2. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕ ΙΟΜΕΛΕΤΗΣ ΜΕ Η/Υ Μια τυπική διάταξη συστήµατος σχεδιοµελέτης µε χρήσηh/y - CAD, αποτελείται από τον εξοπλισµό (Hardware), το Λογισµικό του συστήµατος σχεδιοµελέτης (Software) και το λειτουργικό σύστηµα. Τα πρώτα συστήµατα ήταν του τύπου µε τοκλειδίστοχέρι(turnkey), σχ.2., όπου όλα αυτά τα τµήµατα του συστήµατος (Εξοπλισµός, Λογισµικό εφαρµογών και λειτουργικό σύστηµα) τα προµήθευε ένας φορέας, που ήταν συνήθως ο δηµιουργός του λογισµικού. Το είδος αυτό έχει εκλείψει σήµερα και δεν προσφέρεται. Τυπικά συστήµατα αυτής της κατηγορίας ήταν CADDS (από την Computervision), INTERGRAPH, CATIA (από Dassault IBM). Όλα τα σηµερινά συστήµατα είναι ανοικτού τύπου, όπου έχουµε σύνθεση του συστήµατος (εξοπλισµός λογισµικό λειτουργικό) ανάλογα µε τηνεφαρµογή, σχ.2.2. ΚΕΝΤΡΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ ΣΥΣΚΕΥΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΑ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ---- - ΕΚΤΥΠΩΤΗΣ - ΣΧΕ ΙΑΣΤΙΚΟ ΣΥΣΚΕΥΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Σχ.2.. Σύνθεση συστήµατος µε χρήση κεντρικού υπολογιστή. Λύση µε το κλειδί στο χέρι. FILE ΣΤΑΘΜΟΣ ΣΤΑΘΜΟΣ ----- ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΑ SERVER ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΕΚΤΥΠΩΤΗΣ - ΣΧΕ ΙΑΣΤΙΚΟ ΣΥΣΚΕΥΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΣΥΣΚΕΥΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Σχ.2.2. Σύνθεση συστήµατος µε σταθµούς εργασίας.
2. ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΣ ΓΙΑ CAD/CAM Η τυπική διάταξη του σταθµού εργασίας, για σχεδιοµελέτη, φαίνεται στο σχ.2.2. Μια θέση εργασίας µε όλα τα πιθανά περιφερειακά που µπορεί να αποτελείται, φαίνεται στο σχ.2.3. αποτελείται από: ΣΥΣΚΕΥΕΣ ΕΙΣΟ ΟΥ ΣΥΣΚΕΥΕΣ ΕΞΟ ΟΥ Πληκτρολόγιο Εκτυπωτές Ειδικά πλήκτρα Σχεδιαστικό Ψηφιοποιητής ΣΤΑΘΜΟΣ ίσκος Track Ball ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ταινία Χειριστήριο Έξοδος σε Υπολογιστή Ταµπλέτα Γραφικών CRT οθόνη µε Πέννα Ποντίκι Σχ.2.3. Συσκευές εισόδου και εξόδου σε σύστηµα σχεδιοµελέτης µε Η/Υ. Σταθµός Εργασίας ή προσωπικό υπολογιστή. Συσκευές Εισόδου, όπως πληκτρολόγιο, στυλό (light pen), ψηφιοποιητής (digitiser), ποντίκι, χειριστήριο, ταµπλέτα, ήσύγχρονεςµεθόδους (γάντι, µπάλα, κλπ) Συσκευές εξόδου - ίσκος, οθόνη, εκτυπωτής, σχεδιαστικά (ηλεκτροστατικά, µε έγχυσης, µελάνης), ταινία. Ειδικά περιφερειακά που απαιτούνται για ειδικές εφαρµογές, όπως, κοπτικά πατρόνστάµπου, ψηφιοποιητής πατρόν ή στάµπου, σχεδιαστικό στρώσεων, κλπ. Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -2-
2.2 ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΓΙΑ CAD/CAM Αποτελεί το κυριότερο κριτήριο επιλογής συστήµατος σε µια εφαρµογή. Τα διαφορετικά είδη συστηµάτων για µηχανολογικές εφαρµογές θα τα αναλύσουµε στησυνέχεια, µε ιδιαίτερη έµφαση στην γεωµετρική µοντελοποίηση. Η σύνθεση του λογισµικού για µια εφαρµογή είναι ένα επίσης δύσκολο καθήκον. Όπως αναφέρθηκε και προηγούµενα µια εγκατάσταση µπορεί να απαιτεί διαφορετικά προγράµµατα λογισµικού και πολλές φορές από διαφορετικούς προµηθευτές. Στην περίπτωση αυτή σηµαντικός παράγοντας είναι και η επικοινωνία µεταξύ των συστηµάτων. εν υφίσταται λύση για µια µόνο εφαρµογή, αλλά κάθε σύστηµα έχειταπροτερήµατα και τα µειονεκτήµατα. Σηµαντικός παράγοντας είναι και η παρεχόµενη υποστήριξη στο σύστηµα από τον προµηθευτή. εν µπορούµε ναδώσουµε ένα ακριβή διαχωρισµό για το λογισµικό για σχεδιοµελέτη µε χρήση Η/Υ. Περιλαµβάνει οποιαδήποτε εφαρµογή που κάνει χρήση γραφικών για σχεδίαση, για παραγωγή ή για ανάλυση εξαρτηµάτων ή συναρµολογήσεων. Τα πρώτα συστήµατα (µε το κλειδί στο χέρι) βασίστηκαν σε ειδικευµένα λειτουργικά συστήµατα, στη συνέχεια η ανάπτυξή τους ήταν σε περιβάλλον UNIX, ιδιαίτερα τα µεγάλα και ολοκληρωµένα συστήµατα. Σήµερα τα περισσότερα συστήµατα βασίζονται στο περιβάλλον του WINDOWS µε όλατα χαρακτηριστικά του, και η ανάπτυξη τους παρουσιάζει τα παρακάτω κοινά χαρακτηριστικά: Βασίζεται στην τεχνολογία των component. Με την τεχνολογία αυτή κύρια