Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μαθηματικών

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μαθηματικών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Ειδίκευσης στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Κατεύθυνση: Εφαρμοσμένη Ανάλυση & Μαθηματική Φυσική Διπλωματική Εργασία Περιγραφή και Μελέτη Προβλημάτων Συνοριακών Τιμών Πασχαλίδου Μαρία, Α.Μ. 33 Επιβλέπων: Καθηγητής: Αναστάσιος Μπούντης Πάτρα, Φεβρουάριος

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Αναστάσιο Μπούντη για την ευκαιρία που μου έδωσε να ασχοληθώ με αυτό το θέμα στη διπλωματική μου εργασία και για την υποστήριξη που μου παρείχε καθόλη τη διάρκεια της συγγραφής αυτής. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω το Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών, στο οποίο ήρθα για πρώτη φορά σε επαφή με τις έννοιες που αναπτύσσονται εδώ, με τα γνωστικά αντικείμενα που διδάχτηκα από τους καθηγητές κ. Παναγιώτη Σιαφαρίκα και κ. Χρυσή Κοκολογιαννάκη, αλλά και ως μεταπτυχιακή φοιτήτρια στο ίδιο τμήμα, όπου εμβάθυνα τις γνώσεις μου με τα μαθήματα διαφορικών εξισώσεων του κ. Αναστάσιου Μπούντη και πήρα την τελική απόφαση να ασχοληθώ με το θέμα αυτό περαιτέρω. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω το Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών για τα τεχνικά μέσα και την υποστήριξη που μου παρείχε. Πασχαλίδου Μαρία Φεβρουάριος

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o... 8 Στοιχεία Θεωρίας από τη Γραμμική Ανάλυση... 8. Τελεστές... 8. Σημασία των τελεστών στη Φυσική... 8.3 Γραμμικοί Τελεστές... 9.4 Mετασχηματισμός και σειρές Foie....5 Η Συνάρτηση Βήματος και η Συνάρτηση Δέλτα του Diac...3.6 Διαφορικές εξισώσεις...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o...8 Βασικές Έννοιες...8. Το Πρόβλημα Αρχικών Τιμών...8. Ορισμός ενός Προβλήματος Αρχικών Τιμών...8.3 Το Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών...9.4 Ύπαρξη και Μοναδικότητα....5 Προβλήματα Stm-ioville... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 o...7 Προβλήματα Stm-ioville και Συναρτήσεις Gee...7 3. Θεωρία Stm-ioville...7 3.3 Ορισμός ενός ομογενούς προβλήματος Stm-ioville...3 3.4 Μετατροπή μιας ης τάξης Σ.Δ.Ε σε μορφή Stm-ioville...3 3.4. Παραδείγματα...3 3.5 Προβλήματα Συνοριακών Τιμών με παράμετρο...34 3.6 Ορισμός και χρήσεις της συνάρτησης Gee...48 3.7 Εύρεση της συνάρτησης Gee...49 3.8 Συναρτήσεις Gee για την επίλυση μη ομογενών προβλημάτων συνοριακών τιμών...5 3. Προβλήματα συνοριακών τιμών και συναρτήσεις Gee...5 3. Προβλήματα αρχικών τιμών και συναρτήσεις Gee...54 3. Σχόλια πάνω στη Θεωρία των Συναρτήσεων Gee...6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 o...65 Προβλήματα Συνοριακών Τιμών με Μερικές Παραγώγους...65 4. Εξισώσεις με μερικές παραγώγους...65 4. Ύπαρξη και μοναδικότητα...67 4.3 Συμβολισμοί και παραδείγματα...68 4.4 Ταξινόμηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων...7 4.5 Μοντελοποίηση : η ταλαντούμενη χορδή και η κυματική εξίσωση...73 4.6 Η Μέθοδος των χωριζομένων μεταβλητών και οι σειρές Foie...75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 o...85 Εφαρμογές...85 5. Η εξίσωση της θερμότητας...85 5. Το φυσικό πρόβλημα και η εξίσωση...85 5.. Η εξίσωση της θερμότητας σε μία διάσταση...87 5.3 Λύση της μονοδιάστατης εξίσωσης της θερμότητας με τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών...89 5.4 Η εξίσωση του aplace...99 3

5.5 Ορθογώνια μεμβράνη...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 o...6 Κατανομές και Θεωρία Fedholm για Προβλήματα Συνοριακών Τιμών...6 6. Αντίστροφοι διαφορικών τελεστών...6 6. Αιτιώδης συνάρτηση Gee... 6.3 Ελεγκτικές συναρτήσεις... 6.4 H έννοια της κατανομής...5 6.5 Παράγωγος Κατανομής...8 6.6 Διαφορικές εξισώσεις για γενικευμένες συναρτήσεις... ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...3 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ...7 4

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο πεδίο των διαφορικών εξισώσεων, ένα Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ) αποτελείται από μια διαφορική εξίσωση (ή ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων) που υπακούει σε συγκεκριμένους περιορισμούς, στα σύνορα ενός χωρίου όπου ορίζεται το πρόβλημα, οι οποίοι ονομάζονται συνοριακές συνθήκες. Η λύση ενός προβλήματος συνοριακών τιμών συνίσταται στη εύρεση λύσης των διαφορικών αυτών εξισώσεων, η οποία να υπακούει στις συνοριακές συνθήκες. Περιοχή που διέπεται από την διαφορική εξίσωση Δεδομένες τιμές στο σύνορο (συνοριακές τιμές) Προβλήματα συνοριακών τιμών απαντώνται σε διάφορους κλάδους της Φυσικής, όπου προβλήματα περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις που υπακούουν σε συνοριακές συνθήκες. Για να είναι χρήσιμο σε εφαρμογές, ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών πρέπει να είναι «καλώς τοποθετημένο». Αυτό σημαίνει ότι με βάση τα δεδομένα του προβλήματος, πρέπει να υπάρχει μια μοναδική λύση, η οποία να εξαρτάται με τρόπο συνεχή από τα δεδομένα καθώς και από τις παραμέτρους του προβλήματος. Μεγάλος όγκος θεωρητικής δουλειάς, στο πεδίο των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (Μ.Δ.Ε), αφορά στην επίλυση Π.Σ.Τ που ανακύπτουν από επιστημονικές και τεχνολογικές εφαρμογές, και οι οποίες συνιστούν από μαθηματική άποψη προβλήματα «καλώς τοποθετημένα». Μεταξύ των πρώτων προβλημάτων συνοριακών τιμών που μελετήθηκαν είναι το πρόβλημα του Diichlet, που αφορά στην εύρεση συναρτήσεων οι οποίες αποτελούν λύση της εξίσωσης aplace, του Ηλεκτρομαγνητισμού, η λύση του οποίου δόθηκε μέσω της γνωστής ως «αρχή του Diichlet». Από τα παραπάνω γίνεται κατανοητό ότι η γνώση επίλυσης προβλημάτων συνοριακών τιμών είναι σημαντική και απαραίτητη για την επίλυση πλήθους προβλημάτων της φυσικής και ιδιαίτερα της Mηχανικής. Εκτός των προβλημάτων που ήδη αναφέρθηκαν παραπάνω, η μεθοδολογία αυτή είναι χρήσιμη για την επίλυση προβλημάτων αντοχής των κατασκευών και πρόβλεψης της αστοχίας τους. 5

Στο σημείο αυτό είναι σημαντικό να διατυπώσουμε μια διάκριση μεταξύ ενός προβλήματος αρχικών τιμών και ενός προβλήματος συνοριακών τιμών: Το Πρόβλημα των Αρχικών Τιμών και το Πρόβλημα των Συνοριακών Τιμών Η διαφορά μεταξύ ενός προβλήματος αρχικών τιμών και ενός προβλήματος συνοριακών τιμών είναι ότι ένα Πρόβλημα Αρχικών Τιμών (Π.Α.Τ) ορίζεται με, t (και συνθήκες που προσδιορίζουν την εξαρτημένη μεταβλητή της εξίσωσης, των παραγώγων της), στο κάτω άκρο ενός χρονικού διαστήματος t, b, δηλαδή στην αρχική τιμή του χρόνου t. Από την άλλη μεριά, ένα Π.Σ.Τ έχει τις συνθήκες του καθορισμένες στα άκρα μιας χωρικής, ανεξάρτητης μεταβλητής του προβλήματος. Για παράδειγμα, αν οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι ο χρόνος, t, και ο χώρος, που μεταβάλλεται στο κλειστό διάστημα, σε ένα Π.Α.Τ καθορίζονται οι τιμές της, χρονική στιγμή t και των παραγώγων της για όλα τα, t, ενώ σε ένα Π.Σ.Τ οι τιμές της, και, για όλα τα t. τη t καθορίζονται στο Υπάρχουν και Π.Α.Σ.Τ, για παράδειγμα, αν μελετάμε τη θερμοκρασία μιας ράβδου σιδήρου, της οποίας το ένα άκρο έχει (για κάθε t ) θερμοκρασία ίση με ενώ το άλλο άκρο έχει (για κάθε t ) θερμοκρασία ίση με, αυτό αποτελεί ένα Π.Σ.Τ., f και Αντίθετα, αν έχουμε αρχικά επιβάλλει στη ράβδο θερμοκρασία εξετάζουμε την μετέπειτα εξέλιξη της θερμοκρασίας της,, t, αυτό συνιστά ένα Π.Α.Τ. Τύποι Προβλημάτων Συνοριακών Τιμών Αν σε ένα σύνορο δίνεται η τιμή της παραγώγου της εξαρτημένης μεταβλητής του προβλήματος, τότε η συνθήκη ονομάζεται συνθήκη Nema. Για παράδειγμα, εάν στο ένα άκρο μιας σιδερένιας ράβδου,, υπάρχει ένας θερμαντήρας, ο οποίος προσφέρει θερμότητα στη ράβδο με ρυθμό, t g t, αυτό θα αποτελούσε μία συνθήκη Nema. Αν στο σύνορο είναι γνωστή η ίδια η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής, τότε αυτό λέγεται συνοριακή συνθήκη τύπου Diichlet. Για παράδειγμα, εάν στο άκρο, t, τότε αυτό αποτελεί μια συνθήκη μιας ράβδου η θερμοκρασία είναι πάντα τύπου Diichlet. Αν το πρόβλημα προσδιορίζεται από ένα συνδυασμό συνοριακών,, f, τιμών για την συνάρτηση t και αρχικών συνθηκών της μορφής το πρόβλημα καλείται γενικά και τύπου Cachy. Μια άλλη διάκριση των Π.Σ.Τ είναι αυτή που γίνεται με βάση τον τύπο του διαφορικού τελεστή που το περιγράφει. Για παράδειγμα, για ένα ελλειπτικό τελεστή αναφερόμαστε σε ελλειπτικά Π.Σ.Τ (όπως π.χ συμβαίνει με τον τελεστή aplace), 6

