Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα) οότε έχουμε θετικά τόξα είτε κατά την αρνητική φορά (δεξιόστροφα) οότε έχουμε αρνητικά τόξα. Σχήμα Ο τριγωνομετρικός κύκλος Τα τόξα μετρώνται σε ακτίνια. Ο κύκλος έχει ακτίνια και η σχέση τους με τις μοίρες ( ο ) δίνεται στον αρακάτω ίνακα. Πίνακας Σχέση Ακτινίων Μοιρών ακτίνιο 80 ο / ακτίνια 60 ο ο /80 ακτίνια Σε κάθε σημείο του τριγωνομετρικού κύκλου αντιστοιχούν άειρα τόξα. Για αράδειγμα στο σημείο M αντιστοιχούν όλα τα τόξα της μορφής κω όου κ. Στο σημείο Α αντιστοιχούν τα τόξα κ, στο Β τα τόξα κ/, στο Α τα τόξα (κ) και στο Β τα τόξα κ-/. Σε ένα σημείο του τριγωνομετρικού κύκλου Μ(a,b) και για την γωνία ω ου σχηματίζεται με τον άξονα xx ορίζουμε τους αρακάτω βασικούς τριγωνομετρικούς αριθμούς. Πίνακας Οι τριγωνομετρικοί Αριθμοί Ημίτονο sin( ω ) ημ( ω ) Συνημίτονο cos( ω ) σ υν ( ω ) Εφατομένη tan( ω ) εφ( ω ) Συνεφατομένη cot( ω ) σφ( ω ) Γεωμετρικά η εφατομένη αντιστοιχεί στο τμήμα ΑΜ και είναι φανερό ότι δεν ορίζεται για τα τόξα κ/ και κ-/ και η συνεφατομένη στο τμήμα ΒΜ και είναι φανερό ότι δεν ορίζεται για τα τόξα κ και (κ). b c a c b a a b
Σχήμα Η εφατομένη και η συνεφατομένη Ο τριγωνομετρικός ίνακας χωρίζεται σε τέσσερα τεταρτημόρια στα οοία τα ρόσημα του ημιτόνου και συνημιτόνου των τόξων ου αντιστοιχούν σε αυτά δίνονται στο ακόλουθο σχήμα. Σχήμα Το ρόσημα στα τεταρτημόρια Στον ίνακα ου ακολουθεί αρουσιάζονται οι τιμές των τριγωνομετρικών αριθμών των βασικών τόξων (γωνιών) του ρώτου τεταρτημόριου. Πίνακας Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών τόξων ου τεταρτημόριου. Γωνία ω ακτίνια Γωνία ω μοίρες sin( ω ) cos( ω ) 0 0 0 0 6 4 45 60 90 0
Χρησιμοοιώντας τις ακόλουθες σχέσεις αναγωγής, μορούμε να σχετίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς τόξων με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς τόξων στο ο τεταρτημόριο. Πίνακας 4 Σχέσεις αναγωγής στο ο τεταρτημόριο ω ± ω ± ω ± ω κ ± ω sin(...) sin( ω) cos( ω ) sin( ω) cos( ω) ± sin( ω) cos(...) cos( ω ) sin( ω) cos( ω) ± sin( ω) cos( ω ) tan(...) tan( ω) cot( ω) ± tan( ω) cot( ω) ± tan( ω) cot(...) cot( ω) tan( ω) ± cot( ω) tan( ω) ± cot( ω) Παίρνοντας τις τετμημένες και τις τεταγμένες στα αρακάτω σχήματα είναι εύκολο να οδηγηθούμε στις αραάνω σχέσεις αναγωγής στο ο τεταρτημόριο. Τέλος, είναι φανερό ότι ισχύουν οι αρακάτω βασικοί τριγωνομετρικοί τύοι. Πίνακας 5 Βασικοί Τριγωνομετρικοί τύοι sin( ω) tan( ω) cot( ω) sin ( ω) cos ( ω) cos( ω) tan( ω) sin( ω) sin( ω) cos( ω) cos( ω)
