Ταλάντση & Αρμονική Κίνηση
Ταλάντση & Αρμονική Κίνηση Η μαθηματική εξίσση που περιγράφει την κίνηση ενός αρμονικού ταλανττή απαντάται σε μια πληθώρα φυσικών φαινομένν στην φυσική αλλά και σε άλλες επιστήμες. οι ταλαντώσεις ενός ελατηρίου οι ταλαντώσεις τν φορτίν στα ηλεκτρικά κυκλώματα οι ταλαντώσεις τν ατόμν στον κρυστάλλου χαλαζία σε ένα ρολόι οι δονήσεις τν ηλεκτρονίν στα άτομα οι οποίες παράγουν φτεινά κύματα οι δονήσεις ηχητικών πηγών που παράγουν ηχητικά κύματα η παλινδρομική κίνηση τν εμβόλν στη μηχανή τν αυτοκινήτν κ.α.
Ταλάντση & Αρμονική Κίνηση Όλα αυτά τα φαινόμενα περιγράφονται από μαθηματικές εξισώσεις που ονομάζονται γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές Αρμονικός ταλανττής ο αρμονικός ταλανττής παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον : κάθε περιοδική κίνηση μπορεί να θερηθεί ς συνδυασμός απλών αρμονικών κινήσεν (Θεώρημα Fourrier), με μεγάλο εύρος εφαρμογών σε πολλούς επιστημονικούς τομείς. η σπουδαιότητα του αρμονικού ταλανττή κάθε ταλάντση μικρού πλάτους γύρ από τη θέση ισορροπίας αποτελεί σε καλή προσέγγιση απλή αρμονική κίνηση. στη φύση οι μικρές διαταραχές γύρ από το σημείο ισορροπίας στο οποίο βρίσκονται τα φυσικά συστήματα, έχουν την ιδιότητα να παραμένουν μικρές, έχει ς αποτέλεσμα το σύστημα του αρμονικού ταλανττή να περιγράφει πληθώρα διαφορετικών φυσικών φαινομένν
Περιοδική κίνηση : H επαναλαμβανόμενη κίνηση ενός σώματος κατά την οποία το σώμα επιστρέφει σε μια δεδομένη θέση ισορροπίας μετά από κάποιο καθορισμένο χρονικό διάστημα. Ταλάντση : Η επαναλαμβανόμενη παλινδρομική κίνηση πάν στην ίδια διαδρομή Μια ειδική περίπτση ταλάντσης είναι η απλή αρμονική ταλάντση. Κάθε σύστημα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση ονομάζεται απλός αρμονικός ταλανττής Απλή αρμονική ταλάντση : η δύναμη (F) που ασκείται σε ένα σώμα είναι ανάλογη με το μέτρο της απομάκρυνσής του (x) από τη θέση ισορροπίας του και δρα με τέτοιον τρόπο ώστε τείνει πάντα να το επαναφέρει σε αυτήν (δύναμη επαναφοράς ) F kx
( ϕ + t) y( t) πa sinϕ( t) A sin T η απλή αρμονική ταλάντση μπορεί να θερηθεί ς η προβολή σε άξονα, ενός φανταστικού υλικού σημείου το οποίο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. καθώς το σματίδιο περιστρέφεται, διαγράφοντας επαναληπτικά την κυκλική τροχιά του, η προβολή του (Σ y ) πάν στον κατακόρυφο άξονα y ταλαντώνεται αδιάκοπα ανάμεσα στις ακραίες θέσεις y( t) ( ϕ + t) A sin ( t) A sin ϕ
T t+φ y( t) ( ϕ + t) A sin ( t) A sin ϕ πλάτος της ταλάντσης. Η σταθερά Α που αντιστοιχεί στις ακραίες θέσεις της ταλάντσης και η οποία ισούται με την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς φάση της ταλάντσης H ποσότητα που αντιστοιχεί στη γνία που σχηματίζει το διάνυσμα θέσης του σματιδίου με τον άξονα y σε κάθε χρονική στιγμή ϕ( t) ϕ + t Η γνιακή ταχύτητα της κυκλικής κίνησης του Σ ονομάζεται κυκλική συχνότητα του ταλαντούμενου σημείου Σy. περίοδος O χρόνος που απαιτείται ώστε το ταλαντούμενο σώμα να επανέλθει στην ίδια θέση. Είναι προφανές ότι ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη περιστροφή του σματιδίου Σ στην κυκλική τροχιά του (δηλαδή η περίοδος Τ της κυκλικής κίνησης) είναι ίσος με το χρόνο για μια πλήρη ταλάντση της προβολής Σy μεταξύ τν ακραίν θέσεν της κίνησής του T π
και η προβολή (Σx) του σματιδίου Σ πάν στον άξονα Οx εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση x( t) ( ϕ + t) A cos ( t) A cos ϕ η ομαλή κυκλική κίνηση μπορεί να θερηθεί ς συνδυασμός δύο απλών αρμονικών κινήσεν μία κατά τον άξονα x και μια κατά τον άξονα y οι οποίες διαφέρουν κατά μια φάση ίση με 9 ο.
