Λυμένες Aσκήσεις ( ) p = vi

30Mέρος Λυμένες Aσκήσεις Άσκηση Προσδιορίστε το εάν οι πηγές του Σχ. προσδίδουν ή απορροφούν ενέργεια από το κύκλωμα με το οποίο είναι συνδεδεμένες (το κύκλωμα δεν έχει σχεδιασθεί). 3A 5A 2V 4A 9V 4A 9V 6V ( ) () ( ) () Σχήμα. Ανεξάρτητες πηγές. Η ισχύς δίδεται από τη σχέση p = Για οποιοδήποτε στοιχείο, το ρεύμα είναι θετικό εάν εισέρχεται από το θετικό ακροδέκτη. Σε αυτή τη περίπτωση, το στοιχείο απορροφά ισχύ (αλλιώς αποδίδει). Επομένως, έχουμε (α) p = 2 3 = 36W > 0, η πηγή απορροφά ισχύ (φορτίζεται). (β) p = 9 ( 4) = 36W < 0, η πηγή αποδίδει ισχύ (εκφορτίζεται). (γ) p = 9 ( 4) = 36W < 0, η πηγή αποδίδει ισχύ (εκφορτίζεται). (δ) p = 6 ( 5) = 30W > 0, η πηγή απορροφά ισχύ (φορτίζεται). Άσκηση 2 Μία ηλεκτρική αντίσταση = 4Ω διαρρέεται από ρεύμα έντασης = 3sn(ωt)(A). Να υπολογισθούν η τάση, η ισχύς και η ενέργεια μετά από μία περίοδο. Δίνεται: ω = 500πrads. Η τάση, η ισχύς και η ενέργεια δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: = p = = 2

w = Αντικαθιστώντας στις παραπάνω σχέσεις τα δεδομένα της εκφώνησης προκύπτουν: 0 t pdt = 2sn(ωt) p = 36 sn 2 (ωt) w = 36( t 2 sn(2ωt) 4ω ) (A) 4 3 2 0 2 3 4 0 2 3 4 5 6 7 ωt Σχήμα 2. Απόκριση ρεύματος. 40 30 p (W) 20 0 0 0 0 2 3 4 5 6 7 ωt Σχήμα 22. Ισχύς σε συνάρτηση με το χρόνο. 0.08 0.06 w (mj) 0.04 0.02 0 0.02 0 2 3 4 5 6 7 ωt Σχήμα 23. Ενέργεια σε συνάρτηση με το χρόνο. 2

Οι γραφικές παραστάσεις του ρεύματος, της ισχύος και της ενέργειας φαίνονται στα Σχ. 2, 22, 23 αντίστοιχα. Όπως φαίνεται η ισχύς είναι πάντα θετική και η ενέργεια αυξάνεται με το χρόνο. Αυτή η ενέργεια απορροφάται από τον αντιστάτη. Άσκηση 3 Σε έναν επαγωγέα με αυτεπαγωγή L = 5.0mH εφαρμόζεται τάση, η οποία περιγράφεται από το νόμο: 5V, 0< t < 2ms = 35V, 2< t < 4ms Να σχεδιαστούν οι γραφικές παραστάσεις της τάσης και του ρεύματος σαν συνάρτηση του χρόνου. Για 0 < t < 2ms η ένταση του ρεύματος είναι: = t t dt L = 5dt = 3 0 3 t(a) 0 5 0 3 0 Για t = 2ms : = 6.0A Και για 2 < t < 4ms : t = 6.0 dt L 2 0 3 t = 6.0 35dt 5 0 3 2 0 3 = 6.0 5 0 [ 35t 3 (70 0 3 )](A) = 20 (7 0 3 t)(a) Οι γραφικές παραστάσεις της τάσης και του ρεύματος σαν συνάρτηση του χρόνου φαίνονται στο Σχ. 3. 20 0 0 0 20 30 40 0 0.5.5 2 2.5 3 3.5 4 t (ms) 0 5 0 5 0 0 2 3 4 5 t (ms) Σχήμα 3. Απόκριση τάσης και ρεύματος. 3

Άσκηση 4 Η τάση ενός πυκνωτή, χωρητικότητας C = 50μF, περιγράφεται από το νόμο: = 30 0 3 t(v ), για 0 < t < 2ms. Να σχεδιαστούν οι γραφικές παραστάσεις του ρεύματος, της ισχύος και της ενέργειας του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο για το δοθέν διάστημα. Επίσης, να υπολογισθεί η μέγιστη ενέργεια του πυκνωτή. Για 0 < t < 2ms, το ρεύμα, η ισχύς και η ενέργεια του πυκνωτή υπολογίζονται: = C d dt = d 50 0 6 dt (30 03 t) =.5A p = = (30 0 3 t).5 = 45 0 3 t(w) w C = pdt = 2.25 0 4 t 2 (mj) 0 t Η μέγιστη ενέργεια του πυκνωτή, για t = 2ms, υπολογίζεται: ή w C max = (2.25 0 4 )(2 0 3 ) 2 = 90mJ w C max = 2 CV 2 max = 2 (50 0 6 )(60) 2 = 90mJ Οι ζητούμενες γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα Σχ. 4, 42, 43. (V) 70 60 50 40 30 20 0 0 0 0 0.5.5 2 2.5 t (ms) Σχήμα 4. Απόκριση τάσης. (A).5.5.5.5.5.5 0 0.5.5 2 2.5 t (ms) Σχήμα 42. Απόκριση ρεύματος. 4

00 80 w (mj) 60 40 20 0 20 0 0.5.5 2 2.5 t (ms) Σχήμα 43. Ενέργεια του πυκνωτή της άσκησης 5 σε συνάρτηση με το χρόνο. Άσκηση 5 Οι γραφικές παραστάσεις της τάσης και του ρεύματος ενός απλού ηλεκτρικού στοιχείου δίνονται στα Σχ. 5, 52. Να ορίσετε το ηλεκτρικό στοιχείο. (A) 0 0 0 2 4 6 8 t (ms) Σχήμα 5. Απόκριση ρεύματος. (V) 5 0 2 4 6 8 t (ms) 30 Σχήμα 52. Απόκριση τάσης. Το ηλεκτρικό στοιχείο δεν θα μπορούσε να είναι αντιστάτης, λόγω της μη αναλογίας της τάσης και του ρεύματος, όπως εξάλλου φαίνονται στις γραφικές παραστάσεις. Επίσης, για 2ms < t < 4ms, 0, η τάση είναι σταθερή (μηδέν). Συνεπώς, το ηλεκτρικό στοιχείο δεν θα μπορούσε να είναι ούτε πυκνωτής. Για 0 < t < 2ms είναι: και d dt = 5 03 As 5

