Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την επέκταση του ιδιόκτητου δικτύου της, αναμένοντας να αποκτήσει σημαντικό πλεονέκτημα έναντι των ανταγωνιστών της. Ειδικότερα, στόχος της εταιρίας είναι η επέκταση του ιδιόκτητου δικτύου της οπτικών ινών, προκειμένου να συνδέσει το τηλεπικοινωνιακό κέντρο της πόλης 1 με εκείνο της πόλης 10. Στο παρακάτω σχήμα, απεικονίζεται το υπό ανάπτυξη δίκτυο οπτικών ινών της εταιρείας οι κόμβοι αποτελούν τα τηλεπικοινωνιακά κέντρα των πόλεων 1 έως 10 και οι ακμές παριστάνουν τις πιθανές διαδρομές οπτικών ινών που μπορούν να συνδέουν τα κέντρα μεταξύ τους. Οι αριθμοί σε κάθε ακμή εκφράζουν το σε χιλιόμετρα της οπτικής ίνας που συνδέει τα αντίστοιχα κέντρα. Το κόστος εγκατάστασης ανέρχεται σε 2.000 ευρώ ανά χιλιόμετρο. Στόχος της εταιρίας είναι να πραγματοποιήσει την επέκταση από την πόλη 1 προς την πόλη 10 (μέσω των κατάλληλων ενδιάμεσων κέντρων) με τη μικρότερη δυνατή συνολική οικονομική επιβάρυνση. 2 100 7 00 0 60 0 0 10 1 80 3 0 8 0 10 100 1 6 10 30 100 60 9 Χρησιμοποιήστε την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης για να βοηθήσετε τη διοίκηση της εταιρείας να πραγματοποιήσει την επέκταση του δικτύου της από την πόλη 1 προς την πόλη 10 με το μικρότερο δυνατό κόστος. Να δώσετε την κατηγορία προβλημάτων στην οποία ανήκει το προς επίλυση πρόβλημα, καθώς και τον αλγόριθμο (όνομα) με τον οποίο επιτυγχάνεται η λύση. Η επίλυση που θα παρουσιάσετε να είναι σαφής και να δείχνει ότι εφαρμόζετε με ακρίβεια το σχετικό αλγόριθμο. ΘΕΜΑ 2 ο Δύο μεγάλες εταιρείες εμφιάλωσης Α και Β, εμπορεύονται δύο αναψυκτικά τύπου cola, τα οποία καλύπτουν το σύνολο της αγοράς των αναψυκτικών αυτού του τύπου. Για να αυξήσουν το μερίδιο αγοράς τους, οι δύο εταιρείες πρόκειται να κάνουν συγκεκριμένες προωθητικές ενέργειες σε έναν μεγάλο Δήμο της χώρας, στον οποίο η συνολική αξία των εβδομαδιαίων πωλήσεων των αναψυκτικών τύπου cola ανέρχεται σε χιλιάδες ευρώ. Οι προωθητικές αυτές ενέργειες περιλαμβάνουν διαγωνισμούς και προσφορές σε τρία συγκεκριμένα κατάλληλα σημεία πωλήσεων, Σ1, Σ2 και Σ3 που έχουν εντοπίσει τα τμήματα Μάρκετινγκ των δύο εταιρειών. Λόγω περιορισμένου προϋπολογισμού, κάθε εταιρεία μπορεί να επιλέξει ένα σημείο για τις προωθητικές της ενέργειες, χωρίς να γνωρίζει ποιο σημείο θα επιλέξει η ανταγωνίστριά της. Η αποτελεσματικότητα των προωθητικών ενεργειών κάθε εταιρείας εξαρτάται από το σημείο πώλησης που θα επιλέξει τόσο η ίδια όσο και η ανταγωνίστριά της. Η εκτιμώμενη αξία (σε χιλιάδες ευρώ) των εβδομαδιαίων πωλήσεων της εταιρείας Α, για κάθε συνδυασμό σημείων πωλήσεων που επιλέγουν οι δύο εταιρείες, δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Εταιρεία Β Εταιρεία Α Β-Σ1 Β-Σ2 Β-Σ3 Α-Σ1 190 270 270 Α-Σ2 330 0 2 Α-Σ3 310 230 280 1. Χωρίς να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας. 2. Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε επιχείρηση καθώς και την αναμενόμενη αξία πωλήσεων της εταιρείας Α. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας και το κατάλληλο φυσικό νόημα. Ποια εταιρεία φαίνεται να είναι μακροπρόθεσμα πιο ωφελημένη;

ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το ακόλουθο δίκτυο αναπαράστασης ενός έργου: A G 3 Start B D F 10 I Finish C 8 E 12 H 0 1. Παραθέστε πίνακα του οποίου γραμμές θα είναι οι εννέα (9) δραστηριότητες του έργου και στήλες ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης, ο ενωρίτερος χρόνος λήξης, ο βραδύτερος χρόνος έναρξης και ο βραδύτερος χρόνος λήξης εκάστης εξ αυτών. Υποδείξτε την/τις κρίσιμη/μες διαδρομή/μές και υπολογίστε τον (ελάχιστο) χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. 2. Στη συνέχεια υποθέστε ότι ο χρόνος που υπολογίσατε στο ερώτημα (1) είναι ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου. Σε μια τέτοια περίπτωση, η πιθανότητα να τελειώσει το έργο σε χρόνο περισσότερο από 29 εβδομάδες είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη του 0.; ΘΕΜΑ ο Η George Rent-A-Car είναι μια εταιρεία ενοικιάσεως αυτοκινήτων με στόλο αυτοκινήτων ίδιου κυβισμού και παρουσία σε επτά διαφορετικές πόλεις. Κάθε δύο εβδομάδες, ο Γιώργος αναλύει τη θέση που βρίσκονται τα αυτοκίνητα που είναι ανοίκιαστα με απώτερο σκοπό να διατηρεί τουλάχιστον 12 εξ αυτών σε κάθε πόλη. Δηλαδή, αυτοκίνητα που βρίσκονται σε πόλεις με περισσότερα από 12 αυτοκίνητα μετακινούνται στις πόλεις που έχουν λιγότερα από 12. Ο χρόνος μετακίνησης ενός αυτοκινήτου είναι μόλις μια ημέρα και το κόστος (αμοιβή οδηγού + βενζίνη + εισιτήρια επιστροφής οδηγού) δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Σημειώστε ότι, λόγω απόστασης, μετακινήσεις μεταξύ πόλεων που βρίσκονται στο βορειότερο μέρος της χώρας προς το νοτιότερο, κι ανάποδα, δεν προγραμματίζονται. ΠΡΟΣ ΑΠΟ Πόλη2 Πόλη3 Πόλη Πόλη Πόλη6 Πόλη7 Πόλη1 17 00 80 --- --- Πόλη2 2 380 --- --- Πόλη3 300 300 30 60 Πόλη 110 0 300 Πόλη 10 27 Πόλη6 30 Στις 1 Ιουλίου, 160 αυτοκίνητα ήταν νοικιασμένα ενώ, από τα υπόλοιπα 90, 11 βρισκόταν στην Πόλη1, 7 στην Πόλη2, 6 στην Πόλη3, 2 στην Πόλη, 18 στην Πόλη, 7 στην Πόλη6 και 16 στην Πόλη7. Υποδείξτε τη βέλτιστη στρατηγική μετακίνησης που πρέπει να προγραμματιστεί για τις 1 Ιουλίου.

