Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Τόμος Β Δημήτρης Τσουμπελής ΠΑΤΡΑ 200

Πρόλογος Τούτο το (δεύτερο) μέρος του βοηθήματος Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις στοχεύει στο να οδηγήσει τον αναγνώστη στο... ανοιχτό πέλαγος. Εκεί όπου ο χώρος-υπόβαθρο είναι πολυδιάστατος, οι συνοριακές συνθήκες (μπορεί να) δίνονται σε υπερεπιφάνειες, οι αρχικές σε μη συμπαγείς περιοχές και, τέλος, οι συναρτήσεις-λύσεις δεν είναι υποχρεωτικά αυστηρές ή κλασικές. Βέβαια, τα προβλήματα συνοριακών και αρχικών τιμών που αναλύονται κάπως συστηματικά στις σελίδες αυτού του τόμου είναι οι κλασικές εξισώσεις των Laplace- Poisson, της διάχυσης ή της θερμότητας και η κυματική ή εξίσωση του d Alembert, που είναι οικείες στον αναγνώστη από τον πρώτο τόμο. Και τα μόνα εννοιολογικά σύμπλοκα που θα μπορούσε κανείς να τα χαρακτηρίσει σαν όντως καινούργια είναι οι συναρτήσεις Green, οι γενικευμένες συναρτήσεις ή κατανομές και οι μετασχηματισμοί Fourier. Συνεπώς, και στον δεύτερο τόμο περιοριζόμαστε σε προβλήματα που έχουν ως βασικό χαρακτηριστικό την γραμμικότητα. Ετσι, η επέκταση της συζήτησής μας σε μη γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης και μη γραμμικές εξισώσεις ελλειπτικού τύπου πρέπει να μετατεθεί στις σελίδες του τρίτου τόμου αυτού του συγγράμματος. Ωστόσο, κάποια προετοιμασία για το πέρασμα στο χώρο της μη γραμμικότητας γίνεται ήδη στις σελίδες που ακολουθούν. Χωρίς να το αναφέρουμε ρητά, προθερμαίνουμε τον φίλο αναγνώστη (και τη φίλη αναγνώστρια, βέβαια δυστυχώς η ελληνική γλώσσα, και όχι μόνο, επιμένει στις διακρίσεις και δυσκολεύει την συστηματική αναφορά της) για να μπορέσει να ανταπεξέλθει ευκολότερα στις δυσκολίες των μη γραμμικών εξισώσεων, αφιερώνοντας πολλές από τις σελίδες αυτού του τόμου στις μιγαδικές συναρτήσεις. Ειδικότερα, τα ολοκληρώματα τύπου Cauchy, οι σχέσεις Plemelj-Sokhotski και άλλες έννοιες και μέθοδοι της μιγαδικής ανάλυσης που παρουσιάζουμε στο δεύτερο κεφάλαιο και φαίνονται ως πλεονασμός από την άποψη των αναγκών αυτού του τόμου είναι απαραίτητες στη διατύπωση και λύση των προβλημάτων (ντι μπαρ) και Riemann-Hilbert. Tα τελευταία αποτελούν βασικά εργαλεία της σύγχρονης ανάλυσης των μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Για την αρχική παραγωγή αυτού του τόμου, στηρίχτηκα στη βοήθεια των τότε συνεργατών μου και σήμερα διδακτόρων Παύλου Ξενιτίδη και Τάσου Τόγκα. Η τωρινή του μορφή οφείλει πολλά στον συνεργάτη μου και υποψήφιο διδάκτορα Σωτήρη Ρίζο- Κωνσταντίνου. Τους ευχαριστώ θερμά κι από τη θέση αυτή. Πάτρα, Σεπτέμβρης 200 Δημήτρης Γ&Σ Τσουμπελής

Περιεχόμενα Κεφάλαιο VII. Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο.. 2. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο χώρο 7 3. Kλίση, απόκλιση, στροβιλισμός.24 4. To στατικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο.32 5. Το χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο 4 n 6. Οι εξισώσεις Laplace και Poisson στον..47 7. Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace.54 8. Oι ταυτότητες Green και οι συνέπειές τους 57 9. To θεώρημα της ολοκληρωτικής αναπαράστασης αρμονικών συναρτήσεων..6 0. Συναρτήσεις Green 67. Η μέθοδος των ειδώλων 70 2. O τύπος του Poisson.78 3. Συνέπειες του τύπου Poisson.88 Κεφάλαιο VIII..93 O φανταστικός κόσμος των Laplace, Cauchy και Riemann 93. Mιγαδικές Συναρτήσεις.. 93 2. Δυναμοσειρές Αναλυτικές Συναρτήσεις 03 3. Oλομορφικές Συναρτήσεις..09 4. Toμές και κλαδικά σημεία 20 5. Cauchy oλογία.... 32 6. Oλομορφικές Συναρτήσεις και η εξίσωση Laplace 54 7. Σύμμορφοι μετασχηματισμοί και λύσεις ΠΣΤ 68 8. Ανώμαλα σημεία και ολοκληρωτικά υπόλοιπα..88 Κεφάλαιο IX. 25 Μετασχηματισμοί Fourier...25. Από τις σειρές στους μετασχηματισμούς Fourier 25 2. O ευθύς και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier 28 3. Iδιότητες των μετασχηματισμών Fourier..229 4. Yπολογισμός του μετασχηματισμού Fourier μέσω επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων στο μιγαδικό επίπεδο..240 5. H έννοια της συνέλιξης δύο συναρτήσεων..252

