Μαθηματι ά ατεύθυνσης

Β Λυκείου Μαθηματι ά ατεύθυνσης Ο Κύκλος Θεωία Μεθοδολογία -Ασκήσεις

Σ υ ν ο π τ ι κ ή Θ ε ω ί α Ονομασία Διατύπωση Σχόλια Σχήμα Α. Κύκλος Οισμός: Ονομάζεται κύκλος με κέντο Ο και ακτίνα το σύνολο των σημείων του επιπέδου που απέχουν από το κέντο Ο απόσταση ίση με την ακτίνα. Ένας κύκλος λέγεται μοναδιαίος όταν έχει κέντο το σημείο Ο (0,0) και ακτίνα =1-1 C 1 (0,0) -1 1 Εξίσωση Κύκλου (I) Ο κύκλος με κέντο την αχή Ο των αξόνων και ακτίνα έχει εξίσωση: + = Απόδειξη: Έστω ο κύκλος C. Έχουμε M(, ) C (OM) C Ο Μ(,) Πααμετικές Εξισώσεις Κύκλου Όταν οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ(,) της γαμμής C δίνονται ως συνατήσεις μιας μεταβλητής t ( η οποία καλείται παάμετος), τότε λέμε ότι έχουμε τις πααμετικές εξισώσεις της γαμμής C Οι πααμετικές εξισώσεις έχουν μοφή: =(t), =(t), όπου η μεταβλητή t ανήκει σε ένα σύνολο Α C Μ(,) φ Ο Εφαπτομένη Κύκλου Ο κύκλος με κέντο την αχή Ο των αξόνων και ακτίνα έχει πααμετικές εξισώσεις: =συνφ και =ημφ, όπου φ[0,π) Η εφαπτομένη του κύκλου + = στο σημείο του Α( 1, 1 ) έχει εξίσωση: 1 + 1 = - 1 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Εφαπτομένη Κύκλου Απόδειξη: Επειδή Α( 1, 1 ) C είναι: 1 1 (1) Είναι: OA (1, 1), AM ( 1, 1) Μ(,) OA AM 0 ( 1, 1) ( 1, 1) =0 ( ) ( ) 0 1 1 1 1 (1) 1 1 1 1 1 1, Άα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 1 1 Κωνικές Τομές: Κύκλος Μ(,) A( 1, 1) ε Ο C Εξίσωση Κύκλου (II) Παατήηση: Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι: 1 λ ε =, 1 0 1 Ο κύκλος με κέντο το σημείο Κ( 0, 0 ) και ακτίνα έχει εξίσωση: (- 0 ) +(- 0 ) = Απόδειξη: Έστω ο κύκλος C με κέντο Κ( 0, 0 ) και ακτίνα. Έχουμε: M(, ) C ( M) Ο Μ(,) C (, ) 0 0 ( ( 0 ) 0 ) ( ( 0 ) 0 ) Γενική Μοφή Εξίσωσης Κύκλου Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μοφής + +Α+B+Γ=0, με Α +Β -4Γ>0 (I) H εξίσωση + +Α+B+Γ=0, με Α +Β -4Γ>0 παιστάνει κύκλο με κέντο Κ(-, ) και ακτίνα 4 = Απόδειξη: Θα αποδείξουμε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μοφής (I). C: ( ) ( 0 0) ( 0 ) ( 0 ) 0 0 0 - -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Γενική Μοφή Εξίσωσης Κύκλου. A B 0 όπου A 0, B 0 και 0 0. Αντίστοφο: Θα αποδείξουμε ότι κάθε εξίσωση της μοφής (I) παιστάνει κύκλο. Έχουμε: + +Α+B+Γ=0 A 4 A A 4 B 4 A B B B 4 A B A B 4. (1) 4 Επομένως: Αν A B 4 0, η εξίσωση (1) A B παιστάνει κύκλο με κέντο, και ακτίνα A B 4. Αν A B 4 0, η εξίσωση (1) A B παιστάνει ένα μόνο σημείο, το,. Αν A B 4 0, η εξίσωση (1) είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάχουν σημεία M (, ) των οποίων οι συντεταγμένες να την επαληθεύουν. Κωνικές Τομές: Κύκλος - 3 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τομές: Κύκλος Ονομασία Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α - Κ ύ κ λ ο ς Διατύπωση Σχόλια Σχήμα Σχετικές θέσεις