=4 x = 5V. Άρα, καταλήγουμε στο συμπέρασμα, ότι το ηλεκτρικό στοιχείο είναι πηνίο, με συντελεστή αυτεπαγωγής, L = / d dt = 3mH Σημείωση: Εξετάστε την τιμή του συντελεστή αυτεπαγωγής στο διάστημα 4ms < t < 6ms. Άσκηση 6 Προσδιορίστε την τάση του αντιστάτη = 5Ω (βλ. Σχ. 6), εάν το ρεύμα ελέγχου της εξαρτημένης πηγής ρεύματος x είναι: (α) 5A, (β) 3A. 4V Σχήμα 6. Το κύκλωμα της άσκησης 6. Το ρεύμα που διαρρέει τον αντιστάτη δίνεται από τη σχέση: = 4 x Η τάση στα άκρα του αντιστάτη δίνεται από τη σχέση: = = 60 x Συνεπώς, για x = 5A υπολογίζεται: = 300V και για x = 3A υπολογίζεται: = 80V Άσκηση 7 Να προσδιορισθεί η τάση 3 και η πολικότητά της (Σχ. 7), εάν το ρεύμα, το οποίο διαρρέει το κύκλωμα είναι 0.50A. Δίνονται: = 0Ω, 2 = 30Ω, = 40V, 2 = 0V. 6

2 2 a 3 b Σχήμα 7. Το κύκλωμα της άσκησης 7. Ας υποθέσουμε ότι η τάση 3 έχει την ίδια πολικότητα με την. Εφαρμόζοντας το νόμο τάσεων του Krchoff και ξεκινώντας από την κάτω αριστερή γωνία του κυκλώματος παίρνουμε: (0) 2 (30) 3 = 0 40 5 0 5 3 = 0 3 = 0V Κατά συνέπεια η πολικότητα του σημείου (b) είναι θετική και του (α) αρνητική. Άσκηση 8 Να προσδιορισθούν τα ρεύματα, 2 του δικτύου που φαίνεται στο Σχ. 9. Δίνονται: 6 = 2A, 7 = 5A, 3 = 0A, 4 = 5A, 5 = 2A. 6 2 7 3 5 4 Σχήμα 8. Το δίκτυο της άσκησης 8. Τα σημεία (α), (β) αποτελούν έναν κόμβο, έστω τον (αβ). Εφαρμόζοντας το νόμο ρευμάτων του Krchoff για τον κόμβο (αβ) παίρνουμε την παρακάτω εξίσωση: 0 5 = 2 = 3A Η φορά της έντασης, 2 είναι η αντίθετη αυτής που σημειώθηκε. Κατά τον ίδιο τρόπο τα σημεία (γ), (δ) αποτελούν έναν κόμβο, έστω τον (γδ). Εφαρμόζοντας ξανά το νόμο ρευμάτων του Krchoff για τον κόμβο (γδ) παίρνουμε την παρακάτω εξίσωση: 2 5 = 2 3 2 = 20A 7

Άσκηση 9 Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος που φαίνεται στο Σχ. 9. Δίνονται: = 30Ω, 2 = 30Ω, 3 = 5Ω, 4 = 5Ω. 3 4 2 Σχήμα 9. Το κύκλωμα της άσκησης 9. Οι αντιστάσεις, 2 είναι παράλληλα συνδεδεμένες, πράγμα που σημαίνει ότι η ισοδύναμη αντίσταση των δύο αυτών αντιστάσεων είναι: eq = (30)(30) (30 30) = 5Ω Ο αντιστάτης αυτός συνδέεται σε σειρά με την αντίσταση 4 αντίσταση των δύο αυτών αντιστάσεων είναι:, άρα ισοδύναμη eq2 = 5 5 = 30Ω H ζητούμενη, ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος είναι: eq = (30)(5) (30 5) = 0Ω, αφού οι αντιστάσεις 3, eq2 είναι συνδεδεμένες παράλληλα. Άσκηση 0 Να υπολογισθούν τα ρεύματα σε όλους τους κλάδους του παρακάτω κυκλώματος (Σχ. 0). Δίνονται: = 0Ω, 2 = 6Ω, 3 = 4Ω, 4 = 8Ω, 5 = 2Ω, 6 = Ω. Η πηγή ρεύματος είναι 6.6A. 6 4 2 3 3 5 6 2 4 5 Σχήμα 0. Το κύκλωμα της άσκησης 0. 8

Οι αντιστάσεις, 2 είναι παράλληλα συνδεδεμένες μεταξύ τους και με την 6 είναι συνδεδεμένες σε σειρά. Κατά συνέπεια, η ισοδύναμη αντίσταση των, 2, 6 είναι η: eq26 = (0)(6) = 4.75Ω (0 6) Επίσης, οι αντιστάσεις 4, 5 αντίστασή τους υπολογίζεται: είναι παράλληλα συνδεδεμένες, άρα ισοδύναμη eq 45 = (8)(2) (8 2) =.6Ω 4 3 3 eq26 eq45 Σχήμα 02. Ισοδύναμο κύκλωμα της άσκησης 0. Έτσι, παίρνουμε ένα νέο κύκλωμα που εικονίζεται στο Σχ. 02. Τα ρεύματα υπολογίζονται από το νόμο ρευμάτων και τάσεων του Krchoff. Πράγματι: 4.75 3 =.6 4 6.6 = 3 4 Από τις δύο τελευταίες σχέσεις προκύπτουν οι τιμές των ρευμάτων 3, 4 : 3 = 4.8A 4 = 2.42A Επιστρέφοντας στο αρχικό κύκλωμα του Σχ. 0, υπολογίζουμε και τα υπόλοιπα ρεύματα των κλάδων. Είναι: 0 = 6 2 4.8 = 2 2 6 = 8 5 2.42 = 5 6 Από τις τελευταίες σχέσεις προκύπτουν οι τιμές των ρευμάτων, 2, 5, 6 : 9

=.5675A 2 = 2.625A 5 = 2.4840A 6 = 9.9360A Άσκηση Να υπολογισθούν τα ρεύματα σε όλους τους κλάδους του παρακάτω κυκλώματος (Σχ. ). Δίνονται: = 0Ω, 2 = 6Ω, 3 = 4Ω, 4 = 3Ω. Η τάση της πηγής είναι 55V. 2 2 3 3 4 4 Σχήμα. Το κύκλωμα της άσκησης. Εφαρμόζοντας τους νόμους του Krchoff (τάσεων και ρευμάτων) εξάγονται οι σχέσεις: 6 2 = 4 3 6 2 = 3 4 55 = 0 6 2 = 2 3 4 Από τις τελευταίες σχέσεις προκύπτουν οι τιμές των ρευμάτων, 2, 3, 4 : = 4.38A 2 = 0.70A 3 = 2.80A 4 = 0.80A Άσκηση 2 Να υπολογιστεί το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση 4 (Σχ. 2) χρησιμοποιώντας την αρχή της επαλληλίας στις εξής δύο περιπτώσεις (α) Θεωρείστε ότι η πηγή ρεύματος μηδενίζεται, δηλαδή ότι είναι ανοικτοκύκλωμα, (β) θεωρείστε ότι η πηγή τάσεως μηδενίζεται, δηλαδή ότι είναι βραχυκύκλωμα. Στη συνέχεια, υπολογίστε το ζητούμενο ρεύμα σαν επαλληλία των ρευμάτων που υπολογίσατε στις περιπτώσεις (α) και (β). Δίνονται: = 2Ω, 2 = 8Ω, 3 = 2Ω, 4 = 20Ω και s = 80V, s = 8A. 0

