ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II Πεδία Σημειακών Φορτίων Διδάσκων : Καθ. Κ. Ταμβάκης
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
KLASIKH HLEKTODUNAMIKH II FULLADIO SHMEIWSEWN 3 1
TA PEDIA SHMEIAKWN FOTIWN 1. Dunamikˆ Shmeiak n FortÐwn. JewreÐste èna swmatðdio hlektrikoô fortðou q, to opoðo akoloujeð mia troqiˆ r 0 (t. H puknìthta hlektrikoô fortðou eðnai ρ( r, t = Q δ( r r 0 (t. (1 To bajmwtì dunamikì, to opoðo ofeðletai sto kinoômeno fortðo eðnai φ( r, t = 1 4πɛ 0 d 3 r ρ( r, t K r r ìpou t K eðnai o kajusterhmèno qrìno = Q 4πɛ 0 t K = t r r d 3 r δ( r r 0 (t K r r, (2. (3 Sthn èkfrash (2 tou dunamikoô to ìrisma th sunˆrthsh dèlta eðnai mia peplegmènh sunˆrthsh tou r, mia kai h troqiˆ r 0 (t K exartˆtai apì to r mèsw tou qrìnou t K. Gia na anairèsoume thn olokl rwsh me thn bo jeia th sunˆrthsh dèlta ja prèpei na qrhsimopoi soume ton tôpo 1 δ(f(x = δ(x x 0 f (x 0, (4 ìpou x 0 eðnai h lôsh th f(x 0 = 0. Sthn perðptwsh mia dianusmatik sunˆrthsh f( r o anwtèrw tôpo gðnetai 1 H apìdeixh b asðzetai ston oikeðo tôpo δ(α x = δ(x α (x i eðnai oi rðze th exðswsh f(x i = 0 + dx δ(f(x = i = xi +ɛ i x i ɛ xi +ɛ x i ɛ δ( f( r = δ( r r 0 f i( r 0. (5 x j dx δ(f(x = dx i xi +ɛ x i ɛ 1 f (x δ(x xi = 1 i f (x. i kai eðnai qondrikˆ h akìloujh dx δ( f(x i + (x x if (x i +... i 2
O paronomast erðnai aplˆ h Jaobian tou metasqhmatismoô r f. Efarmìzonta ta anwtèrw gia to dunamikì tou shmeiakoô fortðou, paðrnoume φ( r, t = Q 4πɛ 0 d 3 r δ( r r 0 (t K r r Gia na proqwr soume upologðzoume thn orðzousa (x i x 0i(t K x = δ t K ij ẋ 0i j x = j = δ ij v i (x j x j r r = r = r 0 ( (x i x 0i(t K x j δ ij + v i(t K δ ij v i j x j, 1. r r ìpou r r 0. SuneqÐzonta, èqoume 1 vx vy vz x x x Epistrèfonta, paðrnoume vx 1 vy vz y y y vx vy 1 vz z y z =... = 1 v. φ( r, t = Q 1 1 4πɛ 0 r r 0 (t K 1 v(t K ( r r 0(t K ] r r 0 (t K φ( r, t = Q 1 ] 4πɛ 0 r r 0 v ( r r, (6 0 t=t K ìpou t K = t r r 0(t K /. To antðstoiqo dianusmatikì dunamikì eðnai A( r, t = µ 0 4π J( r d 3 r, t K r r, (7 ìpou h puknìthta reômato tou kinoumènou swmatidðou eðnai J( r, t = v(t ρ( r, t = Q v(t δ( r r 0 (t. (8 3
