Κβανηομησανική ΙI Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ Α. Καπανίκαρ και Π. Σθήκαρ Σημειώζειρ IX: Ππόζθεζη ζηποθοπμών Υπάξρνπλ πάκπνια θπζηθά ζπζηήκαηα ζηα νπνία ε νιηθή ζηξνθνξκή ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη απνηέιεζκα ηεο θίλεζεο ησλ επί κέξνπο ζσκαηηδίσλ ή ησλ pin ηνπο:. Με εμαίξεζε ην άηνκν ηνπ πδξνγόλνπ, ηα άηνκα έρνπλ πνιιαπιά ειεθηξόληα, έζησ Ν, νπόηε ε ζπλνιηθή ηξνρηαθή ζηξνθνξκή δίδεηαη σο L L... LN.. Η καγλεηηθή ξνπή ηνπ ειεθηξνλίνπ,, πξνέξρεηαη όρη κόλν από ηελ ηξνρηαθή ζηξνθνξκή, L, κέζσ ηνπ γλσζηνύ L, αιιά θαη από ην ζπηλ, S, γηα ην νπνίν επίζεο ηζρύεη S. Η ζπλνιηθή καγλεηηθή ξνπή, επνκέλσο, εμαξηάηαη από ην άζξνηζκα L S. 3. Υπάξρνπλ ζπζηήκαηα, όπσο π.ρ. ην θνξηηζκέλν π κεζόλην ud, πνπ απνηεινύληαη από δπν ζσκάηηα, έλα quark (ην u) θαη έλα antiquark (ην d ), κε pin /. Τν ζπηλ ηνπ πηνλίνπ δίδεηαη από ην άζξνηζκα ησλ δύν ζπηλ, S S. Σε όηη αθνινπζεί εμεηάδνπκε ην άζξνηζκα δύν ζηξνθνξκώλ θαη. Φξεζηκνπνηνύκε ην ζύκβνιν, αληί ηνπ L ή ηνπ S γηα λα δείμνπκε όηη ηα απνηειέζκαηά καο είλαη αλεμάξηεηα από ην αλ πξόθεηηαη γηα ηξνρηαθή ζηξνθνξκή ή ηδηνζηξνθνξκή (ζπηλ).. Ιδιόηηηερ ηηρ ολικήρ ζηποθοπμήρ Έζησ, ινηπόλ, δπν ζηξνθνξκέο, θαη, θαη ην άζξνηζκά ηνπο,. Οη ζπληζηώζεο ηεο νιηθήο ζηξνθνξκήο, δίδνληαη, πξνθαλώο, από ηηο ζρέζεηο i i i, i x, y, z. Θα εμεηάζνπκε ηελ άιγεβξα ησλ ηειεζηώλ ηνπ Ĵ, μεθηλώληαο από ηελ άιγεβξα ησλ θαη, γηα ηηο νπνίεο, εμ νξηζκνύ, εθόζνλ είλαη ζηξνθνξκέο, ζα ηζρύνπλ νη ζρέζεηο x, y i z και x, y i z (9.) Δπηπιένλ, όιεο νη ζπληζηώζεο ηνπ κεηαηίζεληαη κε όιεο ηηο ζπληζηώζεο ηνπ : i,k 0 ik, (9.) επεηδή νη δύν ηειεζηέο Ĵ i θαη Ĵ k δξνπλ ζε δύν δηαθνξεηηθνύο, αλεμάξηεηνπο ρώξνπο. (Αλ πάξνπκε ηελ αλαπαξάζηαζε ζην ρώξν, ηόηε ε Ĵ i έρεη παξαγώγνπο σο πξνο ηηο κεηαβιεηέο, θαη ε Ĵ k σο πξνο ηηο,, νπόηε είλαη πξνθαλέο όηη νη παξάγσγνη κεηαηίζεληαη κεηαμύ ηνπο). Τν πξώην βήκα είλαη λα δείμνπκε όηη γηα ην νιηθό κέγεζνο Ĵ ηζρύεη ε γλσζηή άιγεβξα ηεο ζηξνθνξκήο:
Απηό είλαη πνιύ εύθνιν: x,y i z (9.3) x, y x+ x, y+ y x, y x, y i z (9.4) Δίλαη εμίζνπ εύθνιν λα δείμνπκε όηη θαη νη άιιεο δύν ζρέζεηο κεηάζεζεο ηζρύνπλ: y, z i x z, x i y (9.5) Δπνκέλσο, ε Ĵ όλησο ζπκπεξηθέξεηαη σο «ζηξνθνξκή», θαη άξα πιεξεί όιεο ηηο ηδηόηεηεο πνπ έρνπκε απνδείμεη σο ηώξα: α), i 0 για i x, y, z β) Οη ηξεηο ζπληζηώζεο ηεο i δελ κεηαηίζεληαη κεηαμύ ηνπο. Άξα κπνξνύκε λα γλσξίδνπκε ζπγρξόλσο κόλν ην κέηξν ηεο θαη κέρξη κία ζπληζηώζα (έζησ ηελ z ). γ) Αλ νη θνηλέο