κύκλου C: (, ) και σημείου Μ Χήσιμες ποτάσεις για την επίλυση ασκήσεων στον κύκλο Το σημείο Μ ανήκει στον κύκλο (ΚΜ)= Το σημείο Μ είναι εξωτεικό σημείο του κύκλου: (ΚΜ)> M Μ Το σημείο Μ είναι εσωτεικό σημείο του κύκλου : (ΚΜ)< Κ Μ Σχετικές θέσεις κύκλου C: (, ) και ευθείας ε Η ευθεία εφάπτεται του κύκλου d(,ε)= Κ ε Η ευθεία τέμνει τον κύκλο d(,ε)< Κ ε Η ευθεία δεν έχει κοινό σημείο με τον κύκλο d(,ε)> Κ ε Για να βούμε τα κοινά σημεία μιας ευθείας και ενός κύκλου, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους Αν το σύστημα έχει δυο λύσεις (Δ>0) διαφοετικές η ευθεία τέμνει τον κύκλο Αν το σύστημα έχει μια διπλή ίζα (Δ=0) η ευθεία εφάπτεται του κύκλου. Αν το σύστημα δεν έχει λύση (Δ<0) η ευθεία δεν τέμνει τον κύκλο. Το απόστημα είναι μεσοκάθετος της χοδής στην οποία αντιστοιχεί - 4 -

Ο κύκλος εφάπτεται στους άξονες Ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα = 0 : 0 Κ( 0, 0 ) Ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα = 0 : O 0 0 ( 0, 0 ) Σχετικές θέσεις κύκλων C 1 : ( 1, 1 ) και C : (, ) Ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα και στον : = 0 = 0 Οι κύκλοι C 1, C εφάπτονται εξωτεικά (Κ 1 Κ )= 1 + (Τα κέντα τους και το σημείο επαφής τους είναι συνευθειακά σημεία) Ο κύκλος C εφάπτεται εσωτεικά του C 1 : (Κ 1 Κ )= 1 -, 1 > 0 0 Κ( 0, 0 ) 1 C C 1 Κ 1 Κ C 1 0 Κ 1 C Κ Οι κύκλοι C 1, C τέμνονται 1 - < (Κ 1 Κ )< 1 + (Η διάκεντος είναι μεσοκάθετος της κοινής χοδής τους) C 1 1 1 C Ο κύκλος C εκτός του C 1 (Κ 1 Κ )> 1 + Ο κύκλος C εντός του C 1 (Κ 1 Κ )< 1 -, 1 > Σχόλιο: Για να βούμε τα κοινά σημεία δυο κύκλων λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους Αν το σύστημα έχει δυο λύσεις (Δ>0) διαφοετικές οι κύκλοι τέμνονται Αν το σύστημα έχει μια διπλή ίζα (Δ=0) οι κύκλοι εφάπτονται. Αν το σύστημα δεν έχει λύση (Δ<0) οι κύκλοι δεν έχουν κοινό σημείο. C 1 1 1 C 1 C 1 C Για να βούμε την κοινή χοδή δυο κύκλων αφαιούμε κατά μέλη τις δυο εξισώσεις

Εφαπτόμενες κύκλου Τα εφαπτόμενα τμήματα από ένα σημείο Ρ πος τον κύκλο, είναι ίσα και η διακεντική ευθεία διχοτομεί τη γωνία τους Οι κοινές εφαπτόμενες δυο κύκλων τέμνονται πάνω στην ευθεία της διακέντου τους. R φ θ Ρ Λ Ρ Όταν ένα κύκλος εφάπτεται σε δυο παάλληλες ευθείες, τότε το κέντο του βίσκεται στη μεσοπαάλληλο των δυο ευθειών R Ρ Εξίσωση Κύκλου Για να βούμε την εξίσωση ενός κύκλου,ακεί να βούμε τις συντεταγμένες του κέντου και την ακτίνα α. Αν το σημείο Μ(,) ανήκει στον κύκλο C τότε (ΚΜ)= C Μ β. Αν Α και Β δύο σημεία του κύκλου τότε το κέντο βίσκεται στη μεσοκάθετο του ΑΒ είναι d(κ,α)=d(,b) (Αν τα σημεία Α και Β είναι αντιδιαμετικά το κέντο του κύκλου είναι το μέσο του ΑΒ ) A B C γ. Αν γνωίζουμε τία σημεία Α,Β,Γ του κύκλου 1 ος τόπος Το κέντο του είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων, των ΑΒ, ΒΓ. ος τόπος Υποθέτουμε ότι η εξίσωση είναι + +A+B+Γ=0. Επειδή επαληθεύεται από τις συντεταγμένες των σημείων αντικαθιστούμε και ποκύπτει σύστημα ως πος Α,Β,Γ. A Γ B C

