχει ελάχιστη τιμή και μέγιστη, άρα η f(x) = g(x) + 1 θα έχει ελάχιστη τιμή + 1= 1 και μέγιστη + 1= 3. β) Έχουμε f(x) = 3 ημx+ 1= 3 ημx= ημx= 1= ημ και αφού x [0,], είναι x = 15
GI_V_ALG 17683 (λ + 1)x + y = 3 Δίνεται το σύστημα : με αράμετρο λ. 4x + (λ 1)y = 6 α) Αν λ = 3, να δείξετε ότι το σύστημα έχει άειρες λύσεις. Να βρείτε μία λύση. (Μονάδες 8) β) Αν λ = 3, να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 8) γ) Αν λ = 0, να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οοία και να ροσδιορίσετε. (Μονάδες 9) α) Για λ = 3 έχουμε x + y = 3 3 y= x +, x (άειρες λύσεις). 4x 4y = 6 1 1 Για x = έχουμε y= άρα μια λύση είναι η (x,y) =,. β) Για λ = 3 έχουμε 4x + y = 3 (αδύνατο). 4x + y = 6 x+ y= 3 x+ y= 3 γ) Για λ = 0 έχουμε. 4x y = 6 8x y = 1 Προσθέτουμε κατά μέλη: 9x = 9 x = 1 και με αντικατάσταση στην 1η : 1+ y= 3 y= 16
GI_V_ALG 17688 Δίνεται η συνάρτηση f( x) = x x + 1 α) Να δείξετε ότι f( x) 1. (Μονάδες 8) β) Είναι το 1 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 8) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή εριττή. (Μονάδες 9) α) Είναι Είναι : x + 1> 0, οότε η f( x ) έχει εδίο ορισμού όλο το. x f x 1 1 x x + 1 0 x x + 1 ( ) x + 1 ου ισχύει για κάθε x με το ίσον να ισχύει όταν x= 1 ( x 1) 0 β) Όως αοδείξαμε αραάνω είναι f( x) 1 f( x) f( 1), οότε η f( x ) έχει μέγιστο το 1, όταν x = 1. γ) Η f( x ) έχει εδίο ορισμού όλο το, οότε για κάθε x θα είναι και ( ) ( ) + x x f( x) = = = f x x 1 x + 1 ( ), άρα η f( x ) είναι εριττή. x με 17
GI_V_ALG 1769 ημ + x + συν + x = 0 α) Να αοδείξετε ότι: ( ) β) Να βρείτε τις τιμές του x [ 0,) για τις οοίες ισχύει: συνx = ημ + x (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) α) Ισχύει : ημ + x = ημ x Όμως ημ x = συνx (γωνίες συμληρωματικές) Δηλαδή ημ + x = συνx. (αφού + x + x = ) Ακόμη συν( + x) = συνx (γωνίες ου διαφέρουν κατά ) ημ + x + συν + x = συνx συνx= 0 Συνεώς ( ) β) Είναι συνx = ημ + x συνx = συνx (αό το (α) ερώτημα) συνx= 0 συνx= 0 συνx = συν x= κ ±, κ. Όμως x [ 0,), εομένως 1 3 0 κ + < 0 4κ + < 4 0 4κ + 1< 4 1 4κ < 3 κ <,, κ 4 4 Άρα κ= 0 και x = 1 5 0 κ < 0 4κ < 4 0 4κ 1< 4 1 4κ < 5 κ <, κ 4 4 Άρα κ = 1 και 3 x= = 18
GI_V_ALG 17693 α) Να διατάξετε αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αρακάτω αριθμούς: 17 συν, συν, συν 6 4 10 (Μονάδες 1) 3 β) Αν < x1 < x <, να συγκρίνετε τους αριθμούς: ημ x 1, ημ x (Μονάδες 13) 17 α) Κάνω αναγωγή στο ρώτο τεταρτημόριο για το συν 10 Χρησιμοοιώντας διαδοχικά γωνίες ου διαφέρουν κατά, και στην συνέχεια γωνίες ου έχουν άθροισμα αίρνουμε: 17 7 7 3 συν συν = + = συν = συν 10 10 10 10 (αφού 7 + 3 = ) 10 10 Έτσι οι γωνίες,, 3 6 4 10 ανήκουν στο διάστημα 0,, στο οοίο η συνάρτηση y = συνx είναι γνησίως φθίνουσα. 