Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση τυχαίου δείγματος Πίακας καταομής συχοτήτω Γραφική παρουσίαση καταομής συχοτήτω Πληθυσμό ή στατιστικό πληθυσμό οομάζουμε τη καταομή τω τιμώ μιας τυχαίας μεταβλητής, δηλαδή τη καταομή τω τιμώ που παίρει έα κοιό χαρακτηριστικό μιας ομάδας υποκειμέω. Κάθε υποκείμεο επί του οποίου μετράται/παρατηρείται η τιμή εός κοιού χαρακτηριστικού οομάζεται απλό στοιχείο ή δειγματοληπτική/πειραματική μοάδα. Τυχαίο δείγμα μεγέθους από έα πληθυσμό οομάζουμε αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X, X, K, X που παίρου τιμές από το πληθυσμό αυτό (και έχου επομέως τη ίδια καταομή). Οι συγκεκριμέες τιμές x, x, K, x, που έχουμε διαθέσιμες για επεξεργασία μετά τη λήψη του δείγματος αποτελού μια πραγματοποίηση τω X, X, K, X και οομάζοται δεδομέα ή παρατηρήσεις. α) Ποσοτικές μεταβλητές Στη πρώτη στήλη του πίακα καταομής συχοτήτω καταγράφοται σε αύξουσα σειρά οι διαφορετικές τιμές y, y, K, y από τις x, x, K, x που εμφαίσθηκα στο δείγμα. Στις επόμεες στήλες, για κάθε τιμή y, =,, K,, καταγράφεται η συχότητά της, (πόσες φορές εμφαίσθηκε) η σχετική συχότητά της, f = η αθροιστική συχότητά της, N (το άθροισμα τω συχοτήτω τω τιμώ που είαι y ) η αθροιστική σχετική συχότητά της, F (το άθροισμα τω σχετικώ συχοτήτω τω τιμώ που είαι y ) Α (έχει) γίει ομαδοποίηση τω τιμώ, στη πρώτη στήλη ατί τω διαφορετικώ τιμώ καταγράφοται οι διαφορετικές κλάσεις τιμώ. Στις επόμεες στήλες καταγράφεται η συχότητα, η σχετική συχότητα, η αθροιστική συχότητα και η αθροιστική σχετική συχότητα κάθε κλάσης τιμώ. β) Ποιοτικές μεταβλητές Στις ποιοτικές μεταβλητές κατηγορίας δε έχει όημα η διάταξη τω διαφορετικώ τιμώ y, y, K, y και επομέως δε έχου όημα ούτε οι αθροιστικές ούτε οι αθροιστικές σχετικές συχότητες αλλά μόο οι συχότητες και οι σχετικές συχότητες. Στις ποιοτικές μεταβλητές διάταξης η διάταξη τω διαφορετικώ τιμώ y, y, K, y έχει όημα και επομέως έχου όημα τόσο οι συχότητες και οι σχετικές συχότητες όσο και οι αθροιστικές και οι αθροιστικές σχετικές. α) Ποσοτικές μεταβλητές Σημειόγραμμα Ραβδόγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω Διάγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω Κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω Ιστόγραμμα συχοτήτω/σχετικώ συχοτήτω/ αθροιστικώ συχοτήτω/αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω Πολύγωο συχοτήτω/σχετικώ συχοτήτω/αθροιστικώ συχοτήτω/ αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)