συστατικά του λογισµικού παρέχονται άµεσα και ο προµηθευτής επικεντρώνεται στην καλλίτερη ανάπτυξη της εφαρµογής. Τέτοιες τεχνολογίες είναι η παροχή πυρήνα στερεάς µοντελοποίησης (ACIS από Spatial Technology, GRANITE από Parametric Technology, Parasolid από Unigraphics Solutions), Constraints Solver από D-cubed για την παραµετρική σχεδίαση. Αποτέλεσµα αυτού είναι η σύντµηση του χρόνου ανάπτυξης του λογισµικού. Στην ανάπτυξη του λογισµικού χρησιµοποιείται η τεχνολογία του αντικειµενοστραφούς προγραµµατισµού, έχοντας ως αποτέλεσµα τη δηµιουργία ενός µοντέλου του αντικειµένου που καταχωρείται στη βάση δεδοµένων και όχι ενός αρχείου για το µοντέλο, για το µοντέλο των πεπερασµένων στοιχείων για το πρόγραµµα ψηφιακής καθοδήγησης, κλπ. Όλατασυστήµατα σήµερα είναι παραµετρικά και η µοντελοποίηση γίνεται µε βάσητα µορφολογικά χαρακτηριστικά. Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -3-
Όλα παρέχουν υποστήριξη για το διαδίκτυο µε δυνατότητα συνεργασίας για την ανάπτυξη του προϊόντος. Σε µια ορισµένη εγκατάσταση συστήµατος διακρίνουµε τριών ειδών χρήστες. Τους χειριστές του συστήµατος, που εκτελούν τις εργασίες µοντελοποίησης, µελέτης και εφαρµογής, Τους προγραµµατιστές εφαρµογών, που µε βάσητηνπαρεχόµενη δυνατότητα προγραµµατισµού του συστήµατος αναπτύσσουν εφαρµογές για µια ορισµένη απαίτηση της εταιρείας. Πολλοί µεγάλοι χρήστες αναπτύσσουν δικά τους προγράµµατα εφαρµογών τα οποία δεν υφίστανται στον προµηθευτή, και Τους προγραµµατιστές του συστήµατος, που αναπτύσσουν τις δυνατότητες του συστήµατος ή διορθώνουν τυχόν λάθη που υφίστανται στην λειτουργία του (συνήθως εργάζονται στην προµηθεύτρια εταιρεία). Στη συνέχεια θα εξετάσουµε ορισµένες λειτουργίες που είναι κοινές σε κάθε σύστηµα, ενώ η γεωµετρική µοντελοποίηση θα εξετασθεί αναλυτικά στα επόµενα κεφάλαια. 2.2. ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ύο τρόποι λειτουργίας συστήµατος CAD, σχ.2.4, χωρίς τη χρήση κανονισµών γραφικών (έχει εγκαταλειφθεί ως µέθοδος), µε χρήση κανονισµών γραφικών. Σχ.2.4. Ο τρόπος λειτουργίας συστήµατος CAD χωρίς τη χρήση κανονισµών γραφικών ή µε τη χρήση κανονισµών. Στην πρώτη περίπτωση ο οδηγός της συσκευής εξόδου ήταν τµήµα του προγράµµατος εφαρµογής και σε περίπτωση αλλαγής της συσκευής ήταν απαραίτητη και η αλλαγή του κώδικα. Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -4-
Στην δεύτερη περίπτωση τα δύο αυτά τµήµατα είναι ανεξάρτητα. Ο προγραµµατιστής χρησιµοποιεί µια ανωτέρου επιπέδου γλώσσα προγραµµατισµού, και χρησιµοποιεί µια βιβλιοθήκη γραφικών για την παραγωγή των γραφικών τα οποία παρουσιάζονται στην συσκευή εξόδου µέσα από τον οδηγό της συσκευής. Μερικοί από τους κανονισµούς γραφικών είναι: CORE graphics system. Προτάθηκε το 977 από την SIGGRAPH της ACM. εν παρείχε πολλές δυνατότητες. GKS - Graphics Kernel System, αναπτύχθηκε από τον ISO το ίδιο περίπου έτος. Πολύ καλό για γραφικά δύο διαστάσεων και αποτέλεσε το standard. Μετεξελίχθηκε αργότερα σε GKS-3D για γραφικά τριών διαστάσεων. ΡΗΙGS - Programmers Hierarchical Interactive Graphics System. Προτάθηκε επίσης από το ISO, και απετέλεσε τη βάση ανάπτυξης εφαρµογών σε περιβάλλον σταθµών εργασίας. Επεκτάθηκε σε ΡΕΧ PHIGS EXtension για να υποστηρίξει το περιβάλλον των X-Windows. OpenGL (Open Graphics Language). Αναπτύχθηκε από την Silicon Graphics, παρουσιάζει µια ποικιλία οδήγησης σταθµών εργασίας και προσωπικών υπολογιστών, υποστηρίζεται από την Microsoft. Εκτός από τα παραπάνω περιβάλλοντα για ανάπτυξη εφαρµογών κάθε σύστηµα παρέχει και τη δυνατότητα µεταφοράς των δεδοµένων προς άλλα συστήµατα, περιφερειακά, ή µηχανές. Τα πιο διαδεδοµένα είδη µεταφραστών είναι: IGES - Initial Graphics Exchange Program, STEP, DXF, VDA-FS, κα. ιεθνής προσπάθεια υποστήριξης ανταλλαγής δεδοµένων µεταξύ συστηµάτων CAD. Βασικά αποτελούν µια προσπάθεια µετάφρασης των βάσεων δεδοµένων σε µια κοινή ουδέτερη βάση δεδοµένων. VRML (Virtual Reality Modelling Language). Έχει ιδιαίτερη εφαρµογή στην παρουσίαση γραφικών στο διαδίκτυο. STL (Stereolithography) Αρχείογιαταχείαπρωτοτυποποίηση. Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -5-