δ. Αν ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία ε τότε το κέντο του κύκλου ανήκει στην κάθετη στη ε στο σημείο επαφής A. Είναι =(ΚΑ) ε. Αν ένας κύκλος εφάπτεται γνωστής ευθείας ε σε γνωστό σημείο Α και διέχεται από γνωστό σημείο Β τότε το κέντο του είναι η τομή των ε 1 και ε ε Α Α ε 1 ε Β ε στ. Αν ένας κύκλος εφάπτεται δυο γνωστών ευθειών τότε d(κ,ε 1 )=d(κ,ε ) ε Β ζ. Αν ένας κύκλος έχει το κέντο του σε γνωστή ευθεία ε και διέχεται από δυο γνωστά σημεία Α και Β, τότε d(κ,α)=d(κ,β). Το Κ είναι το σημείο τομής της ε και της μεσοκάθετης ε 1 του ΑΒ. Α ε 1 Β Α ε ε 1 Μ θ. Αν Μ, Α, Β σημεία του κύκλου και ΑΒ διάμετος τότε MA MB Α Β ι. Αν ένας κύκλος εφάπτεται τιών γνωστών ευθειών τότε d(κ,ε 1 )=d(κ,ε )= d(κ,ε 3 ) ε 3 Γ ε Β Α ε 1 Μνημονικός κανόνας για την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου Αν θέλουμε να βούμε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου c : + = στο σημείο του Α( 1, 1 ) εγαζόμαστε ως εξής: α. Γάφουμε την εξίσωση του κύκλου : + = (1) β. Επειδή και η (1) γάφεται γ. Στο δεύτεο και θέτουμε 1 και 1 αντίστοιχα οπότε παίνουμε 1 1 που είναι η ζητούμενη εξίσωση Για να βούμε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου που διέχεται από ένα σημείο,εξετάζουμε πώτα αν το σημείο ανήκει στον κύκλο

Εφαπτομένη από σημείο Μ( 0, 0 ) εκτός κύκλου Για να βούμε την εφαπτομένη του κύκλου από σημείο εκτός αυτού, ονομάζουμε Α( 1, 1 ) το σημείο επαφής, τότε: 1 ος τόπος Η εφαπτομένη στο Α έχει εξίσωση: 1 1 και επειδή πενά από το σημείο M( 0, 0 ), θα επαληθεύεται δηλαδή 0 1 0 1 (1) Το σημείο Α( 1, 1 ) επαληθεύει τον κύκλο, οπότε: 1 1 () Λύνουμε το σύστημα των (1) και () και βίσκουμε τα 1, 1 και στη συνέχεια την εφαπτομένη. ος τόπος Κάθε ευθεία που πενά από το Μ έχει εξίσωση - 0 =λ(- 0 ) ή = 0 και επειδή εφάπτεται του κύκλου πέπει d(ο,ε)= απ όπου βίσκουμε το λ Ο M( 0, 0 ) Α( 1, 1 ) Εφαπτομένη κύκλου που έχει γνωστή διεύθυνση (γνωστό λ) 1 ος τόπος Υποθέτουμε ότι η εφαπτομένη έχει εξίσωση =λ+κ (λ γνωστό) και απαιτούμε το σύστημα + = =λ+κ να έχει διπλή παγματική λύση (Δ=0) απ όπου βίσκουμε το κ ος τόπος Υποθέτουμε ότι η εφαπτομένη έχει εξίσωση =λ+κ (λ γνωστό) και χησιμοποιούμε τη σχέση d(ο,ε)= 3 ος τόπος Υποθέτουμε ότι Α( 1, 1 ) είναι το σημείο επαφής, τότε 1 1, οπότε 1. Όμως 1 1 και 1 βίσκουμε τα 1, 1. Μια ευθεία έχει γνωστή διεύθυνση όταν: Δίνεται το λ Είναι παάλληλη σε γνωστή ευθεία (λ 1 =λ ) Είναι κάθετη σε γνωστή ευθεία (λ 1 λ =-1) Σχηματίζει γνωστή γωνία με τον άξονα των ( λ= εφω) Σχηματίζει γνωστή γωνία με γνωστή ευθεία

