ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα αυτά είχαν προηγουµένως αναφερθεί στο κεφ. 8, όταν οι υπολογιζόµενες θέσεις των πόλων στα IIR φίλτρα ήταν διαφορετικές από τις επιθυµητές, διαφορές οι οποίες οφείλονταν στην στρογγυλοποίηση των υπολογισµών. Αυτά τα αποτελέσµατα είναι επίσης σηµαντικά όταν υλοποιούµε ένα φίλτρο µε έναν υπολογιστή ή µε ένα ψηφιακό σύστηµα, το οποίο παριστάνει τους αριθµούς ως µια πεπερασµένη σειρά από δυαδικές τιµές. Σ αυτή την περίπτωση, η ακολουθία εισόδου και οι αριθµητικοί συντελεστές πρέπει να παριστάνονται µε ένα αριθµητικό σύστηµα πεπερασµένης ακρίβειας, όπως επίσης και τα αποτελέσµατα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού Ξεκινάµε ορίζοντας τους δύο πιο συνηθισµένους τρόπους παράστασης αριθµών στον υπολογιστή, παράσταση σταθερής υποδιαστολής (fixed-point) και κινητής υποδιαστολής (floating-point). Στη συνέχεια, εξετάζονται τρία αποτελέσµατα των συστηµάτων µε αριθµούς πεπερασµένης ακρίβειας. Το πρώτο είναι η µετατροπή των συνεχόµενων, ή απεριόριστης ακρίβειας, τιµών σε πεπερασµένης ακρίβειας τιµές. Αυτό συµβαίνει στην µετατροπή αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό. Το αποτέλεσµα είναι παρόµοιο µε το να προσθέσουµε θόρυβο στο σήµα εισόδου. Το δεύτερο αποτέλεσµα οφείλεται στο ότι οι αριθµητικοί συντελεστές, οι οποίο µπορούν να υπολογιστούν θεωριτικά µε απεριόριστη ακρίβεια, περιορίζονται όµως σε ένα µόνο αριθµό πεπερασµένης ακρίβειας µέσα στην πραγµατοποίηση του φίλτρου µε τον υπολογιστή. Σαν αποτέλεσµα αυτού οι πόλοι και τα µηδενικά στο επίπεδο Ζ µπορούν να πάρουν µόνο µια σειρά από επιτρεπτές τιµές. Η απόκλιση που παρατηρείται στην παραγόµενη συνάρτηση µεταφοράς µελετάται. Το τρίτο αποτέλεσµα είναι η περικοπή που γίνεται όταν το αποτέλεσµα ενός πολλαπλασιασµού ή µιας πρόσθεσης αριθµών πεπερασµένης ακρίβειας είναι και αυτό ένας αριθµός πεπερασµένης ακρίβειας. Άν το φίλτρο που πραγµατοποιείται είναι µη επαναληπτικό, αυτό θα ήταν παρόµοιο µε το να προσθέτουµε θόρυβο στην έξοδο κάθε πολλαπλασιαστή. Όµως άν το φίλτρο είναι επαναληπτικό, η περικοπή του γινοµένου µπορεί να κάνει την έξοδο να παρουσιάσει ανεπιθύµητες διακυµάνσεις ή ταλαντώσεις, µε το όνοµα οριακοί κύκλοι (limit cycles). Μια και τα αποτελέσµατα της πεπερασµένης ακρίβειας είναι µη γραµµικά και τυχαία, η ανάλυση τους είναι πολύ περίπλοκη. Για να δώσουµε µια ιδέα αναλύουµε ειδικές περιπτώσεις για να δείξουµε τον τύπο της συµπεριφοράς που µπορούµε να περιµένουµε. Περιγράφονται επίσης οι διαδικασίες για εξοµοίωση και παρατήρηση αυτών των αποτελεσµάτων σε έναν υπολογιστή. Η πρόθεση αυτού του κεφαλαίου όµως είναι να παρουσιάσει κάποια σηµεία που πρέπει να προσέχουµε όταν σχεδιάζουµε φίλτρα σε ένα σύστηµα µε αριθµούς πεπερασµένης ακρίβειας και όχι να δώσει µια πλήρη ανάλυση αυτών των αποτελεσµάτων. Μια τέτοια ανάλυση είναι πολύ δύσκολη και πέρα από τη σφαίρα αυτού του κειµένου. Στις περιπτώσεις που µπορεί να πραγµατοποιηθεί µια τέτοια ανάλυση, χρειάζονται αποτελέσµατα από τη Chapter 0-

