Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι α: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής
Μαθηματικός Περιηγητής
Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Περιεχόμενα Θέμα ο...5 Θέμα 4 ο... Κεφάλαιο ο : Ευθείες Θέμα ο...5 Θέμα 4 ο... Μαθηματικός Περιηγητής 3
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο Δ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μαθηματικός Περιηγητής 4
Θ Ε Μ Α ο Μαθηματικός Περιηγητής 5
ΘΕΜΑ Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Δίνονται τα διανύσματα και με, α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο. 3 και,. β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος και είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα i j και 7, 3, i 5 j α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα,, είναι μη συγγραμμικά ανά δύο β) Να γραφεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων και (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 3 Δίνονται τα σημεία Α(, 3), Β(-, 5) και Γ(-, -4). α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ. γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. ΘΕΜΑ 4 Θεωρούμε τα σημεία Α(+α, 4α-) και Β(5α+, -α), a. α) Να γράψετε το AB συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε AB 0. (Μονάδες ) Μαθηματικός Περιηγητής 6
β) Έστω α=. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. ΘΕΜΑ 5 Έστω, δύο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν: 3 a 9, a και, 3 α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων, και το εσωτερικό γινόμενο (Μονάδες 3) β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u 3. (Μονάδες ) (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 6 Δίνονται τα διανύσματα, 3 και,. α) Να βρείτε την προβολή του a πάνω στο. β) Να αναλύσετε το a σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το ΘΕΜΑ 7 Δίνονται τα διανύσματα, 3 και,. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u. β) Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u και v x, x (Μονάδες 5) είναι κάθετα. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 8 Μαθηματικός Περιηγητής 7
Δίνονται τα διανύσματα, 3 α) Τη γωνία, ˆ και 3, 3. Να υπολογίσετε: u. β) Το διάνυσμα (Μονάδες5) ΘΕΜΑ 9 Δίνονται τα διανύσματα, με, και, ˆ. Να υπολογίσετε τα εξής: 3 α) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων, και κατόπιν την τιμή της παράστασης β) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων και. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 0 Έστω, δυο διανύσματα με, α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα 5,, ˆ και u. 6 και u β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u. (Μονάδες 6) (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Θεωρούμε τα σημεία Α(α+, 3), Β(α, 4) και Γ(-4, 5α+4), a. α) Να βρείτε τα διανύσματα AB, B. β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. γ) Αν α=, να βρείτε αριθμό λ ώστε A AB Μαθηματικός Περιηγητής 8
ΘΕΜΑ Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση: 5P PK 3PM α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. β) Για τα παραπάνω σημεία σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει: A 3, όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. ΘΕΜΑ 3 Δίνονται τα διανύσματα, με 4 και 8. α) Να υπολογίσετε τη γωνία, ˆ. (Μονάδες 5) β) Να αποδείξετε ότι 0. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 Δίνονται τα διανύσματα, με 7, και. α) Να υπολογίσετε τα και. β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος. (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε την προβολή του στο διάνυσμα. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 5 Δίνονται τα διανύσματα, 7 και, 4 α) Να βρεθεί η προβολή του πάνω στο. Μαθηματικός Περιηγητής 9
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των και (Μονάδες ) Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών β) Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 6 Δίνονται τα διανύσματα i 4 j, 3i j και 5i 5 j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα. β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, B και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 7 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και E, Z σημεία τέτοια ώστε:, 5. 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό των και. β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B, Z και E είναι συνευθειακά. (Μονάδες3) (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓκαι σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5 α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των και. (Μονάδες 3) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα και είναι παράλληλα. (Μονάδες ) Μαθηματικός Περιηγητής 0
ΘΕΜΑ 9 Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Δίνονται τα διανύσματα 6 9, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο και, 6, όπου β) Να βρείτε τις τιμές του, ώστε τα διανύσματα και να είναι κάθετα. γ) Για να βρείτε το διάνυσμα. ΘΕΜΑ 0 Έστω τα διανύσματα και για τα οποία : α) Να αποδείξετε ότι β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων και, ˆ 60 και 0 (Μονάδες 9) (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: 4, 6,, 8 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος, όπου είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ είναι οξεία.. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει 3,, να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Μαθηματικός Περιηγητής
Θ Ε Μ Α 4 ο Μαθηματικός Περιηγητής