ενώ υπερβολικό τελεστή έχουμε στα λεγόμενα υπερβολικά Π.Σ.Τ (όπως είναι η εξίσωση κύματος). Αυτές οι κατηγορίες στη συνέχεια υποδιαιρούνται σε γραμμικά και μη γραμμικά Προβλήματα Συνοριακών Τιμών. Δομή της Εργασίας Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε γενικά με προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών. Θα προσπαθήσουμε να είμαστε συνοπτικοί, αλλά και αρκετά περιεκτικοί ώστε να καλύψουμε με σχετική ευρύτητα το ανώτερο αντικείμενο. Για το λόγο αυτό, η δομή της παρούσας εργασίας ακολουθεί την εξής προσέγγιση του θέματος: Στο ο Κεφάλαιο θα αναφερθούν στοιχεία γραμμικής ανάλυσης. Συγκεκριμένα, θα εισαγάγουμε την έννοια του τελεστή και τα είδη τελεστών που υπάρχουν, καθώς και τη σημασία τους στη Φυσική. Επιπλέον, θα αναλύσουμε την έννοια της συνήθους διαφορικής εξίσωσης (Σ.Δ.Ε), η οποία αποτελεί κύριο συστατικό στοιχείο ενός Π.Α.Τ και ενός Π.Σ.Τ. Στη συνέχεια, στο ο Κεφάλαιο θα δοθούν οι ορισμοί ενός Π.Α.Τ και ενός Π.Σ.Τ. Επιπλέον, θα αναφερθούμε στην έννοια ενός Π.Σ.Τ Stm-ioville. Έπειτα, στο 3ο Κεφάλαιο θα αναλύσουμε τη θεωρία Stm-ioville και θα αναπτύξουμε προβλήματα διαφορικών τελεστών Stm-ioville, περιγράφοντας συγκεκριμένα παραδείγματα συνοριακών τιμών. Επιπλέον, θα μελετήσουμε τις συναρτήσεις Gee και θα δώσουμε παραδείγματα εφαρμογών τους. Επειδή, όμως, δεν περιοριζόμαστε μόνο σε Π.Σ.Τ με Σ.Δ.Ε, θα εξετάσουμε και Π.Σ.Τ με μερικές διαφορικές εξισώσεις (Μ.Δ.Ε) στο 4ο Κεφάλαιο, θα εξαγάγουμε την κυματική εξίσωση με τη βοήθεια του μοντέλου της ταλαντούμενης χορδής και θα επιλύσουμε αυτήν με τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών για διάφορους τύπους αρχικών και συνοριακών τιμών. Κατόπιν, θα περιγράψουμε μεθόδους για την επίλυση Π.Σ.Τ που συνδέονται με την εξίσωση της θερμότητας και στο 5ο Κεφάλαιο θα αναφερθούμε σε εφαρμογές, που προκύπτουν από την επίλυση προβλημάτων διάδοσης θερμότητας. Τέλος, στο 6ο Κεφάλαιο θα αναφερθούμε στην θεωρία Fedholm και σε κάποια βασικά θεωρήματα αυτής, θα αναλύσουμε την έννοια της κατανομής και θα δώσουμε παραδείγματα λύσεων των διαφορικών εξισώσεων με την έννοια των κατανομών. Επισημαίνουμε ότι η θεωρία Fedholm είναι ιδιαίτερα σημαντική σε προβλήματα διαφορικών εξισώσεων που είναι μη ομογενή, δηλαδή που περιέχουν και όρους που δεν περιέχουν την εξαρτημένη μεταβλητή του προβλήματος και τις παραγώγους της. Η όλη εργασία ολοκληρώνεται με το Παράρτημα, τα Συμπεράσματα και την Βιβλιογραφία. 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ o Στοιχεία Θεωρίας από τη Γραμμική Ανάλυση. Τελεστές Ορισμός ενός τελεστή Έστω X και Y γραμμικοί χώροι (αμφότεροι πραγματικοί ή μιγαδικοί). Μια : D X R Y D αντιστοιχεί ένα συνάρτηση που σε κάθε μοναδικό στοιχείο του Y καλείται τελεστής. Το σύνολο D X : Y καλείται πεδίο ορισμού του τελεστή A, ενώ το σύνολο : : R y Y X y καλείται πεδίο τιμών του τελεστή A. Αν D X θα λέμε ότι ο είναι ένας τελεστής από τον X στον Y. Αν R Y, τότε ο τελεστής λέγεται επί. Ένα σημαντικό υποσύνολο του D είναι ο χώρος μηδενισμού ή πυρήνας του, που συμβολίζεται με ke και ορίζεται ke D : ως εξής:. Σημασία των τελεστών στη Φυσική Οι διαφορικοί και ολοκληρωτικοί τελεστές ορίζονται σε χώρους, ή υποσύνολα χώρων, των οποίων τα στοιχεία απαντώνται συχνά σε προβλήματα των Θετικών Επιστημών. Η αλληλεπίδραση μεταξύ Φυσικής και Μαθηματικών, με τη βοήθεια τελεστών, άρχισε ουσιαστικά να καλλιεργείται και να εφαρμόζεται εντατικά στις αρχές του 9, με την ανάπτυξη της Κβαντομηχανικής, που ήταν από τους πρώτους επιστημονικούς κλάδους στους οποίους χρησιμοποιήθηκαν τελεστές. Η χρήση αυτή αναφερόταν κυρίως σε διανυσματικούς χώρους, χώρους Baach, ή χώρους Hilbet, ενώ οι τελεστές εκφράζονταν πολλές φορές και υπό την μορφή πινάκων. Ο μεγάλος φυσικός Diac περιέγραψε τη σημασία της σχέσης της Κβαντικής Φυσικής και των Μαθηματικών με τη περίφημη φράση: Οι νόμοι της Φυσικής θα έπρεπε να είχαν την ομορφιά και την απλότητα των Μαθηματικών. Παράλληλα με την Κβαντομηχανική, η θεωρία τελεστών άρχισε να αναπτύσσεται και ως αυτόνομος κλάδος των Μαθηματικών από τους Stefa Baach και Vito Voltea. Σήμερα, οι εφαρμογές τους στις Θετικές Επιστήμες είναι πολύ διαδεδομένες, ενώ δεν υπάρχει κλάδος της Φυσικής που να μην έχει ωφεληθεί από τη θεωρία αυτή. 8

.3 Γραμμικοί Τελεστές Ορισμός διανυσματικού χώρου Ένα σύνολο Ε εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης + και του λέγεται διανυσματικός χώρος ως προς το σώμα Κ αν ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες: () Iδιότητα της κλειστότητας αν, v τότε v. () Ιδιότητα της αντιμεταθετικότητας v v για κάθε, v. (3) Ιδιότητα της προσεταιριστικότητας ( v w) ( v) w για κάθε, v, w. (4) Υπάρχει στοιχείο, ονομαζόμενο μηδενικό στοιχείο, τέτοιο ώστε για κάθε. (5) Για κάθε υπάρχει στοιχείο, ονομαζόμενο αντίθετο στοιχείο του, τέτοιο ώστε. (6) Για κάθε a και, ορίζεται το στοιχείο a του Ε, το οποίο ονομάζεται βαθμωτό πολλαπλάσιο του επί το a. (7) a v a av για κάθε a και, v. (8) a a για κάθε a, και. (9) a a για κάθε a, και. () Υπάρχει στοιχείο τέτοιο ώστε: για κάθε Ο πλέον κοινός τύπος τελεστή είναι αυτός του γραμμικού τελεστή. Οι γραμμικοί τελεστές συμβολίζονται συνήθως με τα γράμματα T ή και ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες: όπου T f g Tf Tg, T f Tf f, g στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου και. Για παράδειγμα, αν f f, g g, στοιχεία του χώρου I C των -φορές συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων σε ένα διάστημα I, γράφουμε για ένα γραμμικό τελεστή T : T f g Tf Tg, T f Tf Παράδειγμα γραμμικού τελεστή Ένας γραμμικός μετασχηματισμός C I C I : για λέγεται γραμμικός διαφορικός τελεστής τάξης που δρα σε στοιχεία του χώρου I, εάν μπορεί να γραφεί στη μορφή: όπου οι συντελεστές,..., D a D a D C I, στο διάστημα είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα I, και ο τελεστής D είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που απεικονίζει κάθε διαφορίσιμη συνάρτηση στην παράγωγό της. 9