θεωρία µη γραµµικών συστηµάτων και τη θεωρία πιθανοτήτων. Τέτοια ανάλυση µπορεί να βρεθεί στις βιβλιογραφικές αναφορές στο τέλος του κεφαλαίου. 0. Παράσταση αριθµού πεπερασµένης ακρίβειας στον υπολογιστή Στον υπολογιστή, ή σε κάθε άλλο ψηφιακό σύστηµα, οι αριθµοί παριστάνονται σαν διαδοχή ενός πεπερασµένου αριθµού από δυαδικά ψηφία, τα γνωστά bit, µε τιµές 0 ή. Αυτά τα ψηφία συχνά οργανώνονται σε byte τα οποία αποτελούνται από 8 ψηφία, ή λέξεις (words) που περιέχουν 6 ψηφία,. Τώρα τελευταία λέξεις 3 ψηφίων γίνονται πολύ κοινές. Θεωρούµε δύο κοινούς τρόπους που χρησιµοποιούµε για να παραστήσουµε αριθµούς σε έναν ψηφιακό υπολογιστή: η παράσταση κινητής υποδιαστολής και η παράσταση σταθερής υποδιαστολής. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ. Στην παράσταση σταθερής υποδιαστολής, ο διαχωρισµός µεταξύ του ακέραιου και του δεκαδικού µέρους, η υποδιαστολή, βρίσκεται πάντα σε µια συγκεκριµένη, σταθερή, θέση στην ακολουθία ψηφίων του αριθµού όπως φαίνεται στο Σχ. 0.. Øçößï ÐñïóÞìïõ ÅëÜ éóôá óçìáíôéêü b i øçößá ãéá ôï áêýñáéï ìýñïò ÕðïäéáóôïëÞ b f øçößá ãéá ôï äåêáäéêü ìýñïò Σχήµα 0- Θέση των ψηφίων σε µια λέξη σταθερής υποδιαστολής (στο σχήµα φαίνεται µία λέξη 6 ψηφίων) Το πρώτο ψηφίο, το ψηφίο πρόσηµου, κρατείται για να δείχνει το πρόσηµο του αριθµού, συνήθως 0 όταν είναι θετικός ή όταν είναι αρνητικός. Ο αριθµός στην συνέχεια µετατρέπεται σε δύναµη του, µε την υποδιαστολή να διαχωρίζει τους θετικούς εκθέτες, συµπεριλαµβανόµενου και του 0, και τους αρνητικούς εκθέτες. Για παράδειγµα, ο δεκαδικός αριθµός που αντιστοιχεί στον δυαδικό αριθµό 0.0 καθορίζεται µε τον ακόλουθο τρόπο: 0 ( )( ) ( ) ( 3 ) ( ) 0. 0 = + + + 0 + =. 65 0. Η ακρίβεια του αριθµητικού συστήµατος ορίζεται ως η αύξηση µεταξύ των δύο διαδοχικών αριθµών και καθορίζεται από την τιµή του πλέον δεξιού ψηφίο του Chapter 0-

αριθµού που ονοµάζεται ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο. Στο αριθµητικό σύστηµα που δείξαµε στο προηγούµενο παράδειγµα, ένας αριθµός µπορεί να παρασταθεί στο πιο κοντινό 0-3 ή 0.5. Το εύρος του αριθµητικού συστήµατος ορίζεται σαν το διάστηµα µεταξύ του πιο θετικού και του πιο αρνητικού αριθµού οι οποίοι µπορούν να παρασταθούν στο σύστηµα. Η υποδιαστολή καθορίζει την αναλογία της ακρίβειας και του εύρους. Όταν η υποδιαστολή βρίσκεται στα δεξιά δεν υπάρχει