Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις
Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k = ds = d ( ) d r = ds ds r (2) Επιπρόσθετα από τους τύπους του Serret-Frenet ισχύει ότι: d t ds = k n και d n ds = τ b k t () όπου k η καμπυλότητα, n το διάνυσμα της πρώτης καθέτου της καμπύλης και τ η στρέψη της καμπύλης. Από τα παραπάνω έχουμε:... r = d k ds = d ( ) d t = d ds ds ds (k n) = k n + k d n ds = k n + k(τ b k t)... r = k 2 t + k n + τ k b (4) 1
Άσκηση 2 α) Η καμπύλη μπορεί εύκολα να παραμετροποιηθεί, διότι η μια από τις επιφάνειες η x 2 + (y 1) 2 = 1 παριστάνει κύκλο με κέντρο το (0, 1) και ακτίνα r = 1, στο επίπεδο xy. Οπότε οι παράμετροι είναι: x = h + r cos θ r=1 == h=0 x = cos θ (5) y = h + r sin θ r=1 == h=1 y = 1 + sin θ (6) και για το z έχουμε από την δεύτερη επιφάνεια: x 2 + y 2 + z 2 = 4 z 2 = 4 x 2 y 2 = 4 cos 2 θ (1 + sin θ) 2 z 2 = 4 cos 2 θ 1 2 sin θ sin 2 θ z = 2 1 sin θ (7) οπότε η παραμετροποίηση της καμπύλης θα είναι: και αν όπου θ = t: r(θ) = cos θ i + (1 + sin θ) j + 2 1 sin θ k (8) r(t) = cos t i + (1 + sin t) j + 2 1 sin t k (9) β) Η εξίσωση της εφαπτόμενης μιας καμπύλης σε ένα σημείο Ρ είναι: r tn = r P + λ t P (10) όπου λ μια παράμετρος και t P το εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο Ρ. Γενικότερα, το εφαπτόμενο διάνυσμα μιας καμπύλης δίνεται ως: t = r r (11) οπότε για r έχουμε: r(t) = sin t i + cos t j (1 sin t) cos t 2 1 sin t /2 k (12) και για r έχουμε: r(t) = 1 + (1 sin t)2 cos 2 t 2 1 sin t (1) 2
Τώρα πρέπει να βρεθεί η αντιστοιχία του σημείου P (1, 1, 2) στην παράμετρο t. Για να γίνει αυτό αρκεί να θέσουμε ίσο την συντεταγμένη του σημείου με την αντίστοιχη παραμετρική εξίσωση, οπότε: x = cos t cos t = 1 t = 0 (14) y = 1 + sin t sin t = 0 t = 0 ή t = π (15) z = 2 1 sin t 2 = 2 1 sin t 1 sin t = 1 sin t = 0 ή sin t = 2 (δεν γίνεται) (16) Η μόνη τιμή που ικανοποιούνται και οι τρεις παραμετρικές εξισώσεις είναι για t = 0, οπότε αυτή είναι και η τιμή της παραμέτρου t που αντιστοιχεί το σημείο Ρ. Άρα έχουμε: r(0) = j + 2 2 k και r(0) = 6 2 (17) οπότε για t P ισχύει: t P = r(0) r(0) t P = 6 j + k (18) και για r P έχουμε: r P = r(0) = i + j + 2 k r P = i + j + 2 k (19) Οπότε σύμφωνα με τα παραπάνω η εξίσωση της εφαπτόμενης της καμπύλης στο σημείο P (1, 1, 2) είναι: (10) r tn = i + ( 1 + λ ) 6 j + ( 2 + λ ) k (20)
γ) Για τον υπολογισμό της καμπυλότητας μπορεί να χρησιμοποιηθεί η παρακάτω σχέση: k P = r(0) r(0) r(0) (21) Ο υπολογισμός του r(0) έγινε με την χρήση του λογισμικού Mthemtic, καθώς οι πράξεις ήταν αρκετά πολύπλοκες. Προέκυψε ότι: r(0) = i 2 4 k (22) Με βάση τις σχέσεις (17) και (22) έχουμε: i j k r(0) r(0) 2 = 0 1 2 2 r(0) r(0) 1 = 8 1 0 4 (2) Τέλος με βάση τις σχέσεις 17 και 2 βρίσκουμε την καμπυλότητα στο σημείο Ρ, ως εξής: k P = r(0) r(0) r(0) k P = 0.6989 (24) 4
