ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ KΥKΛΩMATA.. HΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΣ Μεταλλικί αγωγί: τα ελεύθερα φρτία είναι τα ηλεκτρόνια σθένυς τυ µετάλλυ. Πυκνότης ρεύµατς (τ ρεύµα πυ διαπερνά µια κάθετη διατµή τυ αγωγύ ανά µνάδα επιφανείας τυ J=I/A όπυ Α τ εµβαδόν της κάθετης διατµής. Στη περίπτωση ενός µόν είδυς ελευθέρων φρτίων, J=qnυ όπυ υ είναι η ταχύτης µετατόπισης και n η συγκέντρωση των φρτίων. Aν υπθέσµε ότι η µέση δύναµη f πυ ασκείται πάνω σ ένα ελεύθερ φρτί από τ εξωτερικό πεδί E είναι
f=qe τότε η µέση ταχύτης µετατόπισης θα είναι ανάλγη της f (γιατί;, δηλ. υ=µf=µqe H σταθερά αναλγίας µ καλείται συντελεστής ευκινησίας, oπότε η πυκνότης ρεύµατς γράφεται J=q nµe=σε ( Η σχέση ( καλείται νόµς τυ Ohm. Η σταθερά σ=µnq καλείται ηλεκτρική αγωγιµότης και η πσότης ρ=/σ ειδική αντίσταση Αν V είναι η εφαρµζόµενη τάση στα άκρα τυ αγωγύ, τότε η ένταση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ είναι Ε=V/l, πότε η ( γράφεται J= σε=σv/l
Αν Ι είναι η ένταση τυ ρεύµατς πυ διαπερνά κάθετα την διατµής τυ αγωγύ εµβαδύ Α, τότε Ι=JA, άρα σα V Ι = V = l Η σχέση αυτή είναι γνωστή σαν νόµς τυ Ohm. Η σταθερά καλείται αντίσταση τυ αγωγύ (µνάδες Οhm. Οι αγωγί πυ υπακύυν στν νόµ τυ Ohm καλύνται ωµικί αγωγί ή αντιστάσεις. Συµβλική παράσταση αντίστασης: Για ραβδόµρφ αγωγό ισχύει l = = σα ρ l Α Hλεκτρεγερτική δύναµη: = v E dl r ισύται µε τ έργ πυ καταναλίσκεται κατά την µετακίνηση τυ φρτίυ q= κατά µήκς ενός κλειστύ δρόµυ C µέσα στ πεδί. ε C 3
Τάση (ή διαφρά δυναµικύ µεταξύ των σηµείων Α και Β V B -V A v r - E dl = B A Τ ηλεκτρικό πεδί µέσα στν αγωγό είναι παντύ τ ίδι κατά µέτρν (αν όµως Ι=0 τότε Ε=0! Αν I B I C, τότε θα είχαµε συσσώρευση φρτί στ σηµεί Β ή C, πυ είναι άτπ. Στιχεία κυκλώµατς. Ηλεκτρική πηγή: V B -V A =ε-ir 4
. Ηλεκτρική αντίσταση: V Α -V Β =I 3. Πυκνωτής: V Α -V Β =q/c (φόρτιση 4. Πηνί: V Α -V Β =di/dt (φόρτιση Κανόνες (ή νόµι Kirchhoff ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Θεωρύµε τ ακόλυθ κύκλωµα 5
κύκλωµα AΒCΓEΑ (ς κανόνες Kirchhoff : (V A -V B +(V B -V Γ +(V Γ -V Α =0 q ή I+ ε= 0 ( C όπυ q είναι τ φρτί τυ πυκνωτή. κύκλωµα AΒΓEΑ (ς κανόνες Kirchhoff : (V A -V B +(V B -V Γ +(V Γ -V Α =0 di ή I+ ε= 0 ( dt κύκλωµα ΒΓCB (ς κανόνες Kirchhoff : (V B -V Γ +(V Γ -V Α =0 di q ή = 0 (3 dt C (στη πραγµατικότητα η (3 πρκύπτει αφαιρώντας κατά µέλη τις ( και ( κόµβς Α (ς κανόνες Kirchhoff : Ι=Ι +Ι (4 Θεωρύµε τ σύστηµα των εξ. (-(4. Eπειδή dq Ι =, παραγωγίζντας την (3 ως πρς t dt λαµβάνυµε: 6
