Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται να προσδιορίσει τις μονάδες που πρέπει να πωληθούν την επόμενη περίοδο ώστε τα συνολικά έσοδα να καλύψουν το κόστος Εξετάζει μαζί με τη βοηθό του κ. Στεργίου τα στοιχεία τιμών πώλησης και κόστους (του επόμενου πίνακα) Υπάρχει σχετικά υψηλό σταθερό κόστος το οποίο δημιουργείται άσχετα από την ποσότητα που παράγεται (κόστος σχεδίασης, κόστος κατασκευής πρωτοτύπων, προετοιμασία γραμμής παραγωγής κλπ) 1
Τα υπόλοιπα δεδομένα Ζήτηση: 400 μονάδες προϊόντος 1 (ελάχιστη) 600 μονάδες προϊόντος 2 (ελάχιστη) 500 μονάδες προϊόντος 3 (μέγιστη) 800 μονάδες προϊόντος 4 (ελάχιστη) 2
Ανάλυση νεκρού σημείου (Cost Volume Analysis) για ένα προϊόν κάθε φορά Προϊόν 1 Το νεκρό σημείο Q 1* προσδιορίζει για το πρώτο προϊόν το βαθμό παραγωγικής δραστηριότητας για τον οποίο τα συνολικά έσοδα του προϊόντος είναι ίσα με το συνολικό κόστος δηλαδή: οπότε 3
Ανάλυση νεκρού σημείου (Cost Volume Analysis) για ένα προϊόν κάθε φορά Προϊόν 2 Το νεκρό σημείο Q 2* προσδιορίζει για το δεύτερο προϊόν το βαθμό παραγωγικής δραστηριότητας για τον οποίο τα συνολικά έσοδα του προϊόντος είναι ίσα με το συνολικό κόστος δηλαδή: οπότε 4
Ανάλυση νεκρού σημείου (Cost Volume Analysis) για ένα προϊόν κάθε φορά Προϊόν 3 Το νεκρό σημείο Q 3* προσδιορίζει για το τρίτο προϊόν το βαθμό παραγωγικής δραστηριότητας για τον οποίο τα συνολικά έσοδα του προϊόντος είναι ίσα με το συνολικό κόστος δηλαδή: 5
Ανάλυση νεκρού σημείου για ένα προϊόν κάθε φορά Προϊόν 4 Το νεκρό σημείο Q 4* προσδιορίζει για το τέταρτο προϊόν το βαθμό παραγωγικής δραστηριότητας για τον οποίο τα συνολικά έσοδα του προϊόντος είναι ίσα με το συνολικό κόστος δηλαδή: 6
Καθορισμός του προβλήματος Ποιο είναι το πρόβλημα (στόχος); Ο προσδιορισμός του άριστου μείγματος παραγωγής μεταξύ όλων των προϊόντων (optimal product mix) το οποίο θα οδηγούσε στο να εξισωθούν τα συνολικά παραγωγής, τηρουμένων έσοδα όμως με και το των συνολικό περιορισμών κόστος των σχετικών με τις ελάχιστες ή τις μέγιστες ζητούμενες ποσότητες για τα τέσσερα προϊόντα. Το πρόβλημα δεν είναι απλή περίπτωση εντοπισμού νεκρού σημείου διότι: α) τα προϊόντα είναι τέσσερα και ανταγωνίζονται για τους ίδιους πόρους β) υπάρχουν οι περιορισμοί της ζήτησης που πρέπει να ικανοποιηθούν 7
Βασικές Υποθέσεις Οι παραγόμενες ποσότητες κάθε προϊόντος καθορίζουν το αντίστοιχο κόστος παραγωγής μέσω ενός σταθερού κόστους και ενός μεταβλητού κόστους Το οριακό κόστος για κάθε επιπλέον μονάδα που παράγεται παραμένει για κάθε μεμονωμένο προϊόν σταθερό στον ορίζοντα προγραμματισμού (δεν μεταβάλλεται από τον όγκο της παραγωγής) Το σταθερό κόστος είναι ανεξάρτητο από το αν θα παραχθεί ή όχι κάποιο προϊόν οπότε το συνολικό κόστος παραγωγής εκφράζεται από μία απλή γραμμική σχέση Όλες οι παράμετροι παραμένουν σταθερές στον ορίζοντα προγραμματισμού (προσδιοριστικότητα) Η παραγωγική δυναμικότητα θεωρείται ότι μπορεί να ικανοποιήσει οποιοδήποτε ύψος ζήτησης (προτεραιότητα δίνουμε στο break even point) 8