3 2 S 4 S Σχήμα 2. Κύκλωμα της άσκησης 2. (α) Θεωρούμε το κύκλωμα του Σχ. 22 και σαν υποκύκλωμα τη πηγή τάσεως. Αφαιρώντας τη πηγή τάσεως από το κύκλωμα, υπολογίζουμε την ισοδύναμη αντίσταση στους ακροδέκτες όπου ήταν συνδεδεμένη σαν eq = 2 ( ) 3 4 2(2 20) = 8 3 4 2 2 20 = 25.76Ω 3 2 ' 4 4 S Σχήμα 22. Κύκλωμα της άσκησης 2. Το ρεύμα που διέρχεται από τη πηγή είναι: s = s eq = 80 25.76 = 6.99A Επομένως, το ρεύμα που διέρχεται από την αντίσταση 4 υπολογίζεται με διαίρεση ρεύματος μεταξύ της και της 3 4 ( 4 ) = 3 s = 2 6.99 = 2.47A 4 34 (β) Όταν ενεργεί μόνο η πηγή ρεύματος στο κύκλωμα (Σχ. 23), τότε η ισοδύναμη αντίσταση των αντιστάσεων, 2, 3 είναι: eq23 = 3 2 2 = 2 2(8) 2 8 = 9.2Ω

3 2 S '' 4 4 Σχήμα 23. Κύκλωμα της άσκησης 2. Το ρεύμα που διαρρέει σε αυτήν την περίπτωση την αντίσταση 4 είναι: ( 4 ) = eq23 eq23 s = 9.2 8 = 5.67A 4 9.2 20 Συνεπώς, το ολικό ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση 4 με επαλληλία είναι: 4 = ( 4 ) ( 4 ) = 2.47 5.67 = 8.4A Άσκηση 3 Να βρεθούν τα ισοδύναμα κυκλώματα κατά Theenn και κατά Norton του υποκυκλώματος που παρίσταται στο Σχ. 3 και να επιλυθούν. Δίνονται: = 2Ω, 2 = Ω, 3 = 6Ω και s = 8V, s 2 = 2V. 2 3 S S 2 Σχήμα 3. Το κύκλωμα της άσκησης 3. Tο υποκύκλωμα αυτό περιέχει μόνο ανεξάρτητες πηγές, άρα για να βρούμε το ισοδύναμο κατά Theenn αρκεί να βρούμε την τάση αβ και την αντίσταση που θα έβλεπε ένα βολτόμετρο συνδεδεμένο στους ακροδέκτες αβ αφού μηδενισθούν οι πηγές. Γράφοντας το NTK για το βρόχο με τις δύο πηγές έχουμε: s s 2 ( 2 ) = 0 Eπομένως, το ρεύμα που διαρρέει το βρόχο είναι 2

= s s 2 8 2 = 2 2 = 2.3A Eπειδή η αντίσταση 3 δεν διαρρέεται από ρεύμα, η τάση αβ είναι ίση με την τάση των δύο παράλληλων κλάδων. H τάση αυτή, υπολογισμένη για τον αριστερό κλάδο είναι αβ = T = s = 8 2 2.3V = 3.38V Η ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος όπως φαίνεται από τους ακροδέκτες αβ υπολογίζεται αφού βραχυκυκλωθούν οι πηγές, βλ. Σχ. 32. T = 3 2 2 = 6 (2)() 2 = 7.692Ω 3 2 Σχήμα 32. Yπολογισμός αντίστασης από ακροδέκτες αβ. Tο ισοδύναμο κατά Norton αποτελείται από την αντίσταση Theenn παράλληλα με πηγή ρεύματος μέτρου β = T = T / T = 3.38 / 7.692 =.739A Άσκηση 4 Η αντίσταση l διαρρέεται από ρεύμα μέσω της ελεγχόμενης τάσης που φαίνεται στο κύκλωμα του Σχ. 4 που ακολουθεί. Αυτό επιτυγχάνεται με τη βοήθεια της εσωτερικής αντίστασης και της εξωτερικής o. Να υπολογισθεί ο λόγος τάσεων 2 / s. S s 0 A k 2 l B Σχήμα 4. Το κύκλωμα της άσκησης 4. 3

Λόγω της διαίρεσης τάσης ισχύει: = s s Κατά τον ίδιο τρόπο η τάση εξόδου είναι: l 2 = k l o = k l ( l o )( s ) s 2 s = k l ( l o )( s ) Άσκηση 5 Να προσδιοριστεί ο λόγος τάσεων 2 / s (βλ. Σχ. 5) σαν συνάρτηση του λόγου b /( 2 ). Επίσης, είναι γνωστό ότι ισχύει: 2 = k 2 S A k 2 B Σχήμα 5. Το κύκλωμα της άσκησης 5. Από το νόμο ρευμάτων του Krchoff, χρησιμοποιώντας και το νόμο του Ohm προκύπτει η σχέση: Άσκηση 6 s 2 2 2 = 2 k s = 0 2 k 2 s k 2 2 k = ( b) 2 k bk = 0 Η τάση στα άκρα ενός πυκνωτή χωρητικότητας 50nF αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο από 0 σε 5V (βλ. Σχ. 6). (α) Να βρεθεί το φορτίο του πυκνωτή για χρόνο t = T και (β) Να υπολογισθεί το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή για χρόνο T =.5s, T =.5ms, T =.5μs. 4

s T (t) 0 T t Σχήμα 6. Η απόκριση της τάσης του πυκνωτή της άσκησης 6. (α) Για t = T, η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι c = 5V. Το φορτίο του πυκνωτή τότε θα είναι: Q = C c =.5 0 7 5 = 2.25 0 6 C (β) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον πυκνωτή δίνεται από τη σχέση: c (t) = C d c dt Σύμφωνα με το Σχ. το ρεύμα υπολογίζεται: 0 t < 0 c (t) = o = 2.25 0 6 /T(A) t < 0 <T 0 t >T Για T =.5s προκύπτει 0 = 0.67 0 6 A. Για T =.5ms προκύπτει 0 = 0.67 0 3 A και για T =.5μs, προκύπτει 0 = 0.67A. Και για τις τρεις αυτές περιπτώσεις ο πυκνωτής αποθηκεύει φορτίο (με το πέρασμα μίας περιόδου T ), το οποίο είναι: Q = 0 T c (t)dt = 0 T = 2.25 0 6 C Σημείωση: Η τιμή του φορτίου του πυκνωτή για t = T είναι ανεξάρτητη του T. Άσκηση 7 O πυκνωτής του Σχ. 7 συνδέεται με το υπόλοιπο κύκλωμα σε χρόνο t = 0. Λίγο πριν τη σύνδεσή του, η τάση του ήταν C (0 ) = 2V. Να ευρεθεί η απόκριση των τάσεων των αντιστάσεων 2 και 3 καθώς και τα δυναμικά των σημείων Α και Β, για t > 0. 5

