ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΤΡΕΛΑΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ασκήσεις Απόδειξη της σχέσης 3.7 που αφορά στην ακτινωτή ροή µονοφασικού ρευστού σε οµογενές πορώδες µέσο Νόµος Darcy: A dp π rh dp Q Q µ dr µ dr I e Q µ dr Q µ dr dp dp πh r πh r Q µ re Pi Pwf ln π h r Q π h P ( i Pwf ) µ ln re rw P PWf w r rw
Εφαρµογή 3. Ένας υδροφόρος ορίζοντας υπόκειται κοιτάσµατος υδρογονανθράκων και η εµφάνιση του (outcrop) βρίσκεται σε υποθαλάσσια περιοχή µε βάθος νερού 50 ft. Η επαφή υδρογονανθράκων νερού (HWC) βρίσκεται σε βάθος 550 ft κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. Η πραγµατική απόσταση από την επαφή αυτή έως την υποθαλάσσια εµφάνιση του υδροφόρου ορίζοντα είναι 0 µίλια (όπως παρουσιάζεται και στο σχήµα). Υπό δυναµικές συνθήκες, εάν η πίεση στην επαφή υδρογονανθράκων νερού είναι 450 psi, ποια είναι η εισροή του νερού στον ταµιευτήρα σε βαρέλια/ηµέρα. Να λάβετε υπόψη ότι η τοπική βαθµίδα πίεσης του υδροφόρου ορίζοντα είναι 0,45 psi/ft. Το πραγµατικό πάχος της ζώνης του υδροφόρου ορίζοντα είναι 65 ft, το πλάτος 3000 ft και η διαπερατότητα της άµµου που αποτελεί τη ζώνη αυτή, 750 md. (Ισχύει: βαρέλι/ηµέρα,84 cm 3 /sec atm 4,7 psi ft 30,48 cm mile 580 ft) Επίλυση Θεωρώντας ότι η τοπική βαθµίδα πίεσης του υδροφόρου ορίζοντα είναι 0,45 psi/ft, η υδροστατική πίεση λόγω υψοµετρικής διαφοράς) σε βάθος 550 ft και στο επίπεδο αναφοράς (datum) που βρίσκεται η HWC θα πρέπει να είναι: P 550 0,45 psi/ft x 550 ft + P at 36,5 psi + 4,7 psi 377, psi Υπό δυναµικές συνθήκες, η πίεση στο αντίστοιχο επίπεδο είναι 450 psi. Εποµένως, εάν θεωρήσουµε την προβολή του υδροφόρου ορίζοντα στο επίπεδο αναφοράς µας, δηλ. το επίπεδο της HWC, τότε µεταξύ των άκρων του (βλέπε σχήµα) δηµιουργείται διαφορά πίεσης P.
P outcrop P HWC 0 miles P outcrop at HDC datum Σύµφωνα µε την εξίσωση του Darcy, Q (m 3 /sec) A (m ). (m )/µ(pascal.sec). dp(pascal)/dx(m). Εποµένως Θα πρέπει να µετατραπούν ανάλογα οι µονάδες των δεδοµένων έτσι ώστε να προκύπτει παροχή Q, σε m 3 /sec και στη συνέχεια αυτή να µετατραπεί σε βαρέλια/ηµέρα. A 95.000 ft 95.000 x 0,090304 7945,9 m 750 md x 0,987 x 0-5 (m ) µ cp x 0-3 Pascal.sec P 97, psi 97, / 4,7 63,075 atm x,035 x 0 639 Kpa 639 x 0 3 Pascal x 0 µίλια x,609344 x 0 3 6093 m Εποµένως, P Q A µ x 5 3 7945,9 750 0,987 0 639 0 3 0 6093 9 8 3 0,49 0 0 6093 84,9 5,8x0 m / sec 6093 ή 5,8 x 0-3 x 0 6 580 cm 3 /sec 580/,84 869 βαρέλια/ηµέρα 3
Εφαρµογή 3. είγµα πυρήνα από γεώτρηση, κορεσµένο µε αλµυρό νερό (άλµη) είναι τοποθετηµένο σε προχοΐδα όπως φαίνεται στο σχήµα. Όταν αρχίσει η ροή, το ύψος της άλµης πάνω από τον πυρήνα µεταβάλλεται όπως στον Πίνακα που ακολουθεί: Χρόνος (s) Ύψος (cm) 0 00,0 00 96, 500 8,0 000 67,0 Άλµη h o 00 cm 000 45,0 3000 30,0 4000 0,0 5000 3,5 Πυρήνας cm Ποια είναι η διαπερατότητα του δείγµατος? Θεωρήστε ότι: Πυκνότητα άλµης,0 g/cm Ιξώδες άλµης centipoise g 98 cm s - atm 0 6 dyne/cm Επίλυση Θεωρείται εγκάρσια τοµή Α q A dh όπου q είναι ο ρυθµός ροής και h είναι το τρέχων ύψος το οποίο µετράται από dt την βάση του πυρήνα. Η ροή κατά µήκος του πυρήνα είναι: q A P µ L Αλλά το Ρ είναι η διορθωµένη µεταβολή πίεσης της στάθµης έτσι: q A g h ρ µ L A dh dt 4
