Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα, (συνέχεια)

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα, (συνέχεια) Χαράλαμπος Μαγιάτης Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 1 / 13

Υπάρχει ισομετρικός ισομορφισμός ώστε: K(H A ) K A, όπου K η C -άλγεβρα των συμπαγών τελεστών σε διαχωρίσιμο χώρο Hilbert Εάν η C -άλγεβρα A είναι διαχωρίσιμη, και η C -άλγεβρα K(H A ) είναι διαχωρίσιμη Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 2 / 13

Έστω [] : B(X ) B(X )/K(X ) η απεικόνιση πηλίκο T [T ] Εάν Φ EL(B(X )), η απεικόνιση [T ] [Φ(T )] ορίζει στοιχειώδη τελεστή στην C -άλγεβρα B(X )/K(X ) Τον συμβολίζουμε [Φ] Εάν Φ EL(B(X )) με Φ = k i=1 M A i,b i όπου A i, B i B(X ), έχουμε ότι [Φ] = k i=1 M [A i ][B i ] Προκύπτει ότι l([φ]) l(φ), όπου l( ) το μήκος του Φ Συμβολίζουμε [Φ] Q την νόρμα του [Φ] Έχουμε [Φ] Q Φ Έστω Φ EL(B(X )) και {Q n } n=1 μία αριθμήσιμη προσεγγιστική μονάδα του K(X ) Από την ισότητα Φ = M Q n,q n Φ + L Q n Φ + R Qn Φ M Qn,Q n Φ [Φ] = [M Q n,q n Φ] και άρα [Φ] Q = [M Q n,q n Φ] Q M Q n,q n Φ Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 3 / 13

Θεώρημα Έστω A μία διαχωρίσιμη C -άλγεβρα με μονάδα, X ένα αριθμήσιμα παραγόμενο Hilbert A-πρότυπο και Φ EL(B(X )) 1 Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1 Το σύνολο Φ(B(X ) 1 ) είναι διαχωρίσιμο 2 Φ(B(X )) K(X ) Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 4 / 13

Αρχικά θα θεωρήσουμε X = H A Θα χρειαστούμε το ακόλουθο Λήμμα Λήμμα Θεωρούμε Φ EL(B(H A )) 1 με [Φ] Q = r 0 Έστω ε > 0 Τότε για κάθε n N υπάρχει m > n, στοιχείο T P (n,m) B(H A ) 1 P (n,m) και x (H A ) 1, ώστε Φ(T )x r ε Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 5 / 13

Απόδειξη [Λήμμα] Έχουμε r = [Φ] Q ΦM P n,p n Επομένως, υπάρχει S B(H A ) 1 ώστε ΦM P n,p n (S) = Φ(P n SP n ) r ε/4 Άρα, υπάρχει x (H A ) 1 ώστε Ισχύει ότι, Φ(P n SP n )x r ε/2 lim Φ(P m n P m SP m Pn )x = Φ(Pn SPn )x Άρα υπάρχει m > n ώστε Θέτουμε T = P (n,m) SP (n,m) Φ(P n P m SP m P n )x r ε Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 6 / 13

Δείχνουμε την συνεπαγωγή από το 1 στο 2 Υποθέτουμε ότι Φ(B(H A ) 1 ) K(H A ) 1 Τότε έχουμε [Φ] Q = r > 0 Έστω ε > 0 Χρησιμοποιώντας το Λήμμα, για κάθε k N μπορούμε να κατασκευάσουμε τέτοια ώστε: n k, m k N, Y k B(H A ) 1, x k (H A ) 1 1 n k < m k < n k+1 < m k+1 2 Y k = P (nk,m k )Y k P (nk,m k ) 3 x k 1, x k = P n k x k 4 Φ(Y k )x k r ε 5 Φ(Y l )x k ε/2 l+k για κάθε l < k Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 7 / 13

Για κάθε J N, ορίζουμε Y J = k J Y k Τότε Y J B(H A ) 1 για κάθε J N Για να ολοκληρώσουμε την απόδειξη αρκεί να δείξουμε ότι αν I N, J N, I J, τότε Φ(Y J ) Φ(Y I ) r/2 Έχουμε Y J Y I = b(k)y k, όπου k=1 1, k J I b(k) = 1, k I J 0, k / (J I) (I J) Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 8 / 13

Έστω l J I και ε = r/4 Έχουμε: Φ(Y J ) Φ(Y I ) = Φ( b(k)y k ) Φ( b(k)y k )x l k=1 k=1 l 1 Φ(Y l )x l b(k)φ (Y k ) x l k=l+1 k=1 b(k)φ(y k )x l l 1 ε r ε 2 l+k k=1 r ε ε r/2, k=l+1 ε 2 k+l και άρα το Φ(B(H A ) 1 ) δεν είναι διαχωρίσιμο Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 9 / 13

Θεωρούμε X, ένα αριθμήσιμα παραγόμενο Hilbert A-πρότυπο Έστω Φ = k i=1 M A i,b i όπου A i, B i B(X ) Θεωρούμε Ãi, B i B(X H A ): ( ) ( ) A 0 B 0 Ã i =, B = 0 0 0 0 Εάν Φ = k i=1 M Ã i, B i, τότε: Φ(B(X H A ) 1 ) = ( Φ(B(X )1 ) 0 0 0 Από Kasparov stabilization theorem και την περίπτωση του X = H A, έχουμε Φ(B(X H A ) 1 ) K(X H A ) 1 και άρα Φ(B(X ) 1 ) K(X ) 1 Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 10 / 13 )

Θεώρημα Έστω A B(X ) 1 Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1 A K(X ) 1 2 Το σύνολο M A,A (B(X ) 1 ) είναι ομοιόμορφα προσεγγίσιμο στην K(X ) 3 M A,A (B(X ) 1 ) K(X ) 4 Το σύνολο M A,A (B(X ) 1 ) είναι διαχωρίσιμο Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 11 / 13

1 2 Έστω {Q n } n=1 K(X ) αριθμήσιμη προσεγγιστική μονάδα της K(X ) Για κάθε X B(X ) 1, προκύπτει: Q n AXAQ n AXA = Q n AXAQ n AXAQ n + AXAQ n AXA Q n A A XAQ n + AX AQ n A Q n A A + AQ n A Άρα, το M A,A (B(X ) 1 ) είναι ομοιόμορφα προσεγγίσιμο στην K(X ) 2 3 4 είναι άμεσο 3 1 Έχουμε AA A K(X ), άρα AA AA K(X ) και A K(X ) Επομένως A K(X ) και άρα A K(X ) Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 12 / 13

Πόρισμα Έστω A διαχωρίσιμη prime μοναδιαία C -άλγεβρα, X αριθμήσιμα παραγόμενο Hilbert A-πρότυπο και A, B B(X ) Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1 A ή B K(X ) 2 Το σύνολο M A,B (B(X ) 1 ) είναι διαχωρίσιμο Πόρισμα Έστω A διαχωρίσιμη prime μοναδιαία C -άλγεβρα, X αριθμήσιμα παραγόμενο Hilbert A-πρότυπο και Φ EL(B(X )) 1 με l(φ) = k Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1 Το σύνολο Φ(B(X ) 1 ) είναι διαχωρίσιμο 2 Υπάρχουν {A i } k i=1, {B i} k i=1 B(X ) με τουλάχιστον ένα από τα A i,b i να ανήκουν στην K(X ) για i = 1,, k και Φ = i M A i,b i Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 24/05/2019 13 / 13