Στη συνέχεια αραθέτουμε σε ομάδες τριγωνομετρικές ταυτότητες ου μορούν να αοδειχθούν και έτσι γνωρίζουμε ότι ισχύουν. Η ισχύς τους θεωρείται δεδομένη και δεν ααιτείται η αόδειξή τους.. Τριγωνομετρικές τιμές αθροισμάτων και διαφορών γωνιών sin( ω ± φ) sin( ω)cos( φ) ± cos( ω)sin( φ) cos( ω ± φ) cos( ω)cos( φ) sin( ω)sin( φ) tan( ω) ± tan( φ) cot( ω)cot( φ) tan( ω ± φ) cot( ω ± φ) tan( ω) tan( φ) cot( ω) ± cot( φ) 4. Τύοι μετασχηματισμών αθροισμάτων ή διαφορών σε γινόμενα και γινομένων σε αθροίσματα ή διαφορές. ω φ ω φ sin( ω ) sin( φ) sin cos ω φ ω φ sin( ω ) sin( φ) sin cos ω φ ω φ cos( ω ) cos( φ) cos cos ω φ φ ω cos( ω ) cos( φ) sin sin sin( ω )sin( φ) ( cos( ω φ ) cos( ω φ )) cos( ω )cos( φ) ( cos( ω φ ) cos( ω φ )) sin( ω )cos( φ) ( sin( ω φ ) sin( ω φ )) 5. Τριγωνομετρικοί αριθμοί διλάσιων γωνιών sin( ω ) sin( ω)cos( ω) cos(ω ) cos ( ω) sin ( ω) sin ( ω) cos ( ω) tan( ω) tan( ω ) tan ( ω) ω tan( ) sin( ω) ω tan ( ) ω tan ( ) cos( ω) ω tan ( ) 4
6. Τριγωνομετρικοί τύοι αοτετραγωνισμού cos( ω) sin ( ω) cos( ω) cos ( ω) cos( ω) tan ( ω) cos( ω) cos( ω) cot ( ω) cos( ω) 7. Τριγωνομετρικές εξισώσεις Στις τριγωνομετρικές εξισώσεις καλούμαστε να ροσδιορίσουμε τα τόξα x ου ικανοοιούν την εξίσωση. Στον ίνακα ου ακολουθεί βλέουμε τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις. Εξίσωση Λύση sin( x) sin( φ) x κ φ ή x (κ ) φ cos( x) cos( φ) x κ ± φ tan( x) tan( φ) x κ φ cot( x) cot( φ) x κ φ Για την είλυση ιο ολύλοκων εξισώσεων εργαζόμαστε ώστε, με τη χρήση τριγωνομετρικών ταυτοτήτων και τύων, να μετατρέψουμε την εξίσωση σε μία εξίσωση (ή ένα σύστημα εξισώσεων) της αραάνω μορφής. 7. Νόμοι σε τυχαίο τρίγωνο Έστω ότι έχουμε τα ακόλουθο τυχαίο τρίγωνο. Τότε ισχύουν οι ακόλουθοι νόμοι ου συνδέουν τα μήκη των λευρών του τριγώνου με τα τόξα των γωνιών του. Νόμος ημιτόνου Νόμος συνημιτόνου a b c a b c bccos( A) sin( A) sin( B) sin( C) 5
7. Βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις Στα αρακάτω σχήματα βλέουμε τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Είναι φανερό ότι είναι εριοδικές συναρτήσεις με ερίοδο η ημίτονο και η συνημίτονο και με ερίοδο η εφατομένη και η συνεφατομένη. Πεδίο ορισμού της ρώτης και της δεύτερης είναι όλο το ενώ εδίο τιμών το [-,]. f ( x) sin( x) f ( x) cos( x) f ( x) tan( x) 6
f ( x) cot( x) Η εφατομένη και η συνεφατομένη έχουν εδίο τιμών όλο το ενώ τα εδία ορισμού τους βρίσκονται εάν αό το αφαιρέσουμε τα σημεία στα οοία δεν ορίζονται (δείτε αραάνω). Στο αρακάτω σχήμα αρατηρούμε ότι για την συνάρτηση sin( ax) όσο το α μεγαλώνει τόσο μικραίνει η ερίοδος της συνάρτησης σε /α. f ( x) sin( x), g( x) sin( x), h( x) sin( x ) sin( x) 0.5 sin( x) 4 5 6-0.5 sin( x) Είσης συνάρτηση [α,-α]. - asin( x) όσο το α (θετικό) μεγαλώνει τόσο το εδίο τιμών μεταβάλλεται σε sin( x) sin( x) 4 5 6 - - Η γραφική αράσταση της συνάρτησης sin( x θ ) μετατοίζει τη γραφική αράσταση της sin( x) κατά θ. 7
