ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια

Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία του. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση + + = ii) ( ) i) ( x ) ( y 3) 4 iii) ( x+ α) + ( y+ β) = γ x + y+ = 5 i) Η εξίσωση ( x ) + ( y+ 3) = 4 γράφεται ισοδύναµα ( ) ( ) ( ) x + y 3 = και παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο K(, 3) κτίνα ρ=. και α- ΜΕΘΟ ΟΣ Ο κύκλος µε εξίσωση 0 0 ( x- x ) + ( y- y ) = ρ έχει κέντρο το σηµείο Kx ( 0, y 0) και ακτίνα p > 0 ii) H εξίσωση ( ) ( ) ( ) x + y+ = 5 γράφεται ισοδύναµα ( ) ( ) x 0 + y = 5 και παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο (, ) K 0 και ακτίνα ρ= 5. ii) H εξίσωση ( x+ α) + ( y+ β) = γ γράφεται ισοδύναµα ( ) ( ( )) ( ) x α + y β = γ και παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο (, ) K α β και ακτίνα ρ= γ. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 3 η Κατηγορία : Εσωτερικά και Εξωτερικά Σημεία Κύκλου. Έστω ο κύκλος C µε εξίσωση ( x ) + y = 5. Να αποδείξετε ότι: i) το σηµείο A6 (, 3), ανήκει στον κύκλο C αλλά το σηµείο B(,) 45, δεν ανήκει στον κύκλο αυτό. ii) το σηµείο B(,) 45 είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου. i) Για x= 6 και y= 3 έχουµε: ( 6 ) + ( 3) = 6+ 9= 5. Άρα το σηµείο A6 (, 3), ανήκει στον κύκλο C. Όµοια x= 4 και y= 5 έχουµε: ( 4 ) + ( 5) = 4+ 5= 9 5. Άρα το σηµείο B(,) 45, δεν ανήκει στον κύκλο C. ii) Ο κύκλος C έχει κέντρο K(,) 0 και ακτίνα ρ= 5. Η απόσταση του B(,) 45 από το κέντρο του κύκλου είναι ( ΚΒ) = ( 4 ) + ( 5 0) = 9 > 5 οπότε ( ΚΒ) > ρ. Άρα το σηµείο B(,) 45 είναι εξωτρικό σηµείο του κύκλου C. ΜΕΘΟ ΟΣ ίνεται ο κύκλος (C) µε κέντρο το σηµείο 0 0 Kx ( 0, y 0) και ακτίνα ρ > 0, που έχει εξίσωση ( x- x ) + ( y- y ) = ρ. Ένα σηµείο Α( x, y) ανήκει στον κύκλο (C), αν και µόνο αν οι συντεταγµένες του 0 0 ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου, δηλαδή ( x - x ) + ( y - y ) = ρ Γενικότερα, για την απόσταση 0 0 ( ΚΑ) = ( x - x ) + ( y - y ), ισχύουν οι ισοδυναµίες: ( ΚΑ)= ρ Α ( C) ( ΚΑ) < ρ Α εσωτερικό του ( C) ( ΚΑ) > ρ Α εξωτερικό του ( C) Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

4 Φροντιστήρια 3η Κατηγορία : Εύρεση της Εξίσωσης Κύκλου.3 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου όταν: i) έχει κέντρο Κ( 3, ) και ακτίνα ρ= 5. ii) έχει κέντρο Κ( 30, ) και ακτίνα ρ= 5. i) Ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ( 3, ) και ακτίνα ρ= 5 έχει εξίσωση ( x ( 3) ) ( y ( ) ) ( 5) + =, δηλαδή ( ) ( ) x+ 3 + y+ = 5. ΜΕΘΟ ΟΣ Ο κύκλος µε κέντρο το ση- µείο Kx ( 0, y 0) και ακτίνα p > 0 έχει εξίσωση 0 0 ( x- x ) + ( y- y ) = ρ ii) Ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ( 30, ) και ακτίνα ρ= 5 έχει εξίσωση ( ( )) ( ) x 3 + y 0 = 5, δηλαδή ( ) x+ 3 + y = 5 Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 