ΘΕΜΑ 1 ο Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης όπου πρέπει να εντοπιστεί η συντομότερη διαδρομή από τον κόμβο 1, που είναι η αφετηρία, προς ένα συγκεκριμένο κόμβο (τον κόμβο 10), οπότε το κριτήριο τερματισμού θα είναι «ο προορισμός να γίνει μόνιμος». Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο της συντομότερης. Πρώτος λυμένος καθίσταται η αφετηρία 1 με απόσταση 0 (από τον εαυτό της). Το αρχικό σύνολο των λυμένων κόμβων είναι το Λ={1}. Πίνακας 1 1 η επανάληψη 1-2 00 Συνολικό ελάχιστης 1-3 80 3 1 80 1-100 Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1}+{3 1 } Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο 3 με ελάχιστη απόσταση 80 Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ={1, 3 1 } (ο δείκτης 1 στον αριθμό 3, δηλώνει τον κόμβο προέλευσης, δηλ. ο άμεσα προηγούμενος από τον οποίο προσεγγίζεται ο 3 είναι ο 1). Πίνακας 2 2 η επανάληψη 1-2 00 Συνολικό ελάχιστης 1-100 1 100 3-2 1 3-0 3-6 100 6 3 100 Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1, 3 1 }+{ 1 } Δηλαδή, στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ένας εκ των κόμβων ή 6, δηλαδή ένας από αυτούς τους δύο που έχουν την ίδια μικρότερη προσωρινή απόσταση από την αφετηρία (ίση με 100 Km). Ας επιλέξουμε (αυθαίρετα) τον κόμβο, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ={1, 3 1, 1 }. Εναλλακτικά, αν επιλέγαμε τον κόμβο 6, το σύνολο των μονίμων κόμβων θα γινόταν Λ={1, 3 1, 6 3 } (κάτι, που ούτως ή άλλως θα γίνει στο επόμενο στάδιο). Πίνακας 3 3 η επανάληψη 1-2 00 3-2 1 Συνολικό ελάχιστης 3-6 100 6 3 100-6 110 Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1, 3 1, 1 } + {6 3 }

Οπότε, στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο 6 με απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 100 Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ={1, 3 1, 1, 6 3 }. Πίνακας η επανάληψη 1-2 00 Συνολικό ελάχιστης 3-2 1 2 3 1 6-8 10 6-9 130 Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1, 3 1, 1, 6 3 } + {2 3 } Άρα, στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο 2 με απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 1 Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ={1, 3 1, 1, 6 3, 2 3 }. Πίνακας - η επανάληψη 2-180 2-7 2 6-8 10 Συνολικό ελάχιστης 6-9 130 9 6 130 Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1, 3 1, 1, 6 3, 2 3 } + {9 6 } Οπότε, στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο 9 με απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 130 Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ={1, 3 1, 1, 6 3, 2 3, 9 6 }. Πίνακας 6-6 η επανάληψη 2-180 2-7 2 Συνολικό ελάχιστης 6-8 10 8 6 10 9-8 230 9-10 10 Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1, 3 1, 1, 6 3, 2 3, 9 6 } + {8 6 } Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο 8 με απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 10 Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ={1, 3 1, 1, 6 3, 2 3, 9 6, 8 6 }.