3 3 Εομένως: < < συν > συν > συν 6 4 10 6 4 10 β) Α ΤΡΟΠΟΣ Ισχύει ότι ημ x1 = συνx1 (γωνίες συμληρωματικές) και ημ x = συνx (γωνίες συμληρωματικές) 3 3 Ισχύει ότι < x1 < x < δηλαδή x,x 1,. Στο διάστημα αυτό η συνάρτηση y = συνx είναι γνησίως αύξουσα. Εομένως: x1 < x συνx1 < συνx ημ x1 < ημ x 19
Β ΤΡΟΠΟΣ Αφού ( 1) 3 3 < x1 < x < > x1 > x > + 3 > x1 > x > > x1 > x > Άρα οι γωνίες x, 1 x ανήκουν στο διάστημα,, στο οοίο η συνάρτηση y = ημx είναι γνησίως φθίνουσα. Εομένως: x1 > x ημ x 1 < ημ x. 0
GI_V_ALG 17698 Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση C f μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το. Να ααντήσετε τα αρακάτω ερωτήματα : α) Να διατάξετε αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς f(x 1),f(x ),f(x 3). (Μονάδες 10) β) Είναι η συνάρτηση γνησίως μονότονη στο ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 10) γ) Παρουσιάζει η f μέγιστο στο σημείο x ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 13) α) Φέρνοντας τις ροβολές των σημείων στον άξονα yy έχουμε : f(x 1) < f(x 3) < f(x ) β) Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη. Αν ήταν γνησίως αύξουσα, τότε για x1 < x < x3 θα ίσχυε f(x 1) < f(x ) < f(x 3) ενώ αν ήταν γνησίως φθίνουσα, τότε για x1 < x < x3 θα ίσχυε f(x 1) > f(x ) > f(x 3) αλλά αό το ερώτημα (α) έχουμε f(x 1) < f(x 3) < f(x ). γ) Φέρνοντας την οριζόντια ευθεία ου διέρχεται αό το ( x,f(x) ) αρατηρούμε ότι η συνάρτηση αίρνει και τιμές μεγαλύτερες του f(x ). Άρα το x δεν είναι θέση μεγίστου. 1
GI_V_ALG 17699 Δίνεται 3 ημ =, όου φ η οξεία γωνία ου σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας 5 (ε) του αρακάτω σχήματος. α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών θ και ω του σχήματος. (Μονάδες 15) α) Ισχύει 3 9 16 ημ φ+ συν φ = 1 + συν φ= 1 + συν φ= 1 συν φ= 5 5 5 4 συνφ = ή 5 4 συνφ =. 5 Αφού η γωνία φ είναι οξεία, είναι συνφ > 0 και εομένως 4 συνφ =. 5 β) Παρατηρούμε ότι η γωνία ω είναι αραληρωματική της φ, οότε ω = φ. 3 4 Έτσι ημω = ημ( φ) = ημφ = και συνω = συν( φ) = συνφ =. 5 5 Είσης θ = ω, οότε και 3 ημθ = ημ( ω) = ημ( ω) = ημω = 5 4 συνθ = συν( ω) = συν( ω) = συνω =. 5 Σχόλιο : Στα ίδια συμεράσματα θα καταλήγαμε αν αρατηρούσαμε ότι θ = + φ
