Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την αρχαιότητα. Για απλά γεωµετρικά σχήµατα, όπως τρίγωνα, παραλληλόγραµµα και τραπέζια, ο υπολογισµός του εµβαδού τους είναι σχετικά εύκολη υπόθεση και ϐρίσκεται µέσω των γνωστών µας στοιχειωδών τύπων. Χρησιµοποιώντας ως δοµικά στοιχεία τα γεωµετρικά αυτά σχήµατα µπορούµε να ϕτιάξουµε πιο σύνθετες επιφάνειες, όπως πολυγωνικές, οπότε ο υπολογισµός του εµβαδού των τελευταίων είναι απλά το άθροισµα των εµβαδών των επιµέρους στοιχειωδών γεωµετρικών σχηµάτων. Το ουσιαστικό ερώτηµα που ανακύπτει είναι αν υπάρχει µια ανάλογη µέθοδος µε την οποία να µπορούµε να υπολογίσουµε το εµβαδό µιας γενικά καµπυλόγραµµης επιφάνειας. Για λόγους απλούστευσης ας ϑεωρούµε ότι το εµβαδό που ϑέλουµε να υπολογίσουµε περικλείεται από τον άξονα των x και από το γράφηµα µιας συνεχούς 3 συνάρτησης y = f (x) στο διάστηµα [, b].. Η µέθοδος Επιλέγουµε + το πλήθος, διαδοχικά σηµεία x 0 =, x, x 2,... x, x = b, και χωρίζου- µε το διάστηµα [, b] σε µικρότερα διαδοχικά υποδιαστήµατα [, x ] = [x 0, x ], [x, x 2 ],... [x 2, x ] και [x, x ] = [x, b]. Τα σηµεία x 0 =, x, x 2,... x, x = b λέγονται διαιρετικά σηµεία και το σύνολό τους = {x 0, x, x 2,... x, x } το ονοµάζουµε διαµέριση του διαστήµατος [, b]. Για παράδειγµα, µια πολύ απλή διαµέριση είναι η x 0 =, x = + b, x 2 = x + b = +2 b,... x = +( ) b, x = + b = b, δηλαδή χωρίζουµε το διάστηµα [, b] σε υποδιαστήµατα ίσου µήκους b. Ονοµάζουµε πλάτος µιας διαµέρισης το µεγαλύτερο από τα µήκη των υποδιαστηµάτων που ορίζονται από αυτήν, δηλαδή πλάτος( ) = mx{x k x k k }. Η µοναδική απαίτηση για την επιλογή της διαµέρισης είναι ότι το πλάτος της πρέπει να είναι αρκετά µικρό. Αφού επιλέξουµε µια τυχαία διαµέριση του [, b], παρατηρούµε ότι το εµβαδό E που ϑέλουµε να υπολογίσουµε είναι το άθροισµα των εµβαδών E i των επιµέρους στοιχειωδών επιφανειών A i, i =,..., όπου η A k στοιχειώδης επιφάνεια σχηµατίζεται ως εξής : κάτω ϐάση έχει το ευθύγραµµο τµήµα [x k, x k ], πάνω ϐάση έχει το γράφηµα της y = f (x), δεξιά πλευρά έχει το κατακόρυφο ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα σηµεία µε 3 χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο, αφού όπως ϑα δούµε παρακάτω µια συνάρτηση µπορεί να είναι ολοκλη- ϱώσιµη κατά Riem χωρίς να είναι συνεχής στο [, b]. 86
συντεταγµένες (x k, 0) και ( x k, f (x k ) ), κι αριστερή πλευρά το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα σηµεία µε συντεταγµένες (x k, 0) και ( x k, f (x k ) ). y y = f (x) E k f (ξ k ) x k ξ k x k E E k E x x x k xk b x Σχήµα 33: Χωρισµός σε κατακόρυφες στοιχειώδεις επιφάνειες Οπότε E = E + + E. Ωστόσο, το πρόβληµα υπολογισµού του E παραµένει γιατί ούτε για τις στοιχειώδεις επιφάνειες A i, i =,..., µπορούµε να υπολογίσουµε το αντίστοιχο εµβαδό E i, αφού η πάνω ϐάση της κάθε A i είναι µια καµπύλη γραµµή. Αν όµως το πλάτος