ΘΕΜΑ α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u v u v και u v u v β) Δίνονται τα διανύσματα a,, για τα οποία ισχύουν: a 0 i) Να αποδείξετε ότι: και ii) Να αποδείξετε ότι: 7 3 0 και (Μονάδες0) a. 3 4 7 ΘΕΜΑ 3 Δίνονται τα διανύσματα, και για τα οποία ισχύουν: a,, ˆ a, 60 και a, όπου α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο a β) Αν ισχύει, τότε: i) να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 3) (Μονάδες 6) ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3 και είναι κάθετα. Μαθηματικός Περιηγητής 3
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο Η Ε Υ Θ Ε Ι Α Σ Τ Ο Ε Π Ι Π Ε Δ Ο Μαθηματικός Περιηγητής 4
Θ Ε Μ Α ο Μαθηματικός Περιηγητής 5
ΘΕΜΑ 4 Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Θεωρούμε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο Α(6, -) εκτός της (ε). Έστω Μ(, ) η προβολή του Α στην (ε). Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ευθείας (ε). β) Το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). (Μονάδες 3) (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 5 Δίνονται τα διανύσματα, και 3, 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u 4. 3 β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης το σημείο Aa,. u 5 και διέρχεται από (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 6 Θεωρούμε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο Α(6, -) εκτός της (ε). Έστω Μ(, ) η προβολή του Α στην (ε). Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ευθείας (ε). β) Το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). ΘΕΜΑ 7 (Μονάδες 3) (Μονάδες ) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με A 5, 4, B, 6, 4, και σημείο Μ της πλευράς ΑΒ για το οποίο ισχύει AM AB. 4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος AB. β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ. (Μονάδες 6) Μαθηματικός Περιηγητής 6
γ) Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες που διέρχεται από τα σημεία Γ, Μ. ΘΕΜΑ 8 (Μονάδες 9) 9 4,, να υπολογίσετε την εξίσωση της ευθείας Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία A3,, B, και, 4. α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ. β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 9 Δίνεται η ευθεία : x y 0 και το σημείο 5, A. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη προς την ευθεία ε. (Μονάδες 9) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. γ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών και και και την απόστασή του από την αρχή των αξόνων. ΘΕΜΑ 30 (Μονάδες 9) Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μέσο Μ και A,, M, 5 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β. β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, καθώς και τα κοινά σημεία αυτής με τους άξονες x x και y y. (Μονάδες 5) Μαθηματικός Περιηγητής 7
ΘΕΜΑ 3 Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Δίνονται τα σημεία A, και, 3 B. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α, Β. (Μονάδες ) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων και Κ, Λ είναι τα σημεία τομής της ε με τους άξονες x x και y y αντίστοιχα. ΘΕΜΑ 3 (Μονάδες 4) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔμε τρεις κορυφές τα σημεία A,, 4, 3 και, 3 α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ.. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓκαι ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. ΘΕΜΑ 33 Δίνονται οι ευθείες σημείο Α(, -). (Μονάδες 6) : x y 5 0, : 3 x y 5 0 με και το α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του οι ευθείες τέμνονται. β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείοα, να βρείτε την τιμή του. γ) Έστω λ= και Β, Γ τα σημεία που οι και τέμνουν τον άξονα y y. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. ΘΕΜΑ 34 Δίνεται η ευθεία (ε): ( ) : y x και το σημείο, 4 A. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε). β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία ( ). (Μονάδες 5) Μαθηματικός Περιηγητής 8
ΘΕΜΑ 35 Έστω M 3, 5 το μέσο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με, α) Να βρείτε: i) τις συντεταγμένες του σημείου Β. A. ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Κ του άξονα x x έτσι, ώστε να ισχύει KA KB. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 36 Θεωρούμε την ευθεία B 0, 6 αντίστοιχα. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας. που τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία 3, 0 A και β) Αν είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην, τότε να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας, ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών και. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 37 Δίνονται οι ευθείες : 3x y 3 0 και : x y 4 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών και β) Αν η ευθεία τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β και η ευθεία τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ. Μαθηματικός Περιηγητής 9
ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα Β και Γέχει εξίσωση την 3x 4y 0 (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 38 Δίνονται οι ευθείες : x 3y 5 0 και : 3x y 5 0 α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι κάθετες μεταξύ τους. β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών και (Μονάδες 9) (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την αρχή Ο των αξόνων. ΘΕΜΑ 39 Δίνονται οι ευθείες :8 x y 8 0 και : x y 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και, στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στον άξονα x x. β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση την: x y 3 4 0, όπου. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 40 Δίνονται οι ευθείες : x 8y 6 0 και : x y 5 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ. Αν οι ευθείες και τέμνουν τον άξονα y y στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: α) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, A και B β) αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος (Μονάδες 5) Μαθηματικός Περιηγητής 0