5 6k 2 2k 3 4k 3k t 0 C 9F 4 2k Σχήμα 7. Κύκλωμα με ένα πυκνωτή. Κατασκευάζουμε το γραμμικό γράφο του κυκλώματος (Σχ. 72α) και το κανονικό δένδρο (με μαύρη γραμμή στο Σχ. 72β). Βάσει αυτών έχουμε 5 5 2 3 2 3 C 4 C 4 ( ) ( ) Σχήμα 72. (α) Γραμμικός γράφος και (β) κανονικό δένδρο και δεσμοί. Στη συνέχεια γράφουμε τις εξισώσεις των στοιχείων, με τις πρωτεύουσες μεταβλητές στο αριστερό μέρος. Εξισώσεις Στοιχείων d C dt = C C = 2 = 2 / 2 3 = 3 / 3 4 = 4 4 5 = 5 / 5 NTK με τις δευτερεύουσες μεταβλητές στο αριστερό μέρος. 6

2 C = 0 2 = C 4 3 C = 0 3 = C 4 5 4 = 0 5 = 4 NΡK με τις δευτερεύουσες μεταβλητές στο αριστερό μέρος. 2 5 = 0 = 2 5 2 C 3 = 0 C = 2 3 5 3 4 = 0 4 = 5 3 Με αντικατάσταση στην εξίσωση στοιχείου του πυκνωτή, έχουμε d C dt = ( C / 2 2 3 / 3 ) Επειδή έχουμε πολλές αλγεβρικές σχέσεις, είναι προτιμητέο να βρούμε τη κάθε τάση στη παραπάνω σχέση ξεχωριστά. Οι εξισώσεις με τα ρεύματα δίνουν / 2 / 2 5 / 5 = 0 3 / 3 4 / 4 5 / 5 = 0 Εάν προσθέσουμε τις εξισώσεις των τάσεων που γράφτηκαν παραπάνω, δηλαδή, 2 = C 4 3 = C 5 4 = 0 έχουμε ένα σύστημα 5 εξισώσεων με 5 αγνώστους, τις τάσεις των αντιστάσεων. Επιλύουμε αυτό το αλγεβρικό σύστημα και έχουμε διαδοχικά = ( C / 2 5 / 5 ) 2 2 4 = ( C / 3 5 / 5 ) 3 4 3 4 ( 3 2 4 ) 5 5 = ( 2 ( 3 4 ) 3 4 ( 2 ) 5 ( 2 )( 3 4 )) = 0, 074 C C 7

Τότε έχουμε = ( C / 2 5 / 5 ) 2 2 = 0, 643 C 4 = ( C / 3 5 / 5 ) 3 4 4 = 0,743 C 2 = C = 0, 3857 C 3 = C 4 = 0, 2857 C και d C dt = ( C / 2 2 3 / 3 )= 9 0 0, 2643 6 0 3 C = 29, 36 C Η απόκριση της εξίσωσης κατάστασης είναι και η χρονική σταθερά είναι C (t) = 2e 29,36t V τ = s = 0, 034s = 34ms 29, 36 H εξίσωση εξόδου δίνει το τελικό αποτέλεσμα 2 3 A B 0, 3857 4, 6284e 29,36t 0, 2857 = 3, 4284e 29,36t 0, 643 C (t) = 7, 376e 29,36t V 2, 00e 29,36t Άσκηση 8 Να υπολογισθούν τα,, του κυκλώματος που εικονίζεται στο Σχ. 8. Δίνονται: = 2Ω, 2 = 6Ω,L = 5mH. Η πηγή τάσης s είναι βηματικής μορφής συνάρτηση με πλάτος 9 V. 8

S 2 L Σχήμα 8. Το κύκλωμα της άσκησης 8. Σύμφωνα με το θεώρημα Theenn το κύκλωμα παίρνει τη μορφή του Σχ. 82, όπου και Th = 2 2 = 4Ω Th = 6 9V = 3V 2 6 Th A Th B L Σχήμα 82. Το ισοδύναμο κύκλωμα Theenn της άσκησης 8. Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι: τ = L Th =.25ms Η αρχική τιμή του ρεύματος είναι μηδέν, ενώ η τελική υπολογίζεται: ( ) = Th Th = 3 4 A = 0.75A Η σχέσεις που δίνουν το ρεύμα, την τάση και το ρεύμα είναι αντίστοιχα: = 0.75( e 800t )A, = L d dt = 3e 800t V, = 9 2 = 4 (3 e 800t )A 9

Όλες οι αποκρίσεις ισορροπούν σε χρόνο ίσο με τέσσερις χρονικές σταθερές, δηλ. σε 5 ms. Άσκηση 9 Στο Σχ. 9 που ακολουθεί, η πηγή τάσης δίνεται από τη σχέση: s =V 0 [u(t) u(t Τ)]. Επίσης, δίνονται: = kω,c = μf. Να υπολογισθεί το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα για τις περιπτώσεις: (α) V 0 = V, Τ = ms, (β) V 0 = 0V, Τ = 0.ms, (γ) V 0 = 00V, Τ = 0.0ms. S C Σχήμα 9. Το κύκλωμα της άσκησης 9. Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι: τ = C = ms Στη συνέχεια δεχόμαστε με μικρή απόκλιση του σφάλματος ότι για t << είναι e t t. Επίσης, η τάση εκφράζεται σε V, το ρεύμα σε ma και ο χρόνος σε ms. Έτσι, για τις τρεις περιπτώσεις έχουμε: (α) Για 0 < t < ms, είναι: και για t > ms : = e t, = e t, V T = e t = 0.632V (β) Για 0 < t < ms, είναι: = 0.632e (t ) =.72e t, =.72e t και για t > 0.ms : = 0( e t ) =.05e t, = 0e t, V T = 0( e t ) = 0.95V (γ) Για 0 < t < 0.0ms, είναι: = 0.95e (t 0.) =.05e t, =.05e t = 00( e t ) 00t, = 00e t 00( t), V T = 00( e 0.0 ) = 0.995V και για t > 0.0ms : 20

