ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. «Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών»

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών» Μαραγκός Νικόλαος Δ 004 Επιβλέπων καθηγητής: Ευάγγελος Ράπτης Μάιος 04

«Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Εγκρίθηκε την 0-05-04 από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από τους:

Στη γυναίκα μου Μαίρη, στον αδελφό μου Βασίλη, στους γονείς μου Κυριάκο & Κατερίνα 3

Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Ευάγγελο Ράπτη, για την υποστήριξη του στην διάρκεια της εκπόνησης της εργασίας αυτής, καθώς και τους καθηγητές κ. Σπύρου και κ. Διονύσιο Λάππα, για την τιμή που μου έκαναν να είναι μέλη της εξεταστικής επιτροπής. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους συντελεστές του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών για την συνεργασία τους καθ όλη τη διάρκεια του Προγράμματος. 4

Πίνακας Περιεχομένων Περίληψη σελ 6 Πρόλογος...σελ 7 ΜΕΡΟΣ Α ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ......σελ 9 Κεφάλαιο ο Στοιχειώδεις Ιδιότητες της Διαιρετότητας...σελ 0 Κεφάλαιο ο Απόδειξη με Εις άτοπον απαγωγή...σελ Κεφάλαιο 3ο Μαθηματική Επαγωγή...σελ 6 Κεφάλαιο 4ο Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης...σελ Κεφάλαιο 5ο Παραγοντοποίηση Πρώτων Αριθμών και το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής σελ 5 Κεφάλαιο 6ο Εισαγωγή στις Ισοτιμίες και η Αριθμητική των modulo...σελ 3 Κεφάλαιο 7 ο Εφαρμογές στις Ισοτιμίες και η Αριθμητική των modulo...σελ 35 Κεφάλαιο 8 ο Γραμμικές Εξισώσεις Ισοτιμίας...σελ 38 Κεφάλαιο 9 ο Euler s Phi-Συνάρτηση και το Θεώρημα Euler-Fermat...σελ 45 Κεφάλαιο 0 ο Πρωταρχικές Ρίζες...σελ 50 Κεφάλαιο ο Τετράγωνα modulo και Τετραγωνικά Ισοϋπόλοιπα...σελ 56 Κεφάλαιο ο Εισαγωγή στην Τετραγωνική Αντιστροφή...σελ 6 Κεφάλαιο 3 ο Ο Νόμος της Τετραγωνικής Αντιστροφής...σελ 66 Κεφάλαιο 4 ο Διοφαντικές Εξισώσεις...σελ 69 Κεφάλαιο 5 ο Γραμμικές Διοφαντικές Εξισώσεις...σελ 7 ΜΕΡΟΣ Β ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ...σελ 77 Κεφάλαιο 6 ο Εφαρμογή η Αριθμοί Fibonacci και Γραμμική Αναδρομικότητα...σελ 78 Κεφάλαιο 7 ο Οι πρώτοι αριθμοί του Mersenne και οι τέλειοι αριθμοί...σελ 83 Κεφάλαιο 8 ο Δυνάμεις ισοϋπόλοιπων m και ακόλουθα τετράγωνα...σελ 87 Κεφάλαιο 9 ο Υπολογισμός ριζών k-τάξης modulo m...σελ 89 Κεφάλαιο 0 ο RSA Public Key - Κρυπτογραφία...σελ 9 Κεφάλαιο ο Πυθαγόρειες Τριάδες...σελ 96 Κεφάλαιο ο Ποιοι πρώτοι αριθμοί είναι άθροισμα δύο τετραγώνων;...σελ 97 Κεφάλαιο 3 ο Γεωμετρικοί Αριθμοί...σελ 00 Κεφάλαιο 4 ο Τετράγωνοι-Τρίγωνικοι Αριθμοί και η εξίσωση του Pell...σελ 0 Κεφάλαιο 5 ο Το θεώρημα του Pick...σελ 09 Βιβλιογραφία...σελ 5

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή απευθύνεται σε μαθητές που ενδιαφέρονται να έχουν κάποια πληροφόρηση, συμβατή με το σχολικό βιβλίο αλλά και λίγο πιο πέρα από αυτό. Μπορεί, επίσης, να αποτελέσει αφετηρία για τις λεγόμενες "συνθετικές" εργασίες. Η παρούσα θέση της Θεωρίας Αριθμών στα σχολεία είναι περιορισμένη στο πιο ρηχό και μηχανικό μέρος της και συνεπώς στο πλέον ανούσιο: επαγωγή, η ταυτότητα της διαίρεσης και σε μικρή έκταση η διαιρετότητα. Η εργασία αυτή έχει στόχο να βοηθήσει κάποιους νέους, παράλληλα με τα μαθήματα τους, να κάνουν μία είσοδο σε αυτό το εξαίρετο ανθρώπινο διανοητικό δημιούργημα, τη Θεωρία Αριθμών, η διδασκαλία της οποίας βασικό στόχο έχει την άσκηση των μαθητών στην αποδεικτική διαδικασία. Η εργασία αποτελείται από δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζονται οι κυριότερες έννοιες και τα βασικά Θεωρήματα της Θεωρίας Aριθμών και αποτελείται από 5 κεφάλαια. Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζονται κάποιες από τις εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών και αποτελείται από 0 κεφάλαια. Λέξεις κλειδιά: Θεωρία αριθμών, Εφαρμογές, Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης, Πρώτοι Αριθμοί, Ισοτιμίες, Διοφαντικές Εξισώσεις. Abstract This aer alies to students who want to have some information, not only consistent with the textbook but also a little beyond that. Also, for some student it can be a starting oint for dealing with "synthetic" exercises. The resent osition of Number Theory in schools is limited to the most mechanical and insiid art of it: Induction, the identity of division lus at some extent divisibility. This aer aims to hel some eole, along their courses to make one entrance to this extraordinary human intellectual creation, the Number Theory, whose teaching has main objective the erformance of students in roof rocess. The aer consists of two arts: The first art introduces the main concets and basic Theorems of number theory and consists of 5 chaters. The second art contains some alications of number theory and it consists of 0 chaters. Keywords: Number Theory, Alications, Greatest Common Factor, Prime numbers, Modular Arithmetic, Diohantine Equations. 6

Πρόλογος Η εργασία αυτή απευθύνεται σε μαθητές που ενδιαφέρονται να έχουν κάποια πληροφόρηση, συμβατή με το σχολικό βιβλίο αλλά και λίγο πιο πέρα από αυτό. Μπορεί, επίσης, να αποτελέσει αφετηρία για τις λεγόμενες "συνθετικές" εργασίες. Η Θεωρία Aριθμών είναι πολιτιστικό επίτευγμα που έχει τις ρίζες της στον ανεπανάληπτο πολιτισμό των Αρχαίων Ελλήνων. Αποτελεί πιθανότατα τον πιο συναρπαστικό κλάδο των Μαθηματικών και ονομάστηκε από τον Gauss «Βασίλισσα των Μαθηματικών». Μάλλον όχι άδικα. Τα προβλήματα της ελκύουν το ενδιαφέρον ενός μεγάλου και ετερόκλητου κοινού: από ανθρώπους που απλώς έχουν τελειώσει το σχολείο έως μεγάλους μαθηματικούς που είναι κορυφαίοι στον τομέα τους. Προσφέρει χαρά, συγκίνηση και πιο σπάνια διάκριση. Από την άλλη μεριά η Θεωρία Αριθμών υπήρξε η κινητήρια δύναμη για την ανάπτυξη πλείστων περιοχών των Μαθηματικών. Η παρούσα θέση της Θεωρίας Αριθμών στα σχολεία είναι περιορισμένη στο πιο ρηχό και μηχανικό μέρος της και συνεπώς στο πλέον ανούσιο: επαγωγή, η ταυτότητα της διαίρεσης και σε μικρή έκταση η διαιρετότητα. Η εργασία αυτή έχει στόχο να βοηθήσει κάποιους νέους, παράλληλα με τα μαθήματα τους, να κάνουν μία είσοδο σε αυτό το εξαίρετο ανθρώπινο διανοητικό δημιούργημα, τη Θεωρία Αριθμών, η διδασκαλία της οποίας βασικό στόχο έχει την άσκηση των μαθητών στην αποδεικτική διαδικασία. Η εργασία αποτελείται από δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζονται οι κυριότερες έννοιες και τα βασικά Θεωρήματα της Θεωρίας Aριθμών και αποτελείται από 4 κεφάλαια. Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζονται κάποιες από τις εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών και αποτελείται από 0 κεφάλαια. Πιο συγκεκριμένα το πρώτο μέρος αναφέρεται: στις στοιχειώδης ιδιότητες της Διαιρετότητας, την μέθοδο απόδειξης με την εις άτοπο απαγωγή, την μαθηματική επαγωγή, τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη, την παραγοντοποίηση πρώτων αριθμών και το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής Ισοτιμίες και η αριθμητική των ισοϋπόλοιπων, Γραμμικές Εξισώσεις Ισοτιμίας, Euler s Phi Συνάρτηση και Θεώρημα Fermat Euler, Πρωταρχικές ρίζες, Τετράγωνα modulo και τετραγωνικά ισοϋπόλοιπα, ο Νόμος της τετραγωνικής Αντιστροφής και Διοφαντικές εξισώσεις. Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζονται οι εξής εφαρμογές: Αριθμοί Fibonacci και Γραμμική Αναδρομικότητα, οι πρώτοι αριθμοί του Mersenne και οι 7