Akolouj nta ta Ðdia b mata ìpw kai sthn perðptwsh tou bajmwtoô dunamikoô, katal goume ston tôpo A( r, t = µ 0Q 4π v r r 0 v ( r r 0 ]. (9 t=t K SunoyÐzonta èqoume ìti ta dunamikˆ enì kinoumènou shmeiakoô fortðou dðnontai apì ti ekfrˆsei (Dunamikˆ Lienard-Wiehert Dunamikˆ Lienard-Wiehert φ( r, t = Q 1 4πɛ 0 v ] A( r, t = µ 0 4π Q v ] v = r r 0, = r r 0 Oi anwtèrw ekfrˆsei upologðzontai se qrìno t K = t r r 0(t K Oi anwtèrw ekfrˆsei, parˆ thn aplìthtˆ tou, eðnai peplegmène ekfrˆsei, mia kai o kajusterhmèno qrìno orðzetai apì mia exðswsh th opoða h e- pðlush proüpojètei thn pl rh gn sh th troqiˆ. Upˆrqoun bèbaia eidikè peript sei sti opoðe h epðlush th exðswsh aut aplousteôetai. 2. Ta PedÐa Kinoumènwn Shmeiak n FortÐwn. Gia na broôme ti ekfrˆsei twn pedðwn apì ti antðstoiqe twn dunamik n ja ma qreiasjeð h parˆgwgo t K t = 1 1 (t K t ( = 1 1 t ˆ(t tk v(tk K = 1 + ˆ(t K t t K t = 1 v(t K ˆ(t K ] 1. 4
EpÐsh, èqoume j t K = 1 j (t K = 1 = 1 k (t K (t K ˆ(t K t K = k (t K (t K ( δ kj v k (t K j t K 1 v(t K ( δ kj j x 0 k (t K ˆ(t K ] 1. MporoÔme na grˆyoume ìti t = 1 1 v(t K ] ˆ(t K EÐnai qr simo na orðsoume thn egkarsia apìstash t K, = t K ˆ(t K 1 v(t K ˆ(t K ] t K. r v. Metˆ apì kˆmpose prˆxei, katal goume sti genikè ekfrˆsei Hlektrikì PedÐo Kinoumènou FortÐou E( r, t = Q (1 β 2 r + 1 ] 2 ( r α 4πɛ 0 β ] 3 B = ˆ E β v, = r r0 r β ìpou α v eðnai h epitˆqunsh. Shmei ste ìti ìle oi posìthte eðnai sunart sei tou kajusterhmènou qrìnou t K. Ta anwtèrw pedða gia megˆle timè tou sumperifèrontai w ta pedða aktinobolða enì talantoumènou dipìlou, ìnta anˆloga tou 1. Sthn asumptwtik perioq mporoôme na grˆyoume E( r, t Q ( r α 4πɛ 0 2 v ] 3, B( r, µ 0 Q t 4π ( ˆ ( r α v ] 3. (10 5
Shmei ste ìti gia ta mètra twn pedðwn aktinobolða isqôei E = B. Eˆn h taqôthta tou fortismènou swmatidðou eðnai arketˆ mikrìterh apì thn taqôthta tou fwto (v <<, tìte v kai r kai ta pedða aktinobolða eðnai E ( Q ˆ ˆ α 4πɛ 0 2, B( r, µ 0 Q α ˆ t 4π. To antðstoiqo diˆnusma Poynting sthn perðptwsh enì mh-sqetikistikoô swmatidðou (v <<, eðnai S = Q 2 ( α ˆ 2 ˆ. (11 16π 2 ɛ 0 3 2 H olik ekpempìmenh isqô pou aporrèei apì ton anwtèrw mh sqetikistikì tôpo eðnai P = da S Q 2 ( = 16π 2 ɛ 0 3 dω α ˆ 2 Q 2 = 16π 2 ɛ 0 3 dω ( α 2 sin 2 θ 2, ìpou θ eðnai h gwnða metaxô ˆ kai α, P = Q2 6πɛ 0 3 ( α2. (12 O tôpo autì eðnai gnwstì w tôpo tou Larmor. To diˆnusma Poynting sthn genik perðptwsh eðnai S = ( 2 Q 2 ( r α 16π 2 ɛ 0 3 v ] 6 ˆ. (13 H ekpempomènh stigmiaða isqô dia mèsou mia sfaðra aktðna me kèntro to epitaqunìmeno swmatðdio eðnai P dw dt = dw dt K dt K dt, ìpou kai dw dt K = Q 2 16π 2 ɛ 0 3 dw dt K = dω d a S { ( ˆ ˆ v 1 v ˆ ] } 2 α ] 6. 6