Η εικόνα μιας συνάρτησης f C I κάτω από τη δράση ενός γραμμικού διαφορικού τελεστή, είναι μια νέα συνάρτηση, που ορίζεται ως εξής: d d f f f f g d d Ισοδύναμα, έχουμε: όπου... ( )... y y y y η πρώτη,, οστή παράγωγος της συνάρτησης f y,..., y y. Οι γραμμικοί τελεστές είναι γνωστοί και ως γραμμικοί μετασχηματισμοί ή γραμμικές απεικονίσεις. Πολλοί τελεστές που συναντάμε στα Μαθηματικά και τη Φυσική είναι γραμμικοί και δρουν σε διανυσματικούς χώρους που είναι εφοδιασμένοι με επιπλέον ιδιότητες όπως είναι οι χώροι Hilbet και Baach. Ορισμός της om Η λεγόμενη στάθμη, η om f ενός στοιχείου f που ανήκει στον διανυσματικό χώρο Ε είναι μια απεικόνιση (a) f, f f (b) f f,, f (c) f g f g Ορισμός ενός χώρου Baach : E με τις ακόλουθες ιδιότητες: Ένας χώρος Μ με om, όπου κάθε θεμελιώδης ακολουθία στοιχείων του συγκλίνει σε στοιχείο εντός του Μ, λέγεται πλήρης χώρος με om ή χώρος Baach. Ορισμός ενός χώρου Hilbet Χώρος με εσωτερικό γινόμενο είναι ένα ζεύγος,, όπου Μ είναι ένας διανυσματικός χώρος και μια συνάρτηση που ορίζεται ως εξής: : με τις ακόλουθες ιδιότητες: (),,, (), y y, (3), y, y, a (4) y, z, z y, z

.4 Mετασχηματισμός και σειρές Foie Ο μετασχηματισμός Foie είναι ένας ολοκληρωτικός μετασχηματισμός, που μετατρέπει μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα πεδίο (π.χ του χώρου ), σε μία άλλη ορισμένη σε ένα διαφορετικό πεδίο (π.χ συχνοτήτων ω) με τρόπο αντιστρεπτό. Ιδιαιτέρως, σημαντικές όμως είναι και οι σειρές Foie, οι οποίες αποτελούν αναπτύγματα συναρτήσεων σε άπειρες περιοδικές συνιστώσες. Ορισμός Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο διάστημα, μπορεί να επεκταθεί σε περιοδική με περίοδο, οπότε ορίζουμε ως σειρά Foie ή αναπτυγμα Foie της συνάρτησης f το άπειρο άθροισμα όπου τα a και f a cos si λέγονται συντελεστές Foie και δίνονται από τις σχέσεις a f d cos f si d,,, Ο σταθερός όρος μιας περιόδου. o εκφράζει τη μέση τιμή της f a f d σε διάστημα Θεώρημα (συνθήκες Diichlet) [Μ.Μανατακης 996] Έστω ότι ισχύουν τα κάτωθι: (i) η f είναι ορισμένη και μονότιμη στο διάστημα, πεπερασμένο πλήθος σημείων (ii) η f είναι περιοδική με περίοδο (iii) η f και η f είναι τμηματικά συνεχείς στο, Τότε, η ως άνω σειρά Foie με συντελεστές τα a και συγκλίνει στην τιμή (α) f, ή (β) εκτός ίσως από ένα των παραπάνω σχέσεων f, αν το είναι σημείο συνέχειας της f f, αν το είναι σημείο ασυνέχειας όπου f, f είναι το δεξί και αριστερό όριο της f στο. Έτσι, για κάθε σημείο όπου η f είναι συνεχής, μπορούμε να γράψουμε f a cos si

Ολοκληρωτικό θεώρημα Foie [Μ.Μανατακης 996] Θεωρούμε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύουν: ) η f και η f είναι κατά τμήματα συνεχείς σε κάθε πεπερασμένο διάστημα του,,, δηλαδή το ολοκλήρωμα ) η f είναι απολύτως ολοκληρώσιμη στο f d συγκλίνει Τότε σύμφωνα με το ολοκληρωτικό θεώρημα Foie έχουμε: όπου f cos si d (.) f cos d, f si d Η σχέση (.) ισχύει αν η συνάρτηση f είναι ασυνεχής στο, τότε, όπως και στην περίπτωση της σειράς Foie, αντικαθίσταται με την f είναι συνεχής. Αν η f f Πολλές φορές η έκφραση (.) λέγεται και ολοκληρωτικός μετασχηματισμός Foie της f. Ορισμός Μετασχηματισμός Foie της συνάρτησης η σχέση f με, f, λέγεται i f F f e d Δηλαδή με το μετασχηματισμό Foie οδηγούμαστε από μια συνάρτηση ορίζεται στον πραγματικό άξονα των σε μια νέα συνάρτηση f που F με πεδίο ορισμού το, όπου το ξ έχει την έννοια της χωρικής συχνότητας, ή του κυματικού αριθμού. Αν η συνάρτηση που μελετάμε έχει ως ανεξάρτητη μεταβλήτη τον χρόνο, t, ο μετασχηματισμός της κατά Foie γράφεται f t, με

i t f F f t e dt όπου η μεταβλητή ω καλείται συχνότητα. Έτσι, η F αναπαριστά τα πλάτη ταλαντώσεων με συχνότητα ω, που χαρακτηρίζουν την συμπεριφορά της f t στο χρόνο..5 Η Συνάρτηση Βήματος και η Συνάρτηση Δέλτα του Diac Η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος, ή συνάρτηση Heaviside, H(t), ορίζεται ως: Ht για t < t H για t > (.) Αυτή η συνάρτηση είναι χρήσιμη για την διατύπωση ασυνεχών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, στην περίπτωση εφαρμογής σταθερού φορτίου σε ένα σύστημα από την χρονική στιγμή t και για κάθε t, γράφουμε την αντίστοιχη συνάρτηση στη μορφή: t t H o (.3) Για t=, η Η(t) δεν ορίζεται. Για τον λόγο αυτό, αν θέλουμε να την χρησιμοποιήσουμε σε αναλυτικούς ή αριθμητικούς υπολογισμούς θεωρούμε ότι η Η(t) είναι η οριακή περίπτωση μίας ακολουθίας συνεχών συναρτήσεων tah t H t, t, δηλαδή γράφουμε H t H t, για. Αν στην συνάρτηση Heaviside αντικαταστήσουμε την ασυνεχή αλλαγή της τιμής της στο t με ένα διάστημα, στο οποίο η συνάρτηση έχει τη μορφή γραμμής που διέρχεται από τα σημεία, και,, παίρνουμε τη συνεχή συνάρτηση μοναδιαίου βήματος f του σχήματος (.). Σύμφωνα με τον ορισμό της συνάρτησης t f t, η παράγωγός της, df dt, σε μία περιοχή γύρω από το μηδέν, (-τ < t < τ) έχει τιμή ίση με /τ, ενώ οπουδήποτε αλλού είναι ίση με μηδέν. Οπότε ισχύει: t dt f t dt f (.4) 3

f τ (t) -τ +τ t df τ /dt /τ -τ +τ t Σχήμα.: Η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος και η παράγωγός της Από την σχέση (.4) προκύπτει ότι το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται μεταξύ του γραφήματος της df dt και του άξονα των χρόνων είναι ίσο με την μονάδα. Αν στην εν λόγω συνεχή συνάρτηση μοναδιαίου βήματος θεωρήσουμε ότι, τότε καθώς το εύρος του διαστήματος [-τ,+τ] μειώνεται, η τιμή της df dt στο διάστημα αυτό αυξάνει απεριόριστα ενώ η τιμή του ολοκληρώματος (.4) εξακολουθεί να ισούται με την μονάδα. Έτσι, αν ορίσουμε ως συνάρτηση δέλτα, δ(t), το όριο, t t τότε η δ(t) θα χαρακτηρίζεται από τις παρακάτω ιδιότητες: df lim (.5) dt α) t για t β) t για t γ) t dt Μία συνάρτηση που χαρακτηρίζεται από τις ιδιότητες αυτές ορίζεται ως συνάρτηση δέλτα του Diac και συμβολίζεται με δ(t). Η συνάρτηση δέλτα βρίσκει πολλές εφαρμογές στην Φυσική. Από τις βασικές ιδιότητες της δ(t) προκύπτει η πολύ σημαντική σχέση: 4

