ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙ ΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Επιέλεια Ύλης Θ.Χριστοδολάκης Ε. Κορφιάτης ΑΘΗΝΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ..... Υπεθίσεις από τη θεωρία πιάκω..... Μεταθέσεις Στροφές σστήατος ααφοράς Ορθογώιοι πίακες... 4... Μεταθέσεις... 4... Στροφές... 5... Ορθογώιοι πίακες... 8.. Παραετρική ορφή καπύλης Επααπαραετροποίηση καπύλης... 9... Παραετρική ορφή καπύλης... 9... Επααπαραετροποίηση Καπύλης....4. Σαρτησοειδή Σαρτησοειδές το Dira....4.. Τα αθηατικά....4.. To φσικό πρόβληα....4.. Η αθηατική επίλση το προβλήατος....4.4. Παραδείγατα από τη φσική... 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Α ΡΑΝΕΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΑΛΙΛΑΙΟΥ... 5.. Αδραειακά Σστήατα ααφοράς... 5.. Μετασχηατισός Γαλιλαίο... 5... Χροικές εταθέσεις... 5... Χωρικές εταθέσεις... 6... Χωρικές στροφές... 6..4. Προωθήσεις Γαλιλαίο... 7..5. Γεικός ετασχηατισός Γαλιλαίο... 7.. Νόος ετασχηατισού τω φσικώ εγεθώ... 8.4. Η εβέλεια και τα όρια το Μετασχηατισού το Γαλιλαίο... 9.4.. Η εβέλεια... 9.4.. Τα όρια... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ..... Εισαγωγή..... Προώθηση Lorentz...... Προώθηση κατά ήκος εός άξοα...... Χωροχροικές στεταγέες Γεική προώθηση Lorentz... 7.. Χωροχροική απόσταση και ο χώρος Minkowski....4. Οάδα Lorentz... 5.5. Σύοψη και τπολόγιο... 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΑ ΜΕΓΕΘΗ ΤΗΣ ΕΙ ΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ... 9 4.. Εισαγωγή... 9 4.. Χωροχροική απόσταση και ιδιόχροος... 9 4.. Τετραταχύτητα... 4 4.4. Τετραεπιτάχση... 46 4.5. Τετραορή... 47 4.6. Σύοψη και Τπολόγιο... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5... 5 ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ... 5 5.. Εισαγωγή... 5 5.. Ταστές - Ταστικά Πεδία... 5 Α) Ααλλοίωτα (βαθωτά) εγέθη (salars) - Ααλλοίωτα (βαθωτά) Πεδία... 5 Β) Αταλλοίωτα διαύσατα αταλλοίωτα διασατικά πεδία... 5 Γ) Σαλλοίωτα διαύσατα Σαλλοίωτα διασατικά πεδία... 5 Β) Αταλλοίωτοι ταστές αταλλοίωτα ταστικά πεδία... 54 5.. Σταθεροί Ταστές... 55 5.4. Πράξεις εταξύ Ταστώ... 56 5.5. Σύοψη και τπολόγιο... 59

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ... 6 6.. Εισαγωγή... 6 6.. Οι πηγές... 6 6.. Οι εξισώσεις το Maxwell... 6 6.4. Ο όος ετασχηατισού τω πεδίω... 64 6.5. Τα ααλλοίωτα το ηλεκτροαγητικού πεδίο... 7 6.6. Σύοψη και τπολόγιο... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7... 74 ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΥΝΑΜΙΚΗ... 74 7.. Γεικά... 74 7.. Εφαρογή (τετραδύαη Lorentz)... 76 7.. Σύοψη και τπολόγιο... 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ... 79 Εφαρογή 8.. ιαστολή το χρόο... 79 Εφαρογή 8.. Σστολή το ήκος... 79 Εφαρογή 8.. Φαιόεο Doppler (ειδική περίπτωση)... 79 Εφαρογή 8.4. Φαιόεο Doppler (γεική περίπτωση)... 8 Εφαρογή 8.5. Μη κετρική ελαστική κρούση... 8 Εφαρογή 8.6. Απορρόφηση φωτοίο από ακίητο σωατίδιο... 8 Εφαρογή 8.7. Εκποπή φωτοίο από ακίητο σωατίδιο... 84 Εφαρογή 8.8. Εκποπή φωτοίο από κιούεο σωατίδιο... 85 Εφαρογή 8.9. Εέργεια κατωφλίο... 86 Εφαρογή 8.. Ελαστική σκέδαση... 87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΑΣΚΗΣΕΙΣ... 9 Οάδα 9.. Μετασχηατισός Lorentz... 9 Οάδα 9.. Σχετική Ταχύτητα... 9 Οάδα 9.. Τετραταχύτητα - Τετραορή... 9 Οάδα 9.4. ιατήρηση ορής - εέργειας... 97

Εκλείδια Αιτήατα Ἠιτήσθω ἀπό πατός σηείο ἐπί πᾶ σηεῖο εὐθεῖα γραή ἀγαγεῖ. Καί πεπερασέη εὐθεῖα κατά τό σεχές ἐ εὐθείας ἐκβαλεῖ. Καί πατί κέτρῳ καί διαστήατι κύκλο γράφεται. Καί πάσας τάς ὀρθάς γωίας ἴσας ἀλλήλαις εἶαι. Καί ἐά εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐπίπτοσα τά ἐτός καί ἐπί τά αὐτά έρη γωίας δύο ορθῶ ἐλλάσσοας ποιῇ, ἐκβαλλοέας τάς δύο εὐθείας ἐπ ἂπειρο σπίπτει ἐφ ἃ έρη εἰσί αἱ τῶ δύο ὀρθῶ ἐλλάσσοες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ.. Υπεθίσεις από τη θεωρία πιάκω Έστω Α=(A ij ) έας x πίακας. Ο πρώτος δείκτης (i) παίρει τιές από και δηλώει τη γραή στη οποία βρίσκεται το στοιχείο A ij και ο δεύτερος (j) παίρει τιές από. και δηλώει τη στήλη. Έτσι A είαι το στοιχείο πο βρίσκεται στη η γραή και τη η στήλη. Ο αάστροφος Α Τ (transpose) εός x πίακα Α είαι έας x πίακας, ο οποίος προκύπτει από το Α α ετατρέψοε τις γραές το Α σε στήλες και τις στήλες σε γραές. Για παράδειγα το στοιχείο πο βρίσκεται στη η γραή και η στήλη το Α Τ είαι το στοιχείο το Α πο βρίσκεται στη η γραή και η στήλη. Εποέως έχοε: T (A ) = A ij ji Σχόλια i. Έας x πίακας Α έχει γραές και ία στήλη (πίακας στήλη). Τα στοιχεία το για λόγος απλότητας δε τα σβολίζοε ε Α, Α,,., Α, αλλά ε Α, Α., Α. Το τχαίο στοιχείο της i γραής το σβολίζοε ε Α i i=,... ii. Έας x πίακας Α έχει γραή και στήλες (πίακας γραή ). Τα στοιχεία το για λόγος απλότητας δε τα σβολίζοε ε Α, Α., Α, αλλά ε Α, Α., Α. Το τχαίο στοιχείο της i στήλης σβολίζεται επίσης ε Α i i=,... iii. Ο αάστροφος εός πίακα στήλη είαι έας πίακας γραή και ατιστρόφως Μεταξύ τω πιάκω ορίζοται διάφορες πράξεις, ) Άθροισα δύο (οοειδώ ποχρεωτικά ) πιάκω Έστω Α=(A ij ) και Β=(A ij ) δύο x πίακες και λ R Οοάζοε άθροισα τω δύο πιάκω έα x πίακα C πο προκύπτει ε πρόσθεση τω στοιχείω το Α ε τα ατίστοιχα στοιχεία το Β. Εποέως έχοε C=A+B C ij = A ij + B ij ή ε στοία (Α+Β) ij = A ij + B ij ) Πολλαπλασιασός αριθού ε πίακα Οοάζοε γιόεο το αριθού λ ε το πίακα Α έα x πίακα πο προκύπτει ε πολλαπλασιασό κάθε στοιχείο το Α ε λ. ηλαδή έχοε: (λα) ij =λα ij. ) Πολλαπλασιασός πιάκω Έστω Α έας x πίακας και Β έας xρ πίακας. Οοάζοε γιόεο το Α ε το Β έα xρ πίακα C τα στοιχεία το οποίο προκύπτο από τη σχέση: Cij = AikBkj ε i= και j=.ρ ή ε στοία (AB) ij = AikBkj k= k= Έτσι για παράδειγα α ο Α είαι έας x πίακας και ο Β έας x4 πίακας το γιόεο το Α ε το Β είαι έας x4 πίακας C. Το στοιχείο πο βρίσκεται στη η γραή και 4 η στήλη το C έχει τιή C = A B = A B + A B + A B 4 k k4 4 4 4 k= κλπ

Ειδικές περιπτώσεις: Έστω Α έας x πίακας, Χ έας x πίακας γραή και Υ έας x πίακας στήλη. Ορίζοται τότε τα γιόεα ΧΑ (πίακας γραή, ΑΥ (πίακας στήλη), YX (x πίακας) από τις σχέσεις (XA) (AY) = Χ A i k ki k= = A Y i ik k k= (YX) ij = YX i j Έστω τώρα Α=(Α ij ) έας x τετραγωικός πίακας και Χ=(X i ) πίακας στήλη x. Μπορούε α ορίσοε τα γιόεα ΑΧ (πίακας στήλη), Χ Τ Α (πίακας γραή), ΧΧ Τ (x πίακας ), Χ Τ Χ ( x πίακας δηλαδή αριθός) T T (X A) i = Χ kaki = ΧkAki k= k= (AX) = A X i ik k k= T XX= XX k k k= T (XX ) ij = XiX j.. Μεταθέσεις Στροφές σστήατος ααφοράς Ορθογώιοι πίακες... Μεταθέσεις Θεωρούε δύο τρισορθογώια σστήατα στεταγέω Ox x x x και Ox x x ε παράλληλος άξοες. Έστω b,b,b οι στεταγέες της αρχής Ο ως προς Ο. Έα τχαίο σηείο Μ το χώρο θα έχει στεταγέες (x,x,x )ως προς το Ο και στεταγέες x (x,x,x ) ως προς το Ο. Ο Είαι γωστή η σχέση πο σδέει της στεταγέες x ε x τις x. x x = x + b x = x + b x = x + b x Ορίζοε το πίακα στεταγέω (πίακας στήλη ) x = x x b Εποέως η σχέση ετασχηατισού στεταγέω γίεται x =x+b ε b = b b i i i Σε γλώσσα σιστωσώ οι παραπάω σχέση πορεί α γραφεί: x = x + b i=,, Ο x x 4