Dedomènou ìti dt K dt P = = (1 ˆ v 1, telikˆ ja èqoume Q 2 16π 2 ɛ 0 3 dω { ( ˆ ˆ v 1 v ˆ ] } 2 α ] 5. (14 O arijmht th oloklhrwtèa posìthta eðnai N = (β 2 1( ˆ α 2 + α 2 (1 ˆ β 2 + 2( ˆ α( α β(1 ˆ β. Epilègonta ˆv = ẑ, ja èqoume ˆ ˆv = os θ. A shmeiwjeð ìti o paronomast den exartˆtai apì thn azimoujiak gwnða φ. Oloklhr nonta w pro φ èqoume 2π 0 2π 0 dφ ( ˆ α = dφ ( ˆ α 2 = 2π dφ 0 2π 0 ( sin θ( α x os φ + α y sin φ + os θα z dφ = 2π os θ ( α ˆβ, { ( sin θ 2 α 2 x os2 φ + α 2 y sin2 φ + 2α xα y os φ sin φ α z } ( ( + os 2 θα 2 z + 2 sin θ os θ α x os φ + α y sin φ = π sin θ 2 α 2 x + α2 y + 2π os 2 θ α 2 z ( ( = π α 2 sin 2 θ + α 2 z π sin θ 2 + 2 os 2 θ = π α 2 sin 2 θ + ( α ˆβ 2 π sin θ 2 + 2 os 2 θ. O arijmht th oloklhrwtèa posìthta oloklhr netai w pro thn gwnða φ kai dðnei 2π 0 ( dφ N = π(1 β 2 sin θ 2 α 2 + ( α ˆβ 2 (3 os 2 1 + 2π α 2 (1 β os θ 2 + 4πβ( α ˆβ 2 os θ(1 β os θ. Oloklhr nonta kai w pro thn polik gwnða 2 paðrnoume P = O tôpo autì onomˆzetai tôpo tou Lienard. ( Q2 ( 6πɛ 0 3 γ6 α 2 α β 2. (15 2 1 dx 1 x2 (1 βx 5 = 4 3 γ6, 1 1 1 dx 3x2 1 (1 βx 5 = 8β2 γ 8, 1 1 dx (1 βx 3 = 2γ4, 1 1 x dx (1 βx 4 = 8 3 βγ6 1 7
SunoyÐzonta, èqoume StigmiaÐa isqô mh-sqetikistikoô swmatidðou (Larmor P dw dt Q 2 16π 2 ɛ 0 dω α 2 sin 2 θ 2 = Q2 α 2 3 6πɛ 0 3 StigmiaÐa isqô sqetikistikoô swmatidðou (Lienard P = dw dt = dt K dt ( ( dw dt K = Q2 6πɛ 0 γ 6 α 2 α 2 β 3 3. Ta PedÐa Enì Omalˆ KinoÔmenou ShmeiakoÔ FortÐou. Sthn perðptwsh stajer taqôthta v, epilègonta to sôsthma anaforˆ ste to swmatðdio na brðsketai arqikˆ sthn arq twn axìnwn, èqoume r(t = v t. Apì ton orismì tou kajusterhmènou qrìnou èqoume (t K = r vt K = r vt v(t k t = (t + v (t K. PaÐrnonta to tetrˆgwno aut th èkfrash, katal goume sto tri numo 2 (t K 2γ 2 ( β (t (t K γ 2 2 (t = 0, ìpou èqoume eisagˆgei ton kajierwmèno sumbolismì β v, γ 1 1 β 2. H lôsh tou triwnômou eðnai (t K = γ 2 ( β (t ± γ 4 ( β (t 2 + γ 2 2 (t. Epistrèfonta sthn arqik dianusmatik ma èkfrash (t K = (t + v (t K, èqoume (t K = (t + β ( ] ( 2 γ 2 β (t ± γ 4 β (t + γ 2 2 (t. 8