t dt Άλλες χρήσιμες ιδιότητες της συνάρτησης δέλτα είναι: t (.6) t t, t t o t t o (.7) Όπως, θα δούμε στο Κεφάλαιο 6, όπου θα μελετήσουμε μη αυτόνομα Π.Σ.Τ, η δ(t) θα φανεί ιδιαίτερα χρήσιμη για τον ορισμό της συνάρτησης Gee. Κατά την ανάπτυξη της αντίστοιχης μεθοδολογίας όμως, η δ(t) δεν θα θεωρηθεί ως συνάρτηση, αλλά θα θεμελιωθεί αυστηρότερα στα πλαίσια της θεωρίας κατανομών..6 Διαφορικές εξισώσεις Διαφορική εξίσωση είναι μια μαθηματική εξίσωση που έχει ως άγνωστο μια συνάρτηση μίας ή περισσότερων μεταβλητών και συσχετίζει τις τιμές της συνάρτησης αυτής με αυτές των παραγώγων της. Οι διαφορικές εξισώσεις παίζουν σημαντικό ρόλο σε όλες τις Θετικές, Τεχνολογικές αλλά και τις Οικονομικές και Κοινωνικές Επιστήμες. Οι διαφορικές εξισώσεις, εμφανίζονται κάθε φορά που υπάρχει μια ντετερμινιστική σχέση που συνδέει κάποιες ομαλώς μεταβαλλόμενες ποσότητες (που μοντελοποιούνται με συναρτήσεις), με τους ρυθμούς μεταβολής τους (που εκφράζονται από παραγώγους). Τέτοιες σχέσεις απαντώνται, για παράδειγμα, στη Κλασική Μηχανική, όπου η κίνηση ενός σώματος περιγράφεται από τη θέση και ταχύτητα του σώματος ως συναρτήσεις του χρόνου. Οι νόμοι του Νεύτωνα, μας επιτρέπουν να συσχετίσουμε μεταξύ τους, τη θέση, τη ταχύτητα, και την επιτάχυνση, καθώς και άλλες εξωτερικές δυνάμεις που επιδρούν πάνω στο σώμα μέσω διαφορικών εξισώσεων με άγνωστο τη θέση του σώματος συναρτήσει του χρόνου. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι διαφορικές αυτές εξισώσεις μπορούν να λυθούν αναλυτικά, οπότε και προκύπτουν από αυτές οι διάφορες μορφές κίνησης που γνωρίζουμε από την Μηχανική. Οι διαφορικές εξισώσεις μελετώνται με διάφορους τρόπους που αφορούν κυρίως στην προσπάθεια εύρεσης λύσεων κλειστής μορφής (ή υπό τη μορφή σειρών) που να ορίζονται σε μεγάλα διαστήματα των τιμών των εξαρτημένων μεταβλητών. Μόνο σε πολύ απλές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων βρίσκουμε λύσεις κλειστής μορφής. Τις περισσότερες φορές οι λύσεις εκφράζονται τοπικά και είναι πολύ δύσκολο να επεκταθούν σε μεγαλύτερα διαστήματα των μεταβλητών. Σε αυτές τις περιπτώσεις, είναι ιδιαίτερα χρήσιμο να βρίσκουμε λύσεις αριθμητικά ή προσεγγιστικά με τη βοήθεια Η/Υ. Η θεωρία των δυναμικών συστημάτων δίνει έμφαση στην ποιοτική ανάλυση των συστημάτων που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις ενώ οι μέθοδοι αριθμητικής ανάλυσης αναπτύχθηκαν για τον υπολογισμό των λύσεων με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια και για μεγάλα διαστήματα των μεταβλητών του χώρου και του χρόνου. Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων βρίσκει εφαρμογή στα Θεωρητικά και τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, και τις εφαρμογές τους σε όλες τις άλλες επιστήμες. Τα 5

Θεωρητικά Μαθηματικά δίνουν περισσότερο έμφαση στην ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων ενώ τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά στοχεύουν στην εύρεση και μελέτη οικογενειών λύσεων που χαρακτηρίζονται από συγκεκριμένες ιδιότητες. Οι μαθηματικοί μελετούν κατ αρχάς τις ονομαζόμενες «ασθενείς λύσεις» (οι οποίες συνοδεύονται με τις λεγόμενες «ασθενείς παραγώγους»), δηλαδή λύσεις, που δεν είναι απαραίτητα παραγωγίσιμες σε κάθε σημείο. Αυτή η επέκταση των λύσεων είναι συχνά απαραίτητη και οδηγεί σε ερμηνεία φαινομένων με ασυνεχείς παραγώγους, όπως είναι η κρούση. Τέλος, η μελέτη των καλώς τοποθετημένων προβλημάτων διαφορικών εξισώσεων απαιτεί να γνωρίζουμε καλά τη «θεωρία της ευστάθειας», που αφορά στην ομαλή διατήρηση των μαθηματικών ιδιοτήτων των λύσεων, καθώς μεταβάλλονται ομαλά οι αρχικές ή συνοριακές συνθήκες υπό τις οποίες αναζητείται η λύση. Διακρίνουμε τους ακόλουθους τύπους διαφορικών εξισώσεων: () Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (Σ.Δ.Ε), στις οποίες η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση μίας και μόνο ανεξάρτητης μεταβλητής. () Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους ή Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (Μ.Δ.Ε), στις οποίες η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών. (3) Οι διαφορικές εξισώσεις «υστέρησης» (delay), όπου οι παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή δίνονται συναρτήσει των τιμών της συνάρτησης σε ένα ολόκληρο διάστημα προηγούμενων χρονικών στιγμών. (4) Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις, στις οποίες ένας ή περισσότεροι όροι τους προέρχονται από μια στοχαστική διαδικασία. Κάθε μία από τις παραπάνω κατηγορίες χωρίζεται σε γραμμικές και μη γραμμικές υποκατηγορίες. Μια διαφορική εξίσωση είναι γραμμική αν η εξαρτημένη μεταβλητή και όλες οι παράγωγοί της έχουν εκθέτη (ή ) και δεν υπάρχουν μη γραμμικοί όροι στους οποίους να υπεισέρχονται, διαφορετικά η εξίσωση είναι μη γραμμική. Έτσι, αν εκφράζει την πρώτη παράγωγο της άγνωστης συνάρτησης, τότε η εξίσωση είναι γραμμική εξίσωση ενώ η εξίσωση είναι μη γραμμική. Μια εξίσωση που περιέχει μόνο την άγνωστο συνάρτηση y και τις παραγώγους της y, y, κλπ. καλείται αυτόνομη ή ομογενής. Στην περίπτωση που η εξίσωση είναι γραμμική δηλαδή y y a y a y a y, με ai. i,,,, τότε δύο λύσεις αυτής y, y μπορούν να προστεθούν ή να πολλαπλασιαστούν με μία σταθερά για να πάρουμε νέες λύσεις, π.χ y c y c y, της y. Δεν υπάρχει όμως γενικός τρόπος για να πάρουμε 3 οικογένειες λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων, εκτός και αν αυτές διαθέτουν κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες ή συμμετρίες. Άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό των διαφορικών εξισώσεων, είναι η τάξη τους που ορίζεται ως η τάξη της υψηλότερης παραγώγου (μιας εξαρτημένης μεταβλητής), που 6

εμφανίζονται στην εξίσωση. Για παράδειγμα, μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης περιλαμβάνει μόνο πρώτες παραγώγους της άγνωστης συνάρτησης και γράφεται f,,, ή μπορεί να λυθεί ως προς y, έχει τη μορφή y g, Αντιστοίχως, μια Σ.Δ.Ε τάξης γράφεται g,,,.. f,,,, ή 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ o Βασικές Έννοιες. Το Πρόβλημα Αρχικών Τιμών Στο πεδίο των διαφορικών εξισώσεων ως Πρόβλημα Αρχικών Τιμών (Π.Α.Τ) αναφέρεται συνήθως η επίλυση ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων, η λύση των οποίων υπακούει σε δοθείσες αρχικές συνθήκες σε συγκεκριμένο σημείο του διαστήματος στο οποίο η λύση αυτή ορίζεται. Στη Φυσική ή σε άλλες Επιστήμες η μοντελοποίηση ενός συστήματος συχνά ανάγεται στην επίλυση ενός Προβλήματος Αρχικών Τιμών. Υπό τις προϋποθέσεις αυτές, οι διαφορικές εξισώσεις καθορίζουν, για συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες, κάθε φορά, πως συμπεριφέρεται το σύστημα κατά τη διάρκεια του χρόνου.. Ορισμός ενός Προβλήματος Αρχικών Τιμών Στην απλούστερη μορφή του ένα Πρόβλημα Αρχικών Τιμών ορίζεται από μια συνήθη διαφορική εξίσωση της μορφής: με f : ορισμού της f, t y f t, y t, σε συνδυασμό με την τιμή της t t, y, t y y σε ένα σημείο του πεδίου y, η οποία ονομάζεται αρχική συνθήκη. Η λύση του Προβλήματος Αρχικών Τιμών είναι μια συνάρτηση y που επιλύει την ως άνω διαφορική εξίσωση υπό την συνθήκη yt y. Η διατύπωση αυτή επεκτείνεται και σε προβλήματα υψηλότερης τάξης, αν υποθέσουμε ότι το y είναι ένα διάνυσμα y y t,, y t. Πιο γενικά, η συνάρτηση y μπορεί να ανήκει σε χώρους απείρων διαστάσεων, όπως είναι οι χώροι Baach ή οι χώροι των κατανομών. Παράδειγμα Να βρεθεί η λύση του παρακάτω Π.Α.Τ: Λύση 3y 6t 5 y με y Η γενική λύση της ως άνω Σ.Δ.Ε εύκολα βρίσκεται ότι είναι: όπου c αυθαίρετη σταθερά. y 3t t ce t 8

