ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός Εναλλασόμενα ρεύματα Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
13.ΕΝΑΛΛΑΣΟΜΕΝΑΡΕΥΜΑΤΑ Μία τάση λέγεται εναλλασσόμενη όταν η τιμή και η πολικότητά της είναι περιοδική συνάρτησητουχρόνου.οίδιοςορισμόςισχύεικαιγιατοεναλλασσόμενορεύμα. Μία εναλλασσόμενη τάση λέγεται ημιτονοειδής (ή αρμονική) όταν η τιμή της είναι ημιτονοειδήςσυνάρτησητουχρόνου: U(t) = U 0 sin(ωt + φ) Στηνσχέσηαυτή,τοU 0 ονομάζεταιπλάτος,το (ωt + φ)φάση,το φαρχικήφάσηκαιτοω κυκλικήσυχνότητα.ηκυκλικήσυχνότητασυνδέεταιμετηνσυχνότητα(f)καιτηνπερίοδο (Τ)μετιςσχέσεις: ω = 2πf = 2π T Εναλλασόμενητάσηπαράγεταισταάκραενόςπλαισίουήπηνίουτοοποίοπεριστρέφεται μεγωνιακήταχύτηταωσεμαγνητικόπεδίο. ΣτοΕυρωπαϊκόδίκτυοπαροχήςτηςηλεκτρικήςενέργειας,f=50Hz.ΣτιςΗΠΑείναιf=60Hz. ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΤΩΝΕΞΑΡΤΗΜΑΤΩΝR,L,CΣΤΟΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ Θαεξετάσουμετοπλάτοςκαιφάσητουρεύματοςπουδιέρχεταιαπόέναεξάρτημα(R,Cή L)ότανσταάκρατουεφαρμόζεταιεναλλασσόμενητάσηV (t) = V 0 sin(ωt). Ωμικήαντίσταση Ητάσησταάκρατηςαντίστασηςείναι Τορεύμαπουτηνδιαρρέειείναι Τοπλάτοςτηςέντασηςρεύματοςείναι Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015)
Η ένταση του ρεύματος και η τάση στα άκρα της αντίστασης συναρτήσει του χρόνου δίδονται στο επόμενο Σχήμα. Χρήσιμο είναι και το διανυσματικό διάγραμμα, όπου τα πλάτητωνρευμάτωνκαιτάσεωνπαριστάνονταιμεδιανύσματα,ταοποίαέχουνόρισματην αντίστοιχη φάση. Οι φάσεις αναφέρονται ως προς τον άξονα x. Τότε, οι στιγμιαίες τιμές τουςδίδονταιαπότιςπροβολέςτωνδιανυσμάτωνωςπροςτονάξοναy. Παρατηρούμεότιηφάσητηςέντασηςτουρεύματοςείναιίδιαμετηνφάσητηςτάσης.Τότε λέμεότιηέντασηβρίσκεταισεφάσημετηντάση. Πυκνωτής Ητάσησταάκρατουπυκνωτήείναι Τότε,ηέντασητουρεύματοςείναι i = dq dt = C dv C = ωcv 0 cos(ωt) = ωcv 0 sin ωt + π dt 2 Πλάτοςτηςέντασηςρεύματοςείναι
Εδώ έχουμε θέσει προκειμένου να γράψουμε το πλάτος του ρεύματος σαν πλάτος τάσης διά αντίσταση. Η ποσότητα Z C ονομάζεται χωρητική αντίσταση του πυκνωτή. Ηέντασητουρεύματοςκαιτάσησταάκρατουπυκνωτήσυναρτήσειτουχρόνουδίδεται στοεπόμενοσχήμα.στοδιανυσματικόδιάγραμμαφαίνονταιταπλάτητηςτάσηςκαι ρεύματοςμετιςαντίστοιχεςφάσεις. Παρατηρήσατεότιηφάσητουρεύματοςπροηγείταιτηςτάσηςκατα90. Πηνίο Η εφαρμοζόμενη τάση V (t) αντισταθμίζεται από την τάση εξ επαγωγής στα άκρα του πηνίου.απότον2 ο κανόνατουkirchhoffέχουμε Αρα, V (t) L di dt = 0 L di dt = V 0 sin(ωt) di = V 0 sin(ωt) dt L Τοπλάτοςτηςέντασηςρεύματοςείναι
όπου είναιηεπαγωγικήαντίστασητουπηνίου. Ηέντασηρεύματοςκαιητάσησταάκρατουπηνίουσυναρτήσειτουχρόνουδίδονταιστο επόμενο Σχήμα. Στο διανυσματικό διάγραμμα φαίνονται τα πλάτη V 0 και I 0 με τις αντίστοιχεςφάσεις. Παρατηρήσατεότιηφάσητουρεύματοςέπεται(υστερεί)τηςτάσηςκατά90. Τονίζουμε ότι έχουμε θεωρήσει για αναφορά την εφαρμοζόμενη τάση οπότεηέντασητουρεύματοςείναι Γιακάθεεξάρτημα,ηαντίστασηΖ καιηφάσηφσυνοψίζεταιστονεπόμενοπίνακα. Εξάρτημα Z = V 0 I 0 R C L Στο επόμενο Σχήμα φαίνονται οι σχετικές θέσεις των πλατών ρεύματος και τάσης σε διανυσματικόδιάγραμμα,εάνχρησιμοποιηθείωςαναφοράτοπλάτοςτηςτάσης(v 0R )ήτο πλάτοςτουρεύματος( I 0R ),αντίστοιχα.