5.4 * Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) Όταν έχει κέντρο (,) Κ 0 και διέρχεται από το σηµείο Α( 30, ) ii) Όταν έχει διάµετρο το τµήµα µε άκρα Α(, ) και Β(, 78 ) i) Η ακτίνα του κύκλου είναι ΜΕΘΟ ΟΣ ii) ( ) ( ) ( ) ρ= KA = 3 0 + 0 = 3+ = και εποµένως η εξίσωση του είναι x + ( y ) =. Το κέντρο Κ του κύκλου είναι το µέσον του ΑΒ και εποµένως έχει τετµηµένη x 7 0= + = 3 και τεταγµένη y 8 0= + = 5, δηλαδή το κέντρο του κύκλου είναι το σηµείο K(,) 35. Γενικά για να βρούµε την εξίσωση ενός κύκλου, πρέπει από τα δεδοµένα του προβλήµατος να προσδιορίσουµε το κέντρο Kx ( 0, y 0) και την ακτίνα p > 0 του κύκλου. Τότε ο κύκλος έχει εξίσωση 0 0 ( x- x ) + ( y- y ) = ρ Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση µε το µισό της διαµέτρου ΑΒ, δηλαδή: ρ= AB = ( 7+ ) + ( 8 ) = 00 = 5. A(,) ρ K ρ Άρα, η εξίσωση του κύκλου είναι ( x 3) + ( y 5) = 5. B (7,8) K µέσο του ΑΒ ρ= ( AB) Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

6 Φροντιστήρια 4η Κατηγορία : Γενική Μορφή της Εξίσωσης Κύκλου.5 *Να βρείτε το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση x + y + 4x 6 y 3= 0 Η εξίσωση µορφής x + y + 4x 6y 3= 0 είναι της x + y + Αx+ Βy+ Γ= 0, µε Α= 4, Β= 6 και Γ= 3. Είναι + 4 ( 6) 4( 3) A B 4Γ = + = 64> 0. Άρα παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο Κ 4 (, 6 ) δηλαδή Κ( 3, ) ρ= 64 = 4. και ακτίνα Η εξίσωση ΜΕΘΟ ΟΣ x + y + Ax+ By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο µόνο όταν A + B - 4Γ > 0. Το κέντρο του κύκλου αυτού είναι το σηµείο Κ (-A,- B ) και η ακτίνα του είναι ρ = A + B -4Γ Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 7 5η Κατηγορία : Σχετική Θέση ευθείας και κύκλου.6 ίνεται η ευθεία y = λx + κ, κ,λ και ο κύκλος Ο κύκλος ρ> 0. Να αποδείξετε ότι: x + y = ρ, µε i) η ευθεία τέµνει τον κύκλο, αν, και µόνο αν κ < ρ ( + λ ) ii) η ευθεία εφάπτεται του κύκλου αν, και µόνο αν κ = ρ ( + λ ) iii) η ευθεία δεν έχει κοινά σηµεία µε τον κύκλο, αν, και µόνο αν κ > ρ ( + λ ) x + y = ρ έχει κέντρο το σηµείο O00 (,) και ακτίνα ρ> 0. Επίσης η εξίσωση της ευθείας y = λx + κ γράφεται ισοδύναµα λx y + κ = 0. Άρα η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία (ε) είναι: d( Οε, ) = λ + 0 0 κ λ + ( ) = κ λ + ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ i) η ευθεία τέµνει τον κύκλο, αν, και µόνο αν: d( Οε, ) < ρ κ < ρ λ + κ < ρ λ + κ < ρ ( + λ ). Η ευθεία (ε) τέµνει τον κύκλο (c), µόνο όταν dkε (, ) < ρ K d ε ρ Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