ηδηνθαηαζηάζεηο ησλ, z είλαη,, ηόηε ζα ηζρύεη,, και z,, όπνπ θαη αθέξαηνη, κε. Τν δεηνύκελν είλαη λα ππνινγίζνπκε ηνπο θαη, θαη ηηο θαηαζηάζεηο, δεδνκέλσλ ησλ (αλεμάξηεησλ) θαηαζηάζεσλ, θαη, ησλ δύν ζηξνθνξκώλ. Ο νξηζκόο ησλ θαηαζηάζεσλ ηεο θάζε ζηξνθνξκήο είλαη πξνθαλήο:,, και,, (9.6) z,, και,, (9.7) z Δίλαη εύθνιν λα δείμνπκε όηη ην γηλόκελν ησλ δύν θαηαζηάζεσλ,,, ;, (9.8) είλαη θαη ηδηνθαηάζηαζε ηνπ Ĵ z :,,,, z z z,,,, z z,,,,,, (9.9)
κε ηδηνηηκή. Δπνκέλσο, ην γηλόκελν,, απνηειεί ηδηνθαηάζηαζε ηεο πξνβνιήο ηεο νιηθήο ζηξνθνξκήο ζηνλ άμνλα z, Ĵ z, κε ηδηνηηκή ηζρύεη γηα ηελ γεγνλόο όηη ελώ Ĵ, δει. ε νη ηειεζηέο Ĵ z θαη Ĵ z δελ κεηαηίζεληαη κε ηνλ,, δελ είλαη θαη ηδηνθαηάζηαζε ηεο,, 0 :, z, z 0. Τν ίδην, σζηόζν, δελ Ĵ. Απηό νθείιεηαη ζην (9.0) (9.) Η ζρέζε (9.0) απνδεηθλύεηαη σο εμήο: ππνινγίδνληαο ηνλ κεηαζέηε ζηελ πξώηε ζρέζε ηεο (9.0), έρνπκε:,,,, 0 Αθνύ μέξνπκε όηη γηα θάζε ζηξνθνξκή, ε Ĵ κεηαηίζεηαη κε ηηο ζπληζηώζεο ηεο, δει. :, k με k,,3 (ή x, y, z) Απηό σζηόζν δελ είλαη δπλαηό γηα ηηο πξνβνιέο ησλ απνδεηθλύεηαη σο εμήο:,,, z z z (9.) (9.3) θαη, ιόγσ ηεο (9.), ε νπνία (9.4) Ο ηειεπηαίνο κεηαζέηεο δελ είλαη κεδέλ: z, z, x e x z, y e y z, z ez iyex i xey (9.5) θαη άξα Η αληίζηνηρε ζρέζε ηζρύεη γηα ηηο άιιεο δύν ζπληζηώζεο, δει. Δπνκέλσο, έρνπκε δπν κε ζπκβαηέο δπλαηόηεηεο: z, i yx xy 0 (9.6) x, 0 και y, 0 (9.7) α) λα γλσξίδνπκε ηην πποβολή ηηρ ζηποθοπμήρ ηος κάθε ζωμαηιδίος ζηον άξονα z, δει. λα μέξνπκε όηη ε ηδηνθαηάζηαζε είλαη,, (9.8) β) λα γλσξίδνπκε ηελ ολική ζηποθοπμή και πποβολή ηος ζςνολικού ζςζηήμαηορ, δει. λα μέξνπκε όηη ε ηδηνθαηάζηαζε είλαη 3
,,, (9.9) Οη (α) θαη (β) αλαθέξνληαη ζην ίδην κελ ζύζηεκα, σζηόζν πεξηγξάθνπλ δηαθνξεηηθέο θαηαζηάζεηο, δει. αλάγνληαη ζε δηαθνξεηηθέο κεηξήζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο: ε (α) κεηξάεη ηελ πξνβνιή ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ θάζε ζσκαηηδίνπ, έρνληαο γλώζε ησλ,, ελώ ε (β) κεηξάεη ηελ νιηθή ζηξνθνξκή θαη ηελ πξνβνιή ηεο,. Δπηπιένλ, δελ κπνξνύκε λα γλσξίδνπκε ζπγρξόλσο ηηο δύν ηηκέο ησλ πξνβνιώλ, θαη ην ηεηξάγσλν ηεο νιηθήο ζηξνθνξκήο.. Σςνηελεζηέρ Clebch-Gordan Υπάξρνπλ θαηαζηάζεηο ζηελ πεξηγξαθή (9.8) θαη πξνθαλώο ζα πξέπεη, αληίζηνηρα, λα ππάξρνπλ ηόζεο θαηαζηάζεηο θαη ζηελ πεξίπησζε (9.9). Δπηπιένλ, εθόζνλ αλαθεξόκαζηε ζε Δξκηηηαλνύο ηειεζηέο, ζα πξέπεη λα κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε σο βάζε ηνπ ρώξνπ νπνηνδήπνηε εθ ησλ δπν ζπλόισλ θαηαζηάζεσλ. Δηπσκέλν