της είναι αρκετά µικρό, τότε το κάθε υποδιάστηµα [x k, x k ] είναι αρκετά µικρό, και συνεπώς όταν το x διατρέχει ένα οποιοδήποτε από αυτά τα υποδιαστήµατα, το αντίστοιχο ύψος f (x) δεν είναι µεν σταθερό, αλλά µπορεί να ϑεωρηθεί ότι δεν αλλάζει σηµαντικά, δηλαδή είναι περίπου σταθερό. Αυτό είναι συνέπεια του ότι ϑεωρήσαµε ότι η y = f (x) είναι συνεχής στο [, b], κι ετσι όσο πιο µικρό είναι το πλάτος της διαµέρισης τόσο πιο µικρές είναι οι διακυµάνσεις του ύψους σε κάθε υποδιάστηµα. Άρα, αν πάρουµε οποιοδήποτε ενδιάµεσο σηµείο ξ k στο υποδιάστηµα [x k, x k ], τότε οι αντίστοιχες τιµές f (x) στο υποδιάστηµα αυτό είναι περίπου ίσες µε f (ξ k ), και συνεπώς το εµβαδό της στοιχειώδους επιφάνειας A k είναι περίπου ίσο µε το εµβαδό του ορθογωνίου παραλληλογράµµου Π k που έχει ϐάση το διάστηµα [x k, x k ] και ύψος f (ξ k ). ηλαδή, το εµβαδό της κάθε επιµέρους στοιχειώδους επιφάνειας A i είναι περίπου ίσο µε E i f (ξ i ) (x i x i ), i =, 2,..., 87
και συνολικά το εµβαδό E που ϑέλουµε να υπολογίσουµε είναι περίπου ίσο µε E f (ξ ) (x x 0 ) + f (ξ 2 ) (x 2 x ) + + f (ξ ) (x x ). Το παραπάνω άθροισµα εξαρτάται από τα άκρα του διαστήµατος [, b], την συνάρτηση f (x), την διαµέριση = {x 0, x,... x }, καθώς και από το σύνολο Ξ = {ξ,... ξ } των ενδιάµεσων σηµείων και ϑα το συµβολίζουµε µε Σ(f,, b,, Ξ), δηλαδή Σ(f,, b,, Ξ) = f (ξ ) (x x 0 ) + f (ξ 2 ) (x 2 x ) + + f (ξ ) (x x ). Παράδειγµα.. Ας υποθέσουµε ότι ϑέλουµε να υπολογίσουµε το εµβαδό E του τραπεζίου που σχηµατίζεται από το γράφηµα της συνάρτησης f (x) = x, τον x-άξονα στο διάστηµα [, b] και από τις κατακόρυφες παράλληλες ευθείες x =, x = b, όπως ϕαίνεται στο διπλανό σχήµα. Προφανώς µπορούµε να υπολογίσουµε το E µε στοιχειώδη γεωµετρία αφού είναι απλά η διαφο- ϱά του εµβαδού του ορθογωνίου τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία µε συντεταγµένες (0, 0), (b, 0) και (b, b) και του ορθογωνίου µε κορυφές τα σηµεία µε συντεταγµένες (0, 0), (, 0) και (, ). ηλαδή y x b Σχήµα 34: ιαµέριση τραπεζίου E = 2 b2 2 2 = 2 (b2 2 ) Εφαρµόζουµε τώρα την µέθοδο υπολογισµού εµβαδού που αναπτύξαµε στα προηγούµενα ϑεωρώντας την διαµέριση = {, + b, + b, + b,... + b = b} όπου όλα τα υποδιαστήµατα έχουν το ίδιο πλάτος b. Επιπλέον, για ευκολία στις πράξεις επιλέγουµε το σύνολο των ενδιάµεσων σηµείων να είναι το Ξ = { + b, + b, + b,... + b = b} δηλαδή σε κάθε υποδιάστηµα επιλέγουµε το δεξί άκρο του ως ενδιάµεσο σηµείο. Τότε το άθροισµα είναι ίσο µε Σ(f,, b,, Ξ) = f (ξ ) (x x 0 ) + f (ξ 2 ) (x 2 x ) + + f (ξ ) (x x ) = ( ) + b b + ( ) + 2 b b = ( + [ + 2 + + ( ) + ] ) b b + + ( ) + b b = ( + (+) 2 ) b b = (b ) + + (b 2 )2, 88