... Στροφές Θεωρούε δύο ορθοκαοικά σστήατα στεταγέω ε κοιή αρχή Ο Ο Έα τχαίο σηείο Μ το χώρο θα έχει στεταγέες (x,x,x )ως προς το Ο και στεταγέες (x,x,x ) ως προς το Ο. Ζητάε τη σχέση πο έχο οι στεταγέες x ε τις x. Έστω (e,e,e ) και (e,e,e ) τα οαδιαία διαύσατα στος τρεις άξοες τω Ο και Ο ατιστοίχως. Έστω δε r το διάσα θέσης το Μ ως προς τη κοιή αρχή. i i Ισχύει ότι r = x e + x e + x e = x e = x e i i i= Για τη τελεταία ισότητα χρησιοποιήσαε τη σθήκη άθροισης το Einstein σύφωα ε τη οποία : Α σε ια παράσταση εφαίζεται ο ίδιος δείκτης σε άω και κάτω θέση τότε ποοείται άθροιση σε ατό το δείκτη και το σύβολο της άθροισης παραλείπεται. ij i i i Παράδείγα: auj = au+ a u + a u Οοίως για τις στεταγέες το διαύσατος j r στο άλλο σύστηα στεταγέω έχοε r = x e. j Εξισώοτας τα δεύτερα έλη έχοε: j i x e j = x ei (..) Επειδή τα e i είαι γραικώς αεξάρτητα διαύσατα, κάθε άλλο διάσα θα γράφεται σα γραικός σδασός ατώ. Εποέως και τα e i γράφοται σα γραικός σδασός τω e i. i j Υπάρχει λοιπό πίακας R = (R m) έτσι ώστε ei = R ie j (..) Ατικαθιστώτας στη (..) έχοε: j i j i j j j i x e j = x ei x e j = x R ie j (x R ix )e j = Και επειδή τα e γραικώς αεξάρτητα x j = R j i i i x (..) i j j i Εκτός από τις 9 ποσότητες R j ορίζοε τις ποσότητες R ij και R i έσω της σχέσης Rij = Ri = R j ( πχ R = R = R ). Όπως θα φαεί παρακάτω η αάγκη εός τέτοιο παράδοξο ορισού είαι απαραίτητη, για α τηρήσοε τη σθήκη άθροισης το Einstein ( και όχι όο) Για το πίακα R πορούε α αποδείξοε το επόεο x x x Ο Ο x r M x x Θεώρηα... Ο πίακας R όπως ορίζεται από τη σχέση (..) ικαοποιεί τη σχέση: T T R R RR I = = (..4) Απόδειξη Επειδή το Ο είαι ορθοκαοικό για τα 9 εσωτερικά γιόεα e.e i j (σηίτοα κατεθύσεως) θα ισχύει ότι : α i=j τότε e.e i j = και α i j τότε e.e i j = Εποέως e m.e n =εmn (H Εκλείδια ετρική, οποία σα πίακας σπίπτει ε το οαδιαίο x πίακα Ι) Ατικαθιστώτας τα e από τη (..) έχοε ότι: i j i j i j e.e =ε (e R ).(e R ) =ε R R (e.e ) =ε R R ε =ε m n mn i m j m mn m m i j mn m m ij mn 5

R ε R =ε (R IR) =Ι R R = I i j T T m ij n mn mn mn Από τη τελεταία σχέση σπεραίοε ότι οι R και R T είαι ο έας ατίστροφος το άλλο και εποέως T RR = I Ααζητούε τώρα τις ατίστροφες σχέσεις τω (..) και (..). Σγκεκριέα έχοε το εξής Θεώρηα... Ισχύο οι σχέσεις: j Α) e = R e Β) i i j j j i i (..5) x = R x (..6) Απόδειξη Α)Έχοε διαδοχικά: j e = R e e = R e R e = R R e = e R R i i j i ji j mi i mi ji j j mi ji j= i= i= j= j= i= = = = δ = = T T Rmiei e j RmiRij e j(rr ) mj e j mj e j e j Rmiei i= j= i= j= j= i= e = R e i m m i Β) Για το Β πορούε α θέλοε α χρησιοποιήσοε τη ίδια έθοδο. Για λόγος ποικιλίας εαλλακτικά πορούε α κάοε τη εξής απόδειξη: T T Έχοε ότι RR = I R = R Επίσης j j i T i T i ij j j= x = R x x = Rx R x = R Rx x = R x x = R x i j i i j = ji = j j= x R x x R x Για το εσωτερικό γιόεο δύο διασάτω πορούε α αποδείξοε το εξής Θεώρηα... Το εσωτερικό γιόεο δύο διασάτω είαι ααλλοίωτο κάτω από ετασχηατισούς ορθοκαοικώ σστηάτω στεταγέω (στροφές). Απόδειξη Έστω u και δύο διαύσατα το χώρο ε στεταγέες u i και i. u Έστω δε u = u και = οι ατίστοιχοι πίακες στεταγέω. u Το εσωτερικό γιόεο το δύο διασάτω στο πρώτο σύστηα στεταγέω είαι: u. =u + u +u =u T = Τ u T T T T T T Στο δεύτερο σύστηα στεταγέω έχοε: u = (Ru) (R ) = u R R= u I= u. 6

Έστω τώρα έα διάσα u το χώρο ε πίακα στεταγέω u. Το τετράγωο το έτρο το είαι το εσωτερικό γιόεο u = u.u = (u ) + (u ) + (u ) T Σε γλώσσα πιάκω έχοε ότι u = u u Για α γράψοε το έτρο το διαύσατος σε γλώσσα στεταγέω ε σπαγή τρόπο ορίζοε τος εξής περίεργος (τατοτικούς) πίακες και κάοε τις εξής σφωίες: Ορίζοε το Εκλείδιο ετρικό ταστή ε δύο δείκτες κάτω: ε =ε =ε = Ορίζοε το Εκλείδιο ετρικό ταστή ε δύο δείκτες άω: ε =ε =ε = Ορίζοε το δέλτα το Kroneker ε έα δείκτη άω και έα δείκτη κάτω: δ =δ =δ = Τα στοιχεία και τω τριώ πιάκω είαι ηδέ ότα οι δείκτες είαι άισοι Θεωρούε τώρα ια ποσότητα ε καθορισέη διάταξη δεικτώ. Α κάποιος δείκτης είαι κάτω (σαλλοίωτος δείκτης) πορεί α αψωθεί ε το πίακα ε ij Α κάποιος δείκτης είαι πάω (αταλλοίωτος) δείκτης πορεί α ποβιβαστεί ε το πίακα ε ij Παράδειγα : Έστω ότι έχοε το αταλλοίωτο διάσα a i. Μπορούε α ορίσοε το σαλλοίωτο διάσα a i από τη j σχέση a =ε a (εοείται η άθροιση στο j) i ij Παράδειγα : Ας ποθέσοε ότι έχοε έα αταλλοίωτο ταστή (πίακας Α ij ) πορούε α ορίσοε το ατίστοιχο ικτό και το ατίστοιχο σαλλοίωτο έσω τω σχέσεω: i im mn A = A ε και A =ε A ε j mj ij im nj Σχόλια Προφαώς επειδή ο ε ij είαι ο τατοτικός πίακας οι τιές τω στεταγέω το αταλλοίωτο και το σαλλοίωτο διαύσατος σπίπτο και εποέως ίσως α ααρωτηθεί καείς το λόγο ύπαρξης ατώ τω περίεργω ορισώ. Η αάγκη τος προκύπτει φσιολογικά σε γεικεέα σστήατα στεταγέω, στα οποία έα αταλλοίωτο διάσα και το σζγές σαλλοίωτο διάσα έχο και διαφορετικές τιές σιστωσώ και κρίως διαφορετικό όο ετασχηατισού. Σε ατό το στάδιο ας θεωρήσοε ότι τα παραπάω είαι αποτέλεσα ιας ιδιοτροπίας ε στόχο τη σωστή διαχείριση της θέσης τω δεικτώ. O πίακας R προκύπτει από το πίακα R ε τη παραπάω διαδικασία j i i j Υιοθετώτας τις παραπάω σφωίες το εσωτερικό γιόεο δύο διασάτω πορεί α γραφεί: i j i i u. =ε u = u = u (..7) ij i i Το τετράγωο το έτρο εός διαύσατος γράφεται ως: u = u.u=ε uu = uu i j i ij i (..8) Η βασική ιδιότητα το πίακα στροφής RR T =I πορεί α γραφεί : T mn T mn ij ij im nj ij im jn ij m= n= m= n= Τ RIR =Ι (RIR ) =ε R ε R =δ R ε R =ε R ε R =ε (..9) i mn j ij m n Οοίως η σχέση R T R=Ι γίεται: T T T mn mn ij ij im nj ij mi nj ij m= n= m= n= R IR =Ι (R IR) =ε R ε R =ε R ε R =ε 7

R ε R =ε (..) m n i mn j ij Θεωρούε τώρα το ετασχηατισό x = Rx+ b ε R πίακα στροφής,. Ο ετασχηατισός ατός ατιστοιχεί προφαώς σε στροφή και ετάθεση το σστήατος στεταγέω και ε γέει δε διατηρεί ούτε το εσωτερικό γιόεο ούτε το έτρο εός διαύσατος. ιατηρεί όως τη απόσταση δύο σηείω. Η ιδιότητα ατή φαίεται ως εξής: Έστω Μ και Μ δύο σηεία το χώρο Τα διαύσατα θέσης τω δύο σηείω ως προς τα δύο σστήατα στεταγέω έχο πίακες στεταγέω x (), x (), x (), x () (ο δείκτης έσα στη παρέθεση απαριθεί σηεία και όχι στεταγέες). Το διάσα πο σδέει τα δύο σηεία έχει πίακα στεταγέω x = x() x() στο έα σύστηα στεταγέω και x = x () x () στο άλλο. Από το ετασχηατισό έχοε: x () = Rx() + bκαι x () = Rx() + b. Αφαιρώτας κατά έλη προκύπτει ότι x = R x. Από τα εκτεθέτα παραπάω έχοε ότι i j x =ε x x = x (..) ij Α τα σηεία είαι απειροστά κοτά τότε το τετράγωο της απειροστής απόστασής τος γράφεται: dl =ε dx dx = dl (..) i j ij... Ορθογώιοι πίακες Έας πίακας R x καλείται ορθογώιος ότα ικαοποιεί τη σχέση T T R R RR I = = (..) Ιδιότητες i) Το σύολο τω ορθογωίω πιάκω αποτελεί οάδα ε πράξη τω πολλαπλασιασό πιάκω. ii) Επειδή το πρώτο έλος της σχέσης (..) είαι έας σετρικός x πίακας, η σχέση ατή επιβάλλει 6 περιορισούς στα 9 στοιχεία το πίακα R αφήοτας τα πόλοιπα απροσδιόριστα. Εποέως έας ορθογώιος πίακας πορεί α περιέχει ε γέει ελεύθερες παραέτρος. iii) Παίροτας ορίζοσες και τω δύο ελώ της (..) και λαβάοτας π όψι ότι R = R T καταλήγοε στη σχέση R = R =±. iv) Το ποσύολο τω ορθογωίω πιάκω ε ορίζοσα + περιέχει τις πραγατικές στροφές (κιήσεις) το σστήατος στεταγέω και αποτελεί ποοάδα το σόλο τω ορθογωίω πιάκω, εώ το ποσύολο ε ορίζοσα περιέχει τις κατοπτρικές σετρίες ή σδασούς στροφώ και κατοπτρικώ σετριώ και δε αποτελεί ποοάδα (δε περιέχει το οαδιαίο πίακα). Για παράδειγα ας θεωρήσοε το ετασχηατισό x =y και y =x (αλλαγή στα οόατα τω αξόω ). Ο ετασχηατισός ατός περιγράφεται από το πίακα R = ο οποίος είαι ορθογώιος ε R =-. To σύστηα στεταγέω πο ορίζει δε πορεί α προκύψει ε κίηση το αρχικού. 8

.. Παραετρική ορφή καπύλης Επααπαραετροποίηση καπύλης... Παραετρική ορφή καπύλης Ας θεωρήσοε ια γραή στο επίπεδο. Έας σήθης τρόπος για α περιγράψοε τη γραή ε στεταγέες είαι ια σάρτηση f(x). Η γραή είαι το σύολο τω σηείω Μ(x,y) το επιπέδο ε y=f(x). Έας «πρωτόγοος» τρόπος για α σχεδιάσοε τη γραή σε έα χιλιοστοετρικό χαρτί είαι α βάλοε αθαίρετες τιές στο x α βρούε από το τύπο της σάρτησης τις ατίστοιχες τιές το y, α σηειώσοε στο επίπεδο τα σηεία (x,y) και α χαράξοε τη γραή. Ααφέροε εδεικτικά ερικά ειοεκτήατα ατού το τρόπο έκφρασης της εξίσωσης ιας γραής. Α η γραή έχει εθύγραο τήα παράλληλο στο άξοα y δε περιγράφεται ε το παραπάω τρόπο. Μπορεί η γραή α η περιγράφεται όο από ια σάρτηση, αλλά από δύο η περισσότερος κλάδος. Για παράδειγα ο κύκλος ε κέτρο τη αρχή και ακτία R περιγράφεται από τος κλάδος y= R x και y= R x Στα σηεία πο η γραή έχει εφαπτοέη παράλληλη στο άξοα y η ατίστοιχη σάρτηση δε είαι παραγωγίσιη. Πχ η εφαπτοέη το παραπάω κύκλο στο σηείο (R,). Έας εαλλακτικός τρόπος α εκφράσοε τη εξίσωση ιας γραής είαι η λεγόεη παραετρική ορφή. Οι δύο στεταγέες x και y δίοται σαρτήσει ιας παραέτρο λ: έχοε δηλαδή δύο σαρτήσεις f (λ) και f (λ) και η γραή είαι το σύολο τω σηείω Μ(x,y) το επιπέδο ε x= f (λ) και y= f (λ). Προφαώς α θέλοε α σχεδιάσοε τη γραή πρέπει α βάλοε αθαίρετες τιές στο λ, α βρούε από τος τύπος τω στεταγέω της γραής τις ατίστοιχες τιές τω x και y, α σηειώσοε στο επίπεδο τα σηεία (x,y) και α χαράξοε τη γραή. Α τέλος θέλοε α γράψοε τη εξίσωση της γραής στη ορφή y=f(x) θα πρέπει α κάοε απαλοιφή της παραέτρο λ. Παραδείγατα )Η γραή ε εξισώσεις στεταγέω x=λ και y=7λ είαι η εθεία ε εξίσωση y=7x )Η γραή ε εξισώσεις στεταγέω x=ρosλ και y=ρsinλ είαι ο κύκλος ε εξίσωση x +y =ρ. ) Η εθεία πο είαι παράλληλη στο άξοα y και διέρχεται από το σηείο (,) έχει παραετρική εξίσωση τη x=, y=λ 4) Α έχοε ια καπύλη στη ορφή y=f(x) πορούε α θεωρήσοε το x σα παράετρο λ και α γράψοε τη εξίσωση της καπύλης σε παραετρική ορφή (x=λ, y=f(λ) ) Α ια γραή δίεται σε παραετρική ορφή x=x(λ) και y=y(λ) τότε το διάσα θέσης τω σηείω της καπύλης είαι το r( λ ) = x( λ )i + y( λ)j dr( λ) Η ταχύτητα της καπύλης ορίζεται α είαι το διάσα ( λ ) = = x ( λ )i + y( λ)j dλ d ( λ) Η επιτάχση a της καπύλης ορίζεται α είαι το διάσα a( λ ) = = x ( λ )i + y ( λ)j dλ Ας θεωρήσοε για παράδειγα το κύκλο ε διάσα θέσης r = R(Cosλ i + Sinλj) Η ταχύτητα της καπύλης είαι το διάσα = R( Sinλ i + Cosλj). Με λ= (σηείο (R,) ) είαι = Rj πο είαι παράλληλη στο άξοα y. 9

... Επααπαραετροποίηση Καπύλης Η εξίσωση ιας γραής σε παραετρική ορφή δε είαι οαδική. Για παράδειγα οι παραετρικές εξισώσεις (x=λ, y=7λ) και (x=sinλ, y=sin λ) απεικοίζοται στη ίδια γραή (τη εθεία y=7x) Εποέως για τη έκφραση ιας γραής σε παραετρική ορφή πάρχει ελεθερία επιλογής παραέτρο. Για α αλλάξοε παράετρο θεωρούε τη παράετρο λ σα σάρτηση ιας άλλης παραέτρο και εκφράζοε τα x και y σαρτήσει το. Παράδειγα Θεωρούε τη γραή ε παραετρική εξίσωση x=λ και y = λ ε λ>. Θέτοε λ= και εποέως x= και y= ε >. Μια παράετρος ε ιδιαίτερη σηασία στη θεωρία τω καπλώ είαι το ήκος s της καπύλης. Η επααπαραετροποίηση σαρτήσει το ήκος s της καπύλης πορεί α γίει ως εξής:. Έστω η καπύλη ε εξίσωση r( λ ) = x( λ )i + y( λ)j Θεωρούε δύο σηεία της καπύλης απειροστά κοτά: Η απόσταση τω δύο σηείω είαι = + = λ + λ λ ds dx dy x ( ) y ( ) d Η παραπάω σχέση είαι ια διαφορική εξίσωση από τη οποία εκφράζοε το λ σαρτήσει το s. Παράδειγα Θεωρούε το κύκλο ε παραετρική εξίσωση r = R(Cosλ i + Sinλj) Προφαώς ισχύει ότι dx=-rsinλ dλ και dy=rcosλ dλ. Εεργώτας όπως παραπάω έχοε ds = dx + dy = R dλ s =λ R + C Για α «βγάλοε το dλ εκτός ρίζας» ποθέσαε ότι ετράε το ήκος κατά τη κατεύθση αύξησης το λ (δηλαδή α dλ> τότε και ds>) Θεωρούε σα αρχή ετρήσεως τω ηκώ, το σηείο (R,). Εποέως ε λ= είαι και s=. Έτσι έχοε C=. Λύοτας ως προς λ ατικαθιστώτας στη παραετρική εξίσωση της καπύλης έχοε s s r = R(Cos i + Sin j) R R Σχόλια Σ) Α θεωρήσοε σα παράετρο της καπύλης το ήκος της τότε η παραετρική εξίσωσή της είαι οαδική (ε οαδική ελεθερία τη επιλογή της αρχής ετρήσεως τω ηκώ και τη κατεύθση κίησης κατά ήκος της καπύλης) Σ) Α χρησιοποιήσοε σα παράετρο το ήκος της καπύλης τότε η ταχύτητα της καπύλης είαι οαδιαίο διάσα. Ατό πορεί α φαεί ως εξής: Έστω r = x(s)i + y(s)jτο διάσα θέσης τω σηείω της καπύλης. dr(s) Η ταχύτητα της καπύλης είαι = = x(s)i + y(s)j ds dx dy (dx) + (dy) Με έτρο = x (s) + y (s) = + = = ds ds (ds)

.4. Σαρτησοειδή Σαρτησοειδές το Dira.4.. Τα αθηατικά Ας θεωρήσοε ια πραγατική σάρτηση f: R R. Όπως γωρίζοε η σάρτηση ατή απεικοίζει σε κάθε πραγατικό αριθό x άλλο πραγατικό αριθό f(x). Οι πραγατικές σαρτήσεις δε είαι οι όες απεικοίσεις πο χρησιοποιούε στα αθηατικά και στη Φσική. Ότα ετράε τα βιβλία σε ια βιβλιοθήκη στη πραγατικότητα χρησιοποιούε ια απεικόιση πο σε κάθε βιβλίο ατιστοιχεί έα φσικό αριθό. Η έταση εός ηλεκτρικού πεδίο είαι ια απεικόιση πο σε κάθε σηείο το χώρο (διάσα θέσης) απεικοίζει έα άλλο διάσα (διάσα της έτασης). Υπάρχο απεικοίσεις πο σε κάθε σάρτηση απεικοίζο έα αριθό. Τέτοιες απεικοίσεις οοάζοται σαρτησοειδή. Ας θεωρήσοε για παράδειγα το σύολο όλω τω σεχώ σαρτήσεω στο [,] το οποίο σβολίζοε ε C[,]. Ορίζοε έα σαρτησοειδές T:C[,] R έσω της σχέσης: T(f) = f(x)dx Μέσω της παραπάω σχέσης ατιστοιχούε σε κάθε σεχή σάρτηση έα αριθό. Θεωρούε για παράδειγα τη σάρτηση f ε f(x)=x. Τότε T(f) = f(x)dx= x dx= Θεωρούε τώρα το σύολο I τω σαρτήσεω f πο είαι παραγωγίσιες στο [,] ε f()=. Ορίζοε έα δεύτερο σαρτησοειδές S:I R έτσι ώστε S(f ) = Για τη σάρτηση φ ε φ(x)=x - I έχοε S( φ ) = x φ (x)dx = x dx = και T( φ ) = φ (x)dx = x dx + dx = ιαπιστώοε ότι Τ(φ)=S(φ) Θεωρούε τώρα ια τχαία σάρτηση g I. Θα δείξοε ότι T(g)=S(g) x f (x)dx S(g) = xg (x)dx = xdg(x) = xg(x) g(x)dx = g() φ (x)dx = g(x)dx = T(g) Βλέποε δηλαδή ότι Τ(g)=S(g) για κάθε g I. Εποέως Τ=S στο I Έχοε λοιπό το εξής ορισό: ηλαδή δύο σαρτησοειδή λέγοται ίσα α η τιή τος για κάθε σάρτηση το προκαθορισέο σόλο σαρτήσεω είαι η ίδια. Στο παράδειγα πο εξετάσαε ο περιορισός το Τ στο I και το S είαι ίσα σαρτησοειδή.

.4.. To φσικό πρόβληα Θεωρούε ια τχαία καταοή ηλεκτρικού φορτίο στο χώρο ε σολικό φορτίο Q. Σε κάθε σηείο Μ το χώρο ε διάσα θέσης x dq πορούε α ορίσοε τη πκότητα φορτίο ρ (x) = (.4.) dv όπο dq το φορτίο πο περιέχεται σε έα στοιχειώδες ορθογώιο όγκο dv ε κέτρο το σηείο Μ. Από τη σχέση (.4.) έχοε dq =ρ(x)dv Το σολικό φορτίο Q πορούε α το βρούε αθροίζοτας τα στοιχειώδη φορτία και εποέως Q = dq = ρ (x)dv = ρ(x)dxdydz (.4.) z y x M x Θεωρούε τώρα έα ακίητο σηειακό φορτίο q στη αρχή εός σστήατος στεταγέω. Πόση είαι η πκότητα φορτίο ρ(x) ; Για α απατήσοε στο ερώτηα ατό ας βρούε τις ιδιότητες πο πρέπει α έχει Ι) Για x πρέπει ρ (x) = (δε πάρχει φορτίο παρά όο στη θέση x = ) (.4.) Ι) q = ρ(x)dv (.4.4) Θέτοε ρ (x) = q δ(x) και οι (.4.) και (.4.4) είαι ισοδύαες ε δ (x) = για x και δ (x)dv = Όπως εύκολα καταλαβαίει καείς σάρτηση (ε τη σήθη έοια το όρο) πο α ικαοποιεί τις δύο παραπάω απαιτήσεις δε πάρχει..4.. Η αθηατική επίλση το προβλήατος Η παράσταση δ(x) πορεί α ορισθεί αστηρά χρησιοποιώτας τη έοια το σαρτησοειδούς (για τη ακρίβεια είαι σαρτησοειδές) Στη ια διάσταση πορούε α ορίσοε το σαρτησοειδές M :C[,] R ε M (f ) = f (). Τη τιή το σαρτησοειδούς M για ια σάρτηση f τη σβολίζοε (όχι τχαία) ε δ(x)f(x)dx. Εποέως έχοε εξ ορισού: M (f ) : = δ (x)f (x)dx = f () Σχόλια ) Ο σβολισός της τιής M(f ) το σαρτησοειδούς M για ια σάρτηση f ε ολοκλήρωα δε είαι τχαίος: Το σαρτησοειδές ατό έχει αρκετές ιδιότητες πο θίζο ολοκλήρωα (θηθείτε το σύβολο το Leibnitz για τη παράγωγο, η οποία εώ δε είαι πηλίκο έχει ιδιότητες πο τις επιτρέπο α σπεριφέρεται σα πηλίκο) ) Το ολοκλήρωα στο παραπάω σβολισό επεκτείεται σε όλο το R ( από - έως + ) ) Κατά τη απόδειξη ιδιοτήτω το σαρτησοειδούς M χρησιοποιούε τις ιδιότητες το ολοκληρωτικού λογισού σα α πήρχε πραγατικά η σάρτηση δ(x). Για τη σάρτηση δ πορούε α αποδείξοε τις επόεες ιδιότητες: ) f(x) δ(x x )dx= f(x ) (.4.5)

) δ(x x )dx = (.4.6) ) δ(x y) =δ(y x) (.4.7) Απόδειξη ) Θέτοε z = x x x = x + z dx = dz και φ (z) = f (x + z). Έχοε διαδοχικά: f (x) δ(x x )dx = f (x + z) δ (z)dz = φ(z) δ (z)dz =φ () = f (x ) ) Θεωρώτας τη σάρτηση f ε f(x)= η ιδιότητα ) ετατρέπεται στη ) + + ) Θεωρούε ια τχαία σεχή σάρτηση f(x). Θα δείξοε ότι f(x) δ(x y)dx= f(x) δ(y x)dx Για το πρώτο έλος από τη ιδιότητα () έχοε: f(x) δ(x y)dx= f(y) Για το πολογισό το δεύτερο έλος κάοε τη αλλαγή εταβλητής: z= y x dz= dx + + Εποέως: f (x) δ(y x)dx = f (z + y) δ (z)dz = f (z + y) δ (z)dz = f ( + y) = f (y) + + Οοίως πορούε α ορίσοε το σαρτησοειδές το Dira σε δύο διαστάσεις: Έστω f: R Rσεχής σάρτηση (παργατική σάρτηση δο πραγατικώ εταβλητώ) Ισχύει ότι f (x, x ) δ (x, x )dx dx = f (,) η σε ποιο σπαγή ορφή θέτοε: x = (x,x ), f(x,x ) = f(x), δ (x,x ) =δ (x) και dx dx = d x και η παραπάω σχέση γίεται: f(x) δ (x)d x= f() Για το σαρτησοειδές δ (x) πορούε α αποδείξοε τις εξής ιδιότητες ) f(x) δ (x x )d x= f(x ) ) δ (x) =δ(x ) δ(x ) ) δ (x x ) =δ(x x ) δ(x x ) 4) δ (x y) =δ (y x) (.4.8) (.4.9) (.4.) (.4.) (.4.) Απόδειξη ) Θέτοε y = x x ( y = x x και y = x x ) Εποέως d y = dy dy = dx dx = d x Το πρώτο έλος της αποδεικτέας γίεται: f(x) δ (x x )d x= f(y + x ) δ (y)d y= f(x ) ) Θεωρούε ια τχαία σάρτηση f. Η τιή το σαρτησοειδούς το πρώτο έλος για τη σάρτηση f είαι: f (x) δ (x)d x = f () Οοίως για το σαρτησοειδές το δεύτερο έλος έχοε: f(x) δ(x ) δ (x )d x = f(x,x ) δ(x ) δ (x )dx dx = δ(x ){ f(x,x ) δ(x )dx } dx Το ολοκλήρωα έσα στη παρέθεση ισούται ε f(x,). Εποέως έχοε:

f(x) δ(x ) δ (x )d x = f(x,x ) δ(x ) δ (x )dx dx = δ (x )f(x,)dx = f(,) = f() Αφού η τιές τω δύο σαρτησοειδώ σε τχαία σάρτηση είαι ίσες και τα σαρτησοειδή είαι ίσα. ) Αποδεικύεται όπως η ) 4) Αποδεικύεται όπως και στη ία διάσταση Σχόλιο Οι παραπάω ορισοί πορού α επεκταθού και σε περισσότερες από δύο διαστάσεις Εδεικτικά ααφέροε ορισούς και ιδιότητες στις και 4 διαστάσεις. Στις διαστάσεις ορίζεται η δ (x) η οποία σε τχαία σάρτηση εταβλητώ f, δρα ως εξής: f(x) δ (x)d x= f() Οοίως πορούε α αποδείξοε ότι δ (x x ) =δ(x x ) δ(x x ) δ(x x ) κλπ Άσκηση Έστω f: R Rσεχής σάρτηση. Έστω δε τχαία εθεία (ε) το επιπέδο, σηείο Α(x,y ) πο δε αήκει στη εθεία, Β(x,y ) σηείο της εθείας και Μ(x,y) «κιητό» σηείο της εθείας.. + Να δειχθεί η σχέση f(am) δ(x x )dx= f(ab) Απόδειξη Έστω y=ax+b η εξίσωση της εθείας. Ισχύει ότι f(am) = f(x x,y y ) = f(x x,ax+ b y ) f(ab) = f(x x,y y ) = f(x x,ax + b y ) Για το πρώτο έλος της αποδεικτέας έχοε: f(am) δ(x x )dx = f(x x,ax+ b y ) δ(x x )dx = f(x x,ax + b y ) = f(ab) + + y Β(x,y ) Α(x,y ) (ε) Μ(x,y x.4.4. Παραδείγατα από τη φσική ) Θεωρούε έα λικό σηείο ηλεκτρικού φορτίο q ακίητο (ως προς κάποιο σύστηα στεταγέω ) στη θέση x. Η πκότητα φορτίο στο χώρο είαι ρ (x) = q δ (x x ) ) Θεωρούε έα λικό σηείο ηλεκτρικού φορτίο q πο κιείται ε σταθερή ταχύτητα και τη στιγή t= διέρχεται από τη αρχή τω αξόω. Το διάσα θέσης το x q σε κάθε χροική στιγή δίεται από τη σχέση x = t. Στη περίπτωση ατή, η πκότητα φορτίο σε κάθε σηείο το χώρο εξαρτάται q και από τη θέση το σηείο και από τη χροική στιγή. Είαι δηλαδή χωροχροική σάρτηση ρ(t,x). Η σχέση πο τη προσδιορίζει είαι προφαώς η εξής: ρ (t,x) = q δ (x x ) ρ (t,x) = q δ (x t) q ) Η πκότητα ρεύατος πο ατιστοιχεί στη κίηση το φορτίο είαι: J(t,x) = q δ (x x ) J(t,x) = q δ (x t) q 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Α ΡΑΝΕΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΑΛΙΛΑΙΟΥ.. Αδραειακά Σστήατα ααφοράς Τα διάφορα γεγοότα σβαίο στο χώρο και στο χρόο. Για α προσδιορίσοε τη θέση εός γεγοότος στο χώρο χρειαζόαστε έα (σήθως ) ορθοκαοικό σύστηα στεταγέω. Για α προσδιορίσοε τη θέση το στο χρόο χρειαζόαστε έα χροόετρο. Με τη έοια χωροχροικό σύστηα ααφοράς εοούε έα χωρικό σύστηα στεταγέω εφοδιασέο ε παοοιότπα σγχροισέα χροόετρα. Η χωροχροική θέση εός γεγοότος καθορίζεται από τη τετράδα (πίακας στήλη) t x t Χ=(x )=(t,x i )= = x x x (..) Στα επόεα θεωρούε ότι οι ελληικοί δείκτες είαι χωροχροικοί δείκτες και παίρο τιές από έως εώ οι λατιικοί δείκτες είαι χωρικοί και παίρο τιές από έως. Σχετικά ε τα σστήατα ααφοράς τίθεται το εξής ερώτηα: Είαι όλα τα σστήατα ααφοράς κατάλληλα για τη περιγραφή τω όω της φσικής; Όπως γωρίζοε, η απάτηση στο παραπάω ερώτηα είαι αρητική Τα σστήατα ααφοράς πο είαι κατάλληλα για τη περιγραφή τω όω της Φσικής οοάζοται αδραειακά σστήατα ααφοράς. Σγκεκριέα έχοε το εξής ορισό: Αδραειακό (ΑΣΑ) λέγεται έα σύστηα ααφοράς στο οποίο ισχύει ο πρώτος όος το Newton δηλαδή έα σύστηα ααφοράς στο οποίο το ελεύθερο σωάτιο εκτελεί εθύγραη οαλή κίηση. Ο πρώτος όος το Newton είαι ο όος εκείος, ο οποίος αξιώει τη ύπαρξη τέτοιω σστηάτω Για τα αδραειακά σστήατα ααφοράς έχοε τις εξής ιδιότητες: Έα σύστηα ααφοράς το οποίο εκτελεί εθύγραη οαλή κίηση ως προς έα αδραειακό σύστηα ααφοράς είαι επίσης αδραειακό σύστηα ααφοράς Έα σύστηα ααφοράς το οποίο εκτελεί επιταχόεη κίηση ως προς έα αδραειακό σύστηα ααφοράς δε είαι αδραειακό σύστηα ααφοράς... Μετασχηατισός Γαλιλαίο Θεωρούε δύο ορθοκαοικά αδραειακά σστήατα ααφοράς Οx x x και Oxx x. Υποθέτοε ότι η οάδα έτρησης το ήκος καθώς και η οάδα έτρησης το χρόο είαι ίδια και στα δύο σστήατα στεταγέω. Θεωρούε έα σγκεκριέο χωροχροικό σηείο και ααζητούε τη σχέση πο έχο οι στεταγέες το σηείο ατού στο έα σύστηα στεταγέω ε τις στεταγέες το στο άλλο. Για α επιλύσοε το παραπάω πρόβληα θεωρούε τις εξής ειδικές περιπτώσεις όσο αφορά τη σχετική θέση και κίηση τω δύο ΑΣΑ.... Χροικές εταθέσεις i i Τα δύο ΑΣΑ είαι ακίητα το έα σε σχέση ε το άλλο και οι άξοες τος τατίζοται. Εποέως x = x i=,, Υποθέτοε ότι τη στιγή πο το ρολόι το Ο δείχει t = το ρολόι το Ο δείχει t=τ. Εποέως ότα το ρολόι το Ο δείχει t το ρολόι το Ο θα δείχει t =t-τ. 5

Ο παραπάω ετασχηατισός γράφεται σε ορφή πιάκω: τ X = X... Χωρικές εταθέσεις Τα δύο ΑΣΑ είαι ακίητα το έα σε σχέση ε το άλλο και οι άξοες τος είαι παράλληλοι. Υποθέτοε επίσης ότι τα ρολόγια τος είαι σγχροισέα έτσι ώστε ότα τα ρολόγια το πρώτο δείχο ηδέ το ίδιο α δείχο και τα ρολόγια το το δεύτερο. Και επειδή έχο τη ίδια οάδα έτρησης t =t. Έστω ότι οι στεταγέες της αρχής Ο ως προς το Ο είαι (b, b, b ). Στη περίπτωση ατή σύφωα ε όσα εκτέθηκα στη παράγραφο. έχοε: b X = X b b Σοψίζοτας τις δύο παραπάω περιπτώσεις έχοε για τις χωροχροικές εταθέσεις. Χ =Χ-b ε b τ b b b = και ε σβολισό δεικτώ x = x b =,,,... Χωρικές στροφές Τα δύο ΑΣΑ είαι ακίητα το έα σε σχέση ε το άλλο, κοιή αρχή, σγχροισέα ρολόγια (t = t ) και οι άξοες τος έχο τχαίο προσαατολισό. Θεωρούε έα σηείο Μ το χώρο ε στεταγέες (x,x, x ) ως προς το έα ΑΣΑ και στεταγέες (x, x x ) ως προς το άλλο. Ο χωροχροικός ετασχηατισός στεταγέω πορεί α γραφεί ως εξής: x =Γ x =,,, (..) Για α βρούε τις τιές τω στοιχείω το πίακα Γ έχοε α παρατηρήσοε τα εξής: Η (..) για = γίεται: x =Γ x =Γ x +Γ x +Γ x +Γ x Γωρίζοε όως ότι t =t x = x Εποέως Γ = και Γ i = Ότα το πάρει τη τιή εός χωρικού δείκτη (=j) η (..) γίεται: i i i i j i i j x =Γ x =Γ x +Γ jx =Γ t+γ jx Όως από τα εκτεθέτα στη.. για τις στροφές θα έχοε: i i j x = R j x i i i Σγκρίοτας τις παραπάω προκύπτει ότι: Γ = και Γ j = R j Τελικά ο 4x4 πίακας Γ έχει τη ορφή Γ= e R πίακα στροφής.. R 6

..4. Προωθήσεις Γαλιλαίο Θεωρούε δύο ΑΣΑ ε παράλληλος άξοες και σγχροισέα ρολόγια. Υποθέτοε επίσης ότι τη στιγή t=t = οι αρχές τος σπίπτο. Έστω u η ταχύτητα το Ο ως προς Ο. Επειδή η αρχή Ο εκτελεί εθύγραη οαλή κίηση, οι στεταγέες της ως προς Ο τη στιγή t θα είαι (u t,u t,u t) = (u x,u x,u x ) Εποέως στη περίπτωση ατή οι ετασχηατισοί Γαλιλαίο είαι: x = x x x x = x u x u ή σε ορφή πίακα x x = X =ΓX x = x u x x u x x = x u x x u x Ο ε Γ= u I 4x4 πίακα..5. Γεικός ετασχηατισός Γαλιλαίο Θεωρούε τώρα τη γεική περίπτωση πο τα ρολόγια τω δύο ΑΣΑ δε είαι σγχροισέα, οι άξοες τος δε είαι παράλληλοι και το Ο κιείται ως προς το Ο ε ταχύτητα u. Ο γεικός ετασχηατισός Γαλιλαίο είαι: X =ΓΧ+ b ε Γ= u R όπο b 4x αθαίρετος πίακας στήλη, u αθαίρετος x πίακας στήλη και R x πίακας στροφής. Σχόλια: ) Μπορούε α θεωρήσοε ότι έας ετασχηατισός Γαλιλαίο είαι έα διατεταγέο ζεύγος g=(γ,b) ε τος πίακες Γ και b ως αωτέρω. ) Έστω Ο, Ο, Ο τρία ΑΣΑ. Έστω δε g =(Γ, b ) και g =(Γ, b ) οι ετασχηατισοί Γαλιλαίο από το Ο στο Ο και από το Ο στο Ο ατιστοίχως.. Εποέως έχοε: X X =ΓΧ + b =Γ Χ + b Ατικαθιστώτας τη η στη πρώτη έχοε: X = ΓΓΧ +Γ b+ b Μπορούε α δείξοε ότι ο σύθετος ετασχηατισός είαι ετασχηατισός Γαλιλαίο. Σγκεκριέα έχοε το εξής : Θεώρηα..5..: Θεωρούε το σύολο Ç τω ετασχηατισώ Γαλιλαίο. Στο σύολο ατό ορίζοε ια πράξη * ως έξής: Α g =(Γ, b ) Ç και g =(Γ, b ) Ç θέτοε g *g =(Γ Γ, Γ b +b ). Τότε το σύολο Ç ε τη παραπάω ορισθείσα πράξη αποτελεί οάδα. Απόδειξη Κλειστότητα Α g =(Γ, b ) Ç και g =(Γ, b ) Ç θα δείξοε ότι g=g *g Ç. Θέτοε Γ=Γ Γ και b=γ b +b Έστω Γ = u R και Γ = u R. Ισχύει ότι: ΓΓ = u R u R = (Ru u ) RR + Θέτοε u=r u +u και R=R R. 7

Επειδή R, R πίακες στροφής ισχύει ότι R T R =I και R T R =I. T T T T T T Εποέως RR = (RR) (RR) = R R RR = R IR = R R = I Άρα g Ç. Η απόδειξη της προσεταιριστικής ιδιότητας είαι άεση σέπεια το ορισού της πράξης Ύπαρξη οδετέρο στοιχείο Θεωρούε το στοιχείο e=(i,) ε Ι το οαδιαίο 4x4 πίακα και το ηδεικό 4x. Α g=(γ,b) Ç έχοε: g*e=(γ,b)*(i,)=(iγ,ιb+)=(γ,b)=g και e*g=(i,)*(γ,b)=(γι,γ+b)=(γ,b)=g Ύπαρξη ατιστρόφο Έστω g=(γ,b) Ç ε Γ= u R και R x πίακα στροφής. Θέτοε R =R -, u =-R - u, Γ= u R και b =-Γ b. Έχοε ότι ΓΓ = = = = I u R u R u R R u R I και ΓΓ= = = = I u R u R R u R u R I Θέτοε g =(Γ, b ) και εύκολα επιβεβαιώοε ότι g*g =g *g=e.. Νόος ετασχηατισού τω φσικώ εγεθώ Θεωρούε δύο ΑΣΑ πο σδέοται ε έα ετασχηατισό Γαλιλαίο (Γ,b) ε Γ= u R. Οι χωροχροικές στεταγέες (εός κιούεο λικού σηείο) στο έα σδέοται ε τις στεταγέες το στο άλλο ε τις σχέσεις d d t = t+ b dt = dt = dt dt i i j i i x = R x u t+ b j Μετασχηατισός της ταχύτητας Παραγωγίζοτας τις στεταγέες ως προς το χρόο βρίσκοε το όο ετασχηατισού της ταχύτητας: i i j i = R j u (..) Σε διασατική ορφή η παραπάω σχέση γίεται: i i j i j i j i j = e = R e u e =e u R e = u R e i j i i j i j i j Μετασχηατισός της επιτάχσης Παραγωγίζοτας τις στεταγέες της ταχύτητας βρίσκοε το όο ετασχηατισού της επιτάχσης: i i j a = R j a. Σε διασατική ορφή έχοε: i i j j a = a e = R a e = a e = a a = a (..) i j i j Μετασχηατισός της ορής Επειδή p= m ο όος ετασχηατισού της ορής είαι παρόοιος ε τη όο ετασχηατισού της ταχύτητας. Εποέως 8

p = R p mu i i j i j και σε διασατική ορφή p = p mu (..).4. Η εβέλεια και τα όρια το Μετασχηατισού το Γαλιλαίο.4.. Η εβέλεια Τα αδραειακά σστήατα ααφοράς τα ορίσαε (για λόγος οικοοίας στις βασικές αρχές) α είαι εκεία τα σστήατα ααφοράς στα οποία ισχύει ο όος της αδράειας το Newton. Θα έφταε όως ατή η ιδιότητά τος για α τα ααγάγοε σε ιδιαίτερη κλάση; Στη πραγατικότητα τα ΑΣΑ έχο πολύ πιο ισχρή ιδιότητα: Όλοι οι όοι της κλασσικής ηχαικής ισχύο οι ίδιοι αεξαρτήτως αδραειακού σστήατος ααφοράς. Ας πάροε για παράδειγα τη αρχή διατήρηση της ορής. Υποθέτοε ότι έχοε έα σύστηα Ν σωατιδίω ε στεταγέες i x ( α ) ε i=,, και α=,,, Ν (ο δείκτης έσα στη παρέθεση χαρακτηρίζει το σωατίδιο). εχόαστε ότι η ορή το σστήατος παραέει σταθερή στο έα σύστηα ( p(t ) = p(t ) ) και θα αποδείξοε ότι παραέει σταθερή και στο άλλο. Ν Ν i i i i p(t) = p(t) p(t) = p(t) p (t) = p (t) ( α) ( α) α= α= Στο άλλο σύστηα στεταγέω (ε χρήση της (..) )έχοε: Ν Ν Ν i i j i i j i j ( α) ( α) j ( α) ( α) α= α= α= Ν Ν Ν i i j i i j i i = j ( α) ( α) = j ( α) ( α) = α= α= α= p (t) = (R p (t) m u) = R p (t) u m p (t ) R p (t ) u m (R p (t ) m u ) p (t ).4.. Τα όρια Ας θεωρήσοε τη περίπτωση εός κύατος το οποίο διαδίδεται ε ταχύτητα σε έα γραικό ελαστικό έσο (πχ έα σχοιί). Η εξίσωση πο περιγράφει τη διάδοση το κύατος στο σχοιί είαι η κατική εξίσωση: Ψ(t,x) Ψ(t,x) = (.4.) x t Θεωρούε το ετασχηατισό στεταγέω πο επάγεται από ια προώθηση κατά ήκος το άξοα x. u ηλαδή Γ= και b = και εποέως ο ετασχηατισός στεταγέω είαι: t = t x = x ut Ποια ορφή θα πάρει η κατική εξίσωση στο άλλο σύστηα στεταγέω ; Για α απατήσοε στο ερώτηα ατό θα ξεκιήσοε από τη (.4.) και χρησιοποιώτας τη αλλαγή εταβλητώ πο ορίζει ο ετασχηατισός θα βρούε τη ορφή πο παίρει στο άλλο ΑΣΑ Επειδή το Ψ είαι βαθωτό έγεθος ισχύει ότι Ψ(t, x)=ψ (t, x ) Για τος τελεστές παραγώγισης έχοε διαδοχικά: 9

x t = + = x x x x t x x t = + = u + t t x t t x t Για τις δεύτερες παραγώγος το Ψ έχοε: Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ = και = Ψ = ( u + )( u + ) Ψ = u + u x x t t t x t x t x t x t Εποέως η κατική εξίσωση γίεται: u Ψ Ψ u Ψ ( ) = x t x t Παρατηρούε ότι η κατική εξίσωση δε παραέει ααλλοίωτη (αλλάζει ορφή) κάτω από ετασχηατισούς Γαλιλαίο. Βρισκόαστε λοιπό εώπιο το εξής γεγοότος: Έα παρατηρητής πο κιείται ε σταθερή ταχύτητα u ως προς το σχοιί πρέπει α γράψει διαφορετική εξίσωση και εποέως διαφορετικό φσικό όο. Για το φαιόεο πο περιγράψαε πάρχει ατίλογος. Επειδή το κύα πο ελετάε είαι έα ηχαικό κύα πο διαδίδεται σε έα σχοιί πάρχει προοιακό σύστηα ααφοράς. Το σύστηα ηρείας το σχοιιού. Εποέως πορούε α ποχωρήσοε στη απαίτηση ας, για τη ισοδαία όλω τω αδραειακώ σστηάτω όσο αφορά τη περιγραφή της διάδοσης το κύατος και α δεχθούε ότι η κατική εξίσωση ισχύει όο στο σύστηα ααφοράς ως προς το οποίο το έσο διάδοσης ηρεεί.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ.. Εισαγωγή ιαπιστώσαε στο προηγούεο κεφάλαιο τη αδαία τω ετασχηατισώ το Γαλιλαίο α διατηρού ααλλοίωτη τη κατική εξίσωση. Όως η ύπαρξη προοιακού σστήατος ααφοράς ετριάζει τη αρητικότητα το αποτελέσατος. Τι γίεται όως α το κύα πο διαδίδεται είαι Ηλεκτροαγητικό; Επειδή τα ηλεκτροαγητικά κύατα διαδίδοται και στο κεό, δε πάρχει προοιακό σύστηα ααφοράς και εποέως η απαίτηση για τη ισοδαία όλω τω αδραειακώ σστηάτω ααφοράς εφαίζεται και πάλι. Επιπλέο πάρχει το πρόβληα της ταχύτητας διάδοσης το φωτός. Ας θεωρήσοε ια πηγή φωτός ακίητη ως προς έα αδραειακό παρατηρητή. Τότε στο σύστηα ατό το φως πο εκπέπει διαδίδεται ε ταχύτητα. Α θεωρήσοε έα δεύτερο αδραειακό παρατηρητή πο αποακρύεται ε ταχύτητα u από τη πηγή τότε εφαρόζοτας τος ετασχηατισούς Γαλιλαίο βρίσκοε ότι στο σύστηα ααφοράς το παρατηρητή το φως διαδίδεται ε ταχύτητα -u. Τα πειραατικά δεδοέα όως οδηγού στο ατίθετο σπέρασα: Η ταχύτητα το φωτός είαι ίδια σε όλα τα αδραειακά σστήατα ααφοράς. Χρειαζόαστε λοιπό ια έα Φσική. Οι αρχές πο πρέπει α πακούει η Φσική ατή πρέπει α είαι οι παρακάτω. Α) Υπάρχο χωροχροικά σστήατα ααφοράς στα οποία το ελεύθερο σωάτιο κιείται ε σταθερή ταχύτητα (Ύπαρξη ΑΣΑ) Α) Α έα σύστηα ααφοράς κιείται ε σταθερή ταχύτητα ως προς αδραειακό σύστηα ααφοράς είαι επίσης αδραειακό σύστηα ααφοράς Α) Οι όοι της Φσικής ίδιοι σε όλα τα ΑΣΑ Α4) Η ταχύτητα το φωτός είαι ίδια σε όλα τα ΑΣΑ Α5) Για ταχύτητες πολύ ικρότερες της ταχύτητας το φωτός θα πρέπει η Φσική α δίει προσεγγιστικά τη Φσική το Newton. Τι παρεβάσεις πρέπει α κάοε στη θεωρία ας ώστε α ικαοποιεί τις παραπάω αρχές; Η πρώτη προφαής παρέβαση είαι η αλλαγή στο ετασχηατισό στεταγέω. Μια δεύτερη πο δε είαι ακόη προφαής είαι η αλλαγή τω ορισώ τω φσικώ εγεθώ, η εισαγωγή έω εγεθώ ή ακόη και η τροποποίηση τω φσικώ όω ώστε τα έα φσικά εγέθη και οι έοι φσικοί όοι α είαι σύφωοι ε τις παραπάω αρχές... Προώθηση Lorentz... Προώθηση κατά ήκος εός άξοα Θεωρούε δύο ΑΣΑ Οxyz και Ο x y z ε παράλληλος άξοες.θεωρούε επίσης ότι το Ο κιείται ως προς το Ο ε σταθερή ταχύτητα κατά τη κατεύθση το άξοα x. Για λόγος απλότητας θεωρούε τέλος ότι τη στιγή t= το Ο σπίπτει ε το Ο και είαι t =. Ααζητούε γραικό ετασχηατισό στεταγέω της ορφής: t = bt+ ax (..) x = gt+ f x (..) y = y z = z (..) z Ο y z y Ο x Τα a,b,d,f είαι ε γέει σαρτήσεις το. Εποέως για δοθέ είαι σταθερές.

Ζητάε α προσδιορίσοε τις τιές τω a,b,d,f ώστε ο ετασχηατισός α είαι σύφωος ε τις αρχές τις ειδικής σχετικότητας. Απαίτηση : Το σηείο Ο κιείται ως προς το Ο ε ταχύτητα Πρέπει ε x = α ισχύει ότι x=t. Εποέως η (..) γίεται: =g t+f t g = f (..) Απαίτηση : Το σηείο Ο κιείται ως προς το Ο ε ταχύτητα - Πρέπει ε x= α ισχύει ότι x =-t. Εποέως οι (..) και (..) γίοται: t = bt t = gt bt = gt g= b (...4) Από τις (..) και (..4) έχοε ότι : f=b Εποέως ο ετασχηατισός γίεται: t = bt+ ax (..5) x = b( t+ x) (..6) y = y z = z Απαίτηση : Η ταχύτητα διάδοσης το φωτός είαι ίδια σε όλα τα ΑΣΑ Θεωρούε ότι τη στιγή t= πο οι αρχές τω δύο σστηάτω σπίπτο το Ο εκπέπει έα φωτειό σήα. Μετά από χρόο t το σήα έχει διαδοθεί σε απόσταση x=t. Για α είαι η ταχύτητα διάδοσης το φωτός ίδια στα δύο ΑΣΑ θα πρέπει και x =t. Ατικαθιστώτας τις παραπάω στις (..5) και (..6) έχοε: t = bt+ at (..7) t = b t+ bt (..8) b Ατικαθιστώτας τη (..7) στη (..8) έχοε τελικά : a = Με τα παραπάω ο ετασχηατισός παίρει τη ορφή: t = b(t x) (..9) x = b( t+ x) (..) Απαίτηση 4: Η κατική εξίσωση παραέει ααλλοίωτη Ψ Ψ Ατό σηαίει ότι η παράσταση ε τη αλλαγή τω εταβλητώ πο περιγράφο οι (..9) x t Ψ Ψ και (..) ετατρέπεται στη. x t Για τος τελεστές παραγώγισης έχοε: x t = + = b( ) x x x x t x t x t = + = b( + ) t t x t t x t Ψ Ψ = x t x x Ψ Ψ= t t

b( )( ) Ψ b( + )( + ) Ψ = x t x t x t x t Ψ Ψ b( ) b( ) x t Εποέως για α παραείει ααλλοίωτη η κατική εξίσωση θα πρέπει b( ) = b = b=± και < Μια επιπλέο πόθεση πο θα πρέπει α επιβάλλοε είαι η εξής: Ότα το = τότε τα δύο ΑΣΑ τατίζοται και εποέως ο ετασχηατισός θα είαι x =x και t =t. Ατό σηαίει ότι για = πρέπει b=. Εποέως πρέπει α διαλέξοε τη λύση για το b ε το +. Άρα τελικά b = Θέτοε γ=b γ= (..) και ο τελικός ετασχηατισός Lorentz είαι: t =γ(t x) (..) x =γ( t+ x) (..) y =y και z =z Σχόλια Σ) Το εοιολογικό περιεχόεο της (..) είαι οικείο και από τος ετασχηατισούς Γαλιλαίο. Η απάτηση στο ερώτηα πο έγιε έα γεγοός κατά το παρατηρητή Ο ; εξαρτάται τόσο από το πο έγιε το γεγοός κατά το Ο όσο και από το πότε έγιε κατά το Ο. Το όο περίεργο είαι ο παράγοτας γ στο δεύτερο έλος της (..) Σ) Με τη (..) τα πράγατα είαι τελείως διαφορετικά. Βρισκόαστε σε ια τελείως έα κατάσταση: Η απάτηση στο ερώτηα πότε έγιε έα γεγοός κατά το Ο ; εξαρτάται τόσο από το πότε έγιε κατά το Ο όσο και από το πού έγιε. Η έοια το απόλτο χρόο το Νεύτωα είαι πια παρελθό. Σ) Οι σχέσεις (..9) και (..) πορού α γραφού σε ορφή πιάκω ως εξής: t t γ γ x Θέτοε X = x X = και X = ΛΧ ε Λ ( ) = γ γ y y z z Σ4) Α θεωρήσοε τις (..9) και (..) σα έα σύστηα ε αγώστος τα t και x βρίσκοε ότι t =γ (t + x ) και x =γ( t + x ) (..4) Το παραπάω σπέρασα ήτα ααεόεο αφού το Ο κιείται ε ταχύτητα ως προς το Ο.

Σ5) Χρησιοποιώτας το προηγούεο σχόλιο ή πολογίζοτας απ εθείας το ατίστροφο το Λ οδηγούαστε στο σπέρασα ότι Λ ( ) =Λ( ) Εφαρογή ( ιαστολή το χρόο) Θεωρούε έα τραίο πο κιείται ε σταθερή ταχύτητα =,6 ως προς αδραειακό σύστηα ααφοράς Ο. Έας επιβάτης το τραίο ακίητος ως προς το τραίο κοιτάζει το ρολόι το κλείει τα άτια το και τα αοίγει πάλι. ιαπιστώει ότι ο χρόος πο πέρασε είαι se. Να βρεθεί η χροική διάρκεια κατά τη οποία είχε τα άτια το κλειστά όπως τη ετρά ο Ο. Λύση Θεωρούε έα σύστηα στεταγέω προσαροσέο στο τραίο ε αρχή το επιβάτη. Θεωρούε επίσης τα εξής δύο γεγοότα. Γεγοός : Ο επιβάτης κλείει τα άτια το. Οι στεταγέες το γεγοότος ως προς Ο είαι t, x = εώ ως προς το Ο είαι t, x Χρησιοποιώτας το ατίστροφο ετασχηατισό έχοε ότι: t =γ (t + x ) t =γ t Γεγοός : Ο επιβάτης αοίγει τα άτια το. Οι στεταγέες το γεγοότος ως προς Ο είαι t, x = εώ ως προς το Ο είαι t, x t =γ (t + x ) t =γ t Από τη εκφώηση έχοε ότι t =se Αφαιρώτας κατά έλη έχοε ότι t = t t =γ(t t ) =γ t Επιπλέο γ= = = =.5,6,8 Εποέως t=.5 se Εφαρογή (Σστολή το ήκος) Ο επιβάτης το προηγούεο προβλήατος τετώει το χέρι το κατά τη διεύθση κίησης το τραίο και χρησιοποιώτας τη ετροταιία πο βρίσκεται στο χαρτοφύλακά το βρίσκει ότι το χέρι το έχει ήκος 7m. Να βρεθεί το ήκος το χεριού το επιβάτη όπως το ετρά ο Ο. Λύση Οι στεταγέες τω άκρω το χεριού το επιβάτη στο Ο είαι x = και x =,7m. Για α βρει ο Ο το ήκος το χεριού το επιβάτη πρέπει α ετρήσει τατόχροα (στο σύστηά το) τις στεταγέες τω άκρω το χεριού το επιβάτη. Πρέπει εποέως t =t t= Για α πορέσοε α επιβάλοε τη παραπάω σθήκη, θα πρέπει παρ όλο πο ζητάε το x α χρησιοποιήσοε το «ορθό» ετασχηατισό: x =γ( t+ x ) και x = γ( t + x ) Αφαιρώτας κατά έλη έχοε x =γ( t+ x) x.7 και επειδή t= έχοε: x =γ x x = = = 56m γ.5 4

Εφαρογή : Θεωρούε το ύθο της εφαρογής. Να σχεδιαστεί η κοσική γραή πο διαγράφει η άκρη το χεριού το επιβάτη στο Ο και στο Ο. Λύση Η κοσική γραή είαι εξ ορισού το σύολο τω σηείω το χωροχρόο από τα οποία «διέρχεται» η άκρη το χεριού το επιβάτη α) Στο Ο Επειδή η άκρη Α το χεριού το επιβάτη έχει σταθερή χωρική στεταγέη x =.7, τα χωροχροικά σηεία από τα οποία διέρχεται είαι όλα τα σηεία (t,x ) ε x =.7. Εποέως θα διαγράφει ια γραή παράλληλη στο άξοα t πο διέρχεται από το σηείο.7 το άξοα x..7 x t β) Στο Ο. α τρόπος: Θεωρούε το ετασχηατισό t =γ (t + x ) και x = γ( t + x ). Ατικαθιστούε x =.7 και κάοε απαλοιφή το t για α βρούε τη σχέση t και x. Με λίγη άλγεβρα καταλήγοε στη σχέση: x x x = + t x =,56 +.6 t γ β τρόπος : Θεωρούε το ετασχηατισό x = γ( t+ x). Λύοε.56 ως προς x και έχοε: x x = + t x =,56 +.6 t γ t Εφαρογή 4 Υποθέτοε ότι ο γωστός ας πια επιβάτης ετρά ε τη ετροταιία το το ήκος το τραίο και το βρίσκει L. Τη στιγή t = ερισκόεος στο πίσω έρος το τραίο ε έα δείκτη Laser εκτοξεύει έα φωτειό σήα προς τα επρός. Να βρείτε στο σύστηα Ο και Ο : α)τη χροική στιγή πο η ακτία φτάει στο προστιό έρος το τραίο β) Τη κοσική γραή πο γράφει η ακτία. Λύση α) Α τρόπος L Επειδή το ήκος το τραίο στο σύστηα Ο είαι L θα ισχύει ότι L= t t =. Εποέως για το γεγοός: «Άφιξη το φωτειού σήατος στο προστιό έρος το τραίο» έχοε L t = x. Ατικαθιστούε στο ετασχηατισό (..4) και έχοε: L γ L( +) γ L( +) t = και x = 5

Β τρόπος Το φωτειό σήα εκπέπεται στη θέση x = τη στιγή t =. Εποέως στο σύστηα Ο εκπέπεται τη στιγή t= στη θέση x=. Η εξίσωση κίησης το φωτειού σήατος στο σύστηα Ο είαι x =t. Το προστιό έρος το τραίο (x =L) κιείται ως προς το Ο. Για α βρούε τη εξίσωση κίησης το στο Ο ατικαθιστούε στη σχέση x =γ( t+ x) όπο x =L και λύοε ως προς x. L Εποέως η εξίσωση κίησης το προστιού έρος το τραίο είαι x = +t γ L L Το φωτειό σήα σατά το προστιό έρος το τραίο ότα x = x t = +t t = γ γ( ) Εδιαφέρο από πλεράς πράξεω παροσιάζει η απόδειξη της ισοδαίας τω δύο αποτελεσάτω. Έχοε διαδοχικά: x L γl γl γ L( +) t = = = = γ( ) γ ( ) ( ) t β) Στο σύστηα το τραίο η εξίσωση κίησης της φωτειής ακτίας είαι x =t Εποέως η κοσική γραή είαι τα σηεία το επιπέδο (t,x ) ε x =t (εθεία) x Επειδή στο σύστηα Ο είαι x=t η κοσική γραή και στο (t,x) είαι η ίδια t Εφαρογή 5 Θεωρούε τώρα ότι ο επιβάτης εκτοξεύει ια ικρή σφαίρα η οποία κιείται κατά ήκος το τραίο ε σταθερή ταχύτητα u ως προς το τραίο. Να βρεθεί η ταχύτητα της ως προς το Ο. Λύση Για τη κίηση της σφαίρας ως προς το Ο ισχύει ότι x =u t. Ατικαθιστούε στις (..4) και έχοε: u u + t =γ t ( + ) και x =γt ( + u). Απαλείφοτας το χρόο t έχοε : x = t u + u + Εποέως η ταχύτητα της σφαίρας ως προς το Ο είαι u + Σχόλιο Από το τρόπο ε το οποίο βρήκαε τη σχετική ταχύτητα της σφαίρας ως προς το Ο θα πορούσε α βγει το σπέρασα ότι η σχέση πο καταλήξαε ισχύει όο α η κίηση της σφαίρας είαι οαλή. Ατό όως δε είαι αλήθεια όπως φαίεται από τα παρακάτω. Έστω u η στιγιαία ταχύτητα της σφαίρας ως προς το τραίο. dx Είαι u = dx = udt dt ιαφορίζοτας τις (..4) έχοε : u dt =γ (dt + d x ) =γ dt ( + ) και dx = γ( dt + dx ) = γdt ( + u) 6

και εποέως dx dt u + = u +... Χωροχροικές στεταγέες Γεική προώθηση Lorentz Στη έχρι τώρα ελέτη ας θεωρούσαε σα χωροχροικές στεταγέες το χρόο t και τις τρεις χωρικές στεταγέες x, x, x. Για λόγος διαστάσεω και οοιοορφίας στις σχέσεις ορίζοε τη χροική στεταγέη x =t. Έτσι όλες οι στεταγέες ας έχο διαστάσεις ήκος. Θέτοε επίσης β= (..5) Με ατούς τος ορισούς οι σχέσεις (..9), (..) και (..) γίοται x =γ(x β x) και x =γ( β x + x) γ= β Η σε ορφή πίακα θέτοτας: x x γ γβ x X = x X γβ γ = και Λ x x (x)( β ) = ε x x Ο ετασχηατισός στεταγέω σε ορφή πίακα γράφεται: γβ ( ) = β, β =, β < (..6) Χ=Λ X (..7) και σε σιστώσες x =Λ x (..8) ε =,,, και ποοείται άθροιση στο δείκτη από έως Ιδιότητες το Λ ) Λ()=Ι όπο Ι ο οαδιαίος 4x4 πίακας. Η σχέση ατή σε σιστώσες πορεί α γραφεί Λ () =δ όπο δ το δέλτα το Kroneker (δηλ δ =δ =δ =δ = και ότα ) ) Λ(β).Λ(-β)=Ι Η σχέση ατή σηαίει ότι ) β+β Λβ ( ). Λβ ( ) =Λ +ββ Λ ( β ) =Λ( β ) όπο Η απόδειξη της παραπάω σχέσης είαι θέα στοιχειώδος άλγεβρας και αφήεται στο ααγώστη. Ποιο είαι όως το περιεχόεο της σχέσης ατής ; Θεωρούε τρία ΑΣΑ Ο,Ο,Ο. Έστω η ταχύτητα το Ο ως προς Ο και η ταχύτητα το Ο ως προς το Ο. Τότε η ταχύτητα το Ο ως προς το Ο z Λ ( β ) ο ατίστροφος πίακας το Λ(β). Ο y x z y Ο x z y Ο x 7

+ είαι = + Στο σηείο ατό θα πρέπει α τοίσοε ότι η παραπάω σχέση ισχύει όο ότα οι δύο προωθήσεις είαι κατά τη ίδια διεύθση (πχ και οι δύο κατά τη διεύθση x) Α έχοε ία προώθηση κατά τη διεύθση y τότε οι σχέσεις ετασχηατισού θα είαι προφαώς : x =γ(x β y), x =x y =γ( β x + y), z =z. Ο πίακας για ια προώθηση κατά το άξοα y είαι γ γβ Λ(y) ( β ) = (..9) γβ γ για ια προώθηση κατά το άξοα z είαι γ γβ Λ(z) ( β ) = (..) γβ γ Η γεικεέη προώθηση πορεί α βρεθεί ως εξής: Θεωρούε ότι το Ο κιείται ως προς το Ο ε ταχύτητα τχαίας διεύθσης όπως στο σχήα. Ααλύοε τα διαύσατα θέσης εός τχαίο σηείο σε δύο σιστώσες. Μια κατά τη y διεύθση της ταχύτητας και ια κάθετη σε ατή. Για α εκφράσοε τις σιστώσες σαρτήσει τω r και έχοε α παρατηρήσοε τα εξής: r = r// + r r = r r// Επειδή r // // r // =λ Ο r. r r. = (r r // ). = (r λ). = λ= z Εποέως: r. r // = r. και r = r Ο ετασχηατισός Lorentz δε επηρεάζει τη κάθετη στη ταχύτητα σιστώσα και εταβάλει κατά τα γωστά τη παράλληλη σε ατή. Εποέως έχοε: r = r r // =γ( t+ r // ) r// t =γ(t ) r z r // y Ο r x 8

Η τελεταία σχέση γίεται Πρέπει όως x =γx γ x i i i= i i i= x =Λ x =Λ x + Λ x i Εποέως Λ =γ και Λ i = γ Για α βρούε τις χωρικές στεταγέες στο Ο πρέπει α βρούε το εσωτερικό γιόεο το r ε τα e i. Εποέως έχοε: i x = r.e = r.e + r.e =γ(r t).e + r.e =γ(r t).e + (r r ).e i // i i // i i // i // i x = r.e + ( γ )r.e γ.e t = r.e +λ( γ ).e γ.e t = x +λ( γ ) γt i i i i i // i i i i i r. γ x = x + ( γ ) γ t = γ x + δ x + x i i i i i i j i j j j j= j= γ x = γ x + ( δ + )x i i i i j j j j= Πρέπει όως Εποέως i i i i j j j= x =Λ x =Λ x + Λ x i i Λ = και γ Λ =δ + i i i j j j Σοψίζοτας έχοε για τη γεική προώθηση Lorentz i Λ =γ Λ i = γβ i i i i ( γ ) και σε ορφή πίακα i j Λ = γβ Λ j =δ j+ ββ β Τ γ γβ Λβ ( ) = γ Τ γβ Ι + ββ β β Τ ε β το x πίακα στήλη β= β =, β =β β= ( β ) + ( β ) + ( β ) + ( β ) β γβ ( ) = β και β<, (..) Σχόλια ) Μια χρήσιη εξάσκηση στις πράξεις εταξύ πιάκω είαι η απόδειξη της σχέσης ΛβΛ β ( ) ( ) =Ι Λ ( β ) =Λ β ( ) η οποία αφήεται στο ααγώστη. 9

) Στα παραπάω βρήκαε τη γεική προώθηση Lorentz η οποία έχει τρεις παραέτρος β,β,β. Εξακολοθού α παραέο σα επιτρεπτοί ετασχηατισοί οι χωρικές στροφές οι χωρικές εταθέσεις και χροική ετάθεση. Εποέως ο γεικός ετασχηατισός Lorentz πορεί α γραφεί στη ορφή Χ= R Λ X+ bόπο R = R, R x πίακας στροφής και Λ προώθηση Lorentz.. Χωροχροική απόσταση και ο χώρος Minkowski Θεωρούε δύο χωροχροικά σηεία και ε πίακες στεταγέω Χ () και Χ () (εποέως ε στεταγέες x () και x ()) στο Ο και ατίστοιχες στο Ο. Θέτοε S = ( x ) + ( x ) + ( x ) + ( x ) = ( x ) + ( x) Μπορούε α αποδείξοε το εξής Θεώρηα... S = S (..) Απόδειξη α) Α περιοριστούε σε χωροχροικές εταθέσεις (Χ =Χ +b) τότε Χ = Χ και η σχέση γίεται τετριέη. β) Θεωρούε τη περίπτωση χωρικώ στροφώ Στη περίπτωση ατή (t =t) x = x και από τη βασική ιδιότητα τω στροφώ έχοε ότι: x = x ( x ) + ( x ) + ( x ) = ( x ) + ( x ) + ( x ) εποέως η (..) είαι προφαής γ) Θεωρούε τώρα τη περίπτωση προώθησης Lorentz κατά τη διεύθση x. Όπως γωρίζοε ο ετασχηατισός στεταγέω είαι: x =γ( x +β x ) x =γ( x +β x ) x = x x = x Ατικαθιστώτας στο πρώτο έλος της (..) προκύπτει (ε στοιχειώδεις πράξεις) το δεύτερο δ) Θεωρούε τη γεική προώθηση Lorentz Ααλύοε και πάλι το χωρικό διάσα θέσης σε δύο σιστώσες: ια παράλληλη στη ταχύτητα και ια κάθετη σε ατή. Ο ετασχηατισός Lorentz είαι κατά τα γωστά ο: r = r r // =γ( β x + r // ) x =γ( x +β r // ) Από το γ) θα έχοε ότι: ( x ) + ( r ) = ( x ) + ( r ) // // Ατικαθιστώτας στο πρώτο έλος της (..) έχοε: ( x ) + ( x ) + ( x ) + ( x ) = ( x ) + ( r) = ( x ) + ( r + r ) = ( x ) + ( r ) + ( r ) = ( x ) + ( r ) + ( r ) = // // ( x ) + ( x ) + ( x ) + ( x ) //

ε) Θεωρούε το γεικό ετασχηατισό Lorentz Χ= R Λ X+ bόπο R = R, R x πίακας στροφής και Λ προώθηση Lorentz Το ετασχηατισό ατό πορούε α το δούε σα διαδοχή τω εξής ετασχηατισώ: X X =ΛΧ Χ Χ = R Χ Χ Χ =Χ + b Από τα εκτεθέτα παραπάω έχοε: S = S = S = S Το γεγοός ότι οι ετασχηατισοί Lorentz αφήο αετάβλητη τη ποσότητα S ααδεικύει τη ποσότητα ατή σε κρίαρχο έγεθος στη ειδική σχετικότητα. Σγκεκριέα η ποσότητα S ορίζει τη χωροχροική απόσταση δύο γεγοότω. Για α πορέσοε α γράψοε τη χωροχροική απόσταση ε ορφή πιάκω πρέπει α ορίσοε τος ατίστοιχος τω πιάκω ε ij και ε ij πο ορίσαε για τη χωρική απόσταση δύο σηείω: Ορίζοε λοιπό το σαλλοίωτο ετρικό ταστή η ως εξής: η =, η =η =η = και ηδέ σε κάθε άλλη περίπτωση. Εποέως σε ορφή πίακα η= = (..) Ι Οοίως ορίζεται και ο αταλλοίωτος ετρικός ταστής η ο οποίος είαι ο ατίστροφος το η. ρ Σε ορφή πιάκω έχοε τη σχέση η.η=ι και σε στεταγέες η η ρ =δ όπο δ ο τατοτικός 4x4 πίακας ( δ =δ =δ =δ = κλπ) Ο αταλλοίωτος ετρικός η πορεί α χρησιοποιηθεί για τη αύψωση εός δείκτη (ετατροπή εός σαλλοίωτο δείκτη σε αταλλοίωτο): Πχ Α Α σαλλοίωτο διάσα τότε το ατίστοιχο αταλλοίωτο ορίζεται από τη σχέση: Α =η Α (..) Οοίως ο σαλλοίωτος ετρικός ταστής πορεί α χρησιοποιηθεί για το ποβιβασό εός δείκτη: Α =η Α (..4) Σχόλια ) Προς το παρό έα αταλλοίωτο και έα σαλλοίωτο διάσα ξεχωρίζο όο από τη θέση τω δεικτώ τος. ηλαδή έα σαλλοίωτο διάσα έχει το δείκτη κάτω και έα αταλλοίωτο έχει το δείκτη πάω. ) Οι τιές τω στεταγέω εός σαλλοίωτο και το ατίστοιχο αταλλοίωτο διαύσατος δε είαι ίδιες: α β Θεωρούε έα σαλλοίωτο διάσα Α ε πίακα στεταγέω. γ δ Είαι στοιχειώδες (ε χρήση της (..)) α δείξοε ότι ο πίακας στεταγέω το ατίστοιχο α β αταλλοίωτο διαύσατος είαι ο γ δ