2.2.2 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Σηµαντικό στοιχείο κάθε συστήµατος σχεδιοµελέτης. Με τους µετασχηµατισµούς επιτυγχάνουµε µια αντιστοιχία του αντικειµένου από µια θέση σε µια άλλη, χωρίς όµως να αλλάζει το σύστηµα συντεταγµένων. Σχετίζονται µε την αλλαγή του συστήµατος συντεταγµένων από το γεγονός ότι οι πίνακες µετασχηµατισµού είναι οι ίδιοι. Στους µετασχηµατισµούς χρησιµοποιούνται εκτεταµένα οι οµογενείς συντεταγµένες των σηµείων. A ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ. Στις γνωστές µας καρτεσιανές συντεταγµένες ένα διάνυσµα περιγράφεται ως εξής P = xi + yj + zk Το ίδιο διάνυσµα σε οµογενείς συντεταγµένες γράφεται ως εξής, σχ.2.5. x' P = y' z' όπου: h x' = hx y' = hy z' = hz h : βάρος σηµείου Σχ.2.5.Οµογενείς συντεταγµένες σηµείου Ρ. Όπωςείναιφανερόηαπεικόνισηαπότονγνωστόχώροτωνκαρτεσιανώνσυντεταγµένων στον χώρο των οµογενών συντεταγµένων είναι µη µονοσήµαντη, εξαιτίας της "τέταρτης" διάστασης των οµογενών συντεταγµένων, δηλ. του συντελεστή κλίµακας h. Αυτό ακριβώς το χαρακτηριστικό είναι που καθιέρωσε τις οµογενείς συντεταγµένες σαν το σύστηµα συντεταγµένων των περισσότερων συστηµάτων CAD. Εφαρµόζοντας τις παραπάνω σχέσεις που εκφράζουν την απεικόνιση των καρτεσιανών συντεταγµένων σε οµογενείς, µπορούν πολύ εύκολα να οριστούν όλες οι πράξεις της Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -6-
αναλυτικής γεωµετρίας, δηλαδή το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόµενο αλλά και η πρόσθεση διανυσµάτων σε οµογενείς συντεταγµένες. Είναι επίσης προφανές ότι όταν ο συντελεστής κλίµακας είναι µονάδα, τότε οι καρτεσιανές και οι οµογενείς συντεταγµένες ενός διανύσµατος συµπίπτουν. B ΠΙΝΑΚAΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Ένα διάνυσµα r x µετασχηµατίζεται σε ένα άλλο διάνυσµα r y µε την βοήθεια ενός πίνακα µετασχηµατισµού Η, ως εξής r y = Hr x Γενικά, ο πίνακας µετασχηµατισµού Η έχει την µορφή Η = Rot Trans όπου Rot ο πίνακας περιστροφής (3X3) και Trans (3X) το διάνυσµα µετατόπισης. Η µορφή αυτών των πινάκων εξηγείται στα παρακάτω. C ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ (TRANSLAΤΕ) Όταν ένα αντικείµενο µετατοπίζεται κατά a, b, c ως προς τις κατευθύνσεις x, y, z αντίστοιχα, τότε οι συντεταγµένες ενός σηµείου του µοντέλου στην νέα του θέση (X w,y w,z w ) ως προς τις αρχικές του (X m,y m,z m ), σχ.2.6, δίνονται από τις σχέσεις X w =X m +a, Y w =Y m +b, Z w =Z m +c, Σε αυτή την περίπτωση, σχ.2.6, ο πίνακας µετασχηµατισµού είναι ο a Trans ( a, b, c) = b c όπου a,b,c οι συντεταγµένες του διανύσµατος µετατόπισης. Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -7-
Σχ.2.6. Μετατόπιση Στερεού. Οι τελικές συντεταγµένες των σηµείων του µοντέλου είναι: X Y Z w w w = a b c X Y Z m m m D ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ (ROTATE) ΓιαπεριστροφήγύρωαπότονάξοναΖκατάγωνίαθ, σχ.2.7, ο πίνακας µετασχηµατισµού είναι ο Rot( z, θ ) = cosθ sin θ sin θ cosθ Σχ.2.7. Περιστροφή σηµείου γύρω από τον άξονα Ζ. Αντίστοιχα υπολογίζεται ο πίνακας περιστροφής γύρω από τον άξονα Χ και Υ κατά γωνία θ και είναι: Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -8-
Rot( x, θ ) = cosθ sin θ sin θ cosθ cosθ sin θ Rot( y, θ ) = sin θ cosθ Όταν ο άξονας περιστροφής είναι ένας τυχαίος άξονας στον χώρο, ο τελικός πίνακας περιστροφής προκύπτει από διαδοχικούς µετασχηµατισµούς. Πιο συγκεκριµένα στην περίπτωση που ο µετασχηµατισµός είναι περιστροφή κατά γωνία δ γύρω από άξονα που διέρχεται από δύο σηµεία µε συντεταγµένες (x,y,z ), (x,y,z ) αντίστοιχα, τότε εκτελούµε πρώτα µεταφορά, έτσι ώστε το αρχικό σηµείο του άξονα να ταυτιστεί µε τηναρχήτου συστήµατος συντεταγµένων και µετά περιστροφές γύρω από τους άξονες Χ, ΥκαιΖώστεο άξονας να συµπέσει µε τονάξοναζ. Εκτελούµε την περιστροφή και στη συνέχεια τους αντίστροφους µετασχηµατισµούςταύτισηςτουάξοναµε τον άξονα συντεταγµένων Ζ, ώστε ο άξονας να επανατοποθετηθεί στην αρχική του θέση. Άρα ο τελικός πίνακας µετασχηµατισµού θα δίνεται από την σχέση E ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΤΟΠΤΡΙΣΜΟΥ (MIRROR) Ο µετασχηµατισµός αυτός προκύπτει άµεσα από τον µετασχηµατισµό περιστροφής. Για παράδειγµα γιακατοπτρισµό ωςπροςτοεπίπεδοχυ(z=), σχ.2.8α, ο πίνακας µετασχηµατισµού είναι: H = Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -9-
