ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 Χειµερινό Εξάµηνο Ρόδος, εκέµβριος 2013 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθηµα: ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι" ιδάσκων: Ευγένιος Αυγερινός Εργασία Προόδου #2 φυλλάδιο 2 αϖό 3 ίνονται Οµάδες Ερωτήσεων, Προβληµάτων και Ασκήσεων, Παρακαλούµε να απαντήσετε µε προσοχή δίνοντας έµφαση σε όσα ακούσατε στις διαλέξεις του µαθήµατος, αλλά και σε όσα µπορείτε να βρείτε στα αντίστοιχα κεφάλαια των συγγραµµάτων της προτεινόµενης βιβλιογραφίας. Θα πρέπει να απαντήσετε: οι φοιτητές µε άρτιο αριθµό µητρώου σε τέσσερις από τις άρτια αριθµηµένες Ασκήσεις Προβληµατα, Ερωτησεις της αρεσκείας σας ολων των Οµάδων (δηλ 4 από κάθε οµαδα) και οι φοιτητές µε περιττό αριθµό µητρώου σε τέσσερις από τις περιττά αριθµηµένες Ασκήσεις Προβληµατα, Ερωτησεις της αρεσκείας σας ολων των Οµάδων (δηλ 4 από κάθε οµαδα) Παράδοση Εργασίας Η Εργασία Προόδου #2 (και τα δυο φυλλάδια) θα πρέπει να παραδοθεί την ευτέρα 20 Ιανουαρίου 2014 και ώρες 9.00-12.00 στο Εργαστήριο Μαθηµατικών στον 1ο όροφο στο κτήριο 7 η ς Μαρτίου. Ρόδος, Τετάρτη 11 εκεµβρίου 2013 Για το Εργαστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και Πολυµέσων Ευγένιος Αυγερινός 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΗΘΟΣΥΝΟΛΩΝ-ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ Οµάδα Α 1. Να γίνει η γραφική (καρτεσιανή) αναπαράσταση των εξής σχέσεων: R 1 = {(x, y) R 2 : -1 x 1, -3 y 2} R 2 = {(x, y) N 2 : 1 x 2, 2 y 3} R 3 = {(x, y) Z 2 : x 2, y 3} R 4 = {(x, y) R 2 : -1 < x < 4, -3 < y 2} R 5 = {(x, y) R 2 : y < x 2, -1 x 1} 2. Να γίνει η γραφική παράσταση των εξής σχέσεων: 3 0, x 0 x, x 0 y = f(x) = { y = f(x) = { 2 2 x, x> 0 x, x< 0 R 1 = {(x, y) R 2 : y 2 y y 1, y 1 = x 2, y 2 = -x 3 } R 2 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4} R 3 = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4} R 4 = {(x, y) R 2 : xy 1} 3. Όµοιως: S 1 = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 + (y + 3) 2 9} S 2 = {(x, y) Ζ 2 : x + y > 1 x > 0} S 3 = {(x, y) Ρ 2 : x + y > 1 x > 0} 4. Όµοιως: S 1 = {(x, y) R 2 : (x + 1) 2 + (y -5) 2 9} S 2 = {(x, y) R 2 : 2x + y > 1 y > 0} Οµάδα Β 1. Να γίνει ένας πίνακας µε 5 τουλάχιστον τιµές για τις παρακάτω συναρτήσεις. Στη συνέχεια να γίνει η γραφική τους παράσταση Α f(x) = 3x 2 Β f(x) = x 2 9x g(x) = - 4 3 x + 9 F 6 (x) = x 2 +4x-5 h(x) = 120x + 25 f 2 (x) = ( 2 1 ) x F 3 (x) = 3 2 x 3 4 F 4 (x) = 3 2 x 3 x 2 +4 2. Αν µε f(x) = [x] συµβολίζουµε το ακέραιο µέρος του x δηλ. ο [x] είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος, ο µικρότερος ή και του x. Π.χ. [-4,1] = -5 [2,5] = 2 Να γίνει το γράφηµα της f(x) = [x] για -3 x 3 3. Να γίνει επίσης το γράφηµα των f(x) = [x + 1], 0 x 4 h(x) = 6 [x], 0 x 6 s(x) = 6 x,2 x 6 g(x) = [3 x], -1 x 3 2 4. Να γίνει το γράφηµα των: 2

f(x) = x 2, f 2 (x) = 2x 2, f 3 (x) = 2 1 x 2, f 4 (x) = -3x ιερευνήστε πως επηρεάζει ο συντελεστής του x 2 το γράφηµα της f. 5. 1 Όµοια: των F(x) = ( ) x 2, f(x) = ( ) x, γ(x) = 10 3x 3 5 ιερευνήστε πως επηρεάζει η βάση της δύναµης το γράφηµα της κάθε συνάρτησης. Οµάδα Γ 1. Α. Χρησιµοποιώντας έναν υπολογιστή εάν είναι απαραίτητο, εκτιµήστε τον χρόνο που θα έπαιρνε σ ένα κοµπιούτερ να κάνει λίστα όλα τα θέµατα από {1, 2, 3, 64}. Υποθέτουµε ότι το γρηγορότερο κοµπιούτερ µπορεί να καταγράψει ένα θέµα περίπου σε 1 εκατοµµυριοστό δευτερολέπτου. Β. Βρείτε τον χρόνο που θα πάρει στο κοµπιούτερ να ολοκληρώσει όλες τις αντιστοιχήσεις 1-1 ανάµεσα στα σύνολα {1, 2, 3,, 64} και {65, 66, 67,, 128} 2. Πόσες διαφορετικές αντιστοιχίσεις 1-1 υπάρχουν µεταξύ δύο συνόλων µε: Α. 5 στοιχεία το καθένα Β. 8 στοιχεία το καθένα Γ. ν στοιχεία το καθένα 3. Είναι δυνατό να βρεθεί ένα άπειροσύνολο Α τέτοιο ώστε : Α. το A είναι πεπερασµένο Β. το A άπειρο. Οµάδα 1. ίνονται τα γεγονότα Α, Β και C. Να εκφρασθούν µε τη βοήθεια της Θεωρίας Συνόλων τα γεγονότα: α. Μόνο το Β συµβαίνει. β. Τα Α και Β συµβαίνουν αλλά όχι το C. γ. Τουλάχιστον ένα από τα Α, Β, C συµβαίνει. δ. Ακριβώς ένα συµβαίνει. ε. Τουλάχιστον δύο από τα Α, Β, C, συµβαίνουν. 2. Αν Α, Β και C παριστάνουν τα σύνολα των φοιτητών που διαβάζουν τα περιοδικά Μ1, Μ2, και Μ3 αντίστοιχα, τότε: Να εκφράσεις µε προτάσεις τα σύνολα: α. Α Β C γ. (A B) ε. ABC β. ΑBC δ. Α Β C ζ. Α Β C Να εκφράσεις µε σύνολα τις φράσεις: α. Οι φοιτητές που διαβάζουν τουλάχιστον δύο από τα τρία περιοδικά. Β. Οι φοιτητές που διαβάζουν ακριβως δύο από τα τρία περιοδικά. Γ. Οι φοιτητές που διαβάζουν το πολύ ενα από τα τρία περιοδικά Μ1, Μ2, και Μ3. 3. ίνονται: Ρ(Α ) = 0.3, Ρ(Β) = 0.4 και Ρ(ΑΒ )= 0.5. Να βρεθούν : α) Ρ(Α), β) Ρ(ΑΒ), γ) Ρ(Α Β). 1.4. α) ίνονται : Ρ(Α) = x, Ρ(Β) = y, P(AB) = z. Να βρεθεί η πιθανότητα του γεγονότος: «Συµβαίνει ακριβώς ένα από τα Α, Β»; β) Ένα παλιό αυτοκίνητο χαλάει 65% από βλάβη µηχανής, 20% από αµέλεια οδηγού, 5% από βλάβη µηχανής και αµέλεια οδηγού, και επίσης χαλάει από άλλες αιτίες. Ποια η πιθανότητα να χαλάσει το αυτοκίνητο «µόνο από βλάβη µηχανής ή µόνο από αµέλεια οδηγού»; 3

1.5. Αν Α, Β είναι γεγονότα και Ρ(Α) =x, P(B) = y, P(AB) = z (i) Να βρεθεί η πιθανότητα των γεγονότων C = {Συµβαίνει ακριβώς ένα από τα Α, Β} D = { εν συµβαίνει κανένα από τα Α, Β} E = {Συµβαίνει µόνο το Α} (ii) Αν P(C) = 0.7, P(D) = 0.1, P(E) = 0.3, να βρεθούν τα x, y, z. 1.6. ίνονται τα γεγονότα Α, Β και C. Χρησιµοποιώντας τα αξιώµατα (i), (ii), και (iii), δείξτε ότι: P (A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(BC) P(CA) + P(ABC) 1.7. ίνονται τα γεγονότα Α, Β, Γ και οι πιθανότητες Ρ (ΑΒΓ) = 0.1. Ρ(Α Β Γ )) = 0.05, Ρ(ΑΒ Γ) = 0.2, Ρ(ΑΒ Γ ) = 0.15, Ρ(Α ΒΓ)= 0.12, Ρ(Α ΒΓ ) = 0.08, Ρ(Α Β Γ) = 0.14. Να βρεθούν οι πιθανότητες: Ρ(Α (ΒΓ)), Ρ(Β Γ), Ρ(Α Β Γ). 1.8. ίνονται τα γεγονότα Α, Β, Γ και οι πιθανότητες Ρ(Α) = Ρ(Β) = Ρ(Γ) = p, P(AB) = P(AΓ) = Ρ(ΒΓ) = q, Ρ(ΑΒΓ) = r. Να βρεις τις πιθανότητες των γεγονότων (i) = {Να συµβαίνει τουλάχιστο ένα από τα Α, Β, Γ}. (ii) Ε = {Να συµβαίνουν τουλάχιστον δύο από τα Α, Β, Γ}. (iii) Ζ = {Να συµβαίνει ακριβώς ένα από τα Α, Β, Γ}. (iv) Η = {Να συµβαίνουν ακριβώς δύο από τα Α, Β, Γ}. 1.9. ίνονται τα γεγονότα Α, Β, Γ και οι πιθανότητες Ρ(Α) = 0.48 Ρ(Β) = 0.40 Ρ(Γ) = 0.56, Ρ(ΑΒ) = 0.20, Ρ(ΑΓ) = 0.43, Ρ(ΒΓ) = 0.23, Ρ(ΑΒΓ) = 0.15. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των γεγονότων. (i) = {Να συµβαίνει τουλάχιστο ένα από τα Α, Β, Γ}. (ii) Ε = {Να συµβαίνουν τουλάχιστον δύο από τα Α, Β, Γ}. (iii) Ζ = {Να συµβαίνει ακριβώς ένα από τα Α, Β, Γ}. (iv) Η = {Να συµβαίνουν ακριβώς δύο από τα Α, Β, Γ}. 1.10. α) Ένα κιβώτιο έχει 5 λαµπτήρες από τους οποίους οι 3 είναι ελαττωµατικοί. Ελέγχουµε τους λαµπτήρες, έναν, έναν χωρίς επανάθεση ίσαµε που να βρούµε τον πρώτο ελαττωµατικό. Ποιος ο δειγµατοχώρος; 1.11. Ρίχνουµε δύο ζάρια µια φορά, και Α, Β δυο γεγονότα µε Ρ(Α) = 0.4 Ρ(Β) = 0.35 Να βρεθεί η πιθανότητα των γεγονότων C = {Συµβαίνει ακριβώς ένα από τα Α, Β} D = { εν συµβαίνει κανένα από τα Α, Β} Ε = {Συµβαίνει µόνο το Α} 1.12. Ρίχνουµε 4 ζάρια µια φορά. Να βρεθεί ο δειγµατοχώρος του πειράµατος και τα γεγονότα: Α = {Έρχεται τουλάχιστον ένας άσσος}. Β = { Το άθροισµα των τεσσάρων ενδείξεων είναι 13}. 1.13. Στην Προηγούµενη άσκηση µας δίνουν, ότι η πιθανότητα του καθένα από τα 6 4 σηµεία του δειγµατοχώρου είναι 6-4. Βρέστε τις πιθανότητες των γεγονότων Α και Β. 1.14. Ρίχνουµε δύο ζάρια 24 φορές και υποθέτουµε ότι όλα τα σηµεία του δειγµατοχώρου έχουν την ίδια πιθανότητα. Να βρεθεί η πιθανότητα να φέρουµε δύο άσσους τουλάχιστον µια φορά και να συγκρίνετε µε την πιθανότητα του γεγονότος Α του προηγούµενου προβλήµατος. Υπάρχει παράδοξο: 1.15. ίνεται ο δειγµατοχώρος Ω = [0, 1] και ο νόµος Ρ([α, β]) = β α 0 α β 1. (i) Ποια είναι τα γεγονότα: α) Α 1 = {x : Το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του x δεν είναι 0} β) Α n = {x: Τα πρώτα n δεκαδικά ψηφία του x δεν είναι 0} (ii) Ποιες είναι οι πιθανότητες των Α 1, Α n. 1.16. Με δύο ζάρια παίζουµε το παρακάτω παιχνίδι: Αν στην πρώτη προσπάθεια έχουµε άθροισµα 2, 3, 7, 11 ή 12 σταµατούµε, αν όχι συνεχίζουµε ίσαµε που να έχουµε άθροισµα 7 ή το άθροισµα που είχαµε την πρώτη προσπάθεια. Ποιος είναι ο δειγµατοχώρος. 1.17. Στον προηγούµενο δειγµατοχώρο ορίζουµε τον παρακάτω νόµο πιθανοτήτων: Η πιθανότητα n διατεταγµένων ζευγαριών είναι 6-2n (π.χ. {(2, 5), (3, 4), (2, 3)}έχει πιθανότητα 6-6 ). Ο πρώτος παίκτης κερδίζει αν φέρει άθροισµα 7 ή 11 στην πρώτη προσπάθεια ή όταν τελειώσει το παιχνίδι φέρνοντας το ίδιο άθροισµα στην πρώτη και τελευταία προσπάθεια. Να βρεθεί η πιθανότητα: α) Να κερδίσει το παιχνίδι ο πρώτος παίκτης στις τρεις προσπάθειες (δύο δικές του και µια του άλλου παίκτη). β) Να τελειώσει το παιχνίδι στις τρεις πρώτες προσπάθειες. γ) Να κερδίσει το παιχνίδι τελικά ο πρώτος παίκτης. 4

δ) Να κερδίσει το παιχνίδι τελικά ο δεύτερος παίκτης. ΟΜΑ Α Ε 2.1. Από τον πληθυσµό Ω = {ω 1, ω 2,, ω n } παίρνουµε τυχαίο δείγµα µεγέθους r, ένα ένα µε επανάθεση, ποια η πιθανότητα του γεγονότος Α = {όλα τα r στοιχεία είναι διαφορετικά µεταξύ τους}. 2.2. Στο προηγούµενο παράδειγµα να βρεθεί η πιθανότητα να έχουµε τουλάχιστο δύο όµοια στοιχεία. 2.3. Ρίχνουµε τέσσερα ζάρια µια φορά. Ποια η πιθανότητα να πάρουµε τουλάχιστο ένα 6;. 2.4. Έχουµε r σωµατίδια και 3 κελιά. Θέλουµε την πιθανότητα του γεγονότος A = {Το κελί 1 έχει r 1 σωµατίδια, το κελί 2 έχει r 2 σωµατίδια και το κελί 3 έχει r 3 σωµατίδια, r 1 + r 2 + r 3 = r}. 2.5. Πολλές φορές ζητάµε από τον υπολογιστή να µας δώσει τυχαίους αριθµούς. Αν θέλουµε για παράδειγµα τυχαίους αριθµούς από 0 9 και παίρνουµε ένα δείγµα από 20 αριθµούς, πρέπει πρώτα να δοκιµάσουµε αν οι αριθµοί είναι πραγµατικά τυχαίου. Ένας τρόπος είναι να προσέξουµε τη σειρά µε την οποία παίρνουµε τους αριθµούς και πόσες εναλλαγές ψηφίων υπάρχουν. Για παράδειγµα το δείγµα 3, 0, 0, 4, 4, 4, 1, 1, 6 υπάρχουν 5 εναλλαγές. Αν είναι λίγες εναλλαγές υποψιαζόµαστε ότι ο υπολογισµός δίνει το ίδιο ψηφίο στη σειρά ενώ αν είναι πολλές συµβαίνει ακριβώς το αντίθετο. Αργότερα στη Στατιστική θα δούµε πως χρησιµοποιείται η συνδυαστική για την αντιµετώπιση αυτού του προβλήµατος. 2.6. Στις θεωρίες εκµάθησης για να ελέγξουν αν µια ορισµένη µέθοδος-θεωρία είναι επιτυχής υποβάλλουν τον µαθητή σε δοκιµασία (test). Αν ο µαθητής περάσει k 1 δοκιµασίες συνεχώς τότε δέχονται τη µέθοδο ενώ αν αποτύχει σε k 2 δοκιµασίες συνεχώς την απορρίπτουν. Και εδώ εφαρµόζεται η συνδυαστική ανάλυση για προβλήµατα Στατιστικής. 2.7. Σ έναν ανελκυστήρα (ασανσέρ) υπάρχουν 4 άτοµα και το κτίριο έχει 6 πατώµατα. Ποια η πιθανότητα να βγουν όλοι στο πρώτο ή δεύτερο πάτωµα; 2.8. Στο παραπάνω παράδειγµα «Ποια η πιθανότητα, να βγουν όλοι το πολύ σε δύο πατώµατα» 2.9. Σε 7 εκλογικά τµήµατα, µια παράταξη πήρε συνολικά 10 ψήφους. Ποια η πιθανότητα i) Σε ένα συγκεκριµένο εκλογικό τµήµα να υπάρχουν 2 ψήφοι της παράταξης. ii) Να έχει πάρει η παράταξη µια τουλάχιστον ψήφο σε κάθε τµήµα. iii) Σε ακριβώς 4 εκλογικά τµήµατα να µην υπάρχουν ψήφοι της παράταξης. 2.10. Παρατηρώντας 8 αυτοκίνητα που περνούν από ένα συγκεκριµένο σηµείο διαπιστώνουµε ότι 3 έχουν κόκκινο χρώµα. Ποια η πιθανότητα: Α.Να περάσουν τα 3 κόκκινα αυτοκίνητα διαδοχικά το ένα ακριβώς µετά το άλλο. Β. Να υπάρχουν 2 άλλα αυτοκίνητα ανάµεσα στα 2 πρώτα κόκκινα και 1 ανάµεσα στο δεύτερο και τρίτο κόκκινο. ΟΜΑ Α Ζ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ και Συνδυαστικής 1. Εάν πέσει µια πινέζα µπορεί να προσγειωθεί ( ) µε το κεφάλι κάτω, ή ( ) µε το κεφάλι πάνω. Το πείραµα επαναλήφθηκε 80 φορές µε τα ακόλουθα αποτελέσµατα. Με την κεφαλή προς τα πάνω: 56 φορές µε την κεφαλή προς τα κάτω: 24 φορές. Α) Ποια είναι η πιθανότητα η πινέζα να προσγειωθεί µε το κεφάλι πάνω. 5

Β) Ποια η πιθανότητα να προσγειωθεί µε το κεφάλι κάτω. Γ) Εάν επιχειρήσετε το πείραµα αυτό άλλες 80 φορές θα πάρετε τα ίδια αποτελέσµατα; γιατί; ) Περιµένετε να πλησιάσετε σχεδόν τα πρώτα αποτελέσµατα από τη δεύτερη προσπάθεια; Γιατί; 2. Σε ένα πείραµα συλλέξτε το τελευταίο νούµερο τηλεφωνικών αριθµών. Ας υποθέσουµε ότι κάθε ένα από τα 10 ψηφία έχει τις ίδιες πιθανότητες να παρουσιαστεί σαν τελικό ψηφίο. Καταγράψτε τα ακόλουθα. Α) Ένα διάστηµα δειγµάτων Β) Τα αποτελέσµατα εκείνα που το ψηφίο αυτό είναι µικρότερο του 5. Γ) Τα αποτελέσµατα που το ψηφίο είναι µονός αριθµός. ) Τα αποτελέσµατα που το ψηφίο δεν είναι το 2. Ε) Βρες τις πιθανότητες κάθε ενός από τα αποτελέσµατα (Β) ( ). 3. Γυρίζουµε τον παρακάτω τροχό. 4 5 3 6 2 7 1 8 Βρες τις πιθανότητες να λάβουµε τα κάθε ένα από τα ακόλουθα. Α) Ρ(παράγοντες του 35) Β) Ρ(πολλαπλάσιο του 3) Γ) Ρ(ζυγό αριθµό), ) Ρ(6 ή 2) Ε) Ρ(11) Στ) Ρ(σύνθετος αριθµό) Ζ) Ρ(ούτε ένας πρώτος ούτε ένας σύνθετος αριθµός) 4. Τραβάµε ένα χαρτί από µια τράπουλα 52 καρτών. Βρες την πιθανότητα για κάθε ένα από τα ακόλουθα. Α) Μια κόκκινη κάρτα Β) Μια κόκκινη κάρτα ή ένα 10 Γ) Μια φιγούρα ) Μια Ντάµα Ε) Όχι µια Ντάµα Στ) Μια φιγούρα ή ένα µπαστούνι Ζ) Μια φιγούρα και ένα µπαστούνι Η) Ούτε φιγούρα ούτε µπαστούνι. 5. Ένα συρτάρι περιέχει 6 µαύρες κάλτσες 4 καφέ και 2 πράσινες. Ας υποθέσουµε ότι τραβάµε µια κάλτσα από το συρτάρι. Βρες την πιθανότητα να συµβεί κάθε ένα από τα ακόλουθα. Α) Η κάλτσα είναι καφέ. Β) Η κάλτσα είναι η µαύρη ή πράσινη. Γ) Η κάλτσα είναι κόκκινη. ) Η κάλτσα δεν είναι µαύρη. 6. Κάθε γράµµα της αλφαβήτου γράφεται σε ένα ξεχωριστό χαρτί και τοποθετείται µέσα σ ένα κουτί. Στην συνέχεια τραβάµε ένα χαρτί στην τύχη. Α) Ποια είναι η πιθανότητα το χαρτί να έχει γραµµένο πάνω του ένα φωνήεν, Β) Ποια η πιθανότητα να έχει γραµµένο ένα σύµφωνο; 7) Εάν η πιθανότητα να καταφέρεις να ταξιδέψεις µε την πτήση για Βοστόνη είναι 0,2, ποια είναι η πιθανότητα να χάσεις την πτήση; 8) Η Σοφία έχει 6 δισκέτες κοµπιούτερ χωρίς καµία ένδειξη στην επιφάνειά τους. Αυτές περιέχουν Αγγλικά, Μαθηµατικά, Αµερικάνικη Ιστορία, Χηµεία και Φυσική. Απάντησε στις ακόλουθες ερωτήσεις. Α) Εάν επιλέξει µια δισκέτα στην τύχη ποια είναι η πιθανότητα να έχει επιλέξει το CD µε τα αγγλικά; Β) Ποια η πιθανότητα το CD που θα επιλέξει να µην είναι ούτε Μαθηµατικά ούτε Χηµεία. 9) Οι ακόλουθες ερωτήσεις αναφέρονται σ ένα πολύ δηµοφιλές παιχνίδι ζαριών seven-eleven στο οποίο κάθε παίχτης ρίχνει δύο ζάρια. Α) Φέρνοντας άθροισµα 7 ή 11 στην πρώτη ρίψη κερδίζεις. Ποια η πιθανότητα να κερδίσεις µε την πρώτη ρίψη; Β) Φέρνοντας 2, 3, ή 12 στην πρώτη ρίψη χάνεις. Ποια η πιθανότητα να χάσεις στην πρώτη ρίψη; Γ) Αν φέρεις 4, 5, 6, 8, 9, ή 10 στην πρώτη ρίψη ούτε χάνεις ούτε κερδίζεις. Ποια η πιθανότητα ούτε να χάσεις ούτε να κερδίσεις στην πρώτη ρίψη; 6

) Εάν φέρεις 4, 5, 6, 8, 9, ή 10 ο παίκτης πρέπει να φέρει ξανά το ίδιο νούµερο πριν φέρει 7. Ποιο ποσό από τα 4, 5, 6, 8, 9, ή 10 έχει την µεγαλύτερη πιθανότητα να ληφθεί ξανά; Ε. Ποια η πιθανότητα να φέρουµε το άθροισµα 1 σε οποιαδήποτε ρίψη; Στ. Ποια η πιθανότητα να φέρουµε άθροισµα µικρότερο του 13 σε οποιαδήποτε ρίψη; 10. Εάν ρίξουµε τα ζάρια 60 φορές υποθέστε πόσες φορές θα εµφανιστεί άθροισµα το 7; 11. Ποια είναι η πιθανότητα να συµβεί το κάθε ένα από τα παρακάτω συγκεκριµένα γεγονότα µε το πέταγµα του ζαριού; 1 Ένα µονό νούµερο. Ένας αριθµός µικρότερος του 7. 2 Ένας ζυγός αριθµός Ένας αριθµός διαφορετικός του 0 3 Ένα νούµερο µεγαλύτερο από το 2 Ο αριθµός 0. 4 Ένας αριθµός µικρότερος του 4. Ένα νούµερο διαφορετικό του 4 12. Ποια είναι η πιθανότητα να συµβεί κάθε ένα από τα παρακάτω συγκεκριµένα γεγονότα τραβώντας ένα χαρτί από µια συνηθισµένη τράπουλα 52 χαρτιών; Ένας άσσος. Ένα µπαστούνι. Ένας βασιλιάς Ένα κόκκινο χαρτί. στην πρώτη ρίψη; 13. 25 µέλη µιας τάξης δίνουν χειραψίες ο ένας µε τον άλλο την µέρα που ανοίγει το σχολείο. Α) πόσες χειραψίες έγιναν στο σύνολο; Β) πόσες θα γίνουν εάν συµπληρωµατικά κάθε ένας δίνει τα χέρια επίσης και µε τον διευθυντή; 14. Μια τάξη πρόκειται να διαιρεθεί σε δύο οµάδες µε τουλάχιστον ένα µαθητή η κάθε µια. Πόσα διαφορετικά ζευγάρια οµάδων µπορούν να γίνουν από µια τάξη 8 µαθητών; 15. Πόσα διαφορετικά ζευγάρια οµάδων από τέσσερις σπουδαστές η κάθε µια µπορούν να γίνουν από µια τάξη εννέα µαθητών; 16. Προβλήµατα µέτρησης µπορούν να προκύψουν µέσα από πολλά µαθηµατικά πάζλς. είτε το σχέδιο παρακάτω και βρείτε για παράδειγµα τα ακόλουθα πάζλς µε στόχους: Επιτρέπεται να ρίξεις τέσσερα βέλη και ας υποθέσουµε ότι δεν αστοχείς. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορείς να επιτύχεις το σκορ 60 πόντων; 5 10 15 25 17 Παρατήρησε και τοποθέτησε µε την σειρά τα 2 τελευταία ψηφία από 20 πινακίδες αυτοκινήτων που βρίσκονται στο πάρκιν. Επανέλαβε αυτή τη διαδικασία για 5 τουλάχιστον σετ από 20 διψήφιους αριθµούς. Για κάθε σετ από 20 νούµερα παρατήρησε πόσο συχνά βρίσκεις µια επανάληψη από κάθε ζευγάρι ψηφίων. (το ίδιο διψήφιο νούµερο να εµφανίζεται τουλάχιστον δυο φορές). ΟΜΑ Α Η Προβλήµατα Αριθµητικής για Λύση 1. Ο πατέρας του Νίκου χρησιµοποίησε 36 σακιά λίπασµα καθαρού βάρους 49,5 κιλών το καθένα. Πόσα κιλά λίπασµα χρησιµοποίησε; 2. Από την υλοτόµηση µιας δασικής έκτασης παράγονται ηµερησίως κατά µέσο όρο, 7,750750 κµ. ξυλεία ελάτου και 8,250250 κµ. ξυλεία πεύκου. Πόση ξυλεία παράγεται συνολικά σε 1 µήνα (30 ηµ.) ; 3. Το Υπουργείο Υγείας προειδοποιεί: Το κάπνισµα βλάπτει σοβαρά την υγεία. Ένα τσιγάρο περιέχει 0,008 γρ. νικοτίνη και 0,015 γρ. πίσσα. Ένας καπνιστής καπνίζει 20 τσιγάρα την ηµέρα. Πόση πίσσα και πόση νικοτίνη περιέχουν τα τσιγάρα που καπνίζει 35 ολόκληρα χρόνια. 4. Ο πατέρας έβαλε 20 λτ. Βενζίνη. Στο ταξίδι του έκαψε τα 1/3 της βενζίνης που έβαλε. Πόσα λτ. έκαψε ; 7

5. Η µητέρα για να πάει στη δουλειά της χρειάζεται 5/6 της ώρας. Τα 2/5 του χρόνου αυτού πηγαίνει µε τα πόδια. Πόση ώρα βαδίζει η µητέρα; 6. Οι φυσιολάτρες διάνυσαν 10,875 χµ. σε 3 ώρες. Πόσα χµ. διάνυσαν κατά µέσο όρο την ώρα. 7. Το πλοίο εκτελεί τακτικά το δροµολόγιο του σε 10 ώρες µε σταθερή ταχύτητα 24,5 µίλια την ώρα. Αφού ταξίδεψε 4 ώρες έπαθε βλάβη και καθυστέρησε 2 ώρες. Με πόση ταχύτητα την ώρα πρέπει να συνεχίσει το ταξίδι του για να φτάσει χωρίς καθυστέρηση στον προορισµό του; 8. Το 15 πλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 0,0085 είναι 3,4585. Ποιος είναι ο αριθµός; 9. Το ωφέλιµο φορτίο ενός αυτοκινήτου είναι 3.010 τόνοι. Στο αυτοκίνητο έχουν φορτωθεί 35 κιβώτια των 25 κιλ. Πόσα κιβώτια των 60 κιλών µπορούν να φορτωθούν ακόµα; 10. Για να καλυφτούν 1530 µ. χρησιµοποιήθηκαν σωλήνες των 4,5 µέτρ. Ο καθένας. Πόσοι σωλήνες χρησιµοποιήθηκαν ; 11. Το καφεκοπτείο παραλαµβάνει 100 κιλά ωµό καφέ που στο καβούρδισµα και το άλεσµα έχει φύρα 3,250 κιλά. Συσκευάζει τον αλεσµένο καφέ σε πακέτο των 0,250 κιλά. Πόσα είναι τα πακέτα ; 12. Ένα λεωφορείο µετέφερε σε µια βδοµάδα 438 επιβάτες και εισέπραξε 985.500 δρχ. Πόσο κάνει το ένα εισιτήριο ; 13. Το καφεκοπτείο παρέλαβε 50 κιλά ωµό καφέ. Στο καβούρδισµα και στο άλεσµα είχε φύρα 3,75 κιλά. Καφεκοπτείο συσκεύασε οµοιόµορφα του αλεσµένο καφέ σε 370 πακέτα. Ποιο είναι το βάρος του καφέ σε κάθε πακέτο ; 8