τέλειοι αριθμοί, Δυνάμεις Ισοϋπόλοιπων, υπολογισμός ριζών κ-τάξης modulo, RSA Public key Κρυπτογραφία, Πυθαγόρειες Τριάδες, οι πρώτοι αριθμοί που είναι άθροισμα δύο τετραγώνων, οι Γεωμετρικοί Αριθμοί, οι Τετράγωνοι Τριγωνικοί Αριθμοί, η Εξίσωση του Pell και τέλος το Θεώρημα του Pick. 8

ΜΕΡΟΣ Α ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

Κεφάλαιο ο Στοιχειώδεις Ιδιότητες της Διαιρετότητας Μια από τις θεμελιώδης ιδέες της θεωρίας αριθμών είναι η έννοια της διαιρετότητας. Ορισμός. Αν a και b είναι ακέραιοι με a 0, και αν υπάρχει ακέραιος c τέτοιος ώστε a c b τότε λέμε a διαιρεί τον b, και γράφουμε a b. Αν a δεν διαιρεί τον b τότε γράφουμε a b. Για παράδειγμα 8, 4, 3 ( 6), 7 49, 9 80, 6 3. Θεώρημα. Ιδιότητες της Διαιρετότητας. Αν a, b, c, m, n είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε c a και c b τότε c () a m n b.. Αν x, y, z είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε x y και y z τότε x z. Απόδειξη Αφού c a και c b υπάρχουν ακέραιοι s, t τέτοιοι ώστε s c a t c b τότε a m n b c () s m t n. Οπότε c () a m b n. Όμοια αφού x y και y z τότε υπάρχουν ακέραιοι u, v με x u y και y v z. Επομένως x u v z δηλαδή x z. Θεώρημα. Αν a b και a () b c τότε a c Απόδειξη Αφού a b τότε υπάρχει ακέραιος s τέτοιος ώστε a s b. Αφού a () b c τότε υπάρχει ακέραιος t τέτοιος ώστε a t b c. Οπότε a t b c a t a s c a () t s c Εφόσον t και s είναι και οι δύο ακέραιοι τότε ο t s είναι και αυτός ακέραιος, οπότε a c. Παράδειγμα. Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους n για τους οποίους ισχύει ( n ) ( n ). 0

n n n n ( )( ). Οπότε αν ( n ) ( n ) τότε θα πρέπει να έχουμε ( n ) αφού ( n ) ( n )( n ). Επομένως n ή n. Αφού n τότε n. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι n, οπότε το μοναδικό n τέτοιο ώστε ( n ) ( n ) είναι το n. Παράδειγμα. Αν 7 (3 x ) να αποδείξετε ότι 7 (5 x x 4). Παρατηρούμε 7(3 s ) x ότι 5 x x 4(3 x)(5 7) x. Αφού 7 (3 x ) έχουμε ότι για κάποιο ακέραιο αριθμό s. Επομένως 5 x x 4 7(5 s 7) x. Οπότε 7 (5 x x 4). Θεώρημα.3 Ο Αλγόριθμος της Διαίρεσης Αν a και b είναι θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι q και r τέτοιοι ώστε a b q r 0 r b. Ονομάσαμε το παραπάνω θεώρημα ως αλγόριθμο γιατί μπορούμε να βρίσκουμε το πηλίκο q και το υπόλοιπο r χρησιμοποιώντας την κλασική διαίρεση του a με το b. Παρατηρούμε ότι b a αν και μονό αν r 0.

Κεφάλαιο ο Απόδειξη με Εις άτοπον απαγωγή Σε μια απόδειξη με εις άτοπο με απαγωγή, υποθέτουμε την λογική άρνηση της πρότασης που θέλουμε να αποδείξουμε και τότε καταλήγουμε σε κάποια αντίφαση (άτοπο). Επομένως από τη στιγμή που καταλήξαμε σε αντίφαση καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η αρχική μας υπόθεση (ή λογική άρνηση της πρότασης που θέλουμε να αποδείξουμε) είναι λανθασμένη, οπότε η πρόταση που προσπαθούμε να αποδείξουμε πρέπει να αληθεύει. Παράδειγμα. Να αποδείξετε ότι 6 35 χωρίς να χρησιμοποιήσετε υπολογιστή τσέπης. 0 Ας υποθέσουμε ότι 6 35. Τότε 0 6 35 οπότε 59 0 35. 0 Εφόσον και τα δύο μέλη είναι θετικά τα υψώνουμε στο τετράγωνο οπότε και προκύπτει 348 3500 το οποίο είναι μια αντίφαση (άτοπο). Οπότε η αρχική μας υπόθεση πρέπει να είναι λανθασμένη οπότε καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι 6 35. 0 Παράδειγμα. Έστω a, a,... a n είναι μια αυθαίρετη μετάθεση των αριθμών,,,n όπου n είναι περιττός αριθμός. Να αποδείξετε ότι το γινόμενο ( a )( a )() an n είναι άρτιος. Αρκεί να αποδείξουμε ότι κάποια διαφορά a k n είναι άρτιος. Ας υποθέσουμε ότι όλες οι διαφορές ak k είναι περιττοί αριθμοί. Τότε προκύπτει ότι S a a a n ( )( )() 0 n αφού τα k a είναι μια αναδιάταξη των,,,n. Στην παραπάνω ισότητα λέμε ότι το S είναι ίσο με το μηδέν που το μηδέν είναι άρτιος αριθμός. Δηλαδή το S είναι άρτιος αριθμός. To S όμως είναι περιττός αριθμός ως αθροίσματα περιττών ακεραίων Αυτό είναι μια αντίφαση (άτοπο). ak k. Οπότε η αρχική μας υπόθεση πρέπει να είναι λανθασμένη οπότε καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ένας από τους όρους ak k είναι άρτιος, επομένως το γινόμενο είναι άρτιος.

Παράδειγμα.3 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν θετικές ακέραιες λύσεις στην εξίσωση x y. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει λύση ( x,) y όπου x και y είναι θετικοί ακέραιοι. Τότε μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε το αριστερό μέλος της εξίσωσης οπότε και έχουμε ()() x y x y. Αφού x και y είναι και οι δύο θετικοί ακέραιοι τότε x y και x y είναι ακέραιοι. Οπότε x y και x y ή x y και x y. Στην πρώτη περίπτωση προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις οπότε και καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι x και y 0 που αυτό όμως έρχεται σε αντίφαση με το γεγονός ότι είναι και ο x και ο y είναι και οι δυο θετικοί. Στη δεύτερη περίπτωση προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις οπότε και καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι x και y 0 και ο x και ο y είναι και οι δυο θετικοί. που αυτό όμως έρχεται σε αντίφαση με το γεγονός ότι είναι Επομένως δεν υπάρχουν θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης x y. Παράδειγμα.4 Αν a, b, c είναι περιττοί ακέραιοι να αποδείξετε ότι η εξίσωση a x b x c 0 δεν έχει λύση ρητό αριθμό. Ας υποθέσουμε ότι q είναι ένας ρητός που είναι λύση της εξίσωσης. Μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι και q δεν έχουν κοινούς πρώτους παράγοντες οπότε και ο και ο q είναι περιττοί ή ο ένας είναι περιττός και ο άλλος είναι άρτιος. Αφού ο q είναι λύση θα επαληθεύει την εξίσωση. Δηλαδή a b c a b q c q q q 0 0. Αν και οι δύο και q είναι περιττοί, τότε ο a b q c q είναι και αυτός περιττός ως άθροισμα περιττών αριθμών οπότε θα είναι 0 υποθέσαμε ότι q ( ο 0 είναι άρτιος ) που αυτό είναι άτοπο γιατί είναι λύση. Όμοια αν ένας από τους δυο και q είναι άρτιος κα ο άλλος είναι 3

περιττός τότε ο a b q c q είναι άρτιος ή ο a b q c q είναι περιττός. Αυτή η αντίφαση στην οποία και καταλήξαμε δηλώνει ότι η παραπάνω εξίσωση δεν έχει λύση ρητό αριθμό. Παράδειγμα.5 Να αποδείξετε ότι ο είναι άρρητος. Θα το αποδείξουμε με την εις άτοπο με απαγωγή. Έστω ότι ο ως εξής r s είναι ρητός. Τότε θα γράφετε όπου r και s δεν έχουν κοινούς παράγοντες. Τότε αν υψώσουμε την παραπάνω εξίσωση r στο τετράγωνο προκύπτει ότι. s Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα, δηλαδή s r. Αυτό όμως σημαίνει ότι ο r πρέπει να είναι άρτιος, οπότε ο r άρτιος. Δηλαδή r c. Τότε () 4 s c c. Οπότε s c. Δηλαδή ο s είναι και αυτός άρτιος. Καταλήξαμε σε αντίφαση αφού οι r και s δεν έχουν κοινούς παράγοντες. Επομένως ο είναι άρρητος. Στην συνέχεια αναφέρουμε δύο σημαντικά αποτελέσματα. Θεώρημα. Αν n είναι ένας ακέραιος μεγαλύτερος από το τότε o n μπορεί να γραφεί ως πεπερασμένο γινόμενο πρώτων αριθμών. Απόδειξη Θα το αποδείξουμε με την εις άτοπο με απαγωγή. Ας υποθέσουμε ότι δεν ισχύει. Δηλαδή θα υπάρχουν σύνθετοι αριθμοί (οι αριθμοί που δεν είναι πρώτοι) που δεν θα μπορούν να γραφούν ως πεπερασμένο γινόμενο πρώτων. Έστω Ν είναι ο πιο μικρός από τους παραπάνω αριθμούς. Αφού Ν είναι ο πιο μικρός από αυτούς τους αριθμούς τότε αν n N τότε το θεώρημα αληθεύει για το n. Έστω είναι ένας πρώτος αριθμός που είναι και διαιρέτης του Ν. Καθώς ο Ν είναι σύνθετος τότε N N. 4

