Λύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου.. Βρείτε τον μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης x, αν x xχ [,] (x) =, αν x < ή < x Λύση. Εειδή η συνάρτηση είναι τμηματικά συνεχής και μηδενίζεται έξω αό ένα φραγμένο διάστημα, είναι ολοκληρώσιμη και έχουμε xχ i ξ cos(ξ) sin(ξ) [,] (x)(ξ) = xχ [,] (x)e iξx dx = xe iξx, αν ξ dx = ξ, αν ξ =. Έστω f L () ώστε f(ξ) = e ξ4 για κάθε ξ. Χωρίς να βρείτε την f, βρείτε τους μετασχηματισμούς Fourier των συναρτήσεων f(x), f(x ), f(x )e ix. Λύση. Το ρόβλημα λύνεται με εφαρμογή έτοιμων τύων. Πάντως, μορούμε να το λύσουμε κατ ευθείαν με αλλαγές μεταβλητής ως εξής (αοδεικνύοντας, ουσιαστικά, τους γενικούς τύους). Θεωρούμε γενική ολοκληρώσιμη συνάρτηση f(x) και την με a. g(x) = f(ax + b)e icx Τότε, με αλλαγή μεταβλητής t = ax + b, ĝ(ξ) = f(ax + b)e icx e iξx dx = = a f(t)e i(ξ c ) t b a dt = = a ei b a (ξ c ) f ( ξ a( c )). f(ax + b)e i(ξ c )x dx a ei b a (ξ c ) f(t)e i a (ξ c )t dt 3. Βρείτε τους μετασχηματισμούς Fourier των συναρτήσεων xe x, e x +x. Λύση. Η συνάρτηση xe x γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει. Έχουμε είναι ολοκληρώσιμη. Εειδή είναι συνεχής. αρκεί να αοδείξουμε ότι το x e x dx x e x dx = de x xe x dx = dx = lim dx x e x =.
Όως στην ροηγούμενη άσκηση, μορούμε να χρησιμοοιήσουμε έτοιμο τύο, διότι η xe x είναι η αράγωγος της e x, η οοία είναι, ουσιαστικά, η e x, της οοίας γνωρίζουμε τον μετασχηματισμό Fourier. Θα ροχωρήσουμε, όμως, σαν να μην γνωρίζουμε τύους. xe x (ξ) = xe x e iξx dx = = lim x e x e iξx + = iξ e x e iξx dx. de x dx e iξx dx lim x e x e iξx iξ e x e iξx dx Τώρα θα εμφανίσουμε την συνάρτηση e x, οότε κάνουμε αλλαγή μεταβλητής x = t και έχουμε iξ e x e iξx dx = iξ διότι ο μετασχηματισμός Fourier της e t είναι η e ξ. e t e i ξt dt = iξe ( ξ) = ie ξ, Ασχοληθείτε εσείς με τον μετασχηματισμό Fourier της δεύτερης συνάρτησης. 4. Βρείτε f L () ώστε f(ξ) = (ξ +) για κάθε ξ. Λύση. Η συνάρτηση f ου μας δίνουν είναι ολοκληρώσιμη. Εειδή είναι συνεχής, αρκεί να ελέγξουμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα (ξ + ) dξ συγκλίνει. Πράγματι, (ξ + ) dξ = (ξ + ) dξ (ξ + ) dξ + dξ <. ξ4 Εομένως, αν υάρχει τέτοια f, θα ροκύτει αό τον γενικό τύο ανακατασκευής της f αό την f όταν και οι δύο συναρτήσεις είναι ολοκληρώσιμες: f(x) = f(ξ)e iξx dξ = (ξ + ) eiξx dξ για σ.κ. x. Όμως, εειδή δεν υολογίζεται άμεσα το τελευταίο ολοκλήρωμα, βρίσκουμε έναν άλλο τρόο να υολογίσουμε την f. Παρατηρούμε ότι f(ξ) = ξ + ξ + = P (ξ)p (ξ) = e x (ξ) e x (ξ) για κάθε ξ. Δηλαδή, και, εομένως, f(ξ) = e x e x (ξ) για κάθε ξ f(x) = (e x e x )(x) = e x y e y dy = (x + )e x για σ.κ. x.