δεκαδικό µέρος και µόνο ακέραιες τιµές επιτρέπονται. Αυτό αντιστοιχεί στην µεταβλητή INTEGER της FORTRAN. Στα ψηφιακά φίλτρα θα βρούµε ότι είναι πιο βολικό η υποδιαστολή να βρίσκεται µία ή δύο θέσεις πιο δεξιά του ψηφίου πρόσηµου, επιτρέποντας την παράσταση δεκαδικών αριθµών. Μετατροπή δεκαδικών αριθµών σε δυαδικούς. Στο µετασχηµατισµό ενός δεκαδικού αριθµού σε ένα δυαδικό, το ακέραιο µέρος και το δεκαδικό µέρος πρέπει να µετατραπούν ξεχωριστά. Θα εξετάσουµε µόνο θετικούς αριθµούς, ενώ θα αναφερθούµε στους αρνητικούς αριθµούς αργότερα. Η µετατροπή του ακέραιου µέρους περιλαµβάνει διαδοχικές διαιρέσεις µε δύο, µε το υπόλοιπο της κάθε διαίρεσης να σχηµατίζει το δυαδικό αριθµό. Ο δυαδικός αριθµός σχηµατίζεται µε το να αρχίσουµε από την υποδιαστολή και να προχωράµε αριστερά µε το τελικό µη µηδενικό υπόλοιπο να είναι το πιο σηµαντικό ψηφίο του σχηµατιζόµενου δυαδικού αριθµού. Κάθε πεπερασµένος ακέραιος µπορεί να παρασταθεί µε ένα πεπερασµένο αριθµό από ψηφία. Η µετατροπή του δεκαδικού µέρους περιλαµβάνει επαναλαµβανόµενους πολλαπλασιασµούς µε το δύο, µε το ακέραιο µέρος του κάθε γινοµένου να σχηµατίζει το δυαδικό αριθµό, και το δεκαδικό µέρος του αντίστοιχου γινοµένου να χρησιµοποιείται για τον επόµενο πολλαπλασιασµό. Ο δυαδικός αριθµός σχηµατίζεται µε το να αρχίσουµε από την υποδιαστολή και να συνεχίσουµε δεξιά, µε την τελευταία καταχώρηση να είναι το ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο στην δυαδική αναπαράσταση ολόκληρου του αριθµού. Αυτή η διαδικασία πρέπει να σταµατήσει όταν ξεπεραστεί ο αριθµός ψηφίων που είναι διαθέσιµος για την παράσταση του δεκαδικού µέρους του αριθµού. Στην µετατροπή ενός δεκαδικού αριθµού σε ένα δυαδικό πεπερασµένης ακρίβειας, το ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο µπορεί να παραχθεί είτε µε περικοπή είτε µε στρογγυλοποίηση. Όταν πραγµατοποιούµε περικοπή, ο αριθµός απεριόριστης ακρίβειας µετατρέπεται σε έναν πεπερασµένης ακρίβειας µε τη χρησιµοποίηση του διαθέσιµου αριθµού ψηφίων. Η διαδικασία σταµατάει αφού καθοριστεί και το ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο του αριθµού. Στην στρογγυλοποίηση, η µετατροπή συνεχίζεται και για ένα ακόµα ψηφίο πέρα από το ελάχιστα σηµαντικό. Άν το επιπλέον ψηφίο είναι ένα, το ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο αυξάνεται. Άν το επιπλέον ψηφίο είναι µηδέν τότε η διαδικασία τερµατίζεται και το αποτέλεσµα είναι ίδιο µε αυτό της περικοπής. Η µέθοδος στρογγυλοποίησης είναι πιο ακριβείς αλλά απαιτεί περισσότερες πράξεις. Παράδειγµα 0.. Μετατροπή δεκαδικού αριθµού σε δυαδικό. Μετατρέψτε τον 6.86 0 σε δυαδική µορφή των 8 ψηφίων από τα οποία τα 4 να χρησιµοποιηθούν για την παράσταση του ακέραιου µέρους, συµπεριλαµβανόµενου του πρόσηµου, και τα υπόλοιπα 4 για το δεκαδικό µέρος του αριθµού. Chapter 0-3