Εφαπτομένη κύκλου όταν το κέντο του είναι Κ( 0, 0 ) O(0,0) σε γνωστό του σημείο Βασικό Θέμα Πολική του σημείου Ρ Κοινές εφαπτόμενες δυο κύκλων 1 ος τόπος Θεωούμε τυχαίο σημείο Μ (,) της εφαπτομένης. Επειδή ( 1 0, 1 0) ( 1, 1) έχουμε: 0 ( 1)(1 0) ( 1)(1 0) που είναι η ζητούμενη εξίσωση εφαπτομένης ος τόπος Επειδή γνωίζουμε τα σημεία Α( 1, 1 ) και Κ( 0, 0 ), γνωίζουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της ΑΚ άα και της εφαπτομένης (γιατί είναι κάθετη στην ΑΚ ) Έτσι η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: - 1 =λ ΑΜ (- 1 ). Αν δεν οίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΚ η εφαπτομένη έχει εξίσωση : = 1 Δίνεται ο κύκλος + = και το σημείο Ρ( 0, 0 ) εκτός αυτού. Αν ΡΑ,ΡΒ οι εφαπτόμενες από το Ρ, τότε η ΑΒ έχει εξίσωση 0 + 0 = Απόδειξη: Η εφαπτομένη ΡΑ έχει εξίσωση 1 + 1 = και επειδή πενά από το Ρ θα είναι 01 01 (1) Όμοια η εξίσωση της ΡΒ είναι 0 0 () Η 0 + 0 = παιστάνει ευθεία και λόγω των (1) και () πενά από τα Α και Β άα είναι η εξίσωση της ΑΒ Υποθέτουμε ότι οι κοινές εφαπτόμενες έχουν τη μοφή =λ+β. Αν d η απόσταση του κέντου από την ευθεία γάφουμε d=r για κάθε κύκλο. Ποκύπτουν δυο εξισώσεις με δυο αγνώστους, τους λ και β Κ( 0, 0 ) M(,) Α( 1, 1 ) Αν ο κύκλος έχει εξίσωση (- 0 ) +(- 0 ) = τότε η πολική του Ρ( 1, 1 ) είναι: (- 0 )( 1-0 )+(- 0 )( 1-0 )= (ίδια με την εφαπτομένη) Λ Ρ

Πααμετική Εξίσωση Κύκλου Εύεση Γεωμετικού Τόπου Γωνία τομής κύκλων 1 ος τόπος Για να δείξουμε ότι μια οικογένεια κύκλων διέχεται από το ίδιο σημείο μετατέπουμε την εξίσωση σε πολυώνυμο ως πος την παάμετο και εξισώνουμε τους συντελεστές με μηδέν ος τόπος Δίνουμε δυο τιμές στην παάμετο, βίσκουμε δυο κύκλους από τους C κ Στη συνέχεια βίσκουμε την τομή τους και αποδεικνύουμε ότι όλοι οι κύκλοι από το σημείο τομής τους Όταν ζητείται ο Γεωμετικός Τόπος σημείου Μ(,) του οποίου οι συντεταγμένες είναι εκφασμένες συνατήσει μιας πααμέτου κάνουμε απαλοιφή της πααμέτου και βίσκουμε τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων και του σημείου Μ Όταν μας ζητούν ή ποκύπτει από την άσκηση, γεωμετικός τόπος σημείου με δυο πααμέτους, απαλείφουμε διαδοχικά τις δυο πααμέτους. Όταν ζητείται να βεθεί το σύνολο των σημείων Μ που ικανοποιούν κάποια ιδιότητα ή να βεθεί ο γεωμετικός τόπος των σημείων Μ, τότε: Θεωούμε Μ(,) το τυχαίο σημείο του τόπου και από τα δεδομένα της άσκησης ποσπαθούμε να βούμε μια εξίσωση μεταξύ των συντεταγμένων και. Γωνία τομής δυο κύκλων είναι η κυτή γωνία των εφαπτομένων των κύκλων στο σημείο τομής αυτών Αν (Κ,R 1 ) και (Λ,R ) είναι δυο κύκλοι και Α το σημείο τομής τους τότε οι κύκλοι τέμνονται οθογώνια αν και μόνο αν ΚΛ = R 1 R Για να δείξουμε ότι μια εξίσωση παιστάνει κύκλο Την φένουμε στη μοφή + +Α+Β+Γ=0 Αποδεικνύουμε ότι Α +Β -4Γ>0 Όταν οι κύκλοι τέμνονται οθογώνια οι ακτίνες στο σημείο τομής είναι κάθετες