'' I = CI (5 όπυ τόνς σηµαίνει παράγωγ ως πρς t. Aντικαθιστώντας τις (4-(5 στη ( παίρνµε CI ε ' + I+ I (6 '' = Eπίλυση της διαφ. εξίσωσης (6: Η γενική λύση της (5 ισύται µε τ άθρισµα των λύσεων της µγενύς διαφρικής εξίσωσης: '' ' CI + I+ I = 0 (7 συν µια µερική λύση της (6, η πία εν πρκειµένω είναι µια σταθερά, δηλ. (E/. Για να λύσυµε την µγενή εξίσωση (7, t δκιµάζυµε λύσεις της µρφής: Ι = Αe λ, όπυ Α και λ σταθερές πυ θα πρσδιριστύν. Αντικαθιστώντας την λύση αυτή στην (7, πρκύπτει τ τριώνυµ, ι ρίζες τυ πίυ είναι Cλ + λ+ = 0 7
λ = ± (. C C C, ιακρίνυµε τρεις περιπτώσεις: (i Αν η διακρίνυσα είναι θετική, τότε η λύση της (7 έχει τη µρφή, λt λt = Αe Βe (8 Ι + η πία για t τείνει στ µηδέν (η απεριδική λύση. (ii Αν η διακρίνυσα είναι αρνητική, ρίζυµε ω = (, πότε ι δύ ρίζες γράφνται: C C λ, = C ± (i είναι η µιγαδική µνάδα. Τότε η λύση της (7 έχει τη µρφή (περιδική λύση, Ι t e C iωt -iωt C ( Αe + Βe = Ι e cos( ωt φ (9 = + 0 (iii Αν η διακρίνυσα ισύται µε µηδέν, δηλ. =4 C, τότε η λύση της (7 έχει τη µρφή iω t Η µετατρπή των εκθετικών όρων σε τριγωνµετρική συνάρτηση είναι απλό εγχείρηµα: Κάνντας χρήση της ταυτότητας Euler, ι εκθετικί όρι γράφνται: i( A B Αe iωt + Βe iωt = A( cos ωt+ i sin ωt + Β( cos ωt i sin ωt = ( A+ B cos ωt+ i( A B sin ωt i( A B = ( A+ B [cos ωt+ sin ωt ] ( A+ B. Ορίζυµε: tan φ= ( A+ B, πότε η πρηγύµενη σχέση ισύται µε: = ( A+ B cos φ [cos φ cos ωt sin φ sin ωt ] = Ι0 cos( ωt+ φ, όπυ Ι 0 =(Α+Β/cosφ, δηλ. πρκύπτει η (9. 8
Ι t/(c t/(c Αe + Β te =. (0 Τελικά η γενική λύση της (6 θα είναι ι λύσεις (8-(0 στις πίες θα πρέπει να πρστεθεί και η µερική λύση της (6, δηλ. ε. Αντίστρφα, αντικαθιστώντας τ Ι στις (5-(4, παίρνυµε τα ρεύµατα Ι και Ι, αντίστιχα, ενώ η (3 δίδει τ q. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: T κύκλωµα Kλείνµε τν διακόπτη S στη χρνική στιγµή t=0. Εφαρµόζντας τν κανόνα Kirchhoff έχµε, ή (V A -V B +(V B -V Γ +(V Γ -V A =0 di Ι+ ε= 0 ( dt 9
Η ( λκληρώνεται εύκλα, µε αρχικές συνθήκες t=0, I=0. Πράγµατι, η ( γράφεται, ή ( ε di dt = di /- Ι ε - Ι = dt, την πία λκληρώνντας παίρνµε, ε ln ( Ι = t+ φ, όπυ φ=σταθερά λκλήρωσης. Εφόσν για t=0, I=0, έπεται φ=ln(e/ ή ln ( ε ε Ι = t+ ln, και αντιστρέφντας τη σχέση, λαµβάνυµε Ι = ε (- e -(/t Παρατηρύµε ότι για t, τ ρεύµα τείνει ασυµπτωτικά πρς τη τιµή (ε/. Η πσότης τ=/ έχει διαστάσεις χρόνυ και καλείται σταθερά χρόνυ (ή σταθερά απκατάστασης τυ κυκλώµατς. Η πσότης 5τ δηλώνει χνδρικά τν χρόν πυ απαιτείται για να απκατασταθεί τ 99.4% της τελικής κατάστασης τυ κυκλώµατς. 0
Παράδειγµα: τ κύκλωµα C Θεωρύµε τα στιχεία,,c συνδεδεµένα σε σειρά µε dc πηγή ΗΕ Є. Eφαρµόζυµε τν κύκλωµα ΑΒΓ ε Α: κανόνα Kirchhoff στ ή (V A -V B +(V B -V Γ +(V Γ -V +(V -V A =0 di q + + Ι ε= 0 ( dt C πότε παραγωγίζντας την ( ως πρς t και λαµβάνντας υπόψιν ότι Ι=dq/dt, παίρνυµε '' ' I + Ι + Ι = 0 ( C όπυ τόνς υπδηλώνει παράγωγ ως πρς t.
Έχυµε επιλύσει την µγενή διαφρική εξίσωση ( και είχαµε βρει διάφρες λύσεις. Για παράδειγµα, στη περίπτωση της περιδικής λύσης είχαµε βρει Ι -(/t = Ι e cos( ωt φ (3 + όπυ (Ι,φ αυθαίρετες σταθερές πρσδιριζόµενες από τις αρχικές συνθήκες, ενώ ω= ( C είναι η συχνότητα ταλάντωσης. Η συχνότητα ω = καλείται ιδισυχνότητα τυ κυκλώµατς C Αν απλώς κάναµε αντικατάσταση τυ Ι=dq/dt στην (, θα είχε πρκύψει η εξίσωση q '' ε ' + q + q= (4 C η πία είναι µη-µγενής (αλλά µε σταθερό µηγραµµικό όρ. Οι λύσεις της (4 είναι τ άθρισµα των λύσεων της µγενύς διαφρικής εξίσωσης [της µρφής (] συν µια µερική λύση της (4 [η πία εν πρκειµένω είναι Є /], πότε (ας πύµε για περιδική λύση θα έχυµε -(/t q = q e sin( ωt+ δ + ε (5 όπυ (q,δαυθαίρετες σταθερές πρσδιριζόµενες
από τις αρχικές συνθήκες και C ω= ( είναι η συχνότητα ταλάντωσης. Αφήνεται σαν άσκηση να επαληθεύσετε ότι η λύση (5 παρέχει τη λύση (3. Παράδειγµα: κύκλωµα C σε ac τάση Θεωρύµε τα στιχεία,,c συνδεδεµένα σε σειρά µε πηγή ac τάσης, ε(t=v sinωt. Εφαρµόζυµε τν κύκλωµα ΑΒΓ ε Α: κανόνα Kirchhoff στ ή (V A -V B +(V B -V Γ +(V Γ -V +(V -V A =0 di q + + Ι V sinωt= 0. (α dt C 3
Για την επίλυση της (α ακλυθύµε την ίδια πρεία µε εκείνη τυ πρηγύµενυ παραδείγµατς, πότε πρκύπτει η εξίσωση, I '' ' + Ι + Ι = ωvcosωt. (α C Όµως τώρα δεν µας ενδιαφέρει και πλύ η λύση της µγενύς εξίσωσης, διότι παράγων C απόσβεσης e t µηδενίζει πλύ γρήγρα τη λύση αυτή. Κυρίως µας ενδιαφέρει η µερική λύση της (α, η πία εν πρκειµένω θα έχει τη µρφή Ι(t=Αsin(ωt-φ { ή Αcos(ωt-φ, ή Αsin(ωt+φ, κλπ}, όπυ (Α,φ είναι σταθερές πυ θα πρέπει να πρσδιριστύν αντικαθιστώντας τη λύση αυτή στην (α. Αφήνεται σαν άσκηση να απδειχθεί ότι υπσηµείωση: (βλέπε Α V =, ( ω - + tanφ = ( ω - Η πσότητα ω C Ζ = ( ω - + καλείται εµπέδηση ή σύνθετη αντίσταση τυ κυκλώµατς, 4
ενώ η πσότης Χ C = ω καλείται χωρητική C αντίσταση και η πσότης Χ = ω επαγωγική αντίσταση. Τα µεγέθη Ζ, Χ C, X µετρώνται σε Ohms. Γενικά, αν η εφαρµζόµενη ac τάση είναι της µρφής ε(t=v sinωt, τότε η εµπέδηση τυ κυκλώµατς Z ρίζεται από τη σχέση: V0 I = sin( ωt+ φ Z. Πράγµατι, αντικαθιστώντας τη λύση Ι(t=Αsin(ωt-φ στην (α παίρνυµε: ω A sin(ωt - φ + ωαcos (ωt - φ C = + A sin( ωt φ ωv cos ωt. Αναπτύσσντας τις τριγωνµετρικές συναρτήσεις παίρνµε: A( -ω (sin ωt cos φ cos ωt sin φ + ωα(cos ωt cos φ+ sin ωt sin φ = ωv C C C = cos ωt. Κάνντας αναγωγή των τριγωνµετρικών όρων, έχµε: A[( -ω cos φ+ ω sin φ] sin ωt + [ ( -ω A sin φ+ ωα cos φ ωv ] cos ωt 0. (3α Όµως ι τριγωνµετρικές συναρτήσεις cosωt και sinωt είναι γραµµικώς ανεξάρτητι, άρα θα πρέπει ι συντελεστές τυς στην ( -ω cos φ+ ω sin φ= 0, (4a C εξίσωση (3α να µηδενίζνται, δηλ. -( -ω A sin φ+ ωα cos φ ωv = 0. (4a C ( ω Η εξίσωση (4α τυ συστήµατς (4α δίδει αµέσως: tan φ=. Χρειαζόµαστε τις συναρτήσεις cosφ και sinφ στην tan φ ( ω (4α. Έτσι υπλγίζυµε: cos φ= = και sin φ= =. + tan φ + ( ω + tan φ + ( ω ( ω Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (4α, παίρνµε: Aω + ωα ωv 0 =, ή + ( ω + ( ω A + ( ω = V, ή / + ( ω A= V QED. 5