= 0.995e (t 0.0) =.0e t, =.0e t Άσκηση 20 Στο κύκλωμα του Σχ. 20 που ακολουθεί η πηγή ρεύματος είναι 3Α. Επίσης, δίνονται: = 20Ω και L = 3.2H. Να υπολογισθούν οι τάσεις του αντιστάτη και του πηνίου και L αντίστοιχα καθώς και πολικότητά τους τη στιγμή που ο διακόπτης από τη θέση μεταβαίνει στη θέση 2. 2 L L Σχήμα 20. Το κύκλωμα της άσκησης 20. Για t > 0.0ms, δηλαδή μετά τη χρονική στιγμή που ο διακόπτης από τη θέση πάει στη θέση 2, το ρεύμα του κυκλώματος είναι: Η τάση στα άκρα του αντιστάτη είναι: = I 0 e t L = 3e 37.5t (A) Ενώ η τάση στα άκρα του πηνίου είναι: = = 360e 37.5t (V ) L = = 360e 37.5t (V ) Άσκηση 2 Ο πυκνωτής του Σχ. 2 έχει φορτισθεί από πηγή αντίθετης πολικότητας από αυτή του κυκλώματος και έχει φορτίο Q 0 = 340μC όταν ο διακόπτης του κυκλώματος είναι ανοικτός. Σε χρόνο t = 0 ο διακόπτης κλείνει. Να προσδιορισθεί το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα και το φορτίο του πυκνωτή για χρόνο t > 0. Δίνονται: = 3kΩ, C = 7μF και η τάση πηγής = 63V. Q 0 C Σχήμα 2. Το κύκλωμα της άσκησης 2. 2

Η τάση στα άκρα του πυκνωτή όταν έχει φορτίο Q 0 = 340μC είναι: V 0 = Q 0 C = 340 7 = 20V Επομένως, τη στιγμή που κλείσει ο διακόπτης, η τάση του πυκνωτή είναι C (0 ) = 20V Η τάση του πυκνωτή αυξάνεται με το χρόνο και γίνεται μέγιστη για C ( ) = = 63V, με χρονική σταθερά τ = C = 0.05s. Η τάση του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση: C = [ c (0 ) c ( )]e t τ c ( ) = 83e 9.6t 63 (V ) και το φορτίο του είναι: q(t) = C C (t) =.4e 9.6t.07 (mc) Το ρεύμα υπολογίζεται από τη σχέση: (t) = dq dt = 27.44e 9.6t (ma) Άσκηση 22 Ένα κύκλωμα LC σε σειρά με: = 35Ω,L = 0.5Η,C = 70μF, έχει τη χρονική στιγμή t = 0 τάση στα άκρα του πηνίου L (0 ) = 25V. Να προσδιορισθεί το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα, υποθέτοντας ότι τη χρονική στιγμή t = 0 το ρεύμα είναι 0. Με βάση τη διαφορική εξίσωση που διέπει το κύκλωμα η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος είναι: και επίσης, είναι: ω n 2 = LC ζω n = 2L = 35 2(0.5) = 35, όπου ζ είναι ο λόγος απόσβεσης. Η φυσική συχνότητα με απόσβεση δίνεται από τη σχέση: ω d = (ζω n ) 2 ω n 2 = j65.37rads 22

Η γενική λύση του ρεύματος προσδιορίζεται από τη σχέση: = e 35t [A cos(65.37t) B sn(65.37t)](ma) () και d dt = e 35t [ 35A 65.37B]cos(65.37t) e 35t [35B 65.37A]sn(65.37t)(mAs )(2) Στην εξίσωση () οι σταθερές A,B θα υπολογισθούν από τις οριακές συνθήκες του προβλήματος. Πράγματι: () (0 ) = 0 A = 0(3) και d dt 0 = L (0 ) L = 25 0.5 = 250 (mas ) (4), άρα, από τις (3) και (4) παίρνουμε: B =.5 (5) Έτσι, η απόκριση του ρεύματος γράφεται: = e 35t [.5 sn(65.37t)](a) Άσκηση 23 Να προσδιορισθεί η σύνθετη αντίσταση ενός κυκλώματος LC σε παράλληλη σύνδεση, με L = 63mΗ, C = 4μF, και τάση = 60 sn(200t 45 )(V ). H αντίσταση είναι ανεξάρτητη της συχνότητας. Για ω = 200rad / s, η επαγωγική αντίσταση είναι: jωl = (j200)(63 0 3 ) = j2.6 Ω και η χωρητική αντίσταση είναι: jωc = j(200)(4 0 6 ) = j357. Ω 23

Άσκηση 24 Να προσδιορισθεί η σύνθετη αντίσταση Z(jω) του κυκλώματος του Σχ. 24 για τις εξής περιπτώσεις: (α) jω = 0, (β) jω = j3.7rads, (γ) jω. Δίνονται: = 2Ω, Z C = 3./(jω)(Ω), Z L = 4jω(Ω). Z C L Σχήμα 24. Το κύκλωμα της άσκησης 24. Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι: Z(jω) = 2 Για τις τρεις περιπτώσεις είναι: (α) Για jω = 0, η Eξ. () δίνει: (2 4jω)( 3. jω ) (2 4jω) 3. jω (β) Για jω = j3.7rads, η Eξ. () δίνει: Z(jω) = 24.00Ω = 2(jω)2 39.(jω)8.6 (jω) 2 3(jω) 0.78 Ω () Z(jω) = 2 0.85jΩ = 2.03 4.05 Ω (γ) Και για jω, τότε από την Eξ. () παίρνουμε ότι: 2(jω) 2 39.(jω)8.6 Z(jω) = lm = 2Ω jω (jω) 2 3(jω) 0.78 Άσκηση 25 Να προσδιορισθεί η τάση ενός πηνίου με αυτεπαγωγή L = 3.33mΗ, το οποίο διαρρέεται από ρεύμα = 3.2cos(500t)(A). Η τάση του πηνίου δίνεται από τη σχέση: 24

L = L d dt = ωl max cos(ωt 90 ) () Με αντικατάσταση των δεδομένων στην () προκύπτει ότι η τάση του πηνίου είναι: L = 64 sn(500t)(v ) Άσκηση 26 Το ρεύμα ενός κυκλώματος L σε σειρά έχει διαφορά φάσης με την εφαρμοζόμενη τάση του κυκλώματος 65. Να προσδιορισθεί η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος και η πηγή συχνότητας. Δίνονται: = 0 Ω, L = 23mΗ. Αν ονομάσουμε X L την επαγωγική αντίσταση, τότε ισχύουν: 0 jx L = Z 65, X L = 0 tan(65 ) = 2.45Ω Επίσης, είναι: και η πηγή συχνότητας προκύπτει ότι είναι: X L = ωl ω = 2.45 = 932.6rads 3 23 0 f = ω 2π = 48.43Ηz Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος υπολογίζεται: Z = 0 j2.45 (Ω) Το διάγραμμα που αποδίδει τη σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος φαίνεται στο Σχ. 26. jx L Z 65 o 0 Σχήμα 26. Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος της άσκησης 26. Άσκηση 27 Για το κύκλωμα του Σχ. 27 να υπολογισθούν η ισοδύναμη αντίσταση και το ρεύμα. Δίνονται: Z = 6 0 Ω,Z 2 = 5.5 7 Ω, = 20 0 V. 25