Π ο τ ε ι ν ό μ ε ν ε ς Α σ κ ή σ ε ι ς Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Διδακτική Ενότητα: Εξίσωση Κύκλου 1 1.1. Να βεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παακάτω πειπτώσεις: α. έχει κέντο την αχή των αξόνων και ακτίνα β. έχει κέντο το σημείο (3, - 1) και ακτίνα 5 γ. έχει κέντο το σημείο (-, 1) και διέχεται από το σημείο (-, 3) δ. έχει διάμετο το ευθύγαμμο τμήμα ΑΒ με Α (1, 3) και Β (- 3, 5) ε. διέχεται από τα σημεία Α(1,-1), Β(3,1) και Γ(-1,3) στ. διέχεται από τα σημεία (3, 1), (- 1, 3) και έχει κέντο πάνω στην ευθεία = 3 - ζ. έχει κέντο το σημείο (8, - 6) και διέχεται από την αχή των αξόνων η. έχει κέντο την αχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας 3 + = 10 θ. έχει ακτίνα 4, εφάπτεται στον άξονα και διέχεται από το σημείο (5, 4) ι. έχει κέντο το σημείο (- 3, ), εφάπτεται στον άξονα και διέχεται από το σημείο (- 6, ) ια. έχει κέντο το σημείο (3, 3) και εφάπτεται των αξόνων και ιβ. έχει κέντο το σημείο (- 3, 1) και εφάπτεται στην ευθεία 4-3 + 5 = 0 ιγ. εφάπτεται στην ευθεία +-5=0 στο σημείο της Α(6,-1) και διέχεται από το σημείο Β(6,1) 1.. Να βείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος εφάπτεται της = στο σημείο Α(3,3) και έχει το κέντο του στην ευθεία =. 1.3. Να βείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στον άξονα στο Α(0,-) και οίζει στον χοδή μήκους 3 1.4. Δίνεται η ευθεία = λ και ο κύκλος + - 4 + 1 = 0. Να βεθεί η τιμή του λ ώστε η ευθεία: α. να τέμνει τον κύκλο β. να εφάπτεται του κύκλου γ. να μην έχει κοινά σημεία με τον κύκλο.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Διδακτική Ενότητα: Εξίσωση Κύκλου-Εφαπτομένη Κύκλου.1. Να βείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος εφάπτεται των ευθειών ε 1 : 3+-1=0 ε : -3+5=0 ε 3 : +3+1=0.. Να βείτε τη σχετική θέση του κύκλου (+1) + =9 και της ευθείας ε: --3=0.3. Να βείτε τη σχετική θέση των κύκλων C 1 : + =9 και C : (+) +(-1) =4.4. Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι C 1 : ( - ) + = 4 και C : - + = 0 εφάπτονται εσωτεικά..5 Να βεθεί η εξίσωση της κοινής χοδής των κύκλων : C 1 : (-1) +(-3) = 4 και C : (-) +(-1) =..6. Να βείτε την εξίσωση της χοδής του κύκλου (-3) +(-) =9 που έχει μέσο το σημείο Μ(1,3)..7. Οι διαγώνιες τεταγώνου έχουν εξισώσεις +-1=0 και -+3=0. Αν η πλευά του τεταγώνου έχει μήκος μονάδες, να βείτε τις κουφές του τεταγώνου..8. Να βείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου + =4 αν α. Το σημείο επαφής είναι το Α(1, 3 0 β. Είναι παάλληλη στην ευθεία ε: =-+ 1 γ. Είναι κάθετη στην ευθεία ζ: = 1 δ. Διέχεται από το σημείο Β(0,4).9. Να βείτε την εξίσωση της εφαπτομένης α. του κύκλου (-1) +(+) =5 στο σημείο του Α(4,) β. του κύκλου + +4-6+1=0 στο σημείο του Α(1, 3 3 ).10. Ένας κύκλος C έχει κέντο την αχή των αξόνων και εφάπτεται στην ευθεία ε: +-4=0. Να βείτε ; α. Την εξίσωση του κύκλου και το σημείο επαφής β. Την άλλη εφαπτομένη ζ του κύκλου που είναι παάλληλη στην ε.11. Να βείτε την εφαπτομένη του κύκλου + -+=0 που οίζει με τους θετικούς ημιάξονες ισοσκελές τίγωνο.