όπου χρησιµοποιήσαµε τον γνωστό τύπο για το άθροισµα των πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου ( + ) + 2 + 3 + ( ) + =. 2 Συνεπώς, όταν το πλάτος b της διαµέρισης γίνει αρκετά µικρό, δηλαδή το γίνει όσο µεγάλο ϑέλουµε ( ) τότε το άθροισµα Σ(f,, b,, Ξ) = (b ) + + 2 (b )2 ϑα πλησιάσει όσο ϑέλουµε κοντά στην τιµή του εµβαδού E που ϑέλουµε να υπολογίσουµε. Αυτό ισοδύναµα σηµαίνει ότι ( E = lim (b ) + + ) 2 (b )2 = (b ) + 2 (b )2 = 2 (b2 2 ) που είναι το ίδιο µε το αποτέλεσµα που υπολογίσαµε προηγουµένως µε στοιχειώδη γεωµετρία. Συνεπώς η µέθοδος που αναπτύξαµε δουλεύει!.2 Το ολοκλήρωµα Riem Γενικότερα, έστω y = f (x) ορισµένη και ϕραγµένη στο διάστηµα [, b], για την οποία δεν υπο- ϑέτουµε ότι είναι συνεχής ούτε ότι όλες οι τιµές της είναι µη αρνητικές στο [, b]. Παίρνουµε τυχαία διαµέριση = {x 0, x,... x } του [, b] και αντίστοιχο τυχαίο σύνολο Ξ = {ξ,... ξ } ενδιάµεσων σηµείων και σχηµατίζουµε το άθροισµα Σ(f,, b,, Ξ) = f (ξ ) (x x 0 ) + f (ξ 2 ) (x 2 x ) + + f (ξ ) (x x ). Το Σ(f,, b,, Ξ) ονοµάζεται άθροισµα Riem της y = f (x) στο [, b] ως προς την δια- µέριση και το σύνολο Ξ των ενδιάµεσων σηµείων. Εστω ότι καθώς το πλάτος της γίνεται όσο µικρό ϑέλουµε, το άθροισµα Σ(f,, b,, Ξ) πλησιάζει όσο κοντά ϑέλουµε σε ένα πραγ- µατικό αριθµό τον οποίο σηµειώνουµε µε I. Τότε λέµε ότι η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη κατά Riem στο [, b] και συµβολίζουµε τον αριθµό I µε I = f (x) d x. Συµβολικά τα προηγούµενα συνοψίζονται στο εξής lim Σ(f,, b,, Ξ) = πλάτος ( ) 0 f (x) d x. Φυσικά τα παραπάνω ϑα πρέπει να ισχύουν για κάθε διαµέριση και κάθε επιλογή ενδιάµεσων σηµείων Ξ. Οµως αν γνωρίζουµε εκ των προτέρων ότι η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη κατά Riem στο [, b], τότε για να υπολογίσουµε τον αριθµό I αρκεί να περιοριστούµε σε κάποια διαµέριση και κάποια επιλογή ενδιάµεσων σηµείων Ξ και να εξασφαλίσουµε ότι το πλάτος της διαµέρισης που επιλέξαµε είναι αρκετά µικρό. Οι παρακάτω προτάσεις µας εξασφαλίζουν την ολοκληρωσιµότητα κατά Riem µιας µεγάλης κλάσης συναρτήσεων. 89
Πρόταση.2. Αν η y = f (x) είναι συνεχής στο [, b], τότε είναι ολοκληρώσιµη στο [, b]. Πρόταση.3. Αν η y = f (x) είναι µονότονη στο [, b], τότε είναι ολοκληρώσιµη στο [, b]. Μια συνάρτηση y = f (x) λέγεται τµηµατικά συνεχής σε ένα διάστηµα [, b], αν η συνάρτηση ορίζεται στο [, b] και είναι συνεχής στο [, b] εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος σηµείων x < x 2 < < x b. Επιπλέον, σε κάθε σηµείο ασυνέχειας ϑα πρέπει να υπάρχουν τα αριστερά και δεξιά όρια. Στα άκρα του διαστήµατος [, b] αρκεί να υπάρχει ένα από τα δυό πλευρικά όρια ( στο αρκεί να υπάρχει το από δεξιά όριο και στο b άκρο το από αριστερά όριο ). Πρόταση.4. Αν η y = f (x) είναι τµηµατικά συνεχής στο [, b], τότε είναι ολοκληρώσιµη στο [, b]..3 Ιδιότητες ολοκληρωµάτων Riem Πρόταση.5. Εστω ότι η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b] και λ είναι ένας οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. Τότε και η y = λ f (x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b] και