Επομένως, το θεώρημα αληθεύει για το N. N Επομένως υπάρχουν πρώτοι αριθμοί, k τέτοιοι ώστε k. Δηλαδή N k. Είναι ένα πεπερασμένο γινόμενο πρώτων. Αυτό όμως είναι μια αντίφαση γιατί υποθέσαμε ότι οι σύνθετοι αριθμοί δεν μπορούν να γραφούν ως πεπερασμένο γινόμενο πρώτων. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι μεγαλύτερος από το τότε o n μπορεί να γραφεί ως πεπερασμένο γινόμενο πρώτων αριθμών. Θεώρημα. Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Απόδειξη Θα το αποδείξουμε με την εις άτοπο με απαγωγή. Η παρακάτω απόδειξη που είναι αρκετά ενδιαφέρουσα οφείλεται στον Euclid. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν πεπερασμένοι στο πλήθος πρώτοι αριθμοί. Έστω n το πλήθος. Τότε {,,..., n } είναι μια λίστα που εξαντλεί όλους τους πρώτους. Ας Θεωρήσουμε τον αριθμό N n Αυτός ο αριθμός είναι ένας θετικός αριθμός που είναι μεγαλύτερος του. Ας παρατηρήσουμε ότι κανένας από τους πρώτους της λίστας {,,..., n } διαιρούν τον Ν, αφού καθένας από αυτούς τους πρώτους αφήνει υπόλοιπο. Καθώς ο Ν είναι ο μεγαλύτερος από όλους τους πρώτους που είναι μέσα στην λίστα τότε ή θα είναι πρώτος ή θα διαιρείται από έναν πρώτο που θα είναι στην λίστα. Οπότε αποδείξαμε ότι η υπόθεση ότι κάθε πεπερασμένη λίστα πρώτων αριθμών οδηγεί στην ύπαρξη πρώτου αριθμού έξω από την λίστα, που αυτό όμως οδηγεί σε αντίφαση. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το πλήθος των πρώτων είναι άπειρο. 5

Κεφάλαιο 3ο Μαθηματική Επαγωγή Η Μαθηματική επαγωγή είναι μια ισχυρή μέθοδος για να αποδεικνύουμε προτάσεις που αφορούν ακεραίους. Για παράδειγμα την μαθηματική επαγωγή μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε για να αποδείξουμε τα παρακάτω: Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών κάθε ν-γώνου είναι 80( n ) μοίρες. Η ανισότητα n! n αληθεύει για όλους τους ακεραίους n 4. 7 n διαιρείται από το 6 για όλους τους ακεραίους n. Κάθε ισχυρισμός (υπόθεση) μπορεί να τεθεί στην μορφή: P(n) αληθεύει για όλους τους ακεραίους n n, όπου P(n) είναι μια πρόταση που εμπεριέχει τον ακέραιο n και no είναι η «αφετηρία» ή βασική περίπτωση. o Για παράδειγμα για τον τρίτο ισχυρισμό ( 7 n διαιρείται από το 6 για όλους τους ακεραίους n ) η P(n) είναι η πρόταση ότι το 7 n n. o Στη συνέχεια περιγράφουμε πως δουλεύει η μαθηματική επαγωγή: διαιρείται από το 6 και η βασική περίπτωση είναι () Βασική περίπτωσ: Αρχικά αποδεικνύουμε ότι η πρόταση P( n o ) αληθεύει. () Επαγωγικό Βήμα: Στην συνέχεια αποδεικνύουμε ότι αν η πρόταση P(κ) αληθεύει τότε θα πρέπει να αληθεύει και η πρόταση P(κ+). Ας παρατηρήσουμε ότι αυτά τα δύο βήματα είναι επαρκή για να δείξουμε ότι η πρόταση P(n) αληθεύει για όλους τους ακεραίους n n o, καθώς P( n o ) αληθεύει από το βήμα () και το βήμα () φανερώνει ότι η πρόταση P( n o +) αληθεύει, που αυτό φανερώνει ότι και P( n o +) κ.τ.λ. Μπορούμε να σκεφτούμε την μαθηματική επαγωγή όπως παρακάτω: Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τοποθετήσει απείρως πολλά dominos σε μια γραμμή, που αντιπροσωπεύουν τις προτάσεις P() P() P(3) Αν κάνουμε το πρώτο domino να πέσει τότε θα είμαστε σίγουροι ότι όλα τα domino θα πέσουν, αφού κάθε φορά όταν πέφτει ένα domino τότε κτυπάει και ρίχνει κάτω το γειτονικό του. Ρίχνοντας το πρώτο domino είναι ανάλογο με την βασική περίπτωση. Αποδεικνύοντας ότι κάθε domino που πέφτει ρίχνει κάτω το γειτονικό του είναι ισοδύναμο με το να αποδείξουμε ότι P(n) συνεπάγεται P(n+). 6

Παράδειγμα 3. Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο n n ( n ) 3... n. Παράδειγμα 3. Να αποδείξετε ότι n! n για όλους τους ακεραίους n 4. P(n) είναι η πρόταση n! n. Η βασική περίπτωση είναι n 4. (i) Βασική περίπτωση (ii) Επαγωγική Υπόθεση 4 4! 4 6 επομένως η βασική περίπτωση P(4) αληθεύει. Ας υποθέσουμε ότι n! n. Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον ισχυρισμό για να o αποδείξουμε ότι ( n )! n. Το αριστερό μέλος της επαγωγικής υπόθεσης είναι n! και το αριστερό μέλος της πρότασης που θέλουμε να αποδείξουμε είναι ( n )!( n)! n. Επομένως είναι επακόλουθο να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της επαγωγικής υπόθεσης με τον όρο (n+). n! n ( n ) n!( n) ( n )!( n) n n Τελικά αφού ( n ) τότε ( n )!( n) n n n Οπότε βγάζουμε το συμπέρασμα ότι ( n )! n αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε. Επομένως n! n για όλους τους ακεραίους n 4. Παράδειγμα 3.3 Να αποδείξετε ότι η έκφραση φυσικούς αριθμούς n. 3n 3 3 6n 7 είναι πολλαπλάσιο του 69 για όλους τους P(n) είναι ο ισχυρισμός ότι η έκφραση 3 n 3 3 6n 7 είναι πολλαπλάσιο του 69 και η βασική περίπτωση είναι no. (i) Βασική περίπτωση Παρατηρούμε ότι 3 3 3 6() 7 676 4(69) επομένως η βασική περίπτωση P() αληθεύει. (ii) Επαγωγική Υπόθεση Ας υποθέσουμε ότι P(n) αληθεύει. Δηλαδή υπάρχει ακέραιος Μ τέτοιος ώστε 3n 3 3 6n 7 69 M. Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον ισχυρισμό για να αποδείξουμε 7

ότι υπάρχει ακέραιος Κ τέτοιος ώστε 3( n ) 3 3 6( n ) 7 69 K. Έχουμε 3( n) 3 3 n3 3 3 6( n ) 7 3 6 n 6 7 3n3 7(3) 6 7 n 6 3n3 7(3) 6 6(6) n 6(6) n n 7 6(7) 6(7) 6 3n3 7(3) 7(6) 7(7) n 6(6) 6(7) n 6 3n3 7(3 6 n 7) 676 n 676 7(69) M 694n 694 69(7M 4n 4) Επομένως 3n 3 3 6n 7 είναι πολλαπλάσιο του 69 για όλους τους φυσικούς αριθμούς n. Παράδειγμα 3.4 Να αποδείξετε ότι αν k είναι περιττός τότε ο αριθμούς n. n διαιρεί τον n k για όλους τους φυσικούς Ας υποθέσουμε ότι k είναι περιττός. Τότε η πρόταση P(n) έχει ως εξής: ο και η βασική περίπτωση είναι no. n διαιρεί τον n k (i) Βασική περίπτωση Ο k ( k)( k) διαιρείται από τον 8 για κάθε περιττό φυσικό αριθμό k αφού k- και k+ είναι διαδοχικό άρτιοι ακέραιοι αριθμοί, (ii) Επαγωγική Υπόθεση Ας υποθέσουμε ότι n n a k. Τότε n διαιρεί τον n k. Τότε υπάρχει ακέραιος α τέτοιος ώστε n n n n n k ( k )( k ) ( a) k. Αφού ο k είναι περιττός τότε ο n k είναι περιττός και επομένως k n b για κάποιο ακέραιο b. Δηλαδή n n n n3 k ( a ) k a b. Επομένως ο ισχυρισμός αποδείχτηκε με μαθηματική επαγωγή. Παράδειγμα 3.5 (Αριθμοί Fibonacci) Οι αριθμοί Fibonacci δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: 8