3t 3t Πράγματι, y t 3yt 3ce 3e 6t 3 6t 5 που επιθυμούμε όμως απαιτεί c 3t επομένως είναι yt e t. Η συγκεκριμένη λύση y, άρα c. Η λύση του Π.Α.Τ. Το ζήτημα της ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων Π.Α.Τ είναι καλά θεμελιωμένο, σύμφωνα με πολύ γνωστά θεωρήματα των Ele, Cachy και Picad (βλ. Hisch, Smale ad Devoey,, Bikhoff ad Rota,, Boyce ad di Pima,, και Μπούντης, 997). Τα θεωρήματα αυτά εξασφαλίζουν ότι σε ένα Π.Α.Τ της μορφής y f, y,, με y :, f : y y,, με γνωστό, υπάρχει λύση y y αν η συνάρτηση f, τις μεταβλητές της. Επιπλέον, αν η f, διάστημα, αποτελέσματα αυτά είναι τοπικά, ισχύουν δηλαδή για μικρά διαστήματα, y είναι συνεχής ως προς όλες y είναι και ipschitz ως προς την y, στο, τότε η λύση είναι και μοναδική. Επισημαίνεται, ότι τα και πρέπει η ισχύς των ως άνω συνθηκών να επιβεβαιώνεται κάθε φορά στο άκρο, για να μπορούμε να επεκτείνουμε τη λύση μας και σε μεγαλύτερα διαστήματα,..3 Το Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών Ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών (Π.Σ.Τ) ενός συστήματος Σ.Δ.Ε, είναι εκείνο για το οποίο η λύση προσδιορίζεται σε περισσότερα από ένα σημεία μιας ανεξάρτητης μεταβλητής, για όλους τους χρόνους t. Για παράδειγμα, σε προβλήματα μιας χωρικής διάστασης η λύση και οι παράγωγοι αυτής προσδιορίζονται σε δύο σημεία (σύνορα) ορίζοντας ένα Π.Σ.Τ δύο σημείων. Ένα Π.Σ.Τ δύο σημείων τάξης ορισμένο σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], μπορεί να γραφεί αναλυτικά ως ένα σύστημα που αποτελείται από μία Σ.Δ.Ε ης τάξης, με τις συνοριακές συνθήκες υπολογισμένες στα δύο σημεία (άκρα του διαστήματος) ως εξής: όπου και f y,, y, y y, (.) g (. α) y, f, g διανυσματικές συναρτήσεις με πεδίο τιμών το δηλαδή y :, f :, g :, οπότε το σύστημα καλείται αναλυτικό διότι η παράγωγος y εμφανίζεται αναλυτικά. Οι συνοριακές συνθήκες που ορίζονται από την g πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, π.χ εάν g είναι γραμμική, οι συνοριακές συνθήκες πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Οι λέξεις δύο-σημεία αναφέρεται στο γεγονός ότι η συνάρτηση g που περιγράφει τη συνοριακή συνθήκη προσδιορίζεται στα δύο άκρα του διαστήματος α και β, σε αντίθεση με το Π.Α.Τ όπου οι αρχικές συνθήκες υπολογίζονται σε ένα μόνο σημείο. Κατά περίπτωση, μπορεί να παρουσιαστούν προβλήματα στα οποία η συνάρτηση g έχει υπολογιστεί και σε άλλα σημεία του,. Σε αυτές τις περιπτώσεις έχουμε ένα πολυσημειακό πρόβλημα συνοριακής τιμής. Όπως έδειξαν 9

οι Asche κ.α (995), ένα πολυσημειακό πρόβλημα συνοριακών τιμών μπορεί να μετατραπεί σε ένα πρόβλημα δύο σημείων, ορίζοντας ξεχωριστά σύνολα μεταβλητών σε κάθε υποδιάστημα μεταξύ των σημείων και ικανοποιώντας διαδοχικά τις συνοριακές συνθήκες, οι οποίες θα εξασφαλίζουν τη συνέχεια των μεταβλητών σε όλο το διάστημα. Έτσι, όπως αρχικά διατυπώσαμε το πρόβλημα συνοριακής τιμής με τη συνεκτική μορφή (.), μπορούμε να διατυπώσουμε το πολυσημειακό πρόβλημα ως ένα πρόβλημα δύο σημείων. Για πρακτικούς λόγους, είναι χρήσιμο σε ένα Π.Σ.Τ δύο σημείων, να μπορούμε να χωρίσουμε τις συνοριακές συνθήκες σε δύο, καθεμία από τις οποίες να αντιστοιχεί στο ένα άκρο του διαστήματος g y και g y όπου, : s g, : k g για κάποιες τιμές του k με k και όπου οι διανυσματικές συναρτήσεις g, g είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Υπάρχουν, βέβαια, και περιπτώσεις όπου οι συνοριακές συνθήκες δεν μπορούν να χωριστούν: Για παράδειγμα, οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες σε ένα πρόβλημα στο οποίο είναι διατυπωμένες στη μορφή:.4 Ύπαρξη και Μοναδικότητα y y Η δυσκολία εξασφάλισης ύπαρξης και μοναδικότητας στα προβλήματα συνοριακής τιμής είναι μεγαλύτερη από εκείνη των προβλημάτων αρχικής τιμής. Παρ όλα αυτά, υπάρχει βιβλιογραφία που αναφέρεται σε τεχνικές που εφαρμόζονται στην αντιμετώπιση ειδικών προβλημάτων, όπως για παράδειγμα η εργασία των Befeld και akshmikatham, (974). Για να κατανοήσουμε τη δυσκολία επίλυσης ενός Π.Σ.Τ σαν το (.), ας θεωρήσουμε το πρόβλημα αρχικών τιμών: f y y, y (.) s Εάν αυτό το πρόβλημα έχει λύση για όλες τις επιλογές των αρχικών διανυσμάτων s, τότε η ύπαρξη λύσης του Π.Σ.Τ (.) εξαρτάται από την επιλυσιμότητα των εξισώσεων του μη γραμμικού συστήματος: s, y : s g (.3) είναι η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών. Εάν λοιπόν υπάρχει y, η οποία ικανοποιεί την (.), τότε αυτή είναι και μοναδική, εάν το μη γραμμικό σύστημα: ώστε να ισχύει η (.α) όπου y : s (.) υπολογισμένη στο για την αρχική τιμή y s λύση του Π.Σ.Τ (.),

s, y : s g ικανοποιείται ακριβώς για μια και μόνο τιμή του s R. Στα γραμμικά Π.Σ.Τ, όπου οι διαφορικές εξισώσεις καθώς και οι συνοριακές συνθήκες είναι γραμμικές, η εξίσωση gs, y : s είναι ένα γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την απλή κίνηση ενός βλήματος μέσα στον αέρα που περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις (Befeld ad akshmikatham, 974): g y ta ta v sec g Αυτές οι εξισώσεις περιγράφουν την επίπεδη κίνηση ενός βλήματος που εκτοξεύεται από ένα κανόνι. Εδώ το y είναι η κατακόρυφη μετατόπιση του βλήματος, είναι το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος και φ είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της τροχιάς με την οριζόντιο. Η ανεξάρτητη μεταβλητή μετράει την οριζόντια απόσταση από το κανόνι. Η σταθερά v αντιπροσωπεύει την αντίσταση του αέρα (τριβή) και το g είναι η γνωστή σταθερά του πεδίου βαρύτητας. Το μοντέλο δεν λαμβάνει υπόψιν τρισδιάστατα φαινόμενα όπως εγκάρσιους ανέμους και περιστροφή του βλήματος, ενώ οι αρχικές συνθήκες του προβλήματος δίνονται από τις συναρτήσεις. Το κλασικό πρόβλημα βολής y και συνίσταται στην επιλογή της κατάλληλης αρχικής γωνίας βολής κατάλληλης αρχικής ταχύτητας, και της, ώστε το βλήμα να χτυπήσει το στόχο που βρίσκεται στο ίδιο ύψος με το κανόνι και σε απόσταση από αυτό ed. Για αυτό το λόγο απαιτούμε y. Συνοπτικά, οι συνοριακές συνθήκες είναι: ed y y και ed δεδομένο. Έχει αυτό το Π.Σ.Τ λύση; Η φυσική μας διαίσθηση λέει ότι δεν θα έχει λύση για τιμές του μεγαλύτερες του βεληνεκούς που αντιστοιχεί στην τιμή της αρχικής ed ταχύτητας. Από την άλλη μεριά, εάν το ed είναι αρκετά μικρό, περιμένουμε να υπάρχει λύση, αλλά θα είναι αυτή η λύση μοναδική; Για να το καταλάβουμε αυτό αρκεί να σκεφτούμε ότι τον στόχο μπορούμε εξίσου καλά να τον πετύχουμε βάλλοντας είτε οριζόντια, είτε υπό γωνία. Άρα το πρόβλημα έχει τουλάχιστον δύο λύσεις που αντιστοιχούν στις παρακάτω συνθήκες: και low. Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν ακριβώς δύο λύσεις. low high Μπορούμε να το διαπιστώσουμε βλέποντας το παρακάτω σχήμα:

y-ais Έστω ότι αυξάνoυμε το ed. Και πάλι υπάρχουν δύο λύσεις, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ed τόσο μικρότερη είναι η γωνία high και τόσο μεγαλύτερη η γωνία low. Εάν συνεχίσουμε να αυξάνουμε το ed, κάποια στιγμή θα φτάσουμε στο μέγιστο βεληνεκές για την συγκεκριμένη αρχική ταχύτητα. Γενικά υπάρχει μια κρίσιμη τιμή του ed για την οποία υπάρχει μία και μόνο λύση. Αν το ed είναι μικρότερο από αυτή τη κρίσιμη τιμή τότε υπάρχουν δύο λύσεις ενώ αν είναι μεγαλύτερο δεν υπάρχει καμία λύση..5 Προβλήματα Stm-ioville Μια γενική κατηγορία Π.Σ.Τ που αφορά κατά κύριο λόγο την επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης είναι το πρόβλημα Stm-ioville. Στην πιο απλή μορφή του, είναι ένα βαθμωτό, αυτοσυζυγές, γραμμικό πρόβλημα συνοριακών τιμών με συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: και y p y q y y, a, b (.4) y. Η παράμετρος λ, ονομάζεται ιδιοτιμή και πρέπει να προσδιοριστεί ώστε το παραπάνω πρόβλημα συνοριακών τιμών να μην έχει ως λύση μόνο την ταυτοτικά μηδενική συνάρτηση y. Υπάρχουν αρκετές ομοιότητες με το γενικευμένο αλγεβρικό πρόβλημα ιδιοτιμής που εκφράζεται από τη σχέση, το οποίο ανάλογα με τις ιδιότητες των πινάκων Α και Β, διαθέτει διαφορετικά είδη ιδιοτιμών λ, για μη τετριμμένα διανύσματα.

Στη περίπτωση του ως άνω Π.Σ.Τ, υπάρχει συνήθως ένα πλήθος ιδιοτιμών, καθεμία από τις οποίες αντιστοιχεί σε μία ιδιοσυνάρτηση y. Για παράδειγμα, όπως έδειξε ο (Zettl, 5), εάν p, qκαι p, στο b είναι επαρκώς ομαλές και a,, τότε οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές, διακριτές και μπορούν να διαταχθούν κατά μέγεθος... ορίζοντας έτσι ένα διακριτό φάσμα..6 Ορισμός ενός Προβλήματος Συνοριακών Τιμών ης τάξης Ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών ης τάξης αποτελείται: Από μια εξίσωση της μορφής: y h (.5) όπου είναι ένας ης τάξης γραμμικός διαφορικός τελεστής ορισμένος σε ένα κλειστό διάστημα,, h μια συνάρτηση στο C, και από ένα ζεύγος συνοριακών συνθηκών της μορφής: y 3 y 4 y y y 3 y 4 y y (.6) όπου i, i και i είναι σταθερές. Αναζητούμε όλες εκείνες τις συναρτήσεις C, y, οι οποίες επιλύουν το πρόβλημα y h, (.4), (.5) και συγχρόνως τις συνοριακές συνθήκες (.6). Για να αποκλείσουμε ταυτοτικά μηδενικές λύσεις απαιτούμε ένα τουλάχιστον από τα i και i που εμφανίζονται στις (.6) να είναι διάφορα του μηδενός και τα αριστερά μέλη των (.6) να είναι γραμμικώς ανεξάρτητα με την έννοια ότι η μια εξίσωση δεν πρέπει να είναι πολλαπλάσια της άλλης. Επιπλέον, για να επιβεβαιώσουμε ότι πρόκειται για ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών και όχι αρχικών τιμών, απαιτούμε η παραπάνω σχέση να περιέχει μη μηδενικούς όρους στα άκρα του διαστήματος. Όταν, οι συνοριακές συνθήκες καλούνται ομογενείς. Παράδειγμα ο Η εξίσωση y y με συνοριακές συνθήκες y, y είναι ένα ομογενές πρόβλημα αυτής της μορφής στο διάστημα,. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι: y c cos c si 3

Ο προσδιορισμός των σταθερών c και c οδηγεί στις σχέσεις: y c y c si c αφού si, το c είναι αυθαίρετο, c c Δηλαδή, η γενική λύση του παραπάνω προβλήματος είναι y csi αυθαίρετη σταθερά. Άρα, έχουμε άπειρες λύσεις. Παράδειγμα ο Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα συνοριακών τιμών: στο διάστημα,. y y y y, όπου c μια Λύση Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι: y c c si και y c c cos cos si Ο προσδιορισμός των σταθερών c και c οδηγεί στις σχέσεις: y c y c cos c Συνεπώς, η γενική λύση του παραπάνω προβλήματος είναι η ταυτοτικά μηδενική y, για όλα τα. Παράδειγμα 3 ο Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα συνοριακών τιμών: Λύση y y y y Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι: y Για τις σταθερές c και c τώρα παίρνουμε: c cos c si 4

y c y cos (ισχύει) Συνεπώς, η γενική λύση του προβλήματος είναι: Παράδειγμα 4 ο y cos csi Να λυθεί το παρακάτω μη ομογενές πρόβλημα συνοριακών τιμών: Λύση y 4y si y y Η αντίστοιχη ομογενής διαφορική εξίσωση είναι: y 4y y c cos c si Η γενική λύση της ομογενούς είναι: Αναζητώ τώρα ειδική λύση της μορφής: cos si y cos si si cos y 4 si 4 cos 4 cos 4 si y Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην αρχική διαφορική εξίσωση έχουμε: Επομένως: 4si 4cos si και 4 και η ειδική λύση γράφεται: y cos 4 Άρα, η γενική λύση του αρχικού προβλήματος συνοριακών τιμών είναι: y cos 4 y y c c si cos Προσδιορισμός των σταθερών c και c : 5

y c y cos (δεν ισχύει) 4 Συνεπώς, το παραπάνω πρόβλημα δεν έχει λύση. Εδώ αξίζει να αναρωτηθούμε: πόσο συχνές είναι αυτές οι περιπτώσεις απουσίας λύσης. Παρατηρούμε π.χ εδώ ότι μόνο για k, k,, χάνουμε τη σταθερά c και δεν υπάρχει λύση. Για κάθε άλλο άκρο του διαστήματος,,, με y έχουμε c cot. Άρα, βασιζόμενοι στο παρόν παράδειγμα, θα μπορούσαμε να 4 υποθέσουμε γενικά ότι οι περιπτώσεις μη ύπαρξης λύσης ίσως είναι μέτρου μηδέν στο σύνολο όλων των δυνατών συνοριακών τιμών. 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 o Προβλήματα Stm-ioville και Συναρτήσεις Gee 3. Θεωρία Stm-ioville Στα μαθηματικά και τις εφαρμογές αυτών, η κλασική εξίσωση Stm-ioville, που εισήχθη από τους μαθηματικούς Jacqes Chales Facois Stm (83-855) και Joseph ioville (89-88), είναι μια πραγματική, ης τάξης γραμμική διαφορική εξίσωση της μορφής: d dy y p( ) q( ) y y d d (3.) όπου y είναι μια συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής και το καλείται τελεστής Stm-ioville. Οι συναρτήσεις p, q και προσδιορίζονται στα άκρα του διαστήματος και στην πιο απλή περίπτωση είναι συνεχείς σε ένα κλειστό διάστημα a, b. Η συνάρτηση y απαιτείται να ικανοποιεί κάποιες συνοριακές συνθήκες στα σημεία a και b, ενώ η συνάρτηση, καλείται συνάρτηση βάρους ή συνάρτηση πυκνότητας. Η τιμή του λ δεν προσδιορίζεται στην εξίσωση. Ο προσδιορισμός των τιμών λ για τις οποίες η (3.) έχει λύσεις, που ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες είναι το περιεχόμενο του προβλήματος που καλείται Stm-ioville (S-). Αυτές οι τιμές του λ, όταν υπάρχουν, καλούνται ιδιοτιμές του προβλήματος συνοριακών τιμών που ορίζεται από την (3.) και τις διατυπωμένες συνοριακές συνθήκες. Οι αντίστοιχες λύσεις (για αυτές τις τιμές του λ) καλούνται ιδιοσυναρτήσεις του προβλήματος. Ορισμός Ερμητιανού τελεστή Ένας τελεστής Α καλείται Ερμητιανός, όταν ισούται με το συζυγή του δηλαδή όταν A A. Υπό τις ως άνω υποθέσεις για τις συναρτήσεις p(), q() και ω(), το στην (3.) είναι ένας γραμμικός διαφορικός τελεστής, ο οποίος είναι και Ερμητιανός, σε κάποιο συναρτησιακό χώρο που ορίζεται από τις συνοριακές συνθήκες. Η προκύπτουσα θεωρία της ύπαρξης και της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των ιδιοτιμών, η αντίστοιχη ποιοτική θεωρία των ιδιοσυναρτήσεων και της πληρότητας τους σε κατάλληλο συναρτησιακό χώρο, έγινε γνωστή ως θεωρία Stm-ioville (A. Zettl, 974, 5). Αυτή η θεωρία είναι σημαντική στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, ειδικότερα σε συστήματα που περιγράφονται από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις μερικών παραγώγων. Η βασική αρχή της θεωρίας S- στην περίπτωση κανονικών συνοριακών συνθηκών της μορφής: 7