Σχ.2.8. Κατοπτρισµός καµπύλης σχετικά µε το σύστηµα συντεταγµένων. F ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ (SCALE) Προκύπτει από την αλλαγή του συντελεστή µεγέθυνσης στο διάνυσµα τωνοµογενών συντεταγµένων κάθε σηµείου, σχ.2.9. Σχ.2.9. Μεγέθυνση καµπύλης σε σχέση µε την αρχή των αξόνων. Στην γενικότερη περίπτωση που κάνουµε µεγέθυνση σε όλους τους άξονες, ο πίνακας µετασχηµατισµού είναι ο: a H = b c Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ --
όπου a,b,c οι συντελεστές κλίµακας σε κάθε άξονα. 2.2.3 ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Ως τρισδιάστατη προβολή ορίζεται η προβολή του αντικειµένου που έχει δηµιουργηθεί στο χώρο, πάνω στην οθόνη του υπολογιστή που είναι δύο διαστάσεων. ιακρίνουµε δύοείδη προβολής, την προοπτική και την παράλληλη. Η προοπτική προβολή είναι αυτή στην οποία το κέντρο προβολής είναι σε ορισµένηαπόστασηαπότοεπίπεδοπροβολής. Παράλληλη προβολή όταν το κέντρο προβολής είναι σε άπειρη απόσταση από το επίπεδο προβολής, σχ.2.. Σχ.2.. Ορισµός προβολής Εάν η κατεύθυνση προβολής είναι κάθετη στο επίπεδο προβολής έχουµε την ορθογραφική προβολή. Υπάρχουν δύο τύποι ορθογραφικών προβολών. Οι κανονικές προβολές όπου το επίπεδο προβολής είναι ένα από τα κύρια επίπεδα του συστήµατος συντεταγµένων µοντέλου και παίρνουµε τιςόψεις(κάτοψη-άνοψη, πλάγια δεξιά πλάγια αριστερή, εµπρός πρόσοψη - πίσω πρόσοψη). Στην αντίθετη περίπτωση έχουµε τιςαξονοµετρικές προβολές και η πιο συνήθης είναι η ισοµετρική. Σε κάθε προβολή έχουµε και ένα σύστηµα συντεταγµένων (Χ v, Υ v ) στην οθόνη και Ζ v, κάθετο στην οθόνη. A ΟΡΘΟΓΡΑΦΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ Για να πάρουµε τιςτρειςκύριεςπροβολές, πρόσοψη, κάτοψη και πλάγια δεξιά όψη, απαιτείται περιστροφή z=, για την πρόσοψη, περιστροφή 9 γύρω από τον Χ v και y=, για την κάτοψη περιστροφή -9 γύρω από τον Υ v και x= για την πλάγια δεξιά όψη. Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ --
Σχ.2.. Σχέση ΣΣ µοντέλου και προβολής. Οι τρεις πίνακες µετασχηµατισµού είναι αντίστοιχα, καιοισυντεταγµένες του µοντέλου στην οθόνη δίνονται από τη σχέση: P v =[T]P Ηισοµεrρική προβολή προέρχεται από την περιστροφή του ΣΣΜ κατά ±45 γύρω από τον Υ v άξονα και κατά ±35.26 γύρω από τον Χ v άξονα. Οι γωνίες αυτές προσδιορίζονται από την απαίτηση να µειώνονταικατάτοίδιοοιπροβολέςτων µοναδιαίων διανυσµάτων. Συνεπώς, οι συντεταγµένες της προβολής προσδιορίζονται από τη σχέση: P v =[T x ][T y ]P Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -2-
B ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ Προέρχεται από την τοποθέτηση του σηµείου παρατήρησης κατά µήκος ενός άξονα, πχ. Ζ, σε απόσταση d από την αρχή των αξόνων, και την προβολή του αντικειµένου στο επίπεδο ΧΥ (=Χ v Υ v ), σχ.2.2. Σχ.2.2. Προοπτική προβολή κατά µήκος του άξονα Ζ. Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -3-
2.2.4 ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ ΜΗ ΟΡΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Όταν προβάλουµε ένα αντικείµενο στην οθόνη, κατανοούµε καλλίτερα το αποτέλεσµα όταν προβάλλουµε µόνο τις ορατές γραµµές του και επιφάνειες. Σεόλατασυστήµατα µοντελοποίησης µε επιφάνειεςή µε στερεά η λειτουργία αυτή είναι αυτόµατη, όπως φαίνεται και στο επόµενο σχ.2.3. (α) (β) (γ) (δ) (ε) Σχ.2.3. Η λειτουργία της αποµάκρυνσης των µη ορατών ακµών. (α) Το αρχικό µοντέλο σε µορφή σύρµατος µε όλεςτις ακµές ορατές, (β) Αλλαγή παρουσίασης του µοντέλου στο Pro/Engineer, τέσσερις δυνατότητες πλέγµα, διακεκοµµένη, απόκρυψη και σκίαση, (γ) οι µη ορατέςακµές παρουσιάζονται µε διακεκοµµένη γραµµή, (δ) πλήρης αποµάκρυνση των µη ορατών ακµών, (ε) το µοντέλο µε σκίαση. Υπάρχουν πολλοί αλγόριθµοι για την αποµάκρυνση των µη ορατώνακµών. Η πιο συνήθης είναι µε την υλοποίηση τµήµατος εξοπλισµού, z-buffer. Ο