Το μοντέλο περιορισμοί Μεταβλητές Απόφασης «Συνολικά έσοδα = Συνολικό μεταβλητό κόστος + Συνολικό σταθερό κόστος» δηλαδή Ζήτηση : 9
Το μοντέλο Αντικειμενική Συνάρτηση Η «Outboard Motors Co» είναι μια νέα επιχείρηση, η οποία λόγω της ταχείας ανάπτυξής της αντιμετώπιζε ορισμένα προβλήματα σχετικά με τις χρηματικές ροές της. Ως εκ τούτου, μία αντικειμενική συνάρτηση που θα ελαχιστοποιούσε το συνολικό κόστος των δραστηριοτήτων της επιχείρησης κατά την περίοδο προγραμματισμού θα αντιπροσώπευε ικανοποιητικά τους στόχους της διοίκησης. Ειδικότερα μία συνάρτηση που θα ελαχιστοποιούσε το συνολικό μεταβλητό κόστος είναι ιδανική ώστε να βρεθεί το νεκρό σημείο που ταυτόχρονα θα ελαχιστοποιεί και το συνολικό κόστος της παραγωγής. Αντικειμενική Συνάρτηση: 10
Ανακεφαλαίωση 11
Εισαγωγή στοιχείων στο WinQSB 12
Επίλυση με το WinQSB Το συνολικό κόστος παραγωγής είναι: 2.114.000 + 2.500.000 = 4.614.000 Τα συνολικά έσοδα είναι: 1.400 1.285 1.285 + 1.400 600 + 750 500 500 + 2.000 800 = 4.614.000. 13
Ανάλυση Ευαισθησίας Αντικειμενικοί Συντελεστές Γενικά Σχόλια (1) Μεγαλύτερη ευαισθησία παρουσιάζεται (προς μία κατεύθυνση) σε σχέσημετουςσυντελεστέςc 1 =400 (διάστημα ευαισθησίας 363,63 έως 1.500) και c 3 =200 (διάστημα ευαισθησίας Μ έως220) Στην πραγματικότητα, οποιαδήποτε αύξηση ή μείωση της τιμής ενός αντικειμενικού συντελεστή, μέσα ή έξω από το διάστημα ευαισθησίας, επηρεάζει ανάλογα και τον περιορισμό C1 (γιατί?) Όμως, η ανάλυση ευαισθησίας που παρουσιάζεται στα αποτελέσματα δεν λαμβάνει υπ όψιν τις επιδράσεις αυτές Παράδειγμα: Αν ο αντικειμενικός συντελεστής της x 1 γίνει c 1 = 390, τότε ο τεχνολογικός συντελεστής της x 1 στον περιορισμό C1 (α 11 ) θα γίνει ίσος με 1.400 390 = 1.010 Ας θεωρήσουμε ότι η μεταβολή ενός μοναδιαίου μεταβλητού κόστους προκαλεί και ταυτόχρονη μεταβολή στην τιμή πώλησης ώστε να παραμένει ίδιος ο αντίστοιχος τεχνολογικός συντελεστής Baseline 14
Αντικειμενικός συντελεστής της x 1 c 1 = 390 χωρίς μεταβολή του τεχν. συντελεστή α 11 Ηάριστηλύσηπαραμένειίδια(μεταβολή μέσα στο διάστημα αριστότητας) Tο z μειώνεται στις 2.101.150 χ.μ. Baseline 15
Αντικειμενικός συντελεστής της x 1 c 1 = 390 με μεταβολή του τεχν. συντ/στή α 11 = 1.010 Μείωση της τιμής της μεταβλητής x 1 και περαιτέρω πραγματική μείωση στο συνολικό μεταβλητό κόστος (z = 2.096.188 χ.μ.) Με λιγότερες μονάδες προϊόντος x 1 πετυχαίνουμε το νεκρό σημείο αφού μειώνεται το μεταβλητό του κόστος και αυξάνεται το κέρδος του Baseline 16