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Διδακτική Ενότητα: Γενική Μοφή Εξίσωσης Κύκλου 3 3.1. Θεωούμε την εξίσωση + ++1+λ(--1)=0 με λ 0. Να αποδείξετε ότι: α. Η εξίσωση αυτή παιστάνει κύκλο C για κάθε λ 0, του οποίου να βείτε το κέντο και την ακτίνα. β. Ο κύκλος C διέχεται από σταθεό σημείο Σ, καθώς το λ μεταβάλλεται στο R* γ. Το κέντο του κύκλου C κινείται σε μια ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο R* δ. Ο κύκλος C εφάπτεται στην ευθεία ε: --1=0 στο σημείο Σ για κάθε λ 0. 3.. Δίνεται η εξίσωση C: + =(ημθ)+(συνθ), θ IR α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση C παιστάνει κύκλο. β. Να βείτε το κέντο Κ και την ακτίνα R του κύκλου C γ. Να αποδείξετε ότι καθώς το θ μεταβάλλεται στο R το κέντο Κ του κύκλου C κινείται επίσης σε ένα κύκλο C 1 δ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε: (ημθ)+(συνθ) = εφάπτεται στον κύκλο C για κάθε θ IR ε. Αφού διαπιστώσετε ότι οι κύκλοι C και C 1 τέμνονται για κάθε θ IR να βείτε την εξίσωση της κοινής χοδής των δυο κύκλων. 3.3. Δίνεται η εξίσωση C : + +--3+κ(+-)=0, κ IR α. Να αποδείξετε ότι παιστάνει κύκλο για κάθε κ IR β. Δείξτε ότι για κάθε κ IR ο πααπάνω κύκλος διέχεται από δυο σταθεά σημεία. 3.4. Δίνεται ο κύκλος + +A+B+Γ=0. Αν Α+Β+Γ=- να αποδείξετε ότι διέχεται από σταθεό σημείο. 3.5. Δίνεται η εξίσωση C : + -4λ-+4λ=0, λ IR (1) α. Να βείτε τις τιμές του λ ώστε η (1) να παιστάνει κύκλο. β. Να βείτε το γεωμετικό τόπο των κέντων των κύκλων γ. Δείξτε ότι όλοι οι κύκλοι που παιστάνει η (1) εφάπτονται μεταξύ τους σε σταθεό σημείο. 3.6. Να βείτε το γεωμετικό τόπο των σημείων Μ(,) για τα οποία ισχύει: =3+συνα, =--ημα, α IR 3.7.Δίνονται τα σταθεά σημεία Α και Β με 8. Να βείτε το γεωμετικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: α. 0 β. 9

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Διδακτική Ενότητα: Γενική Μοφή Εξίσωσης Κύκλου 4 4.1. Δίνονται οι εξισώσεις C 1 : + -+4-11=0 και ε: -+1=0. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση C 1 παιστάνει κύκλο, του οποίου να βεθεί το κέντο και η ακτίνα. β. Να βεθούν τα κοινά σημεία του κύκλου C 1 και της ευθείας ε. γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : + -+4-11+λ(-+1)=0 παιστάνει κύκλο C λ για κάθε λ IR. δ. Να βεθεί το κέντο Κ λ του κύκλου C λ. ε. Να αποδειχθεί ότι καθώς το λ μεταβάλλεται στο IR, τα κέντα Κ λ του κύκλου C λ κινούνται σε μια ευθεία μ. στ. Να αποδειχθεί ότι ζ. Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος C λ διέχεται από δυο σταθεά σημεία, για κάθε λ IR. η. Έστω ΣΔ και ΣΕ τα εφαπτόμενα τμήματα από το σημείο Σ(004,005) πος τους κύκλους C 181 και C 1940 αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: ΣΔ=ΣΕ. θ. Να βεθούν οι τιμές του λ, ώστε ο κύκλος C λ να εφάπτεται στην ευθεία ζ: +3-7=0 4.. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C 1 : + -α-β-α +β =0 και C : + -β+α+α -β =0 τέμνονται κατά οθή γωνία. 4.3. Δίνονται οι κύκλοι C 1 : + =5 και C : 5 +5-100-61=0 α. Να βείτε την εφαπτομένη ε του κύκλου C 1 στο σημείο του Α(3,μ), μ>0 β. Να βείτε το κέντο και την ακτίνα του κύκλου C γ. Να αποδείξετε ότι η ε εφάπτεται στον κύκλο C δ. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι τέμνονται. ε. Να βείτε την άλλη κοινή εφαπτομένη των κύκλων C 1 και C. 4.4. Δίνεται ο κύκλος C: + -4=0 και το σημείο Α(3,1). α. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α είναι εσωτεικό σημείο του κύκλου β. Να βείτε το γεωμετικό τόπο των μέσων των χοδών του κύκλου C που διέχονται από το σημείο Α. 4.5. Δίνονται οι τεμνόμενοι κύκλοι + +A+B+Γ=0 και + +B+A+Γ=0. Να αποδείξετε ότι το μήκος της κοινής χοδής τους είναι: 1 d 4

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Διδακτική Ενότητα: Θέματα Εξετάσεων Ποηγουμένων Ετών 5 5.1 α. Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση C: + -συνθ-ημθ-1=0, 0 θ<π. παιστάνει κύκλο, του οποίου να ποσδιοίσετε το κέντο και την ακτίνα β. Αν θ =, να βείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C στο σημείο Α(1,). γ. Να αποδείξετε ότι για τις διάφοες τιμές του θ τα κέντα των πααπάνω κύκλων βίσκονται σε κύκλο με κέντο Ο(0,0) και ακτίνα = 1. Ιούνιος 00 5.. Α. Δίνεται η εξίσωση + + 6μ + 8λ = 0, όπου μ, λ παγματικοί αιθμοί διάφοοι του μηδενός. Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή των μ, λ, η πααπάνω εξίσωση παιστάνει κύκλο που διέχεται από την αχή των αξόνων Ο. Β. Έστω ότι για τους παγματικούς αιθμούς μ, λ ισχύει η σχέση 3μ + λ = 0. α. Να δείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι που οίζονται από την εξίσωση + + 6μ + 8λ = 0 για τις διάφοες τιμές των μ και λ, έχουν τα κέντα τους σε ευθεία που διέχεται από την αχή των αξόνων. β. Να βείτε τα μ, λ έτσι, ώστε, αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του αντίστοιχου κύκλου με την ευθεία + + = 0, να ισχύει OA OB 0. γ. Για τις τιμές των μ, λ που βήκατε στο εώτημα β να υπολογίσετε το εμβαδόν του τιγώνου ΑΟΒ. Ιούνιος 001 5.3 Θεωούμε έναν πληθυσμό από 1999 μυμήγκια. Κάθε μυμήγκι χαακτηίζεται από έναν αιθμό n=1,,3,...,1999 και κινείται επάνω στο κατεσιανό επίπεδο Ο διαγάφοντας μια τοχιά με εξίσωση: ( 1) n( 1). Να δείξετε ότι: α. η τοχιά κάθε μυμηγκιού είναι κύκλος και να βεθούν οι συντεταγμένες του κέντου του β. κατά την κίνησή τους όλα τα μυμήγκια διέχονται από ένα σταθεό σημείο Α (που είναι η φωλιά τους). Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; γ. οι τοχιές όλων των μυμηγκιών εφάπτονται της ευθείας 1 0 στο σημείο Α.