6. Μετασχηματισμοί Fourier ημιτόνου συνημιτόνου 257 7. Μετασχηματισμοί Fourier πολλών μεταβλητών 260 8. Eπίλυση του ΠΑΤ για την εξίσωση της διάχυσης στην πραγματική ευθεία 263 9. To ΠΑΤ για την κυματική εξίσωση 274 0. ΠΑΣΤ για την εξίσωση της διάχυσης.279. Πολυδιάστατα προβλήματα αρχικών τιμών 287 Κεφάλαιο X..29 Μετασχηματισμός Laplace...29. Άλλοι ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί 29 2. Ο μετασχηματισμός Laplace 294 3. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace.30 4. Eπίλυση του ΠΑΤ για την εξίσωση της διάχυσης 309 5. Eπίλυση του ΠΑΣΤ για την εξίσωση της διάχυσης.35 Κεφάλαιο XI..39 Γενικευμένες Συναρτήσεις...39. To όνειρο του Dirac.39 2. Γενικευμένες Συναρτήσεις (κατανομές) στον 327 n 3. Γενικευμένες συναρτήσεις (κατανομές) στον 343 4. Παράγωγοι κατανομών.350 5. Μετασχηματισμοί και τανυστικό γινόμενο κατανομών.359 6. Aκολουθίες και σειρές κατανομών 37 7. Ήπιες κατανομές 384 8. Μετασχηματισμοί Fourier ήπιων κατανομών 392 9. Μετασχηματισμός Fourier και ακολουθίες ήπιων κατανομών 399 Κεφάλαιο XI..405 Θεμελιακές λύσεις και συναρτήσεις Green Eξισώσεων Εξέλιξης.. 405. Η πενιά του Τσιτσάνη 405 2. Διαφορικές εξισώσεις κατανομών 409 3. Συναρτήσεις Green για συμπαγείς περιοχές 43 4. Συναρτήσεις Green για μη φραγμένες περιοχές.424 5. Θεμελιακές λύσεις εξισώσεων εξέλιξης...43 6. Το ΠΑΤ για την κυματική εξίσωση στον 3...454

Παράρτημα..460 Σύνοψη διανυσματικής ανάλυσης...460 3. Grad, div, curl σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες του E 460 2. Γενικοί μετασχηματισμοί συντεταγμένων..465 3. Συντελεστές κλίμακας και μετρική 470 4. Γενικός ορισμός των τελεστών grad, div, curl και Δ..472 Αναφορές..48

VII Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace Στο Εδάφιο 6 του Κεφάλαιου V (Η μέθοδος του χωρισμού των μεταβλητών) ασχοληθήκαμε με το πρόβλημα συνοριακών τιμών της εξίσωσης Laplace στο επίπεδο και δώσαμε, ορισμένες φορές χωρίς απόδειξη, κάποια γενικά χαρακτηριστικά των αντίστοιχων λύσεων. Επιπλέον, στο Εδάφιο 2 του Κεφάλαιου VΙ (Πολυδιάστατα προβλήματα αρχικών -συνοριακών τιμών) κατασκευάσαμε λύσεις ανάλογων προβλημάτων συνοριακών τιμών για την εξίσωση Laplace στον Ευκλείδειο τρισδιάστατο χώρο. Ο στόχος του παρόντος κεφάλαιου είναι διπλός. Από τη μια, θέλουμε να αναλύσουμε τα προηγούμενα αποτελέσματα με ενιαίο τρόπο, έτσι ώστε να γενικευτούν και να ισχύουν ανεξάρτητα από τη διάσταση του χώρου. Από την άλλη, σκοπεύουμε να εισαγάγουμε ορισμένες καινούργιες έννοιες, όπως αυτές της θεμελιακής λύσης και της συνάρτησης Green, οι οποίες δεσπόζουν σε όλες τις γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντε- λεστές και όχι μόνο στις ελλειπτικές, στις οποίες, βέβαια, η εξίσωση (του) Laplace διατηρεί εξέχουσα θέση.. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο Οπως σημειώσαμε από την πρώτη στιγμή που αναφερθήκαμε στην εξίσωση (του) Laplace, αυτή συνδέεται άρρηκτα με τις ιδιότητες των διανυσματικών πεδίων, τα οποία συναντάμε πολύ συχνά στις εφαρμογές της. Γι αυτό, θα ξεκινήσουμε τη συστηματική μελέτη της εξίσωσης Laplace, υπενθυμίζοντας κάποια βασικά στοιχεία της διανυσματικής ανάλυσης. Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι θέλουμε να μελετήσουμε τη ροή ενός λεπτού στρώματος κάποιου ρευστού, το οποίο κινείται πάνω σε μια επίπεδη πλάκα. Αυτό σημαίνει ότι, από φυσική άποψη, το αντικείμενο της μελέτης μας καταλαμβάνει ένα τμήμα αυτού που ονομάζουμε Ευκλείδειο επίπεδο. Για λόγους που θα φανούν καθαρά σε λίγο, το Ευκλείδειο επίπεδο θα το συμβολίζουμε, προσωρινά τουλάχιστον, με 2. Τα βασικά στοιχεία του 2 είναι οι ευθείες, τα σημεία, η απόσταση δύο σημείων και ότι άλλο έχουμε μάθει από το γυμνάσιο. Από την άλλη, με 2 εννοούμε πάντα το σύνολο των δια(τε)ταγμένων ζευγαριών πραγματικών αριθμών. Ωστόσο, στα προηγούμενα κεφάλαια, χρησιμοποιήσαμε επανειλημμένα

