ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίων µεταβλητών καθώς και την µέση τιµή και διασπορά τους Χρήση διακριτών κατανοµών όπως της οµοιόµορφης κατανοµής, της διωνυµικής, της Poisson Εξοικείωση µε τη χρήση των πινάκων της κανονικής κατανοµής και τον υπολογισµό πιθανοτήτων διαστηµάτων της. 1
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Η τυχαία µεταβλητή (ΤΜ) χρησιµοποιείται για να απεικονίσει τον δειγµατικό χώρο Ω σ ένα πιο εύχρηστο σύνολο αριθµών. Κατηγορίες τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτές. Όταν οι τιµές τους είναι ατοµικές και µπορούν να διακριθούν 2. Συνεχείς. Όταν οι τιµές τους βρίσκονται σε συνεχές αριθµητικό διάστηµα καιδενµπορούν να απαριθµηθούν Η αντιστοίχηση πιθανοτήτων σε κάθε τιµή της X καλείται συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας (σ.κ.π.). είχνει την κατανοµή της ολικής πιθανότητας στις διακριτές τιµές της X (το άθροισµα τωνπιθανοτήτων όλων των τιµών της X ισούται µε 1). Αν η X είναι διακριτή, καλείται συνάρτηση (κατανοµής) µάζας πιθανότητας (σ.µ.π.). 2
Παράδειγµα 3.1. Έκφραση των ενδεχοµένων ρίψεως ενός νοµίσµατος τρεις φορές σε συνάρτηση µάζας πιθανότητας Εκβάσεις: Μεταβλητή: Τα ενδεχόµενα που προκύπτουν από την ρίψη νοµίσµατος Αριθµός «κεφαλών» στα ενδεχόµενα του Ω Έκβ αση X: ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΓΚΚ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΓΓ 3 2 2 1 2 1 1 0 X: 0 1 2 3 P(X): 1/8 3/8 3/8 1/8 P(x) 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 1 2 3 4 3
ιακριτή Oµοιόµορφη (Discrete Uniform) κατανοµή Px ( ) 1 x= 1, 2,3... k = k 0 αλλιως Ηοµοιόµορφη κατανοµή εφαρµόζεται σε περιπτώσεις όπου όλες οι τιµές έχουν την ίδια πιθανότητα. Παράδειγµα. 1) Ζάρι. Οι πιθανότητες έκβασης κάθε «ενδεχοµένου» είναι ίσες µε 1/6 2) Κέρµα. Σε µία ρίψη οι πιθανότητα του ενδεχόµενου «κορώνα» ήγράµµατα» είναι ½ 4
ιωνυµική (binomial) κατανοµή Τυχαίο πείραµα µε δύο δυνατές εκβάσεις (ενδεχόµενα): Επιτυχία (Ε) και Αποτυχία (Α) Προϋποθέσεις (οι δοκιµές του πειράµατος): 1) Είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, και 2) Όλεςέχουντηνίδιαπιθανότηταεπιτυχίας, p. Τυχαία Μεταβλητή: Χ= {αριθµός επιτυχιών} ιακριτή µεταβλητή µε τιµές 0,1,2. n Συµβολισµός: Bi(n, p) Px ( ) n! x n x p (1 p) x = 0,1, 2,3... n = x!( n x)! 0 για αλλη τιµη Όπου n οαριθµός των επαναλήψεων, p η πιθανότητα επιτυχίας σε µία εκτέλεση q=1-p η πιθανότητα αποτυχίας. Παράδειγµα: Ρίψη νοµίσµατος (n επαναλήψεις) Χ: {αριθµός κεφαλών ή αριθµός γραµµάτων} {κουκουβάγιες ή αριθµοί (Ευρώ)} 5
Poisson κατανοµή Προϋποθέσεις : 1) Ανεξάρτητοι αριθµοί πραγµατοποιήσεων µη-επικαλυπτόµενων χρονικών διαστηµάτων, P(X 1 =x 1 & X 2 =x 2 )=P(X 1 =x 1 )P(X 2 =x 2 ). Ίδια πιθανότητα επιτυχίας, p 2) σε πολύ µικρά διαστήµατα, η πιθανότητα να συµβούν περισσότερες από µια πραγµατοποιήσεις είναι πολύ µικρή, πρακτικά µηδέν. Αλλιώς σε τέτοια διαστήµατα έχουµε µια ή καµιά πραγµατοποίηση. 3) η πιθανότητα µίας πραγµατοποίησης σ ένα πολύ µικρό χρονικό διάστηµα είναι ανάλογο του µήκους του, δηλαδή P[µία πραγµατοποίηση στο (t, t+h)] = λh Τυχαία Μεταβλητή: Χ= {αριθµός πραγµατοποιήσεων σε ένα χρονικό διάστηµα} ιακριτή µεταβλητή µε τιµές 0,1,2. άπειρο Συµβολισµός: Po(λ) x e λ λ x = 0,1, 2,3... Px ( ) = x! 0 αλλου 6