y y acos payasi bcos pbyb si (3.) όπου,, συνοψίζεται στα εξής: Οι ιδιοτιμές,,... ενός κανονικού προβλήματος (S-) (3.),(3.), 3 p διαφορίσιμη, (όπου q και συνεχείς, p και στο διάστημα a, b) είναι πραγματικές, αριθμήσιμες και καλά διατεταγμένες έτσι ώστε:... Για κάθε ιδιοτιμή υπάρχει μοναδική ιδιοσυνάρτηση ακριβώς - ρίζες y στο b i a,. y, η οποία έχει Οι ιδιοσυναρτήσεις είναι ορθογώνιες και ικανοποιούν τη σχέση ορθογωνιότητας: b a y y d για m m όπου η συνάρτηση βάρους. Ένα ορθοκανονικό σύνολο ιδιοσυναρτήσεων προκύπτει όταν ισχύει η παρακάτω σχέση ορθογωνιότητας: b a y ym d m, εάν m όπου m το δέλτα του Koecke με m., εάν m Οι ιδιοτιμές ενός προβλήματος (S-) μπορούν να χαρακτηριστούν από το πηλίκο Rayleigh που δίνεται από την παρακάτω σχέση: p b y y py qy a b a y b a d d 3. Μορφή Stm-ioville Oρισμός Αυτοσυζυγούς τελεστή Έστω A ένας γραμμικός και φραγμένος τελεστής σε ένα χώρο Hilbet H, για τον οποίο ισχύει A A. Τότε ο Α καλείται αυτοσυζυγής τελεστής. Ο τελεστής που 8

ορίζεται μέσω της σχέσης A, y, A y του Α.,, y καλείται συζυγής τελεστής Το πρόβλημα (3.) λέγεται αυτοσυζυγές πρόβλημα Stm-ioville, επειδή ο τελεστής είναι αυτοσυζυγής. Όλες οι ης τάξης γραμμικές διαφορικές εξισώσεις μπορούν να μετατραπούν στη μορφή του αριστερού μέρους της (3.) πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης με έναν ολοκληρωτικό παράγοντα, όπως θα δούμε παρακάτω, το ίδιο όμως δεν ισχύει στις ης τάξης Μ.Δ.Ε, ή αν το y είναι διάνυσματική συνάρτηση. Παραδείγματα Σ.Δ.Ε που γράφονται σε μορφή Stm-ioville Απλός αρμονικός ταλαντωτής Η εξίσωση της κίνησης για ένα απλό αρμονικό ταλαντωτή με συχνότητα m είναι: y και έχει τη μορφή Stm-ioville με p, y q,,. Η εξίσωση egede Η εξίσωση egede εμφανίζεται σε προβλήματα που χαρακτηρίζονται από σφαιρική συμμετρία. Η εξίσωση γράφεται: Ισοδύναμα, έχουμε: y y ll y y ll y οπότε η ως άνω εξίσωση έχει τη μορφή Stm-ioville με p, ll, q,. Αν εργαστούμε στο διάστημα [-,], τότε αφού p(-)=p() έχουμε ένα ιδιάζον πρόβλημα Stm-ioville. Η εξίσωση agee Η εξίσωση agee προκύπτει από το ακτινικό μέρος της εξίσωσης Schödige για τα τροχιακά του ατόμου του υδρογόνου. Η εξίσωση γράφεται: y y y Στην περίπτωση αυτή χρειαζόμαστε έναν ολοκληρωτικό παράγοντα της μορφής οπότε έχουμε: e, 9

e y e με p e, q, y e y ( e y) e y e., 3.3 Ορισμός ενός ομογενούς προβλήματος Stm-ioville Ένα ομογενές πρόβλημα συνοριακών τιμών Stm-oville αποτελείται από μια διαφορική εξίσωση της μορφής (Σιαφαρίκας, ): p y q y y (3.3) σε ένα διάστημα, με τις συνοριακές συνθήκες: y y ' y ' y (3.4) όπου,, p C,, q, C, με p και,,. Αν p,, Αν p ή p ή τότε το ανωτέρω Π.Σ.Τ ονομάζεται ομαλό., δεν είναι φραγμένο, τότε ονομάζεται μη ομαλό. Αν,,,, τότε ονομάζεται συνοριακό πρόβλημα των δύο σημείων. Αν ένας γραμμικός ομογενής διαφορικός τελεστής που ορίζεται ως εξής: y py qy η παραπάνω διαφορική εξίσωση (3.3) γράφεται: 3.4 Μετατροπή μιας ης τάξης Σ.Δ.Ε σε μορφή Stm-ioville Κάθε διαφορική εξίσωση της μορφής: όπου b, a b c F (3.5) a μια συνεχώς διαφορίσιμη, θετική συνάρτηση στο διάστημα, c συνεχείς, μπορεί να πάρει τη μορφή Stm-oville: d d y y p q f a και 3

όπου p,, και, f C, q, αν πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο της με τον ολοκληρωτικό παράγοντα: και ορίσουμε: p a e b d a a b a e a d c q p a F f a p Το κύριο χαρακτηριστικό των διαφορικών εξισώσεων Stm-oville όσον αφορά στην ύπαρξη της παραμέτρου λ είναι ότι εμφανίζεται μόνο στον συντελεστή της y. Στην περίπτωση όπου η διαφορική εξίσωση στην οποία καταλήγουμε δεν είναι τύπου Stm-oville και το λ εμφανίζεται ως συντελεστής και της y και της y, η εύρεση των ιδιοτιμών και αντίστοιχων ιδιοσυναρτήσεων γίνεται με την εύρεση της γενικής λύσης της διαφορικής εξίσωσης και κατόπιν με την εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών. Ορισμός Το πρόβλημα λύσης της διαφορικής εξίσωσης (3.5) για F εφοδιασμένο με τις συνοριακές συνθήκες (3.4) λέγεται ομογενές πρόβλημα συνοριακών τιμών. 3.4. Παραδείγματα Παράδειγμα ο Να λυθεί το πρόβλημα συνοριακών τιμών, το οποίο δεν είναι της μορφής Stm- ioville: Λύση y y y y y y Η παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι τύπου Ele, επομένως θέτοντας τον t t dt μετασχηματισμό e d e dt t και χρησιμοποιώντας τις d e σχέσεις: dy dy dt dy d d y d dy dy d y dt d dt d d dt dt dt η διαφορική εξίσωση μετατρέπεται στην παρακάτω δ.ε: d y ( ) dt dy dt y 3

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης για y t e είναι: ( ) Οι αντίστοιχες ρίζες είναι: Επομένως, y y t t και. c e c e t t c c e t e t t, για λ, για λ Δηλαδή, με t l, έχουμε, y y c c l c c, για λ, για λ Για λ=, εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες, βρίσκουμε: y y c y c l c l c c Συνεπώς, y ταυτοτικά και επομένως η τιμή λ= δεν μπορεί να ονομασθεί ιδιοτιμή του δοθέντος Π.Σ.Τ. Για λ, εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες έχουμε: y c c c c - y y c c c c c Για. Τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων f και g είναι τα, και,. Συνεπώς, υπάρχουν οι ιδιοτιμές,. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι ακόμα και αν ένα πρόβλημα δεν είναι Stm-ioville, έχει ιδιοτιμές. Το παραπάνω πρόβλημα είναι ένα γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών. c, έχουμε Παράδειγμα ο Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις του παρακάτω Π.Σ.Τ, το οποίο είναι τύπου Stm-ioville: y y y, y y (3.6) 3