ισχύει λ f (x) d x = λ f (x) d x Πρόταση.6. Εστω ότι οι συναρτήσεις y = f (x) και y = g(x) είναι ολοκληρώσιµες στο [, b]. Τότε και η y = f (x) + g(x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b] και ισχύει ( f (x)+g(x) ) d x = f (x) d x + g(x) d x Συνδυάζοντας τις δυο προηγούµενες προτάσεις έχουµε ότι αν οι συναρτήσεις y = f (x) y = g(x) είναι ολοκληρώσιµες στο [, b] και λ, µ είναι δυο πραγµατικοί αριθµοί τότε και η y = λ f (x) + µ g(x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b] και ισχύει ( ) b λ f (x) + µ g(x) d x = λ f (x) d x + µ g(x) d x Γενικότερα, αν οι συναρτήσεις y = f (x),... y = f k (x) είναι ολοκληρώσιµες στο [, b] και λ,..., λ k είναι πραγµατικοί αριθµοί τότε και η y = λ f (x) + + λ k f k (x) είναι ολοκλη- ϱώσιµη στο [, b] και ισχύει ( λ f (x) +... + λ k f k (x) ) d x = λ f (x) d x +... + λ k f k (x) d x Πρόταση.7. Εστω ότι οι συναρτήσεις y = f (x) και y = g(x) είναι ολοκληρώσιµες στο [, b]. Τότε και η y = f (x) g(x) είναι και αυτή ολοκληρώσιµη στο [, b]. 90
Οµως δεν υπάρχει τύπος που να συνδέει το ολοκλήρωµα του γινοµένου δυο συναρτήσεων µε τα επιµέρους ολοκληρώµατα των δυο συναρτήσεων. Πρόταση.8. Εστω ότι η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b] και υπάρχει κάποιος M > 0 τέτοιος ώστε f (x) M για κάθε x στο [, b]. Τότε και η y = f (x) στο [, b]. είναι ολοκληρώσιµη Οπως και στην προηγούµενη πρόταση για το γινόµενο συναρτήσεων, δεν υπάρχει τύπος που να συνδέει το ολοκλήρωµα του αντιστρόφου µιας συνάρτησης µε το ολοκλήρωµα της συνάρτησης. Πρόταση.9. Εστω ότι οι συναρτήσεις y = f (x) και y = g(x) ταυτίζονται στο [, b] εκτός από σε ένα πεπερασµένου πλήθους σηµείων του [, b]. Αν µία από τις δυο συναρτήσεις είναι ολοκληρώσιµη στο [, b] τότε και η άλλη είναι ολοκληρώσιµη στο [, b] και ισχύει f (x) d x = g(x) d x Πρόταση.0. Εστω ότι η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη [, b]. ολοκληρώσιµη και σε κάθε υποδιάστηµα [c, d] του [, b]. Τότε η y = f (x) είναι Πρόταση.. Εστω ότι η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b] και στο [b, c]. Τότε η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, c] και ισχύει c f (x) d x = f (x) d x + c b f (x) d x Γενικότερα, αν η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη στα [, 2 ], [ 2, 3 ]... [ k, k ] τότε η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, k ] και ισχύει k 2 k f (x) d x = f (x) d x + + f (x) d x k Πρόταση.2. Εστω ότι οι συναρτήσεις y = f (x) και y = g(x) είναι ολοκληρώσιµες στο [, b] και ισχύει ότι f (x) g(x) για κάθε x στο [, b]. Τότε ισχύει ότι f (x) d x g(x) d x. Ειδικότερα, α) Αν η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b] και το A είναι ένα οποιοδήποτε άνω ϕράγµα της f (x) στο [, b], δηλαδή f (x) A για κάθε x στο [, b], τότε ισχύει ότι f (x) d x A (b ). 9