Ταχύτητα στην αρμονική ταλάντση y( t) ( ϕ + t) A sin ( t) A sin ϕ u dy A cos cos ( φ + t) u ( φ + t) μέγιστη ταχύτητα του σημείου Σy u A
επιτάχυνση στην αρμονική ταλάντση u dy A cos cos ( φ + t) u ( φ + t) a du u sin sin ( φ + t) a ( φ + t) Μέγιστη επιτάχυνση του σματιδίου a u
Ταχύτητα και επιτάχυνση στην αρμονική ταλάντση y( t) A ( ϕ + t) A sin ( t) A sin ϕ a u A u sin( φ + t) sin( φ + t) y o ( φ + t + ) a A sin 8 Στο σημείο ισορροπίας: y α ένα κινητό κατά τη διάρκεια γραμμικής αρμονικής ταλάντσης έχει μέγιστη επιτάχυνση όταν βρίσκεται στα ακραία σημεία απομάκρυνσής του από το σημείο ισορροπίας. η επιτάχυνση και η απομάκρυνση παρουσιάζουν διαφορά φάσης 8 ο. Αυτό σημαίνει ότι η φορά της επιταχύνσες είναι πάντα αντίθετη από τη φορά της απομακρύνσες.
Διαφορική εξίσση της γραμμικής αρμονικής ταλάντσης F Η συνισταμένη δύναμη που πρέπει να ασκηθεί σε σματίδιο μάζας για να εκτελέσει αρμονική ταλάντση a Asin ( φ + t) yˆ y yˆ F ( + t) F sin φ F A η δύναμη μηδενίζεται στο σημείο ισορροπίας (όπς και η επιτάχυνση). Έτσι αν το σώμα βρίσκεται αρχικά ακίνητο στο σημείο Ο θα παραμείνει ακίνητο στην ίδια θέση. η δύναμη παίρνει τη μέγιστη τιμή της στα ακραία σημεία της ταλάντσης, έχει δε πρόσημο αντίθετο της απομάκρυνσης, δηλαδή όταν το σώμα απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας η δύναμη τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας, και για αυτό καλείται δύναμη επαναφοράς F ky k σταθερά επαναφοράς
T π Διαφορική εξίσση της γραμμικής αρμονικής ταλάντσης η περίοδος Τ μιας αρμονικής ταλάντσης T π T π π k k γενική μορφή της διαφορικής εξίσσης κίνησης στη γραμμική αρμονική ταλάντση F ky y F a du d ( dy ) d y ky d y F y d y + y
Ενεργειακές σχέσεις στη γραμμική αρμονική ταλάντση Η ολική μηχανική ενέργειά σματιδίου που ταλαντώνεται (έστ κατά τη διεύθυνση y) οφείλεται στην κινητική του ενέργεια (λόγ της ταχύτητάς του) τη δυναμική του ενέργεια (λόγ της θέσης του και της δύναμης επαναφοράς που ασκείται επάν του). κινητική ενέργεια: E k υ A cos + E k ( φ t) ( sin ( φ + t) ) A A sin ( φ t) ( ) A + δυναμική ενέργεια: ky ka sin t E P Ολική μηχανική ενέργεια: ( ϕ + t) y( t) A sin ( t) A sin ϕ k E E ( +φ) E k E k ( A y ) ( ) A y + ky ka k + P k η κινητική ενέργεια γίνεται μέγιστη στο σημείο y και μηδενίζεται στις ακραίες θέσεις της ταλάντσης