Λύση Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης που παίρνουμε θέτοντας y e είναι. Η διακρίνουσα και οι αντίστοιχες λύσεις είναι 4 και. Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: (i) λ=:,, Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (3.6) γράφεται c e c e Σύμφωνα με τις συνοριακές συνθήκες έχουμε: y c και y y c. Δηλαδή, καταλήξαμε στην ταυτοτικά μηδενική λύση. Συνεπώς, το λ= δεν είναι ιδιοτιμή του δοθέντος Π.Σ.Τ. (ii) λ<:, Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (3.6) γράφεται Σύμφωνα με τις συνοριακές συνθήκες έχουμε: y c e c e. y c c y ce c e Για να υπάρχουν μη τετριμμένες λύσεις για τα c, c, θα πρέπει: e e e e e e Συνεπώς, τα λ< δεν είναι ιδιοτιμές του δοθέντος Π.Σ.Τ. (iii) λ>: i, Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (3.6) γράφεται y ce cos ce si.σύμφωνα με τις συνοριακές συνθήκες έχουμε: y c 33

y c esi si, =,,3,,,,3,... Συνεπώς, οι αριθμοί,,,3,... είναι ιδιοτιμές του παραπάνω προβλήματος με αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις y c e si 3.5 Προβλήματα Συνοριακών Τιμών με παράμετρο Παράδειγμα 3 ο,,,3,... Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις του παρακάτω προβλήματος συνοριακών τιμών: όπου το είναι ελεύθερη παράμετρος. Λύση Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: y y, y (3.7) y (3.8) λ=: Από την σχέση (3.7) έχουμε: y y c y c c Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες (3.8) έχουμε: y c c c y c Άρα, η τιμή δεν είναι ιδιοτιμή του δοθέντος Π.Σ.Τ. λ<: H γενική λύση της (3.7) είναι συνθήκες (3.8) έχουμε: y y c e c e. Εφαρμόζοντας τις συνοριακές c e c e c c y c e c e 34

Θα πρέπει e e έχουμε ιδιοτιμές., που ισχύει μόνο για λ=. Άρα, και εδώ για λ< δεν λ>: H γενική λύση της (3.7) είναι y c c si συνοριακές συνθήκες (3.8) έχουμε: y cos c cos c si c.εφαρμόζοντας τις y c c si si,,...,,... Δηλαδή, για λ> έχουμε τις ιδιοτιμές,,... με τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις y si,,... για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου. Παράδειγμα 4 ο Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις του παρακάτω προβλήματος συνοριακών τιμών: Λύση y y, y (3.9) y (3.) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: λ=: Από την σχέση (3.9) έχουμε: y y c y c c Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες (3.) έχουμε: y y c Αντίθετα λοιπόν με το Παράδειγμα 3, εδώ η τιμή είναι ιδιοτιμή του δοθέντος y. Π.Σ.Τ με αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση c 35

λ<: Εργαζόμενοι όπως σε προηγούμενα παραδείγματα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι. Άρα, για δεν υπάρχουν ιδιοτιμές. λ>: Εργαζόμενοι όπως στο Παράδειγμα 3, βρίσκουμε το φάσμα των ιδιοτιμών,,,... με αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις y cos,,,... Παράδειγμα 5 ο Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις του παρακάτω προβλήματος συνοριακών τιμών: Λύση y y, y (3.) y (3.) Η λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει διάφορες μορφές ανάλογα με τις τιμές του λ, έτσι είναι αναγκαίο να διερευνήσουμε τις περιπτώσεις λ>, λ=, λ<. Για λ=, έχουμε και στην περίπτωση αυτή ότι η μόνη επιτρεπτή λύση της (3.) είναι η μηδενική και συνεπώς η τιμή λ= δεν είναι ιδιοτιμή. Για λ<, και πάλι, για μη τετριμμένα c, c, πρέπει απαραίτητα να θέσουμε. Άρα, και εδώ για λ< δεν έχουμε ιδιοτιμές. Για λ>, έχουμε: c c si y c c cos y cos Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες (3.) έχουμε: y si c cos c si c y c cos cos c,,,...,,,... 4 36

Δηλαδή, για λ> έχουμε τις ιδιοτιμές,,,... με αντίστοιχες 4 ιδιοσυναρτήσεις y si,,,... Παράδειγμα 6 ο Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις του παρακάτω προβλήματος συνοριακών τιμών: Λύση y y, y y (3.3) hy (3.4) Εύκολα βρίσκουμε και εδώ ότι για δεν υπάρχουν ιδιοτιμές. Για, όμως, βρίσκουμε τα κάτωθι ενδιαφέροντα αποτελέσματα: Κατ αρχάς η γενική λύση της (3.3) είναι: y c c si και y c c cos cos si οπότε, εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες (3.4) έχουμε: y c cos c si c Άρα, y c si Παρατηρούμε, τώρα ότι εφαρμόζοντας τη η συνοριακή συνθήκη έχουμε: hy y hc si c cos hsi cos c c h si cos Αν cos, τότε si. Συνεπώς, cos και διαιρώντας και τα δύο μέλη με cos έχουμε: ta ή h ta h Θέτοντας, η λύση της τελευταίας εξίσωσης υπολογίζεται γραφικά, κάνοντας το γράφημα των συναρτήσεων ta και h h 37

Σχήμα 3.: Οι ιδιοτιμές του προβλήματος συνοριακών τιμών (3.3), (3.4) είναι τα σημεία τομής των καμπυλών ta με την ευθεία h. Οι ρίζες δίνονται από τις τομές των καμπυλών μεταξύ τους και όπως φαίνεται από το Σχήμα 3., υπάρχουν άπειρες ρίζες με,,3,... Σε κάθε ρίζα αντιστοιχεί μια ιδιοτιμή,,... και συνεπώς υπάρχει μια ακολουθία ιδιοτιμών... και lim οπότε οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις του δοθέντος Π.Σ.Τ είναι: si si y,,... Παράδειγμα 7 ο Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις του παρακάτω προβλήματος συνοριακών τιμών: y y (3.5) y, y y (3.6) Λύση Η λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει διάφορες μορφές ανάλογα με τις τιμές του λ, έτσι είναι αναγκαίο να διερευνήσουμε τις περιπτώσεις λ>, λ=, λ<. Για λ=, έχουμε: y y c y c c Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες (3.6) έχουμε: 38

y y c c c c Δηλαδή, y c Επιπλέον, y c Εάν, τότε c αυθαίρετη σταθερά και η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση είναι y. Εάν τότε c και c και η τιμή λ= δεν είναι ιδιοτιμή. Για λ<, βρίσκουμε και πάλι λ=. Άρα, και για λ< δεν έχουμε ιδιοτιμές. Για λ>, έχουμε: y c c si y c c cos cos Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες (3.6) έχουμε: y si y c c c c y cos c c cos c si ta c Συνεπώς, υπάρχουν άπειρες ιδιοτιμές οι οποίες ικανοποιούν την παρακάτω σχέση: ta Οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις, όπως φαίνεται από τη γραφική παράσταση των καμπυλών και ta, είναι: y si cos Παράδειγμα 8 ο Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις του παρακάτω περιοδικού Π.Σ.Τ: Λύση y y, y y y (3.7) y (3.8) Όπως και σε προηγούμενα παραδείγματα, έτσι και εδώ οι τιμές και δεν οδηγούν σε μη τετριμμένες λύσεις y. Όμως, η περίπτωση οδηγεί σε 39

ιδιοτιμές, για τις οποίες οι ιδιοσυναρτήσεις έχουν δύο αυθαίρετες σταθερές, αφού δίνονται από την έκφραση: Παρατήρηση y c cos c si Γνωρίζουμε ότι σε ένα ομαλό Π.Σ.Τ Stm-ioville οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές και απλές, δηλαδή σε κάθε ιδιοτιμή δεν αντιστοιχούν περισσότερες της μίας ιδιοσυναρτήσεις. Αυτό, όμως, συμβαίνει γενικά όταν οι συνοριακές συνθήκες είναι διακριτές. Στο παραπάνω παράδειγμα όμως οι συνοριακές συνθήκες δεν είναι διακριτές, και ίσως για αυτό το λόγο οι ιδιοτιμές δεν είναι απλές, αφού σε κάθε μία αντιστοιχούν δύο γραμμικώς ανεξάρτητες ιδιοσυναρτήσεις. Στα παραπάνω προβλήματα αν θεωρήσουμε ως λύση y που αντιστοιχεί σε γενικά λ και επιχειρήσουμε να την γράψουμε στη μορφή y c y, όπου y οι γραμμικώς ανεξάρτητες ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές θα καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι για μη τετριμμένες λύσεις, πρέπει και αρκεί, δηλαδή το να ισούται με μία από τις ιδιοτιμές του προβλήματος. Όταν, όμως, έχουμε ένα μη ομογενές πρόβλημα y y f, τότε αναπτύσσουμε και το f σε ιδιοσυναρτήσεις του ομογενούς προβλήματος, f d y, οπότε παρατηρούμε ότι για να υπάρχει λύση του προβλήματος απαιτείται να είναι, αφού: c y c y f c y y d y d c d c,, Στην περίπτωση αυτή, η λύση γράφεται: y y αυτή συγκλίνει σημειακά, στην περίπτωση που η ενώ αποδεικνύεται επίσης ότι η λύση είναι μοναδική (oga, ). Παράδειγμα 9 ο f d. Η σειρά είναι συνεχής συνάρτηση, Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις του παρακάτω προβλήματος συνοριακών τιμών: y y (3.9) y y, y y (3.) 4