8 Φροντιστήρια ii) η ευθεία εφάπτεται του κύκλου αν, και µόνο αν d( Οε, ) = ρ κ = ρ λ + κ = ρ λ + κ = ρ ( + λ ) iii) η ευθεία δεν έχει κοινά σηµεία µε τον κύκλο, αν, και µόνο αν d( Οε, ) > ρ κ > ρ λ + κ > ρ λ + κ > ρ ( + λ ) Η ευθεία (ε) εφάπτεται στον κύκλο (c) µόνο όταν dkε (, ) = ρ Η ευθεία (ε) δεν έχει κοινά σηµεία µε τον κύκλο (c) µόνο όταν dkε (, ) > ρ K ε d K ρ ε d ρ Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 9 6η Κατηγορία : Χορδές Κύκλου.7 *Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου µέσο το σηµείο Μ (, ). x + y = 4 που έχει Αν η χορδή ΑΒ έχει µέσον το Μ, τότε είναι ΟΜ ΑΒ δηλαδή το ΟΜ είναι το απόστηµα της O A B M, ( ) χορδής ΑΒ. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΟΜ είναι λ= 0 = 0 και εποµένως ο συντελεστής διεύθυνσης της χορδής ΑΒ θα είναι ίσος µε. Άρα, η εξίσωση της χορδής είναι: y+= ( x ) y= x. ΣΧΟΛΙΟ Από τη Γεωµετρία γνωρίζουµε ότι: Αν ΑΒ είναι χορδή ενός κύκλου, τότε το ευθύγραµµο τµήµα ΟΜ που συνδέει το κέντρο του κύκλου µε το µέσο Μ της χορδής ΑΒ είναι κάθετο στη χορδή αυτή και λέγεται απόστηµα της χορδής. Στην περίπτωση αυτή, (όπως φαίνεται και στην επόµενη άσκηση) µπρούµε να εφαρ- µόσουµε το Πυθαγόρειο Θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηµατίζεται. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

0 Φροντιστήρια 7η Κατηγορία : Εύρεση Εξίσωσης Εφαπτομένης Κύκλου.8 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου i) ii) x + y = 0 στο σηµείο του Α(, 3 ) x + y = 3 στο σηµείο του Α(, β). i) Το σηµείο Α(, 3 ) ανήκει στον κύκλο x + y = 0, γιατί οι συντεταγµένες του Α ι- κανοποιούν την εξίσωση του κύκλου: + 3 = 0. Η εφαπτοµένη του κύκλου στο Α έχει εξίσωση x + y 3= 0 x + 3 y = 0 ii) Το σηµείο Α(, β) ανήκει στον κύκλο x + y = 3, µόνο όταν οι συντεταγµένες του Α ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου: ( ) + β = 3 β = 9 β=± 3. Άρα υπάρχουν δυο σηµεία του κύκλου µε τετµηµένη : το σηµείο Α ( 3, ) µε εφαπτοµένη την ευθεία ε µε εξίσωση x + 3y = 3, και το σηµείο Α (, 3) µε εφαπτοµένη την ευθεία ε µε εξίσωση x 3y = 3. ΜΕΘΟ ΟΣ Η εφαπτοµένη του κύκλου x + y = ρ στο σηµείο του A ( x, y) έχει εξίσωση xx + = yy ρ. ΠΡΟΣΟΧΗ: Η παραπάνω εξίσωση της εφαπτοµένης ισχύει βέβαια µε την προϋπόθεση ότι το σηµείο A ( x, y) να ανήκει στον κύκλο, δηλαδή οι συντεταγµένες του Α να ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου: x + y = ρ. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια.9 * Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου x + y = 5 σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία y = x + 3. ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία y = x. i) α τρόπος: (µε σηµείο επαφής) Αν Ax (, y ) είναι το σηµείο επαφής, τότε η εφαπτοµένη του κύκλου στο ση- µείο Α θα έχει εξίσωση xx+ yy= 5 και επειδή είναι παράλληλη στην ευθεία y= x+ 3 θα ισχύει =. Άρα x= y (). x y Επίσης το σηµείο Ax (, y ) ανήκει στον κύκλο οπότε Από το σύστηµα των εξισώσεων () και (), έχουµε: x y = ( y) + y= 5 x y = y=± x + y = 5 (). x y = x+ y= 5 x x = = ή y= y= Οπότε υπάρχουν δύο σηµεία επαφής, τα Α( -, ) και Β(, - ) και οι