0.5 sin( x ) 4 5 6 sin( x) -0.5 - Ανάλογη είναι και η συμεριφορά της συνάρτησης συνημίτονο. Ενδεικτικές ασκήσεις. 5. Υολογίστε τα sin( ), cos( ), cos( ). Παρατηρώ ότι και, 5 4 6 4 4 6 Οότε 6 cos( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) 4 6 4 6 4 6 4 6 sin( ) sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) 4 4 6 4 4 5 6 cos( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) 4 6 4 6 4 6 4 Το τελευταίο αοδεικνύεται είσης χρησιμοοιώντας την σχέση 5 Οότε 5 cos( ) cos( ) sin( ).. Υολογίστε το sin(x y) εάν είναι γνωστό ότι sin( x) και 5 το x ανήκει στο ο τεταρτημόριο και το y στο ο. Υολογίζω τα x 9 6 4 x cos( ) sin ( ) 5 5 5 5 cos(y) και ότι y 5 44 y sin( ) cos ( ) 69 69 Των οοίων το ρόσημο καθορίζεται αό το τεταρτημόριο στο οοίο ανήκουν. Οότε 8
5 4 6 sin( x y) sin( x)cos( y) cos( x)sin( y) 5 5 65. Να αοδείξετε ότι αν xy,, ισχύει: sin( x y)sin( x y) sin ( x) sin ( y ) ος τρόος: sin( x y)sin( x y) (sin( x)cos( y) cos( x)sin( y))(sin( x)cos( y) cos( x)sin( y)) (sin ( x)cos ( y) cos ( x)sin ( y)) sin ( x)( sin ( y)) ( sin ( x))sin ( y) sin ( x) sin ( x)sin ( y) sin ( y) sin ( y)sin ( x) sin ( x) sin ( y) Εναλλακτικά χρησιμοοιώντας τον τύο sin( ω )sin( φ) ( cos( ω φ ) cos( ω φ )) sin( x y)sin( x y) (cos(( x y) ( x y)) cos(( x y) ( x y)) (cos( y) cos( x)) ( sin ( y) sin ( x)) sin ( x) sin ( y) 4. Να λυθεί η εξίσωση cos( x) sin( x). Έχουμε cos( x) sin( x) cos( x) sin( x) cos( x) sin( x) cos( x) sin( x) sin( ) cos( ) 6 x sin( x) cos( x)cos( ) sin( x)sin( ) cos( ) cos( ) 6 6 6 6 x k x k 6 6 cos( x ) cos( ) ή ( k ). 6 6 x k x k 6 6 5. Να αοδείξετε ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒC ισχύει: tan( A) tan( B) tan( C) tan( A) tan( B) tan( C) Αφού το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, ορίζονται οι tan( A), tan( B), tan( C), γιατί είναι ABC,, και A B C, οότε έχουμε: 9
tan( A) tan( B) tan( A B) tan( C) tan( C) tan( A)tan( B) tan( A) tan( B) ( tan( A) tan( B)) tan( C) tan( A) tan( B) tan( C) tan( A) tan( B) tan( C) tan( A) tan( B) tan( C) tan( A) tan( B) tan( C) 6. Να αοδειχθεί ότι για κάθε x ισχύει: sin( x) sin( x) 4sin ( x) sin( x) sin( x x) sin( x)cos( x) sin( x)cos( x) sin( x)cos( x)cos( x) sin( x)( sin ( x)) sin( x)( sin ( x)) sin( x) sin ( x) sin( x) sin ( x) sin( x) sin ( x) sin( x) 4sin ( x) 7. Να αοδειχθεί ότι για κάθε x ισχύει: cos( x) cos( x x) cos( x) cos( x) sin( x) sin( x) (cos ( x) )cos( x) sin( x)cos( x)sin( x) cos ( x) cos( x) cos( x)( cos ( x)) cos ( x) cos( x) cos( x) cos ( x) 4cos ( x) cos( x) cos( x) 4cos ( x) cos( x) 4 8. Να αοδειχθεί ότι για κάθε x ισχύει: 8sin ( x) 4sin( x) cos(4 x) 4 4 8sin ( x) (4sin ( x)) (sin ( x)) ( cos( x)) ( cos( x) cos ( x)) 4cos( x) cos ( x) 4cos( x) cos(4 x) 4sin( x) cos(4 x) 9. Να λυθεί στο [0,] η εξίσωση cos( x) sin( x) 0. Παρατηρούμε ότι cos( ) sin( ) 0 sin ( ) sin( ) 0 x x x x sin ( x) sin( x) 0 Οότε εάν θέσουμε y sin( x) η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την y y 0με y [,]. Η δευτεροβάθμια αυτή έχει ρίζες ρ, ρ αό τις οοίες η δεύτερη αορρίτεται. Αό την ρ έχουμε 0