Άσκηση Αρχικά ελέγχουμε αν οι καμπύλες ικανοποιούνται από το σημείο Α, οπότε έχουμε: y 1 = sin x === x=π/2 1 = 1 (25) y=1 y 2 = 1 2 x2 + π 2 x + ( 1 π2 8 ) x=π/2 === y=1 1 = 1 (26) οπότε και οι δύο καμπύλες διέρχονται από το σημείο Α. Στην συνέχεια ελέγχουμε αν οι παράγωγοί των καμπυλών στο σημείο Α έχουν την ίδια τιμή. Αν ισχύει αυτό σημαίνει ότι η εφαπτόμενη τους στο σημείο Α έχει την ίδια κλίση και επειδή ήδη αποδείξαμε ότι οι καμπύλες διέρχονται από το Α, αυτό αυτόματα σημαίνει ότι θα εφάπτονται στο Α. Άρα με βάση τα παραπάνω έχουμε: dy 1 dx = cos x x=π/2 === dy 1 dx = 0 (27) dy 2 dx = x + π 2 x=π/2 === dy 2 dx = 0 (28) οπότε από τον παραπάνω συλλογισμό συμπεραίνουμε ότι οι καμπύλες y 1 κια y 2 εφάπτονται στο σημείο A( π 2, 1). Για να ελεγχθεί αν η καμπυλότητα είναι ίδια και για τις δύο καμπύλες στο σημείο Α, αρκεί οι δεύτερη παράγωγος της μίας καμπύλης στο σημείο Α, να ισούται με την δεύτερη παράγωγο της άλλης καμπύλης στο ίδιο σημείο. Άρα έχουμε: d 2 y 2 dx 2 x=π/2 = sin x === d2 y 1 = 1 (29) dx2 d 2 y 2 = 1 (0) dx2 οπότε όπως προκύπτει οι δύο καμπύλες έχουν την ίδια τιμή δεύτερης παραγώγου στο σημείο Α, το οποίο συνεπάγεται ότι έχουν και την ίδια καμπυλότητα στο σημείο αυτό. 5
Άσκηση 4 Γνωρίζουμε ότι η καμπυλότητα δίνεται από την σχέση: και ότι η στρέψη δίνεται από την σχέση: Για την καμπύλη της άσκησης έχουμε: k = r r r (1) τ = r [ r... r ] r r 2 (2) r = ( t 2 ) i + 6t j + ( + t 2 ) k () r = 6t i + 6 j + 6t k (4)... r = 6 i + 6 k (5) οπότε θα είναι: i j k r r = t 2 6t + t 2 r r = 18 2(1 + t 2 ) (6) 6t 6 6t r... i j k r = 6t 6 6t r... r = 6 i + 6 k (7) 6 0 6 r [ r... r ] = 6( t 2 ) + 6( + t 2 ) r [ r... r ] = 216 (8) r = ( t 2 ) 2 + 6t 2 + ( + t 2 ) 2 r = 2(1 + t 2 ) (9) Τελικά με την χρήση των σχέσεων (1), (2), (6), (8), (9), αποδεικνύεται ταυτοτικά το ζητούμενο της άσκησης: k = τ r r r = r... [ r r ] r r r r = r ( r [ r... r ]) 2 582 8(1 + t 2 ) = 582 8(1 + t 2 ) 1 = 1 άρα k = τ (40) 6
Άσκηση 5 Η εξίσωση που δίνει το διάνυσμα R c του κέντρου καμπυλότητας μιας καμπύλης είναι: R c = r P + ρ n (41) με r P το διάνυσμα θέσης στο σημείο Ρ, ρ την ακτίνα καμπυλότητας και n το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα. Παραγωγίζοντας τώρα την παραπάνω σχέση ως προς το φυσικό μήκος s, έχουμε: dr c ds = d r P () = ds + d ds (ρ n) = t P + dρ ds dr c ds n + ρd n ds () = = t P + dρ ds n + ρ(τ b k t P ) (42) Επειδή δίνεται από την άσκηση ότι η καμπύλη είναι επίπεδη, αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα b είναι σταθερό, καθώς είναι κάθετο στο εφαπτόμενο διάνυσμα t και το μοναδιαίο διάνυσμα της πρώτης καθέτου n. Λόγω της σταθερότητας του b θα ισχύει ότι b = 0, οπότε για την επίπεδη καμπύλη ισχύει: τ = b n τ = 0 (4) Επίσης είναι γνωστό ότι η ακτίνα καμπυλότητας είναι ίση με το αντίστροφο της καμπυλότητας, δηλαδή ρ = 1/k, οπότε σύμφωνα με τα παραπάνω και την σχέση (4), έχουμε: dr c ds = dρ ds n + t P + ρτ b ρk t P dr c ds = dρ n (44) ds Το μήκος τόξου που διαγράφει το κέντρο καμπυλότητας της εξελιγμένης καμπύλης δίνεται ως: b s = l = d R c b ds ds = dρ ds n b ds = dρ = ρ b ρ l = ρ (45) οπότε παραπάνω αποδείχθηκε και το δεύτερο ζητούμενο της άσκησης. 7
Άσκηση 6 Για να αποδείξουμε ότι το ελλειψοειδές της άσκησης τέμνεται κάθετα με την καμπύλη στο σημείο Ρ, μπορούμε να υπολογίσουμε το εφαπτόμενο μοναδιαίο διάνυσμα t της καμπύλης στο σημείο Ρ και το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα η της επιφάνειας. Αν η επιφάνεια τέμνεται με την καμπύλη κάθετα στο σημείο Ρ, τότε επειδή το κάθετο διάνυσμα θα είναι παράλληλο με το εφαπτόμενο διάνυσμα, θα πρέπει να ισχύει t n = n 2. Επιπλέον προϋπόθεσή είναι το σημείο Ρ να ικανοποιεί και την επιφάνεια και την καμπύλη, πράγμα το οποίο αληθεύει. Το σημείο Ρ αντιστοιχεί στην τιμή της παραμέτρου t = 1, καθώς από τις συνιστώσες του σημείου αυτού ισχύει t = z = 1, όπου μετά δοκιμάζοντας και στις άλλες συνιστώσες, επαληθεύεται το σημείο Ρ. Από την σχέση (11) που δίνει το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα και από: r = t i + 4t j + t 2 k t=1 = r P = i + 4 j + k (46) r = 9t 2 + 16t 6 + 9t 4 t=1 = r P = 4 (47) έχουμε ότι: t P = 4 i + 4 4 j + 4 k (48) Το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα μιας επιφάνειας Φ(x, y, z), δίνεται ως: η = Φ Φ (49) Η επιφάνεια της άσκησης είναι Φ = x 2 + 2y 2 + z 2 20, οπότε το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα σε αυτήν στο σημείο Ρ θα είναι: Φ = 2x i + 4y j + 6z k P (,2,1) ==== Φ P = 6 i + 8 j + 6 k (50) Φ = 4x 2 + 16y 2 + 6z 2 P (,2,1) ==== Φ P = 2 4 (51) (49) η P = 4 i + 4 4 j + 4 k (52) Οπως προέκυψε από τα παραπάνω ισχύει ότι t P = n P, οπότε σύμφωνα με την ανάλυση που έγινε προηγουμένως το ελλειψοειδές και η καμπύλη τέμνονται κάθετα στο σημείο P (, 2, 1). 8
Άσκηση 7 Το παραβολοειδές της άσκησης μπορεί να γραφεί και λίγο διαφορετικά ως: x 2 α 1 + y2 z = 0 (5) α 1 και συγκρίνοντας την παραπάνω εξίσωση με την γενική εξίσωση του ελλειπτικού παραβολοειδούς η οποία είναι: x 2 2 + y2 b 2 z = 0 (54) έχουμε ότι: 2 = b 2 = 1/α == 0 α = (55) α οπότε οι παράμετροι σε σφαιρικές συντεταγμένες θα είναι: x = cos φ sin θ (56) y = sin φ sin θ (57) z = (x 2 + y 2 ) z = sin 2 θ (58) και συνολικά με βάση τα προηγούμενα η παραμετροποίηση του ελλειπτικού παραβολοειδούς της άσκησης δίνεται παρακάτω ως: r(θ, φ) = cos φ sin θ i + sin φ sin θ j + sin 2 θ k (59) Ο υπολογισμός των στοιχείων του μετρικού τανυστή g ij της καμπύλης γίνεται με τον υπολογισμό των δυο παραγώγων, ως προς θ και φ, της παραμετρικής μορφής της καμπύλης και στην συνέχεια με τον υπολογισμό του εσωτερικού γινομένου των κατάλληλων συνιστωσών. Οπότε για τις παραγώγους έχουμε: ɛ 1 = r θ = cos φ cos θ i + ɛ 2 = r φ = sin φ cos θ j + 2 sin θ cos θ k (60) sin φ sin θ i + cos φ sin θ j (61) και με την χρήση των παραγώγων, παρακάτω υπολογίζουμε τις συνιστώσες του μετρικού τανυστή για την επιφάνεια της άσκησης. 9