Apì ta anwtèrw mporoôme na metatrèyoume ti ekfrˆsei twn dunamik n se ekpefrasmène sunart sei tou stigmiaðou qrìnou. Sugkekrimèna, èqoume, epilègonta to jetikì prìshmo, (t K β (t K = ( β (t 2 + 2 (t γ 2. Oi ekfrˆsei twn dunamik n eðnai φ( r, t = A( r, t = µ 0 4π Q 1 4πɛ 0 ( β (t 2 + 2 (t γ 2 Q v ( β (t 2 + 2 (t γ 2 (16 MporoÔme na pˆroume kai ti ekfrˆsei gia ta pedða kateujeðan apì ti anwtèrw ekfrˆsei. PedÐa Omalˆ Kinoumènou FortÐou E = Q 4πɛ 0 (t γ 2 ( β (t 2 + 2 (t γ 2 ] 3/2 B = v 2 E Ta pedða tou omalˆ kinoômenou shmeiakoô fortðou mporoôn na exaqjoôn kateujeðan apì to pedðo Coulomb me thn bo jeia enì metasqhmatismoô Lorentz. Sto kinoômeno sôsthma anaforˆ (to sôsthma hremða tou shmeiakoô fortðou èqoume mìno to pedðo Coulomb kai mhdenikì magnhtikì pedðo. Topojet nta to fortðo sthn arq tou sust mato anaforˆ, èqoume E ( r, t = Q r 4πɛ 0 r 3, B = 0. QwrÐ blˆbh th genikìthta mporoôme na pˆroume v = vˆx. Tìte, o antðstrofo metasqhmatismì Lorentz eðnai E x = E x, E y = γ E y, E z = γ E z 9
B = v 2 E. Xekin nta apì to hlektrikì pedðo, èqoume E x = Q x 4πɛ ] 0 x 2 + y 2 + z 3/2 = Q γ(x vt 2 4πɛ 0 γ 2 (x vt 2 + y 2 + z 2 ] 3/2 E y = E z = Q γ y 4πɛ 0 γ 2 (x vt 2 + y 2 + z 2 ] 3/2 Q γ z 4πɛ 0 γ 2 (x vt 2 + y 2 + z 2 ] 3/2, dedomènou ìti = r vt, E = Q (x vtˆx + yŷ + zẑ γ 4πɛ 0 γ 2 (x vt 2 + y 2 + z 2 ] 3/2, dedomènou ìti = r vt, 1 γ 2 ( β 2 + 2 γ 2 ] 3/2 =... = γ γ 2 (x vt 2 + y 2 + z 2 ] 3/2, opìte E = Q 1 4πɛ 0 ( β ] 2 3/2 γ 2 + 2 γ 2 pou sumfwneð me thn èkfrash sthn opoða eðqame katal xei. Tèlo, gia to magnhtikì pedðo èqoume B = v ( 2 ẑe y ŷe z = v 2 Q 4πɛ 0 γ = 1 2 v 1 γ 2 ( β 2 + 2 γ 2 ] 3/2 = ẑy ŷz γ 2 (x vt 2 + y 2 + z 2 ] 3/2 1 2 v E. 10
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://eourse.uoi.gr/ourse/view.php? id=1224.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Καθ. Κ. Ταμβάκης. «Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II. Πεδία Σημειακών Φορτίων». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eourse.uoi.gr/ourse/view.php?i d=1224.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 1] ή μεταγενέστερη. 1] https://reativeommons.org/lienses/ by-sa/4.0/.