F0 0, F Fn Fn Fn n Με άλλα λόγια κάθε αριθμός μετά τον δεύτερο όρο προκύπτει ως το άθροισμα των προηγούμενων όρων. Οι αριθμοί Fibonacci που προκύπτουν είναι: 0,,,, 3, 5, 8,3,,... Να αποδείξετε για όλους τους ακεραίους n ότι F F F. ( ) n n n n Η πρόταση P(n) είναι η πρόταση F F F. ( ) n n n n Και η βασική περίπτωση είναι no. (i) Βασική περίπτωση Αν n τότε Ο F0 ( ) F, (ii) Επαγωγική Υπόθεση Έστω F F F τότε χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι ( ) n n n n F F F n n n Θα έχουμε F F F () F F n n n n n F F F n n n F F ( ) F F n n n n n F ()( F ) F F n n n ( ) n n Το οποίο και αποδεικνύει τον ισχυρισμό μας με την μαθηματική επαγωγή. n Παράδειγμα 3.6 Να αποδείξετε ότι ο 5 4 3 n n n n είναι ένας ακέραιος για όλους τους ακεραίους n 0. 5 3 30 Η πρόταση P(n) είναι: ο n 0. o 5 4 3 n n n n είναι ένας ακέραιος και η βασική περίπτωση είναι 5 3 30 (i) Βασική περίπτωση: Αφού ο 0 είναι ακέραιος η πρόταση αληθεύει για n 0, (ii) Επαγωγική Υπόθεση: Έστω ότι ο 5 4 3 n n n n είναι ένας ακέραιος. 5 3 30 Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι ο 5 4 3 ( )( )( ) n n n n είναι και αυτός ακέραιος. 5 3 30 9

5 4 3 ( n )( )( n ) n n 5 3 30 5 4 3 4 3 3 n 5n 0n 5n n 4n 6n 4n n 3n 3n n Έχουμε 5 3 30 5 4 3 n n n n 4 3 3 n n n n n 3n n n n 5 3 30 που είναι ένας ακέραιος από την επαγωγική υπόθεση για τον πρώτο όρο του αθροίσματος και ο δεύτερος όρος του παραπάνω αθροίσματος είναι ακέραιος ως αθροίσματα ακέραιων. 0

Κεφάλαιο 4 ο Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Ορισμός 4. Έστω a και b είναι ακέραιοι, αλλά όχι και οι δύο ταυτόχρονα μηδέν. Έστω d ο μεγαλύτερος αριθμός από το σύνολο των κοινών διαιρετών των a και b. Τον αριθμό d τον ονομάζουμε Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη των a και b και τον συμβολίζουμε ως εξής: d ( a, b) ή πιο απλά d ( a. b). Παράδειγμα 4. Στη συνέχεια υπολογίζουμε μερικούς μέγιστους κοινούς διαιρέτες: ( 6,4) ( 3,5) ( 6,4) 8 ( 4,0) 4 ( 5,5) 5 ( 3,) 3 Ορισμός 4. Αν ( a, b) τότε ονομάζουμε τους a, b σχετικά πρώτους. Στη γενική περίπτωση, Θέλουμε να έχουμε την δυνατότητα να υπολογίζουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη ( a, b) χωρίς να γράφουμε κάθε φορά όλους τους παράγοντες των a και b. Ο ευκλείδειος αλγόριθμος είναι η πιο γνωστή και αποτελεσματική μέθοδος για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού Διαιρέτη. Παράδειγμα 4. Να υπολογιστεί ο ΜΚΔ(54,). Το πρώτο βήμα είναι να διαιρέσουμε το 54 με το, το οποίο δίνει πηλίκο και υπόλοιπο. Δηλαδή 54. Το δεύτερο βήμα είναι να διαιρέσουμε το με το, το οποίο δίνει πηλίκο και υπόλοιπο 9. Δηλαδή 9. Το τρίτο βήμα είναι να διαιρέσουμε το με το 9, το οποίο δίνει πηλίκο και υπόλοιπο 3. Δηλαδή 9 3. Το τέταρτο βήμα είναι να διαιρέσουμε το 9 με το 3, το οποίο δίνει πηλίκο 3 και υπόλοιπο 0. Δηλαδή 9 33 0. Ο ευκλείδειος αλγόριθμος μας λέει ότι σταματάμε τα βήματα όταν το υπόλοιπο μας γίνει ίσο με

το μηδέν, και ότι το υπόλοιπο από το προηγούμενο βήμα είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αρχικών δυο ακέραιων αριθμών. Επομένως: ( 54,) 3 Το θέμα είναι γιατί αυτή η διαδικασία μας δίνει πράγματι τον μέγιστο κοινό διαιρέτη; Η απάντηση βρίσκεται στις παραπάνω εξισώσεις κοιτάζοντας από το τέλος προς την αρχή. Από την τελευταία εξίσωση είναι σαφές ότι 3 9, οπότε 3, στη συνέχεια 3 και τέλος 3 54. Άρα ο 3 είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του και του 54. Αλλά γιατί είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης; Ας υποθέσουμε ότι d είναι ένας άλλος μέγιστος κοινός διαιρέτης του και του 54. Θα πρέπει να δείξουμε ότι d 3. Παρατηρούμε οτι αν d και d 54 τοτε d οπότε d 9 και άρα d 3 που αυτό όμως σημαίνει οτι d 3 δηλαδή ο 3 είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του 54 και του. Παράδειγμα 4.3 Υπολογίστε τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (36,3) και χρησιμοποιείστε τον υπολογισμό αυτό για να βρείτε ακεραίους x και y τέτοιους ώστε ( 36,3) 36 x 3 y. 3 336 4 36 4 4 0 () () (3) Επομένως: ( 36,3) Ξεκινώντας από την σχέση (3) και πηγαίνοντας προς την σχέση () έχουμε: 36 4 36 (3 336) 4 36 3 Καταλήγουμε ότι: ( 36,3) 4 36 3. Παράδειγμα 4.4 Υπολογίστε τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη ( 53,77) και χρησιμοποιείστε τον υπολογισμό αυτό για να βρείτε ακεραίους x και y τέτοιους ώστε ( 53,77) 53 x 77 y.

77 53 4 53 4 5 4 4 5 4 5 4 4 4 0 () () (3) (4) (5) Επομένως : ( 53,77), οπότε ο 53 και ο 57 είναι σχετικά πρώτοι. Ξεκινώντας από την σχέση (5) και πηγαίνοντας προς την σχέση () έχουμε: 5 4 5 (4 4 5) 55 4 5 (53 4) 4 553 4 553 (77 53) 6 53 77. Καταλήγουμε ότι ( 53,77) 6 53 77. Θεώρημα 4.: Έστω α και b είναι δύο ακέραιοι αριθμοί που δεν είναι και οι δύο μηδέν. Τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των α, b μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των α και b, οπότε υπάρχουν x και y τέτοιοι ώστε: ( a, b) a x b y και οι ακέραιοι x και y μπορούν να βρεθούν από τον ευκλείδειο αλγόριθμο που υλοποιήσαμε σε προηγούμενα παραδείγματα. Παρατηρούμε ότι αφού ( a, b) a και ( a, b) b τότε ( a, b) a x b y για όλους τους ακεραίους x και y. Από το Θεώρημα 4., μπορούμε πάντα να βρίσκουμε ακέραιους x και y τέτοιους ώστε ( a, b) a x b y. Στην γενική περίπτωση, ας θεωρήσουμε όλες τις πιθανές τιμές που μπορούμε να πάρουμε από αριθμούς της μορφής a x b y, όταν αντικαθιστούμε όλους τους πιθανούς ακεραίους για x και y. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την περίπτωση a 4 και b 30. Παρατηρούμε ότι ( 4,30) 6. Στη συνέχεια συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα για τα συγκεκριμένα x και y από την μορφή a x b y. x 3 x x x 0 x x x 3 y 3-6 -74-3 -90-6 36 y -86-44 -0-60 -8 4 66 y -56-4 -7-30 54 96 y 0-6 -84-4 0 4 84 6 3

y -96-54 - 30 7 4 56 y -66-4 8 60 0 44 86 y 3-36 6-90 3 74 6 Παρατηρούμε ότι ( 4,30) 6 το οποίο και εμφανίζεται στον παραπάνω πίνακα και είναι η μικρότερη θετική τιμή του a x b y. Στη γενική περίπτωση αυτό είναι πάντοτε αληθής (και μπορεί να αποδειχθεί μέσω του ευκλείδειου αλγορίθμου). Θεώρημα 4.: Έστω a και b είναι δυο ακέραιοι αριθμοί που δεν είναι και οι δυο μηδέν. Τότε η μικρότερη θετική τιμή του a x b y (που παίρνουμε για όλους τους ακεραίους) είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης ( a, b). Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι a,b,c είναι ακέραιοι και ότι a b c. Ποια θα είναι η συνθήκη ώστε ο α να είναι και αυτός διαιρέτης του c; Για παράδειγμα 8 4 0 40, αλλά 8 4 και 8 0. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 4. για να απαντήσουμε στην παραπάνω ερώτηση. Λήμμα 4.3 Αν a b c και ( a, b) τότε a c Απόδειξη Αφού ( a, b), θα υπάρχουν ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε a x b y και αφού a b c, τότε υπάρχει ακέραιος k τέτοιος ώστε c c c ( a x b y) ( a c x a k y) a ( c x k y) a k b c. Επομένως a c. 4

