1 11.6 11.8 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 50 51 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας Εµβαδόν κυκλικού τοµέα µ ο σε κύκλο ακτίνας Εµβαδόν κυκλικού τοµέα α rad π µ 180 σε κύκλο ακτίνας 1 α π µ 360
. Με βάση το παρακάτω σχήµα χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις σωστές (Σ) ή λανθασµένες () και αιτιολογήστε την απάντηση σας. i) (O AB ) ( O ) Σ. ii) (O ) ( O ) Σ. iii) (O ) (O AB ) Σ. iν) (OA ) (Ο) Σ Σ. ν) ε 1 ε νi) λ 6 πάντηση i) Σωστό επειδή οι τοµείς έχουν ίσες γωνίες ii) Σωστό επειδή οι τοµείς έχουν ίσες γωνίες Σ. iii) Σωστό αφού η γωνία του (O ) είναι µ και του (O AB ) είναι µ iν) άθος διότι (OA ) (Ο) αφού Ο διάµεσος του ν) Σωστό σαν διαφορές ίσων εµβαδών (Ο) (Ο ) και(o AB ) ( O ) νi) Σωστό αφού µ+µ 180 ο µ 60 ο
3 3. Στο παρακάτω σχήµα υπάρχουν δύο οµόκεντροι κύκλοι µε ακτίνες ΟΕ και Ο. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος () κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε την απάντηση σας. A Ε B Ζ Ο Θ Η i) l l Σ. ii) l l ΕΖ Σ iii) l l Σ iν) (ΖΕ) ( ΘΗ) Σ. πάντηση i) Είναι σωστό διότι τα τόξα και βρίσκονται στον ίδιο κύκλο και έχουν ίσες γωνίες ii) Είναι λάθος διότι έχουν ίσες γωνίες αλλά βρίσκονται σε κύκλους µε άνισες ακτίνες iii) Είναι λάθος λόγω του (i) iν) Σωστό διότι είναι διαφορές των παρακάτω ίσων εµβαδών (O AB ) ( O ), (OΕΖ ) ( OΘΗ ).
σκήσεις Εµπέδωσης 1. ίνεται κύκλος (Ο,) και ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραµµένο σε αυτόν. Να βρεθεί το εµβαδόν του εγγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου. O K Η ακτίνα ΟΚ του εγγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου είναι ίση µε το απόστηµα α 3 L (O,OK) π π. ίνεται κύκλος (Κ) και τόξο του AB 60 ο. ν το τόξο AB έχει µήκος π cm, να βρείτε το εµβαδόν του κύκλου (Κ). Έστω η ακτίνα του κύκλου (Κ) 60 l π π AB 180 E π π.1 1π cm (K) 3 1
5 3. ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. ράφουµε τα τόξα των κύκλων (,α), (, α) και (, α) που περιέχονται στις γωνίες Â, ˆB και ˆ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α την περίµετρο και το εµβαδόν του καµπυλόγραµµου τριγώνου. πα 60 πα l B 180 3 Περίµετρος 3 l B πα ε Ε B ( ) πα 60 α 3 360 Εµβαδόν καµπυλόγραµµου τριγώνου 3 ε B + () πα α 6 3 πα α 3 α 3 3 ( ) + 6 πα α 3 α 3 3 + πα α 3 πα α 3 α π ( 3)
6. Στο διπλανό σχήµα έχει σχεδιαστεί ένα µ µ 1 µ 3 ηµικύκλιο διαµέτρου και εξωτερικά του τα ίσα ηµικύκλια µε διαµέτρους Ο,, και. ν ( µ 1), ( µ ), ( 3) µ είναι τα εµβαδά k Ο των τριών σχηµατιζόµενων µηνίσκων και ( κ ) το εµβαδόν του ηµικυκλίου, να αποδείξετε ότι ( µ 1) + ( µ ) + ( µ 3) + ( ) κ ( ). A 60 0 τα τρίγωνα Ο, Ο, Ο είναι ίσα ισόπλευρα πλευράς. 3 Άρα Ε 60 3 3 ε Ε Ο (Ο ) 360 6 π ( µ 1) ε ηµικυκλίου ε 3 6 π 8 3 3 3 + 6 ( µ ) ( µ 3) ( µ 1) + ( µ ) + ( µ 3) + ( κ ) 3( µ 1) + ( κ ) (AB ) 3(Ο ) 3 3 + 3 3 + 3 3 3 8 3 3 + () π 8 3 3 (1)