ΕΝΕΡΓΟΣΤΙΜΗΤΟΥΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥΡΕΥΜΑΤΟΣΚΑΙΤΑΣΗΣ ΘεωρούμεωμικήαντίστασηRηοποίαδιαρρέεταιαπόαρμονικόρεύμα I(t) = I 0 sin(ωt). Παρατηρούμε ότι η μέση τιμή του ρεύματος σε χρόνο μίας περιόδου είναι μηδέν. Ομως, ενέργειακαταναλώνεταιστηναντίσταση. P = dw dt dw = P dt = i 2 R dt = i 0 2 Rsin 2 (ωt) dt W = T dw = i 2 0 R sin 2 (ωt) dt = i 0 2 0 2 R T (1 cos(ωt)) dt = i 0 2 T 0 2 R Αρα, P = i 2 0R 2 Εάνθεωρήσουμεότιηισχύςοφείλεταισεένασυνεχέςενεργόρεύμαμεένταση έχουμε P = i 2 rms R.Επομένως,,θα i rms = i 02 Δηλαδή,ηενεργόςτιμήτηςέντασηςτουεναλλασσομένουρεύματοςπαριστάνειτηνένταση ενός υποθετικού συνεχούς ρεύματος το οποίο καταναλώνει την ίδια ισχύ (με το εναλλασσόμενο)ότανδιαρρέειτηνίδιαωμικήαντίσταση. Παρόμοια αποδεικνύεται ότι η ενεργός τιμή της τάσης στα άκρα της αντίστασης είναι V rms = V 0 2.Οιτύποιαυτοίισχύουνμόνογιααρμονικόρεύμακαιτάση. Γενικά,ηενεργόςτιμήμίαςπεριοδικήςσυνάρτησηςf(t)μεπερίοδοΤδίδεταιαπότην σχέση: f rms = 1 T T 0 f (t) 2 dt
Παράδειγμα ΝαυπολογίσετετηνμέσηκαιενεργότιμήτουτετραγωνικούπαλμούτάσηςτουΣχήματος Έχουμε και
ΗΙΣΧΥΣΣΤΟΕΝΑΛΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΡΕΥΜΑ Ηστιγμιαίαισχύςπουκαταναλώνεταισεέναηλεκτρικόεξάρτημαείναι: Vείναιοιστιγμιαίεςτιμέςτουρεύματοςκαιτάσης,αντίστοιχα. όπουiκαι Γενικά,εάνηστιγμιαίατιμήτηςτάσηςσταάκραενόςεξαρτήματοςείναι, ηστιγμιαίατιμήτουρεύματοςθαείναι. Αρα, όπωςπροκύπτειαπότηντριγωνομετρικήταυτότητα Ημέσηισχύςπουκαταναλώνεταισεμίαπερίοδοείναι Γιααρμονικόρεύμα(καιτάση), Γιαωμικήαντίσταση( =0)και Εναιδανικόεξάρτημαμε(καθαρή)χωρητικήήεπαγωγικήαντίστασηδεν καταναλώνειηλεκτρικήισχύ,,διότι. ΗΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗΑΝΤΙΣΤΑΣΗ(ΕΜΠΕΔΙΣΗ) Εάν εφαρμόσουμε τάση V (t) = V 0 sin(ωt) στα άκρα ενός εξαρτήματος, θα έχουμε διέλευσηρεύματοςμεένταση I(t) = I 0 cos(ωt + φ).ηγενικευμένηαντίστασηήεμπέδιση (impendence)τουεξαρτήματοςορίζεταιωςτοπηλίκο Z = V 0 I 0 Δηλαδή,χρησιμοποιούμεταπλάτηγιατονορισμότηςγενικευμένηςαντίστασηςμεβάσητο νόμο του Ohm. Με το σκεπτικό αυτό, όταν μελετήσαμε προηγουμένως την συμπεριφορά τωνεξαρτημάτωνr,c,lστοεναλλασσόμενορεύμα,διαπιστώσαμεηωμικήαντίστασηέχει Z R = R, ο πυκνωτής έχει χωρητική αντίσταση Z C = 1 και το πηνίο έχει επαγωγική ωc αντίσταση Z L = ωl.
Γενικευμένη αντίσταση παρουσιάζει και οποιοσδήποτε συνδυασμός εξαρτημάτων. Για να βρούμε την γενικευμένη αντίσταση Ζ μίας σύνθετης συνδεσμολογίας κατασκευάζουμε το διανυσματικόδιάγραμμακαιυπολογίζουμετηνζμεβάσητονορισμό. Παράδειγμα ΝαυπολογίσετετηνγενικευμένηαντίστασηενόςκυκλώματοςRLσεσειρά. ΑφούταRκαιLείναισυνδεδεμένασεσειρά,διαρρέονταιαπότοίδιορεύμα,οπότεέχουμε τοδιανυσματικόδιάγραμματουσχήματος. Απότονορισμόέχουμε Z = V 0 = V 2 2 0R + V 0L = (I Z 0 R )2 + (I 0 Z L ) 2 = Z 2 R + Z 2 L I 0 I 0 I 0 οπότε Z = R 2 + (ωl) 2 Σημειώσατε ότι η γωνία φ στο διανυσματικό διάγραμμα είναι η διαφορά φάσης μεταξύ τάσηςκαιρεύματος.είναι tanφ = V 0L V 0R = I 0 Z L I 0 Z R = ωl R Σεπερισσότεροπολύπλοκεςσυνδεσμολογίεςγίνεταιαρκετάδύσκολοναυπολογίσουμετη γενικευμένη αντίσταση από το διανυσματικό διάγραμμα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ενδείκνυται η μέθοδος των μιγαδικών μεγεθών, η οποία περιγράφεται στο επόμενο Κεφάλαιο.
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php? id=1298.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής. «Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός. Εναλλασόμενα ρεύματα. Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?i d=1298.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/ by-sa/4.0/