Ενεργειακές σχέσεις στη γραμμική αρμονική ταλάντση Ολική μηχανική ενέργεια: E Ek + EP k ( ) A y + ky ka η ολική μηχανική ενέργεια του είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους της ταλάντσης και διατηρείται σταθερή, σύμφνα με το νόμο διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. στο κέντρο της ταλάντσης (y) η μηχανική ενέργεια του σματιδίου οφείλεται αποκλειστικά στην κινητική του ενέργεια διότι η δυναμική του ενέργεια μηδενίζεται E k k ( A y ) E P ky Ek ka αντίθετα στα ακραία σημεία της ταλάντσης οφείλεται στη δυναμική του ενέργεια, δεδομένου ότι η κινητική του ενέργεια μηδενίζεται E k k A ( y ) Για ya E k
Ταλαντούμενα ελατήρια F kx σταθερά επαναφοράς k ονομάζεται σταθερά Hooke του ελατηρίου, εξαρτάται από τα γεμετρικά χαρακτηριστικά και το υλικό του ελατηρίου έχει σταθερή τιμή για απομακρύνσεις που δεν ξεπερνούν μια οριακή τιμή (εντός της ελαστικής περιοχής του ελατηρίου). d x + kx F kx Η εξίσση κίνησης του συστήματος είναι + x d x k
F t kx Ταλαντούμενα ελατήρια F t F B k ( l x) g στη θέση ισορροπίας x είναι: k l g F kx t
Απλό ή μαθηματικό εκκρεμές η κίνηση είναι προσεγγιστικά απλή αρμονική ταλάντση B k g cosθ ΣF T k B k B t g sinθ B t d s θ g sinθ s L d θ g L B t ενεργεί πάντοτε προς τη θέση ισορροπίας θ o αντίθετη από τη φορά της απομάκρυνσης του σώματος, δηλαδή δρα ς δύναμη επαναφοράς. Αν αποδειχτεί ότι η δύναμη αυτή είναι ανάλογη της απομάκρυνσης του σματίου από τη θέση ισορροπίας, τότε η κίνηση είναι απλή αρμονική ταλάντση. sinθ sinθ θ για μικρές απομακρύνσεις το απλό εκκρεμές εκτελεί κατά προσέγγιση αρμονική ταλάντση: d θ g + θ L περίοδος του απλού εκκρεμούς ανεξάρτητη από τη μάζα του αναρτώμενου σώματος. ( φ) θ θ cos t + ax g L d θ T + θ π π L g
T Mgd I sinθ Mgdθ l av g Φυσικό εκκρεμές Κάθε στερεό (εκτεταμένο) σώμα που είναι αναρτημένο με τέτοιον τρόπο ώστε να μπορεί να περιστρέφεται γύρ από άξονα ο οποίος δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας του, ονομάζεται φυσικό εκκρεμές εξίσση της περιστροφικής κίνησης του σώματος ανηγμένο μήκος του φυσικού εκκρεμούς: T I α d θ I Για μικρές γνίες εκτροπής θ: T Mgd sinθ Mgdθ ( φ) θ θ cos t + ax l av I g d θ Mgd + θ I T π π T π Δηλαδή αν θερήσουμε όλη τη μάζα του φυσικού εκκρεμούς συγκεντρμένη σε ένα υλικό σημείο το οποίο απέχει από το σημείο περιστροφής Ο κατά το ανηγμένο μήκος προκύπτει ένα απλό εκκρεμές με την ίδια περίοδο l d av I gd