Z Z 2 Σχήμα 27. Το κύκλωμα της άσκησης 27. Η ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος είναι: Z ισ = Z Z 2 = 6 0 5.5 7 = 2.26 j.6(ω) = 2.32 4.33 (Ω) Το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα είναι: = V Z ισ = 20 0 2.32 4.33 = 5.63 4.33 (A) Άσκηση 28 Να υπολογισθούν η ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση και αγωγιμότητα για το τεσσάρων κλάδων κύκλωμα που εικονίζεται στο Σχ. 28. Δίνονται: Z L = j0ω,z L2 = j23ω,z = 7.3Ω, Z 2 = 4.4Ω, Z C = 7jΩ. L 2 C 2 3 4 L 2 3 Σχήμα 28. Το κύκλωμα της άσκησης 28. Οι αγωγιμότητες για κάθε ένα κλάδο είναι: Υ = j0 = 0.jS, Υ = = 0.03 j0.04s, 2 7.3 j23 Υ 3 = 4.4 = 0.07jS, Υ = 4 j7 = j0.4s Η ισοδύναμη αγωγιμότητα του κυκλώματος είναι: Υ ισ = 4 k = Υ k = Υ Υ 2 Υ 3 Υ 4 = 0.07 0.jS = 0. 80.35 S και η ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι: 26

Z ισ = Υ ισ =.65 j9.72ω = 9.86 80.35 Ω Άσκηση 29 Να προσδιορισθεί η φασική τάση AB στο κύκλωμα που εικονίζεται στο Σχ. 29. Δίνονται: Z = 0Ω, Z 2 = 20Ω, Z L = j2ω, Z L2 = j6ω. Η πηγή ρεύματος είναι: s = 8 45. Y L S A 2 B 2 L 2 X Σχήμα 29. Το κύκλωμα της άσκησης 29. Με βάση το νόμο ρευμάτων του Krchoff, τα ρεύματα του κυκλώματος υπολογίζονται ότι είναι: = 4.64 20. A, 2 = 7.4 30. A Και η ζητούμενη τάση AB είναι: AB = AX XB = (20) 2 (j6) = = 92.8 20. 04.4 59.9 =.6 59.9 V Άσκηση 30 Μία τάση 5V εναλλασσόμενου ρεύματος τροφοδοτεί: (α) έναν αντιστάτη 5Ω, (β) ένα φορτίο με Z = 5 j και (γ) ένα φορτίο με Z = 2 j3. Να υπολογισθεί η ισχύς σε κάθε μία από τις τρεις περιπτώσεις. Η ισχύς σε κάθε μία από τις τρεις περιπτώσεις υπολογίζεται: (α)p = V 2 (β) Είναι και = 25 5 = 5W. Z = 5 j = 5 2 = 26 27

P = V 2 Z cos(.3) = 25 0.98 = 4.8W. 26 (γ) Είναι Z = 2 j3 = 2 2 3 2 = 3 και P = V 2 Z cos( 56.3) = 25 0.55 = 3.85W. 3 Άσκηση 3 Να υπολογισθεί η συνάρτηση μεταφοράς 2 / στο κύκλωμα του Σχ. 3 με χρήση σύνθετων αντιστάσεων. Δίνονται: = 0kΩ, 2 = 900Ω, C = 2μF. C 2 2 Σχήμα 3. Το κύκλωμα της άσκησης 3. Έστω Υ C η είσοδος του κυκλώματος. Τότε, θα είναι: Υ C = 2 0 3 jω 900 Η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος Η(jω) είναι ο λόγος 2 / : ή H(jω) = 2 = Z C Z C 0 0 3 = Υ C Υ C 0 4 = 2 0 2 jω 2. με: H(jω) = H(jω) e jθ H(jω) = 4 0 4 ω 2 46.65 28

και θ = tan ( 2 0 2 ω 2. ) = tan (.65 0 3 ω) Άσκηση 32 Να υπολογισθεί η συνάρτηση μεταφοράς τάσης H(jω) για το ανοικτό κύκλωμα του Σχ. 32. Σε τι συχνότητα, σε Hz, είναι H(jω) = / πυκνωτή είναι (α) C = 0nF, (β) C = nf ; Δίνονται: = 5kΩ,I 2 = 0. 2 αν η χωρητικότητα του C 2 2 Σχήμα 32. Το ανοικτό κύκλωμα της άσκησης 32. Η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται από τη σχέση: όπου H(jω) = /jωc /jωc = j(ω / ω x ) (), ω x C = 2 0 4 (rads ) (2). C Το μέτρο της H(jω) βρίσκεται από τη σχέση () και είναι: H(jω) = (ω / ω x ) 2 (3). (α) Για C = 0nF και H(jω) = / 2 συνδυάζοντας τις (2), (3) παίρνουμε: και άρα η ζητούμενη συχνότητα είναι: ω x = ω = 2 0 4 0 0 9 = 2 04 rad s f = 2 0 4 2π = 3.8kHz (β) Με τον ίδιο τρόπο η συχνότητα για C = nf και H(jω) = / 2 βρίσκεται: 29

f = 3.8kHz Σημείωση: συγκρίνοντας τα (α) και (β) είναι φανερό ότι όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του πυκνωτή, τόσο μικρότερη είναι η συχνότητα, στην οποία η H(jω) πέφτει στο / 2 της μέγιστης τιμής της. Συνεπώς, οποιαδήποτε παρασιτική παράλληλη χωρητικότητα προς τη C βοηθάει στο να μειώσουμε την απόκριση του κυκλώματος, αφού η ολική χωρητικότητα αυξάνεται. Άσκηση 33 Ένα τριφασικό ευθύ σύστημα A,B,C, με ενδεικνύμενη τάση 70.7V συνδέεται με ένα συμμετρικό σύστημα φορτίων συνδεδεμένων κατά τρίγωνο, με ολική σύνθετη αντίσταση 20 45. Να προσδιορισθούν τα πλάτη των ρευμάτων γραμμής και να σχεδιασθεί το διανυσματικό διάγραμμα εντάσεων τάσεων. A B C A B C CA AB BC AB CA 20 20 45 o 20 45 o BC 45 o Σχήμα 33. Σύνδεση τριφασικού συστήματος με συμμετρικό σύστημα φορτίων συνδεδεμένων κατά τρίγωνο. Στο Σχ. 33 φαίνονται οι τάσεις των φάσεων, οι οποίες έχουν μέγιστες τιμές: 20 45. Οι φασικές γωνίες λαμβάνονται από το ευθύ σύστημα τριγώνου. Τα φασικά ρεύματα είναι: AB = AB Z = 00 20 20 45 = 5 75 A και ομοίως, BC = 5 45 A, CA = 5 95 A Τα ρεύματα γραμμής υπολογίζονται: A = AB AC = 5 75 5 95 A = 8.65 45 και ομοίως, B = 8.65 75 A, C = 8.65 65 A Το διάγραμμα εντάσεων τάσεων φαίνεται στο Σχ. 332. 30