Πίνακας 7-7 η επανάληψη 2-180 2-7 2 8-160 8-10 30 Συνολικό ελάχιστης 9-10 10 10 9 10 Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ={1, 3 1, 1, 6 3, 2 3, 9 6, 8 6 } + {10 9 } Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο προορισμός μας, δηλαδή ο 10, με απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 10 Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ={1, 3 1, 1, 6 3, 2 3, 9 6, 8 6, 10 9 }. Επειδή έγινε μόνιμος ο προορισμός μας, η διαδικασία ολοκληρώνεται. Σημειώνεται, ότι αν είχαμε επιλέξει τον κόμβο 6 για να γίνει μόνιμος στη 2 η επανάληψη τότε η σειρά θα ήταν η ακόλουθη: Στη 2 η επανάληψη το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 3 1, 6 3 }. Στην 3 η επανάληψη το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 3 1, 6 3, 1 }. Στην η επανάληψη το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 3 1, 6 3, 1, 2 3 }. Στην η επανάληψη το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 3 1, 6 3, 1, 2 3, 9 6 }. Στην 6 η επανάληψη το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 3 1, 6 3, 1, 2 3, 9 6, 8 6 }. Στην 7 η επανάληψη το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 3 1, 6 3, 1, 2 3, 9 6, 8 6, 10 9 }. Και πάλι έγινε μόνιμος ο προορισμός μας οπότε η διαδικασία ολοκληρώνεται. Στο επόμενο σχήμα, δίνουμε τη διαδικασία γραφικά. Το σύνολο Λ γεμίζει εξελικτικά καθώς τρέχει ο αλγόριθμος και οι παρενθέσεις σε κάθε κόμβο υποδηλώνουν προσωρινή απόσταση μετάβασης, ενώ οι αγκύλες ότι βρέθηκε η ελάχιστη απόσταση από την αφετηρία. Οι αριθμοί μέσα στις παρενθέσεις ή στις αγκύλες υποδηλώνουν την ελάχιστη απόσταση από την αφετηρία, τον προηγούμενο κόμβο από τον οποίο γίνεται η μετάβαση και στις αγκύλες τη σειρά εισόδου στο σύνολο των μονίμων. Στους υπολογισμούς, δεν καταγράφονται προσωρινά μήκη διαδρομών που είναι χειρότερα από άλλα που έχουν ήδη βρεθεί. Για παράδειγμα, απόσταση μετάβασης από τον μόνιμο κόμβο 3 προς τον κόμβο ίση με 1 δεν έχει νόημα να καταγραφεί, καθώς η ελάχιστη απόσταση μετάβασης στον από τον 1 ισούται με 100.

Τελικό αποτέλεσμα: Για να εντοπίσουμε την άριστη διαδρομή για τον προορισμό (κόμβο 10) εργαζόμαστε οπισθοδρομικά. Δηλαδή, για να βρούμε το βέλτιστο μονοπάτι ελέγχουμε οπισθοδρομικά την επίλυση, ξεκινώντας από τον κόμβο 10 ο οποίος μας παραπέμπει στον κόμβο 9. Από τον κόμβο 9 οδηγούμαστε στον κόμβο 6, στον κόμβο 3, και από εκεί στην αφετηρία 1. Κατά συνέπεια, υπάρχει μία άριστη (συντομότερη) διαδρομή, με 10 Km, και είναι η 1 3 6 9 10. Συνεπώς, το συνολικό κόστος επέκτασης του δικτύου από την πόλη 1 προς την πόλη 10 ανέρχεται σε 10 Km *2.000 / Km =300.000 Στο επόμενο σχήμα παρουσιάζεται το άριστο μονοπάτι μετάβασης από την αφετηρία προς τον κόμβο 10. 1 3 10 80 6 30 9

ΘΕΜΑ 2 ο Ερώτημα 1 Εφόσον η συνολική αξία των πωλήσεων είναι σταθερή, πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών σταθερού αθροίσματος. Όπως βλέπουμε στον παρακάτω πίνακα, η maximin τιμή της εταιρείας Α είναι ίση με 230 (τομή των στρατηγικών Σ3 της Α και Σ2 της Β) και η minimax τιμή της Β είναι ίση με 270 (τομή των στρατηγικών Σ1 της Α και Σ2 της Β). Επομένως, η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών της εταιρείας Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, δεν προσδιορίζει αμιγείς στρατηγικές, γεγονός που σημαίνει ότι δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας. Β-Σ1 Β-Σ2 Β-Σ3 Row Min Maximin Α-Σ1 190 270 270 190 Α-Σ2 330 0 2 0 Α-Σ3 310 230 280 230 230 Col Max 330 270 280 Minimax 270 230 270 230<V<270 Ερώτημα 2 Αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Αρχικά, παρατηρούμε ότι η στρατηγική Σ3 του παίκτη Β (Β-Σ3) διαγράφεται ως υποδεέστερη της στρατηγικής Β-Σ2, οπότε ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 3 2, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Β-Σ1 y Β-Σ2 1-y Α-Σ1 x1 190 270 Α-Σ2 x2 330 0 Α-Σ3 x3 310 230 Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης. Έστω y η πιθανότητα η εταιρεία Β να ακολουθήσει τη στρατηγική της Β-Σ1, οπότε (1-y) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη Β-Σ2. Για την εταιρεία Α έστω x1 η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική Α-Σ1, x2 να εφαρμόσει την Α-Σ2 και x3 να εφαρμόσει την Α-Σ3. Προφανώς ισχύει x1+x2+x3 =1. Για την εταιρεία με δύο στρατηγικές (δηλαδή τη Β) έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις αναμενόμενες πληρωμές: V(Β, Α-Σ1) = 190y + 270(1-y) = 270 80y, V(B, Α-Σ2) = 330y + 0(1-y) = 0 + 130y και V(B, A-Σ3) = 310y + 230(1-y) = 230 + 80y. Σύρουμε δύο κατακόρυφους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν την αξία για την εταιρεία Β (το κόστος για τη Β μια και ο πίνακας αναφέρεται στον παίκτη Α). Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας y. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις «πληρωμές» στην εταιρεία Β (δηλαδή τα V(Β, Α-Σi), i=1,2,3)) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει η Α και την πιθανότητα εφαρμογής από την εταιρεία Β είτε της Β-Σ1 είτε της Β-Σ2. Για να χαράξουμε τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών δηλαδή για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(Β, Α-Σ1) συνδέουμε το 270 με το 190, για το V(Β, Α-Σ2) συνδέουμε το 0 με το 330 και για την ευθεία V(Β, Α-Σ3) συνδέουμε το 230 με το 310.

Η εταιρεία Β επιλέγει minmax στρατηγική, δηλαδή επιλέγει το ελάχιστο από τα μέγιστα (τα χειρότερα για τη Β είναι τα μέγιστα οπότε επιλέγει το καλύτερο από τα χειρότερα). Επομένως, θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονες κόκκινες γραμμές. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το χαμηλότερο σημείο Κ. Ως εκ τούτου, η στρατηγική Α-Σ2 από την πλευρά της εταιρείας Α απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του minmax σημείου Κ και το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα διάστασης 2 2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών, στον οποίο αντικαταστήσαμε τις πιθανότητες x1 και x3 με x και 1-x αντίστοιχα: Β-Σ1 y Β-Σ2 1-y Α-Σ1 x 190 270 Α-Σ3 1-x 310 230 Στη συνέχεια επιλύουμε το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2 2: Εξισώνουμε τις V(Β, Α-Σ1) και V(Β, Α-Σ3) και έχουμε 270 80y = 230 + 80y που δίνει y=1/ και 1-y=3/ Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(Β, Α-Σ1) ή V(Β, Α-Σ3), δηλαδή είναι V = 270 80(1/) = 230 + 80(1/)= (αξία του παιγνίου δηλαδή πληρωμή για τον Α). Για την εταιρεία Α έχουμε ότι V(Α,Β-Σ1) = V(Α,Β-Σ2) δηλαδή 190x + 310(1-x) = 270x +230(1-x) απ όπου προκύπτει ότι x = 1/2 και 1-x = 1/2. Αν αντικαταστήσουμε τις πιθανότητες αυτές είτε στο V(Α,Β-Σ1) είτε στο V(Α,Β-Σ2) προκύπτει ότι V(Α,Β-Σ1) = V(Α,Β-Σ2)=, δηλαδή η αξία του παιγνίου που υπολογίσαμε νωρίτερα. Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής: Μεικτή στρατηγική για την εταιρεία Α: (1/2, 0, 1/2) Μεικτή στρατηγική για την εταιρεία Β: (1/, 3/, 0) Τιμή του παιγνίου V = Το φυσικό νόημα της τιμής του παιγνίου είναι ότι, εφόσον επαναληφθεί πολλές φορές η διαδικασία με τους ίδιους όρους, η αναμενόμενη αξία των πωλήσεων της εταιρείας Α ανέρχεται σε χιλιάδες ευρώ, ενώ για την εταιρεία Β θα είναι = 270 χιλιάδες ευρώ (αφού είναι παιγνίδι σταθερού αθροίσματος με συνολικό άθροισμα χιλιάδες ευρώ). Επομένως, από την όλη διαδικασία φαίνεται να είναι κερδισμένη η εταιρεία Β.

