Κεφάλαιο : Εισαγωγή. Στοιχεία συναρτησιακών χώρων Αρχίζουμε με κάποια προκαταρτικά στοιχεία συναρτησιακών χώρων τα οποία θα μας χρησιμεύσουν στη συνέχεια. Υποθέτουμε ότι όλες οι συναρτήσεις είναι πραγματικές... Χώροι συνεχών συναρτήσεων Πρώτα θα περιγράψουμε τους συναρτησιακούς χώρους που περιέχουν συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Έστω το σύνολο των φυσικών αριθμών και έστω η -άδα,,...,, η οποία καλείται πολυ-δείκτης (mult-dex). Ο αριθμός... καλείται μήκος του πολυδείκτη. Ο συμβολισμός D x x x x χρησιμοποιείται για τη μερική παράγωγο (τάξης ) μιας συνάρτησης ux (,..., x ) και όπως δείχνει το πιο κάτω παράδειγμα, απλοποιεί κατά πολύ τα πράγματα. Παράδειγμα.: Έστω ότι = 3 και 3 συνάρτηση τριών μεταβλητών ux (, x, x 3), έχουμε,,, j, j,,3. Τότε για μια u u u 3 3 3 Du 3 3 x xx xx3 3 3 3 u u u xx xx x 3 3 3 3 3 3 u u u u. x x x x x x x x 3 3 3 3 3 Με άλλα λόγια, μπορούμε να γράψουμε όλες τις τρίτης τάξης παραγώγους της u, με ένα σύμβολο (αυτό που είναι στο αριστερό μέλος της πιο πάνω παράστασης) αντί με τους δέκα όρους που είναι στο δεξί μέλος.
Τώρα, έστω Ω ένα ανοικτό σύνολο στον το και έστω. Συμβολίζουμε με C σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο Ω και των οποίων η παράγωγος τάξης, την οποία συμβολίζουμε ως D u, είναι επίσης συνεχής στο Ω για όλα τα,,..., που ικανοποιούν. Αν το Ω είναι φραγμένο, τότε συμβολίζει το σύνορο του Ω και συμβολίζει τη κλειστότητα (closure) του Ω (δηλ. ). Το σύνολο C συναρτήσεις uc για όλα τα νόρμα περιέχει όλες τις για τις οποίες η D u μπορεί να επεκταθεί συνεχώς από το Ω στο,,...,,. Ο χώρος C u C sup D u( x). x Όταν =, θα γράφουμε C αντί για C εφοδιάζεται συνήθως με τη και σε αυτή τη περίπτωση Παρομοίως, όταν = u sup u( x) max u( x). C x x u u sup Dux ( ) sup ux ( ) ( x). C x x x j j Παράδειγμα.: Έστω Ω = (, ) και u(x) = l(x). Τότε u C αλλά uc αφού [,] και η τιμή u() δεν ορίζεται. Το ίδιο συμβαίνει και με τις παραγώγους της u, άρα u C αλλά uc για όλα τα. Ο φορέας (support) μια συνεχούς συνάρτησης u (που ορίζεται σε ένα ανοιχτό χωρίο Ω ) συμβολίζεται με supp u, και ορίζεται ως η κλειστότητα στο Ω του συνόλου x: u( x). Δηλαδή, supp u είναι το μικρότερο κλειστό υποσύνολο του Ω για το οποίο ισχύει u = στο Ω \ supp u. Παράδειγμα.3: Έστω u η συνάρτηση που ορίζεται στον x ux ( ) e,αν x,, διαφορετικά ως
3 x x x x. Προφανώς u, μόνο αν x <, άρα ο φορέας της u είναι η όπου /... κλειστότητα αυτού του συνόλου, δηλαδή η λεγόμενη κλειστή μοναδιαία σφαίρα x : x. Συμβολίζουμε με C το σύνολο με όλες τις συναρτήσεις uc φορέας είναι φραγμένο υποσύνολο του Ω και θέτουμε C C. των οποίων ο Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση u του Παραδείγματος.3 ικανοποιεί u C και συγκεκριμένα D α u = στο σύνορο της μοναδιαίας σφαίρας, για όλα τα α. Θα μπορούσαμε, εναλλακτικά, στη περίπτωση που το Ω είναι επαρκώς ομαλό, να ορίσουμε C C u: D u... Χώροι ολοκληρώσιμων συναρτήσεων Στη συνέχεια θα δούμε τους χώρους των ολοκληρώσιμων (κατά Lebesgue) συναρτήσεων. Έστω p ένας πραγματικός αριθμός. Ορίζουμε το χώρο Lebesgue L p ( ) u: u( x) p dx που αποτελείται από όλες τις συναρτήσεις u που ορίζονται στο Ω των οποίων το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα είναι πεπερασμένο. Δύο συναρτήσεις που ανήκουν σε αυτό το χώρο θεωρούνται ίδιες αν ισούνται σ.π. (σχεδόν παντού) στο Ω, δηλαδή παντού εκτός από ένα σύνολο μέτρου μηδέν. Εφοδιάζουμε το χώρο L p (Ω) με την εξής νόρμα: / p p u p u( x) dx L ( ). Μας ενδιαφέρει επίσης και ο χώρος L (Ω) ο οποίος περιέχει τις συναρτήσεις u που ορίζονται στο Ω και που ικανοποιούν u(x) M σ.π. στο Ω, όπου Μ μία θετική σταθερά. Συμβολίζουμε τη πιο μικρή τέτοια σταθερά ως M ess sup u( x) x και εφοδιάζουμε το χώρο L (Ω) με την εξής νόρμα:
4 u ess sup u ( x ). L ( ) x Η περίπτωση p = είναι ιδιαίτερα σημαντική: L ( ) u: u( x) dx, με νόρμα /. u u( x) dx L ( ) Ο χώρος L (Ω) εφοδιάζεται με το εσωτερικό γινόμενο uw, uxwxdx ( ) ( ), uw, L και ισχύει ( uu, ) u, δηλ. η νόρμα παράγεται από το εσωτερικό γινόμενο. L ( ) Λήμμα.: (Ανισότητα Cauchy-Schwarz) Έστω u, w L (Ω). Τότε uw L (Ω) και uw u w,. Απόδειξη: Με u, w L (Ω), λ, υπολογίζουμε L ( ) L ( ) L ( ) uw uw, uw u, u u, w w, u w, w L ( ) L ( ) u u, w w. Έχουμε άρα, ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού (στη μεταβλητή λ), το οποίο είναι μηαρνητικό. Αυτό σημαίνει ότι η διακρίνουσα του θα πρέπει να είναι μη-θετική: uw u w, 4 L ( ) L ( ) από όπου προκύπτει το ζητούμενο. Η ανισότητα Cauchy-Schwarz είναι ειδική περίπτωση της ανισότητας του Hölder που λέει ότι αν p q ul ( ), wl ( ), με / p/ q, τότε uxwxdx ( ) ( ) u w. p q L ( ) L ( ) Πόρισμα.: (Τριγωνική Ανισότητα) Έστω u, w L (Ω). Τότε u + w L (Ω) και uw u w. L ( ) L ( ) L ( )
5 Απόδειξη: Έπεται από την ανισότητα Cauchy-Schwarz ως εξής: L ( ),,,,, uw uw uw u u u w w u w w u u, w w L ( ) L ( ) u u w w u L ( ) L ( ) L ( ) L ( ) w L ( ) L ( ) Η τριγωνική ανισότητα ισχύει και στους υπόλοιπους χώρους L p (Ω): uw u w.. p p p L ( ) L ( ) L ( ) p Κλείνουμε τη παρούσα ενότητα αναφέροντας ότι ο χώρος L ( ), p[, ], είναι χώρος Baach. Υπενθυμίζουμε ότι ένας γραμμικός χώρος με μέτρο X, καλείται χώρος, X Baach αν όποτε umm είναι μια ακολουθία στοιχείων του Χ, τέτοια ώστε lm u u, m, m X τότε υπάρχει στοιχείο u X, τέτοιο ώστε lm u u (δηλαδή, κάθε ακολουθία m Cauchy του Χ συγκλίνει σε κάποιο u X.) Περεταίρω, ο χώρος L (Ω) είναι χώρος Hlbert, δηλαδή έχει εσωτερικό γινόμενο (, ) και όταν εφοδιαστεί με τη παραγόμενη νόρμα u L / ( u, u), τότε είναι χώρος Baach. ( ) m X..3 Χώροι Sobolev Οι χώροι Sobolev έχουν κεντρικό ρόλο στη μελέτη της ΜΠΣ. Πριν δούμε τον ορισμό τους θα πρέπει να ορίσουμε την ασθενή παράγωγο (wea dervatve) μιας συνάρτησης. Έστω λοιπόν, uc με Ω ανοικτό υποσύνολο του σχέση ολοκλήρωσης κατά μέρη: και έστω C D u( x) ( x) dx ( ) u( x) D ( x) dx,, C ( ).. Ισχύει η εξής Σημειώνουμε ότι όλοι οι όροι που εμφανίζονται (στην ολοκλήρωση κατά μέρη) στο σύνορο του Ω μηδενίζονται λόγω του ότι η και όλες της οι παράγωγοι μηδενίζονται στο.
6 Υποθέτουμε τώρα ότι η u είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο Ω, δηλ. u L για κάθε φραγμένο σύνολο ω με. Αν υπάρχει τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση v, τέτοια ώστε vx ( ) ( xdx ) ( ) ux ( ) D( xdx ), C ( ), τότε λέμε ότι η v είναι η ασθενής παράγωγος, τάξης..., της u και θα γράφουμε v D u (χρησιμοποιώντας, δηλαδή, τον ίδιο συμβολισμό για ευκολία). Για να είναι σωστός ο πιο πάνω ορισμός θα πρέπει να βεβαιωθούμε ότι αν μια τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση έχει ασθενή παράγωγο, τότε αυτή είναι μοναδική (βλ. Άσκηση.). Επίσης, αν η u είναι αρκετά ομαλή τότε η ασθενής παράγωγός της, τάξης συμπίπτει με την κλασσική (μερική) παράγωγό της, u x x x, D u, (και αυτός είναι ένας άλλος λόγος για τον οποίο θα χρησιμοποιήσουμε το ίδιο σύμβολο για την ασθενή και τη κλασσική παράγωγο μιας συνάρτησης, έχοντας πάντα υπόψη μας για ποια από τις δύο θα μιλούμε). Παράδειγμα.4: Έστω και έστω ότι μας ενδιαφέρει η πρώτη παράγωγος της x, x[,] ux ( )., διαφορετικά Προφανώς, η u δεν είναι παραγωγίσιμη για x = και ±. Όμως, αφού η u είναι τοπικά ολοκληρώσιμη (πεισθείτε για αυτό), μπορεί να έχει ασθενή παράγωγο. Πράγματι, για κάθε C, έχουμε με (μια και μας ενδιαφέρει η πρώτη παράγωγος) ( ) u( x) D ( x) dx u( x) D( x) dx x D( x) dx x D( x) dx xd( xdx ) xd ( xdx ) ( xdx ) x( x) ( xdx ) x( x) ( x) dx () ( x) dx () ( x) dx ( ) ( x) dx. Άρα μπορούμε να γράψουμε ( ) ux ( ) D ( xdx ) wx ( ) ( xdx )
7 όπου η ασθενής (πρώτης τάξης) παράγωγος w(x), της u(x), δίδεται από, x, x (,) wx ( )., x (,), x Είμαστε τώρα σε θέση να ορίσουμε τους χώρους Sobolev. Έστω μη-αρνητικός ακέραιος και έστω p [, ]. Με D α u την ασθενή παράγωγο τάξης α της u, ορίζουμε p p W ( ) ul ( ): D ul ( ),, p ως το χώρο Sobolev τάξης. Ο χώρος αυτός εφοδιάζεται συνήθως με τη νόρμα Sobolev: Αν θέσουμε τότε έχουμε Παρομοίως, αν θέσουμε τότε / p p u D u, p W ( ) p p L ( ) u,. D u p ( ) ( ) W L / p p u D u, p W ( ) p p L ( ) / p p u u j, p Wp ( ) Wp ( ). j u, D u W ( ) L ( ) u u j W ( ) W( ) j. Καλούμε το u,, ημι-νόρμα (sem-orm) της u και σημειώνουμε ότι ο λόγος που ( ) W p δεν είναι νόρμα (για ) είναι ο εξής: αν για κάποιο uw p ( ), ισχύει τότε το ( ) u W p μόνο που μπορούμε να πούμε είναι ότι D α u(x) = σ.π. στο Ω, α =. Άρα δεν ισχύει το πρώτο αξίωμα για τις νόρμες. Το πιο κάτω θεώρημα δίνει τη σχέση μεταξύ των χώρων Sobolev και αυτών των συνεχών συναρτήσεων.