Ανάλυση Ευαισθησίας Αντικειμενικοί Συντελεστές Γενικά Σχόλια (2) Πώς ερμηνεύουμε το + ως δεξιό άκρο του διαστήματος ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή της x 2 και της x 4?? Πώς ερμηνεύουμε το - ως αριστερό άκρο του διαστήματος αριστότητας για τον αντικειμενικό συντελεστή της x 3?? Αν μειώσουμε τον αντικειμενικό συντελεστή της x 3 και ταυτόχρονα αλλάξουμε κατ αναλογία τον τεχνολογικό συντελεστή της (α 13 ) στον περιορισμό C1, αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα μείωση τελικά της παραγωγής του προϊόντος 1 (αρχικά τουλάχιστον), αφού η επιχείρηση μπορεί να πετύχει το νεκρό σημείο με μικρότερο μεταβλητό κόστος. Πώς ερμηνεύουμε το δεξιό άκρο του διαστήματος ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή της x 3, που είναι ίσο με 220?? Baseline 17
Ανάλυση Ευαισθησίας Δεξιά μέλη Όλες οι παράμετροι δεξιών μελών είναι σε ικανοποιητικό βαθμό μη ευαίσθητες, υπό την έννοια ότι το σχετικό εύρος των διαστημάτων εφικτότητας είναι μεγάλο. Στον περιορισμό C1, το εύρος εφικτότητας είναι από 1.615.000 έως +. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι αν αυξηθεί ή μειωθεί το συνολικό σταθερό κόστος, μέσα στα παραπάνω όρια, η βάση παραμένει η ίδια, οι τιμές των βασικών μεταβλητών αλλάζουν και η σκιώδης τιμή του περιορισμού παραμένει σταθερή και ίση με 0,4 χ.μ. Συνεπώς, για κάθε αύξηση ή μείωση του σταθερού κόστους κατά μία χρηματική μονάδα μέσα στο εύρος εφικτότητας, έχουμε αντίστοιχη επιβάρυνση ή βελτίωση 0,4 χ.μ. στο μεταβλητό κόστος παραγωγής που προκύπτει από το άριστο πρόγραμμα το οποίο επιτυγχάνει το νεκρό σημείο. Baseline 18
Παραμετρική Ανάλυση για το b 1 Αν το b 1 μειωθεί πέρα από το 1.615.000, τότε εξέρχεται η μεταβλητή πλεονασμού του περιορισμού C2 κάτι που επιβεβαιώνει ότι η x 1 θα παράγεται πλέον στην ελάχιστη ζητούμενη ποσότητα. Ταυτόχρονα εισέρχεται η χαλαρή μεταβλητή του περιορισμού C4 που σημαίνει ότι αρχίζει πλέον να παράγεται μικρότερη ποσότητα από το προϊόν x 3. Αν το συνολικό σταθερό κόστος μειωθεί περαιτέρω και φτάσει την τιμή b 1 = 1.340.000, τότε η μεταβλητή x 3 γίνεται μη βασική, αφού δεν υπάρχει λόγος να παράγεται το προϊόν 3 γιαναεπιτευχθείτονεκρό σημείο. Αν το σταθερό κόστος πέσει κάτω από το 1.340.000, τότε σύμφωνα με την παραμετρική ανάλυση το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση. Αυτό όμως μήπως είναι παράλογο; Baseline 19
Γραφική Παράσταση της παραμετρικής ανάλυση για το b 1 Baseline 20