d θθ k + θθ sin( ( t + φ ) I Στροφικό εκκρεμές Το στροφικό εκκρεμές ή στροφικός ταλανττής είναι ένα σύστημα ενός στερεού σώματος κρεμασμένου στο ένα άκρο σύρματος στερεμένου σε σταθερό στήριγμα. Αν το σώμα στραφεί κατά γνία θ, το συστραμμένο σύρμα εξασκεί στο σώμα ροπή επαναφοράς η οποία για μικρές γνιακές απομακρύνσεις θ είναι ανάλογη της γνιακής απομάκρυνσης τ Dθ Η σταθερά D εξαρτάται από τις ιδιότητες του σύρματος και ονομάζεται σταθερά στρέψης. τ I d θ Προσοχή η κυκλική συχνότητα δεν θα πρέπει να συγχέεται με την γνιακή ταχύτητα η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο: περίοδος της ταλάντσης T π I D d θ k + θ I ( φ) θ θ cos t + ax dθ θ sin t ( + φ)
Σώμα εξαρτάται από ελατήριο προκαλώντας την επιμήκυνσή του. Στη συνέχεια εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερο οπότε εκτελεί αρμονική ταλάντση με περίοδο Τs. Ποιά η αρχική επιμήκυνση του ελατητρίου k l g l g k k l g T π π Τ l g 4π Τ l T 4π g
Ένα σώμα τοποθετείται πάν σε έμβολο που κινείται κατακόρυφα εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντση με περίοδο s. Σε ποιό πλάτος της κίνησης θα αποχριστεί το σώμα από το έμβολο ; Ν Το σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντση N g y Β Για να αποχριστεί το σώμα από το έμβολο Ν g gt g y y y. 5 4π
A φ T + g
Αν το σώμα μετατοπιστεί από τη θέση ισορροπίας του κατά χ τότε η δύναμη επαναφοράς από κάθε ελατήριο είναι: Η συνολική δύναμη επαναφοράς είναι: Το σύστημα τν δύο ελατηρίν μπορεί να θερηθεί ισοδύναμο με ελατήριο σταθεράς: Άρα το σώμα εκτελεί αρμονική κίνηση με περίοδο:
Κεντρομόλος: Δύναμη επαναφοράς: Για μικρές μετατοπίσεις η δύναμη επαναφοράς είναι ανάλογη της μετατόπισης s, άρα το σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντση Περίοδος της κίνησης:
Η συνολική μετατόπιση του σώματος είναι; Αν στο σώμα ασκηθεί δύναμη F τότε καθε ελατήριο μετατοπίζεται από τη θέση ισορροπίας του κατά:
Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μη εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Στα προηγούμενα παραβλέψαμε την τριβή που υπάρχει στα περισσότερα ταλαντούμενα συστήματα συντελώντας στη βαθμιαία ελάττση του πλάτους τους και στο τελικό μηδενισμό του. Μια περίπτση ταλάντσης με απόσβεση που παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι εκείνη κατά την οποία η δύναμη που αντιδρά στην κίνηση έχει μέτρο ανάλογο προς την ταχύτητα του ταλαντούμενου σώματος και φορά αντίθετη της φοράς της ταχύτητας: είναι μια σταθερά : συντελεστής απόσβεσης F Ο συντελεστής απόσβεσης είναι ένας θετικός σταθερός αριθμός που εξαρτάται από την πυκνότητα και το ιξώδες του υγρού, από το μέγεθος και το σχήμα της βυθισμένης μάζας καθώς και από την απόσταση από τα τοιχώματα του δοχείου u F a ky u du σταδιακή μείση του πλάτους ταλάντσης η αρμονική ταλάντση είναι «φθίνουσα».