GI_V_ALG 17703 Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις : ε 1 = και 1 ( ):x y 1 ( ε ):(λ 1)x y = 6 με αράμετρο λ. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ευθείες να είναι αράλληλες. (Μονάδες 8) β) Να αραστήσετε γραφικά τις ευθείες για λ = 3. (Μονάδες 8) γ) Υάρχει τιμή του λ ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται; Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 9) α) To σύστημα έχει ορίζουσα D= + λ 1 = λ 3. Πρέει το σύστημα να είναι αδύνατο άρα D= 0 λ 3= 0 λ = 3 και τότε έχουμε τις ευθείες ( ε 1):x y= 1 και ( ε 1):x y= 6 ου είναι αράλληλες. β) γ) Θα ρέει το σύστημα να έχει άειρες λύσεις, δηλαδή D= 0 αλλά τότε λ = 3 και αό το ε ρώτημα (α) είδαμε ότι οι ευθείες είναι αράλληλες. Άρα δεν υάρχει τέτοια τιμή του λ. 3
GI_V_ALG 17704 Δίνεται η συνάρτηση f( x) = 3συνx, x α) Να βρείτε την ερίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. (Μονάδες 1) β) Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα και να αραστήσετε γραφικά την f σε διάστημα μιας εριόδου. (Μονάδες 13) α) Η ερίοδος της συνάρτησης είναι T = = Η μέγιστη τιμή της είναι 3, όταν συνx = 1 x = κ + x = κ +, κ Ζ και η ελάχιστη είναι 3 όταν συνx = 1 x = κ x = κ, κ Ζ β) x 0 x 0 4 συνx 1 0 1 0 1 f(x) = 3συνx 3 0 3 0 3 3 4 3 Με τη βοήθεια του αραάνω ίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση στο διάστημα [ 0, ] 4
GI_V_ALG 17709 Δίνονται οι ευθείες ε1:x+ y= 5, ε: x+ 3y= 9, ε 1:3x+ y= 7 α) i) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ε1, ε ii) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ε1, ε 3 (Μονάδες 1) β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να δείξετε ότι το κοινό σημείο των ε, ε 3 είναι σημείο της ε 1 (Μονάδες 13) αi) ii) x + y = 5 Λύνουμε το σύστημα. x + 3y = 9 Προσθέτουμε κατά μέλη : 4y = 4 y = 1 και με αντικατάσταση στη 1η : x 1 = 5 x = 3 άρα το σημείο τομής είναι το A(3, 1). x + y = 5 4x y = 10 Λύνουμε το σύστημα. 3x + y = 7 3x + y = 7 Προσθέτουμε κατά μέλη : x= 3 x= 3 και με αντικατάσταση στη 1η : 6+ y= 5 y= 1, άρα το σημείο τομής είναι το A(3, 1). β) Παρατηρούμε ότι οι τρεις ευθείες έχουν κοινό σημείο το A(3, 1), άρα ροφανώς το κοινό σημείο των ε, ε 3 είναι σημείο της ε 1 5
GI_V_ALG 17717 Ένα θέατρο έχει 5 σειρές καθισμάτων χωρισμένες σε δύο διαζώματα. Η κάθε μια αό τις σειρές του κάτω διαζώματος έχει 14 καθίσματα και η κάθε μια αό τις σειρές του άνω διαζώματος έχει 16 καθίσματα, ενώ η συνολική χωρητικότητα του θεάτρου είναι 374 καθίσματα. α) Αν x ο αριθμός σειρών του κάτω και y o αριθμός σειρών του άνω διαζώματος, να εκφράσετε τα δεδομένα του ροβλήματος με ένα σύστημα δύο εξισώσεων. (Μονάδες 1) β) Πόσες σειρές έχει το άνω και όσες το κάτω διάζωμα; (Μονάδες 13) α) Είναι β) 16 x + 14 y = 374 x+ y = 5 ( ) 16 x + 14 y = 374 16 5 y + 14 y = 374 (1). x+ y = 5 x = 5 y () Λύνουμε την (1) και αίρνουμε: y= 13. Με αντικατάσταση