δηαθνξεηηθά, ζα πξέπεη λα ππάξρνπλ ζηαζεξέο C ηέηνηεο ώζηε λα κπνξνύκε λα εθθξάζνπκε ηηο θαηαζηάζεηο (β) σο γξακκηθνύο ζπλδπαζκνύο ησλ θαηαζηάζεσλ (α):,,, " C",,, (9.0) Τν άζξνηζκα θαη νη ζηαζεξέο " C ", ζα πξέπεη λα θέξνπλ δπν δείθηεο,, γηα λα θαιύςνπλ όιν ην ρώξν πνπ πεξηγξάθνπλ νη, θαη,. Δπηπιένλ, νη ζηαζεξέο απηέο ζα είλαη δηαθνξεηηθέο γηα ηελ θάζε ηηκή ησλ θαη. Δπεηδή νη δείθηεο θαη είλαη νη ίδηνη ζηηο δύν πιεπξέο ηεο εμίζσζεο, ζπλήζσο γξάθνπκε:, C (9.) Η βηβιηνγξαθία, δπζηπρώο, ρξεζηκνπνηεί όινπο ηνπο πηζαλνύο ηξόπνπο ζπκβνιηζκνύ ησλ ζηαζεξώλ C κε ηέζζεξηο δείθηεο. Έηζη, ζπλαληώληαη όια ηα αθόινπζα: C, C, C, ;, ; C ; C, (9.) όπνπ νη δπν ηειεπηαίεο κνξθέο «ππνλννύλ» ηα, πνπ εκθαλίδνληαη ζηελ αξηζηεξή πιεπξά ηεο έθθξαζεο (9.0). Σην παξόλ θείκελν, επηιέγνπκε ηηο αθόινπζεο δπν κνξθέο:, C και C, ;, (9.3) αλάινγα κε ην πόζν «θνξησκέλε» είλαη ε καζεκαηηθή έθθξαζε ζηελ νπνία ζα ρξεζηκνπνηεζνύλ. Έηζη ινηπόλ, έρνπκε:, ;, C, ;, ;, (9.4) Οη ζηαζεξέο ηνπ αλαπηύγκαηνο ππνινγίδνληαη εύθνια παίξλνληαο ην εζσηεξηθό γηλόκελν κε ηελ θαηάζηαζε,,, θαη θάλνληαο ρξήζε ηεο νξζνθαλνληθόηεηαο ηεο βάζεο: Έηζη, παίξλνπκε από ηηο (9.4) θαη (9.5): 4,,,, ;, (9.5)
,,,, ;, C, ; C, ;, (9.6) Οη ζπληειεζηέο C, ;, ιέγνληαη «ζπληειεζηέο Clebch-Gordan». Αο δνύκε έλα απιό παξάδεηγκα ππνινγηζκνύ ησλ C, ;, : έζησ δύν ζσκάηηα ρσξίο pin κε ηξνρηαθή ζηξνθνξκή θαη κε νιηθή ζηξνθνξκή, (ην είλαη ε πξνβνιή ζηνλ άμνλα z ). Μέηξεζε ησλ ζπλδπαζκνύο:,, είλαη L z θαη L z δίλεη, πξνθαλώο, έλαλ από ηνπο ηέζζεξεηο δπλαηνύο,. Η πηζαλόηεηα εκθάληζεο ησλ ηηκώλ,, αλ γλσξίδνπκε ηα P,,,, ; ; (9.7) Έζησ ηώξα όηη. Οη δπλαηέο θαηαζηάζεηο νιηθήο ζηξνθνξκήο είλαη, ;,, ;,0;, (9.8), ;, Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ησλ αλ ; Δθόζνλ, ππάξρνπλ, κόλν δπν δπλαηόηεηεο:, 0 θαη 0,. Άξα γεληθά έρνπκε: C, ;, C, ;, 0, ;, 0, ; 0,, 0;,, C, 0 C 0,,0 0, (9.9) ε δεύηεξε εμίζσζε είλαη ε ίδηα απιώο έρνπκε ειαθξύλεη ην ζπκβνιηζκό γξάθνληαο ιηγόηεξνπο δείθηεο (ζπκόκαζηε, σζηόζν, ηελ ηηκή ηεο θάζε ζηξνθνξκήο ( ). Πξέπεη ινηπόλ λα βξνύκε ηνπο ζπληειεζηέο C,0, C0,. Απηό γίλεηαη κε ρξήζε ησλ ηειεζηώλ αλάβαζεο θαη θαηάβαζεο, νη νπνίνη νξίδνληαη σο εμήο: γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη ε ηαπηόηεηα: ± i (9.30) ± x y Ĵ,, (9.3) Γξώληαο κε ηνλ Ĵ ζηελ (9.9) έρνπκε: Ĵ, 0. Δπνκέλσο C, 0 C 0, 0,0 0, 0 C 0, C, 0 0,0 0, C C, 0 C C,0 0,,0 0, (9.3) Η θαλνληθνπνίεζε ηεο θαηάζηαζεο δίλεη 5