Ακέραιο µέρος: 6 3 = 3 = = 0 Υπόλοιπο 0 Έτσι έχουµε 6 0 =00. εκαδικό µέρος: Για να συγκρίνουµε τα αποτελέσµατα που παίρνουµε µε την περικοπή και τη στρογγυλοποίηση θα µετατρέψουµε το νούµερο σε 5 ψηφία: Έτσι έχουµε, Ακέραιο Μέρος 086. = 7. 07. = 44. 044. = 088. 0 088. = 76. (ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο) 076. = 5. 086. = 00. ( = 085. ) µε περικοπή 0 0 = 00. ( = 0875. ) µε στρογγυλοποίηση 0 Συνδυάζοντας αυτά τα δύο αποτελέσµατα έχουµε: 686. = 000. µε περικοπή 0 = 00. 0 µε στρογγυλοποίηση Παράσταση συµπληρώµατος ως προς. Μια συχνά χρησιµοποιούµενη παράσταση αριθµού σταθερής υποδιαστολής είναι η παράσταση συµπληρώµατος ως προς, λόγω της ακρίβειας που παρουσιάζει στους υπολογισµούς. Η παράσταση για ένα αρνητικό αριθµό δίνεται αρχίζοντας από τη µετατροπή σε δυαδικό του αντίστοιχου µέτρου του αριθµού (απόλυτος τιµή). Στην συνέχεια όλα τα ψηφία αντικαθίστανται µε τα συµπληρωµατικά τους (( 0, 0 ) και προσθέτουµε ένα δυαδικό στο ελάχιστα σηµαντικό ψηφίο του αριθµού. Παράδειγµα 0.. Μετατροπή δεκαδικού αριθµού σε δυαδικό χρησιµοποιώντας τη µορφή συµπληρώµατος ως προς. Μετατρέψτε τον - 6.86 0 σε δυαδική µορφή των 8 ψηφίων από τα οποία τα 4 να χρησιµοποιηθούν για την παράσταση του ακέραιου µέρους, συµπεριλαµβανόµενου του πρόσηµου, και τα υπόλοιπα για το δεκαδικό µέρος του αριθµού. Chapter 0-4

Πρώτα µετατρέπουµε την απόλυτη τιµή του αριθµού σε δυαδική µορφή. Χρησιµοποιώντας το αποτέλεσµα της στρογγυλοποίησης του παραδείγµατος 0. έχουµε 6.86 0 =00.0 Αντικαθιστώντας ψηφίο-ψηφίο µε το συµπληρωµατικό του έχουµε το αποτέλεσµα 00.000. Στην συνέχεια αφού προσθέσουµε τον αριθµό 0.000 θα έχουµε: -6.86 0 =00.000 (= -6.875 0 ) Ο πίνακας 0. δείχνει όλα τα συµπληρώµατα ως προς και τις δεκαδικές προσεγγίσεις τους σε συστήµατα µε, 3 ή 4 ψηφία. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ. Η δεύτερη µορφή για παράσταση αριθµών είναι αυτή της κινητής υποδιαστολής, η οποία ονοµάζεται και πραγµατική παράσταση. Σ αυτήν την παράσταση ένας αριθµός x έχει την εξής µορφή x = m e (0.) όπου m είναι η βάση και e είναι ο εκθέτης. Η παράσταση ορίζεται ώστε m <. Για παράδειγµα, το νούµερο.5 εκφράζεται σαν (0.75). Και ο m και ο e εκφράζονται σαν αριθµοί σταθερής υποδιαστολής, χρησιµοποιώντας µια µορφή του Σχ. 0.. Άν η λέξη αποτελείται από b ψηφία τα b m αναφέρονται στην βάση και τα b e αναφέρονται στον εκθέτη. Μια και b = b m + b e, σε ένα ψηφιακό σύστηµα πρέπει να αποφασιστεί από πρίν για το πόσα ψηφία θα χρησιµοποιηθούν για τον εκθέτη και πόσα για τη βάση. Ο