Ποιο είναι το παράλογο ; Δηλαδή, αν, η επιχείρηση δεν είχε καθόλου σταθερό κόστος, δεν θα παρήγαγε προϊόντα; Προσοχή! Υπενθύμιση: το πρόβλημα δεν είναι να βρεθεί απλώς το άριστο μείγμα της παραγωγής που ελαχιστοποιεί το συνολικό μεταβλητό κόστος, αλλά να βρεθεί το άριστο μείγμα της παραγωγής που ταυτόχρονα επιτυγχάνει και το νεκρό σημείο. Δηλαδή εκεί όπου το μείγμα της παραγωγής των τεσσάρων προϊόντων έχει κέρδος μηδενικό. Κάτι που δεν είναι δυνατόν αν συμβεί αν έχουμε σταθερό κόστος κάτω από 1.340.000 (αφού έχουμε κάποιες παραγγελίες που πρέπει να ικανοποιηθούν) Baseline 21
Επίλυση με b 1 = 0 και φορά του περιορισμού C1: Στην ακραία περίπτωση όπου το συνολικό σταθερό κόστος είναι ίσο με μηδέν, πρακτικά, το πρόβλημα μετατρέπεται σε ένα απλό πρόβλημα ελαχιστοποίησης του συνολικού μεταβλητού κόστους παραγωγής με τέσσερις περιορισμούς που αφορούν τη ζήτηση των προϊόντων. Αν η επιχείρηση δεν έχει σταθερά κόστη ή αν αυτά κατανέμονται στα μεταβλητά κόστη παραγωγής, τότε η εικόνα δίνει το άριστο σχέδιο με κριτήριο βελτιστοποίησης μόνο το μεταβλητό κόστος παραγωγής. Baseline 22
Ανάλυση ευαισθησίας για τους περιορισμούς C2-C5 Οι C2, C3 και C5 αφορούν στην ελάχιστη ζητούμενη ποσότητα των προϊόντων 1, 2 και 4 αντίστοιχα και ο C4 στη μέγιστη ζητούμενη ποσότητα του προϊόντος 3. Οιθετικέςσκιώδειςτιμέςγιατοπροϊόν 2 (περιορισμός C3) και το προϊόν 4 (περιορισμός C5) μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι αν αυξηθεί η απαίτηση για κάποιο από τα προϊόντα αυτά θα αυξηθεί το μεταβλητό κόστος, διότι για να επιτύχει η επιχείρηση το νεκρό σημείο είναι αναγκασμένη να μειώσει την παραγωγή του προϊόντος 1 και να αυξήσει την παραγωγή κάποιου άλλου που έχει μεγαλύτερο μεταβλητό κόστος. Baseline 23
Δεξιό Μέλος: b 3 = 601 (αύξηση απαίτησης για το προϊόν 2) Baseline 24
Ανάλυση ευαισθησίας για τους περιορισμούς C2 και C4 Ο περιορισμόςc2 αναφέρεται στην ελάχιστη ζητούμενη ποσότητα του προϊόντος 1 και έχει μηδενική σκιώδη τιμή Είναι ο μοναδικός μη δεσμευτικός περιορισμός και η μεταβλητή πλεονασμού του έχει τιμή e 2 = 885 μονάδες προϊόντος. Πώς ερμηνεύονται τα άκρα του διαστήματος εφικτότητας?? O περιορισμός C4 αναφέρεται στη μέγιστη ζητούμενη ποσότητα για το προϊόν 3 καιέχειαρνητικήσκιώδητιμή Η αρνητική σκιώδης τιμή σημαίνει ότι στην προσπάθεια επίτευξης του νεκρού σημείου, μεγαλύτερη ζήτηση από το προϊόν αυτό θα μείωνε το συνολικό μεταβλητό κόστος παραγωγής Αυξομειώσεις του δεξιού μέλους έχουν άμεση επίπτωση στην παραγωγή του προϊόντος 1 (γιατί??)??) Baseline 25