,, C,0 C,0 (9.33) Καη έηζη, ηειηθά έρνπκε, ;,, ; 0, 0 ; ε νπνία γξάθεηαη θαη ζπκβνιηθά, κε πξνθαλή ζπκβνιηζκό, σο εμήο: (9.34), ;, (9.35) Τν παξάδεηγκα απηό επηδεηθλύεη ηα βαζηθά ραξαθηεξηζηηθά ηεο όιεο κεζόδνπ: νη θαηαζηάζεηο κε ζπγθεθξηκέλε νιηθή ζηξνθνξκή θαη κία πξνβνιή ηεο, είλαη γξακκηθέο ζπλδπαζκνί ησλ θαηαζηάζεσλ κε ζπγθεθξηκέλεο πξνβνιέο. Οη ζπληειεζηέο ηνπ αλαπηύγκαηνο βξίζθνληαη κέζσ ηεο ρξήζεο ησλ ηειεζηώλ αλάβαζεο θαη θαηάβαζεο. Πξνηνύ εμεηάζνπκε ην πσο ππνινγίδνκε γεληθά ηνπο ζπληειεζηέο Clebch-Gordan, ζα βξνύκε όιεο ηηο επηηξεπηέο ηηκέο ηεο νιηθήο ζηξνθνξκήο,, θαη ηεο πξνβνιήο ηεο ζε έλα άμνλα,, δεδνκέλσλ ησλ, θαη,. 3. Σσέζη μεηαξύ ηυν, και ηυν, και, Η κέγηζηε δπλαηή ηηκή ηνπ, έζησ ax, ππνινγίδεηαη εύθνια: εθόζνλ ηζρύεη (9.36) Σπκπεξαίλνπκε όηη ax. Καη εθόζνλ ε κέγηζηε δπλαηή ηηκή νπνηαζδήπνηε ζπληζηώζαο κίαο ζηξνθνξκήο είλαη ν δείθηεο ηεο ζηξνθνξκήο,, ε κέγηζηε δπλαηή ηηκή ηεο ζηξνθνξκήο είλαη ax. Η ειάρηζηε δπλαηή ηηκή ηεο ζηξνθνξκήο κπνξεί λα ππνινγηζηεί από ην γεγνλόο όηη ν νιηθόο αξηζκόο ησλ θαηαζηάζεσλ πξέπεη λα είλαη ν ίδηνο, είηε ρξεζηκνπνηνύκε ηε βάζε, είηε ηε βάζε,. Αλ ην παίξλεη ηηκέο ζην δηάζηεκα, ζπλνιηθνύ αξηζκνύ ησλ θαηαζηάζεσλ ζηηο δύν βάζεηο δίλεη, ηόηε ε ηζόηεηα ηνπ ax (9.37) in Με ιίγε άιγεβξα παίξλνπκε in. Πεξίιεςε: πξνζζέηνληαο δύν ζηξνθνξκέο,, παίξλνπκε ζπλνιηθό πνπ έρεη σο δπλαηέο ηηκέο όιεο ηηο ηηκέο πνπ αλήθνπλ ζην δηάζηεκα,, δει. νπνηαδήπνηε ηηκή από ηηο,,...,. Πξνθαλώο, θάζε ηηκή ηνπ κπνξεί λα έρεη n δηαθνξεηηθέο ηηκέο ησλ, δει. ζε δηαθνξεηηθέο πξνβνιέο ζηνλ άμνλα z. in ax 6
Παξάδεηγκα: έζησ δπν ηξνρηαθέο ζηξνθνξκέο, in, ax 3,,3. Οη δε θαηαζηάζεηο ζπγθεθξηκέλεο νιηθήο ζηξνθνξκήο θαη πξνβνιήο ηεο είλαη :, 0, n 3 :,, 0,, n 5 3: 3,,...,, 3 n 7 3 (9.38) Καη επνκέλσο ππάξρνπλ ζπλνιηθά 3 5 7 5 θαηαζηάζεηο. Αλ, αληί ησλ ζπλνιηθώλ θαη, γλσξίδνπκε ηηο πξνβνιέο ηεο θάζε ζηξνθνξκήο, ε έρεη 5 δπλαηέο θαηαζηάζεηο, ηηο,,...,, ελώ ε έρεη 3 δπλαηέο θαηαζηάζεηο, ηηο,0,. Ο δε ζπλδπαζκόο ηνπο έρεη 3 5 5 θαηαζηάζεηο. Άξα ίζεο! 4. Πεπίλητη Όηαλ έρνπκε δύν ζηξνθνξκέο, θαη, π.ρ. επεηδή έρνπκε δύν ζσκαηίδηα, κπνξνύκε λα πξνζδηνξίζνκε ζπγρξόλσο ην κέγεζνο ηεο θάζε ζηξνθνξκήο, θαη, όπσο επίζεο θαη ηηο δύν πξνβνιέο σο πξνο έλα άμνλα, έζησ ηνλ z, δειαδή ηνπο θβαληηθνύο αξηζκνύο θαη. Υπελζπκίδνκε όηη απηό ζεκαίλεη όηη ην έλα ζσκάηην έρεη νιηθή ζηξνθνξκή θαη πξνβνιή θαη αληίζηνηρα, ην δεύηεξν ζσκάηην έρεη (9.39),z (9.40),z Μπνξνύκε, αληί ησλ θαη λα κεηξήζνπκε ηελ ζπλνιηθή ζηξνθνξκή ησλ δύν ζσκαηίσλ, όπσο επίζεο θαη ηελ πξνβνιή