αριθµός των ψηφίων που περιέχει ο b e καθορίζουν το εύρος του αριθµητικού συστήµατος, ενώ ο αριθµός των ψηφίων του b m καθορίζουν την ακρίβεια. Μια συνηθισµένη µορφή έχει bm = 3 b 4. Σε πολλούς µικροϋπολογιστές, λέξεις 6 ψηφίων χρησιµοποιούνται για να παραστήσουν έναν αριθµό κινητής υποδιαστολής σαν µια λέξη 3 ψηφίων, από τα οποία b m = 4 και b e = 8. Πίνακας 0. Αριθµοί εκφρασµένοι στην µορφή συµπληρώµατος ώς προς Ακέραιες Τιµές εκαδικές Τιµές εκαδικός (Υποδιαστολή στα (Υποδιαστολή µετά Αριθµός δεξιά) το ψηφίο πρόσηµου) Αριθµητικό σύστηµα ψηφίων 0 0.5 00 0 0 - -0.5 0 - - Chapter 0-5

Αριθµητικό σύστηµα 3 ψηφίων 0 3 0.75 00 0.5 00 0.5 000 0 0 - -0.5 0 - -0.5 0-3 -0.75 00-4 - Αριθµητικό σύστηµα 4 ψηφίων 0 7 0.875 00 6 0.75 00 5 0.65 000 4 0.5 00 3 0.375 000 0.5 000 0.5 0000 0 0 - -0.5 0 - -0.5 0-3 -0.375 00-4 -0.5 0-5 -0.65 00-6 -0.75 00-7 -0.875 000-8 - Στην επόµενη ενότητα, θα παρουσιάσουµε τα αποτελέσµατα της παράστασης µιας ακολουθίας διακριτού χρόνου µε τιµές απεριόριστης ακρίβειας σε ένα σύστηµα πεπερασµένης ακρίβειας. ðñüóçìï ôçò âüóçò ðñüóçìï ôïõ åêèýôç âüóç åêèýôç Σχήµα 0-. Chapter 0-6

Θέση των ψηφίων σε µια λέξη κινητής υποδιαστολής (στο σχήµα φαίνεται µια λέξη 6 ψηφίων) 0.3 Σφάλµατα Κβαντισµού σε µετατροπή αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό Όπως περιγράφηκε στο Κεφ. 3, µια διαδικασία δειγµατοληψίας µετατρέπει ένα συνεχές σήµα {x(t)} σε µια ακολουθία διακριτού χρόνου{x(n)}. Στην πράξη η δειγµατοληψία πραγµατοποιείται µε ένα µετατροπέα αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό (ADC) ο οποίος µας δίνει στην έξοδο του έναν περιορισµένο αριθµό από ψηφία, συνήθως σε παράσταση σταθερής υποδιαστολής, που είναι η τιµή του σήµατος στο οποίο έγινε η δειγµατοληψία. Γι αυτόν το λόγο ο ADC ταυτόχρονα µετατρέπει το δείγµα συνεχούς χρόνου x(n) σε ένα το οποίο έχει υποστεί κβαντισµό, το x q (n). Η τιµή του x q (n) δίδεται από έναν αριθµό του οποίου η τιµή καθορίζεται από τον αριθµό ψηφίων του ADC. Η διαδικασία της µετατροπής του x(n) σε x q (n) δείχνεται στο Σχ. 0.3 στο οποίο φαίνονται η χαρακτηριστική παράσταση κβαντισµού ενός ADC. Το εύρος κβαντισµού παριστάνεται στην µορφή αριθµών συµπληρωµατικών ως προς x q (n) 8 7 6 0 5 4 3 0 -M - M x(n) - -3-4 -5-6 -7 000-8 Chapter 0-7

ΣΧΗΜΑ 0-3 Χαρακτηριστική κβαντισµού ενός κβαντιστή 4 ψηφίων οι οποίοι χωρίζουν την απόσταση µεταξύ του -Μ και του M- σε k βήµατα, το καθένα µεγέθους =Ì Ê. Άν ο κβαντιστής απαρτίζεται από b ψηφία, Κ = b και = Ì b (0.) Για ένα δεδοµένο εύρος κβαντισµού, αυξάνοντας τον αριθµό των ψηφίων µειώνεται το µέγεθος του βήµατος, κάνοντας τη γραφική παράσταση να πλησιάσει την ευθεία γραµµή. Υπάρχουν δύο