Παραλλαγή μοντελοποίησης με μεικτό ακέραιο προγραμματισμό Υποθέτουμε ότι το σταθερό κόστος για οποιοδήποτε προϊόν, συνυπολογίζεται μόνον εάν η επιχείρηση έχει την πρόθεση να παράγει τουλάχιστον μία μονάδα από το προϊόν αυτό. Το αντίστοιχο σταθερό κόστος προκύπτει εφόσον μία μεταβλητή απόφασης x j έχει τιμή μεγαλύτερη από το μηδέν, δηλαδήτοσταθερό κόστος συνυπολογίζεται εφόσον το επίπεδο μίας δραστηριότητας είναι μη μηδενικό, ανεξάρτητα από τη μη μηδενική τιμή της δραστηριότητας αυτής (fixed charge problem). Σε γενικές γραμμές, η λογική αυτή ισχύει σε πολλές περιπτώσεις προβλημάτων που σχετίζονται με τη διοίκηση παραγωγής, τη χρηματοοικονομική ανάλυση, την ανάπτυξη νέων προϊόντων και γενικότερα όπου εμφανίζονται οικονομίες κλίμακας. Σημειώνεται ότι λόγω των περιορισμών C2, C3 και C5, είναι σίγουρο ότι θα παραχθούν τα προϊόντα 1, 2, και 4. Απομένει να δούμε αν θα συμβεί το ίδιο και για το προϊόν 3, και πώς αυτό επηρεάζει τη συνολική άριστη λύση. Baseline model 26
Παραλλαγή μοντελοποίησης (συνέχεια) Για να ενσωματώσουμε μία τέτοια λογική συνθήκη στο μοντέλο, χρειαζόμαστε τέσσερις επιπλέον μεταβλητές Έστω y j (j = 1,2,3,4) δυαδικές μεταβλητές Οι y j παίρνουν τιμή ίση με 1, όταν παράγεται σε οποιαδήποτε ποσότητα το προϊόν j και τιμή ίση με 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. Συνεπώς έχουμε τέσσερις συνεχείς μεταβλητές απόφασης, x j, ( j = 1,2,3,4) τέσσερις ακέραιες (δυαδικές) μεταβλητές, οι y j, ( j = 1,2,3,4) Πρόβλημα μεικτού ακεραίου προγραμματισμού Αλγόριθμος branch and bound Baseline model 27
Το μοντέλο μεικτού ακέραιου προγραμματισμού (1) Σταθερό κόστος: Πρώτος περιορισμός : Ο οποίος παίρνει τη μορφή: Baseline model 28
Το μοντέλο μεικτού ακέραιου προγραμματισμού (2) Επιπλέον περιορισμοί : Ποια η χρησιμότητά τους? Ειδικότερα θέτοντας Μ=5.000 : δηλαδή: Αντικειμενική συνάρτηση: Baseline model 29
Ανακεφαλαίωση Baseline model 30
Επίλυση του μοντέλου μεικτού ακεραίου προγραμματισμού Δεν παράγεται το προϊόν 3, ενώ το προϊόν 1 είναι ουσιαστικά εκείνο το οποίο με την παραγωγή του σε μεγαλύτερες ποσότητες επιτυγχάνει το νεκρό σημείο. Το συνολικό κόστος παραγωγής είναι 4.008.000 χ.μ. δηλαδή: Σταθερό κόστος: 800.000 + 300.000 + 960.000 = 2.060.000 χ.μ. Μεταβλητό κόστος: 1.948.000 χ.μ. Baseline 31
Επίλυση του μοντέλου μεικτού ακεραίου προγραμματισμού χωρίς τον περιορισμό C1 Tο συνολικό κόστος παραγωγής είναι τώρα 3.720.000 χ.μ. Το σταθερό κόστος παραμένει ίσο με 2.060.000 χ.μ. ενώ 1.660.000 χ.μ. είναι το μεταβλητό κόστος. Οι δύο άριστες λύσεις διαφέρουν ως προς το επίπεδο παραγωγής του προϊόντος 1. Αυτό, γιατί στη δεύτερη περίπτωση δεν μας ενδιαφέρει το νεκρό σημείο, αλλά απλώς η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους παραγωγής με την ικανοποίηση των δεσμεύσεων της επιχείρησης. Baseline 32
Επίλυση με το LINDO Εισαγωγή δεδομένων 33