αντίστοιχες εφαπτόµενες είναι οι x+ y= 5 και x y= 5. β τρόπος: (µε διπλή λύση σύστηµατος) Η ζητούµενη εφαπτοµένη (ε) είναι παράλληλη στην ευθεία y= x+ 3, άρα έχει εξίσωση της µορφής y= x+ β, β. Για να εφάπτεται του κύκλου x + y = 5, αρ- ΜΕΘΟ ΟΣ Μια ευθεία (ε) εφάπτεται σε ένα κύκλο (c) αν, και µόνο αν, το σύστηµα των εξισώσεών τους έχει διπλή λύση. (δηλαδή µε α- Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια κεί το σύστηµα λύση. x y 5 + = να έχει διπλή y= x+ β ντικατάσταση, προκύπτει εξίσωση ου βαθµού µε διακρίνουσα ίση µε 0) x y 5 Για το σύστηµα έχουµε: + = y= x+ β x 4x 4βx β 5 + + + = y= x+ β Εποµένως αρκεί η εξίσωση x ( x β) 5 + + = y= x+ β 5x 4βx β 5 0 + + = y= x+ β 5x + 4βx+ β 5= 0 να έχει διακρίνουσα = 0 ( 4β) 45( β 5) = 0 4β + 00= 0 β = 5 β= 5 ή β= 5. Άρα υπάρχουν δύο εφαπτόµενες του κύκλου παράλληλες προς την ευθεία y= x+ 3: οι ευθείες µε εξισώσεις y= x+ 5 και y= x 5. ii) Αν Ax (, y ) είναι το σηµείο επαφής, τότε η εφαπτοµένη του κύκλου στο Α θα έχει εξίσωση xx+ yy= 5 και, επειδή είναι κάθετη στην ευθεία y= x, x θα είναι x = y - =- x y = y (). Επειδή το σηµείο Ax (, y ) είναι σηµείο του κύκλου, θα ισχύει Από το σύστηµα των εξισώσεων () και (), έχουµε: Ô Ï x= y Ô Ì Ôx+ y= 5 Ó Ô Ï Ô x= y Ô Ì Ô4 y+ y= 5 Ó Ô x y = y=± x + y = 5. x x = = ή y= y= Οπότε υπάρχουν δύο σηµεία επαφής, τα Α(,) και Β( -,- ) και οι αντίστοιχες εφαπτόµενες είναι οι x+ y= 5 και x y= 5. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 3.0 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου ( x ) + ( y+ 3) = 5 στο σηµείο του Α(, ). Το σηµείο Α(, ) ανήκει στον κύκλο ( x ) + ( y+ 3) = 5, γιατί οι συντεταγ- µένες του Α ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου: ( ) + ( + 3) = + 4= 5. Η εφαπτοµένη (ε) διέρχεται απο το ση- µείο επαφής Α(, ) και είναι κάθετη στην ακτίνα ΚΑ. Η ακτίνα ΚΑ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 3 ΑΚ= + =, οπότε η εφαπτοµένη (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε =. Άρα η εξίσωση της (ε) είναι: y ( ) = ( x ) y= x 3 ΜΕΘΟ ΟΣ Για την εξίσωση της εφαπτοµένης ενός κύκλου κέντρου Κ, σε ένα σηµείο του Α, µπορούµε να στηριχτούµε και στην καθετότητα της εφαπτοµένης στην ακτίνα ΚΑ, και έτσι να προσδιορίσουµε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης. y O A(, ) K(, 3) ε x Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

4 Φροντιστήρια 8η Κατηγορία : Εξισώσεις εφαπτομένων που άγονται από σημείο εκτός κύκλου. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου C: x + y = 5 που διέρχονται από το σηµείο A3 (,), και να αποδειχτεί ότι οι εφαπτό- µενες αυτές είναι κάθετες. α τρόπος: Έστω ε µια εφαπτοµένη του κύκλου C που διέρχεται από το σηµείο Α. Αν Mx (, y ) είναι το σηµείο επαφής, τότε η ε θα έχει εξίσωση xx+ yy= 5 () και επειδή διέρχεται από το σηµείο A3 (,), θα ισχύει 3x+ y= 5. () Όµως, το σηµείο Mx (, y ) ανήκει στον κύκλο C. Άρα x + y = 5. (3) Από () και (3) έχουµε το σύστηµα: 3x+ y= 5 x+ y= 5 y= 5 3x x+ ( 5 3x) = 5 y= 5 3x 0x 30x+ 0= 0 y= 5 3x y= 5 3x y= y= ή x 3x+ = 0 x = ή x= x = x= Εποµένως, υπάρχουν δύο σηµεία επαφής, άρα και δυο εφαπτοµένες του κύκλου C που διέρχονται από το σηµείο A3 (,): Η εφαπτοµένη στο σηµείο M(, ) µε εξίσωση (από την ()) ε: x+ y= 5 και η εφαπτοµένη στο σηµείο M (, ) µε εξίσωση (από την ()) ε : x y= 5. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 5 Επειδή οι συντελεστές διεύθυνσης των ε και ε είναι λ = και λ=, οι ευθείες ε και ε είναι κάθετες. β τρόπος: Από το σηµείο A3 (,) διέρχονται άπειρες ευθείες: Η κατακόρυφη ευθεία µε εξίσωση x= 3 () και οι πλάγιες ευθείες µε συντελεστή διέυθυνσης λ και εξισώσεις της µορφής y = λ( x 3) λ x y 3λ+ = 0 (). Η κατακόρυφη ευθεία µε εξίσωση x= 3 δεν είναι εφαπτοµένη του κύκλου C: x + y = 5, γιατί απέχει από το κέντρο του κύκλου απόσταση ίση µε doε (, ) = 3 ρ, αφού ρ= 5. Για να είναι µια ευθεία µε εξίσωση της µορφής () εφαπτοµένη του κύκλου C: x + y = 5, πρέπει: doε (, ) = ρ λ 0 0 3λ+ = λ + 5 3λ ( 5) ( λ ) 3λ+ = 5 λ + + = + 9λ 6 λ+ = 5 ( λ + ) 4λ 6 λ 4= 0 λ 3λ = 0 λ= ή λ= Εποµένως, υπάρχουν δυο εφαπτοµένες του κύκλου C µε εξισώσεις της µορφής () που διέρχονται από το σηµείο A3 (,): Για λ= η ευθεία ε : x y 3 + = 0 x y 5= 0 και για λ = η ευθεία : ( ) ε x y 3 + = 0 x+ y 5= 0. Επειδή οι συντελεστές διεύθυνσης των ε και ε είναι λ= και λ =, οι ευ- θείες ε και ε είναι κάθετες. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

6 Φροντιστήρια 9η Κατηγορία : Σχετική Θέση δύο κύκλων ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ K ρ ρ Λ A ρ K Λ ρ ύο κύκλου είναι ξένοι µεταξύ τους όταν ( ΚΛ) > ρ + ρ ή όταν ( ΚΛ) < ρ ρ K ρ ρ Λ ρ ρ K Λ ύο κύκλου εφάπτονται µεταξύ τους εξωτερικά, όταν ( ΚΛ) = ρ + ρ ύο κύκλου εφάπτονται µεταξύ τους εσωτερικά, όταν ( ΚΛ) = ρ ρ K ρ Λ ρ ύο κύκλου τέµνονται όταν ρ ρ < ( ΚΛ) < ρ + ρ Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 7. *Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων: c : x + y = και c : ( x ) + y = 4. Ο κύκλος c έχει κέντρο το σηµείο O00 (,) y και ακτίνα ρ=, ενώ το κύκλος c έχει κέντρο το σηµείο K (, 0 ) και ακτίνα ρ=. Η απόσταση των κέντρων τους (διάκεντρος) A Ο K x είναι ( OK) = ( 0) + ( 0 0) = και η διαφορά των ακτίνων τους είναι ρ ρ=. ηλαδή ( OK) = ρ ρ Άρα ο κύκλος c εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου c. Το σηµείο επαφής των κύκλων, έχει συντεταγµένες τις λύσεις του συστήµατος: x + y = x y + = ( x ) + y = 4 x x+ + y = 4 x y + = x + y = x+ 3 x y + = x+ 3= x y + = x= ( ) y + = x= y= 0 x = Άρα οι κύκλοι c και c εφάπτονται εσωτερικά στο σηµείο A( - 0, ). Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