V AB I AB I A o 45 o 30 I C I CA o 30 o 45 o 30 o 45 V BC I BC V CA I B Σχήμα 332. Το διάγραμμα εντάσεων τάσεων της άσκησης 33. Άσκηση 34 Ένα τριφασικό σύστημα τριών αγωγών, με ενδεικνύμενη τιμή πολικής τάσης V L = 249, 9V τροφοδοτεί δύο συμμετρικά φορτία, το ένα σε διάταξη τρίγωνο, με σύνθετη αντίσταση Z Δ = 5 0 Ω και το άλλο σε διάταξη αστέρα, με σύνθετη αντίσταση Z Υ = 0 30 Ω. Να υπολογισθεί η συνολική ισχύς. L L Y 44.3 0 o V Z Z Y N Σχήμα 34. Σύνδεση τριφασικού συστήματος με τα συμμετρικά φορτία της άσκησης 34. Αρχικά, μετατρέπουμε το φορτίο διάταξης τριγώνου σε φορτίο διάταξης αστέρα και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε το ισοδύναμο μονοφασικό κύκλωμα του Σχ. 34 για να υπολογισθεί το ρεύμα γραμμής. Πράγματι: Έτσι, η ολική ισχύς είναι: 44, 3 0 I L = 5 0 44, 3 0 0 30 = 42 9, 9 A P = 3V L I L cos θ = 3(249, 9)(42)cos(9, 9 ) = 7, 9kW. Άσκηση 35 Ένα τριφασικό δίκτυο με τρεις αγωγούς φάσης C, B, A, με ενδεικνύμενη τάση γραμμής 200V τροφοδοτεί συμμετρικό φορτίο σε σύνδεση τριγώνου με σύνθετη αντίσταση 5 30 Ω. Προσδιορίστε τα ρεύματα γραμμής και φάσης με τη μέθοδο της ισοδύναμου απλής γραμμής. 3

Το Σχ. 35 απεικονίζει την ισοδύναμη απλή γραμμή. Υποθέτοντας ότι η τάση γραμμής είναι V AB =V φ 0, η ισοδύναμη τάση μεταξύ γραμμής και ουδετέρου είναι V an = 200 3 30 =5,5 30 V. Tο ρεύμα γραμμής από το ισοδύναμο μονοφασικό κύκλωμα είναι I L = 5,5 30 (5 3) 30 = 23, 60 A. a I L 5.5 30 o V 5/3 30 o n Σχήμα 35. Σύνδεση τριφασικού συστήματος με το φορτίο της άσκησης 35. Επομένως, τα ρεύματα γραμμής του ευθέος συστήματος A, B, C είναι Επειδή δε I aa = 23, 60 A, I bb = 23, 80 A, I cc = 23, 300 A. I aa = 23, 60 A = 3I φ θ 30 I φ = 3, 34A, θ = 30 τα ρεύματα φάσης του ευθέος συστήματος A, B, C είναι I AB = 3, 34 30 A, I BC = 3, 34 50 A, I CA = 3, 34 270 A. Tο πρόβλημα αυτό μπορεί να επιλυθεί απλούστερα με εφαρμογή του Πίνακα 72. Άσκηση 36 Για το μετασχηματιστή του Σχ. 36 να υπολογισθεί ο λόγος 2 /, για τον οποίο το ρεύμα είναι μηδέν. Δίνονται: = 3Ω, 2 = 6Ω, Z L = j0ω, Z L2 = j3ω, jωm = j5ω. 2 2 Z L Z L 2 2 Σχήμα 36. Το κύκλωμα της άσκησης 36. 32

Σε μητρωική μορφή οι νόμοι που ισχύουν για το συγκεκριμένο κύκλωμα γράφονται: Z L j5 j5 2 Z L2 2 = 2 () Για = 0, η () γίνεται: j5 = ( 2 Z L2 ) 2 = 2 2 = 2 Z L2 j5 2 = 6 j3 j5. Άσκηση 37 Ένα φίλτρο έχει την κυκλωματική μορφή που απεικονίζεται στο Σχ. 37. (α) Eξετάστε τη συμπεριφορά του σε πολύ χαμηλές και πολύ υψηλές συχνότητες. Tι είδους φίλτρο νομίζετε ότι είναι; (β) Σχεδιάστε τα διαγράμματα Bοde του φίλτρου. = 0MΩ, C = μf. C C V C V o Σχήμα 37. Φίλτρο7. (α) O πυκνωτής έχει σύνθετη αντίσταση Z C = jωc Σε πολύ χαμηλές συχνότητες, η σύνθετη αντίσταση είναι άπειρη, άρα ο πυκνωτής συμπεριφέρεται σαν ανοικτοκύκλωμα. Eπομένως, σήματα που έχουν χαμηλές συχνότητες δεν περνούν από αυτόν και κατ επέκταση από το κύκλωμα φίλτρο. Σε πολύ υψηλές συχνότητες, ο πυκνωτής έχει μηδενική σύνθετη αντίσταση, συμπεριφέρεται δηλαδή σαν βραχυκύκλωμα. Στην περίπτωση αυτή, η τάση εισόδου (μέτρο, φάση) είναι ίση με την τάση εξόδου και άρα οι υψηλές συχνότητες περνούν από το φίλτρο. Aυτές οι παρατηρήσεις και το γεγονός ότι το φίλτρο είναι ης τάξης (αποτελείται από ένα δυναμικό στοιχείο, τον πυκνωτή) μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι πρόκειται για ένα υψιπερατό φίλτρο. (β) H συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να βρεθεί με πολλούς τρόπους. O ευκολότερος εδώ είναι να βρεθεί με διαίρεση τάσης και σύνθετες αντιστάσεις. Πράγματι, έχουμε 33

V o = H(jω) = Z Z Z V H(jω) = V o V = Z Z Z jωc = jωc jωc Mε αντικατάσταση των αριθμητικών τιμών, έχουμε H(jω) = 0jω 0jω H χάραξη των διαγραμμάτων Bode γίνεται με την παρατήρηση ότι έχουμε την επαλληλία τριών στοιχειωδών όρων: (α) Kέρδους 0, (β) όρου s, (γ) όρου /(0s). Tο αποτέλεσμα είναι το εξής H(s) = 0s 0s = 0 s 0s Σχήμα 372. Bode. Eπειδή οι συχνότητες κάτω από 0, rad/s αποκόπτονται, πράγματι πρόκειται για ένα υψιπερατό φίλτρο. Eπιβεβαιώστε τις κλίσεις και τις συχνότητες θλάσης κάθε στοιχειώδους όρου. 34

Mέρος 2 Άλυτες Aσκήσεις Άσκηση Στο κύκλωμα του Σχ. να υπολογισθεί το ρεύμα, για τις εξής περιπτώσεις: (α) = 2A, 2 = 0, (β) = A, 2 = 4A, (γ) = 2 = A. 4 2 5 Σχήμα. Το κύκλωμα της άσκησης. (Απ. (α)0a, (β)a, (γ) 9A ). Άσκηση 2 Να υπολογισθούν τα Η, 0 (βλ. Σχ. 2) στο διαιρέτη τάσης έτσι ώστε το ρεύμα να είναι 0.5A, όταν η τάση 0 είναι00v. 2 MV H 0 0 Σχήμα 2. Ο διαιρέτης τάσης της άσκησης 2. (Απ. Η = 2ΜΩ, 0 = 200Ω ). Άσκηση 3 Να προσδιορισθούν η τάση και το ρεύμα μεταξύ των ακροδεκτών α, β (βλ. Σχ. 3) με τη μέθοδο της τάσης. Να θεωρηθεί ότι ο ακροδέκτης α είναι θετικός. Δίνονται: = 4Ω, 2 = 2Ω, 3 = 5Ω, 4 = 2Ω, s = 50V, s 2 = 20V. 35