τύπου σφαλµάτων που µπορούν να παρουσιαστούν σε έναν τέτοιο κβαντιστή. Το πρώτο είναι το σφάλµα κοκκίωσης (granular error), το οποίο συµβαίνει όταν xn ( ) < M, και συµβόλιζεται µε åg ( n), όπου å ( n) = x( n) x ( n) (0.3) g Σηµειώστε ότι το µέγεθος του σφάλµατος είναι πάντα µικρότερο από το βήµα. Το δεύτερο σφάλµα συµβαίνει όταν xn ( ) > M, όταν δηλαδή η τιµή του xn ( ) υπερβαίνει το όριο κβαντισµού, και ονοµάζεται σφάλµα αποκοπής (clipping error), το οποίο συµβολίζεται µε å ( n), όπου c q xn ( ) M xn ( ) > M åc ( n) = xn ( ) + M xn ( ) < M (0.4) Πολύ µεγάλα, θεωρητικά άπειρα, σφάλµατα αποκοπής είναι δυνατά, κάνοντας την ανάλυση αρκετά πολύπλοκη. Στην ανάλυση πιο κάτω, θέτουµε το όριο κβαντισµού αρκετά µεγάλο, ή ισοδύναµα καθορίζουµε τη συνάρτηση εισόδου να παίρνει αρκετά µικρές τιµές, ώστε το σφάλµα αποκόµµατος να µην υπάρχει. Σ αυτήν την περίπτωση, µόνο το σφάλµα κοκκίωσης είναι σηµαντικό. Για να κάνουµε βέλτιστη χρησιµοποίηση του κβαντιστή, είναι συνήθως επιθυµητό να έχουµε τις τιµές του σήµατος κατανεµηµένες σε όλο το εύρος των αριθµών που µπορούν να υλοποιηθούν από τα ψηφία του ADC. Αυτό µπορεί να γίνει µε το να προσαρµόσουµε τη µέγιστη τιµή του σήµατος εισόδου έτσι ώστε να ισούται µε τη µέγιστη τιµή του αριθµητικού συστήµατος. Τα σήµατα όµως που συναντάµε στην πράξη, όπως οι έξοδοι αισθητήρων ή η οµιλία, είναι τυχαία και γι αυτό δεν είναι γνωστή η ακριβής αναλυτική τους µορφή. Μερικά τυχαία σήµατα τείνουν να έχουν µια µεγάλη δυναµική περιοχή, έτσι ώστε άλλες φορές η ισχύς του σήµατος τους να είναι πολύ µεγάλη και άλλες πάλι πολύ µικρή. Για τέτοια σήµατα χρησιµοποιούµε µια διαφορετική αντιµετώπιση στην οποία το εύρος κβαντισµού εξισώνεται µε τη µέση ισχύ του σήµατος. Μια σηµαντική παράµετρος σ αυτήν την περίπτωση είναι η ενεργός τιµή του σήµατος που συµβολίζεται µε Χ rms. Η τιµή του X rms µπορεί να υπολογιστεί από τον ακόλουθο τύπο Chapter 0-8

X N = x ( n) (0.5) N rms n= 0 όπου { x (n) } είναι µια ακολουθία Ν όρων. Η ενεργός τιµή για πολλά κοινά σήµατα, όπως οµιλία από το τηλέφωνο και ηχογραφηµένη µουσική σε κασέτα καθορίζεται συνήθως από µια απλή µέτρηση. Για εφαρµογές επεξεργασίας φωνής δεν είναι παράξενο να έχουµε το όριο κβαντισµού ίσο µε ±4X rms. Αυτή η ρύθµιση ουσιαστικά είναι ένας συµβιβασµός µε τον οποίο σήµατα µικρής έντασης, τα οποία παρουσιάζονται πολύ πιο συχνά, µπορούν να παρασταθούν µε αρκετή ακρίβεια. Αυτό βέβαια συµβαίνει εις βάρος των σηµάτων µεγάλης έντασης τα οποία είναι µεν πιο σπάνια παριστάνονται δε µε µεγάλα λάθη. Μη γραµµικά επίσης χαρακτηριστικά κβαντισµού είναι επίσης κοινότυπα, στα οποία το µέγεθος βήµατος µεταβάλλεται ανάλογα µε την ένταση του σήµατος εισόδου. Μια πιο αναλυτική περιγραφή του θέµατος µαζί µε επιπλέον δεδοµένα µπορεί να βρεθεί στη βιβλιογραφία του Jayant και Noll. x(n) + x q (n) θορύβου å g (n) ΣΧΗΜΑ 0-4 Μοντέλο προσθήκης για έναν κβαντιστη Για να αναλύσουµε την όλη διαδικασία κβαντισµού χρησιµοποιούµε για το σφάλµα το µοντέλο του Σχ. 0.4. Η κβαντισµένη τιµή x q (n) µπορεί να θεωρηθεί ίση µε την πραγµατική τιµή x(n) συν τον παράγοντα του τυχαίου λάθους ε g (n) : x ( n) = x( n) + å ( n) (0.6) q Όταν x q (n) είναι τώρα ένα τυχαίο σήµα το οποίο έχει µια γνωστή ενεργό τιµή, το µέγεθος του βήµατος ισούται µε g X rms Ä = 8 b (0.7) Το σφάλµα κβαντισµού ε g (n) συχνά θεωρείται τυχαίο και οµοιόµορφα κατανεµηµένο µεταξύ του ± Ä. Η ισχύς του θορύβου, ή διακύµανση του, µπορεί γι αυτό το λόγο να δειχθεί ότι ισούται µε Ä. Ο λόγος της ισχύς του σήµατος προς την ισχύ του θορύβου λέγεται λόγος σήµατος προς θόρυβο και συµβολίζεται µε SNR, το οποίο δίνεται από την ακόλουθη σχέση Chapter 0-9

X rms SNR = Ä 64 = b (0.8) Ο λόγος σήµατος προ θόρυβο βελτιώνεται εκθετικά µε την αύξηση του αριθµού των ψηφίων στον κβαντιστή. Εκφράζοντας την τιµή του SNR σε decibel έχουµε SNR = 0log 0 64 b = 6 b 73. (0.9) Από τη σχέση 0.9 φαίνεται ότι ο λόγος σήµατος προ θόρυβο βελτιώνεται κατά 6 db για κάθε ψηφίο το οποίο προστίθεται στον ADC. Τα αποτελέσµατα του σφάλµατος κβαντισµού σε έναν ADC για ένα ψηφιακό ηχητικό σύστηµα φαίνονται στο επόµενο παράδειγµα. Παράδειγµα 0.3. Σφάλµα κβαντισµού σε ένα ψηφιακό ηχητικό σύστηµα. Η είσοδος του συστήµατος είναι { x(n) } µε ενεργό τιµή ίση µε X rms και το όριο κβαντισµού εκτείνεται µεταξύ του ±4X rms. Άν χρησιµοποιήσουµε τώρα έναν κβαντιστή 6 ψηφίων µπορούµε να επιτύχουµε λόγο σήµατος προ θόρυβο µεγαλύτερο από 88 db. Η παρούσα απαίτηση για εµπορική χρήση ενός συστήµατος ψηφιακού ήχου είναι 84 db. Η διαφορά οφείλεται στον θερµικό θόρυβο των αναλογικών ενισχυτών και στην µετατροπή ψηφιακού σήµατος σε αναλογικό, δύο θέµατα στα οποία δεν αναφερθήκαµε. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΘΟΡΥΒΟ ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗΝ ΕΞΟ Ο ΦΙΛΤΡΩΝ. Το σφάλµα κβαντισµού σε έναν ADC θεωρήθηκε σαν την προσθήκη µια ακολουθίας θορύβου στις τιµές δειγµατοληψίας απεριόριστης ακρίβειας της εισόδου. Για να εξετάσουµε τη συνεισφορά της ακολουθίας θορύβου στην ακολουθία εξόδου η οποία παράγεται από ένα γραµµικό ψηφιακό φίλτρο, εφαρµόζουµε το κβαντισµένο σήµα στην είσοδο του φίλτρου και εκφράζουµε την ακολουθία εξόδου σαν { yq( n)} = { xq( n)} { h( n)} (0.0) = { xn ( ) + åg ( n)} { hn ( )} Επειδή το φίλτρο είναι γραµµικό µπορούµε να εφαρµόσουµε τα θεωρήµατα της υπέρθεσης και να πάρουµε { yn ( )} = { xn ( )} { hn ( )} + { åg ( n)} { hn ( )} (0.) = { yn ( )} + { õå ( n)} Η ακολουθία { y(n) } είναι η έξοδος που θα είχαµε εάν δεν είχαµε κβαντισµό στην είσοδο (για δείγµατα απεριόριστης ακρίβειας) και η { υ ε (n) } είναι η έξοδος που παράγεται από την ακολουθία θορύβου. Αυτές οι τιµές εξόδου του θορύβου µπορούν να εκφραστούν αποκλειστικά από τήν συνέλιξη άθροισµα των τυχαίων λαθών µε τη δέλτα απόκριση h(n) (unti-sample response) õå( n) = h( k) åg( n k) (0.) k = Προσθέτοντας µια ακολουθία τυχαίων αριθµών παράγεται ένα τυχαίο αποτέλεσµα, για το οποίο λίγα µπορούµε να πούµε γενικά. Παρόλα αυτά, αν η τυχαία ακολουθία Chapter 0-0

λαθών αποτελείται από ανεξάρτητες τιµές οι οποίες έχουν την ίδια τυπική απόκλιση ó å, τότε το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης της εξόδου ó í ισούται µε óí = ó å h ( k) (0.3) ê = Αυτή η απλή σχέση µας επιτρέπει να υπολογίσουµε τον ισχύ του θορύβου στην έξοδο συναρτήσει την ισχύς του θορύβου στην είσοδο και της βηµατικής απόκρισης του φίλτρου. (unit sample response) Παράδειγµα 0.4.Τετράγωνο τυπικής απόκλισης θορύβου σε µια έξοδο συστήµατος που δίνει το µέσο όρο 3 δειγµάτων. Η διαφορική εξίσωση του µέσου όρου 3 δειγµάτων είναι [ ] yn ( ) = 3 xn ( + ) + xn ( ) + xn ( ) αν η ακολουθία εισόδου έχει κβαντιστεί στους ακέραιους τότε το βήµα είναι. Αν το εύρος του κβαντιστή είναι µεγάλο (>00) και το πλάτος εισόδου έχει εξισωθεί µε τον κβαντιστή, το σφάλµα κβαντισµού µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένο.το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης του σφάλµατος τότε είναι ó å =. Τα σφάλµατα µπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα αν διαδοχικές τιµές του { x(n) } τείνουν να παρουσιάζονται µε τυχαίο τρόπο σε διαφορετικά επίπεδα του κβαντιστή. Το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης του θορύβου τότε στην έξοδο είναι ó í å 9 k = = ó = Παράδειγµα 0.5. Τετράγωνο της τυπικής απόκλισης θορύβου στην έξοδο ενός πρώτης τάξης επαναληπτικού φίλτρου. Η διαφορική εξίσωση ενός πρώτης τάξης είναι 36 yn ( ) = áyn ( ) + xn ( ) Αν η ακολουθία εισόδου είναι κβαντισµένη στους ακέραιους τότε το βήµα είναι. Κάτω από τις ίδιες προϋποθέσεις όπως και στο παράδειγµα 0.4, το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης του θορύβου στην έξοδο είναι k ó = ó á = í å k = 0 [( )( a )] Έχοντας λοιπόν εξετάσει τον κβαντισµό την ακολουθίας εισόδου ενός ψηφιακού φίλτρου, στην συνέχεια θα εξετάσουµε τον κβαντισµό των τιµών των συντελεστών του φίλτρου αυτού. Chapter 0-

ΑΣΚΗΣΗ Να παραχθεί τιµή του SNR παρόµοια µε αυτή της Εξ. (0.8) για ένα ηµιτονοειδές σήµα του οποίου η τιµή είναι ίση µε τη µέγιστη τιµή του κβαντιστή. Chapter 0-