Ο μετρικός τανυστής g είναι ένας πίνακας με στοιχεία τα οποία φαίνονται παρακάτω και ισχύει όπου g ij = ɛ i ɛ j. [ ] g11 g g = 12 (62) g 21 g 22 Από τα προηγούμενα έχουμε για τις συνιστώσες του μετρικού τανυστή: ( g 11 = ɛ 1 ɛ 1 g 11 = cos 2 θ 4 sin 2 θ + 1 ) (6) g 12 = g 21 = ɛ 1 ɛ 2 g 12 = g 21 = 0 (64) g 22 = ɛ 2 ɛ 2 g 22 = 1 sin2 θ (65) οπότε ο μετρικός τανυστής της καμπύλης είναι: ( cos 2 θ 4 sin 2 θ + 1 ) g = 0 0 (66) 1 sin2 θ Γνωρίζουμε από την θεωρία ότι η πρώτη τετραγωνική μορφή για μια παραμετρική επιφάνεια, με παραμέτρους u, v, δίνεται από την σχέση: και αν θέσουμε u = θ και v = φ, έχουμε: ds 2 = g 11 du 2 + 2g 12 dudv + g 22 dv 2 (67) ds 2 = g 11 dθ 2 + 2g 12 dθdφ + g 22 dφ 2 (68) Οπότε σύμφωνα με τα προηγούμενα, η πρώτη τετραγωνική μορφή για την καμπύλη της άσκησης θα είναι: ( ds 2 = cos 2 θ 4 sin 2 θ + 1 ) dθ 2 + 1 sin2 θdφ 2 (69) Το στοιχειώδες εμβαδό γενικά για μια παραμετρική καμπύλη, γνωρίζουμε από την θεωρία ότι δίνεται ως: και αν θέσουμε u = θ και v = φ έχουμε: dσ = g 11 g 22 dudv (70) dσ = g 11 g 22 dθdφ (71) οπότε το στοιχειώδες εμβαδό της καμπύλης της άσκησης είναι: ( 1 dσ = 4 sin2 (2θ) 4 sin 2 θ + 1 ) dθdφ (72) 10
Άσκηση 8 Γενικότερα για την απόδειξη ότι δύο επιφάνειες είναι ορθογώνιες, αρκεί να δείξουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο των κάθετων μοναδιαίων διανυσμάτων τους είναι μηδέν, δηλαδή η 1 η 2 = 0. Επίσης το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα για μια επιφάνεια στην μορφή Φ(x, y, z) = 0, δίνεται από την σχέση (49). Αν τα διανύσματα στο εσωτερικό γινόμενο είναι κάθετα, τότε το δεν έχει σημασία αν το διάνυσμα είναι μοναδιαίο ή όχι, καθώς το εσωτερικό γινόμενο θα είναι πάντα μηδέν, οπότε δεν είναι απαραίτητος ο υπολογισμός του μέτρου Φ στο διάνυσμα η και έτσι αποφεύγονται αρκετές πράξεις. Για το πρώτο ζεύγος των επιφανειών έχουμε ότι Φ 1 = xy αz 2 και Φ 2 = x 2 + y 2 + z 2 b. Υπολογίζοντας τώρα το Φ για την κάθε επιφάνεια της πρώτης περίπτωσης έχουμε: και τελικά προκύπτει ότι: η 1 = Φ 1 = y i + x j 2αz k (7) η 2 = Φ 2 = 2x i + 2y j + 2z k (74) η 1 η 2 = 4(xy αz 2 ) Φ 1=xy αz 2 =0 ======== η 1 η 2 = 0 (75) Για το δεύτερο ζεύγος επιφανειών ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με το πρώτο ζεύγος. Οι νέες συναρτήσεις των επιφανειών στην μορφή Φ(x, y, z) = 0 είναι Φ 1 = x 2 + y 2 + z 2 b και Φ 2 = z 2 + 2x 2 c(x 2 + 2y 2 ). Οπότε από τα