Παράδειγµα. Ας θεωρήσουµε την X = αριθµός µικρών ατυχηµάτων ηµερησίως σ ένα νοσοκοµείο, και ας υποθέσουµε η X έχει την Poisson κατανοµή µε παράµετρο λ = 2, δηλαδή X ~ Po(2). Ποια είναι η πιθανότητα 0, 1 ή 2 ατυχηµάτων κατά την διάρκεια µιας µέρας; 2 0 e 2 (0,135)(1) P(0) = = = 0,135 0! 1 P(X) 2 2 e 2 (0,135)(4) P(2) = = = 0, 271 2! 2 2 1 e 2 (0,135)(2) P(1) = = = 0, 271 1! 1 0,300 0,200 0,100 0,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 7
Μέση τιµή και διασπορά διακριτής τυχαίας µεταβλητής Σε ένα πληθυσµό που περιγράφεται από µια διακριτή κατανοµή ορίζουµε ως: Μέση τιµήτηςx ή αναµενόµενη τιµή (expected value) της X µ ιασπορά (variance) της X n = = E( X) xp( x ) Τυπική απόκλιση (standard deviation) της X i i i= 1 n 2 2 = Χ = xi i= 1 σ ( ) ( µ ) P( x ) σ = 2 σ i Οι τιµές µ, σ 2 διαφοροποιούνται από τα αντίστοιχα σύµβολα x, s 2 στο ότι οι πρώτες αναφέρονται σε πληθυσµό ενώ οι δεύτερες σε δείγµα παρατηρήσεων 8
σ 2 = (X) = Ε(Χ 2 ) - µ 2 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΣΧΕΣΕΙΣ Η ιασπορά µπορεί να υπολογισθεί µε την παρακάτω σχέση Για Χ 1, Χ 2,, Χ n είναι ΤΜ ς µε την ίδια σ.π.π. και ανεξάρτητες δηλαδή αν P(X 1 =x 1 και X 2 =x και X 2 n =x n ) =P(X 1 =x 1 )P(X 2 =x 2 ) P(X n =x n )]. Τότε ισχύει: n n n n 2 2 E( X ) = µ = nµ & Var( X ) = σ = nσ i i i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 Επίσης αν x = n i= 1 n x i n n 2 1 1 σ E( X) = E( X ) = µ & ( Χ ) = ( Xi) = n n n i 2 i= 1 i= 1 9
Μέση τιµή καιδιασποράγνωστών τυχαίων κατανοµών Μέση τιµή ιασπορά Οµοιόµορφη (k+1)/2 (k 2-1)/12 ιωνυµική, Bi(n,p) np np(1-p) Poisson, Po(λ) λ λ Αν Χ είναι ΤΜ και c σταθερός αριθµός, τότε: Ε(cΧ) = cε(χ) & (cχ) = c2 (Χ) Αν Χ 1 και Χ 2 είναι ΤΜ ς, τότε: Ε(Χ 1 ± Χ 2 )= Ε(Χ 1 ) ± Ε(Χ 2 ) και αν επιπλέον οι Χ 1 και Χ 2 είναι ανεξάρτητες, τότε (Χ 1 ± Χ 2 )= (Χ 1 ) + (Χ 2 ) 10
Παράδειγµα 3.4. Εισαγωγές σε µία µαιευτική κλινική Ο πίνακας παρακάτω δείχνει την κατανοµή συχνοτήτων του αριθµού εισαγωγών ηµερησίως σε µια µεγάλη µαιευτική κλινική κατά την περίοδο 450 διαδοχικών ηµερών. Αριθµός εισαγωγών 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 + Συχνότητα (αριθµός ηµερών) 15 49 81 93 86 63 35 19 7 2 0 Τυχαία µεταβλητή X = αριθµός εισαγωγών ηµερησίως Μέση τιµή αριθµού εισαγωγών 1566 x = = 3, 48 450 Θα εξετάσουµε εάν η Χ ακολουθεί κατανοµή Poisson υπολογίζοντας τις αναµενόµενες συχνότητες µε λ=3,48 11
Παράδειγµα 3.4. (Συνέχεια) Αρ. εισαγωγών Poisson Πιθανότητα Παρατηρηθείσα συχνότητα Αναµενόµενη συχνότητα 0 0,031 15 13,863 1 0,107 49 48,244 2 0,187 81 83,945 3 0,216 93 97,377 4 0,188 86 84,718 5 0,131 63 58,963 6 0,076 35 34,199 7 0,038 19 17,002 8 0,016 7 7,396 9 0,006 2 2,860 10+ 0,003 0 1,434 12
Παράδειγµα 3.4. (Συνέχεια) 100 80 60 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10+ Παρατηρηθείσα συχνότητα Αναµενόµενη συχνότητα 13