στην () ροκύτει ότι: x= 5 13= 1 Παρατήρηση: Θα μορούσε να ζητήσει τον αριθμό των καθισμάτων στο κάτω και στο άνω διάζωμα, οότε θα βρίσκαμε: Κάτω διάζωμα: 16 x = 16 1 = 19 καθίσματα. Πάνω διάζωμα: 14 y = 14 13 = 18 καθίσματα. GI_V_ALG 1775 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ημ( 3x) + συν 3x. α) Να δείξετε ότι f(x) = ημ3x (Μονάδες 10) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f. (Μονάδες 13) α) Είναι ημ( 3x) = ημ3x και συν 3x = ημ3x άρα, με αντικατάσταση, ροκύτει ότι : f(x) = ημ3x. β) Η συνάρτηση έχει μέγιστο, ελάχιστο και ερίοδο T = 3 6
GI_V_ALG 1773 Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση f: η γραφική αράσταση της οοίας διέρχεται αό τα σημεία Α(, 3) και Β(4, 5). α) Να ροσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f. (Μονάδες 13) β) Αν η γραφική αράσταση της f τέμνει τον άξονα x x στο, να δείξετε ότι f(0) > 0 (Μονάδες 1) α) Αφού η γραφική αράσταση της f διέρχεται αό τα σημεία Α(,3) και Β(4,5), ισχύουν f() = 3 και f(4) = 5. Αν η συνάρτηση f ήταν γνησίως φθίνουσα, εφόσον < 4, θα είχαμε f() > f(4) ή 3 > 5, ου είναι άτοο. Με δεδομένο ότι η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως αύξουσα. β) Αφού η γραφική αράσταση της f τέμνει τον άξονα x x στο, είναι f( ) = 0. Είναι < 0 και f γνησίως αύξουσα. Άρα f( ) < f(0), δηλαδή f(0) > 0 GI_V_ALG 17734 Δίνονται οι ευθείες: ε 1 : x + y = 6 και ε : x y = 3 α) Να ροσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο Μ. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε για οια τιμή του α, η ευθεία 3x + ay = α + 5 διέρχεται αό το Μ. (Μονάδες 1) α) Οι συντεταγμένες του σημείου Μ θα ροσδιορισθούν αό τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των δύο ευθειών. ε 1 :x+ y= 6 Έχουμε: ( Σ) ε :x y= 3 1 D= = 1= 4 1= 5 1. Είναι: ( ) 6 1 6 Dx = = 1 ( 3) = 1+ 3= 9 και Dy = = ( 3) 6 = 6 6 = 1. 3 1 3 Αφού D= 5 0, το ( Σ ) έχει μοναδική λύση, D D x την ( ) y 9 1 9 1 9 1 x,y =, =, =,. Άρα Μ,. D D 5 5 5 5 5 5 9 1 β) Η ευθεία 3x + αy = α + 5 διέρχεται αό το σημείο Μ,, αν και μόνο αν, η εξίσωσή 5 5 της εαληθεύεται αό τις συντεταγμένες του σημείου. Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του Μ αίρνουμε την : 9 1 3 + α = α+ 5 7+ 1α = 5α + 5 7α = α =. 5 5 7 7
GI_V_ALG 17736 Δίνεται η αράσταση : ημ x A = με x κ, κ. 1 συνx α) Να αοδείξετε ότι A= 1+ συνx (Μονάδες 1) ημ x 1 β) Να λύσετε την εξίσωση = στο διάστημα (0,) (Μονάδες 13) 1 συνx α) ημ x 1 συν x (1+ συνx)(1 συνx) A= = = = 1+ συνx 1 συνx 1 συνx 1 συνx β) Αό το ερώτημα (α), για x κ, κ η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την και αφού x (0,) έχουμε : 1 1 1 + συνx = συνx = = συν 3 4 x = ή x = (δεκτές) 3 3 GI_V_ALG 17739 Έστω γωνία x για την οοία ισχύουν : < x < και ημ( x) ημ( x) 1 α) 1 Να αοδείξετε ότι ημx = (Μονάδες 1) β) Να βρείτε τη γωνία x (Μονάδες 13) α) 1 Έχουμε ημ( x) ημ( + x) = 1 ημx ( ημx) = 1 ημx= 1 ημx = β) 1 Είναι ημx = = ημ και x 6 < < άρα 5 x = = 6 6 8