ϐ) Αν η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b] και το K είναι ένα οποιοδήποτε κάτω ϕράγµα της f (x) στο [, b], δηλαδή f (x) K για κάθε x στο [, b], τότε ισχύει ότι f (x) d x K (b ). Πρόταση.3. Εστω ότι η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b]. Τότε και η f (x) είναι ολοκληρώσιµη x στο [, b] και ισχύει ότι f (x) d x f (x) d x.4 Μέση τιµή συνάρτησης Εστω ότι η y = f (x) είναι ολοκληρώσιµη στο [, b]. Ορίζουµε ως µέση τιµή της y = f (x) στο [, b] τον αριθµό µέση τιµή της f (x) στο [, b] = b f (x) d x Αν η µέση τιµή της y = f (x) στο [, b] είναι ο αριθµός µ τότε b f (x) d x = µ f (x) d x = µ (b ) f (x) d x = µ d x που σηµαίνει ότι η µέση τιµή της y = f (x) στο [, b] είναι η τιµή εκείνη που οφείλει να έχει η σταθερή συνάρτηση στο [, b] έτσι ώστε το ολοκλήρωµά της να είναι ίσο µε το οκοκλήρωµα της y = f (x) στο [, b]. Πρόταση.4. (Θεώρηµα µέσης τιµής του ολοκληρωτικού λογισµού.) Εστω ότι η y = f (x) είναι συνεχής στο [, b]. Τότε υπάρχει κάποιος ξ στο [, b] τέτοιος ώστε b f (x) d x = f (ξ) Για παράδειγµα, η y = x είναι ολοκληρώσιµη στο [, 2] και Ο ξ στο [, 2] για τον οποίο ισχύει f (ξ) = 3 2 είναι ο ξ = 3 2. 2 2 x d x = 2 (4 ) = 3 2. 92
.5 Ασκήσεις Ασκηση. Τα παρακάτω αθροίσµατα είναι αθροίσµατα Riem. Να γραφεί το όριό τους καθώς το στην µορφή ενός ολοκληρώµατος Riem στο [0, ] α) ϐ) γ) 2 + + 2 2 2 + + + 2 ( ) 2 + + 2 2 + 2 2 + 2 + 2 2 2 + 2 + + ( ) 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + + + ( ) + + (Υπόδειξη : Για το α) παρατηρούµε ότι ο k-στός όρος του αθροίσµατος γράφεται k 2 + 2 = + ( k )2 = f (ξ k) (x x x k ) για κατάλληλη συνάρτηση y = f (x) στο [0, ], κατάλληλη διαµέριση = {x 0, x,..., x } και κατάλληλη επιλογή ενδιάµεσων σηµείων Ξ = {ξ 0,... x }. Στην συνέχεια παρατηρούµε ότι το πλάτος της διαµέρισης γίνεται όσο µικρό ϑέλουµε όταν, οπότε έχουµε ένα ολοκλήρωµα Riem. Με όµοιο τρόπο λύνονται κι οι υπόλοιπες.) Ασκηση 2. Εστω ότι η y = f (x) είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [, b] και A = f (), B = f (b). Γνωρίζουµε ότι υπάρχει η x = f (y) και είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [A, B]. Να αποδειχθεί ότι f (x) d x + B Ποιά είναι η γεωµετρική ερµηνεία της ισότητας αυτής ; A f (y) d y = B b A. (Υπόδειξη: Θεωρήστε διαµέριση x = {x 0 =, x,..., x, x = b} του [, b] και αντίστοιχη διαµέριση y = {y 0 = A, y,..., y, y = B} του [A, B] µε y k = f (x k ), k =, 2,.... Τα αθροίσµατα Σ = y (x x 0 )+ +y (x x ) και Σ 2 = x 0 (y y 0 )+ +x (y y ) είναι αθροίσµατα Riem για το πρώτο και δεύτερο ολοκλήρωµα, αντίστοιχα, για κατάλληλα ενδιάµεσα σηµεία ( ποιά είναι αυτά ; ) Υπολογίστε το άθροισµα Σ +Σ 2 των δυο αθροισµάτων. ) Ασκηση 3. Να αποδειχθεί ότι i) 3 4 e 2 2 2 x e x d x 3 e /2, ii) t e 2 t χωρίς να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα. 2 t t e x d x t e t, (t > 0) Ασκηση 4. Να ϐρεθεί η µέση τιµή της y = x στο διάστηµα [, ]. 93