z-buffer είναι ένα είδος µνήµης παρόµοιο µε τοframe buffer. Στη µνήµηαυτήκαταχωρούµε τησυντεταγµένη z του σηµείου του αντικειµένου που προβάλλεται στο κάθε pixel της οθόνης. Ησυντεταγµένη z αντιπροσωπεύει την απόσταση από το σηµείο όρασης. Στη συνέχεια θα αναφέρουµε ορισµένους από τους αλγόριθµους απόκρυψης µη ορατώνακµών. A ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ ΤΩΝ ΠΙΣΩ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Οαλγόριθµος αυτός (back face removal) χρησιµοποιεί την παρακάτω βασική αρχή. Μια επιφάνεια είναι ορατή όταν το κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια προς τον εξωτερικό της χώρο, είναι προς τη πλευρά του σηµείου παρατήρησης. ιαφορετικά είναι µηορατή. Στο σχ.2.4(α) η επιφάνεια είναι ορατή όταν το διάνυσµα Ν έχει θετικό τµήµα στην κατεύθυνση Μ, που είναι το διάνυσµα απότοσηµείο παρατήρησης στο σηµείο της επιφάνειας. Συνεπώς, Εάν Μ Ν >, η επιφάνεια είναι ορατή Εάν Μ Ν =, ηεπιφάνειαεµφανίζεται ως µια γραµµή Εάν Μ Ν <, η επιφάνεια είναι αόρατη. Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -4-
Σχ.2.4. (α) Η αρχή λειτουργίας του αλγόριθµου αποµάκρυνσης των πίσω επιφανειών. (β) Ένα κοίλο αντικείµενο για το οποίο ο αλγόριθµος δεν είναι κατάλληλος. (γ) Αντικείµενο για το οποίο το κάθετο διάνυσµαπροςταέξωδενπροσδιορίζεται µοναδιαία. Οαλγόριθµος λειτουργεί άριστα για επίπεδες επιφάνειες. Έχει όµως και σηµαντικούς περιορισµούς, όπως: εν είναι όµως κατάλληλος για κοίλα αντικείµενα που είναι κοίλα, σχ.2.5(β). Στα αντικείµενα αυτά µια επιφάνεια που µε τις παραπάνω συνθήκες είναι ορατή µπορεί να επικαλύπτεται από µια άλλη επιφάνεια του αντικειµένου. εν λειτουργεί για περισσότερα του ενός αντικείµενα, ή και για αντικείµενα του σχ.2.4(γ), όπου ο κάθετο διάνυσµα προςταέξωδεν µπορεί να προσδιοριστεί µοναδιαία. Σε αντικείµενα που έχουν καµπύλες επιφάνειες το κάθετο διάνυσµα αλλάζει σε κάθε σηµείο και άρα και το εσωτερικό γινόµενο των δύο διανυσµάτων. Συνεπώς, τµήµα της επιφάνειας µπορεί να είναι ορατό και άλλο µπορεί να είναι κρυµµένο. Τα σηµεία στα οποία το εσωτερικό γινόµενοτωνδύοδιανυσµάτων είναι µηδέν ορίζουν την σιλουέτα του αντικειµένου. Συνεπώς, στον αλγόριθµο γίνεται πρώτα ο υπολογισµός της σιλουέτας του αντικειµένου και στη συνέχεια, ηεπιφάνειαχωρίζεταικατά µήκος της, και τα δύο τµήµατα αναγνωρίζονται ως ορατά ή κρυµµένα. Ο υπολογισµός της σιλουέτας του αντικειµένου δεν είναι όµως εύκολος. Μετά από την κατάταξη των επιφανειών σε ορατές και κρυµµένες σχεδιάζονται οι ακµές των ορατών επιφανειών για να έχουµε τηναποµάκρυνση των µηορατώνακµών. Στις εικόνες, έγχρωµες ή µε σκίαση, χρωµατίζουµε µόνο τις ορατές επιφάνειες. B ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ ΒΑΘΟΥΣ Στον αλγόριθµο (depth sorting or Painter s) αυτό όλες οι επιφάνειες κατατάσσονται ανάλογα µε την απόστασή τους από το σηµείο παρατήρησης, συντεταγµένη Z v. Οι επιφάνειες αυτές χρωµατίζονται µε διαφορετικόχρώµα ηκάθεµίααπότηνπιοαποµακρυσµένη µέχρι την πλησιέστερη. Με την ίδια σειρά προβάλλονται και στην οθόνη µε αποτέλεσµα να Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -5-
προβάλλονται τελικά µόνο τα τµήµατα αυτά της επιφάνειας που είναι πλησιέστερα στο σηµείο παρατήρησης (ορατά τµήµατα). Η απόσταση από το σηµείο παρατήρησης µετρείται από την συντεταγµένη z του κάθε σηµείου στην επιφάνεια ως προς το σύστηµα συντεταγµένων της οθόνης. Συνεπώς, όσο µεγαλύτερη η τιµή z τόσο πλησιέστερο είναι το σηµείο στο σηµείο παρατήρησης. Συνεπώς, απαιτείται µόνο να κατατάξουµε τις επιφάνειες ως προς την συντεταγµένη z. Οαλγόριθµος είναι αποδοτικός για επιφάνειες στις οποίες η µεγαλύτερη τιµή τουz στη µία είναι µικρότερη από τη µικρότερη τιµή τουz σε µια άλλη, υπόθεση που σπάνια εκπληρώνεται. ιαφορετικά κάθε επιφάνεια χωρίζεται σε µικρότερα τµήµατα (δύο ή περισσότερα), όπουγιατοκάθεέναισχύειηπαραπάνωσχέση. Μια άλλη µέθοδος είναι ο χωρισµός της επιφάνειας σε µικρού µεγέθους τριγωνικές επιφάνειες, (τριγωνοποίηση triangulation) οι οποίες εκπληρώνουν την παραπάνω σχέση. Στη συνέχεια στα τρίγωνα αυτά αποδίδεται το αντίστοιχο χρώµα, ανάλογα µε την απόσταση του από το σηµείο παρατήρησης. C ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ ΚΡΥΦΩΝ ΑΚΜΩΝ Οαλγόριθµος αυτός (hidden line removal), εφαρµόζεται στην απόκρυψη ακµών µόνο. Κάθε ακµή του στερεού ελέγχεται για να προσδιοριστεί το τµήµα του που επικαλύπτεται από µια έδρα και δεν είναι ορατό. Οαλγόριθµος ελέγχει κάθε ακµή και κάθε επιφάνεια σε ζεύγη. Η υλοποίηση του εξηγείται στα επόµενα στάδια.. Κατάταξη εδρών. Με βάση τον αλγόριθµο αποµάκρυνσης των πίσω ακµών, χωρίζονται οι επιφάνειες µε κάθετο διάνυσµα προςτοσηµείο παρατήρησης και κρατούνται σε ένα Πίνακα-Εδρών. Οι άλλες δεν χρειάζονται. Για κάθε επιφάνεια καταχωρείται η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή Z v. Οι καµπύλες επιφάνειες χωρίζονται κατά µήκος της σιλουέτας των και τα κατάλληλα τµήµατα καταχωρούνται στον Πίνακα-Εδρών. 2. Οι ακµές που περιβάλλουν τις έδρες στον Πίνακα-Εδρών καταχωρούνται σε µια άλλη λίστα. Κάθε ακµή στη λίστα ελέγχεται κατά σειρά εάν εµποδίζονται από µια έδρα στον Πίνακα-Εδρών. 3. Οέλεγχοςτουεάν µια ακµή ίσωςεµποδίζεται από µια επιφάνεια γίνεται µε σύγκριση των τιµών Z v για τις ακµές και τις έδρες. Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις, σχ.2.5, (α) µια ακµή ναείναιχαµηλότερα (πίσω) από µια έδρα, (β) να είναι πιο ψηλά (εµπρός) από µια έδρα και (γ) να διασχίζει την έδρα. Στην δεύτερη περίπτωση εξετάζουµε την επόµενη έδρα. Στην (α) και (γ) εκτελείται το 4 ο βήµα. 4. Προβάλλεταιηέδρακαιηακµή και εξετάζεται εάν οι προβολές τους επικαλύπτονται. Εάν δεν υπάρχει καµία επικάλυψη τότε η έδρα δεν εµποδίζει την προβολή της ακµής Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -6-
και εξετάζεται η επόµενη έδρα (βήµα 3). Εάν υπάρχει επικάλυψη, σχ2.5(δ), τότε η ακµή χωρίζεταιστασηµεία τοµής. Το τµήµα που περιέχεται στην έδρα απορρίπτεται και τα ορατά τµήµατα προσθέτονται στην λίστα των ακµώνκαιτοαρχικόαπότο οποίο προέρχονται διαγράφεται. Το βήµα 3 επαναλαµβάνεται για αυτά τα νέα τµήµατα. 5. Οι ακµές που περνάνε από τη δοκιµή τηςκατάταξης µε όλες τις έδρες του Πίνακα- Εδρών δηµιουργούν τη λίστα των ορατών ακµών. (δ) Σχ.2.5. Οαλγόριθµος αποµάκρυνσης των µη ορατώνακµών. (α, β, γ) Κατάταξη ακµής ως προς έδρα. (δ) ιαίρεση ακµής σε ορατά και µη ορατάτµήµατα. D Η ΜΕΘΟ ΟΣ Z-BUFFER Η µέθοδος αυτή βασίζεται στην ίδια αρχή λειτουργίας µε τη µέθοδο κατάταξης βάθους. Κάθε ιχνοστοιχείο της οθόνης καταλαµβάνεται από το στοιχείο που είναι πιο κοντά στο σηµείο παρατήρησης. Η µέθοδος υλοποιείται µε τηχρήσηµνήµης z-buffer, στην οποία για κάθε ιχνοστοιχείο της οθόνης καταχωρείται η συντεταγµένη Z v του στοιχείου που είναι πιο κοντά στο σηµείο παρατήρησης. Σε πρώτο στάδιο χωρίζονται οι έδρες µε τηµέθοδο της πίσω επιφάνειας σε πιθανές ορατές και µη ορατές. Οι πρώτες καταγράφονται και προβάλλονται στην οθόνη σε τυχαία σειρά. Όλες οι θέσεις µνήµης z-buffer παίρνουν µια αρχική τιµή ίση µε τηνπιοαποµακρυσµένη επιφάνεια. Προβάλλεται η πρώτη επιφάνεια. Τα ιχνοστοιχεία που καταλαµβάνει χρωµατίζονται µε τις ιδιότητες της και παίρνουν την τιµή Z v ίση µε της επιφάνειας. Προβάλλεται η δεύτερη επιφάνεια. Εάν δεν υπάρχει επικάλυψη στην προβολή της πρώτης µε τηδεύτερη, τότε τα αντίστοιχα ιχνοστοιχεία που καταλαµβάνει παίρνουν τις τιµές της επιφάνειας. Εάν υπάρχει επικάλυψη τότε συγκρίνονται για τα ιχνοστοιχεία που επικαλύπτονται οι τιµές Z v και στη µνήµη καταχωρείται η µεγαλύτερη από τις δύο τιµές Z v που αντιστοιχούν στις δύο επιφάνειες. Προβάλλοντας όλες τις επιφάνειες, τότε όλα τα Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -7-
ιχνοστοιχεία θα έχουν ως τελικές τιµές Z v τις τιµές που είναι πλησιέστερες προς το σηµείο παρατήρησης, σχ.2.6. Σχ.2.6. Η αρχή λειτουργίας της µεθόδου z-buffer. Οαλγόριθµος µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για τη σχεδίαση των ορατών ακµών µόνο. Πρώτα προβάλλονται οι επιφάνειες όπως παραπάνω και για κάθε ιχνοστοιχείο έχουµε τη διάσταση Z v που είναι πιο κοντά στο σηµείο παρατήρησης. Στη συνέχεια, οι ακµές που είναι τα όρια των εδρών προβάλλονται στην οθόνη. Οι τιµές Z v των ιχνοστοιχείων στα οποία προβάλλονται οι ακµές συγκρίνονται µε τιςκαταχωρηµένες σε αυτά τιµές Z v. Ενηµερώνονται µόνο οι τιµές που είναι µικρότερεςαπότιςνέεςτιµές προβολής. Με τον τρόπο αυτό τα τµήµατα των ακµών που εµποδίζονται από τις επιφάνειες δεν θα εµφανιστούν. Η διαδικασία αυτή µας δίνει τη σωστό σχέδιο ακµών χωρίς τις µη ορατέςακµές. Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -8-
2.2.5 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑΣΗ Με την απόκρυψη των µη ορατών ο χρήστης κατανοεί συνήθως το αντικείµενο. Για πολλές εφαρµογές όµως είναι απαραίτητος και ο χρωµατισµός του και η απεικόνισή του σε πραγµατικές συνθήκες. Ηπροσοµοίωση µιας πραγµατικής σκηνής απαιτεί και την προσέγγιση της επίδρασης του φωτός στις επιφάνειες του αντικειµένου. Ηδιαδικασίααυτή καλείται χρωµατισµός (rendering). Οι περισσότερες λειτουργίες χρωµατισµού παρέχονται από αντίστοιχες βιβλιοθήκες γραφικών και χρωµατισµού και απαιτείται µόνο να δωθεί το µοντέλο προσεγγισµένο µε επίπεδες επιφάνειες (faceted model), οι συνθήκες φωτισµού, και τα υλικά των επιφανειών, γιαναέχουµετοαποτέλεσµα. Η ακριβής λειτουργία των αλγορίθµων φωτισµού και σκίασης δεν θα γίνει αλλά θα δωθούν µόνο δύο αλγόριθµοι για να γίνει κατανοητή η ορολογία των αντίστοιχων πακέτων και να γνωρίζουµε τον τρόπο ορισµού τους. A ΣΚΙΑΣΗ Μοιάζει µετοναλγόριθµοαποµάκρυνσης µηορατώνεπιφανειών, αλλά κάθε ιχνοστοιχείο δεν χρωµατίζεται µε έναµόνο χρώµα που αντιστοιχεί στη διάσταση Z v, αλλά µε τοχρώµα και την ένταση του ανακλώµενου φωτός στο σηµείο της επιφάνειας που αντιστοιχεί στο ιχνοστοιχείο. Συνεπώς, πρέπει να προσδιοριστεί η ένταση και το χρώµα του ανακλώµενου φωτόςσεκάθεσηµείο της επιφάνειας. Κάθε σηµείο της επιφάνειας φωτίζεται από άµεσο φως (direct light) που προέρχεται από την πηγή του φωτός και από περιβάλλον φως (ambient light) που έρχεται από την ανάκλαση του φωτός σε άλλες επιφάνειες. Συνεπώς, η αντανάκλαση του φωτός (reflected light) σε ένα σηµείο της επιφάνειας προέρχεται από την συµβολή των δύο πηγών φωτός, σχ.2.7(α). Η ένταση του ανακλώµενου φωτός, R a, που οφείλεται στο περιβάλλον φως προσεγγίζεται από τη σχέση R a =K d I a, όπου I a, είναι η ένταση του περιβάλλοντος φωτός (που θεωρείται σταθερή) και K d οσυντελεστής ανάκλασης της επιφάνειας, που είναι σχεδόν για λευκές και σχεδόν για µαύρες. Το άµεσο φως προσεγγίζεται από σηµειακές πηγές φωτός (και µεγαλύτερες πηγές προσεγγίζονται από σειρά σηµείων). Η ανάκλαση από µια σηµειακήπηγήφωτός προσεγγίζεται ως ο συνδυασµός δύο ακραίων τύπων ανάκλασης, ανάκλαση διάχυσης (diffuse reflection) και κατοπτρική ανάκλαση (specular reflection), σχ.2.7(β). Ανάκλαση διάχυσης έχουµε όταν το φως εισχωρεί στην επιφάνεια, και η επιφάνεια όταν απορροφήσει όλο το φως το εκπέµπειπροςόλεςτιςδιευθύνσεις. Η έντασή της είναι ανεξάρτητη από το σηµείο παρατήρησης, όπως και µε τον περιβάλλοντα φωτισµό. Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -9-
Σχ.2.7. (α) ηµιουργία του ανακλώµενου φωτός από το άµεσο και το περιβάλλον φως, (β) ανάκλαση διάχυσης και ανάκλαση κατοπτρισµού. Κατοπτρική ανάκλαση είναι η άµεση απόκλιση του φωτός σε µια επιφάνεια. Συµβαίνει κύρια σε λαµπερέςεπιφάνειεςόπωςείναιοικαθρέπτες. Η έντασή της εξαρτάται από το σηµείο παρατήρησης. Η ένταση του ανακλώµενου φωτός προκύπτει από το άθροισµα των δύο παραπάνω τύπων ανάκλασης. Η ανάκλασης διάχυσης εξαρτάται από την γωνία πρόσπτωσης, σχ.2.8(α), που ορίζεται από τη γωνία που σχηµατίζει η ακτίνα του φωτός µε τοκάθετοστηνεπιφάνεια διάνυσµα. Για τον υπολογισµό της χρησιµοποιείται ο νόµος του Lambert. Σχ.2.8. Ορισµόςτηςγωνίαςπρόσπτωσηςακτίνας φωτός σε επιφάνεια. Η ένταση του φωτός (I p ) που προσπίπτει είναι αντίστροφα ανάλογη προς το τετράγωνο της απόστασης από την πηγή µέχρι το σηµείο, (D ), και ανάλογη της έντασης της πηγής, (Ε p ). 2 I p =E p /D Εάνόλεςοιπηγέςφωτόςείναισεµακρινή απόσταση από το σηµείο, τότε το D µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ίδιο για όλα τα σηµεία, και ο νόµος του Lambert µας δίνει την ένταση του ανακλώµενου φωτός, (R d ) να υπολογίζεται ως: R d =K d E p (N L) Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -2-
Όπου K d είναι η αντανακλαστικότητα της επιφάνειας, Ν το κάθετο διάνυσµα στηνεπιφάνεια και L το διάνυσµα της ακτίνας φωτός. Προφανώς το εσωτερικό γινόµενο των δύο διανυσµάτων µας δίνει το συνηµίτονο της γωνίας τους. Για να αποφευχθούν προβλήµατα µε παράλληλες επιφάνειες που επικαλύπτονται, και να φαίνεται η πλησιέστερη προς το φως πιο φωτεινή, χρησιµοποιείται η σχέση R d K d = D + D ( N L) όπου D είναι η απόσταση µεταξύ του σηµείου της επιφάνειας και του σηµείου παρατήρησης και D o µια σταθερά. Ο υπολογισµός της κατοπτρική ανάκλασης έχει γίνει µε πολλά µοντέλα. Ένα από αυτά είναι και το µοντέλο Phong. Βασική αρχή αυτού του µοντέλου, σχ.2.9, είναι ότι το ανακλώµενο φως συγκεντρώνεται γύρω από ένα κώνο του οποίου ο άξονας, R, είναι συµµετρικός της ακτίνας φωτός, L, ως προς το κάθετο προς την επιφάνεια διάνυσµα, N. Η ένταση του φωτός που γίνεται αντιληπτή από το χρήστη µειώνεται όσο µεγαλώνει η γωνία φ, µεταξύ του διανύσµατος παρατήρησης, V, µε το διάνυσµα R. Σχ.2.9. Ορισµός των διανυσµάτων που χρησιµοποιούνται στο µοντέλο Phong. Ο τύπος της έντασης κατά Phong είναι: E p R d = K s ( V R) D + D n όπου, E p,dκαι D, έχουν την ίδια έννοια όπως στον νόµο Lambert, ησταθεράk s έχει αντίστοιχη έννοια µε τηνσταθεράκ d και καλείται κατοπτρική αντανακλαστικότητα. Το εσωτερικό γινόµενο της παρένθεσης είναι το συνηµίτονο της γωνίας φ και η εξίσωση αυτή δείχνει ότι η ένταση είναι ανάλογη µε (cosφ) n. Για µεταλλικές λαµπρές επιφάνειες n=5 και για θαµπές επιφάνειες από χαρτί ή ύφασµα, n=. Συνεπώς, η συνολική ένταση του ανακλώµενου φωτός είναι: n [ K ( N L) + K ( V R ] E p I = K d I a + d s ) D + D Γιαναυπολογισθείτοχρώµα του ανακλώµενου φωτός πρέπει να υπολογίσουµε την παραπάνω σχέση χωριστά για κάθε χρώµα, δηλ. το πράσινο, το κόκκινο και το µπλε. Συνεπώς, η σύνθεση του ανακλώµενου φωτός εξαρτάται από τα στοιχεία (I r,i g και I b ) για τα Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -2-
τρία χρώµατα. Η πηγή φωτός I a αναλύεται σε I ar,i ag και I ab, για το περιβάλλον φως, και Ε pr, E pg και E pb για το άµεσο φως. Η αντανακλαστικότητα της επιφάνειας K d, εξαρτάται από το χρώµα ενώ η K s δεν εξαρτάται. Συνεπώς, παίρνουµε τρεις ξεχωριστές εξισώσεις, µια για κάθε χρώµα και αυτές συνθέτουµε γιαναβρούµετοτελικόχρώµα. Οι παραπάνω υπολογισµοί άµα γίνουν για όλα τα σηµεία µιας επιφάνειας είναι µια εξαιρετικά χρονοβόρα διαδικασία. Συνήθως, η επιφάνεια προσεγγίζεται από τρίγωνα (facets), υποτίθεται ότι τα αντίστοιχα διανύσµατα και γωνίες είναι σταθερές και ο υπολογισµός γίνεται µια φορά για κάθε ένα τρίγωνο. Η µέθοδος αυτή όµως µας δίνει απότοµες αλλαγές στα όρια µεταξύ των τριγώνων. Στο µοντέλο Phong υπολογίζουµε το κάθετο διάνυσµα στιςκορυφές του τριγώνου. Το κάθετο διάνυσµαστηνκορυφήείναιο µέσος όρος των κάθετων διανυσµάτων σε όλα τα τρίγωνα που συντρέχουν σε αυτή την κορυφή. Στη συνέχεια το κάθετο διάνυσµα στο τρίγωνο υπολογίζεται από παρεµβολή των κάθετων διανυσµάτων στις κορυφές. Σε ένα άλλο µοντέλο, µέθοδος σκίασης Gouraud, υπολογίζεται η ένταση του ανακλώµενου φωτός σε ένα ιχνοστοιχείο της προβολής του τριγώνου µε παρεµβολή στις τιµές της έντασης στις κορυφές του τριγώνου. B RAY TRACING Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται σε πιο πολύπλοκες σκηνές, όπου έχουµε πολλαπλά αντικείµενα, µερικά από τα οποία είναι διαφανή και άλλα αδιαφανή. Η αρχή λειτουργίας είναι η ακόλουθη. Από την πηγή φωτός εκπέµπονται ακτίνες και παρακολουθείται η πορεία της κάθε µιας. Η έντασή της και η διεύθυνσή της ενηµερώνονται συνεχώς, ανάλογα µε τα αντικείµενα που συναντούν και τις ιδιότητες που έχουν αυτά. Στο τέλος, κάθε ιχνοστοιχείο της οθόνης ενηµερώνεται ανάλογα µε τις ιδιότητες της ακτίνας όταν αυτή φθάνει στην οθόνη. Επειδή µε την αρχή αυτή πρέπει να εξετάσουµε άπειρες πορείες, ακολουθείται η αντίστροφη οδός, σχ.2.2. Ακτίνες εκπέµπονται από το κέντρο προβολής σε κάθε ιχνοστοιχείο της οθόνης και καταγράφεται η πορεία της. Σχ.2.2. Οαλγόριθµος ray tracing. Μια ακτίνα µπορεί: Σύνθεση Συστήµατος Σχεδιοµελέτης και Παραγωγής µε Χρήση Η/Υ -22-