GI_V_ALG 17741 α) Να αοδείξετε ότι : ημx ημx + =,x κ, κ (Μονάδες 13) 1 συνx 1+ συνx ημx ημx ημx 4 β) Να λύσετε την εξίσωση: + = 1 συνx 1+ συνx 3 (Μονάδες 1) α) Για x κ,κ έχουμε: ( + ) + ( ) ( )( ) ημx ημx ημx 1 συνx ημx 1 συνx + = = 1 συνx 1+ συνx 1 συνx 1+ συνx ( ) ημx 1+ συνx + 1 συνx = 1 συν x ημx =. ημ x = ημx β) Αό το (α) ερώτημα και για x κ,κ έχουμε: ημx ημx 4 4 3 + = = 4ημx= 3 ημx = ημx = ημ 1 συνx 1+ συνx 3 ημx 3 3 x= κ + ή x= κ + x= κ + ή x= κ +, κ. 3 3 3 3 9
GI_V_ALG 1863 Στο αρακάτω σχήμα δίνονται οι αραβολές C,C f g ου είναι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f, g αντίστοιχα με εδίο ορισμού το. Η γραφική αράσταση της g ροκύτει αό τη γραφική αράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόιση. Παρατηρώντας το σχήμα: α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του ακρότατου της f και την τιμή του. β) Να βρείτε μέσω οιων μετατοίσεων της C f ροκύτει η C g. (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) Παρουσιάζει ελάχιστη τιμή για x= την f( ) = 3. β) Παρατηρούμε ότι η C g ροκύτει αό την και 4 μονάδες κάτω. Δηλαδή: g(x) = f(x 4) 4 για κάθε x. C, f αν αυτή μετατοιστεί κατά 4 μονάδες δεξιά 30
GI_V_ALG 18634 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 1x + 19 α) Να δείξετε ότι γράφεται στη μορφή: f(x) = (x 3) + 1 (Μονάδες 10) β) Παρακάτω δίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης g(x) = x. Στο ίδιο σύστημα αξόνων, να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f, και να εξηγήσετε ως αυτή ροκύτει μετατοίζοντας κατάλληλα τη γραφική αράσταση της g. (Μονάδες 15) α) Έχουμε : f(x) = x 1x + 19 = x 1x + 18 + 1 = (x 6x + 9) + 1 = (x 3) + 1 β) Η γραφική αράσταση της f (κόκκινη) θα ροκύψει αό τη γραφική αράσταση της g (μλε) με δύο μετατοίσεις : μία οριζόντια ρος τα δεξιά κατά 3 μονάδες και μία κατακόρυφη ρος τα άνω κατά μία μονάδα. 31
GI_V_ALG 18637 x y= 9 Δίνεται το σύστημα με αραμέτρους α,β,γ. αx + βy = γ α) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1, 4). (Μονάδες 13) β) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο και να εαληθεύσετε γραφικά την ειλογή σας. (Μονάδες 1) α) Το σύστημα έχει ορίζουσα D = β + α. Για να έχει μοναδική λύση : D 0 β α (1). Αφού το ζεύγος (1, 4) εαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η ρώτη ικανοοιείται) και έχουμε α 4β= γ (). Φροντίζοντας να ισχύει η (1), ειλέγουμε.χ. α = 1, β = και έτσι η () δίνει γ = 7. β) Για να είναι το σύστημα αδύνατο ρέει D= 0 β = α. Ειλέγουμε.χ. α= 1,β = και αντικαθιστούμε : x y= 9 x y = γ άρα ροφανώς θα ρέει γ 9. Eιλέγουμε.χ. γ= 7. Tότε το σύστημα αριστάνει τις ευθείες 1 9 1 7 y= x, y= x ου είναι αράλληλες. 3
GI_V_ALG 18638 x + y = 3 Δίνεται το σύστημα με αραμέτρους α,β,γ. αx + βy = γ α) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση το ζεύγος ( 1,5). (Μονάδες 13) β) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα να έχει άειρες λύσεις και να εαληθεύσετε γραφικά την ειλογή σας. (Μονάδες 1) α) Το σύστημα έχει ορίζουσα D= β α. Για να έχει μοναδική λύση ρέει D 0 α β (1). Αφού το ζεύγος ( 1,5) εαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η ρώτη ικανοοιείται) και έχουμε α + 5β= γ (). Φροντίζοντας να ισχύει η (1), ειλέγουμε.χ. α = 1,β = 3 και έτσι η () δίνει γ = 14. β) Για να έχει άειρες λύσεις το σύστημα ρέει D= 0 α = β. Ειλέγουμε.χ. α=,β = 1 και αντικαθι x + y = 3 στούμε : x + y = γ ρέει γ = 3. άρα ροφανώς θα Tότε οι λύσεις είναι τα ζεύγη ου αοτελούν συντεταγμένες των σημείων της ευθείας y= x+ 3 33
GL_V_ALG 19911 3 1 α) Να αοδείξετε ότι: ημ x + = συνx + ημx. (Μονάδες 13) 3 β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α), να λύσετε στο διάστημα ( 0, ) την εξίσωση: 3 1 συνx + ημx= 0 (Μονάδες 1) α) Εφαρμόζοντας τον τύο ημ( α + β) = ημασυνβ + συναημβ έχουμε: 1 3 ημ x + = ημxσυν + συνxημ = ημx + συνx. 3 3 3 3 1 Δηλαδή ημ x + = συνx + ημx 3 β) Λόγω του ρώτου ερωτήματος ισχύει 3 1 συνx ημx ημ + = x +, οότε έχουμε να λύ 3 σουμε την εξίσωση ημ x+ = 0. Έχουμε: 3 x+ = κ + 0 x= κ ημ x 0 ημ x ημ0 3 3 + = + =,κ 3 3 x+ = κ + 0 x= κ + 3 3 Θέλουμε τις λύσεις του διαστήματος ( 0, ). Οότε: 1 x 0, 0 < x < 0 < κ 0 κ 1 3 < < 3 < 1 < κ < 1 + 1 1 < κ < και 3 3 6 3 κ. Συνεώς δεν υάρχει κ Z 0, αό ( ) τον ρώτο τύο λύσεων. ( ) τέτοιο ώστε να ροκύτει λύση στο διάστημα ( ) x 0, 0 < x < 0 < κ + 0 κ 1 3 < < + 3 < < κ < 1 < κ < 1 και 3 3 3 6 κ. Οότε κ = 0 και x =. 3 Δηλαδή η μοναδική λύση της εξίσωσης στο διάστημα ( 0, ) είναι η x = 3 34
GI_V_ALG 1991 Δίνεται γωνία ω για την οοία ισχύει ότι συνω + 5ημω = 0 α) Να αοδείξετε ότι ισχύει: β) Να αοδείξετε ότι ημ ω + 5ημω 3= 0. (Μονάδες 1) 1 ημω =. (Μονάδες 13) α) Είναι συνω = 1 ημ ω, οότε αντικαθιστώντας στην ισότητα ( ) 1 ημ ω 5ημω 0 ημ ω 5ημω 3 0 + = + = συνω = 1 ημ ω έχουμε: β) Θέτω y = ημω, 1 y 1 στην ισότητα ημ ω + 5ημω 3= 0, η οοία γράφεται: 5± 7 y + 5y 3 = 0 y = άρα y= 3 ου αορρίτεται ή 4 1 y = άρα 1 ημω = 35