Παράδειγµα 3.5. Μνήµη αναγνώρισης προσώπων. Σ ένα τεστ µνήµης αναγνώρισης προσώπων, σ ένα άτοµο παρουσιάζονται πέντε εικόνες (φωτογραφίες) και καλείται να αναγνωρίσει τα εικονιζόµενα πρόσωπα. Σηµειώνεται σαν επίδοση ο αριθµός των σωστών αναγνωρίσεων. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις συχνότητες των επιδόσεων 100 ατόµων σ αυτό το τεστ. Επίδοση αναγν. 0 1 2 3 4 5 Συχνότητα (αριθµός ατόµων) 11 22 36 21 7 3 Έστω η τυχαία µεταβλητή X= «επίδοση αναγνωρίσεων» 200 Μ εσος αριθµος αναγνωρισεων = = 2 100 Θα εξετάσουµε εάν η Χ ακολουθεί ιωνυµική κατανοµή υπολογίζοντας τις αναµενόµενες συχνότητες µε p=2/5=0,4 14
Επίδοση ιωνυµική πιθανότητα Παρατηρ. Αναµενόµενη συχνότητα συχνότητα 0 0,0778 11 7,78 1 0,2592 22 25,92 2 0,3456 36 34,56 3 0,2304 21 23,04 4 0,0768 7 7,68 5 0,0102 3 1,02 40 30 20 10 Παρατηρηθείσα συχνότητα Αναµενόµενη συχνότητα 0 0 1 2 3 4 5 15
Παράδειγµα 1. Στη διάρκεια µιας χρονιάς σηµειώθηκαν 80 κρούσµατα από µία νόσο. Απ αυτά 15 σηµειώθηκαν την άνοιξη, 15 το καλοκαίρι, 30 το φθινόπωρο και 20 τον χειµώνα. Υπάρχει διαφορά στη συχνότητα της νόσου στις 4 εποχές. Παράδειγµα 2. Στα εξωτερικά ιατρεία ενός µεγάλου νοσοκοµείου είναι γνωστό ότι το 40% των ασθενών που καταφθάνουν πάσχουν από θωρακικά νοσήµατα. Μια επιτροπή γιατρών διαλέγει στην τύχη 12 ασθενείς για εξέταση. (i) Ποια ηπιθανότηταστους12 ασθενείς οι 3 να πάσχουν από κάποιο θωρακικό νόσηµα; (ii) Πόσους ασθενείς µέ θωρακικάνοσήµατα ελπίζει να βρει η επιτροπή µέσα στους 12 ασθενείς Παράδειγµα 3. Το τηλεφωνικό κέντρο ενός σταθµού πρώτων βοηθειών δέχεται τηλεφωνήµατα έκτακτης ανάγκης που ακολουθούν την κατανοµή Poisson µε ρυθµό κλήσεων 2 ανά 30 κατά µέσο όρο. Να βρεθεί η πιθανότητα το τηλεφωνικό κέντρο να δεχτεί τουλάχιστον 3 τέτοια τηλεφωνήµατα από τις 12 το µεσηµέρι µέχρι της 2 µ.µ. 16
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON (EXCEL) 17
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON (EXCEL) Για το παράδειγµα χρησιµοποιήθηκαν οι εξής συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΥΝΟΛΑ SUM =SUM(B3:L3) =SUM(B6:L6) λ Τελεστής «/» =Μ6/Μ3 ΑΝΑΜΕΝΟΜΗ fi POISSON =POISSON(B2;$M$8;FALSE) To διάγραµµα δηµιουργήθηκε από το µενού εντολών: Εισαγωγή Γράφηµα Στήλες (Insert-Graphs-Columns) 18
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON (SPSS) Υπολογισµός Poisson και Observed : Menu Transform Επιλογή Compute Στο παράθυρο Compute Target Variable = EXPECTED Numeric Expression PDF.POISSON(num_acc,3.48)*450 (Poisson p) PDF.POISSON(num_acc,3.48)*450 (Expected fi) COMPUTE EXPECTED = PDF.POISSON(num_acc,3.48)*450 EXECUTE. COMPUTE POISSON = PDF.POISSON(num_acc,3.48) EXECUTE. 19
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON (SPSS) Από Graphs Επιλογή Bars Options Clustered, Summaries of Separate Variables Επιλογή των µεταβλητών Observ και Expected Category Axis num_acc GRAPH /BAR(GROUPED)=MEAN(observ) MEAN(expected) BY num_acc /MISSING=LISTWISE REPORT. 20