Κεφάλαιο 5ο Παραγοντοποίηση Πρώτων αριθμών και το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής Θεώρημα 5. : Έστω ένας πρώτος αριθμός. Και ας υποθέσουμε ότι a b. Τότε ή a ή b (ή διαιρεί και τους δύο a και b). Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι ο είναι πρώτος που διαιρεί το γινόμενο a b. Αν a τότε δεν χρειάζεται να αποδείξουμε κάτι. Επομένως ας υποθέσουμε ότι a. Θεωρούμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη ( a, ).Όμως ( a, ), επομένως ( a, ) ή ( a, ) αφού ο είναι πρώτος. Άλλα, ( a, ) αφού ( a, ) και θεωρούμε ότι a. Επομένως ( a, ). Άρα υπάρχουν ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε a x y. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης με b οπότε προκύπτει a b x b y b. Αφού a b x και b y προκύπτει ότι ( a b x b y) b. Θεώρημα 5. : Έστω ένας πρώτος αριθμός, και ας υποθέσουμε ότι ο διαιρεί το γινόμενο... r.τότε ο διαιρεί τουλάχιστον έναν από τους παράγοντες,,... r Απόδειξη. Αν a τότε δεν χρειάζεται να αποδείξουμε κάτι.επομένως ας υποθέσουμε ότι a. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 5. για το γινόμενο a ( a a... 3 a ) r καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι... a a a3 a. Αν τώρα r τότε έχει ολοκληρωθεί η απόδειξη μας. Οπότε ας υποθέσουμε ότι a. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 5. για το γινόμενο a ( a... 3 a4 a ) καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι a 3 a4... a. r r Συνεχίζοντας τελικά βρίσκουμε κάποιο a τέτοιο ώστε ak. Ο στόχος μας τώρα είναι να αποδείξουμε ότι κάθε ακέραιος n με μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων 3 n μπορεί να παραγοντοποιηθεί.... Πριν το αποδείξουμε ας δούμε ένα παράδειγμα που θα υλοποιεί την παραγοντοποίηση σε πρώτους κατά μοναδικό τρόπο που δεν είναι και τόσο προφανές. Παράδειγμα 5. των άρτιων αριθμών. Ας θεωρήσουμε το 60. Έστω το σύνολο..., 8, 6, 4,,0,,4,6,8,... Παρατηρούμε ότι 60 30 6 0. Παρατηρούμε ότι,6,0 και 30 είναι όλοι πρώτοι που ανήκουν στο Ε και δεν μπορούν να 5

παραγοντοποιηθούν στο Ε. Επομένως, ο αριθμός 60 έχει διαφορετικές παραγοντοποιήσεις στο Ε. Παρόλο που το παραπάνω παράδειγμα το επινοήσαμε, πρέπει να μας πείσει ότι συγκεκριμένα αριθμητικά συστήματα έχουν μοναδική παραγοντοποίηση και άλλα συστήματα δεν έχουν. Το σύνολο των ακεραίων έχει σημαντικές ιδιότητες όπου ικανοποιεί το παρακάτω θεώρημα της μοναδικότητας της παραγοντοποίησης. Θεώρημα 5.3 (Θεμελιώδης Θεώρημα Αριθμητικής) Κάθε ακέραιος n με μοναδικό τρόπο. Απόδειξη μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε γινόμενο πρώτων n... Το παραπάνω Θεώρημα ουσιαστικά αποτελείται από μέρη.. Πρέπει να αποδείξουμε ότι κάθε ακέραιος n γινόμενο πρώτων. n μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε. Πρέπει να αποδείξουμε ότι υπάρχει μόνο ένας τέτοιος τρόπος παραγοντοποίησης. Αρχικά θα αποδείξουμε το πρώτο μέρος. Θα το αποδείξουμε με την μέθοδο απαγωγής σε άτοπο. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν ακέραιοι μεγαλύτεροι του που δεν μπορούν να γραφούν ως γινόμενο πρώτων. Τότε θα υπάρχει ένας ακέραιος έστω ο μικρότερος. Ονομάζουμε αυτόν τον μικρότερο ακέραιο με Ν. Αφού ο Ν δεν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο Ν δεν είναι πρώτος. Οπότε υπάρχουν ακέραιοι b και c τέτοιοι ώστε με b, c και b, c N. b c Αφού ο Ν είναι ο μικρότερος ακέραιος που δεν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων, b και c μπορούν να γραφούν ως γινόμενο πρώτων: b..., k c q q... ql, όπου όλοι οι i και qi είναι πρώτοι. Τότε ο N b c... q... k q q l μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων. Αυτή είναι όμως μια αντίφαση, οπότε καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι. Οπότε κάθε ακέραιος n Στην συνέχεια θα αποδείξουμε το ο μέρος. μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε γινόμενο πρώτων. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας ακέραιος n που μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως γινόμενο πρώτων με τρόπους. Δηλαδή n... q q... q () k l Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι αυτές οι δυο παραγοντοποιήσεις είναι ίδιες, πιθανότατα αφού αλλάξουμε θέση στην σειρά των παραγόντων. 6

Αρχικά παρατηρούμε ότι n q q... q l επομένως από το Θεώρημα. προκύπτει ότι θα διαιρεί ένα από τα q i. Μπορούμε να αλλάξουμε την σειρά των q. q i. ώστε Αλλά q είναι ήδη πρώτος αριθμός, οπότε οι διαιρέτες του είναι ο και ο q. Επομένως καταλήγουμε ότι () q Από σχέσεις () και () διαγράφοντας τα,q... q q... 3 q 3 k l (3) και από τα μέλη προκύπτει ότι Αλλάζοντας το ίδιο όρισμα όπως πριν, θα παρατηρήσουμε ότι:... q q q l. Επομένως, από το Θεώρημα 5. προκύπτει ότι θα διαιρεί ένα από τα q i, και μετά από την εναλλαγή καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι q, επομένως q (4) αφού ο q πρώτος. Από σχέσεις (3) και (4) διαγράφοντας τα και q από τα μέλη προκύπτει ότι είναι... q q... 4 q 3 4 k 3 l (5) Μπορούμε να συνεχίσουμε την συγκεκριμένη επιχειρηματολογία μέχρι καθένα από τα καθένα από τα q i να εξαντληθούν. i ή Αλλά αν όλα τα i εξαντληθούν, τότε το αριστερό μέλος της εξίσωσης θα είναι ίσο με, έτσι δεν θα υπάρχει κανένα q i αντίστοιχα. Όμοια αν όλα τα qi εξαντληθούν, τότε το δεξί μέλος της εξίσωσης θα είναι ίσο με, έτσι δεν θα υπάρχει κανένα i αντίστοιχα. Οπότε το πλήθος των i θα πρέπει να είναι το ίδιο με το πλήθος των q i, και μετά τις εναλλαγές θα έχουμε: γράψουμε έναν ακέραιο n q, q, 3 q3,..., k qk. Επομένως υπάρχει ένας μόνο τρόπος να ως γινόμενο πρώτων. 7

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ Παράδειγμα 5. Να αποδειχθεί ότι ο είναι άρρητος. Απόδειξη Η απόδειξη θα γίνει με την μέθοδο της Εις άτοπον απαγωγής Υποθέτουμε ότι ο είναι ρητός. Τότε υπάρχουν ακέραιοι r και s τέτοιοι ώστε: r r. Τότε. s s Επομένως r s. Έστω n το πλήθος των πρώτων παραγόντων στην παραγοντοποίηση πρώτων παραγόντων του s. Τότε υπάρχουν n πρώτοι παράγοντες στην παραγοντοποίηση πρώτων παραγόντων του s, και αφού ο είναι πρώτος θα υπάρχουν n+ πρώτοι παράγοντες στην παραγοντοποίηση πρώτων παραγόντων του s, επομένως ο Στην συνέχεια αν Θεωρήσουμε s έχει περιττό πλήθος πρώτων παραγόντων. m το πλήθος των πρώτων παραγόντων στην παραγοντοποίηση πρώτων παραγόντων του r. Τότε υπάρχουν m πρώτοι παράγοντες στην παραγοντοποίηση πρώτων παραγόντων του r, επομένως ο r θα έχει άρτιο πλήθος πρώτων παραγόντων. Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με το Θεμελιώδης Θεώρημα της Αριθμητικής αφού s r. Οπότε ο είναι άρρητος. Παράδειγμα 5.3 Ας υποθέσουμε ότι α και ν είναι θετικοί ακέραιοι και ότι είναι ρητός. Να αποδειχθεί ότι ο είναι ακέραιος. Απόδειξη Αφού ο είναι ρητός και θετικός, υπάρχουν θετικοί ακέραιοι r και s τέτοιοι ώστε r. s Οπότε a n n s r. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ( r, s) ( σε περίπτωση που δεν είναι ( r, s) τότε διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με ( r, s) ώστε το κλάσμα να γίνει ανάγωγο. Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της απαγωγής με άτοπο για να αποδείξουμε ότι s =. Έστω s > τότε υπάρχει πρώτος αριθμός ο οποίος διαιρεί τον s, επομένως n n a s r. Από το Θεώρημα. προκύπτει ότι r. Αλλά αυτό είναι άτοπο αφού ( r, s). Οπότε s =. 8

Άρα r είναι ένας ακέραιος. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το αποτέλεσμα, για παράδειγμα για να αποδείξουμε ότι ο είναι άρρητος. Αφού και ο δεν είναι ακέραιος, οπότε δεν είναι ρητός με βάση το αποτέλεσμα που καταλήξαμε σε αυτό το παράδειγμα. Παράδειγμα 5.4 Να αποδειχθεί ότι ο log 0 είναι άρρητος. Απόδειξη Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της απαγωγής με άτοπο. Ας υποθέσουμε ότι ο log 0 είναι ρητός. Τότε υπάρχουν ακέραιοι r και s τέτοιοι ώστε: r log 0. s r s Τότε 0, επομένως r s 0 ή r r 5 s το οποίο έρχεται σε αντίθεση με το θεμελιώδης θεώρημα της Αριθμητικής. Επομένως ο log 0 είναι άρρητος. Παράδειγμα 5.5 Να αποδειχθεί ότι το πολυώνυμο n n 0 x a x... ( x) a a x a με ακέραιους n n συντελεστές του x, και με τιμή 7 για 4 ακέραιες τιμές του x τότε δεν μπορεί το πολυώνυμο να πάρει την τιμή 4 για οποιαδήποτε ακέραια τιμή του x. Απόδειξη Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της απαγωγής με άτοπο. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας ακέραιος m τέτοιος ώστε ( m) 4. Γνωρίζουμε ότι ( a k ) 7 0 για 4 διαφορετικούς ακεραίους a, a, a3, a4. Τότε ( x) 7 ( x a) ( x a ) ( x a3 ) ( x a4 ) q( x) Για κάποιο πολυώνυμο q(x) με ακέραιους συντελεστές. Τότε 4 7 7 ( m) 7 ( m a) ( m a ) ( m a3) ( m a4 ) q( m) Αφού οι παράγοντες m ak τουλάχιστον 4 διαφορετικούς παράγοντες. είναι όλοι διαφορετικοί, έχουμε παραγοντοποιήσει τον ακέραιο 7 σε Ωστόσο από το θεμελιώδης θεώρημα της Αριθμητικής ο ακέραιος 7 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο το πολύ 3 διαφορετικών ακεραίων: 7 ( 7) () ( ). Επομένως έχουμε καταλήξει σε άτοπο, οπότε καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το πολυώνυμο δεν μπορεί να πάρει την τιμή 4 για οποιαδήποτε ακέραια τιμή του x. 9