y C e ρ t Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μη εξαναγκασμένες ταλαντώσεις d y dy + + ky σταδιακή μείση του πλάτους ταλάντσης, οπότε η αρμονική ταλάντση είναι «φθίνουσα», άρα υποθέτουμε λύση της μορφής: t y Ae cost k 4 4 κυκλική συχνότητα ταλάντσης απουσία δύναμης απόσβεσης (φυσική συxνότητα ή ιδιο-συχνότητα του ταλανττή. k Ανάλογα με την τιμή που έχει η σταθερά αποσβέσες διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: AN 4 > Φθίνουσα εκθετική (α)
y C e ρ t Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μη εξαναγκασμένες ταλαντώσεις d y dy + + ky t y Ae cost k 4 4 AN 4 k το σύστημα προσεγγίζει εκθετικά τη θέση ισορροπίας χρίς να την ξεπερνά και χρίς να ταλαντώνεται. Η επιστροφή του σώματος στη θέση ισορροπίας του είναι η γρηγορότερη δυνατή ()
y C e ρ t Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση Μη εξαναγκασμένες ταλαντώσεις d y dy + + ky t y Ae cost k 4 4 4 AN < Φθίνουσα ταλάντση Αν η αρχική ταχύτητα του συστήματος ειναι μηδενική τότε : k t y Ae cost
γ t e περίπτση μικρής απόσβεσης t y Ae cost k 4 το πλάτος της ταλάντσης ελαττώνεται σύμφνα με τον εκθετικό παράγοντα e t Το σώμα ξεπερνά την αρχική θέση ισορροπίας και πάλλεται με συχνότητα: f π π 4 όσο μεγαλύτερη είναι η απόσβεση τόσο ταχύτερα ελαττώνεται το πλάτος της ταλάντσης. η συχνότητα της ταλάντσης f π k 4 είναι μικρότερη της ιδιοσυχνότητας f π (άρα η περίοδος είναι μεγαλύτερη, δηλαδή όπς είναι αναμενόμενο η τριβή επιβραδύνει την κίνηση.) π k Η συχνότητα της ταλάντσης εξαρτάται από το μέγεθος της απόσβεσης: όσο μεγαλύτερη είναι η απόσβεση τόσο μικρότερη είναι η συχνότητα της ταλάντσης και μηδενίζεται όταν η τριβή πάρει τέτοια τιμή ώστε η υπόρριζη ποσότητα να μηδενιστεί
Απλό εκκρεμές μήκους l εκτελεί φθίνουσα ταλάντση. Περίοδος της ταλάντσης? 4 π π f γ γ l g k Ενέργεια? A ka E Αλλά το πλάτος μειώνεται: t Ae t γ cos y 4 4 e A e A ka E γ Γενικά
Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση εξαναγκασμένες ταλαντώσεις στη περίπτση που θέλουμε να διατηρήσουμε μια ταλάντση με σταθερό πλάτος, όταν υπάρχει απόσβεση, κάποιος μηχανισμός πρέπει να προβλέπεται, για να παρέχει σε κάθε κύκλο, ποσό ενέργειας, ίσο προς αυτό που χάθηκε εξ αιτίας της απόσβεσης. Η απόκριση ενός ταλανττή σε μια εξτερική διέγερση εξαρτάται εκτός τν άλλν παραγόντν από τη σχέση ανάμεσα στη συχνότητα της διέγερσης και τη φυσική συχνότητα του ταλανττή. dy ky + F k γ d y d y + y + γ dy F η εξτερική δύναμη που αναγκάζει το σύστημα να ταλαντώνεται είναι περιοδική της μορφής: F F cos t ( + δ ) πf είναι η κυκλική συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντσης.
Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση d y + y + γ dy F F εξαναγκασμένες ταλαντώσεις F cos t ( + δ ) y af cos t ( + δ + θ ) a ( ) + γ tanθ ( ) γ Η μετατόπιση y ταλαντώνεται με συχνότητα ίση με τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης και παρουσιάζει διαφορά φάσης θ με την εξτερική δύναμη το πλάτος της ταλάντσης παραμένει σταθερό με το χρόνο και ισούται με το πλάτος της εξτερικής δύναμης F πολλαπλασιασμένο με έναν παράγοντα α
Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση y af cos t ( + δ + θ ) εξαναγκασμένες ταλαντώσεις a ( ) + γ για μικρές τιμές του συντελεστή. γ (δηλαδή όταν τα φαινόμενα τριβής είναι ασθενή) ο πιο σημαντικός όρος που συνεισφέρει στο πλάτος της ταλάντσης είναι ο όταν η συχνότητα της εξτερικής δύναμης τείνει στην ιδιοσυχνότητα του συστήματος το πλάτος της ταλάντσης γίνεται πολύ μεγάλο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ Δηλαδή το ταλαντούμενο σύστημα έχει πολύ μεγάλη απόκριση αρκεί να επιλέξουμε ς συχνότητα διέγερσης την ιδιοσυχνότητα του συστήματος
Μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση εξαναγκασμένες ταλαντώσεις a ( ) + γ καθώς ο συντελεστής απόσβεσης μειώνεται η κορυφή της καμπύλης αυξάνεται και η καμπύλη συντονισμού γίνεται οξύτερη Στην ακραία περίπτση στην οποία δεν θα υπήρχαν φαινόμενα τριβής το πλάτος θα έτεινε στο άπειρο