8 Θεώρημα Εμφύτευσης του Sobolev: (Sobolev s Embeddg Theorem) m ( W ) C ( ) αν m / p, p p και ο τελεστής της απεικόνισης uw m ( ) uc ( ) είναι γραμμικός και φραγμένος. p Για παράδειγμα, το πιο πάνω θεώρημα μας λέει πότε μια ασθενής παράγωγος θα συμπίπτει με την κλασσική: στη -διάσταση ( = ), αν θέσουμε p = τότε το θεώρημα δίνει W ( ) C ( ) αν m /. Για = (πρώτη παράγωγο), θα πρέπει να ισχύει m =, m για να ταυτιστούν οι δύο παραγώγοι. Η περίπτωση p = ξεχωρίζει: ο χώρος W ( ) είναι χώρος Hlbert με εσωτερικό γινόμενο uw, DuDw, W p ( ). Για αυτό το λόγο γράφουμε H (Ω) αντί για W ( ) και παρατηρούμε ότι H ( ) L ( ). Για αυτό το λόγο, πολλές φορές θα συμβολίζουμε u u u. L ( ) H ( ), Ο χώρος Η (Ω) θα μας απασχολήσει συχνά στη συνέχεια, και μπορεί να χαρακτηριστεί ως εξής: u u u όπου u,,..., x x x T H ( ) ul ( ): DuL ( ) T u ( ) : ( ),,..., x j u L L j ul ( ) : u dx, η κλίση της u, η οποία είναι διανυσματική ποσότητα, και u uu u u, είναι το μέτρο της κλίσης, η οποία είναι βαθμωτή ποσότητα. Η νόρμα του χώρου ορίζεται ως και η ημι-νόρμα ως / / u H ( ), L ( ) j x j L ( ) u u u u u dx
9 Ορίζουμε επίσης το χώρο / / u u u u dx H ( ), j x j L ( ). H ( ) ως την κλειστότητα του χώρου C( ) στη νόρμα. H ( ) Δηλαδή, ο χώρος H ( ) περιέχει όλες τις συναρτήσεις u H ( ) οι οποίες ισούνται με το όριο μιας ακολουθίας mm u, με u C ( ). Αν το Ω είναι αρκετά ομαλό τότε ισχύει m H u H u ( ) ( ):. Σημειώνουμε ότι ο H ( ) είναι χώρος Hlbert με το ίδιο εσωτερικό γινόμενο και (παραγόμενη) νόρμα όπως και ο H ( ). Οι προαναφερθέντες χώροι θα χρησιμοποιηθούν στη μελέτη διαφορικών εξισώσεων ης τάξης. Για διαφορικές εξισώσεις 4 ης τάξης, ο κατάλληλος χώρος είναι ο H ( ) ul ( ): D ul ( ), u u ul ( ) : L ( ), j,...,, L ( ),, j,...,, xj xxj με νόρμα u u u u H ( ), L ( ) x και ημι-νόρμα Αναφέρουμε επίσης τον χώρο u H ( ), u xx j j j L ( ) j L ( ) u u j xxj L ( ) H ( ) u H ( ): D u, /. /, που αποτελείται από συναρτήσεις u H ( ), οι οποίες και αυτές και η πρώτη παράγωγος τους μηδενίζονται στο σύνορο του Ω. Κλείνουμε τη παρούσα ενότητα υπενθυμίζοντας κάποιες έννοιες (και αποτελέσματα) από τον Διανυσματικό Λογισμό. Αρχίζουμε με το Θεώρημα της Απόκλισης (Dvergece Theorem) στις -διαστάσεις:
Θεώρημα της Απόκλισης: Έστω f ( x, x) [ f( x, x), f( x, x)] T μια διανυσματική συνάρτηση που ορίζεται σε ένα χωρίο με ομαλό σύνορο Ω, και έστω f f dv f x x η απόκλιση της f. Τότε dv f dx f ds, όπου [, ] T το κάθετο (προς τα έξω) μοναδιαίο διάνυσμα στο Ω και s το μήκος τόξου. Χρησιμοποιώντας το πιο πάνω θεώρημα, αποδεικνύουμε τη η ταυτότητα του Gree: όπου u uwdx w ds wudx, με ομαλό σύνορο Ω, u = u(x, x), w = w(x, x), T διανυσματική ποσότητα), u w u w (κάθετη παράγωγος) και u u u, x x T (κλίση, (βαθμωτή ποσότητα), u u u x x u u u x x (Λαπλασιανή/Laplaca). Η η ταυτότητα του Gree είναι το κύριο εργαλείο στη διατύπωση μιας ελλειπτικής ΜΔΕ σε μεταβολική μορφή (βλ. Ενότητα.). Το εξής αποτέλεσμα θα χρησιμοποιηθεί εκτενώς στη συνέχεια. Λήμμα.: (Ανισότητα Pocaré) Έστω ένα φραγμένο χωρίο με αρκετά ομαλό σύνορο Ω και έστω υπάρχει σταθερά C, που εξαρτάται μόνο από το Ω, τέτοια ώστε / / u dx C u dx (ή ισοδύναμα, u C u ).,, uh ( ) Απόδειξη: Είναι αρκετό να αποδείξουμε το ζητούμενο για u C( ), αφού κάθε συνάρτηση u H ( ) είναι το όριο κάποιας ακολουθίας u m C m. Τότε ( ). Θα δώσουμε
την απόδειξη για το ορθογώνιο χωρίο Ω = [a, b] [c, d] περίπτωση είναι παρόμοια. Παρατηρούμε ότι x a u (, yd ) uxy (, ) uay (, ) x και λόγω του u(a, y) = (μια και u ), έχουμε x u uxy (, ) (, yd ) x. Από τη πιο πάνω σχέση και την ανισότητα Cauchy-Schwarz, παίρνουμε a και σημειώνουμε ότι η γενική bd x bd x x u u u( x, y) dxdy (, y) d dydx d (, y) d dydx x x a c a a c a a bd x u ( x a) (, y) d dydx x a c a b d b u ( x a) dx (, y) ddy x a c a ( ) u b a dxdy. x Εντελώς ανάλογα, έχουμε u uxy (, ) dxdy ( d c) dxdy. y Προσθέτοντας τις δύο ανισότητες παίρνουμε u u uxy (, ) dxdyc dxdy, x y όπου C. ( ba) ( d c) Παρατήρηση.: Η ανισότητα Pocaré ισχύει, σε παρόμοια μορφή, ακόμα και αν η u μηδενίζεται μόνο σε ένα μέρος του συνόρου του χωρίου. Το τελευταίο θεώρημα αυτής της ενότητας μας λέει ότι αν μια συνάρτηση ανήκει στο συναρτησιακό χώρο Η (Ω), τότε ο περιορισμός της στο σύνορο Ω ανήκει στο χώρο L (Ω) και επίσης ότι η Η (Ω) νόρμα της u φράζει την L (Ω) νόρμα της u. Καλείται θεώρημα ίχνους (trace theorem) και το παραθέτουμε χωρίς απόδειξη.
Θεώρημα Ίχνους: Έστω uh ( ). Τότε ώστε ένα φραγμένο χωρίο με αρκετά ομαλό σύνορο Ω και έστω u L ( ) και υπάρχει σταθερά C, που εξαρτάται μόνο από το Ω, τέτοια u C u.,,. Ασθενείς λύσεις σε ελλειπτικά προβλήματα Οι ελλειπτικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αντιπροσωπεύονται από την εξίσωση του Laplace και τη μη-ομοιογενή εξίσωση του Posso u u f, με f δοθείσα συνάρτηση, όπου ο τελεστής Δ (Λαπλασιανή/Laplaca) ορίζεται ως. x Η γενική μορφή μιας γραμμικής, ελλειπτικής ΜΔΕ ης τάξης είναι u u (.) aj ( x) b ( x) c( x) u( x) f( x), x, jxj x x όπου οι συντελεστές aj, b, c, f είναι δοθείσες συναρτήσεις που ικανοποιούν (.) και a j C ( ),, j,..., b C( ),,..., c C( ), f C( ) (.3) a ( x) C,,,...,, x j j, j όπου C > σταθερά ανεξάρτητη των x και ξ. Η σχέση (.3) καλείται ομοιόμορφη ελλειπτικότητα (uform ellptcty).
3 Στις εφαρμογές, η ΜΔΕ (.) συνοδεύεται με μια από τις ακόλουθες Συνοριακές Συνθήκες (boudary codtos): (α) Σ.Σ. Drchlet: u = g στο Ω, με g δοθείσα συνάρτηση u (β) Σ.Σ. Neuma: g, με g δοθείσα συνάρτηση, όπου είναι το μοναδιαίο κάθετο (προς τα έξω) διάνυσμα στο Ω u (γ) ΣΣ. Rob: u g στο Ω, όπου σ(x) δοθείσα συνάρτηση Δύναται να έχουμε μία ΣΣ συνθήκη σε μέρος του Ω και μία άλλη ΣΣ στο υπόλοιπο μέρος του Ω. Αρχίζουμε με τη μελέτη του πιο κάτω προβλήματος συνοριακών τιμών (ΠΣΤ): u u aj ( x) b ( x) c( x) u( x) f( x), x (.4), jxj x x u στο με τα aj, b, c, f να ικανοποιούν τις (.), (.3). Μια συνάρτηση uc ( ) C( ) που ικανοποιεί τη (.4) καλείται κλασσική λύση. Η θεωρία των ΜΔΕ μας λέει ότι αν τα δεδομένα aj, b, c, f και Ω, είναι αρκετά ομαλά τότε η λύση είναι μοναδική. Σε αρκετές εφαρμογές, όμως, τα δεδομένα δεν είναι επαρκώς ομαλά και η κλασσική θεωρία των ΜΔΕ δεν είναι εφαρμόσιμη. Για παράδειγμα, έστω το ΠΣΤ u sg x, x(,) ( ) u στο με sg() τη συνάρτηση προσήμου:, x sg x, x., x Αυτό το πρόβλημα δεν έχει κλασσική λύση uc ( ) C(, ) μια και αν είχε τότε θα ίσχυε Δu C(Ω), δηλ. το δεξί μέλος της ΜΔΕ ( ) θα ήταν συνεχής συνάρτηση, κάτι που δεν ισχύει. Για να μπορέσουμε, λοιπόν, να λύσουμε προβλήματα με μη-ομαλά δεδομένα (σαν το πιο πάνω), ψάχνουμε αντί για μια κλασσική λύση, μία ασθενή λύση (wea soluto) για την οποία
4 έχουμε χαλαρώσει τις απαιτήσεις ομαλότητας. Ας υποθέσουμε αρχικά ότι η u είναι κλασσική λύση του ΠΣΤ (.4). Πολλαπλασιάζουμε τη ΜΔΕ με μια συνάρτηση ελέγχου (test fucto) όπως καλείται, w C ( ), και ολοκληρώνουμε στο Ω: u u wx ( ) aj ( x) dx wxb ( ) ( x) dx cxwxuxdx ( ) ( ) ( ) f( xwxdx ) ( ), j xj x x. Ολοκληρώνουμε κατά μέρη στο πρώτο ολοκλήρωμα και εκμεταλλευόμαστε το w : u w u u w( x) a ( x) dx w( x) b ( x) dx c( x) w( x) u( x) dx f ( x) w( x) dx. j, j xj x x Παίρνουμε έτσι (.5) w u u a ( x) dx w( x) b ( x) dx c( x) w( x) u( x) dx f ( x) w( x) dx. j, j xj x x Η πιο πάνω σχέση ισχύει για κάθε wc ( ). Το σημαντικό είναι ότι η u δεν χρειάζεται πλέον να ανήκει στο χώρο C ( ) C(. ) Είναι αρκετό να ισχύει u H ( ), μια και τότε θα έχουμε ul ( ), u L ( ) και u = στο Ω. Το ίδιο ισχύει και για τη συνάρτηση w x (εξάλλου C ( ) H ( )) όπως επίσης και για τα δεδομένα θα ήταν αρκετό να ισχύει a b cl f L. Έτσι, αντί για τη ΜΔΕ (.4) λύνουμε το εξής μεταβολικό j,, ( ), ( ) πρόβλημα (varatoal problem): Να βρεθεί η u H ( ) έτσι ώστε να ισχύει η (.5) για κάθε wh ( ). Για να απλοποιήσουμε το συμβολισμό (και όχι μόνο), ορίζουμε τη λεγόμενη διγραμμική μορφή (blear form) B: H ( ) H ( ) ως (.6) w u u B( u, w) a ( x) dx w( x) b ( x) dx c( x) w( x) u( x) dx j, j xj x x και παρατηρούμε ότι ισχύουν τα εξής: Buw (, ) uw, H( ), Bcu ( cwv, ) cbuv (, ) cbwv (, ) c, c, uvw,, H ( ), Bucw (, cv) cbuw (, ) cbuv (, ) c, c, uvw,, H( ). Παρομοίως, ορίζουμε το λεγόμενο γραμμικό συναρτησιακό (lear fuctoal) F: H ( ) ως (.7) F( w) f( x) w( x) dx,
5 για το οποίο ισχύει Fw ( ) wh( ), Fcu ( cw) cfu ( ) cfw ( ) c, c, uw, H( ). Τότε το μεταβολικό πρόβλημα που αντιστοιχεί στη ΜΔΕ (.4) είναι: να βρεθεί η uh ( ) τέτοια ώστε (.8) Buv (, ) Fw ( ) wh( ), με B και F να δίδονται από τις (.6), (.7), αντίστοιχα. Θα δείξουμε ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του (.8) χρησιμοποιώντας το ακόλουθο αποτέλεσμα από τη συναρτησιακή ανάλυση. Θεώρημα.: (Lax-Mlgram Lemma) Έστω V ένας πραγματικός χώρος Hlbert εφοδιασμένος με τη νόρμα V. Έστω B: V V, F : V μια διγραμμική μορφή και ένα γραμμικό συναρτησιακό τα οποία ικανοποιούν τα εξής: (α) c B( u, u) c u u V (συνεκτικότητα/coercvty) V (β) c B ( u, w ) c u w u, w V (συνέχεια/cotuty) V (γ) c F( w) c w w V (συνέχεια/cotuty) V Τότε υπάρχει μοναδική u V τέτοια ώστε V Buv (, ) Fw ( ) w V. Θα χρησιμοποιήσουμε το πιο πάνω θεώρημα, με V H ( ), για να αποδείξουμε την ύπαρξη μοναδικής λύσης στο μεταβολικό πρόβλημα (.8). Θα πρέπει, δηλαδή, να ελέγξουμε τα (α) (γ) του θεωρήματος για τα Β, F του προβλήματός μας. Αρχίζουμε με το (γ): έχουμε F( w) f( x) w( x) dx, άρα η ανισότητα Cauchy-Schwarz μας δίνει / / Fw ( ) f ( xwxdx ) ( ) f ( xwx ) ( ) dx f ( x) dx w( x) dx Ονομάζουμε τη σταθερά. / f ( x) dx c και έτσι Fw ( ) c w,. Μια και w w, έχουμε δείξει το (γ). Δείχνουμε το (β) με παρόμοιο τρόπο:,,
6 w u u Buw (, ) a( x) dx wxb ( ) ( x) dx cxwxuxdx ( ) ( ) ( ) όπου j, j xj x x w u u a ( x) dx w( x) b ( x) dx c( x) w( x) u( x) dx j, j xj x x w u u max b( x) wx ( ) dx max cx ( ) wxux ( ) ( ) dx max aj ( x) dx x, j xj x x x x w u u c dx w( x) dx w( x) u( x) dx, j xj x x c max max max a ( x), max max b( x), max c( x). j, j x x x Η ανισότητα Cauchy-Schwarz δίνει περαιτέρω / / / w u u B( u, w) c dx dx w( x) dx dx, j xj x x / / + w( x) dx u( x) dx / / / / c u w u( x) dx dx w( x) dx dx x x / / u w c u( x) dx dx w( x) dx dx x x έτσι ώστε, με c c, δείξαμε Buw (, ) c u w uw, H ( ).,, Απέμεινε το (α). Λόγω της ομοιόμορφης ελλειπτικότητας (.3), έχουμε u u u B u u a x dx u x b x dx c x u x dx (, ) j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), j xj x x όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση δεύτερο όρο πιο πάνω, παίρνουμε u C dx b ( x) ( u ) dx c( x) u( x) dx x x u u x x ( u ). Ολοκληρώνοντας κατά μέρη τον
7 u b B( uu, ) C dx cx ( ) ux ( ) dx x x Υποθέτουμε τώρα ότι (.9) Τότε,. b cx ( ) x. x (, ) u B uu C dx x και από την ανισότητα του Pocaré (Λήμμα.), έχουμε Προσθέτοντας τα δύο παίρνουμε με c u C B( uu, ) C dx ux ( ) dx x C. u C u B( u, u) C dx u( x) dx c u( x) dx dx c u, x C x C. Έχουμε ελέγξει, λοιπόν, όλες τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Lax- C Mlgram, άρα το μεταβολικό πρόβλημα (.8) έχει μοναδική λύση. Επιπλέον, ισχύει c u B( u, u) F( u) f( x) u( x) dx f u f u,,,,, άρα u f.,, c Σημειώνουμε ότι η προϋπόθεση (.9) είναι συνηθισμένη για τη ΜΔΕ (.4), άρα υποθέτοντας την δεν επιβαρύνουμε τις απαιτήσεις για τα δεδομένα. Παράδειγμα.5: Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα ( ) το οποίο, όπως είδαμε, δεν έχει κλασσική λύση. Αν θέσουμε aj(x) = αν = j, aj(x) = αν j,, j =,,, b(x) =, =,,, c(x) =, f(x) = sg(/ x ) και Ω = (, ) τότε το θεώρημα Lax-Mlgram, με V = H ( ), B( uw, ) uwdx, F( w) f( x) w( x) dx, δίνει μοναδική λύση στο μεταβολικό πρόβλημα που αντιστοιχεί στη ΜΔΕ ( ).
8 Παράδειγμα.6: Θεωρούμε το εξής (μεικτό) Drchlet-Neuma ΠΣΤ: u f, στο u στο u g στο όπου φραγμένο με Ω ομαλό,, και f L (Ω), g L (Γ), δοθείσες συναρτήσεις. Πολλαπλασιάζοντας τη ΜΔΕ με μια συνάρτηση (ελέγχου) w (θα πούμε σε λίγο σε πιο χώρο ανήκει) και ολοκληρώνοντας στο Ω παίρνουμε wudx fwdx. Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα του Gree για το αριστερό μέλος και έτσι u uwdx w ds fwdx u u u wdx w ds w ds fwdx g u uwdx w ds fwdx wgds. Για να ορίζονται τα πιο πάνω ολοκληρώματα θα πρέπει w H (Ω). Αν επιπλέον w = στο Γ, τότε το πιο πάνω θα απλοποιούταν ως u wdx fwdx wgds. Αυτό μας οδηγεί στο να ορίσουμε το χώρο H ( ) uh ( ): u H ( ),, o οποίος είναι κλειστός υπόχωρος του H ( ) (και άρα και αυτός χώρος Hlbert). Έχουμε λοιπόν uw, ( ) και έτσι ορίζουμε H, B( uw, ) uwdx,. Fw ( ) fwdx wgds Το μεταβολικό πρόβλημα που αντιστοιχεί στο ΠΣΤ είναι το εξής: Να βρεθεί η u H, ( ) τέτοια ώστε B( u, w) F( w) wh ( ). Η συνέχεια και συνεκτικότητα της,
9 διγραμμικής μορφής Β έποντε ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως και στο αρχικό ΠΣΤ που μελετήσαμε. Απομένει να δείξουμε τη συνέχεια του γραμμικού συναρτησιακού: F( w) fwdx wgds fwdx wgds fw dx wg ds f w w g f w C w g,,,,,,,, όπου χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα Cauchy-Schwarz και το γεγονός ότι v v,, Θεώρημα Ίχνους δίνει w C w,,, με C > σταθερά που εξαρτάται μόνο από το Ω. Επομένως όπου c c f g,, Fw ( ) f w Cw g f w Cw g,,,,,,,, c f g w c w,,,,. Το. Το Θεώρημα Lax-Mlgram δίνει μοναδική λύση στο μεταβολικό πρόβλημα που αντιστοιχεί στο δοθέν ΠΣΤ. Παρατήρηση.: Οι συνοριακές συνθήκες ενός δοθέντος ΠΣΤ ης τάξης, συνήθως χαρακτηρίζονται ως εξής: Συνοριακή Συνθήκη Χαρακτηριστικό Όνομα Μεταβολικό Όνομα u δοθέν στο Ω Drchlet Ουσιαστική ΣΣ (essetal BC) u Neuma Φυσική ΣΣ (atural BC) δοθέν στο Ω Οι ουσιαστικές ΣΣ συμπεριλαμβάνονται στο συναρτησιακό χώρο ενώ οι φυσικές ΣΣ όχι, όπως φαίνεται και στο προηγούμενο παράδειγμα (u = εμφανίζεται στον ορισμό του χώρου Hlbert ενώ u/v = g όχι). Για να δούμε γιατί, παρατηρούμε ότι ο κατάλληλος συναρτησιακός χώρος για προβλήματα ης τάξης είναι ο H (ή κάποιος υπόχωρος του). Τώρα, το Θεώρημα Εμφύτευσης του Sobolev λέει m ( W ) C ( ) αν m / p, p. p Στη περίπτωσή μας, =, p = και m =, δηλ. H ( ) C ( ) αν / το οποίο ισχύει αν και έτσι H ( ) C ( ), H ( ) C ( ). Με άλλα λόγια, οι συναρτήσεις του Η είναι συνεχείς αλλά όχι παραγωγίσιμες στη μία διάσταση στις διαστάσεις αλλάζει
(πώς;). Για παράδειγμα, αν u H (I) με, π.χ. Ι = (, ), τότε η τιμή u( x), x I μπορεί να μην ορίζεται το μόνο που γνωρίζουμε είναι ότι ( ) ( ) I u x u x dx. Έστω, π.χ., x, x(,/) ux ( ). ( x), x(/,) Η u είναι συνεχής στο Ι = (, ) αλλά όχι παραγωγίσιμη για x = /. Η κατά-τμήματα παράγωγος της u δίδεται από, x (,/ ) u( x), x (/,) και βλέπουμε ότι η τιμή u ( / ) δεν ορίζεται. Όμως, και που δείχνει ότι / u ( x) dx ( x) dx ( x) dx / u ( x ) dx 4 dx, u H ( I) (αλλά u ( / ) δεν ορίζεται). Επομένως, δεν θα μπορούσαμε να ορίσουμε ένα τέτοιο χώρο, όπως για παράδειγμα αφού η τιμή u ( / ) δεν ορίζεται. uh (,/ ) : u(), u(/ ) Παράδειγμα.7: Θεωρούμε το εξής ΠΣΤ: u f, στο u g στο όπου φραγμένο με Ω ομαλό και f L (Ω), g L (Ω), δοθείσες συναρτήσεις. Πολλαπλασιάζουμε τη ΜΔΕ με μια συνάρτηση (ελέγχου) w (θα πούμε σε λίγο σε πιο χώρο ανήκει) και ολοκληρώνουμε στο Ω: wudx wf dx. Η ταυτότητα του Gree δίνει u wudx w ds wfdx
και λόγω του ότι u g στο, έχουμε. (.) wudx wf dx wgds Παρατηρούμε τα εξής: Οι w, u θα πρέπει να ανήκουν στον Η (Ω) (για να ορίζονται τα ολοκληρώματα). Αν w = Η (Ω), τότε η πιο πάνω σχέση δίνει, f dx gds η οποία είναι μια συνθήκη συνέπειας (compatablty codto) που θα πρέπει να ικανοποιείται από τα δεδομένα του ΠΣΤ (για να έχουμε ελπίδα να βρούμε λύση). Αν η u είναι λύση του μεταβολικού προβλήματος (.), τότε η (u + C) είναι επίσης λύση για κάθε σταθερά C, αφού uc u f στο Ω και uc u g στο. Άρα το πρόβλημα (.) δεν έχει μοναδική λύση. Για να πάρουμε μοναδική λύση, θα πρέπει να επιβάλουμε μια επιπλέον συνθήκη για τη u. Συνηθίζεται να απαιτούμε udx και έτσι ορίζουμε τον εξής πόχωρο του Η (βλ. Άσκηση.4), εφοδιασμένο με την ίδια νόρμα όπως και ο Η, H uh : u από όπου θα προέλθει η λύση u (αλλά και η συνάρτηση ελέγχου w). Παρατηρούμε ότι αν u H τότε uch, αφού u Cdx udxcdx C dx. Έχουμε, έτσι το μεταβολικό πρόβλημα: να βρεθεί u H τέτοια ώστε Buw (, ) Fw ( ) wh. Η συνέχεια της διγραμμικής μορφής όπου B( u, w) wudx, F( w) wf dx wgds έπεται (όπως και πριν) από την ανισότητα Cauchy-Schwarz:
/ / B( u, w) wu dx w dx u dx / / w w dx u u dx w u.,, Η συνέχεια του γραμμικού συναρτησιακού έπεται από το Θεώρημα Ίχνους (όπως και στο Παράδειγμα.6): F( w) fw dx wg ds f w w g F,,,, f w C w g f C g w C,,,,,,, w,. C F Απομένει η συνεκτικότητα της διγραμμικής μορφής. Αυτή έπεται από τη δεύτερη ανισότητα του Pocaré που λέει ότι u C u u H (βλ. Άσκηση.7). Άρα,, B( u, u) u udx u dx u dx u dx C u dx m, C u u dxc u,, με c m, C. Επομένως, από το Θεώρημα Lax-Mlgram, το μεταβολικό πρόβλημα έχει μοναδική λύση. Παράδειγμα.8: Θεωρούμε το εξής ΠΣΤ 4 ης τάξης στη -διάσταση: 4 du f( x), στο I (,) 4 dx u() u() u() u() όπου f L (Ω) δοθείσα συνάρτηση. Ως συνήθως, πολλαπλασιάζουμε τη διαφορική εξίσωση με μια συνάρτηση ελέγχου w (που θα δούμε σε λίγο που ανήκει) και ολοκληρώνουμε στο Ι: 4 du wx ( ) dx wx ( ) f( xdx ) dx. 4 Ολοκλήρωση κατά μέρη στο αριστερό μέλος δίνει
3. w( x) u ( x) w( x) u( x) dx w( x) f ( x) dx Αν w() = w() =, κάτι που θα υποθέσουμε, τότε ο όρος στο σύνορο του Ι μηδενίζεται. Ολοκληρώνουμε κατά μέρη ξανά και έχουμε. w( x) u( x) w( x) u( x) dx w( x) f( x) dx Υποθέτουμε επίσης ότι w() w() και έτσι πάλι ο όρος στο σύνορο μηδενίζεται, δίνοντας μας w ( x ) u ( x ) dx w ( x ) f ( x ) dx. Είμαστε τώρα σε θέση να επιλέξουμε το συναρτησιακό χώρο για τις u και w: προφανώς uw, H I για να ορίζεται το ολοκλήρωμα στο αριστερό μελος. Επίσης, για να ισχύουν οι υποθέσεις για το w αλλά και οι ΣΣ για το u, θα πρέπει uw, H I, όπου H I u H I u u u u ( ): () () () (). Έχουμε βρει άρα το μεταβολικό πρόβλημα: να βρεθεί u H I τέτοια ώστε όπου Buw (, ) Fw ( ) w H I. Η συνέχεια του γραμμικού B( uw, ) w( xu ) ( xdx ), Fw ( ) wx ( ) f( xdx ) συναρτησιακού και της διγραμμικής μοφής έπονται από την ανισότητα Cauchy-Schwarz (όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα). Για την συνεκτικότητα της διγραμμικής μορφής έχουμε B( u, u) u( x) u( x) dx u ( x) dx u( x) dx u( x) dx 3 3 3 C CC ( ) ( ) ( ) 3u x dx u x dx u x dx 3 3, I m{, C, CC } u ( x ) u ( x ) u ( x ) dx 3 c u όπου οι σταθερές προκύπτουν από την ανισότητα Pocaré και εξαρτώνται μόνο από το χωρίο Ι. Από το Θεώρημα Lax-Mlgram, άρα, έχουμε μοναδική λύση στο μεταβολικό πρόβλημα.
4 Παρατήρηση.3: Στο προηγούμενο παράδειγμα συμπεριλάβαμε τις συνοριακές συνθήκες του ΠΣΤ στο συναρτησιακό χώρο. Αυτό δεν έρχεται σε αντίφαση με την Παρατήρηση. η οποία αφορά ΠΣΤ ης τάξης. Για το χώρο Η οι συνοριακές συνθήκες u δοθέν και u/ν δοθέν είναι και οι δύο τύπου Drchlet, ενώ για το χώρο Η η συνοριακή συνθήκη u δοθέν είναι Drchlet και η u/ν δοθέν είναι Neuma. Για τον Η η συνθήκη Neuma αφορά τις δεύτερες παραγώγους της u. Παρατήρηση.4: Ο λόγος που ως επί το πλείστον θα μελετούμε ΠΣΤ με ομοιογενείς (homogeeous) συνοριακές συνθήκες Drchlet είναι διότι αν το ΠΣΤ μας δοθεί με μηομοιγενείς ΣΣ Drchlet, πάντα θα μπορούμε να το μετατρέψουμε σε ένα άλλο ΠΣΤ με ομοιογενείς ΣΣ Drchlet. Για παράδειγμα, έστω το ΠΣΤ ( axu ( ) ( x)) bxu ( ) ( x) cxux ( ) ( ) f( x), στο I(,) u(), u() με a(x), b(x), c(x), f(x) δοθείσες, επαρκώς ομαλές συναρτήσεις και γ, δ δοθείσες σταθερές. Ορίζουμε w(x) = γ( x) + δx και παρατηρούμε ότι w() = γ, w() = δ. Για τη συνάρτηση v(x) = u(x) w(x), έχουμε v() = v() = και υπολογίζουμε ( av ) bvcv ( au ) bucu ( aw ) bwcw( x) f ( x) ( )( a( x) b( x)) c( x) w( x). Άρα με g( x): f( x) ( )( a( x) b( x)) c( x) w( x), η v λύνει το πρόβλημα ( a( x) v( x)) b( x) v( x) c( x) v( x) g( x), στο I (,). v() v()
5 Ασκήσεις:. (α) Έστω ο γραμμικός χώρος V = { u C ([,]) και w C ([,]) : w() = w() = }. Να δείξετε ότι αν uxwxdx ( ) ( ) wv, τότε u =. (Υπόδειξη: Επιλέξτε μια κατάλληλη συνάρτηση w V.) (β) Έστω uc ( ) μια τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση που ορίζεται σε ένα ανοικτό σύνολο. Να δείξετε ότι αν ( xuxdx ) ( ) C ( ), τότε u = σ.π. στο Ω. (γ) Να δείξετε ότι αν μια τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση έχει ασθενή παράγωγο τότε αυτή είναι μοναδική.. Για ποιες τιμές της σταθεράς ανήκει η συνάρτηση u(x) = x στο χώρο (α) C ([,]) ; (β) H ([,]) ;.3 Να αποδείξετε την η ταυτότητα του Gree στις -διαστάσεις: w uwdx u ds uwdx χρησιμοποιώντας το Θεώρημα της Απόκλισης (για τη διανυσματική συνάρτηση u w). Το χωρίο είναι φραγμένο και έχει ομαλό σύνορο και οι εμπλεκόμενες συναρτήσεις είναι επαρκώς ομαλές..4 Να αποδείξετε ότι ο χώρος H uh : u είναι κλειστός υπόχωρος του H (Ω), όπου Ω φραγμένο με ομαλό σύνορο..5 Να αποδείξετε την ανισότητα Cauchy-Schwarz για αθροίσματα: xy xy xy x x x y y y x y 3 3 3 3,.6 Θεωρούμε το εξής Π.Σ.Τ.: Να βρεθεί η u τέτοια ώστε
6 με a C [,], c, f L [,] axu ( ) ( x) cxux ( ) ( ) f( x), xi(,) u() u() και ax ( ), cx ( ) x [,], όπου,. (α) Να βρεθεί η μεταβολική διατύπωση του ΠΣΤ, δηλ. να ορίσετε μια διγραμμική μορφή B: X Y και ένα γραμμικό συναρτησιακό F : Y, έτσι ώστε το μεταβολικό πρόβλημα να είναι: Να βρεθεί u X έτσι ώστε Buw (, ) Fw ( ) w Y. (Πρέπει να προσδιορίσετε τους χώρους X και Y οι οποίοι μπορεί να ισούνται.) (β) Να αποδείξετε ότι το μεταβολικό πρόβλημα έχει μοναδική λύση..7 Να αποδείξετε τη η ανισότητα του Pocaré που λέει ότι u C u u H H uh : u. όπου ab, ( cd, ) και,,,.8 Θεωρούμε το εξής ΠΣΤ: 4 du du ( ), στο (,) 4 u f x I dx dx u() u() u() u() όπου f L (I) δοθείσα συνάρτηση. Να βρείτε το αντίστοιχο μεταβολικό πρόβλημα και να αποδείξετε ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του.