Φυλλογράφημα Θηκόγραμμα β) Ποιοτικές μεταβλητές Ραβδόγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω Κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω α) Ποσοτικές μεταβλητές Μέτρα θέσης Δειγματικός μέσος, x x = x = y = f y = = = Kορυφή του δείγματος, Μ 0 Η τιμή με τη μεγαλύτερη συχότητα Διάμεσος του δείγματος, δ ή Q Το πολύ 50% τω τιμώ του δείγματος είαι μικρότερες από τη διάμεσο και επίσης το πολύ 50% τω τιμώ του δείγματος είαι μεγαλύτερες από τη διάμεσο. Σε αύξουσα διάταξη τω x, x, K, x, τη θέση της διαμέσου δίει ο αριθμός 0.5( + ) εφόσο είαι ακέραιος, εώ α δε είαι ακέραιος, τότε η διάμεσος είαι ίση με το ημιάθροισμα τω δύο τιμώ που οι θέσεις τους είαι οι πλησιέστερες στο αριθμό 0.5( + ). Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα (για συγκεκριμέη πραγματοποίηση x, x, K, x του δείγματος με y, y, K, y διαφορετικές τιμές) p-ποσοστιαία σημεία του δείγματος, x p, 0 < p < Το πολύ 00p % τω τιμώ του δείγματος είαι μικρότερες από το p-ποσοστιαίο σημείο και το πολύ 00( p)% τω τιμώ του δείγματος είαι μεγαλύτερες από το p-ποσοστιαίο σημείο. Σε αύξουσα διάταξη τω x, x, K, x, τη θέση του p-ποσοστιαίου σημείου δίει ο αριθμός p ( +) εφόσο είαι ακέραιος, εώ α δε είαι ακέραιος, τότε το p-ποσοστιαίο σημείο εκτιμάται με παρεμβολή μεταξύ τω δύο τιμώ που οι θέσεις τους είαι οι πλησιέστερες στο αριθμό p ( +). Τεταρτημόρια, Q, Q, Q3 Q = x, Q = x = δ Q = x 0.5 0.5, 3 0.75 Α (έχει) γίει ομαδοποίηση τω τιμώ του δείγματος σε κλάσεις: Η κορυφή υπολογίζεται από το τύπο Δ M 0 = L + c Δ + Δ όπου, L το κάτω άκρο της επικρατούσας κλάσης, δηλαδή της κλάσης με τη μεγαλύτερη συχότητα, c το πλάτος της επικρατούσας κλάσης, Δ = και Δ = όπου + η συχότητα της επικρατούσας κλάσης. Στο τύπο υπολογισμού του δειγματικού μέσου x = y = f y = = τα y, =,, K, είαι οι κετρικές τιμές τω κλάσεω. Η διάμεσος υπολογίζεται από το τύπο 0.5 N δ = L + c όπου, L το κάτω άκρο της μεσαίας κλάσης, δηλαδή της κλάσης στη οποία αήκει η διάμεσος, c το πλάτος της Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)
μεσαίας κλάσης, η συχότητα της μεσαίας κλάσης και N η αθροιστική συχότητα της προηγούμεης κλάσης από τη μεσαία. Τα p-ποσοστιαία σημεία υπολογίζοται από το τύπο p N x p = L + c όπου, L το κάτω άκρο της κλάσης στη οποία βρίσκεται το x p, c το πλάτος της, η συχότητά της και N η αθροιστική συχότητα της προηγούμεης κλάσης. Μέτρα μεταβλητότητας/διασποράς Εύρος R = x max x mn Εδοτεταρτημοριακό εύρος Q3 Q Δειγματική διακύμαση s = ( x x) = x x = = = = ( y x) = y x = = Δειγματική τυπική απόκλιση s = ( x x) = x x = = = ( y x) = y x = = Συτελεστής μεταβλητότητας s CV = 00% x = Α (έχει) γίει ομαδοποίηση τω τιμώ του δείγματος σε κλάσεις τα y, =,, K, είαι οι κετρικές τιμές τω κλάσεω. Μέτρα λοξότητας και μέτρα κύρτωσης Συτελεστές ασυμμετρίας του Pearson x M 0 γ =, 3(x δ ) γ = s s Α γ = γ = 0 η καταομή είαι συμμετρική Συτελεστής ασυμμετρίας του Bowley Q + Q3 Q S A = Q3 Q Α S A = 0 η καταομή είαι συμμετρική Συτελεστής κύρτωσης του Pearson m4 β = (m ) Α β = 3 η καταομή είαι μεσόκυρτη, α β > 3 είαι πλατύκυρτη και α β 3 είαι λεπτόκυρτη < Μέτρα θέσης και μεταβλητότητας γραμμικού μετασχηματισμού τω παρατηρήσεω/δεδομέω β) Ποιοτικές μεταβλητές Ορίζεται (και έχει όημα) μόο η κορυφή της καταομής Α t = α x + β τότε t = α x + β Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 3
st = α s x s t = α sx δ t = αδ x + β α M + β M 0t = 0 x Θηκόγραμμα Πάω οριακή τιμή: η μεγαλύτερη τιμή του δείγματος που είαι Q3 +.5( Q3 Q ) ή Q3 + 3( Q3 Q ) Κάτω οριακή τιμή: η μικρότερη τιμή του δείγματος που είαι Q.5( Q ) ή Q ( Q ) 3 Q 3 3 Q Α η καταομή του δείγματος προσομοιάζει με μια καοική καταομή (έχει κωδωοειδή μορφή), τότε στο διάστημα ( x s, x + s) βρίσκεται περίπου το 68% τω παρατηρήσεω στο διάστημα ( x s, x + s) βρίσκεται περίπου το 95% τω παρατηρήσεω στο διάστημα ( x 3s, x + 3s) βρίσκοται περίπου όλες οι παρατηρήσεις (πάω από το 99%). O εμπειρικός καόας Η αισότητα Chebyshev Το ποσοστό τω τιμώ του δείγματος που βρίσκοται στο διάστημα ( x s, x + s) είαι τουλάχιστο ( ), Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 4
Προβλήματα και Ασκήσεις. Στο κατάστημα εός αγροτοτουριστικού συεταιρισμού, πωλείται μέλι τεσσάρω ειδώ (αθέω, ελάτης, θυμαρίσιο και πεύκου), παραγωγής τριώ τόπιω μελισσοκόμω (Α, Β και Γ), σε γυάλια βάζα τριώ μεγεθώ (μικρού, μεσαίου και μεγάλου). Επιλέξαμε τυχαία από τα ράφια του καταστήματος 5 βάζα μελιού και για κάθε έα καταγράψαμε το παραγωγό. Τα αποτελέσματα που πήραμε φαίοται στο πίακα που ακολουθεί. A B Α Γ Α Α Α Γ Γ Γ Α Β Α Β Β Α Β Γ Α Β Γ Γ Γ Β Α α) Ποια είαι η δειγματοληπτική μοάδα; β) Ποιας μεταβλητής καταγράψαμε τιμές; Είαι ποσοτική ή ποιοτική; γ) Από ποιο πληθυσμό πήραμε το τυχαίο δείγμα; δ) Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα και το κυκλικό διάγραμμα της καταομής του δείγματος. ε) Ποιο ποσοστό τω βάζω μελιού που επελέγησα, παράγεται από το μελισσοκόμο Γ; στ) Ποια είαι η κορυφή του δείγματος;. Συέχεια της Άσκησης.: Για καθέα από τα 5 βάζα μελιού που επιλέξαμε τυχαία από τα ράφια του καταστήματος, καταγράψαμε επίσης α) το είδος του μελιού (αθέω, ελάτης, θυμαρίσιο, πεύκου) β) το μέγεθος της συσκευασίας (μικρό, μεσαίο, μεγάλο) γ) τη περιεκτικότητα του μελιού σε σάκχαρα δ) τη ποσότητα μελιού που περιέχεται σε κάθε βάζο. Για κάθε μια από αυτές τις περιπτώσεις, α απατήσετε στα ερωτήματα (α), (β) και (γ) της Άσκησης.. 3. Είαι γωστό ότι η πετρελαϊκή ρύπαση τω θαλασσώ προκαλεί, μεταξύ άλλω, τη αάπτυξη εός συγκεκριμέου τύπου βακτηρίω. Μια ομάδα ερευητώ, προκειμέου α μελετήσει αυτό το φαιόμεο σε μια θαλάσσια περιοχή που έχει πληγεί από πετρελαϊκή ρύπαση, πήρε ερό από 0 διαφορετικά σημεία αυτής της περιοχής και έκαε σχετικές μετρήσεις. Συγκεκριμέα, μέτρησε το αριθμό, έστω Χ, αυτώ τω βακτηρίω αά 00 mlllters ερού. Οι τιμές, x, x,..., x0, της μεταβλητής Χ στα δέκα σημεία ήτα 49, 70, 54, 67, 59, 40, 6, 69, 7, 5. α) Ποιο πληθυσμό μελετού οι ερευητές; β) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε τα μέτρα θέσης και διασποράς της καταομής του δείγματος. γ) Να κατασκευάσετε το θηκόγραμμα του δείγματος και με βάση αυτό α περιγράψετε τη καταομή