ΘΕΜΑ 3 ο Ερώτημα 1 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ. ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A -- 0 0 0 B -- 0 1 1 C -- 0 8 2 10 2 D Α, Β 9 9 0 E Β, C 8 10 22 2 F B, D 9 19 9 19 0 G A, F 19 22 19 22 0 H E, F 22 22 2 I F, G, H 22 27 22 27 0 Κρίσιμη διαδρομή: A D F G I, ή A D F I, ή A G I Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 27 εβδομάδες. Ερώτημα 2 Στην περίπτωση που οι χρόνοι υλοποίησης κάθε δραστηριότητας ήταν αναμενόμενοι, η πιθανότητα να τελειώσει το έργο σε περισσότερο από 29 εβδομάδες είναι μεγαλύτερη του 0., τιμή στην οποία αντιστοιχεί η μέση τιμή των 27 εβδομάδων.

ΘΕΜΑ 2 ο Στο σχέδιο μεταφοράς που περιγράφεται, σταθμοί προέλευσης είναι οι πόλεις με περισσότερα από 12 αυτοκίνητα και σταθμοί προορισμού οι πόλεις με λιγότερα από 12 αυτοκίνητα: ΠΡΟΣΦΟΡΑ (>12 αυτοκίνητα): Πόλη (13), Πόλη (6) και Πόλη7 () ΖΗΤΗΣΗ (<12 αυτοκίνητα): Πόλη1 (1), Πόλη2 (), Πόλη3 (6) και Πόλη6 () Συνεπώς, η συνολική ζήτηση διαμορφώνεται στα 1++6+ = 17 αυτοκίνητα και είναι μικρότερη της συνολικής προσφοράς των 13+6+ = 23 αυτοκινήτων. Κατόπιν αυτού, εισάγουμε στο σχέδιο μεταφοράς την ΠόληΧ με ζήτηση 23 17 = 6 αυτοκινήτων και διαμορφώνουμε το ακόλουθο tableau: Πλ Πλ Πλ7 Πλ1 Πλ2 Πλ3 Πλ6 Χ 00 380 300 0 0 80 300 10 0 Μ Μ 60 30 0 13 6 1 6 6 23 Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη μέθοδο του Vogel προκειμένου να εντοπίσουμε μια αρχική εφικτή λύση του προβλήματός μας: Πλ Πλ Πλ7 Πλ1 Πλ2 Πλ3 Πλ6 Χ 00 380 300 0 0 13 1 2 80 300 10 0 6 1 Μ Μ 60 30 0 1 6 6 23 Η λύση αυτή έχει 7 θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι μη εκφυλισμένη. Βρίσκοντας τα δυναμικά u i, v j και σχηματίζοντας τις διαφορές δ ij = u i + v j - c ij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές διαπιστώνουμε ότι η λύση αυτή είναι η βέλτιστη (δ ij 0 i, j) και συνεπάγεται συνολικό κόστος της τάξης των 80.

u 0 0 0 v 00 380 300 10 0 00 380 300-0 0 0 1-80 80-0 300 10 2 0 0 1 00-Μ Μ 380-Μ Μ -30 60-0 30 0 1 6 6 13 6 Παρατηρήστε ότι, επειδή δ 2 = 0, το πρόβλημα έχει και εναλλακτική βέλτιστη λύση