7 (1), () ( µ 1) + ( µ ) + ( µ 3) + ( ) κ ( ). 5. Τρεις ίσοι κύκλοι ακτίνας εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο στα σηµεία, και. Να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν του καµπυλόγραµµου τριγώνου, ως συνάρτηση του. Έστω Κ,, Μ τα κέντρα των κύκλων. Είναι Κ Μ ΜΚ και l 60 180 π ίση µε Ρ 3 3 3 συνεπώς η περίµετρος του καµπυλόγραµµου τριγώνου είναι (ΚΜ) ( ) 3 3 K ε Κ 60 360 6 Μ Εµβαδόν καµπυλόγραµµου τριγώνου (ΚΜ) 3 ε Κ 3 3 6 3 ( 3 π )
8 ποδεικτικές σκήσεις 1. ίνεται κύκλος (Ο,) και ακτίνα του Ο. Στην προέκταση της Ο προς το παίρνουµε σηµείο, ώστε Ο. ν είναι το εφαπτόµενο τµήµα που άγεται από το προς τον κύκλο, να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν του µικτόγραµµου τριγώνου, ως συνάρτηση του. Ο Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο είναι Ο OB, άρα 0 0 ˆB 30, άρα Ô 60 60 l 180 3 Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Ο: Ο Ο ( ) 3 3 Περίµετρος του µικτόγραµµου τριγώνου l + + + 3 + 3 ( 3 3 3) 3 π+ + Εµβαδόν του µικτόγραµµου τριγώνου (Ο) Ε Ο 1 Ο 60 360 1 3 3 π 6 6
9. ίνεται τετράγωνο πλευράς α και τα τόξα B και των κύκλων (, α) και (, α) αντίστοιχα. Να βρεθεί το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου µέρους του τετραγώνου. 1 Κ Τρίγωνο Κ ισόπλευρο Â 60 ο Â 30 ο 1 ε AK ε Κ ( Κ) µ ε Κ ε AK πα 60 α 3 360 πα α 3 6 πα 30 πα α 3 360 6 πα 1 α 3 πα α 3 + 6 πα 1 Ζητούµενο εµβαδόν ( ) µ πό το εµβαδόν του τετραγώνου θα αφαιρέσουµε τα δύο ίσα λευκά µικτόγραµµα τρίγωνα. ια το εµβαδόν µ του µικτόγραµµου τριγώνου AKB, από τον κυκλικό τοµέα AKB θα αφαιρέσουµε το κυκλικό τµήµα Κ α α α α 3 πα 1 α 3 πα + 6 3 π 1 + 6
10 3. ύο ίσοι κύκλοι ακτίνας έχουν διάκεντρο ίση µε του κοινού τους µέρους. Κ Είναι KA + Ζητούµενο εµβαδόν δύο κυκλικά τµήµατα ( ε Κ (Κ) ) 90 1 360 π 1. Να βρεθεί το εµβαδόν + Κ A ( ) Άρα Κ ˆ 1 Άρα ο ρόµβος Κ είναι τετράγωνο
11. ίνεται ένα ηµικύκλιο διαµέτρου και στο εσωτερικό του τα ηµικύκλια διαµέτρων και, όπου σηµείο της διαµέτρου. Η κάθετος της στο τέµνει το αρχικό ηµικύκλιο στο. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται µεταξύ των τριών ηµικυκλίων ( άρβηλος του ρχιµήδη ) είναι ίσο µε το εµβαδόν του κύκλου διαµέτρου. Εµβ. µεταξύ των τριών ηµικυκλίων ηµικ. διαµέτρου ηµικύκλιο. διαµέτρου ηµικύκλιο διαµέτρου Εµβαδόν µεταξύ των τριών ηµικυκλίων AB A B π π π π π π 8 8 8 π 8 π ( + ) 8 π + + ( ) ( ) ( ) 8 π (1) Εµβαδόν του κύκλου διαµέτρου π π π () πό τις (1), (), αρκεί να ισχύει, το οποίο συµβαίνει, αφού το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε ύψος.