του. 4. Έας φοιτητής, στο πλαίσιο της πτυχιακής του εργασίας, μελέτησε μεταξύ άλλω, τη ποσότητα ατρίου, έστω Χ, που περιέχεται στο κασέρι συήθους τύπου (όχι lght) που παράγει μια γωστή γαλακτοβιομηχαία. Τα αποτελέσματα εέα σχετικώ μετρήσεω που έκαε ο φοιτητής σε κασέρι που επέλεξε τυχαία από εέα παρτίδες παραγωγής της γαλακτοβιομηχαίας, ήτα (σε mg/00gr) 340, 300, 340, 30, 30, 90, 330, 30, 30. α) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε τα μέτρα θέσης και διασποράς της καταομής του δείγματος. β) Να κατασκευάσετε το θηκόγραμμα της καταομής του δείγματος. 5. Συέχεια του Προβλήματος.4: Ο φοιτητής μελέτησε επίσης, τη ποσότητα ατρίου στο κασέρι τύπου lght της ίδιας γαλακτοβιομηχαίας. Τα αποτελέσματα οκτώ σχετικώ μετρήσεω ήτα (σε mg/00gr) 300, 300, 30, 90, 80, 80, 85, 75. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 5
Να συγκρίετε τη καταομή αυτού του δείγματος με τη καταομή του προηγούμεου δείγματος (ως προς τη συμμετρία, τη θέση και τη μεταβλητότητά τους). 6. Η πτυχιακή μελέτη εός φοιτητή αφορούσε, μεταξύ άλλω, στο αριθμό τω πετάλω, έστω Χ, τω αθέω μιας συγκεκριμέης ποικιλίας εός φυτού που καλλιεργείται στο ομό Κοζάης. Στο πλαίσιο αυτής της μελέτης, ο φοιτητής μέτρησε το αριθμό τω πετάλω σε 5 άθη της συγκεκριμέης ποικιλίας που επέλεξε τυχαία από καλλιέργειες του ομού Κοζάης. Τα αποτελέσματα αυτώ τω μετρήσεω φαίοται στο πίακα που ακολουθεί. 7 5 8 7 5 5 6 6 5 7 5 5 5 9 6 8 5 5 5 6 6 5 5 6 5 9 6 5 5 7 6 6 7 5 7 5 5 6 6 5 6 5 6 5 5 5 5 6 6 5 5 8 5 5 5 5 6 5 5 5 6 5 5 6 5 5 5 6 7 5 7 5 5 8 5 5 5 6 5 0 5 6 5 5 6 5 7 5 5 5 9 5 5 7 5 5 5 5 6 7 5 5 6 5 6 5 7 5 0 5 6 5 5 5 8 α) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε τα μέτρα θέσης και διασποράς της καταομής του δείγματος. β) Να κατασκευάσετε το θηκόγραμμα του δείγματος. Τι συμπεραίετε για τη καταομή του δείγματος; γ) Για κάποιο άθος βρέθηκε x = 7. Τι μπορούμε α πούμε για τη θέση αυτής της τιμής στη καταομή του δείγματος; δ) Α x 0.98 = 9. 68, τι μπορούμε α πούμε για τη θέση της τιμής x = 0 στη καταομή του δείγματος; ε) Να κατασκευάσετε το θηκόγραμμα τω z-τιμώ, z, z,..., z5, τω τιμώ x, x,..., x5 της Χ. Τι συμπεραίετε για τη καταομή τω z-τιμώ; 7. Σε μια περιοχή του Μαιάλου αιχμαλωτίσθηκα από μια ομάδα ερευητώ, με βάση έα σχέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, 00 αλεπούδες για α ελεγχθού ως προς το α έχου προσβληθεί από παράσιτα (εός συγκεκριμέου τύπου). Στη συέχεια οι ερευητές κατέγραψα το αριθμό, έστω Χ, τω παράσιτω που βρέθηκα αά αλεπού. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι συχότητες όλω τω τιμώ x της μεταβλητής Χ που εμφαίσθηκα στο δείγμα (μηδέ παράσιτα σε κάθε μία από 69 αλεπούδες, έα παράσιτο σε κάθε μια από 7 αλεπούδες, παράσιτα σε κάθε μία από 6 αλεπούδες, κτλ). Αριθμός παράσιτω 0 3 4 5 6 7 8 Αριθμός αλεπούδω 69 7 6 3 0 α) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε τα μέτρα θέσης και διασποράς της καταομής του δείγματος. β) Να κατασκευάσετε το θηκόγραμμα του δείγματος. Τι συμπεραίετε για τη καταομή του δείγματος; γ) Να υπολογίσετε τα ποσοστιαία σημεία x 0. 95 και x 0. 98. Τι μπορούμε α πούμε για τη θέση τω τιμώ, x = 4 και x = 6 στη καταομή του δείγματος; 8. Σε 50 φύλλα πορτοκαλιάς, τυχαία επιλεγμέα, από έα πορτοκαλεώα στο κάμπο της Αργολίδας, μετρήθηκε ο αριθμός, έστω Χ, ζωυφίω αά φύλλο. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι συχότητες όλω τω τιμώ x της μεταβλητής Χ που εμφαίσθηκα στο δείγμα. Αριθμός ζωυφίω 0 3 4 5 6 7 Αριθμός φύλλω 5 9 0 7 4 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 6
α) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε τα μέτρα θέσης και διασποράς της καταομής του δείγματος. β) Να κατασκευάσετε το θηκόγραμμα του δείγματος. Τι συμπεραίετε για τη καταομή του δείγματος; 9. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται ο αριθμός σταφίδω που περιέχοται σε καθέα από 4, τυχαία επιλεγμέα, μικρά φακελάκια (τω 30gr) παραγωγής μιας μεγάλης εταιρείας συσκευασίας τροφίμω και ατίστοιχα, σε 4 τυχαία επιλεγμέα φακελάκια (επίσης τω 30gr) οικοτεχικής παραγωγής. Να συγκρίετε τις καταομές τω δύο δειγμάτω ως προς τη θέση τους και τη μεταβλητότητά τους. Αριθμός σταφίδω σε φακελάκια (τω 30 gr) Εταιρείας τροφίμω Οικοτεχικής παραγωγής 5 6 5 8 6 5 9 4 4 8 8 8 7 6 7 4 8 5 8 4 5 6 6 30 7 8 4 0. Έας ερευητής σχεδίασε και εκτέλεσε έα πείραμα για α μελετήσει το χρόο, έστω Χ (σε ημέρες), που απαιτείται για τη αποδόμηση μιας συγκεκριμέης χημικής ουσίας από το μέλι (η ουσία αυτή χρησιμοποιείται για τη καταπολέμηση τω ακάρεω). Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται 50 σχετικές παρατηρήσεις. 38 47 3 55 4 40 36 35 45 45 40 35 34 39 50 48 4 40 4 38 30 34 4 33 37 36 43 30 4 46 35 43 30 3 39 3 48 46 36 36 39 4 46 3 33 36 40 37 50 3 α) Να υπολογίσετε το μέσο, τη τυπική απόκλιση, τη κορυφή και τη διάμεσο του δείγματος. β) Να ομαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε 6 κλάσεις με πλάτος 5 ημέρες η κάθε μια και αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης τις 30 ημέρες. Να υπολογίσετε και πάλι το μέσο, τη τυπική απόκλιση, τη κορυφή και τη διάμεσο του δείγματος χρησιμοποιώτας τώρα τις ομαδοποιημέες παρατηρήσεις και α συγκρίετε τα αποτελέσματα με αυτά του ερωτήματος (α). γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχοτήτω της καταομής με βάση τη ομαδοποίηση που κάατε στο (β). Τι συμπεραίετε για τη μορφή της; δ) Να σχολιάσετε τη θέση της κορυφής, της διαμέσου και του μέσου του δείγματος σε σχέση με τη μορφή της καταομής που προκύπτει από το (γ). ε) Να υπολογίσετε τα ποσοστά τω παρατηρήσεω που βρίσκοται ετός τω διαστημάτω ( x s, x + s), ( x s, x + s), ( x 3s, x + 3s) και α τα συγκρίετε με τα ατίστοιχα ποσοστά που ααμέοται από τη αισότητα Chebyshev και από το εμπειρικό καόα.. Προκειμέου μια βιομηχαία παραγωγής χάλυβα α εκτιμήσει τη μέση περιεκτικότητα του χάλυβα που παράγει σε μαγγάιο, έκαε με βάση έα σχέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, 40 μετρήσεις. Τα αποτελέσματα τω μετρήσεω αυτώ (ποσοστά, %) φαίοται στο πίακα που ακολουθεί..50.8.54.50.58.40.34.46.5.70.54.46.6.7.38.58.46.44.36.08.60.34.8.44.46.5.58.6.4.34.58..56.4.36.44.38.5.58.64 α) Να ομαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε 8 κλάσεις με πλάτος 0. η κάθε μια και αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης το. β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχοτήτω της καταομής του δείγματος με βάση τη ομαδοποίηση που κάατε Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 7
στο (α). Τι συμπεραίετε για τη συμμετρία της καταομής; γ) Να υπολογίσετε το μέσο, τη διάμεσο και τη κορυφή του δείγματος και α σχολιάσετε τη θέση τους σε σχέση με τη μορφή της καταομής που προκύπτει από το (β). δ) Να κατασκευάσετε το θηκόγραμμα της καταομής του δείγματος.. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται το ποσοστό (%) οξειδίου του αργιλίου (alumnum oxde) σε καθέα από 4 κεραμικά αγγεία που βρέθηκα σε αρχαιολογικές αασκαφές που έγια σε δύο διαφορετικές περιοχές (Α και Β). Περιοχή Α Περιοχή Β 4.4.6 3.8. 4.6 8.3 8.0 7.7 4.8.5.4 3.8 3. 0.9 5.8 8.0 8.3 0..5 3.4.7 0.8 9. 6.7 α) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω τω 4 παρατηρήσεω. Παρατηρείτε κάτι αξιοσημείωτο; β) Να κατασκευάσετε το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω και το θηκόγραμμα τω παρατηρήσεω από τη περιοχή Α και ατίστοιχα από τη περιοχή Β. Μπορείτε τώρα α εξηγήσετε γιατί συμβαίει αυτό που παρατηρήσατε στο (α); 3. Να εφαρμόσετε κατάλληλες (κατά περίπτωση) μεθόδους περιγραφικής στατιστικής για α περιγράψετε τη καταομή καθεός από τα παρακάτω δείγματα και α συοψίσετε τα συμπεράσματά σας σε μια σύτομη πααράγραφο. (α) Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η ποσότητα DNΑ που βρέθηκε στο συκώτι καθεός από 5 ποτίκια. 3.4 3. 6.7.4.3 3.8 3.9.9 3. 3.9.7 4.4 3.6.4.4 3.6 3. 7.5.9 7.8.7 3.9 3.3.7.0 4.4 3.3 0.7 3.9.6 5.6 3.0 3.4.4 3.5.8.4.9.3.9.8.5 4. 5.9 3. 8.7.8 3.8 3.0 3.0 3.0 4. (β) Μετρήθηκε ο χρόος ζωής πεήτα εξαρτημάτω, τυχαία επιλεγμέω από τη αποθήκη του εργοστασίου παραγωγής τους. Οι μετρήσεις αυτές έδωσα τα ακόλουθα αποτελέσματα (σε ώρες). 46 04 94 4 35 4 5 7 8 93 48 97 37 6 64 5 7 6 57 56 36 7 46 73 38 84 3 85 43 59 0 4 73 7 34 43 9 7 0 8 46 7 35 4 63 4 64 3 5 (γ) Μια ομάδα ερευητώ επέλεξε τυχαία 00 άτομα από έα πληθυσμό και για καθέα από αυτά κατέγραψε τη ομάδα αίματός του. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η συχότητα κάθε ομάδας αίματος που παρατηρήθηκε στο δείγμα. Ομάδα αίματος Α Β ΑΒ Ο Παρατηρηθείσα 89 8 8 συχότητα (δ) Τα τελευταία χρόια παρατηρείται συεχώς αυξαόμεο εδιαφέρο για τη μελέτη της συγκέτρωσης τοξικώ στοιχείω στο οργαισμό τω θαλάσσιω θηλαστικώ. Στο πλαίσιο μιας σχετικής μελέτης για τη συγκέτρωση, έστω Χ, υδραργύρου στο συκώτι εός είδους αρσεικώ δελφιιώ, έγια σχετικές μετρήσεις σε έα τυχαίο δείγμα 8 αρσεικώ δελφιιώ αυτού του είδους με τα ακόλουθα αποτελέσματα (σε mcrogr/gr). Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 8