ηεο,. Μαζεκαηηθά, αλ θαη ε ζπλνιηθή ζηξνθνξκή «είλαη» θαη ε πξνβνιή ηεο «είλαη», δει. αλ Τόηε ηα θαη, πιεξνύλ ηηο ζρέζεηο: z (9.4) (9.4) (α) ην παίξλεη όιεο ηηο ηηκέο από έσο. (β) ην, όπσο θάζε πξνβνιή ηεο ζηξνθνξκήο, παίξλεη ηηκέο από έσο +. (γ) ην πάληα ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ δύν επηκέξνπο πξνβνιώλ, δει.. 5. Παπαδείγμαηα ςπολογιζμού ηυν ζςνηελεζηών Clebch-Gordan Πξνζέμηε ηελ αλαθξηβή θξαζενινγία: ιέγνληαο όηη "ην κέγεζνο ηεο ζηξνθνξκήο είλαη " ελλννύκε όηη ην κήθνο ηνπ αλύζκαηνο ηεο ζηξνθνξκήο είλαη. Απιώο, από ηε ζηηγκή πνπ ν δείθηεο δίλεη ην κέγεζνο ηνπ αλύζκαηνο ηεο ζηξνθνξκήο, πνηεηηθή αδεία ιέγε "ε ζηξνθνξκή είλαη ". 7
Παξάδεηγκα 5.: πξόζζεζε δπν ζηξνθνξκώλ Θεσξνύκε δύν ζσκαηίδηα κε ζπηλ /: / νπόηε 0 ή. Θα μεθηλήζνπκε από ηελ πεξίπησζε ax όπνπ,0 θαη ax. Δίλαη πξνθαλέο όηη ε ηηκή κπνξεί λα επηηεπρζεί κόλν κε έλαλ ηξόπν: / θαη /. Δπνκέλσο ηζρύεη:,,, (9.43) Γξώληαο ηώξα κε ηνλ ηειεζηή θαηάβαζεο S S S παίξλνπκε: Ŝ,, 0 (9.44) θαη έηζη βξίζθνπκε: (S S ),,,,, (9.45), 0,,,, (9.46) Αθόκα έλαο βεκαηηζκόο (δει. εθαξκνγή ηνπ ηειεζηή θαηάβαζεο) ζα καο δώζεη :,,, (9.47) Δίλαη πξνθαλέο όηη ην ηειεπηαίν απνηέιεζκα κπνξεί λα παξαρζεί απ επζείαο όπσο ην (9.43): ν κόλνο ηξόπνο λα έρνπκε είλαη θαη. Απηό είλαη γεληθό ζπκπέξαζκα: όηαλ είκαζηε ζε θαηάζηαζε κε, ν κόλνο ζπλδπαζκόο πνπ δίλεη είλαη θαη. Θα κπνξνύζακε κάιηζηα λα ρξεζηκνπνηήζνπκε απηό ην ζπλδπαζκό σο αθεηεξία θαη αθνινύζσο λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνλ ηειεζηή αλάβαζεο S S S γηα λα εμαληιήζνπκε όιεο ηηο ηηκέο ηνπ. Τν απνηέιεζκα ζα ήηαλ ην ίδην. Δθείλν πνπ απνκέλεη είλαη λα εθθξάζνπκε ηελ ηέηαξηε θαηάζηαζε 0, 0 σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ ηδηνθαηαζηάζεσλ ησλ Ŝ z θαη, θαη, : Ŝ. Δθόζνλ 0, ππάξρνπλ δπν δπλαηόηεηεο: z 0, 0,,,, Γξώληαο κε ηνλ Ŝ θαη ζηηο δπν πιεπξέο παίξλνπκε: S S S S O Καλνληθνπνηώληαο,. Καη ηέινο 8
0, 0,,,, Παξάδεηγκα 5.: πξόζζεζε δύν ζηξνθνξκώλ. Πξόζζεζε δπν ζηξνθνξκώλ. Η νιηθή ζηξνθνξκή,, κπνξεί λα πάξεη όιεο ηηο ηηκέο ζην δηάζηεκα,...,, θαη επνκέλσο 0,,. Η αθξόηαηε θαηάζηαζε είλαη πξνθαλώο ε,, Υπάξρεη κόλν έλαο ζπλδπαζκόο ησλ θαη πνπ λα δίλεη απηό ην αθξόηαην:. Δπνκέλσο, ζα ηζρύεη Ή, γξακκέλν πην αλαιπηηθά:,, (9.48), ;,, ;,,, (9.49) Γηα λα βξνύκε ηηο θαηαζηάζεηο κε,, θαηεβάδνπκε ηνλ δείθηε κέζσ ηνπ Ĵ : Ĵ, 3,, (9.50) Ĵ,, 0, 0, (9.5) θαη ν όξνο κε Ĵ ζα δώζεη ηελ ίδηα έθθξαζε (κε ). Δπνκέλσο,,, 0,,, 0 (9.5) Δδώ είλαη έλα θαιό ζεκείν λα εηζαγάγνπκε κεξηθνύο ελαιιαθηηθνύο ηξόπνπο γξαθήο, αλ ζεσξήζνπκε όηη ζπκόκαζηε όηη αλαθεξόκαζηε ζε :, 0;,, 0,,0, (9.53) Οπόηε κπνξνύκε λα γξάςνπκε ζρεκαηηθά:,, 0,,, 0 (9.54) Δθαξκόδνληαο ηνλ ηειεζηή θαηάβαζεο αθόκα κηα θνξά παίξλνπκε: Δλώ, δξώληαο θαη ζηε δεμηά πιεπξά ηεο (9.54) παίξλνπκε: Ĵ, 30, 0 (9.55) 9
0 0 0 (9.56), 0 / 6 (9.57) Οη θαηαζηάζεηο κε ρακειόηεξεο ηηκέο ηνπ ππνινγίδνληαη κε δηαδνρηθέο εθαξκνγέο ηνπ ηειεζηή θαηάβαζεο. Με ιίγε άιγεβξα βξίζθνπκε:,, (9.58) Ο ππνινγηζκόο ησλ θαηαζηάζεσλ κε ην κέγηζην είλαη επνκέλσο κία απιή αιγεβξηθή άζθεζε. Πάκε ηώξα ζηελ ελδηάκεζε ηηκή,, πνπ δελ είλαη αθξόηαηε γηα ην. Φξεζηκνπνηνύκε ηελ zz xx yy ηαπηόηεηα z z (9.59) Η κέγηζηε ηηκή ηνπ γηα = είλαη =. Οη ζπλδπαζκνί ησλ θαη πνπ δίλνπλ = είλαη πξνθαλώο νη (,0) θαη (0,). Άξα κπνξνύκε λα γξάςνπκε Γξώληαο κε ην, a,, 0 b, 0, a b (9.60) Ĵ ζηηο δπν πιεπξέο ηεο (9.60) έρνπκε: Ĵ, ( ), a b z z a b (9.6) a b a b 0 b a Δμηζώλνληαο ηηο δύν εθθξάζεηο, παίξλνπκε: (9.6) 4 a b a b 0 a b a b (9.63) Βεβαίσο, ζα κπνξνύζακε επίζεο λα δξάζνπκε κε ηνλ απνηέιεζκα κε ηελ (9.63): Ĵ (ή ηνλ Ĵ ) ζηελ (9.60). Απηό δίλεη ην ίδην Ο ιόγνο, βεβαίσο, είλαη όηη ζα δξάζνπκε ζε θαηαζηάζεηο κε νξηζκέλν θαη, θαη, θαη επνκέλσο γξάθνπκε ηνλ Ĵ σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ηειεζηώλ ησλ νπνίσλ γλσξίδνπκε ηε δξάζε ζηηο θαηαζηάζεηο,,, 0
θαη άξα:, a b Καη επνκέλσο, κεηά ηελ θαλνληθνπνίεζε: b a 0 a b,, 0, 0,, (9.64) Οη επόκελεο δύν θαηαζηάζεηο κε, δει. κε 0,, ππνινγίδνληαη κε απιή εθαξκνγή ηνπ ηειεζηή θαηάβαζεο: Ĵ, 0, 0 (9.65) 0 0 0 Δμηζώλνληαο ηηο δύν εθθξάζεηο, παίξλνπκε:, 0 Δλώ κία αθόκε εθαξκνγή ηνπ ηειεζηή θαηάβαζεο δίλεη (9.66),,,, (9.67), 0,,, 0 (9.68), Η εύξεζε ησλ θαηαζηάζεσλ κε =0 αθνινπζεί ηελ ίδηα κέζνδν. Γξάθνπκε ηελ θαηάζηαζε σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ δπλαηώλ θαηαζηάζεσλ θαη :,, 0,0,,,,, 0, 0,, 3 3. 0, 0 Παξάδεηγκα 5.3: πξόζζεζε θαη (9.69) Έζησ έλα ειεθηξόλην κε ηξνρηαθή ζηξνθνξκή (θαη, πξνθαλώο, ζπηλ ). Η νιηθή ηνπ ζηξνθνξκή ζα έρεη ηηο ηηκέο έρνπκε κόλν έλα ζπλδπαζκό θαη Γξώληαο κε ηνλ ηειεζηή θαηάβαζεο: 3,..., και. Ξεθηλώληαο πάιη από ην αθξόηαην, πνπ αληηζηνηρεί ζηελ θαηάζηαζε 3 3, 3 3, :
3 3 3 5 3 3 3 Ĵ,, 3, θαη L S L S,, 0 0,,, θαη επνκέλσο, 3, 0,,, 3 3 Με δπν αθόκα δξάζεηο ηνπ Ĵ, βξίζθνπκε ηηο άιιεο δπν θαηαζηάζεηο: 3, θαη 3 3, Αθνινύζσο, γξάθνπκε ηελ πξώηε θαηάζηαζε κε :, a,, b, 0, (9.70) Γξώληαο κε ηνλ ηειεζηή αλάβαζεο L S, ζηελ (9.70) παίξλνπκε:, a, S, bl, 0, θαη επνκέλσο Η ζρέζε θαλνληθνπνίεζεο καο δίλεη a,, b,, 0 a b θαη επνκέλσο, a b 3b b 3,,,, 0, 3 3 Γξώληαο ζηελ (9.7) κε ην Ĵ, παίξλνπκε ηελ,. (9.7) 6. Πεπίλητη και ανάλςζη Σην πξώην από ηα παξαδείγκαηα βξήθακε ηε βάζε ζηελ νπνία κπνξνύκε λα πεξηγξάςνπκε έλα ζύζηεκα δύν ζσκαηηδίσλ θαζέλα από ηα νπνία έρεη pin /. Η βάζε απηή απνηειείηαη από κηα θαηάζηαζε κε pin 0 (ε ζπληνκνγξάθεζε είλαη πξνθαλήο):
θαη από κηα ηξηάδα θαηαζηάζεσλ κε pin :,, 0,0,,,0,,,, (9.7) (9.73) Γηα επθνιία, έρνπκε εηζαγάγεη ηνλ ζπκβνιηζκό κε έλα θάζεην βέινο, κε θνξά πξνο ηα άλσ (θάησ) ( ) όηαλ >0 (<0). Καη όηαλ =0, όπσο ζην επόκελν παξάδεηγκα, γξάθνκε κία ηειεία: ( ). Από ηηο θαηαζηάζεηο απηέο ε (9.7) αλαθέξεηαη σο «inglet» ελώ ηα αλύζκαηα (9.73) απαξηίδνπλ κηα «triplet». Η αθεηεξία ηεο νλνκαζίαο απηήο βξίζθεηαη ζηε δηαθνξεηηθή απόθξηζε ησλ θαηαζηάζεσλ απηώλ ζε ζηξνθέο ηνπ θπζηθνύ ζπζηήκαηνο. Όπσο είλαη πξνθαλέο ε inglet καηάζηαζη (9.7) δεν μεηαβάλλεηαι. Αληίζεηα ηα ανύζμαηα ηηρ triplet (9.73) αναμειγνύονηαι: Η δξάζε ηνπ ηειεζηή i exp n S πάλσ ζε νπνηνδήπνηε από απηά ζα νδεγήζεη ζε κηα θαηάζηαζε ε νπνία είλαη γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ αλπζκάησλ ηεο triplet. Γηαηππσκέλν αιιηώο: ζηε βάζε απηή κπνξνύκε λα πεξηγξάςνπκε κηα νληόηεηα 0, 0 κε pin 0 ε νπνία έρεη ζπληεζεί από δύν ζσκάηηα κε pin / αιιά θαη κηα νληόηεηα a, b,0 c, κε pin ε νπνία επίζεο ζπληίζεηαη από δύν ζσκάηηα κε pin /. Τέινο, ζεκεηώλνπκε όηη η inglet είναι ανηιζςμμεηπική σο πξνο ηελ ελαιιαγή ησλ δύν ζσκαηηδίσλ, ελώ η triplet είναι ζςμμεηπική. Απηή ηε θαηλνκεληθά "αζώα" ηδηόηεηα ζα ηε ρξεηαζηνύκε όηαλ αλαιύζνπκε ζπζηήκαηα κε όκνηα ζσκάηηα (π.ρ. δύν ειεθηξόληα). Σην δεύηεξν από ηα παξαδείγκαηα έρνπκε κηα inglet θαηάζηαζε κε pin 0: κηα triplet κε pin : θαη κηα pentuplet κε pin : 0, 0, 0, 0, (9.74) 3 3,, 0 0,, 0,,, 0,, 0 (9.75) 3
,,,, 0 0,, 0, 0, 0, 6 6, 0,, 0,, (9.76) Σεκεηώλεηαη όηη ζε απηό ην ζύζηεκα, ε inglet θαη ε pentuplet είλαη ζπκκεηξηθέο θάησ από ηελ αληαιιαγή, ελώ ε triplet είλαη αληηζπκεκηξηθή. 7. Παπαδείγμαηα έρεη ζπηλ. Α) Απνδείμηε όηη ε αθόινπζε θαηάζηαζε δπν ειεθηξνλίσλ Απάληεζε: Πξέπεη λα δείμνπκε όηη Ŝ. Δπεηδή ε δίδεηαη σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ηδηνθαηαζηάζεσλ ησλ κνξθή ηνπ έρνπκε ηνπο εμήο όξνπο: Ŝ z θαη Ŝ ζηελ, θαη ρξεζηκνπνηώληαο Ŝ z, ρξεζηκνπνηνύκε ηελ ηαπηόηεηα (9.59). Γξώληαο κε απηή ηε S, S θαη S, S, S Ŝ 3 3 S 4 3 4 S zs z S zs z S zsz S S S S θαη επνκέλσο, 3 3 Ŝ 4 4 4
Β) Απνδείμηε ηελ (9.69) δει., γηα δπν ζσκάηηα κε ζπηλ, βξείηε ηελ θαηάζηαζε κε ζπλνιηθό ζπηλ 0 σο γξακκηθό ζπλδπαζκό θαηαζηάζεσλ ζπγθεθξηκέλνπ θαη ησλ δπν ζσκαηηδίσλ. Δθόζνλ 0 0 0, ππάξρνπλ ηξεηο δπλαηνί ζπλδπαζκνί γηα ηηο πξνβνιέο, δει. γηα ηα, : Δπνκέλσο:,, 0,0,, 0, 0 0 0 Γξώληαο αξηζηεξά θαη δεμηά κε ηνλ S S S, ζα αληηκεησπίζνπκε ηνπο εμήο όξνπο: Ŝ 0, 0 0 Μαδεύνληαο όινπο ηνπο όξνπο έρνπκε: S S 0 S S 0 S S 0 0 0 0 0 0 Δθόζνλ νη θαηαζηάζεηο θαη είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο, αλαγθαζηηθά:,. Καλνληθνπνηώληαο, θαη άξα: 0, 0 3 8. Ππόζθεηη ανάλςζη: πιο γενική θεώπηζη ππόζθεζηρ δύο = Γξώληαο κε ηνλ ηειεζηή απηό ζηηο δύν πιεπξέο ηεο ζρέζεο (9.4) παίξλνπκε, ( ), ( ) C(, ;, ),, 3 (9.77) Γηα ζπληνκνγξαθία γξάθνπκε C C(,,, ) Από ηελ άιιε κεξηά ε δξάζε ηνπ ηειεζηή ζηα αλύζκαηα, ζα ηα ηξνπνπνηήζεη : όπνπ γξάςακε ( ), z z [ (,), (,), (,), ] (9.78) 5
(, ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,) ( ) ( ) ( ) ( ) Αλ επνκέλσο δξάζνπκε κε ηνλ ηειεζηή (9.59) ζηε ζρέζε (9.4) θαη ρξεζηκνπνηήζνπκε ηηο (9.77) θαη (9.78) ζα πάξνπκε :, ( ) C,, C (, ), (, ), (,), (9.79) Μπνξνύκε λα απινπνηήζνπκε ηελ (9.79) αλ θάλνπκε ηηο κεηνλνκαζίεο θαη ζηνπο δύν ηειεπηαίνπο όξνπο. Τν κόλν πνπ πξέπεη λα πξνζέμνπκε είλαη όηη θαη κε ηελ αιιαγή απηή πξέπεη λα παξακείλνπκε ζηηο επηηξεπόκελεο πεξηνρέο,. Γηα απηό ην ζσζηό είλαη λα γξάςνπκε od( ), od( ) (9.80) ζπκβνιηζκόο πνπ ζεκαίλεη όηη αλ κε ηελ αιιαγή βγνύκε έμσ από ηα επηηξεπόκελα όξηα ζα πξνζζέζνπκε (ή ζα αθαηξέζνπκε) ην ή ην γηα λα επαλέιζνπκε ζηα επηηξεπηά όξηα. Με ηηο εμεγήζεηο απηέο κπνξνύκε λα γξάςνπκε (9.8) ( ) C, C,,, Δίλαη επνκέλσο απιώο ζέκα λνξκαιηζκνύ ην λα θαηαιήμνπκε ζην απνηέιεζκα 0, 0, 0, 0, 0 (9.8) 3 Δπηζηξέθνπκε ινηπόλ ζην παξάδεηγκα κε ηελ πεξίπησζε (,,0). Θα μεθηλήζνπκε κε ηελ θαηάζηαζε, ε νπνία κπνξεί λα πξαγκαηνπνηεζεί κε δύν ηξόπνπο,, 0 0, (9.83) Φξεζηκνπνηώληαο ηελ (9.78) παίξλνπκε: Ĵ,, Ĵ, 0, 0 0, Ĵ 0, 0,, 0 Δπνκέλσο κε ηε δξάζε ηνπ Ĵ ζηελ (9.83) ζα πάξνπκε, ( ) 0, ( ), 0 (9.84) 6
Από ηηο (9.83) θαη (9.84) πξνθύπηεη ακέζσο όηη θαη πνπ είλαη αθξηβώο ην ζύζηεκα (9.8) γηα ηνπο ζπλδπαζκνύο πνπ ζπδεηάκε. Καλνληθνπνηώληαο ην απνηέιεζκα βξίζθνπκε,, 0 0, (9.85) Γηα λα βξνύκε ηηο άιιεο θαηαζηάζεηο, πνπ έρνπλ απιώο δηαθνξεηηθό, ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνλ ηειεζηή θαη αλ ιάβνπκε ππόςε όηη: ζα πξνθύςεη ακέζσο όηη Ĵ,, 0 Ĵ, 0 0, 0, Ĵ 0, 0, 0,, 0,, (9.86) Αθόκε έλαο βεκαηηζκόο ζα καο δώζεη θαη ηελ ηειεπηαία θαηάζηαζε, 0,, 0 (9.87) 7