5. Αοδείξτε τις ισότητες στις ασκήσεις 8[γ] και 9[γ] του δεύτερου φυλλαδίου αίρνοντας τον μετασχηματισμό Fourier των δυο λευρών τους. Λύση. Έχουμε P t P s (ξ) = P t (ξ) P s (ξ) = e t ξ e s ξ = e (t+s) ξ = P t+s (ξ) για κάθε ξ. Άρα (P t P s )(x) = P t+s (x) για σ.κ. x. Εειδή οι συναρτήσεις P t P s και P t+s είναι συνεχείς, η ισότητα ισχύει ταυτοτικά. Η δεύτερη ισότητα αοδεικνύεται με τον ίδιο τρόο. 6. Έστω f L (), αριθμός a και η συνάρτηση g(x) = f(x + a) f(x). Αοδείξτε ότι ο ĝ έχει άειρες ρίζες. Λύση. Έχουμε ĝ(x)(ξ) = f(x + a)(ξ) f(x)(ξ) = e iξa f(x)(ξ) f(x)(ξ) = (e iξa ) f(x)(ξ). Άρα έχουμε ως ρίζες όλους τους ξ ου μηδενίζουν την e iξa, δηλαδή τους ξ = k a για κάθε k Z. 7. Θεωρήστε, για t >, την συνάρτηση f(x) = e x, αν x >, αν x < [α] Δείτε ότι f L (), υολογίστε την f και αοδείξτε ότι f / L (). [β] Χρησιμοοιώντας την Πρόταση 3.5, υολογίστε, για κάθε n N, τον μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης x n f(x). [γ] Δείτε ότι f e x, αν x > (x) =, αν x < και υολογίστε τον μετασχηματισμό Fourier της f. Συμφωνεί αυτό ου βρήκατε με το αοτέλεσμα iξ f(ξ) = f (ξ) ου ροβλέει η Πρόταση 3.; Γιατί; Λύση. Εειδή η f είναι τμηματικά συνεχής, για να αοδείξουμε ότι είναι ολοκληρώσιμη αρκεί να αοδείξουμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα f(x) dx = συγκλίνει. Αυτό, όμως, είναι γνωστό: e x dx =. Τώρα, f(ξ) = f(x)e iξx dx = e x dx e (+iξ)x dx = + iξ. 3
Η f(ξ) = +iξ ου βρήκαμε είναι συνεχής, οότε για να δούμε αν είναι ολοκληρώσιμη αρκεί να δούμε αν συγκλίνει το γενικευμένο ολοκλήρωμα + iξ dξ = + 4 ξ dξ. Όμως, για ξ έχουμε + 4 ξ ξ + 4 ξ = + 4 ξ, οότε + 4 ξ dξ + 4 ξ dξ dξ =. + 4 ξ Δεν θα ασχοληθούμε με το [β]. Για το [γ] αρατηρούμε ότι f = f, οότε Είσης, f (ξ) = f(ξ) = + iξ. iξ f(ξ) = iξ + iξ, οότε η ισότητα iξ f(ξ) = f (ξ) δεν ισχύει. Ο λόγος είναι ότι, για να ισχύει, η Πρόταση 3. ααιτεί να είναι η f συνεχής στο. 8. Αό την συνάρτηση με τύο ξ, αν ξ υολογίστε το, αν ξ ( sin x ) 4 dx. x Λύση. Ένα αό τα βασικά αραδείγματα είναι το ξ, αν ξ K (ξ) =, αν ξ όου K (x) = sin (x) x για κάθε x. Τώρα, αό την ταυτότητα του Plancherel έχουμε K (x) dx = δηλαδή K (ξ) dξ, ( sin(x) ) 4 dx = ( ξ ) dξ = x 3, οότε ( sin(x) ) 4 dx = x 3 και, με αλλαγή μεταβλητής t = x, ( sin t 4 t ) 4 dx = 3.
Αν δεν βρίσκουμε το συγκεκριμένο αράδειγμα, μορούμε να θεωρήσουμε κατ ευθείαν τη συνάρτηση ξ, αν ξ f(ξ) =, αν ξ η οοία είναι συνεχής και μηδενίζεται έξω αό το διάστημα [, ] και να υολογίσουμε τον μετασχηματισμό Fourier f(x) = ( ξ )e iξx dξ = Κατόιν, χρησιμοοιούμε την ταυτότητα του Plancherel όως και ριν. 9. Υάρχει f L (), f ώστε f f = f; Λύση. Έστω ότι υάρχει τέτοια f. Τότε και, εομένως, f(ξ) f(ξ) = f(ξ) ( ξ) cos(ξx) dξ = sin (x) x για κάθε x. για κάθε ξ f(ξ) = ή f(ξ) = για κάθε ξ. Γνωρίζουμε ότι η f είναι συνεχής στο, οότε αν σε κάοιο σημείο η f έχει τιμή και σε κάοιο άλλο σημείο έχει τιμή, θα ρέει η f να έχει και όλες τις ενδιάμεσες τιμές. Άρα η f είναι είτε σταθερή στο είτε σταθερή στο. Η δεύτερη ερίτωση αοκλείεται, διότι f(ξ) όταν ξ ±. Άρα ρέει η f να είναι σταθερή στο και, εομένως, η f ρέει να είναι η μηδενική συνάρτηση. Αυτή είναι η μοναδική λύση της f f = f στον f L (). Άρα η αάντηση στο ερώτημα του ροβλήματος είναι : όχι.. Βρείτε λύσεις f L () των αρακάτω ολοκληρωτικών εξισώσεων, αίρνοντας μετασχηματισμούς Fourier των δυο λευρών κάθε εξίσωσης. f(x y)e y dy = 4 3 e x 3 e x, f(x y) dy = e x e x+, f(x y)e y dy = e x, f(x y)e ay dy = e bx, [,] Λύση. Θα λύσουμε μόνο την ρώτη ολοκληρωτική εξίσωση. f(x y)e y dy = ( + x )e x, f(x) = e x + ex e y f(y) dy. [x,) Παρατηρούμε ότι η αριστερή λευρά της εξίσωσης είναι η συνέλιξη της f με τη συνάρτηση e x της οοίας ο μετασχηματισμός Fourier είναι η συνάρτηση P (ξ) =. Στην δεξιά λευρά εμφανίζεται ξ + και η συνάρτηση e x = e x της οοίας ο μετασχηματισμός Fourier είναι η συνάρτηση P (ξ) = P ( ξ ) = ξ +4. Παίρνοντας μετασχηματισμό Fourier των δυο λευρών της εξίσωσης, βρίσκουμε Λύνουμε: Άρα f(ξ) ξ + = 4 3 f(ξ) = 4 ξ + 4 = ξ + 3 ξ + 4 για κάθε ξ. ξ + 4 = ê x (ξ) για κάθε ξ. f(x) = e x για σ.κ. x. 5