Παράδειγμα 5.6 Να αποδειχθεί ότι με 33. Απόδειξη m 5 4 3 3 4 5 3 m n 5 m n 5 m n 4m n n δεν θα είναι ποτέ ίσο Παρατηρούμε ότι m 5 4 3 3 4 5 3 m n 5 m n 5 m n 4m n n = ( m n) ( m n) ( m n) ( m n) ( m 3 n) Το 33 μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως γινόμενο το πολύ 4 ακεραίων. 33 ( ) (3) () ( ) ή 33 ( 3) () () ( ). Αν n 0 τότε οι παράγοντες στο παραπάνω γινόμενο είναι όλοι διαφορετικοί. Από το θεμελιώδης θεώρημα της Αριθμητικής δεν μπορούν οι παράγοντες αυτοί αν πολλαπλασιαστούν να δώσουν 33, αφού το 33 είναι το γινόμενο το πολύ 4 διαφορετικών παραγόντων και η έκφραση παραπάνω είναι το γινόμενο 5 διαφορετικών παραγόντων για n 0. Αν n 0, το γινόμενο των παραγόντων είναι m 5 m, και ο 33 δεν είναι σε Πέμπτη δύναμη. Επομένως 5 4 3 3 4 5 3 m n 5 m n 5 m n 4m n n δεν είναι ποτέ ίσο με 33. Παράδειγμα 5.7 Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μόνο ένας φυσικός αριθμός n τέτοιος ώστε ο τέλειο τετράγωνο. Απόδειξη 8 n να είναι Ας υποθέσουμε ότι k είναι ένας ακέραιος τέτοιος ώστε k 8 n n n 304 48. Τότε k 48 ( k 48) ( k 48) n Από το θεμελιώδης θεώρημα της Αριθμητικής έχουμε k 48 s και t, όπου s t n k 48. Αλλά τότε t s 48 ( 48) 96 3 5 Οπότε s ts 5 ( ) 3. Από το θεμελιώδης θεώρημα της Αριθμητικής, s = 5 και t s, έτσι s t n. Οπότε ο μόνος φυσικός αριθμός n τέτοιος ώστε ο n. 8 n να είναι τέλειο τετράγωνο είναι ο 30

Κεφάλαιο 6ο Εισαγωγή στις Ισοτιμίες και η Αριθμητική των modulo Συχνά συμβαίνει οι λύσεις προβλημάτων που αφορούν ακεραίους να εξαρτώνται μόνο από υπόλοιπα διαιρέσεων. Ας θεωρήσουμε ένα πολύ απλό παράδειγμα. Η απάντηση στο ερώτημα Ποια ημέρα της εβδομάδας θα είναι 700 ημέρες από την επόμενη Κυριακή φαίνεται αμέσως αν σκεφθούμε ότι οι ημέρες της εβδομάδας επαναλαμβάνονται με περίοδο 7 και ότι 700 7000. Συνεπώς η απάντηση είναι Δευτέρα. Στην ίδια απάντηση θα φθάναμε αν στη θέση του 700 είχαμε 8, 5 η οποιοδήποτε φυσικό αριθμό της μορφής 7m. Ορισμός 6. Έστω m ένας ακέραιος. Δύο ακέραιοι α και b θα λέγονται ισότιμοι modulo m (ή ισοϋπόλοιποι modulo m) αν ο m διαιρεί τη διαφορά a b modm δηλαδή a b mod m m a b. Ισοδύναμα μπορούμε να πούμε a b mod m a b. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε αν οι α και b αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρούνται με το m. Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παρατηρούμε ότι μόνο αν υπάρχει ακέραιος k τέτοιος ώστε a b k m. a bmod m αν και Παράδειγμα 6. 7 mod 5 αφού 5 (7 ). Παρατηρούμε επίσης ότι ο 7 και ο αφήνουν υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το 5. Παράδειγμα 6. 47 35 5mod 6 αφού 6 (47 35) και 6 (35 5). Παρατηρούμε επίσης ότι ο 47 ο 35 και ο 5 αφήνουν υπόλοιπο 5 όταν διαιρεθούν με το 6. Παράδειγμα 6.3 9 0 mod 3 αφού 3 9 και 6 (35 5). Παρατηρούμε επίσης ότι ο 9 αφήνει υπόλοιπο 0 όταν διαιρεθεί με το 3. Παράδειγμα 6.4 5 7 mod8 αφού 8 (5 7) και 8 7. Παράδειγμα 6.5 Κατασκευάστε τον πίνακα της πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού για την αριθμητική modulo 5. ΠΡΟΣΘΕΣΗ modulo 5 3

a \ b 0 3 4 0 0 3 4 3 4 0 3 4 0 3 3 4 0 4 4 0 3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ modulo 5 a \ b 0 3 4 0 0 0 0 0 0 0 3 4 0 4 3 3 0 3 4 4 0 4 3 Παρατηρούμε ότι αν ο α διαιρείται από τον m και αφήνει υπόλοιπο r τότε ο a είναι ισότιμος με r modulo m. Από τον αλγόριθμο της Ευκλείδειας Διαίρεσης το υπόλοιπο r που παίρνουμε από την διαίρεση του α με το m ικανοποιεί την παρακάτω σχέση: 0 r m Επομένως, κάθε ακέραιος α είναι ισότιμος modulo m, με τους ακεραίους που βρίσκονται μεταξύ 0 και m. Αυτή είναι πολύ βασική ιδέα που θα επανέλθουμε αργότερα. Προς το παρών ας μελετήσουμε μερικές βασικές ιδιότητες των ισοτιμιών. Θεώρημα 6. Θεμελιώδεις Ιδιότητες των Ισοτιμιών Μέρος Έστω m είναι ένας ακέραιος αριθμός. Για όλους τους ακεραίους προτάσεις:. a a mod m. Αν a b mod m τότε b a mod m 3. Αν a b mod m και b c mod m τότε a c mod m Απόδειξη. Αφού m 0() a a τότε a a mod m. a, b, c ισχύουν οι παρακάτω 3

. Έστω ότι a bmod m. Τότε m () a b. Επομένως υπάρχει ένας ακέραιος k τέτοιος ώστε ()a b k m ()b a k m οπότε m () b a. Άρα b a mod m. 3. Έστω a b mod m και b c mod m. Τότε m () a b και m () b c. Τότε υπάρχουν ακέραιοι k και l τέτοιοι ώστε ()a b k m και ()b c l m. Επομένως ( a c) ( a b) ( b c) k m l m ( k l) m. Άρα m () a c. Δηλαδή a c mod m. Θεώρημα 6. Θεμελιώδεις Ιδιότητες των Ισοτιμιών Μέρος Έστω a b mod m και c d mod m. ()() a mod c b d m. ()() a mod c b d m 3. a c bd mod m.τότε ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις: n n 4. Για όλους τους ακεραίους n, a b mod m Απόδειξη Αφού a b mod m τότε m () a b οπότε υπάρχει ένας ακέραιος k τέτοιος ώστε ()a b k m. Όμοια αφού c d mod m τότε m () c d οπότε υπάρχει ένας ακέραιος l τέτοιος ώστε ()a b l m.. Για να αποδείξουμε την πρώτη ισοδυναμία, παρατηρούμε το επόμενο: ( a c) ( b d) ( a b) ( c d) k m l m ( k l) m Επομένως, m ()() a c b d. Άρα ()() a mod c b d m.. Για να αποδείξουμε την δεύτερη ισοδυναμία, παρατηρούμε το επόμενο: ( a c) ( b d) ( a b) ( d c) k m l m ( k l) m Επομένως, m ()() a c b d. Άρα ()() a mod c b d m. 3. Για να αποδείξουμε την τρίτη ισοδυναμία, παρατηρούμε το επόμενο: a c b d c ( a b) b ( c d) Επομένως, m a c b d c k m b l m ( c k b l) m. Άρα a c b d mod m. 33