x k 6 sin( x) sin( x) sin( ) ή ( k ). 6 5 x ( k ) x k 6 6 Εειδή x [0, ] έχουμε 0 k 0 k k k 6 6 6 6 Που ικανοοιείται για κ0 οότε Είσης x. 6 5 5 5 7 5 7 0 k 0 k k k 6 6 6 6 Που ικανοοιείται για κ0 οότε 5 x. 6 0. Να αοδειχθεί ότι για κάθε x ισχύει: 4sin( x) cos( x) sin(5 x) cos(4 x) cos(6 x) cos(0 x) 4sin( x)cos( x)sin(5 x) sin( x)cos( x)sin(5 x) sin( x) [ sin(5x x) sin(5x x) ] sin( x)(sin(8 x) sin( x)) sin( x)sin(8 x) sin ( x) cos(8x x) cos(8x x) cos(4 x) cos(4 x) cos(6 x) cos(0 x). Να λυθεί η εξίσωση cos(7 x)cos( x) sin(6 x)sin( x). cos(7 x)cos( x) sin(6 x)sin( x) cos(7 x)cos( x) sin(6 x)sin( x) cos(7x x) cos(7x x) cos(6 x x) cos(6 x x) cos(9 x) cos(5 x) cos(5 x) cos(7 x) cos(9 x) cos(7 x) cos(9 x) cos( 7 x) 9x k 7x x k x k ή ( k ). k 9x k 7x 6x k x 8 6
. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο με γωνίες Α,Β,C ισχύει: A B C sin( A) sin( B) sin( C) 4cos( )cos( )cos( ) A B C A B C Εειδή A B C έχουμε sin( ) cos( ) και A B C cos( ) sin( ). A B A B C C sin( A) sin( B) sin( C) sin( )cos( ) sin( )cos( ) C A B A B C C A B A B cos( )cos( ) cos( )cos( ) cos( )(cos( ) cos( )) A B A B A B A B C cos( )cos( )cos( ) C A B A B C cos( )cos( )cos( ) 4cos( )cos( )cos( ). Να λυθεί η εξίσωση cos( x) cos( x) cos(5 x) cos(7 x) 0. cos( x) cos( x) cos(5 x) cos(7 x) 0 cos( x) cos(7 x) (cos( x) cos(5 x)) 0 7x x 7x x 5x x 5x x cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) 0 cos(4 x)cos( x) cos(4 x)cos( x) 0 cos(4 x)(cos( x) cos( x)) 0 x x x x cos(4 x)(sin( )sin( )) 0 4cos(4 x )sin( x )sin( x ) 0 cos(4 x)sin( x)sin( x) 0 cos(4 x) 0 ή sin( x) 0 ή sin( x) 0 Αό την η έχουμε: 4x k x k 8 cos(4 x) cos( ) ή ( k ). x k x k 8 sin( x) sin(0) x k ± 0 x k ( k ). sin( x) sin(0) x k ± 0 x k ( k ). 4. Να λυθεί το σύστημα Η δεύτερη εξίσωση γίνεται x y. cos( x) cos( y)
y x x y y x cos( x) cos( y) sin( )sin( ) sin( )sin( ) y x y x y x x y sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) x y sin( ) sin( ) x y k x y 4k ή ( k ) x y 4 k x y 4k Οότε το σύστημα είναι ισοδύναμο με τα δύο ακόλουθα x y x y y x 5 x y 4k x 4k x 4k 5 y k y k 6 6 k 5 5 x k x k 6 6 ή x y x y y x 4 4 7 x y 4k x 4k x 4k 7 y k y k 6 6 k 7 7 x k x k 6 6 5. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο με γωνίες Α,Β,C και λευρές a,b,c ισχύει: a b A B C tan( ) tan( ) a b Αό το νόμο των ημιτόνων a b a sin( A) sin( A) sin( B) b sin( B) a sin( A) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των αναλογιών αό την έχουμε b sin( B) A B A B sin cos a b sin( A) sin( B) A B A B A B C tan( )cot( ) tan( ) tan( ) a b sin( A) sin( B) A B A B sin cos
A B C A B C Εειδή A B C έχουμε cot( ) tan( ). 6. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο με γωνίες Α,Β,C και λευρές a,b,c ισχύει: A ττ ( a) cos( ) bc Όου τ είναι η ημιερίμετρος του τριγώνου. b c a Αό το νόμο των συνημιτόνων έχουμε cos( A). bc Αό τη γνωστή ταυτότητα A A A b c a cos( A) cos ( ) cos ( ) cos( A) cos ( ) bc A b c a bc A ( b c) a A ( b c a)( a b c) cos ( ) cos ( ) cos ( ) bc bc bc Αλλά a b c τ b c a τ a b c a ( τ a) A τ( τ a) A τ( τ a) cos ( ) cos( ) 4bc bc 4