παραπάνω έχουμε: και τελικά προκύπτει ότι: η 1 = Φ 1 = 2x i + 2y j + 2z k (76) η 2 = Φ 2 = (4x 2xc) i 4yc j + 2z k (77) η 1 η 2 = 4(z 2 + 2x 2 c(x 2 + 2y 2 )) Φ 2=z 2 +2x 2 c(x 2 +2y 2 )=0 =============== η 1 η 2 = 0 (78) Από τα παραπάνω αποδείξαμε ότι για τα ζεύγη των επιφανειών της άσκησης, τα οποία είναι: Το πρώτο ζεύγος: xy = z 2, x 2 + y 2 + z 2 = b και Το δεύτερο ζεύγος: x 2 + y 2 + z 2 = b, 2 + 2x 2 = c(x 2 + 2y 2 ) ισχύει πως οι επιφάνειες των ζευγών είναι μεταξύ τους ορθογώνιες. 11
Άσκηση 9 Η επιφάνεια της άσκησης ορίζει μια σφαίρα της οποίας η παραμετροποιημένη μορφή είναι γνωστή και δίνεται παρακάτω: r(θ, φ) = cos φ sin θ i + sin φ sin θ j + cos θ k (79) μορφή που προκύπτει από τις σφαιρικές συντεταγμένες. Το σφαιρικό τρίγωνο που σχηματίζεται, πάνω στην σφαιρική επιφάνεια, από τα σημεία A(, 0, 0), B(0,, 0) και C(0, 0, ) είναι στην ουσία το πρώτο ογδοημόριο της τρισδιάστατης σφαιρικής επιφάνειας, καθώς το σημείο Α είναι πάνω στον άξονα x, το σημείο Β πάνω στον άξονα y και το σημείο C πάνω στο άξονα z. Για να δείξουμε ότι το άθροισμα των γωνιών του σφαιρικού τριγώνου ABC είναι ίσο με π/2, αρκεί να δείξουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα κατά την διεύθυνση του θ είναι κάθετο στο εφαπτόμενο διάνυσμα κατά την διεύθυνση του φ. Αν ισχύει αυτό τότε η γωνία που σχηματίζεται κάθε ένα από τα τρία σημεία του τριγώνου, στις δύο διευθύνσεις, θα είναι ίση με π/2, άρα το άθροισμα των τριών γωνιών θα είναι π/2. Οπότε από τα παραπάνω έχουμε: r θ = r θ = cos φ cos θ i + sin φ cos θ j sin θ k (80) r φ = r φ = sin φ sin θ i + cos φ sin θ j (81) r φ r θ = 0 (82) άρα τα εφαπτόμενα διανύσματα κατά την διεύθυνση θ και φ, είναι κάθετα μεταξύ τους σε κάθε σημείο της σφαιρικής επιφάνειας και έτσι όπως εξηγήθηκε και προηγουμένως, αποδείχθηκε το ζητούμενο ότι το άθροισμα των γωνιών του σφαιρικού τριγώνου ABC είναι ίσο με π/2. Για το δεύτερο σκέλος της άσκησης, αν χρησιμοποιήσουμε τα σημεία A, B, C, μπορούμε να ορίσουμε τρία διανύσματα και είναι ως εξής: r xy = AB = A B r xy = i j (8) r xz = AC = A C r xz = i k (84) r yz = BC = B C r yz = j k (85) Επιπλέον είναι γνωστό ότι η γωνία, k, δύο διανυσμάτων, u και v, από το εσωτερικό γινόμενό τους, δίνεται ως: [ ] u v u v = u v cos k k = rccos (86) u v 12
οπότε για τα τρία παραπάνω διανύσματα έχουμε: [ ] r xy r xz k 1 = rccos k 1 = π r xy r xz [ ] r xy r yz k 2 = rccos k 2 = π r xy r yz [ ] r xz r yz k = rccos k = π r xz r yz (87) (88) (89) άρα και τελικά για το τρίγωνο στο επίπεδο των σημείων ABC, ισχύει ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι ίσο με π. Το αποτέλεσμα που προέκυψε για το επίπεδο τρίγωνο ήταν αναμενόμενο καθώς είναι γνωστό πως το άθροισμα των τριών γωνιών του τριγώνου στο επίπεδο είναι πάντα ίσο με π rd ή 180 o. 1