L dh ρ g t έτσι: dt h h µ L o 0 ή log e ho h ρ g t µ L έτσι: L [ ( h h) loge µ o ] L g log / t µ g ρ ρ ho ho loge h h t Σηµείωση: ρ g πρέπει να είναι σε τέτοιες µονάδες ώστε ρ g h atm Ως εκ τούτου 6 0 log e 84 log e5, 5 08, D 0, 98 4500 Σηµείωση: Ένα διάγραµµα του log e h σε σχέση µε το t θα ήταν καλύτερο 5
Εφαρµογή 3.3 Τα παρακάτω αποτελέσµατα προέκυψαν από δοκιµές ρέοντος ξηρού αερίου µέσο ενός καθαρού και ξηρού δείγµατος πυρήνα: ιάµετρος δείγµατος : 3,8 cm Μήκος δείγµατος : 6,0 cm Ιξώδες αερίου: 0,08 cp Ατµοσφαιρική πίεση : 760 mmhg Πίεση εισόδου (mm Hg) Πίεση εξόδου (mm Hg) Παροχή (cm 3 /min) 0 Ατµοσφαιρική 6,4 507 Ατµοσφαιρική 35,6 50 Ατµοσφαιρική 3,8 Ποια είναι η διαπερατότητα του δείγµατος µετά από τη διόρθωση Klinenberg? Επίλυση Σύµφωνα µε το νόµο του Darcy: Q A dp µ dx Για ένα ιδανικό αέριο σε ισοθερµικές συνθήκες ισχύει: PQ P Q PQ P atm Q QSC PQ Q P Q Q sc A dp Q µ dx Q sc Q Q SC sc A dp P µ dx A µ Q A P P ( P P ) sc ( P P ) P A µ L µ L dp dx SC, A πr () Q P SC 6
P (atm) P (atm) P Q (cm 3 /s) 0+ 760 0,3 0,07,3 760 507 + 760 0,667 0,593,667 760 50 + 760,000,3 3,0 760 Από () 0,07 0,08 6 7,4 md π (,9 ) (,3 ) 0,593 0,08 6 6,349 md π (,9 ) (,667 ),3 0,08 6 3 5,69 md π (,9 ) ( 3 ) P m P + P,066,333,000 P m 0,938 0,750 0,500 Ακολουθεί το διάγραµµα της διαπερατότητας του πορώδες µέσου () συναρτήσει της αντίστροφου της µέσης πίεσης ( ). P m 8 6 3 4 Kg 3 0 0 0,5 0,75 0,938 /Pm 7
Εφαρµογή 3.4 Μία γεώτρηση πετρελαίου παράγει 500 stb/d για 60 ηµέρες Αρχική πίεση ταµιευτήρα 5050 psi Πίεση ροής πριν το σφράγισµα 478 psi Στοιχεία πίεσης ανάπτυξης: Χρόνος σφραγίσµατος (h) 0,5 0,50,0,5,0 3,0 6,0 9,0 8,0 36,0 48 Πίεση (psi) 4967 4974 498 4984 4987 499 4998 500 5008 504 507 Ιξώδες πετρελαίου 0,7 cp Συντελεστής όγκου πετρελαίου στο σχηµατισµό,54 Εκτιµώµενο πάχος παραγωγικού σχηµατισµού 0 ft Μέσο πορώδες 0,35 Ενεργή συµπιεστότητα ρευστού 7x0-6 (psi) - Ενεργή ακτίνα γεώτρησης 6 in Να υπολογίσετε : h,, συντελεστή sin, συντελεστή τελειώµατος και πτώση πίεσης κατά µήκος της περιοχής sin. Επίλυση Υπολογίζονται οι τιµές log t + t για κάθε χρονικό βήµα σφραγίσµατος της γεώτρησης t (βλέπε Πίνακα) Αποτυπώνονται σε διάγραµµα οι τιµές P σε συνάρτηση µε τις τιµές log t + t (Πίνακας) t και προσδιορίζεται η κλίση της ευθείας, η οποία είναι,7 psi/cycle (m). (Να γίνει το διάγραµµα) Για έναν ρυθµό παραγωγής q 500 x,454 77 rb/ηµέρα, προκύπτει : 6, 6 q µ h 3800 md ft m Για h 0 ft και o 3 md Η τιµή της P h, που ανταποκρίνεται στη συνάρτηση του χρόνου κατά Horner ίση µε 3,6, είναι 498 psi. 498 478 S 05 log 7, P s 0,87 m S 3 psi 3 0 6 035, 0, 7 7 0 0, 5 + 33, + 7 8
498 478 3 Απόδοση 05, (περίπου) 498 478 Τα σηµεία για το διάγραµµα Horner σε ηµιλογαριθµικό διάγραµµα, Ρ σε συνάρτηση µε το t + t ή για το διάγραµµα Ρ σε συνάρτηση µε log t + t t t σε γραµµική κλίµακα έχουν ως εξής: t 60 x 4 440 hours ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόνος (h) t + t t log 0 {(t+ t)/ t} P (psi) 0,5 576 3,76 4967 0,5 88 3,46 4974,0 44 3,6 498,5 96,98 4984,0 7,88 4987 3,0 48,68 499 6,0 4,38 4998 9,0 6, 500 8,0 8,9 5008 36,0 4,6 504 48,0 3,49 507 9