Θεώρημα 6.3 Αν a b mod m τότε για κάθε ακέραιο c ()() a mod c b c m και a c b c mod m. Απόδειξη Αφού m () a b τότε m ()()()() a b c c a c b c και m ()()()() a b c c a c b c. Επομένως ()() a mod c b c m. Όμοια m () a b c a c b c Επομένως a c b c mod m. Πόρισμα 6.4 Έστω f () x ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Αν a b mod m τότε f ()() a mod f b m. Απόδειξη k f () x a x a x... a x a k k k 0 Όπου a 0, a,..., ak είναι ακέραιοι. Τότε από το Θεώρημα 6. θα ισχύει: a a a a... a a a a b a b... a b a mod m. k k k k k k 0 k k 0 Επομένως, f ()() a mod f b m. Ας παρατηρήσουμε ότι στην γενική περίπτωση δεν επιτρέπεται να διαιρούμε στις ισοτιμίες. Για παράδειγμα 5 3 5 3 mod 6. Αλλά 5 mod 6. Επομένως, δεν μπορούμε να διαγράψουμε τα 3άρια. Ωστόσο ισχύει 3 4 34 mod5 και 4 4mod5. Άρα σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούμε να διαγράψουμε. Οπότε έρχεται επακόλουθο να αναρωτηθούμε υπό ποιες συνθήκες μπορούμε να διαγράφουμε μέσα στις ισοτιμίες. Θεώρημα 6.5 Έστω Απόδειξη a c bc mod m και ( c,) m. Τότε m ()() a c b c a b c Αφού ( m,) c τότε m () a b. a b mod m. 34

Κεφάλαιο 7ο Εφαρμογές στις Ισοτιμίες και η Αριθμητική των modulo Παράδειγμα 7. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του 6 987 με το 37. Παρατηρούμε ότι 6 mod 37 οπότε 987 986 6 66 mod37 993 6 6 mod 37 993 6 mod 37 6mod37 3mod 37 Επομένως το αναμενόμενο υπόλοιπο που ψάχναμε είναι 3. Παράδειγμα 7. Να αποδείξετε ότι το 7 διαιρεί n n 3 για όλους τους φυσικούς αριθμούς n. Παρατηρούμε ότι n n n 3 3 9 3 mod 7 και n n 4 mod 7. Επομένως n 3 n n 7 0 mod 7 για όλους τους φυσικούς αριθμούς n. Παράδειγμα 7.3 Να αποδείξετε ότι 3 64 ( ). Παρατηρούμε ότι Άρα 4 7 4 4 64 5 5.Επομένως 4 8 7 4 5 5 ( ) mod 64 mod 64. Δηλαδή Αυτό όμως δηλώνει ότι: 3 0 mod 64. Οπότε 7 5 mod 64 και 4 4 5 mod 64. 4 8 3 mod 64. 3 64 ( ) άρα και 3 64 ( ). Παράδειγμα 7.4 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι που να ικανοποιούν την σχέση x 5 y. Έστω ότι υπάρχουν ακέραιοι που ικανοποιούν την σχέση x 5 y τότε x y 5 mod 5 και άρα 5 y 0mod5. Όμως αυτό δηλώνει ότι: x mod 5. Στη συνέχεια ας θεωρήσουμε τις περιπτώσεις για το x και x modulo 5. 35

x mod ulo5 x mod ulo5 0 0 4 3 4 4 Επομένως δεν υπάρχει κανένα x τέτοιο ώστε το x να είναι ισότιμο με το modulo 5, οπότε δεν υπάρχουν ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε x 5 y. Παράδειγμα 7.5 Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού 7 00 (παράδειγμα για τον αριθμό 73 το ψηφίο των μονάδων είναι το 3). Για να βρούμε το ψηφίο των μονάδων του 7 00 θα πρέπει να βρούμε το 7 mod0 3 7 77 mod0 7 mod0 4 7(7) mod0 mod0 mod0 00 4 5 7 7 mod0 5 mod0 mod0 00 7 modulo 0. Επομένως, το ψηφίο των μονάδων του αριθμού 00 7 είναι το. Παράδειγμα 7.6 Να βρείτε άπειρους ακεραίους n τέτοιους ώστε n 7 να διαιρείται με το 7. Παρατηρούμε ότι mod 7 4mod 7 3 mod 7 4 mod 7 5 4mod 7 6 mod 7 36

3k 3 Οπότε, k k mod 7 για όλους τους θετικούς ακεραίους k. Επομένως, 3k 7 7 8 0m od 7 για όλους τους θετικούς ακεραίους k, 3 7 k 7 άρα n 7 διαιρείται από το 7 για όλα τα θετικά πολλαπλάσια του 3. Παράδειγμα 7.7 Να αποδείξετε ότι ο k 5 για k 0,,,... δεν αφήνει ποτέ υπόλοιπο όταν διαιρεθεί με το 7. Παρατηρούμε ότι mod 7 4 mod 7 3 mod 7 Και αυτός ο κύκλος θα επαναλαμβάνετε για κάθε k k, 4, ή mod 7. Άρα k 5 3,, 4 mod 7. Οπότε ο k 5 αφήνει υπόλοιπα μόνο 3, 4 και 6 όταν διαιρεθεί με το 7. Παράδειγμα 7.8 Να αποδείξετε ότι ένας θετικός ακέραιος n διαιρείται από το 3 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται από το 3. Θα αποδείξουμε ότι ο n και το άθροισμα των ψηφίων είναι ισότιμοι modulo 3. Ας υποθέσουμε ότι ο θετικός ακέραιος n γράφετε όπως παρακάτω (δεκαδικό του ανάπτυγμα) k n a 0 a 0... a 0 a 0 a. k k k 0 Παρατηρούμε ότι 0 mod 3 m m και 0 mod 3 για κάθε ακέραιο m. Οπότε, k n a 0 a 0... a 0 a 0 a mod3 k k k 0 a a... a a a mod3 k k 0 a a... a a a mod3 k k 0 Άρα το υπόλοιπο που παίρνουμε όταν o n διαιρείται με το 3 είναι το ίδιο με το υπόλοιπο που παίρνουμε όταν το άθροισμα των ψηφίων του το διαιρέσουμε με το 3, οπότε ο n διαιρείται με το 3 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. 37

Κεφάλαιο 8ο Γραμμικές Εξισώσεις Ισοτιμίας Ορισμός 8. Μια εξίσωση της μορφής x x... x b mod m με αγνώστους x, x,..., xk Είναι μια γραμμική εξίσωση ισοτιμίας με k μεταβλητές. Μια λύση στην παραπάνω εξίσωση είναι ένα σύνολο ακεραίων που ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. k k Παράδειγμα 8. x, y, z 3 είναι μια λύση στην γραμμική εξίσωση ισοτιμίας x y z 6 mod 7 Παράδειγμα 8. Να λυθεί η εξίσωση ισοτιμίας x 5mod8. Το κλειδί σε αυτή την εξίσωση είναι να παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε το και από τα μελή της ισοτιμίας (σύμφωνα με το θεώρημα 6.). x 5mod8 x (5 ) mod8 x 7 mod8 x mod8 Επομένως κάθε ακέραιος x που είναι ισότιμος με mod ulo8 ικανοποιεί την παραπάνω ισοτιμία. Παράδειγμα 8.3 Να λυθεί η ισοτιμία 4 x 3mod9. Αρχικά, παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε απλά να διαιρέσουμε και τα μέλη της ισοτιμίας με 4. Ωστόσο, από το Θεώρημα 6. μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δυο μέλη της ισοτιμίας με 5. Οπότε, 4 x 3mod9 0 x 5mod9 x 5mod9 αφού 0 mod9. Άρα κάθε ακέραιος x που είναι ισότιμος με το 5 modulo 9 θα ικανοποιεί την ισοτιμία. 38

Μπορούμε φυσικά να ελέγξουμε την απάντηση μας αντικαθιστώντας το 5 στην αρχική ισοτιμία. Πράγματι 45 60 3mod9. Παράδειγμα 8.4 Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση ισοτιμίας x x 0 mod 7. Η παραπάνω εξίσωση δεν είναι γραμμική αλλά υλοποίει μια βασική αρχή. Εφόσον δεν είμαστε σίγουροι πώς να προσεγγίσουμε την παραπάνω ισοτιμία, μπορούμε απλά να δοκιμάσουμε συγκεκριμένες τιμές x 0, x, x..., x 6. Στην γενική περίπτωση για να λύσουμε μια εξίσωση ισοτιμίας modulo m, μπορούμε να δοκιμάζουμε τιμές 0,,,..., m για κάθε μεταβλητή. Για την ισοτιμία x x 0 mod 7 βρίσκουμε τις λύσεις x mod7 και x 3mod7. Προφανώς υπάρχουν και άλλες λύσεις όπως x 9 mod 7, αλλά παρατηρούμε ότι 9 και δεν είναι στην πραγματικότητα διαφορετικές λύσεις καθώς είναι ισότιμες modulo 7. Όταν μας ρωτάνε να βρούμε όλες τις λύσεις μιας ισοτιμίας, ουσιαστικά μας ζητάνε να βρούμε όλες τις λύσεις που δεν είναι ισότιμες μεταξύ τους. Παράδειγμα 8.5 Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση ισοτιμίας x 3mod 4. x mod ulo4 x mod ulo4 0 0 0 3 Επομένως, η ισοτιμία ισοτιμίας x 3mod 4 δεν έχει λύσεις. Ας θεωρήσουμε την γραμμική εξίσωση a x b mod m. Θέλουμε να καθορίσουμε πότε αυτή η ισοτιμία έχει λύση και πότε είναι μοναδική. Όταν υπάρχει μόνο μια λύση modulo m, τότε λέμε ότι η λύση είναι μοναδική. Πριν αναφέρουμε μερικά θεωρήματα ας μελετήσουμε ορισμένα παραδείγματα. Παράδειγμα 8.6 Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση ισοτιμίας 6 x 5mod54. Αν x είναι μια λύση της παραπάνω ισοτιμίας τότε 54 (6 x 5). Ας παρατηρήσουμε ότι ο 54 είναι άρτιος, ο 6 x είναι άρτιος και ο 6 x 5 είναι περιττός. Τότε ο 6 x 5 δεν μπορεί να διαιρεθεί με το 54, επομένως η παραπάνω ισοτιμία δεν έχει λύσεις. Επιπλέον ας παρατηρήσουμε ( για μελλοντική χρήση) ότι (6,54) και 5. 39