2 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace τη φράση "το Ευκλείδειο επίπεδο 2 ". Αυτό υπονοεί ότι, με κάποιο τρόπο, είχαμε ταυτίσει το σύνολο 2 με το γεωμετρικό αντικείμενο 2. Αρα, είναι καιρός να περιγράψουμε ρητά τη διαδικασία που οδηγεί σε μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα σ αυτά τα δύο μαθηματικά αντικείμενα. Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες του 2, τις x και y, οι οποίες τέμνονται στο σημείο Ο. Αυτές τις αυθείες θα τις λέμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων με αρχή το O. Mε τη γεωμετρική κατασκευή που περιγράψαμε στο Εδάφιο I-4, το τυχαίο σημείο p του 2 αντιστοιχίζεται αυτόματα σε δύο πραγματικούς αριθμούς, τους xhpl και yhpl. To ζευγάρι HxHpL, yhpll καθορίζεται μονοσήμαντα από το σημείο p και αντίστροφα. Οι αριθμοί xhpl και yhpl αναφέρονται από κει και πέρα ως Καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου p. Το γεγονός ότι η αντιστοίχιση των στοιχείων του 2 μ εκείνα του 2 προϋποθέτει την επιλογή ενός συγκεκριμένου ζευγαριού τεμνόμενων ευθειών κάνει αμέσως φανερή την αλήθεια της ακόλουθης πρότασης: Υπάρχουν άπειρες αμφιμονοσήμαντες αντιστοιχίες των συνόλων 2 και 2. Συνακόλουθα, υπάρχουν άπειρα συστήματα Καρτεσιανών συντεταγμένων - όσα είναι και τα ζευγάρια ορθογώνιων ευθειών του 2. Από τον ορισμό τους, οι Καρτεσιανές συντεταγμένες δύο τυχαίων σημείων του Ευκλείδειου επίπεδου συνδέονται με μία σχέση, η οποία αποτελεί το θεμελιακό χαρακτηριστικό των συντεταγμένων αυτού του είδους. Πιο συγεκριμένα, αν το ζευγάρι Hx, y L αποτελεί τις συντεταγμένες ενός σημείου p του 2 και το Hx 2, y 2 L εκείνες του σημείου p 2, τότε η απόσταση, dhp, p 2 L, των παραπάνω σημείων είναι ίση με dhp, p 2 L = Hx 2 - x L 2 + Hy 2 - y L 2. (.) Θυμίζουμε ότι, με απόσταση δύο σημείων εννοούμε πάντα το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που τα ενώνει. Αρα, η (.) δεν είναι παρά το Πυθαγόρειο Θεώρημα, διατυπωμένο μέσω των συντεταγμένων των σημείων p και p 2. Ειδικότερα, η απόσταση του σημείου p œ 2 με συντεγμένες Hx, yl από την αρχή των Καρτεσιανών συντεταγμένων, O, δίνεται από τον τύπο dho, pl = x 2 + y 2. (.2) Οπως βέβαια τονίσαμε νωρίτερα, συστήματα Καρτεσιανών συντεταγμένων του Ευκλείδειου επίπεδου υπάρχουν άπειρα. Εκείνο, λοιπόν, που εννοούμε λέγοντας ότι η σχέση (.) χαρακτηρίζει αυτά τα συστήματα είναι το εξής: Η (.) ισχύει εάν και μόνο όταν οι συντεταγμένες στις οποίες περιγράφεται ο χώρος 2 είναι Καρτεσιανές. Συνεπώς, αν σε κάποιο Καρτεσιανό σύστημα, διαφορετικό από εκείνο που έδωσε τους αριθμούς Hx, y L και Hx 2, y 2 L, τα ίδια σημεία p και p 2 έχουν συντεταγμένες Ix, y M και Ix 2, y 2 M, αντίστοιχα, τότε dhp, p 2 L = Hx 2 - x L 2 + Hy 2 - y L 2. (.3) Από τη σύγκριση των (.) και (.3) αμέσως έπεται ότι

Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 3 Hx 2 - x L 2 + Hy 2 - y L 2 = Hx 2 - x L 2 + Hy 2 - y L 2. (.4) Αυτή η ισότητα εκφράζει με συμπυκνωμένο τρόπο τη σχέση δύο τυχαίων μελών της κλάσης των συντεταγμένων που ονομάσαμε Καρτεσιανές. Αν θέσουμε Δ x := x 2 - x, Δ y := y 2 - y, (.5) τότε μπορούμε να γράψουμε την προηγούμενη σχέση στη μορφή HΔ xl 2 + HΔ yl 2 = HΔ x L 2 + HΔ y L 2 (.6) Συνεπώς, η χαρακτηριστική ιδιότητα των Καρτεσιανών συντεταγμένων του 2 διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: Ο μετασχηματισμός Hx, yl Ø Hx, y L που οδηγεί από ένα σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων σ ένα δεύτερο της ίδιας κλάσης αφήνει την έκφραση HΔ xl 2 + HΔ yl 2 αναλλοίωτη. Οταν, λοιπόν, αναφερόμαστε στο Ευκλείδειο επίπεδο 2, εννοούμε πως τα στοιχεία του 2 αντιστοιχούν στις Καρτεσιανές συντεταγμένες των σημείων του 2, ως προς κάποιο ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Συνακόλουθα, με κάθε στοιχείο Ha, bl του 2 θα συνδέουμε αυτόματα και δύο γεωμετρικές εικόνες: (α) Το σημείο p του 2 που έχει συντεταγμένες Ha, bl στο συγκεκριμένο σύστημα αξόνων και (β) Το προσανολισμένο ευθύγραμμο τμήμα που οδηγεί από την αρχή των αξόνων, O, στο σημείο p. Οπως γνωρίζουμε, τα στοιχεία του 2 ονομάζονται και διανύσματα. Συχνά, τα διανύσματα συμβολίζονται με ένα μόνο γράμμα που, είτε το τυπώνουμε έντονα, ή προσθέτουμε στο πάνω μέρος του ένα βέλος. Ετσι, λέμε, για παράδειγμα, "δίνεται το διάνυσμα V = Ha, bl ή V = Ha, bl". Η γεωμετρική ερμηνεία του Ha, bl œ 2 που μόλις περιγράψαμε εξηγεί το γιατί, ως μέτρο ή μήκος του διανύσματος V = Ha, bl ορίζεται ο μη αρνητικός αριθμός V := Ia 2 + b 2 M ê2. (.7) (Εμείς θα προτιμήσουμε το απλούστερο σύμβολο V ). Με την ευκαιρία, θυμίζουμε ότι, ένα διάνυσμα που έχει μοναδιαίο μήκος λέγεται κανονικό. Θυμίζουμε επίσης ότι, με εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων V = Ha, bl και W = Hc, dl εννοούμε τον αριθμό V ÿ W := ac+ bd. (.8) Εύκολα δείχνει κανείς ότι V ÿ W := V W cos θ, (.9) όπου θ η γωνία που ορίζεται από τα βέλη (προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα) τα οποία αντιστοιχούν στα διανύσματα V και W. Εύλογα, λοιπόν, τα διανύσματα V, W χαρακτηρίζονται ως (μεταξύ τους) ορθογώνια, αν το εσωτερικό γινόμενό τους μηδενίζεται. Ας θεωρήσουμε τώρα τη συνάρτηση f : 2 Ø που έχει ως πεδίο ορισμού ολόκληρο το επίπεδο 2 και τύπο f Hx, yl = 2 xy. Επειδή τα στοιχεία του ονομάζονται και βαθμωτά