ΘΕΜΑ 4 Δίνονται οι παράλληλες ευθείες : x y 8 0, : x 4y 0 0 και το σημείο Α της που έχει τετμημένη το 4. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία. γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών και, τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του Β. ΘΕΜΑ 4 Δίνονται τα σημεία A, και 5, 6 B. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και B. β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος AB έχει εξίσωση την y x 7 (Μονάδες 5) Μαθηματικός Περιηγητής
Θ Ε Μ Α 4 ο Μαθηματικός Περιηγητής
ΘΕΜΑ 43 Δίνονται τα σημεία A,, B, και 4, 6,. α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος ΒΓ. β) Αν το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ, να βρείτε την τιμή του λ. γ) Για λ=4, να βρείτε σημείο Δ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ να είναι ρόμβος. ΘΕΜΑ 44 Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς τηνευθεία : y x, με,,, A x y B x y και x x. Αν το σημείο M 3, 5 είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒκαι το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε: α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Ακαι Β. (Μονάδες 3) β) να αποδείξετε ότι OAB 4, όπου Οείναι η αρχή των αξόνων. γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία K x, y για τα οποία ισχύει KAB OAB ευθείες με εξισώσεις τις: x y 0 και x y 6 0 (Μονάδες 5) ανήκουν στις ΘΕΜΑ 45 Δίνονται τα σημεία A3, 4, B 5, 7 και, 3, όπου α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθετιμή του μ. β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓδεν εξαρτάται από το μ. (Μονάδες 5) ii) για κάθε τιμή του μτο σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Μαθηματικός Περιηγητής 3
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB και B Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ; (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 46 3 Δίνονται τα σημεία A,, B, και 4,, όπου. β) Να αποδείξετε ότι για κάθε το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε B AB (Μονάδες 6) δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι, όπου O είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 47 Δίνονται οι ευθείες : x y 3 0 και x : 3 y 6 0, όπου α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε) και (ζ). (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 48 Δίνονται τα διανύσματα a και b με μέτρα, 6 αντίστοιχα και 0, γωνία. ab x ab y 5 0 () Επίσης δίνεται η εξίσωση α) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε 0, η μεταξύ τους (Μονάδες 3) Μαθηματικός Περιηγητής 4
β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα ψ ψ, να αποδείξετε ότι b 3 γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα χ χ, να αποδείξετε ότι b 3 δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι b ΘΕΜΑ 49 Δίνονται οι ευθείες : 3x y 3 0 και : x y 4 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών και (Μονάδες 5) β) Αν η ευθεία τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β και η ευθεία τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία K x, y για τα οποία ισχύει KB AB (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) ανήκουν σε δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. ΘΕΜΑ 50 Δίνεται η εξίσωση x y xy 3x 3 y 0, με λ διαφορετικό του 0. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με. (Μονάδες ) β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος α) είναι ίσο με, να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ 5 Μαθηματικός Περιηγητής 5
Δίνεται η εξίσωση: x xy y x y 6 6 8 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές και οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. β) Αν : x y 0 και : x y 4 0, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των και. γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας με τεταγμένη το και Β σημείο της ευθείας με τετμημένη το, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Aκαι Β (Μονάδες ) ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο. ΘΕΜΑ 5 Δίνονται τα διανύσματα 4, και, α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και, β) Αν, i) να αποδείξετε ότι: 3, 4 και 4,, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. είναι κάθετα. είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε: (Μονάδες 4) ii) να αποδείξετε ότι: 4 3 0 (Μονάδες 5) (Μονάδες 6) iii) αν επιπλέον τα διανύσματα και είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. ΘΕΜΑ 53 Δίνεται η ευθεία : x 4y 7 0 και τα σημεία A, 4 και B, 6 Μαθηματικός Περιηγητής 6
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία K x, y για τα οποία ισχύει KAB MAB ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: x y 5 0 και x y 5 0 ΘΕΜΑ 54 Δίνονται οι ευθείες : x y 0 6 0 και :0x y 4 0, όπου. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες και τέμνονται, και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο M ανήκει στην ευθεία :8x y 6 0 γ) Αν η ευθεία τέμνει τους άξονες και στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία AB ii) αν Κ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ, να αποδείξετε ότι KAB 9 4 (Μονάδες 5) (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 55 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι,, 3, το μέσο της πλευράς ΒΓ α) Να αποδείξετε ότι,, όπου 0 και, και Μ είναι Μαθηματικός Περιηγητής 7
β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα, γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα (β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Μαθηματικός Περιηγητής 8