.70 0 68 48 5 78 397.7 85.40 8 485 39 86 09 8.80 8 80 36 35 34 5.90 83 64 406 445 4 38 (ε) Εδιαφερόμαστε α μελετήσουμε τη τυχαία μεταβλητή Χ που εκφράζει το χρόο που μεσολαβεί μεταξύ διαδοχικώ εκρήξεω του ηφαιστείου Mauna Loa της Χαβάης. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται 36 τιμές (σε μήες) της Χ (αφορού 37 διαδοχικές εκρήξεις του ηφαιστείου που έγια από το 83 μέχρι το 950). 6 6 6 68 94 3 73 73 3 4 6 5 6 3 3 38 38 40 0 6 6 50 77 8 4 8 6 65 37 9 6 (στ) Συέχεια της Άσκησης.: Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται για καθέα από τα 5 βάζα μελιού που επιλέξαμε τυχαία από τα ράφια του καταστήματος ) ο παραγωγός (Α, Β, Γ) ) το είδος του μελιού (αθέω, ελάτης, θυμαρίσιο, πεύκου) ) το μέγεθος της συσκευασίας (μικρό, μεσαίο, μεγάλο) v) η περιεκτικότητα του μελιού σε σάκχαρα και v) η ποσότητα μελιού που περιέχεται σε κάθε βάζο. Παραγωγός Είδος Μέγεθος Περιεκτικότητα Ποσότητα συσκευασίας σε σάκχαρα (%) (σε gr) Α Αθέω Μικρό 75 50 Β Αθέω Μεσαίο 77 500 Α Αθέω Μεσαίο 70 490 Γ Αθέω Μικρό 78 40 Α Θυμαρίσιο Μεγάλο 77 000 Α Αθέω Μεγάλο 75 950 Α Πεύκου Μεγάλο 5 00 Γ Πεύκου Μεσαίο 55 550 Γ Αθέω Μεσαίο 77 450 Γ Ελάτης Μεσαίο 60 500 Α Θυμαρίσιο Μικρό 77 50 Β Θυμαρίσιο Μικρό 75 70 Α Θυμαρίσιο Μεγάλο 78 000 Β Θυμαρίσιο Μεγάλο 78 050 Β Πεύκου Μεγάλο 60 000 Α Πεύκου Μεσαίο 50 500 Β Ελάτης Μεσαίο 55 550 Γ Ελάτης Μικρό 59 50 Α Ελάτης Μικρό 60 50 Β Θυμαρίσιο Μεσαίο 75 560 Γ Αθέω Μεσαίο 77 500 Γ Πεύκου Μεσαίο 55 500 Γ Αθέω Μικρό 77 40 Β Αθέω Μεγάλο 7 990 Α Αθέω Μικρό 75 50 (ζ) Έας ερευητής σχεδίασε και εκτέλεσε το εξής πείραμα. Σε έα κλειστό διάδρομο στο τέλος του οποίου υπήρχα τρεις έξοδοι διαφορετικού χρώματος (πράσιη, κόκκιη και μπλε), απελευθέρωσε έα ποτίκι 90 φορές και Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 9
κατέγραψε πόσες φορές αυτό διέφυγε από τη πράσιη έξοδο, πόσες από τη κόκκιη και πόσες από τη μπλε. Η συχότητα που παρατηρήθηκε για κάθε έξοδο διαφυγής φαίεται στο πίακα που ακολουθεί. Παρατηρηθείσα συχότητα Έξοδος διαφυγής Πράσιη Κόκκιη Μπλε 0 39 3 4. Μια βιομηχαία τροφίμω παράγει από τρεις γραμμές παραγωγής Γ, Γ και Γ 3, ελαφρά συμπυκωμέο χυμό τομάτας σε συσκευασίες τω 00gr. Το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της βιομηχαίας, ότα διαπιστώει ότι κάποιο προϊό είαι ελαττωματικό το κατατάσσει σε μία από τέσσερις κατηγορίες Α, Α, Α 3 και Α 4, αάλογα με το είδος και τη σοβαρότητα τω ελαττωμάτω που παρουσιάζει. Επίσης, καταγράφει από ποια γραμμή παραγωγής παρήχθη. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται πώς καταέμοται 309 προϊότα που βρέθηκα ελαττωματικά στις τέσσερις κατηγορίες Α, Α, Α 3, Α 4 και στις τρεις γραμμές παραγωγής Γ, Γ, Γ 3. Γραμμή Παραγωγής Γ Γ Γ 3 Κατηγορία κατάταξης Α 5 6 33 Α 3 7 Α 3 45 34 49 Α 4 3 5 0 Να γίει γραφική ααπαράσταση της καταομής αυτώ τω δεδομέω. 5. Στο πλαίσιο μιας έρευας αγοράς, ρωτήθηκε καθέας από 670 δυητικούς αγοραστές εός έου προϊότος α δηλώσει ποιο από τρία μοτέλα (Μ, Μ, Μ3) του έου προϊότος προτιμά καθώς και α κατατάξει το εαυτό του σε έα από τέσσερις τύπους κατααλωτή που του προτάθηκα (Τ, Τ, Τ3, Τ4). Τα δεδομέα που προέκυψα φαίοται στο πίακα που ακολουθεί. Μοτέλο Τύπος κατααλωτή Τ Τ Τ3 Τ4 Μ 0 56 38 Μ 40 44 68 4 Μ3 80 90 75 95 Να γίει γραφική ααπαράσταση της καταομής αυτώ τω δεδομέω. 6. Έστω Χ τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το μηιαίο βιοτικό επίπεδο τω μελώ τω οικογεειώ στο Νομό Αττικής το έτος 008. Στα σχήματα που ακολουθού παρουσιάζεται η καταομή εός ατιπροσωπευτικού δείγματος τιμώ της Χ μεγέθους = 05. Για τη καταομή αυτή, δίεται επίσης, ο δειγματικός μέσος, x = 93. και η δειγματική τυπική απόκλιση, s = 538. 0. Το μηιαίο βιοτικό επίπεδο μιας οικογέειας είαι ίδιο για όλα τα μέλη της οικογέειας και προκύπτει από τη διαίρεση του συολικού καθαρού μηιαίου εισοδήματος της οικογέειας με έα σταθμικό άθροισμα τω μελώ της. Το σταθμικό άθροισμα προκύπτει ως εξής: για το πρώτο εήλικα βάρος, για κάθε άλλο εήλικα και κάθε παιδί άω τω 4 ετώ βάρος 0.5 και για κάθε παιδί κάτω τω 4 ετώ βάρος 0.3. Για παράδειγμα, το μηιαίο βιοτικό επίπεδο μιας οικογέειας με συολικό καθαρό μηιαίο εισόδημα 800 που αποτελείται από το πατέρα, τη μητέρα, τη γιαγιά, έα παιδί 8 ετώ και έα παιδί 6 ετώ είαι, 800 ( + 0.5 + 0.5 + 0.3 + 0.5) = 000. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 0
α) Ποιο πληθυσμό μελετάμε και ποια είαι η δειγματοληπτική μοάδα. β) Να υπολογίσετε (κατά προσέγγιση) και α ερμηεύσετε τη διάμεσο και το ο και 3 ο τεταρτημόριο της καταομής του δείγματος. γ) Τι ποσοστό (περίπου) τω οικογεειώ του δείγματος έχει μηιαίο βιοτικό επίπεδο πάω από 000 ; δ) Α είστε εκπρόσωπος τω εργαζομέω, ποιες πληροφορίες από τη καταομή του δείγματος θα χρησιμοποιούσατε ως επιχειρήματα σε μια συάτηση με το υπουργό οικοομικώ; ε) Τι ποσοστό (περίπου) τω οικογεειώ του δείγματος βρίσκεται κάτω από το όριο της φτώχιας (το όριο της φτώχιας ορίζεται ως το 60% του διάμεσου μηιαίου βιοτικού επιπέδου). στ) Α η z-τιμή μιας τιμής του δείγματος είαι -.3, ποια είαι η θέση αυτής της τιμής στη καταομή του δείγματος; ζ) Α μια τιμή του δείγματος είαι 500, ποια είαι η θέση της στη καταομή του δείγματος; η) Τι ποσοστό (κατά προσέγγιση) τω τιμώ του δείγματος βρίσκεται στο διάστημα ( x s, x + s) ; Συμφωεί αυτό το ποσοστό με αυτό που ααμέουμε από τη αισότητα Chebyshev; Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)