4 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace (scalars), η παραπάνω f : 2 Ø ονομάζεται βαθμωτό πεδίο (scalar field) του 2. Γενικότερα, μπορούμε να θεωρήσουμε βαθμωτά πεδία που ορίζονται μόνο σε μια περιοχή του επίπεδου, αντί σε ολόκληρο τον 2. Ενα παράδειγμα αποτελεί η συνάρτηση h : Ω Ø με τύπο hhx, yl = + x + y και πεδίο ορισμού την ορθογώνια περιοχή Ω = 9Hx, yl œ 2 :0 x 2, 0 y =. Συχνά, βαθμωτά πεδία αυτού του είδους χρησιμεύουν στην αναπαράσταση μιας φυσικής ποσότητας, γ.π. της θερμοκρασίας, σε μια γεωγραφική περιοχή που αντιστοιχεί στη γεωμετρική περιοχή Ω. Αλλοτε, πάλι, ο περιορισμός σε κάποιο γνήσιο υποσύνολο Ω του 2 επιβάλλεται από το γεγονός ότι ο τύπος της συνάρτησης που περιγράφει το πεδίο δεν έχει νόημα σε όλα τα σημεία του επίπεδου. Για παράδειγμα, ο τύπος ghx, yl = ë Ix 2 + y 2 M δεν έχει νόημα στο σημείο Hx, yl = H0, 0L. Συνεπώς, αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό του βαθμωτού πεδίου g : Ω Ø στην περιοχή Ω = 2 \ 8H0, 0L< ή σε κάποιο τμήμα αυτής της περιοχής, όχι όμως και σ ολόκληρο τον 2. Ανάλογα, ο τύπος φhx, yl = ê Hx - yl δεν έχει νόημα κατά μήκος της ευθείας Γ = 9Hx, yl œ 2 : x = y =. Αρα, με αυτό τον τύπο μπορούμε να ορίσουμε ένα βαθμωτό πεδίο μόνο σε κάποιο υποσύνολο της (μη συνεκτικής) περιοχής Ω = 2 \ Γ. Yπάρχουν πολλοί τρόποι για να δώσουμε μια γραφική αναπαράσταση ενός βαθμωτού πεδίου στον 2. Ενας απ αυτούς έγκειται στο να καταγράψουμε την τιμή της αντίστοιχης συνάρτησης f : Ω Ø σε ορισμένα από τα σημεία της περιοχής Ω, όπως γίνεται στο Σχ.. για την f Hx, yl = 2 xy. y -8-4 2 0 4 8-4 -2 0 2 4 0 0 0 0 0-2 - 2 x 4 2-0 -2-4 8 4-2 0 Σχ.. Γραφική παράσταση του βαθμωτού πεδίου f Hx, yl = 2 xy. Δίπλα σε καθένα από τα σημεία Hx, yl που δηλώνονται με στίγμα, σημειώνεται η τιμή της συνάρτησης f Hx, yl = 2 xy. Πολλές φυσικές ποσότητες που αφορούν μιαν επίπεδη περιοχή προσδιορίζονται με τη βοήθεια δύο συναρτήσεων και όχι μιας μόνο. Ας σκεφτούμε και πάλι το παράδειγμα του λεπτού στρώματος υγρού που κινείται πάνω σε μιαν επίπεδη πλάκα. Για να προσδιορίσουμε την ταχύτητα των στοιχείων του υγρού, θα πρέπει, για κάθε Hx, yl œ Ω, να δώσουμε το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας του στοιχείου σ του υγρού το οποίο, τη στιγμή που μας -4-8

Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 5 ενδιαφέρει, βρίσκεται στο σημείο Hx, yl. Η κατεύθυνση προσδιορίζεται δίνοντας την ημιευθεία EHx, yl που ξεκινάει από το σημείο Hx, yl και πάνω στην οποία κινείται προς στιγμή το σ. Η ταχύτητα του στοιχείου σ του ρευστού, το οποίο βρίσκεται προς στιγμή στο σημείο Hx, yl, συμβολίζεται συνήθως με VHx, yl ή με V Hx, yl. Ο μη αρνητικός αριθμός που προσδιορίζει το μέτρο της VHx, yl συμβολίζεται συνήθως με VHx, yl, αλλά εμείς θα προτιμήσουμε το απλούστερο σύμβολο VHx, yl. Για να προσδιορίσουμε την κατεύθυνση της ταχύτητας VHx, yl, αρκεί να δώσουμε τη γωνία θhx, yl που σχηματίζει η παραπάνω ημιευθεία EHx, yl με τον άξονα x. Να λοιπόν δύο συναρτήσεις με τις οποίες μπορεί να προσδιοριστεί πλήρως η ταχύτητα του ρευστού στην περιοχή Ω: Το ζευγάρι H VHx, yl, θhx, yll. Ομως, από το ζευγάρι των συναρτήσεων VHx, yl και θhx, yl αυτόματα ορίζεται και το ζευγάρι IV x Hx, yl, V y Hx, ylm, όπου V x Hx, yl := VHx, yl cos θ Hx, yl, V y Hx, yl := VHx, yl sin θ Hx, yl. (.0) Αντίστροφα, από τις (.0) και τη θεμελιακή σχέση αμέσως συνάγεται ότι Συνακόλοθα, sin 2 θ + cos 2 θ =. V x 2 Hx, yl + V y 2 Hx, yl = V Hx, yl 2, tan θ Hx, yl = V yhx, yl V x Hx, yl. VHx, yl = AV x 2 Hx, yl + V y 2 Hx, yle ê2, θ Hx, yl = tan - B V yhx, yl V x Hx, yl F. (.) (.2) (.3) Αυτό σημαίνει ότι το ζευγάρι των συναρτήσεων IV x Hx, yl, V y Hx, ylm προσδιορίζει πλήρως το H VHx, yl, θhx, yll. Η ταχύτητα ενός ρευστού σε μια επίπεδη περιοχή Ω είναι ένα παράδειγμα αυτών που ονομάζουμε διανυσματικές συναρτήσεις ή διανυσματικά πεδία. Γενικότερα λοιπόν, με διανυσματικό πεδίο (vector field) στην περιοχή Ω θα εννοούμε μιαν απεικόνιση V : Ω Ø 2, η οποία προσδιορίζεται μέσω δύο βαθμωτών συναρτήσεων f : Ω Ø και g : Ω Ø, οπότε η τιμή της V στο σημείο Hx, yl œ Ω είναι το ζευγάρι των πραγματικών αριθμών VHx, yl := H f Hx, yl, ghx, yll. Οι αριθμοί f Hx, yl, ghx, yl ονομάζονται συνιστώσες του διανύσματος VHx, yl, στην κατεύθυνση x και y, αντίστοιχα. Για να κατασκευάσουμε μια γραφική αναπαράσταση ενός διανυσματικού πεδίου V : Ω Ø 2, μπορούμε να ακολουθήσουμε το παράδειγμα της γραφικής παράστασης του βαθμωτού πεδίου που δώσαμε νωρίτερα. Πιο συγκεκριμένα, αν η συνάρτηση V : Ω Ø 2 ορίζεται από τις f : Ω Ø και g : Ω Ø 2, τότε αρκεί να δώσουμε τις τιμές του ζευγαριού H f Hx, yl, ghx, yll σε ορισμένα σημεία της περιοχής Ω. Αυτό γίνεται στο Σχ..2, υποθέτοντας ότι η συνάρτηση f : 2 Ø ορίζεται από τον