8 Φροντιστήρια ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ ίνονται δυο κύκλοι c και c, µε κέντρα Κ, Λ και ακτίνες ρ, ρ αντίστοιχα. Αν Α τυχαίο σηµείο του κύκλου c και Β τυχαίο σηµείο του κύκλου c, όπως µπορούµε να διαπιστώσουµε εύκολα σε όλα τα παρακάτω σχήµατα: Η µέγιστη τιµή της απόστασης των σηµείων Α και Β είναι ( ΑΒ) = ( ΚΛ) + ρ + ρ Για την ελάχιστη τιµή όµως της απόστασης των σηµείων Α και Β, έχουµε: A K Α Β Λ ρ ρ ρ ρ B Β ρ AΛ K ρ ρ B Όταν ( ΚΛ) > ρ + ρ ελάχιστη τιµή: ( Α Β ) = ( ΚΛ) ρ ρ Όταν ( ΚΛ) < ρ ρ ελάχιστη τιµή: ( ΑΒ ) = ρ ρ ( ΚΛ) A ρ K ρ ρ Λ ρ B A ρ Λ K ρ ρ B Όταν ( ΚΛ) = ρ + ρ ελάχιστη τιµή: ( Α Β ) = 0 Όταν ( ΚΛ) = ρ ρ ελάχιστη τιµή: ( ΑΒ ) = 0 A ρ K Λ ρ B Όταν ρ ρ < ( ΚΛ) < ρ + ρ ελάχιστη τιµή: ( Α Β ) = 0 Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 9.3 ίνονται οι κύκλοι C :( x ) y + + = και C :( x 3) + ( y ) = 4. i) Να βρείτε το µήκος της διακέντρου. ii) Να δείξετε ότι οι κύκλοι δεν έχουν κοινό σηµείο. iii) ίνονται τα µεταβλητά σηµεία Α και Β, όπου το Α ανήκει στον C και το Β στον C. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της απόστασης ( ΑΒ ). i) Ο κύκλος C έχει κέντρο την αρχή Κ ( 0, ) των αξόνων, ενώ ο κύκλος C έχει κέντρο το σηµείο Λ(,) 3. Εποµένως η διάκεντρος έχει µήκος ( ΚΛ) = ( 3+ ) + ( 0) = 0= 5. ii) Οι ακτίνες των δυο κύκλων C και C είναι ρ= και ρ= αντίστοιχα. Παρατηρούµε ότι ισχύει: ( ΚΛ) > ρ+ ρ 5 >+ ( ) 5 3 > 0> 9. Εποµένως οι κύκλοι C και C δεν έχουν κοινό σηµείο και µάλιστα τα ση- µεία του ενός είναι εξωτερικά των σηµείων του άλλου. iii) Η µέγιστη τιµή της ( ΑΒ ) είναι ( ΚΛ) + ρ+ ρ= 5+ + = 5+ 3, ενώ η ελάχιστη τιµή της είναι ( ΚΛ) ρ ρ= 5 = 5 3 Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

0 Φροντιστήρια 0η Κατηγορία : Κοινές Εφαπτομένες δύο Κύκλων.4 * ίνονται οι κύκλοι C :( x ) + ( y 3) = 5 και C : x + ( y+ ) = 3. i) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης ε του κύκλου C στο ση- µείο του A5 (, ). ii) Να αποδειχτεί ότι η ε εφάπτεται και του κύκλου C. i) Ο κύκλος C έχει κέντρο K(,) 3. Το σηµείο A5 (, ) ανήκει προφανώς στον y C κύκλο C γιατί ( 5 ) + ( 3) = 5. K(,3) ε Η ακτίνα ΚΑ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ KA = 3= 4, οπότε η εφαπτοµένη ε του 5 3 C στο Α, που είναι κάθετη στην ακτίνα ΚΑ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 3 ε=, και επειδή 4 C Ο Λ(0, ) διέρχεται από το σηµείο A5 (, ), η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: A(5, ) x y ( ) = 3 ( x 5) 4( y+ ) = 3( x 5) 3x 4y 9= 0 () 4 ii) O κύκλος C έχει κέντρο Λ(, 0 ) και ακτίνα 3. Η απόσταση του κέντρου Λ(, 0 ) του C από την ε είναι ίση µε 30 4( ) 9 d( Λε, 5 ) = = = 3 3 + 4 5 Άρα η ε εφάπτεται του κύκλου C, γιατί η απόσταση του κέντρου Λ(, 0 ) του C από την ε είναι ίση µε την ακτίνα του C, δηλαδή ίση µε 3. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια η Κατηγορία : Οικογένειες Κύκλων.5 * ίνεται η εξίσωση x + y λx = 0 (), όπου λ R. i) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή του λ, η () παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και η ακτίνα. ii) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι C λ που ορίζονται από την () για τις διάφορες τιµές του λ διέρχονται από δύο σταθερά σηµεία. Ποια είναι η εξίσωση της κοινής χορδής όλων αυτών των κύκλων; i) Η εξίσωση x + y λx = 0 είναι της µορφής µε Α= λ, Β= 0 και Γ=. Είναι A B 4Γ = + ( ) + ( λ) 0 4( ) κύκλο µε κέντρο το σηµείο (, ) x + y + Αx+ Βy+ Γ= 0, = 4 λ + > 0. Άρα παριστάνει Κ λ 0 και ακτίνα ( ) ρ= 4 λ + = λ +. ii) Θα θεωρήσουµε δύο από τους παραπάνω κύκλους και αφού βρούµε τα κοινά τους σηµεία θα αποδείξουµε ότι κάθε άλλος κύκλος που ορίζεται από την ε- ξίσωση () διέρχεται από τα σηµεία αυτά. Για λ= 0, λ= έχουµε τους κύκλους: C : x + y = 0 και C : x + y x = 0 (). 0 Τα σηµεία τοµής των κύκλων αυτών έχουν συντεταγµένες τις λύσεις του συστήµατος των εξισώσεων (): + = x y 0 x + y x = 0 x + y = y = x= 0 x= 0 x= 0 ή x= 0 y = y= Άρα, οι κύκλοι C 0 και C τέµνονται στα σηµεία A0 (,) και B(, 0 ). Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια Από τα σηµεία αυτά διέρχονται όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση (), αφού οι συντεταγµένες των Α και Β επαληθεύουν την εξίσωση x + y λx = 0 () για κάθε λ. y A(0,) Ο B(0, ) x Πράγµατι 0 + λ0 = 0 και 0 + ( ) λ0 = 0. Η εξίσωση της κοινής χορδής είναι η x= 0. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 3 η Κατηγορία : Γεωμετρικοί Τόποι.6 ίνονται τα σηµεία Α(, ) και Β ( 5, ). Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ( MA) = ( MB). Έστω Mxy (,) τυχαίο σηµείο το ζητούµενου γεωµετρικού τόπου. Τότε ( MA) = ( MB) ( x ( ) ) + ( y ) = ( x ( 5) ) + ( y ( ) ) ( x+ ) + ( y ) = 4 ( x+ 5) + ( y+ ) x 4x 4 y y + + + + = 4( x + 0x+ 5+ y + 4 y+ 4) :(-3) fi x + y + 4x y+ 5 3x 3y 36x 8y = 0 x + y + x+ 6 y+ 37= 0 = 4x + 4y + 40x+ 6y+ 6 Είναι A + B 4Γ = + 6 437 = 44+ 36 48= 3> 0. Άρα ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ είναι ο κύκλος µε εξίσωση x + y + x+ 6 y+ 37= 0 που έχει κέντρο το σηµείο K( 6, 3) και ακτίνα ρ= 3 = 4 =. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

4 Φροντιστήρια.7 Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ, από τα οποία οι εφαπτόµενες προς τον κύκλο x + y = ρ είναι κάθετες. Έστω Mxy (,) τυχαίο σηµείο το ζητούµενου γεωµε- y M(x,y) τρικού τόπου. Τότε οι εφαπτόµενες ΜΑ και ΜΒ προς τον κύκλο x + y = ρ είναι κάθετες. Αυτό συµβαίνει, αν και µόνο αν το τετράπλευρο B ρ O ρ A x ΟΑΜΒ είναι τετράγωνο ή, ισοδύναµα, ( OM) = ( OA) + ( AM) x + y = ρ + ρ x + y = ρ, δηλαδή, ότι ο γεωµετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος x + y = ( ρ ). Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου