Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.



Σχετικά έγγραφα
ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III):

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

Μάθηµα 14. Κεφάλαιο: Στατιστική

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17


ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

Περιγραφική Στατιστική

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

f , Σύνολο 40 4) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα f , , Σύνολο 5) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων

Στατιστική. 2. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραµµα των. x i. ν i Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνεται η.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x x x 4

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ x 2. 6x x. 1B. Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΑΪΟΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΠΑΛ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005

( ) 2. χρόνος σε min. 2. xa x. x x v

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Στατιστική. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) h h h. lim lim lim f (x) g (x). h h h

Μονάδες 10. x. (μονάδες 2) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Απάντηση από το Σχολικό βιβλίο σελίδα 28

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

F x h F x f x h f x g x h g x h h h. lim lim lim f x

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β )

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

(t) x (t) t t. t 2 ή t S x( 2) x( 0) S x( 3) x( 2) 10 m

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2004

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. 40. Ακόμα είναι. και F1 f και ακόμα Τέλος έχουμε F3 f1 f2 f3 F2 f. N i

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑ Β

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 23 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x x x 4

4.4 ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΘΕΜΑ 1 Ο ( ) ( )( ( )) ΘΕΜΑ 2 Ο ΘΕΜΑ 3 Ο. ισχύει : ( ) ( ) ( ) ( ) P A B = P A + P B P A B. P A P A P B P B

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

(f (x) g(x)) = f (x) g(x)+f (x) g (x) (μονάδες 2)

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Α. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΙΑΜΕΣΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

Transcript:

Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6 7 6 67 66 7 76 74 73 7 7 63 7 7 4 7 6 73 6 6 Οµαδοποίηση των παρατηρήσεων Το εύρος των παρατηρήσεων είναι: -3 = 3. Σύµφωνα µε τον πίνακα της θεωρίας, οι 4 παρατηρήσεις πρέπει να χωρισθούν σε 6 κλάσεις. Αν θέλουµε να οµαδοποιήσουµε σε κλάσεις, για να βρούµε το πλάτος κάνουµε τη διαίρεση 3 : 4,33 και στρογγυλοποιώντας προς τα πάνω θεωρούµε ως πλάτος κάθε κλάσης το. Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων Κλάσεις κέντρο κλάσης χ Συχν. ν Σχετ. Συχν. f Σχετ. συχν. f % Αθρ. Συχν. Ν Σχετ. αθρ. Συχν. F Σχετ. αθρ. συχν. F % [,),,, [,6) 7, 3,7 7,,, [6,6) 6, 4,,, [6,7) 67,,, 4,3 3 [7,7) 7,,, 3,7 7, [7,) 77,, 3,77 77, [,),,, 36, [, ) 7,, 3, [,),, 4 Σύνολο - 4 - - - Ιστογράµµατα Πολύγωνα Ιστόγραµµα συχνοτήτων (σχετικών συχνοτήτων) Αποτελείται από διαδοχικά ορθογώνια ίσου πλάτους (το οποίο θεωρούµε ως µονάδα µέτρησης), των οποίων το ύψος είναι ίσο µε τη συχνότητα (ή τη σχετική συχνότητα). Ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων Επιµέλεια: Πρωτοπαπάς Ελευθέριος

Ιστόγραµµα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων Αποτελείται από διαδοχικά ορθογώνια ίσου πλάτους (το οποίο θεωρούµε ως µονάδα µέτρησης), των οποίων το ύψος είναι ίσο µε τη αθροιστική συχνότητα (ή τη σχετική αθροιστική συχνότητα). Πολύγωνο συχνοτήτων (σχετικών συχνοτήτων) Καταρχήν θεωρούµε δύο επιπλέον κλάσεις ίσου πλάτους µε τις υπόλοιπες, µία στην αρχή και µία στο τέλος, µε συχνότητα (άρα και σχετική συχνότητα ). Τότε το πολύγωνο συχνοτήτων (ή σχετικών συχνοτήτων) είναι µία τεθλασµένη γραµµή, η οποία προκύπτει αν συνδέσουµε τα σηµεία µε τετµηµένη την κεντρική τιµή κάθε κλάσης και αντίστοιχη τεταγµένη ίση µε τη συχνότητα (ή τη σχετική συχνότητα) της αντίστοιχης κλάσης. Πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων Πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων Καταρχήν θεωρούµε, στην αρχή, µία επιπλέον κλάση ίσου πλάτους µε τις υπόλοιπες µε συχνότητα, άρα και αντίστοιχη σχετική συχνότητα µηδέν. Τότε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων (ή σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων) είναι µία τεθλασµένη γραµµή, η οποία προκύπτει αν συνδέσουµε τα σηµεία µε τετµηµένη το δεξί άκρο της κλάσης και αντίστοιχη τεταγµένη ίση µε την αθροιστική συχνότητα (ή τη σχετική αθροιστική συχνότητα) της αντίστοιχης κλάσης. 7 6 4 3 v Με βάση τα παραπάνω κατασκευάζουµε τα ακόλουθα ιστογράµµατα και πολύγωνα για την δοσµένη κατανοµή: Ιστόγραµµα συχνοτήτων 7 6 4 3 v Πολύγωνο συχνοτήτων Πολύγωνο συχνοτήτων 4 6 6 7 7 4 6 6 7 7 Επιµέλεια: Πρωτοπαπάς Ελευθέριος

f(%) Ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων f(%) Πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων 3 3 Πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων 3 3 4 6 6 7 7 4 6 6 7 7 N Ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων N Πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων 4 3 36 3 4 3 36 3 3 3 4 4 Πολύγωνο Αθροιστικών συχνοτήτων 4 6 6 7 7 4 6 6 7 7 F(%) Ιστόγραµµα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων F(%) Πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων 7 7 3 3 3 3 Πολύγωνο σχετικών Αθροιστικών συχνοτήτων 3 3 4 6 6 7 7 4 6 6 7 7 Επιµέλεια: Πρωτοπαπάς Ελευθέριος 3

Μέση τιµή Για να βρούµε τη µέση τιµή, φτιάχνουµε τον πίνακα: κλάσεις κεντρική τιµή x συχνότητα ν x.ν [,), 3 [,6) 7, 3 47, [6,6) 6, 4 6 [6,7) 67, 37, [7,7) 7,, [7,) 77, 4 [,),, [, ) 7, 37 [,), 3 ΣΥΝΟΛΟ - 4 6 6 =. 4 Εποµένως η µέση τιµή είναι: x = 7, 7 ιάµεσος Κατασκευάζουµε, καταρχήν, το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων της οµαδοποιηµένης κατανοµής. Στην συνέχεια αναζητούµε το σηµείο του πολυγώνου που θα έχει τεταγµένη, οπότε η τετµηµένη θα είναι η διάµεσος (δ), δηλαδή, (δ,). Αυτό επιτυγχάνεται κυρίως µε δύο τρόπους: µε εξίσωση ευθείας και µε όµοια τρίγωνα. ος τρόπος Με εξίσωση ευθείας F(%) Πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων 7 3 Α Β 3 3 4 6 6 7 7 δ Επιµέλεια: Πρωτοπαπάς Ελευθέριος 4

Θεωρούµε τα σηµεία Α(7,3) και Β(7,). Η ευθεία ΑΒ θα έχει εξίσωση της µορφής ψ=αχ+β, όπου αναζητούµε τα α και β. Α ΑΒ, άρα 3=7α+β (Ι) Β ΑΒ, άρα =7α+β (ΙΙ) Από (ΙΙ)-(Ι) παίρνουµε ότι: 3=α α=4,6 και από την (Ι) παίρνουµε 3=7 4,6+β β=-747, οπότε η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση ψ=4,6χ-747. Τότε για ψ= έχουµε χ=δ, άρα =4,6 δ-747 δ=73,6. ος τρόπος Με όµοια τρίγωνα Επικρατούσα τιµή Κατασκευάζουµε, καταρχήν, το ιστόγραµµα των συχνοτήτων της οµαδοποιηµένης κατανοµής. Για να βρούµε την επικρατούσα τιµή, έχουµε και πάλι δύο βασικούς τρόπους: την εξίσωση ευθείας και τα όµοια τρίγωνα. ος τρόπος Με εξίσωση ευθείας 7 6 v Ιστόγραµµα συχνοτήτων Α Β Ε Γ 4 3 7 Μ 4 6 6 7 Θεωρούµε τα σηµεία Α(7,), Β(7,), Γ(7,) και (7,). Οι ευθείες ΑΓ και Β τέµνονται στο Ε, το οποίο θα έχει τετµηµένη Μ. Αναζητούµε τις εξισώσεις των ευθειών ΑΓ, Β όπου λύνοντας το σύστηµά τους θα βρούµε τις συντεταγµένες του Ε, άρα και την επικρατούσα τιµή. Γνωρίζουµε ότι κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής ψ=αχ+β, όπου αναζητούµε τα α και β. Α ΑΓ, άρα =7α+β (Ι) Γ ΑΓ, άρα =7α+β (ΙΙ) Από το σύστηµα των (Ι) και (ΙΙ) παίρνουµε ότι: α= -, και β=43, άρα Επιµέλεια: Πρωτοπαπάς Ελευθέριος

ΑΓ: ψ=-,χ+43. Επίσης: Β Β, άρα =7α+β (III) και Β, άρα =7α+β (IV) Λύνοντας το σύστηµα των (III), (IV) βρίσκουµε ότι α=, και β=-3, άρα Β : ψ=,χ-3. Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών ΑΓ και Β βρίσκουµε τις συντεταγµένες του Ε, Οπότε Ε(74,.), άρα η επικρατούσα τιµή είναι Μ =74. ος τρόπος Με όµοια τρίγωνα v Ιστόγραµµα συχνοτήτων 7 6 Ζ Α Β Ε Η Γ 4 3 7 Μ 4 6 6 7 Εύρος Τα δεδοµένα πριν οµαδοποιηθούν, έχουν εύρος: -3 = 3. Τα δεδοµένα όταν οµαδοποιηθούν, έχουν εύρος: - = 4. ιασπορά Τυπική απόκλιση s Για να βρούµε τη διασπορά µε τη βοήθεια του τύπου k x v k = = x v v = v, φτιάχνουµε τον πίνακα: Επιµέλεια: Πρωτοπαπάς Ελευθέριος 6

κέντρο κλάσεις κλάσης συχνότητα x x.v v x ν [,), 36, 3 46, [,6) 7, 3 46, 47, 744,7 [6,6) 6, 4 646, 6 6 [6,7) 67, 6, 37, 4,3 [7,7) 7, 76,, 676,3 [7,) 77, 36, 4 [,), 3336,, 663,3 [, ) 7, 36, 37 73, [,), 376, 3 74, ΣΥΝΟΛΟ - 4-6 76 Με τη βοήθεια των τύπων έχουµε ότι: Η διασπορά είναι: s = 4 = x v = x v 6 = 76 4 4 4 s =,67,. Και η τυπική απόκλιση: 34 =,67 Επίσης θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε τον ακόλουθο πίνακα: Κλάσεις Μεταβλητή Συχνότητα χ v χ χ χ χ χ [,), -, 4,6,3 [,6) 7, 3 -, 3,6 67,6 [6,6) 6, 4 -,,6 4, [6,7) 67, -, 7,6 37, [7,7) 7, -,,6,6 [7,) 77, 4,7,6, [,),,7,6 47,3 [, ) 7, 4,7 7,6 43,3 [,),,7 3,6 7,3 χ ν ΣΥΝΟΛΟ 4 - - 3.47,. Επιµέλεια: Πρωτοπαπάς Ελευθέριος 7

Με τη βοήθεια των τύπων έχουµε ότι: Η διασπορά είναι: s = x 4 = x v = 4 3.47, =,67 Και η τυπική απόκλιση: s,67, 34 =. Συντελεστής µεταβολής Οµοιογενές δείγµα Ο συντελεστής µεταβολής των παρατηρήσεων είναι: s,34 CV = =,7 =,7%. 7,7 x Αφού CV<%, το δείγµα είναι οµοιογενές. Με τη βοήθεια των παραπάνω, λύστε µόνοι σας: Άσκηση η Τα βάρη µαθητών σε κιλά µιας τάξης Λυκείου είναι:, 76,, 6, 7, 7, 6, 3, 6, 6, 7, 63, 6, 66,, 7, 7, 7, 7, 6, 4, 63, 6, 6, 7,, 6, 66, 7,, 7, 6, 64, 7, 63, 6, 6, 7,, 4, 6, 63, 7,, 4, 6, 6, 7,,. α) Να οµαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε κλάσεις ίσου πλάτους. β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. γ) Να κατασκευαστούν τα ιστογράµµατα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων και τα αντίστοιχα πολύγωνά τους. δ) Να βρεθεί το εύρος των παρατηρήσεων και το εύρος της κατανοµής. ε) Να υπολογιστεί η µέση τιµή x του δείγµατος. στ) Να υπολογιστεί η διασπορά και η τυπική απόκλιση του δείγµατος. ζ) Να προσδιοριστούν η διάµεσος και η επικρατούσα τιµή. η) Να υπολογιστεί ο συντελεστής µεταβολής και να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές.. Επιµέλεια: Πρωτοπαπάς Ελευθέριος