6 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace τύπο f Hx, yl = 2 xy, ενώ η g : 2 Ø ορίζεται από τον τύπο ghx, yl = x 2 - y 2, οπότε VHx, yl = H f Hx, yl, ghx, yll= I2 xy, x 2 - y 2 M. y 8-8, 0< 8-4, -3< 80, -4< 2 84, -3< 88, 0< 8-4, 3< 8-2, 0< 80, -< 82, 0< 84, 3< 80, 4< 80, < 80, 0< 80, < 80, 4< x -2-2 84, 3< 82, 0< 80, -< - 8-2, 0< 8-4, 3< 88, 0< 84, -3< 80, -4< -2 8-4, -3< 8-8, 0< Σχ..2 Γραφική παράσταση του διανυσματικού πεδίου VHx, yl = I2 xy, x 2 - y 2 M. Το ζευγάρι 8a, b< δίπλα στο σημείο (στίγμα) με συντεταγμένες Hx, yl δηλώνει την τιμή των συναρτήσεων f Hx, yl = 2 xy και ghx, yl = x 2 - y 2 στο συγκεκριμένο σημείο. Eναλλακτικά, μπορούμε, στα επιλεγμένα σημεία της περιοχής Ω, να κατασκευάσουμε βελάκια, που ξεκινάνε από το σημείο Hx, yl και καλήγουν στο Hx, yl + VHx, yl, όπως στο Σχ..3. Αυτός είναι και ο πιο συνηθισμένος τρόπος αναπαράστασης ενός διανυσματικού πεδίου. 2 y -3-2 - 2 3 x - -2 Σχ..3 Εναλλακτική γραφική παράσταση του διανυσματικού πεδίου VHx, yl = I2 xy, x 2 - y 2 M. Στο σημείο Hx, yl, κατασκευάζεται ένα βέλος με αφετηρία το Hx, yl και τέρμα το σημείο Hx + f Hx, yl, y + ghx, yll = Ix + 2 xy, y + x 2 - y 2 M. Με τη βοήθεια των σύγχρονων υπολογιστών, ακόμα και "προσωπικών" (PCs), μπορούμε να κατασκευάσουμε σχεδιαγράμματα που, σαν το προηγούμενο, δείχνουν βέλη τα οποία παριστάνουν τις τιμές του πεδίου σε ορισμένα, αλλά πολύ περισσότερα, σημεία. Τo αποτέλεσμα μιας τέτοιας κατασκευής φαίνεται στο Σχ..4.

Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 7 2 y -2-2 x - -2 Σχ..4 Γραφική αναπαράσταση του διανυσματικού πεδίου VHx, yl = I2 xy, x 2 - y 2 M στην περιοχή Ω = 9Hx, yl œ 2 : -2 x 2, -2 y 2 = Eνα διανυσματικό πεδίο λέγεται ομογενές όταν είναι της μορφής V Hx, yl = Ha, bl όπου a, b τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί. Το απλούστερο δυνατό πεδίο αυτού του είδους είναι το μηδενικό: VHx, yl = 0 := H0, 0L. Δύο άλλα ομογενή διανυσματικά πεδία, ξεχωριστής σημασίας, είναι τα εξής: e x Hx, yl := H, 0L, e y Hx, yl := H0, L. H γραφική τους αναπαράσταση με βέλη δίνεται στo Σχ..5. (.4) y y 2 2-2 - 2 x -2-2 x - - -2-2 Σχ..5 Γραφική αναπαράσταση των ομομογενών διανυσματικών πεδίων e x Hx, yl := H, 0L και e y Hx, yl := H0, L στην περιοχή Ω = 9Hx, yl œ 2 : - 2 x 2, -2 y 2 =. Ας θυμηθούμε τώρα ότι με γινόμενο του αριθμού (βαθμωτού) λ με το διάνυσμα V = Ha, bl εννοούμε το διάνυσμα λv := Hλ b, λ yl. (.5) Με βάση αυτή την έννοια και τις (.4), μπορούμε να γράφουμε κάθε διανυσματικό πεδίο VHx, yl = H f Hx, yl, ghx, yll στην ακόλουθη μορφή VHx, yl = f Hx, yl e x Hx, yl + ghx, yl e y Hx, yl. (.6)

8 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace Αυτή η σχέση θα πρέπει να εννοείται με τον ακόλουθο τρόπο: Θεωρούμε ότι το επίπεδο 2 είναι πάντα εφοδιασμένο με δύο διανυσματικά πεδία, τα e x Hx, yl και e y Hx, yl. Με άλλα λόγια, θεωρούμε ότι σε κάθε σημείο Hx, yl του 2 στέκεται ένα ζευγάρι από βέλη που αντιστοιχεί στο ζευγάρι Ie x Hx, yl, e y Hx, ylm. Σύμφωνα λοιπόν με την (.6), κάθε άλλο διάνυσμα VHx, yl που δίνεται στο ίδιο σημείο γράφεται ως γραμμικός συνδυσμός των e x Hx, yl και e y Hx, yl. Αυτή η διαπίστωση δηλώνεται με το να πούμε ότι το ζευγάρι Ie x Hx, yl, e y Hx, ylm αποτελεί βάση του χώρου των διανυσμάτων που ορίζονται στο σημείο Hx, yl. Ας παρατηρήσουμε τώρα ότι τα διανύσματα e x Hx, yl και e y Hx, yl που ορίσαμε παραπάνω είναι κανονικά και μεταξύ τους ορθογώνια. Γι αυτό, η βάση Ie x Hx, yl, e y Hx, ylm χαρακτηρίζεται ως ορθοκανονική. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι η βάση Ie x Hx, yl, e y Hx, ylm δεν είναι η μοναδική. Μάλιστα, δεν είναι πάντα και η πιο βολική για να εκφράσουμε το τυχαίο διανυσματικό πεδίο ως γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων της. Οποιοδήποτε άλλο ζευγάρι διανυσματικών πεδίων, He Hx, yl, e 2 Hx, yll, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βάση. Αρκεί τα στοιχεία του να είναι μη μηδενικά και μη συγγραμμικά σε όλα τα σημεία της περιοχής Ω που μας ενδιαφέρει. Με άλλα λόγια, τα πεδία e Hx, yl και e 2 Hx, yl θα πρέπει να είναι τέτοια που, σε κανένα σημείο της Ω, δεν είναι το ένα πολλαπλάσιο του άλλου. Ισοδύναμα, δεν θα πρέπει να υπάρχει συνάρτηση λhx, yl τέτοια που το e 2 Hx, yl = λhx, yl e Hx, yl, "Hx, yl œ Ω. Αλλά, ούτε και συνάρτηση μ Hx, yl τέτοια που το e Hx, yl = μ Hx, yl e 2 Hx, yl. Δύο πεδία τα οποία πληρούν αυτή τη συνθήκη ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητα (το ένα από το άλλο). Θεωρήστε για παράδειγμα τα πεδία e Hx, yl := He y,0l, e 2 Hx, yl := Hx, L. (.7) Εύκολα αποδείχει κανείς ότι αυτά τα πεδία είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Αρα αποτελούν βάση. Αυτή η βάση δεν είναι ορθοκανονική, αφού e Hx, yl ÿ e Hx, yl = e 2 y, e Hx, yl ÿ e 2 Hx, yl = xe y, e 2 Hx, yl ÿ e 2 Hx, yl = x 2 +. (.8) Ενας συστηματικός τρόπος για την κατασκευή βάσεων είναι αυτός που στηρίζεται στα εναλλακτικά συστήματα συντατεγμένων, με τα οποία μπορούμε να προσδιορίζουμε τα σημεία μιας επίπεδης περιοχής. Για να περιγράψουμε αυτό τον τρόπο αναλυτικά, χρειάζεται να υπενθυμίσουμε ότι, μια ομαλή παραμετρική καμπύλη ορίζει, σε κάθε σημείο της (εικόνας της), ένα διάνυσμα. Είναι αυτό που ονομάζουμε εφαπτόμενο. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι η καμπύλη Γ ορίζεται από τις σχέσεις x = X HsL, y = YHsL, s œ I s, και διέρχεται από το σημείο Hx 0, y 0 L του 2. Αυτό σημαίνει ότι, στο διάστημα μεταβολής I s της παραμέτρου s, υπάρχει ένα σημείο s 0 τέτοιο που Hx 0, y 0 L = HX Hs 0 L, YHs 0 LL. Το εφαπτόμενο διάνυσμα της Γ στο τυχαίο σημείο της, Hx, yl, ορίζεται από τον τύπο υ Hx, yl = IX HsL, Y HsLM, (.9) όπου η τελεία πάνω από το σύμβολο της συνάρτησης δηλώνει την παράγωγο.

Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 9 Ειδικότερα, στο συγκεκριμένο σημείο Hx 0, y 0 L œ Γ, το εφαπτόμενο διάνυσμα είναι ίσο με υ Hx 0, y 0 L = IX Hs 0 L, Y Hs 0 LM. Αυτό το διάνυσμα μπορούμε να το παριστάνουμε με ένα βέλος που έχει ως βάση το σημείο Hx 0, y 0 L και κορυφή το σημείο Hx 0, y 0 L + υ Hx 0, y 0 L. Παράδειγμα. Το απλούστερο δυνατό παράδειγμα "παραμετικής καμπύλης" αποτελεί η ευθεία Γ που διέρχεται από το σημείο Hx 0, y 0 L και είναι παράλληλη προς τον άξονα x. Αυτή μπορεί να περιγραφτεί από τις σχέσεις x = x 0 + Hs - s 0 L, y = y 0, οπότε υ Hx, yl = H, 0L. (.20) Αν αφήσουμε την παράμετρο y 0 να διατρέξει όλη την πραγματική ευθεία, τότε οι σχέσεις x = x 0 + Hs - s 0 L, y = y 0, s œ, δε θα περιγράφουν μία μόνο ευθεία, αλλά το σύνολο των ευθειών που είναι παράλληλες προς τον άξονα x. Σ αυτή την περίπτωση, ο τύπος (.20) περιγράφει το ομογενές διανυσματικό πεδίο που νωρίτερα ονομάσαμε e x Hx, yl. Με ανάλογο τρόπο, αν για "καμπύλη Γ" πάρουμε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο Hx 0, y 0 L και είναι παράλληλη προς τον άξονα y, τότε x = x 0, y = y 0 + Ht - t 0 L, t œ. Σε τούτη την περίπτωση, υ Hx, yl = H0, L. (.2) Αφήνοντας τώρα την παράμετρο y 0 να διατρέξει όλη την πραγματική ευθεία, βλέπουμε ότι οι σχέσεις x = x 0, y = y 0 + Ht - t 0 L, t œ, περιγράφουν το σύνολο των ευθειών που είναι παράλληλες προς τον άξονα y. Aυτό σημαίνει ότι ο τύπος (.2) περιγράφει το ομογενές διανυσματικό πεδίο που ονομάσαμε e y Hx, yl. ð Ας υποθέσουμε τώρα ότι, για να περιγράψουμε κάποιο φυσικό πρόβλημα στην περιοχή Ω του Ευκλείδειου επίπεδου, αντί για τις Καρτεσιανές συντεταγμένες x, y, είναι βολικότερο να χρησιμοποιήσουμε κάποιες άλλες, ας τις πούμε r, s. To γεγονός ότι πρόκειται για νέες συντεταγμένες, σημαίνει ότι, ανάμεσα στις πραγματικές μεταβλητές r, s και τις x, y υπάρχει μια σχέση της μορφής x = X Hr, sl, y = YHr, sl, (.22) με τα εξής χαρακτηριστικά: (α) Οι συναρτήσεις X Hr, sl, YHr, sl έχουν ως κοινό πεδίο ορισμού ένα ανοιχτό υποσύνολο Ω του 2. Αναλυτικότερα, το Ω = I r äi s, όπου I r, I s τα διαστήματα μεταβολής των παραμέτρων r και s, αντίστοιχα. (β) Οι X Hr, sl, YHr, sl ανήκουν στην κλάση C HΩ L και είναι τέτοιες που η ορίζουσα Jacobi r X r Y JHr, sl := det (.23) s X s Y, είναι μη μηδενική σε όλα τα σημεία της περιοχής Ω. (Σημ. με r X, s X συμβολίζουμε τις

0 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace μερικές παραγώγους πρώτης τάξης της συνάρτησης X Hr, sl, ως προς τις μεταβλητές r και s, αντίστοιχα). Οι (.22) ορίζουν αυτόματα δύο οικογένειες παραμετρικών καμπυλών, ας τις ονομάσουμε Γ s και Γ r, αντίστοιχα. Κατά μήκος μιας καμπύλης της οικογένειας Γ s μεταβάλλεται μόνο η r, ενώ η παράμετρος s μένει σταθερή. Αρα, το διανυσματικό πεδίο που ορίζεται από αυτή την οικογένεια δίνεται από τον τύπο e r = r X Hr, sl e x + r YHr, sl e y. (.24) Ανάλογα, το διανυσματικό πεδίο που ορίζεται από τις καμπύλες Γ r, κατά μήκος των οποίων μένει σταθερή η παράμετρος r, ορίζεται από τον τύπο e s = s X Hr, sl e x + s YHr, sl e y. (.25) Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό των πινάκων, μπορούμε να γράψουμε τις δύο προηγούνες σχέσεις στη μορφή e r = r X r Y e x (.26) e s s X s Y Με αυτόν ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, αμέσως συμπεραίνουμε ότι τα διανυσματικά πεδία e r και e s είναι γραμμικά ανεξάρτητα σε όλη την περιοχή Ω. Αρα, σε κάθε σημείο της περιοχής Ω, το ζευγάρι He r, e s L αποτελεί βάση. Αυτό σημαίνει ότι, κάθε διανυσματικό πεδίο VHx, yl που ορίζεται στην περιοχή Ω μπορεί να γραφτεί είτε στη μορφή είτε στην V = V x e x + V y e y V = V r e r + V s e s. e y (.27) (.28) Για να βρούμε τις συνιστώσες V r και V s του VHx, yl ως προς τη βάση He r, e s L, αρκεί να αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (.24) και (.25) στην (.28). Αυτή η αντικατάσταση δίνει Ισοδύναμα, V = V r I r X e x + r Ye y M + V s I s X e x + s Ye y M. V = HV r r X + V s s X L e x + HV r r Y + V s s YL e y. Συγκρίνοντας τις (.27) και (.30) συμπεραίνουμε ότι V x = V r r X + V s s X, V y = V r r Y + V s s Y. (.29) (.30) (.3) Αυτό το γραμμικό σύστημα λύνεται πολύ εύκολα ως προς τις ποσότητες V r και V s. Αξίζει, ωστόσο, να παρατηρήσουμε ότι, με το συμβολισμό πινάκων, το σύστημα (.3) γράφεται στη μορφή Σημειώστε, τώρα, ότι V x = r X s X V y r Y s Y V r V s. (.32)

Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο όπου r X s X r Y s Y = AT, A := r X r Y s X s Y (.33) (.34) και με A T εννοούμε τον ανάστροφο του πίνακα A. Από την άλλη, η (.32) μας επιτρέπει να συμπεράνουμε αμέσως ότι V r = r X s X - V x ª IA T M - V x. V s r Y s Y V y V y (.35) όπου με P - εννοούμε τον αντίστροφο του τυχαίου ομαλού πίνακα P. Και ο πίνακας A T είναι ομαλός ή αντιστρέψιμος, γιατί Επιπλέον, det A T = det A ª JHr, sl 0, " Hr, sl œ Ω. IA T M - = IA - M T. (.36) (.37) Αρα, με τα παραπάνω έχουμε αποδείξει την Πρόταση. Ο πίνακας που περιγράφει τον μετασχηματισμό IV x, V y M Ø HV r, V s L των συνιστωσών ενός διανυσματικού πεδίου είναι ο ανάστροφος του αντίστροφου του πίνακα ο οποίος περιγράφει τον μετασχηματισμό Ie x, e y M Ø He r, e s L των αντίστοιχων βάσεων. ð Ας υποθέσουμε, κλείνοντας, ότι ο αντίστροφος, Hx, yl Ø Hr, sl, του μετασχηματισμού Hr, sl Ø Hx, yl περιγράφεται από τις σχέσεις Αυτό σημαίνει ότι r = RHx, yl, s = SHx, yl. X HRHx, yl, SHx, yll = x, YHRHx, yl, SHx, yll = y. Συνακόλουθα, ο κανόνας της αλυσίδας οδηγεί αμέσως στα εξής αποτελέσματα. = x x = r X x R + s X x S, 0 = y x = ry x R + s Y x S, 0 = x y = r X y R + s X y S, = y y = ry y R + s Y y S. (.38) (.39) (.40) (.4) (.42) (.43)

