ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ θαη λα θαηαιήμνπκε ζηνπο επηδησθόκελνπο εθαξκόδνληαο ηδηόηεηεο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier. Α) Αμφίπλεσρος εκθετικός παλμός: Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier ηνπ ζήκαηνο x() πνπ θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα. x() e α, α> + e α, α> Ο δεμηόο θιάδνο ηνπ ζήκαηνο x() έρεη ηε καζεκαηηθή έθθξαζε x δ ()=e α u() θαη ν αξηζηεξόο θιάδνο έρεη ηε καζεκαηηθή έθθξαζε x α ()=e α u( )=x δ ( ). Η καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ ζήκαηνο x() είλαη x()=x δ ()+x α (). ηελ Παξάγξαθν. ηνπ Κεθαιαίνπ βξήθακε όηη είλαη F{ e u( )}. Ώζηε έρνπκε X ( ) j j. Επεηδή είλαη x α ()=x δ ( ) έρνπκε θαη X ( ) X X ( ) = X ( ) j. Επνκέλσο, είλαη X()=X δ ()+X α ()= j j. Παξαηεξνύκε όηη ν X() είλαη πξαγκαηηθή άξηηα ζπλάξηεζε ηεο 4 ζπρλόηεηαο, πξάγκα πνπ ην πεξηκέλακε, αθνύ ην ζήκα x() είλαη πξαγκαηηθό θαη άξηην ζήκα. Β) Αμφίπλεσρος τριγωνικός παλμός: Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier ηνπ ζήκαηνο x() πνπ θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα. E.
x () x() + x () α α Σν ζήκα x() απνηειείηαη από ηνλ αξηζηεξό θιάδν ηξηγσληθό παικό x α () θαη ην δεμηό θιάδν ηξηγσληθό παικό x δ (). Είλαη x()=x α ()+x δ (). Μπνξνύκε λα βξνύκε ηηο καζεκαηηθέο εθθξάζεηο ησλ δύν θιάδσλ ηνπ παικνύ θαη λα πξνρσξήζνπκε ππνινγίδνληαο ηα ζρεηηθά νινθιεξώκαηα, ηα νπνία πεξηιακβάλεη ν καζεκαηηθόο ηύπνο πνπ παξέρεη ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier. Οη ελ ιόγσ καζεκαηηθέο εθθξάζεηο είλαη ηεο κνξθήο θ+ι. πγθεθξηκέλα, είλαη x α ()= + θαη x δ()= + (βξείηε γηαηί). Εδώ ζα αθνινπζήζνπκε δηαθνξεηηθό δξόκν. Θα μεθηλήζνπκε ππνινγίδνληαο ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier ηνπ ζήκαηνο x (), δει. ηεο παξαγώγνπ ηνπ ζήκαηνο x(). To ζήκα x () θαίλεηαη ακέζσο παξαθάησ: p () x () /α α α /α p () Απηό ην ζήκα απνηειείηαη από ηνλ αξηζηεξό θιάδν νξζνγσληθό παικό p ( ) x ( ) θαη ην δεμηό θιάδν νξζνγσληθό παικό p ( ) x ( ), νπόηε έρνπκε x ( ) p ( ) p ( ). Θπκόκαζηε από ηελ Παξάγξαθν. ηνπ Κεθαιαίνπ όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ελόο άξηηνπ νξζνγσληθνύ παικνύ p(), o νπνίνο δηαξθεί από ηε ρξνληθή ζηηγκή α/ κέρξη ηε ρξνληθή ζηηγκή α/ θαη έρεη ύςνο, έρεη ηε καζεκαηηθή έθθξαζε Ρ()=αsinc(α)=. Επεηδή ν αξηζηεξόο παικόο p () ηνπ ζήκαηνο x () πξνθύπηεη από ηνλ παικό p() κε ρξνληθή πξνήγεζε θαηά α/ θαη πνιιαπιαζηαζκό επί ην θιάζκα /α, απηόο έρεη καζεκαηηθή έθθξαζε p () p(+α/)/α θαη κεηαζρεκαηηζκό Fourier P α ()=P()e jπα/ /α=p()e jπα /α. Επνκέλσο, ν E.
αξηζηεξόο ηξηγσληθόο παικόο x α () ηνπ ζήκαηνο x() έρεη κεηαζρεκαηηζκό Fourier Χ α ()=P α ()/(jπ)=p()e jπα /(jπα), κηαο θαη είλαη p( ) x ( ), ήηνη x α ()= p () d. Οκνίσο, ν δεμηόο παικόο p () ηνπ ζήκαηνο x () πξνθύπηεη από ηνλ παικό p() κε ρξνληθή θαζπζηέξεζε θαηά α/ θαη πνιιαπιαζηαζκό επί ην θιάζκα /α. Έηζη, απηόο έρεη καζεκαηηθή έθθξαζε p () = p( α/)/α θαη κεηαζρεκαηηζκό Fourier P δ ()= P()e jπα/ /α= P()e jπα /α. Επνκέλσο, ν δεμηόο ηξηγσληθόο παικόο x δ () ηνπ ζήκαηνο x() έρεη κεηαζρεκαηηζκό Fourier Χ δ ()=P δ ()/(jπ)= P()e jπα /(jπα). Ύζηεξα από απηά, θαηαιήγνπκε ζην ζπκπέξαζκα όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ δηπινύ θαη πεξηηηνύ νξζνγσληθνύ παικνύ x () είλαη ίζνο κε P α ()+P δ ()= =P()e jπα /α P()e jπα /α=p()(e jπα e jπα )/α=p()jεκπα(/α)= jεκπα(/α)= j. Επνκέλσο, αθνύ ην ζήκα x() είλαη ίζν κε ην αόξηζην νινθιήξσκα ηεο παξαγώγνπ ηνπ x (), ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ηξηγσληθνύ ζήκαηνο x() είλαη ίζνο κε X()=j j = =P() /α. Ώζηε ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ηνπ ηξηγσληθνύ ζήκαηνο πνπ δηαξθεί από ηε ρξνληθή ζηηγκή α κέρξη ηε ρξνληθή ζηηγκή α είλαη αλάινγνο πξνο ην ηεηξάγσλν ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ηνπ νξζνγσληθνύ παικνύ πνπ δηαξθεί από ηε ρξνληθή ζηηγκή α/ κέρξη ηε ρξνληθή ζηηγκή α/. Ξαλά επαιεζεύεηαη ην όηη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourier ελόο άξηηνπ πξαγκαηηθνύ ζήκαηνο είλαη πξαγκαηηθή άξηηα ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο. Από ηε ζρέζε X()=P() /α αx()=p() πνπ απνδείμακε πξνεγνπκέλσο,πξνθύπηεη όηη ν ακθίπιεπξνο ηξηγσληθόο παικόο αx() ύςνπο α, πνπ δηαξθεί από α κέρξη α, είλαη ίζνο κε ηε ζπλέιημε ηνπ νξζνγσληθνύ παικνύ p() ύςνπο, πνπ δηαξθεί από α/ κέρξη α/, κε ηνλ εαπηό ηνπ. Απηό, κε α=, ην είδακε θαη ζηελ Παξάγξαθν. ηνπ Κεθαιαίνπ. ηελ παξαπάλσ απόδεημε ρξεζηκνπνηήζακε ηελ ηξίηε ηδηόηεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier ζηελ όρη πνιύ απζηεξή κνξθή ηεο F{ x() d }=X()/(jπ). Εδώ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε καζεκαηηθά απζηεξόηεξε έθθξαζε απηήο ηεο ηδηόηεηαο F{ x() d }=Χ()/(jπ)+Χ()δ()/. Από ηε ζρέζε p( ) x ( ) πξνθύπηεη ε ζρέζε x α ()= p () d u(). Όλησο, γηα < α είλαη p ( ), νπόηε ην νινθιήξσκα p () d είλαη κεδεληθό, όπσο θαη ε u(). πλεπώο, γηα < α είλαη E.3
p () d u()= = ==x α (). Γηα α< είλαη p () θαη u()=, νπόηε ην νινθιήξσκα p () d έρεη ηηκή ίζε κε [ ( α)] = + (γηαηί;). πλεπώο, γηα < α είλαη p () d u()= + = +=x α(). Σέινο, γηα > είλαη p ( ), νπόηε έρνπκε p () d = p ( ) d = εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεη ν παικόο p () κε ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ = α =, θαη u()=. πλεπώο, είλαη p () d u()= ==x α (). Επνκέλσο, ε ζρέζε x α ()= p () d u() ηζρύεη γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ. Εζείο ηώξα απνδείμηε, κε εληειώο αλάινγν ηξόπν, όηη γηα ην δεμηό ηξηγσληθό παικό x δ () ηζρύεη ε ζρέζε x δ ()= p () d +u(). Ύζηεξα από ηα παξαπάλσ, γηα ηνλ αξηζηεξό ηξηγσληθό παικό x α () έρνπκε X α ()=F{ p () d } U()=P α ()/(jπ)+p α ()δ()/ U(). Έρνπκε ήδε βξεη όηη ηζρύεη ε ζρέζε P α ()=P()e jπα /α=αsinc(α)e jπα /α=sinc(α)e jπα, νπόηε είλαη P α ()=e =. Επνκέλσο, έρνπκε X α ()=sinc(α)e jπα /(jπ)+δ()/ U(). Επίζεο, γηα ην δεμηό ηξηγσληθό παικό x d () ηζρύεη ε ζρέζε X δ ()=F{ p () d }+U()=P δ ()/(jπ)+ P δ ()δ()/+u(). Έρνπκε ήδε βξεη όηη ηζρύεη ε ζρέζε P δ ()= P()e jπα /α= αsinc(α)e jπα /α= sinc(α)e jπα, νπόηε είλαη P δ ()= e =. Επνκέλσο, έρνπκε X δ ()= sinc(α)e jπα /(jπ) δ()/+u(). πλνιηθά έρνπκε Χ()=X α ()+X δ ()=sinc(α)e jπα /(jπ)+δ()/ U() sinc(α)e jπα /(jπ) δ()/+u()=sinc(α)e jπα /(jπ) sinc(α)e jπα /(jπ)=sinc(α)(e jπα e jπα )/(jπ)=sinc(α)(jεκπα)/(jπ)=sinc(α)εκπα/(π)= = ιηγόηεξν απζηεξό ηξόπν. =P() /α, όπσο βξήθακε θαη κε ηνλ καζεκαηηθά Γ) Μονόπλεσρος τριγωνικός παλμός: Αλ ζέιακε λα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier ηνπ ζήκαηνο y()=x δ (), δει. ηνπ ηξηγσληθνύ ζήκαηνο πνπ ζρεκαηίδεη ην δεμηό κηζό ηνπ ζήκαηνο x(), ην νπνίν θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα: E.4
y() + α ζα έπξεπε λα κείλνπκε ζ απηό πνπ βξήθακε παξαπάλσ, όηη δει. ν δεηνύκελνο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier είλαη ίζνο κε X δ ()= sinc(α)e jπα /(jπ) δ()/+u(). Εδώ ( ) ζα πξέπεη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε καζεκαηηθά απζηεξή ζρέζε U()= j πνπ βξήθακε ζην Παξάξηεκα Δ. Επνκέλσο, έρνπκε: X δ ()= sinc(α)e jπα /(jπ) δ()/+ j +δ()/=[ sinc(α)e jπα ]/(jπ). Επαιεζεύζηε ηελ νξζόηεηα απηνύ ηνπ ηύπνπ εθαξκόδνληαο ηνλ νξηζκό ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourier κε x δ ()= + (θάληε ην). αο ππελζπκίδνπκε όηη είλαη e x x xe e. x x x e dx θαη xe dx Ο κεηαζρεκαηηζκόο Fourier πνπ βξήθακε δελ είλαη νύηε πξαγκαηηθή νύηε θαληαζηηθή ζπλάξηεζε ηεο ζπρλόηεηαο. Έρεη θαη πξαγκαηηθό θαη θαληαζηηθό κέξνο, πξάγκα αλακελόκελν, αθνύ ην ζήκα y()=x δ () δελ είλαη νύηε άξηην νύηε πεξηηηό. E.5