3 4 S 2 S 2 Σχήμα 3. Το κύκλωμα της άσκησης 3. (Απ..2V, 7.37A ). Άσκηση 4 Να προσδιορισθούν οι αντιστάσεις, 2, εάν η κάθε μία από τις πηγές ρεύματος είναι.70a και η πηγή ενέργειας είναι 300W (βλ. Σχ. 4). Δίνονται: 3 = 28Ω, 4 = 95Ω, 5 = 54.3Ω. 3 A A 4 2 5 Σχήμα 4. Το κύκλωμα της άσκησης 4. (Απ. 23.9Ω, 443Ω ). Άσκηση 5 Να βρεθεί το ισοδύναμο κύκλωμα Theenn για το κύκλωμα που εικονίζεται στο Σχ. 5, για (α) 2 = και (β) 2 = 50kΩ. = 0kΩ, 3 = 00Ω, s = 0V και k = 0. 2 3 A S d k d l B Σχήμα 5. Το κύκλωμα της άσκησης 5. (Απ. (α) Th = 00V, Th = 00Ω, (β) Th = 32.22V, Th = 37.48Ω ). Άσκηση 6 Να υπολογισθούν τα, C, C, S (βλ. Σχ. 6), εάν ο διακόπτης του κυκλώματος ανοίγει τη στιγμή t = 0. Δίνονται: = 4kΩ, 2 = 3kΩ, 3 = 2kΩ καθώς καιc = 2μF, s = 6mA. 36

C C C S S 3 2 Σχήμα 6. Το κύκλωμα της άσκησης 6. (Απ. =.6e 00t (ma), S = 0, C = 8e 00t (V ), S = 24V ). Άσκηση 7 Στο κύκλωμα του Σχ. 7 ο διακόπτης είναι κλειστός στη θέση 7 τη στιγμή t = 0 και μετακινείται στη θέση 2 μετά από μία σταθερά χρόνου. Να προσδιορισθεί το ρεύμα για (α) 0 < t < τ, (β) t > τ. Δίνονται: = 50V, = 20V και = 00Ω, C = 50μF. s s 2 2 2 S S 2 C Σχήμα 7. Το κύκλωμα της άσκησης 7. (Απ. (α) 0.5e 200t (A), (β) 0.56e 200(t τ) (A)). Άσκηση 8 Η πηγή τάσης του κυκλώματος του Σχ. 8 έχει τη μορφή: (t) = 0e t cos(2t)v. Να προσδιορισθεί το ρεύμα 0 (t). Δίνονται: = Ω, 2 = 2Ω καθώς και Z C = 4/jω(Ω), Z L = 2jω(Ω). 0 L C 2 Σχήμα 8. Το κύκλωμα της άσκησης 8. (Απ.7.07e t cos(2t 98.3 )(A) ). Άσκηση 9 Ένα κύκλωμα LC, σε σειρά με = 5Ω, L = 80mΗ, C = 30μF έχει γωνιακή συχνότητα 500rad / s. Να υπολογισθεί η φάση του κυκλώματος και να προσδιορισθεί αν το ρεύμα προηγείται ή καθυστερεί της ολικής τάσης. (Απ. 60.6, προηγείται). 37

Άσκηση 0 Να υπολογισθούν, για το κύκλωμα του Σχ. 0, το οποίο περιέχει τρία στοιχεία σε σειρά: (α) το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα, (β) η τάση σε κάθε σύνθετη αντίσταση και να σχεδιαστεί το διάγραμμα φάσεων των τάσεων, το οποίο θα δείχνει ότι ισχύει: V V 2 V 3 = 00 0. Δίνονται:Z = 5 30 Ω, Z 2 = 4 60 Ω, Z 3 = 0 20 Ω. V Z Z 2 Z 3 V V 2 V 3 Σχήμα 0. Το κύκλωμα της άσκησης 0. o 29.2 V=00 V V=62.8 V 3 0 o o 20.8 V=25. V 2 o 50.8 V=3.4 V Σχήμα 02. Μέρος της λύσης της άσκησης 0. (Απ. (α) 6.28 9.7, (β) βλ. Σχ. 02 ). Άσκηση Ένα συμμετρικό φορτίο σε σύνδεση τριγώνου, με σύνθετη αντίσταση Z = 30 30 είναι συνδεδεμένο με ένα τριφασικό, τριών αγωγών, των 250V, σύστημα με αγωγούς, οι οποίοι έχουν σύνθετη αντίσταση Z C = 0.4 j0.3ω (βλ. Σχ. ). Να προσδιορισθεί η τάση από γραμμή σε γραμμή. a Z C L A Z N N Σχήμα. Σύνδεση συμμετρικού φορτίου με τριφασικό σύστημα. (Απ.37.4 0.33 V ). Άσκηση 2 Στο μετασχηματιστή που εικονίζεται στο Σχ. 2 να προσδιορισθεί η πηγή τάσης 2 για = 0. Ποια θα είναι η πηγή τάσης 2, εάν τοποθετηθεί αντιστάτης 8Ω κάτω από αυτές τις συνθήκες; Δίνονται: = 5Ω, 2 = 2Ω, jωm = j2ω καθώς και Z L = j8ω,z L2 = j2ω, = 00 0. 38

2 2 Z L Z L 2 2 Σχήμα 2. Το κύκλωμα της άσκησης 2. (Απ.4.4 45 V, 00 0 V ). Άσκηση 3 Στο κύκλωμα του Σχ. 3 να υπολογισθούν τα, 2, 2,, όπου είναι η αντίσταση με τάση. Δίνονται: = 4Ω, 2 = 6Ω, 3 = 3Ω, 4 = 4Ω, 5 = 0Ω, = 9V. 4 C 3 B A 2 2 5 2 Σχήμα 3. Το κύκλωμα της άσκησης 3. (Απ..5A, 5V, 0.5A,6Ω ). Άσκηση 4 Να προσδιορισθεί η τάση του Σχ. 4 με τη μέθοδο των τάσεων, υποθέτοντας ότι το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση 2 είναι μηδέν. Δίνονται: Z L = j5ω, = 2 = 30 0 V,Z L2 = 2 j3ω και Z, = 5Ω, Z 3 = 4Ω, Z 4 = 6Ω. 2 2 L 2 3 2 3 S L 4 S Σχήμα 4. Το κύκλωμα της άσκησης 4. (Απ. 35.4 90 V ). 39