2 Θεμελιακές λύσεις της εξίσωσης Laplace Με το συμβολισμό των πινάκων, αυτές οι τέσσερεις σχέσεις γράφονται στη μορφή x R x S r X r Y y R y S s X s Y = 0 0. Αυτό σημαίνει ότι οπότε Κατά συνέπεια, A - ª r X r Y s X s Y IA T M - = IA - M T = V r = x R y R V s x S y S - = x R x S y R y S, x R y R x S y S. V x V y. (.44) (.45) (.46) (.47) Ασκηση Να δειχτεί ότι e x = x R x S e y y R y S e r e s (.48) Δηλαδή, e x = x R e r + x S e s, e y = y R e r + y S e s. (.49) ð Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι α) Το σημείο Ο στο οποίο τέμνονται οι δυο ευθείες που ορίζουν το σύστημα Σ έχει συντεταγμένες Ha, bl ως προς το Σ και β) Οι παρα- πάνω ευθείες είναι παράλληλες και ομόρροπες προς εκείνες που ορίζουν το Σ. Τότε, x = x + a, y = y + b. (.50) Αν από την άλλη, αν το σημείο Ο ταυτίζεται με την αρχή Ο των αξόνων του Σ, αλλά οι άξονες του Σ έχουν προκύψει στρίβοντας εκείνους του Σ κατά γωνία θ με τον ίδιο τρόπο που γυρίζουν οι δείχτες ενός ρολογιού, τότε x = x cos θ - y sin θ, y = x sin θ + y cos θ. (.5) Παράδειγμα.2 Οι πολικές συντεταγμένες, Hr, θl, του Ευκλείδειου επίπεδου συνδέονται με τις Καρτεσιανές, Hx, yl μέσω των σχέσεων x = X Hr, θl := r cos θ, y = YHr, θl := r sin θ. Από αυτές τις σχέσεις αμέσως έπεται ότι x 2 + y 2 = r 2 y, = tan θ. x (.52) (.53)

Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία στο επίπεδο 3 Συνακόλουθα, όλα τα σημεία του επίπεδου με το ίδιο r βρίσκονται πάνω σε έναν κύκλο ακτίνας r με κέντρο την αρχή Hx, yl = H0, 0L των Καρτεσιανών αξόνων. Αντίθετα, όλα τα σημεία με το ίδιο θ βρίσκονται πάνω σε μια ημιευθεία E, με κλίση tan θ ως προς τον θετικό ημιάξονα x. Με άλλα λόγια, η ημιευθεία E προκύπτει στρίβοντας τον θετικό ημιάξονα x κατά γωνία θ, αντίθετα προς τη φορά των δειχτών ενός ρολογιού. Από την προηγούμενη παρατήρηση συνάγεται αμέσως και το ακόλουθο συμπέρασμα: Οι σχέσεις (.52) περιγράφουν δύο οικογένειες παραμετρικών καμπυλών του Ευκλείδειου επίπεδου. Η πρώτη, ας την πούμε Γ r, αποτελείται από ομόκεντρους κύκλους και τα μέλη της διακρίνονται από τις τιμές του r. Κατά μήκος κάθε συγκεκριμένου μέλους αυτής της οικογένειας μεταβάλλεται μόνο η παράμετρος θ. Η δεύτερη οικογένεια "παραμετρικών καμπυλών", ας την ονομάσουμε Γ θ, αποτελείται από τις ημιευθείες που έχουν ως κοινή αφετηρία το σημείο Hx, yl = H0, 0L. Τα μέλη αυτής της οικογένειας διακρίνονται με τη βοήθεια της μεταβλητής θ και, κατά μήκος κάθε μέλους της ξεχωριστά μεταβάλλεται μόνο η παράμετρος r. Στην προκείμενη περίπτωση, A := r X r Y θ X θ Y = cos θ sin θ -r sin θ r cos θ (.54) Συνεπώς, η ορίζουσα Jacobi του μετασχηματισμού Hr, θl Ø Hx, yl είναι ίση με JHr, sl := det A = r. (.55) Αυτό σημαίνει ότι, για κάθε r > 0, ο μετασχηματισμός Hr, θl Ø Hx, yl είναι τοπικά αντιστρέψιμος. Δηλαδή, υπάρχουν ανοιχτά διαστήματα I r και I θ, των μεταβλητών r και θ, αντίστοιχα, με την ακόλουθη ιδιότητα: Στο ανοιχτό υποσύνολο Ω = I r äi s του 2, η απεικόνιση Φ : Ω Ø 2 που ορίζεται από τις (.52) είναι -. Το γεγονός ότι η συνάρτηση tan θ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα H-π ê 2, π ê 2L υποδείχνει την επιλογή I r = H0, L, I θ = H-π ê 2, π ê 2L. (.56) Τότε οι (.53) οδηγούν αμέσως στην ακόλουθη μορφή της απεικόνισης Φ - : r = RHx, yl := x 2 + y 2, θ = ΘHx, yl := tan - Hy ê xl. (.57) Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να καλύψουμε και τις υπόλοιπες περιοχές του ανοιχτού σύνολου 2 \ 8H0, 0L<, στο οποίο περιέχονται οι καμπύλες Γ θ και Γ r. Σύμφωνα, τώρα, με την ανάλυση που προηγήθηκε, τα διανυσματικά πεδία που ορίζουν οι οικογένειες Γ θ και Γ r δίνονται από τους τύπους e r = cos θ e x + sin θ e y (.58) και e θ =-r sin θe x + r cos θ e y, (.59) αντίστοιχα. Σημειώστε ότι, χρησιμοποιώντας τη σχέση ανάμεσα στις Hr, θl και Hx, yl, μπορού-