GI_V_ALG 19913 Έστω η συνάρτηση f(x) = (ημx +συνx), x α) Να αοδείξετε ότι f (x) = 1 + ημx, για κάθε x (Μονάδες 1) β) Να βρείτε την ερίοδο καθώς και τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της f. (Μονάδες 13) α) Για κάθε x είναι ( ) f(x) = ημx + συνx = ημ x+ ημx συνx + συν x = ( ) = ημ x + συν x + ημx συνx= 1+ ημx. β) Η συνάρτηση g(x) = ημx έχει μέγιστη τιμή 1, ελάχιστη τιμή 1 και ερίοδο ότε και η συνάρτηση f(x) = 1+ ημx = 1 + g(x) έχει μέγιστη τιμή 1 + 1 =, ελάχιστη τιμή 1 1 = 0 και ερίοδο. T = =, ο GI_V_ALG 19914 Δίνεται η συνάρτηση f( x) = x 5, x. α) Να δείξετε ότι η f αρουσιάζει ελάχιστο στο x= 0. (Μονάδες 8) β) Είναι η f άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 8) γ) Με οια μετατόιση της gx ( ) x = ροκύτει η C; f (Μονάδες 9) α) Για κάθε x, ισχύει: ( ) Όμως f( 0) = 5, εομένως f( x) f( 0) x 0 x 5 5 f x 5 Άρα η f αρουσιάζει ελάχιστο στο x= 0. β) Ισχύουν ότι : για κάθε x Df = και το x Df = f( x) = ( x) 5= x 5= f( x) Εομένως η f άρτια συνάρτηση. γ) Η C f ροκύτει αό την μετατόιση της για κάθε x. C g στον άξονα; yy κατά 5 μονάδες. 36
GI_V_ALG 038 λx+ y= Δίνεται το σύστημα:, με αράμετρο λ. λx + λy = λ + 1 α) Να αοδείξετε ότι για τις ορίζουσες D,D x,d y του συστήματος ισχύουν: D = λ( λ 1), Dx = λ 1, Dy = λ( λ 1) β) Αν είναι λ 0 και λ 1, τότε να λύσετε το σύστημα. (Μονάδες 15) (Μονάδες 10) α) Οι ορίζουσες είναι: λ 1 ( ) D = = λ λ= λ λ 1 λ λ 1 Dx = = λ ( λ+ 1) = λ λ 1 = λ 1 λ + 1 λ λ Dy = = λ λ+ 1 λ= λ + λ λ= λ λ= λ λ 1 λ λ+ 1 ( ) ( ) β) Για λ 0 και λ 1 έχουμε ότι D 0, οότε το σύστημά μας θα έχει μοναδική λύση ( x,y ), με x Άρα ( ) D λ 1 1 D λ λ 1 λ x = = = ( ) 1 x,y =,1 λ, λ { 0,1}. ( ) ( ) D λ λ 1 y y= = = 1 D λ λ 1 37
GI_V_ALG 039 Στο αρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και g, ου ορίζονται στους ραγματικούς αριθμούς. Η γραφική αράσταση της g ροκύτει αό τη γραφική αράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόιση. Αό τις γραφικές αραστάσεις να βρείτε: α) Τα διαστήματα μονοτονίας της f, το είδος του ακρότατου της f, τη θέση και την τιμή του. (Μονάδες 1) β) Ποιες μετατοίσεις της f δίνουν τη g. Να ροσδιορίσετε στη συνέχεια τον τύο της συνάρτησης g, αν f( x) = x+. (Μονάδες 13) α) Παρατηρώντας τη γραφική αράσταση, συμεραίνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ], γνησίως αύξουσα στο [, + ). Παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 = με τιμή f( ) = 0. β) Η γραφική αράσταση της g ροκύτει με κατακόρυφη μετατόιση της γραφικής αράστασης της f κατά και οριζόντια κατά +5 μονάδες. f x x gx= fx 5 = x+ 5 = x 3. Είναι ( ) = +, οότε ( ) ( ) 38