Παράδειγμα 8.7 Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση ισοτιμίας 3 x 5mod 7. Αν δοκιμάσουμε τις τιμές x 0,,,3, 4,5,6 βρίσκουμε ότι x 4mod7 είναι η μοναδική λύση σε αυτή την ισοτιμία. Ας παρατηρήσουμε ( για μελλοντική χρήση) ότι (3,7) και 5. Παράδειγμα 8.8 7 Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση ισοτιμίας 9 x 5mod. Αν δοκιμάσουμε τις τιμές x 0,,..., βρίσκουμε ότι x 4,,8mod είναι τρείς λύσεις στην παραπάνω ισοτιμία. Ας παρατηρήσουμε ( για μελλοντική χρήση) ότι (9, ) 3 και 3 5. Παράδειγμα 8.9 Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να λύσουμε μια αυθαίρετη γραμμική εξίσωση ισοτιμίας της μορφής m () a x b. a x bmod m. Τότε θα πρέπει να βρούμε έναν ακέραιο x τέτοιον ώστε Ισοδύναμα πρέπει να βρούμε έναν ακέραιο y τέτοιο ώστε m y a x b, δηλαδή a x m y b. Αυτός ο τύπος της εξίσωσης πρέπει να μας φαίνετε γνωστός αφού τέτοιος τύπος εξίσωσης λύθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο. Έστω g ( a,) m. Γνωρίζουμε ότι κάθε αριθμός της μορφής a x m y είναι πολλαπλάσιο του g ( αφού g a και g m ), επομένως αν g a τότε η εξίσωση a x m y b δεν έχει λύσεις. Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι g b. Από το κεφάλαιο 5. υπάρχουν ακέραιοι u και v τέτοιοι ώστε a u mv g. Αφού g b μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε αυτή την εξίσωση με τον ακέραιο b / g οπότε και παίρνουμε την εξίσωση bu bv a m b. g g bu Το παραπάνω όμως δηλώνει ότι m a b. g Επομένως bu a b mod m. g Δηλαδή το x o bu mod m είναι μια λύση της ισοτιμίας a x b mod m. g bu Άρα αποδείξαμε ότι αν g ( a,) m b τότε το xo mod m g Σε αυτό το σημείο είναι επακόλουθο να θεωρήσουμε αν το είναι λύση της ισοτιμίας. x o είναι η μοναδική ή όχι λύση της 40

ισοτιμίας. Ας υποθέσουμε ότι x είναι μια άλλη λύση της ισοτιμίας Επομένως, m ()() a x a xo a x xo. Αυτό όμως φανερώνει ότι m g διαιρεί a () x x0 g. Όμως, ( a,) m ax bmod m, τότε ax ax mod m. a m g οπότε,. g g Άρα a / g και m / g και δεν έχουν κοινούς παράγοντες, οπότε m / g πρέπει να διαιρεί x xo. m m Άρα υπάρχει ακέραιος k τέτοιος ώστε k x xo ή x x o k. g g Τέλος υπενθυμίζουμε ότι κάθε λύσεις που διαφέρουν κατά ένα πολλαπλάσιο του m, θεωρούνται ότι είναι οι ίδιες, επομένως υπάρχουν ακριβώς g διαφορετικές λύσεις οι οποίες και προκύπτουν λαμβάνοντας τιμές το k 0,,..., g. Ας παρατηρήσουμε ότι αν g ( a,) m τότε θα υπάρχει ακριβώς μια λύση από την ισοτιμία a b mod m. o Στη συνέχεια συνοψίζουμε όλα τα παραπάνω στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 8. Λύσεις Γραμμικών Εξισώσεων Ισοτιμίας Ας υποθέσουμε a, b και m είναι ακέραιοι με m. Έστω g ( a,) m. (α) Αν g b τότε η ισοτιμία a x b mod m δεν έχει λύσεις. (β) Αν g b τότε η ισοτιμία a x b mod m έχει g μη-ισότιμες λύσεις. Για να βρεθούν οι λύσεις, πρώτα βρίσκουμε ακέραιους u και v που ικανοποιούν την παρακάτω σχέση a u mv g. Όπως περιγράψαμε και στο κεφάλαιο ο ευκλείδειος αλγόριθμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρούμε ακεραίους u και v. bu Τότε x o είναι μια λύση της ισοτιμίας a x b mod m. g Οι μη-ισότιμες λύσεις που είναι σε πλήθος g δίνονται από τον παρακάτω τύπο: m x xo k mod m για k 0,,,..., g. g Παράδειγμα 8.0 Να βρείτε όλες τις λύσεις της παρακάτω ισοτιμίας 943 x 38mod 576. g (943, 576) 3 38 οπότε η ισοτιμία δεν έχει λύσεις. 4

Παράδειγμα 8. Να βρείτε όλες τις λύσεις της παρακάτω ισοτιμίας 8 x 7 mod3. g (8,3) επομένως υπάρχει g λύση της ισοτιμίας. Ας παρατηρήσουμε ότι είμαστε σε θέση να καθορίσουμε το πλήθος των λύσεων χωρίς να υπολογίσουμε τις λύσεις. Για να βρούμε την λύση αρχικά θα πρέπει να βρούμε ακεραίους u και v τέτοιους ώστε 8u 3v Χρησιμοποιώντας μεθόδους από το Κεφάλαιο 5, βρίσκουμε τη λύση u 5 και v 3. Επομένως x o 7 5 35 9 mod3 είναι η λύση της ισοτιμίας. Παράδειγμα 8. Να βρείτε όλες τις λύσεις της ισοτιμίας 6 x 9mod5 g (6,5) 3 9 επομένως υπάρχουν g 3 μη ισότιμες λύσεις της παραπάνω ισοτιμίας. Ας παρατηρήσουμε ότι είμαστε σε θέση να καθορίσουμε τον αριθμό των λύσεων χωρίς να τις υπολογίσουμε. Για να βρούμε την λύση αρχικά θα πρέπει να βρούμε ακεραίους u και v τέτοιους ώστε 6u 5v 3. Χρησιμοποιώντας μεθόδους από το Κεφάλαιο 3, βρίσκουμε τη λύση u και v. Επομένως, x o 9 6 9mod5 είναι η λύση της ισοτιμίας. Για να υπολογίσουμε όλες τις 3 λύσεις, ξεκινάμε με xo 9 και προσθέτουμε πολλαπλάσια της ποσότητας 5 5 3. Οπότε οι 3 μη ισότιμες λύσεις είναι 9, 4, 4. Στην συνέχεια θα θεωρήσουμε ότι έχουμε παραπάνω από μια εξίσωση ισοτιμίας με έναν άγνωστο. Παράδειγμα 8.3 Να λυθεί το σύστημα των ισοτιμιών x mod 4 x mod 6 Δεν υπάρχει καμία κοινή λύση στις δύο παραπάνω ισοτιμίες καθώς η πρώτη ισοτιμία απαιτεί το x να είναι περιττός και η δεύτερη ισοτιμία απαιτεί το x να είναι άρτιος. Παράδειγμα 8.4 4

Να λυθεί το σύστημα των ισοτιμιών x mod 4 x 3mod5 Παρατηρούμε ότι x 8είναι μια κοινή λύση. Για να βρούμε όλες τις λύσεις του συστήματος, προχωράμε όπως παρακάτω. Η πρώτη ισοτιμία επαληθεύεται από το x αν και μόνο αν x ( x ), δηλαδή x 4 k. Αντικαθιστώντας το x στην δεύτερη ισοτιμία έχουμε 4k 3mod5, δηλαδή 4k mod5. Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι k mod5 είναι η μόνη λύση της παραπάνω ισοτιμίας. Επομένως k είναι λύση της 4k 3mod5 αν και μόνο αν το k μπορεί να γραφεί στη μορφή k 4 5 j, όπου j είναι ένας ακέραιος. Επομένως x ικανοποιεί και τις δυο ισοτιμίες αν και μόνο αν υπάρχει ένας ακέραιος j τέτοιος ώστε x 4(4 5) j0 8 j. Επομένως, η μοναδική λύση του συστήματος των ισοτιμιών είναι x 8mod 0. Αυτά που παρατηρήσαμε σε αυτό το παράδειγμα είναι ένα πιο γενικό παράδειγμα που περιγράφεται στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 8. Αν ( m,) n τότε οι ισοτιμίες x a mod m x b mod n έχουν μια μοναδική κοινή λύση modulo m n. Απόδειξη Η πρώτη ισοτιμία έχει λύση αν και μόνο αν x () x a, δηλαδή αν και μόνο αν υπάρχει ένας ακέραιος k τέτοιος ώστε x a m k. Τότε η δεύτερη ισοτιμία γίνεται m k () bmod a n. Αφού ( m,) n αυτή η ισοτιμία έχει μοναδική λύση modulo n, με άλλα λόγια k c mod n. Επομένως, το k ικανοποιεί την m k () bmod a n αν και μόνο αν υπάρχει ακέραιος j τέτοιος ώστε k c n j, όπου j είναι ένας ακέραιος. Οπότε x a m k a m () c n j a m c m n k amod m c m n. Όλες οι λύσεις είναι ισότιμες με () amod m c m n, επομένως υπάρχει μια μοναδική λύση modulo m n. Αυτό το αποτέλεσμα είναι μια ειδική περίπτωση ενός πιο γενικού Θεωρήματος. 43