Επίλυση με το LINDO Αποτελέσματα QSB Results 34
Επίλυση με το LINDO Μοντέλο μεικτού ακεραίου προγραμματισμού - Εισαγωγή δεδομένων 35
Επίλυση με το LINDO του μοντέλου μεικτού ακεραίου προγραμματισμού Αποτελέσματα QSB Results 36
Επίλυση με το Excel Εισαγωγή δεδομένων QSB Results 37
Επίλυση με το Excel Εισαγωγή δεδομένων - Live Outboard Motors Co Προϊόν 1 Προϊόν 2 Προϊόν 3 Προϊόν 4 Ποσότητα 1285 600 500 800 Μεταβλητό κόστος 400 900 200 1200 Περιορισμοί Τεχνολογικοί Συντελεστές Νεκρό σημείο 1000 500 550 800 2500000 = 2500000 Ζήτηση Προϊόντος 1 0 0 0 1285 > 400 Ζήτηση Προϊόντος 0 1 0 0 600 > 600 Ζήτηση Προϊόντος 0 0 1 0 500 < 500 Ζήτηση Προϊόντος 0 0 0 1 800 > 800 Αριστερό Δεξιό Συνολικό μέλος Φορά μέλος Mεταβλητό κόστος 2.114.000,00 QSB Results 38
Επίλυση με το Excel Αναφορά Αποτελεσμάτων QSB Results 39
Επίλυση με το Excel Αναφορά Ευαισθησίας QSB Results 40
Επίλυση με το Excel Μοντέλο μεικτού ακεραίου Εισαγωγή δεδομένων QSB Results 41
Επίλυση με το Excel Μοντέλο μεικτού ακεραίου - Εισαγωγή δεδομένων - Live Outboard Motors Co Προϊόν 1 Προϊόν 2 Προϊόν 3 Προϊόν 4 Y1 Y2 Y3 Y4 Ποσότητα 1120 600 0 800 1 1 0 1 Μεταβλητό κόστος/μονάδα 400 900 200 1.200 800.000 300.000 440.000 960.000 Περιορισμοί Τεχνολογικοί Συντελεστές Νεκρό σημείο 1000 500 550 800-800000 -300000-440000 -960000 0 = 0 Ζήτηση Προϊόντος 1 1 0 0 0 1.120 > 400 Ζήτηση Προϊόντος 2 0 1 0 0 600 > 600 Ζήτηση Προϊόντος 3 0 0 1 0 0 < 500 Ζήτηση Προϊόντος 4 0 0 0 1 800 > 800 Παραγωγή προϊόντος 1 1 0 0 0-5000 -3.880 < 0 Παραγωγή προϊόντος 2 0 1 0 0-5000 -4.400 < 0 Παραγωγή προϊόντος 3 0 0 1 0-5000 0 < 0 Παραγωγή προϊόντος 4 0 0 0 1-5000 -4200 < 0 Αριστερό Δεξιό μέλος Φορά μέλος Συνολικό κόστος 4.008.000,00 QSB Results 42
Επίλυση με το Excel Μοντέλο μεικτού ακεραίου - Αναφορά Αποτελεσμάτων QSB Results 43
Διοικητικός Διάλογος (1) Στην ανάλυση νεκρού σημείου για ένα προϊόν, οποιοδήποτε επίπεδο παραγωγής που βρίσκεται δεξιότερα του νεκρού σημείου είναι κερδοφόρο για την επιχείρηση, αρκεί φυσικά να έχει εξασφαλίσει τη ζήτηση για το επίπεδο αυτό. Με βάση τα αποτελέσματα της επίλυσης ο κ. Σχοινάς διερωτάται ποιο πρόγραμμα παραγωγής δεν θα πετύχει μόνο το νεκρό σημείο, αλλά θα αποφέρει και κάποιο κέρδος στην επιχείρηση. Μπορείτε να τον βοηθήσετε; Αν λοιπόν υποθέσουμε ότι το μέγιστο κεφάλαιο, το οποίο δεσμεύει η επιχείρηση για την κάλυψη του μεταβλητού κόστους παραγωγής, μετά την επίτευξη του νεκρού σημείου, είναι 2.000.000 χ.μ., τότε πόσο είναι το μέγιστο κέρδος που δύναται να αποκομίσει η επιχείρηση από ένα άριστο σχέδιο παραγωγής μετά την επίτευξη νεκρού σημείου; QSB Results 44
Διοικητικός Διάλογος (2) Απάντηση στο δεύτερο ερώτημα: QSB Results 45