1 5. ίνεται κύκλος (Ο,) και τόξο του 60 ο. Να βρεθεί το εµβαδόν του εγγεγραµµένου κύκλου στον κυκλικό τοµέα Ο. O 1 x x Ε x K Έστω (Κ,x) ο εγγεγραµµένος κύκλος στον κυκλικό τοµέα και,, Ε τα σηµεία επαφής. Κ ΚΕ ΟΚ διχοτόµος της ˆΟ. Άρα ˆΟ 30 ο OK x ΟΚ x 1 Είναι ΟΚ + Κ x + x 3 x x 3 E π x π 3 9
13 Σύνθετα Θέµατα 1. Έστω τρίγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,). Οι πλευρές και είναι αντίστοιχα πλευρές κανονικού εξαγώνου και ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραµµένου στον κύκλο. Να υπολογισθούν: i) το µήκος της πλευράς, ii) ο λόγος των εµβαδών του τριγώνου και του κύκλου (Ο,), iii) το εµβαδόν των τριών κυκλικών τµηµάτων, που ορίζονται από τις πλευρές του τριγώνου και περιέχονται στις αντίστοιχες κυρτές γωνίες. iii) ε A ε ε A O ε Ο (Ο) ε Ο (Ο) 1 E 1 κύκλου π i) λ 6 60 ο λ 3 3 10 ο Άρα 180 ο διάµετρος ii) (AB) 1. 1 3 3 E κύκλου π Άρα ( ) AB 3 Ε π κύκλου 60 3 360 6 10 1 360 λ 3α 3 3 3 1 3 3 3
1. ίνεται κύκλος (Ο,). Με κέντρο τυχαίο σηµείο του και ακτίνα την πλευρά του τετραγώνου του εγγεγραµµένου σε αυτόν, γράφουµε κύκλο. Να βρεθεί το εµβαδόν του κοινού µέρους των δύο κύκλων. K Με κέντρο Κ και ακτίνα λ γράφουµε κύκλο, που τέµνει τον (Ο,) στα σηµεία και. A O B Κ Κ ΚΚ 90 ο Ο διάµετρος και Κ ˆ 90 ο. Ζητούµενο Ε (τεταρτοκύκλιο Κ ) + ( κυκλικό τµήµα Κ) π ( ) + (κυκλικός τοµέας ΟΚ τρ. ΟΚ) π + 1 π + π π 3. ύο ίσοι κύκλοι ακτίνας έχουν διάκεντρο ίση µε 3. Να βρείτε, ως συνάρτηση του, το εµβαδόν του κοινού µέρους. Κ Μ Έστω (Κ, ) και (, ) οι δύο κύκλοι µε Κ 3 και κοινή χορδή Κ ρόµβος πλευράς Κ, διχοτοµούνται κάθετα σε σηµείο Μ. Άρα ΚΜ Κ 3 α 6 λ. 6 Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, εποµένως Κ ˆ 60 ο. Ζητούµενο Ε (. κυκλικό τµήµα ) (κυκλικός τοµέας Κ τρ.κ) 60 3 360 π 3 6 π 3 3
15. ίνεται κύκλος (Ο,) και µια διάµετρός του. Με κέντρο το µέσο του ενός ηµικυκλίου και ακτίνα γράφουµε κύκλο, ο οποίος ορίζει µε το άλλο ηµικύκλιο τον µηνίσκο, έστω µ. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του µ ισούται µε το εµβαδόν του τριγώνου. Ο µ Πυθαγόρειο θεώρηµα στο τρίγωνο : ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ρκεί να αποδείξουµε ότι (µ) () (µ) + (κυκλ.τµήµα ) () + (κυκλ.τµήµα ) (ηµικύκλιο διαµέτρου ) (κυκλικού τοµέα A ) π π( ) 90 360 ( ) ( ) που ισχύει από την (1)