Πανεπιστήµιο Κήτης Σχολή Θετικών Επιστηµών Τµήµα Μαθηµατικών Μεταπτυχιακή εγασία Le οµάδες, Le άλγεβες και το Άτοµο του Υδογόνου Νίκος Κωνσταντίνου Ανδιανός Επιβλέπων καθηγητής Μιχάλης Κολουντζάκης Ηάκλειο
Uversty of Crete School of Scece Departmet of Mathematcs Master Thess Le Groups, Le Algebras ad the Hydroge Atom Nkos Kostatou Adraos Thess advsor Mhals Koloutzaks Iraklo 3
Επιτοπή αξιολόγησης Μιχάλης Κολουντζάκης Κωνσταντίνος Αθανασόπουλος Αλεξόπουλος Γεώγιος 4
Πείληψη-Summary Στην εγασία αυτή ασχολούµαστε µε την δάση συµπαγών και συνεκτικών οµάδων Le σε γαµµικούς χώους πεπεασµένης διάστασης Η δάση τους πειγάφεται και καθοίζεται πλήως από την Le άλγεβα τους Έτσι πενάµε στην µελέτη της δάσης των αλγεβών Le σε γαµµικούς χώους πεπεασµένης διάστασης Εφαµόζουµε τα αποτελέσµατα αυτά για την δάση της ειδικής οθογώνιας οµάδας SO(3, R στους ιδιόχωους της Hamltoa του ατόµου του υδογόνου και κάνουµε ποβλέψεις για τις ενεγειακές του καταστάσεις Λέξεις κλειδιά: Οµάδα Le, άλγεβα Le, αναπαάσταση, δάση, αναλλοίωτος υπόχωος, ανάγωγη αναπαάσταση, εδική οθογώνια οµάδα, ειδική µοναδιακή οµάδα, Hamltoa I the preset work we are studyg the acto of compact ad coected Le groups o lear spaces of fte dmeso Ther acto s determed ad ca be descrbed from ther Le algebra Cosequetly t s eough to study the acto of Le algebras o lear spaces of fte dmeso We apply our results to the case of the acto of the specal orthogoal group SO(3, R o the egespaces of the hydroge atom s Hamltoa ad we make predctos about ts eergy levels Key words: Le group, Le algebra, represetato, acto, varat subspace, rreducble represetato, specal orthogoal group, specal utary group, Hamltoa 5
Πειεχόµενα Η συµµετία στην κβαντοµηχανική, οµάδες Le 6 Αχές της κβαντοµηχανικής 6 Οµάδες Le 3 Οµοµοφισµοί οµάδων Le 6 4 Αναπααστάσεις οµάδων και οµάδων Le 9 5 Οµάδα συµµετίας κβαντοµηχανικού συστήµατος 3 Αναπααστάσεις Le αλγεβών και οι ανάγωγες αναπααστάσεις της Le άλγεβας so(4, 36 Γενικά πεί Le αλγεβών36 Η Le άλγεβα µίας Le οµάδας39 3 Οµοµοφισµοί Le αλγεβών5 4 Αναπααστάσεις Le αλγεβών6 5 Οι ανάγωγες αναπααστάσεις της Le άλγεβας su(7 6 Οι ανάγωγες αναπααστάσεις της Le άλγεβας so(4, 8 3 Οι ανάγωγες αναπααστάσεις της Le άλγεβας so(4, και το άτοµο του υδογόνου9 3 Οι ανάγωγες αναπααστάσεις της Le άλγεβας so(3, στο άτοµο του υδογόνου9 3 Οι τελεστές Ruge-Lez 9 33 Η αναπαάστασης της Le άλγεβάς so(4, στους ιδιόχωους της Hamltoa93 34 Τα αποτελέσµατα95 Αναφοές97 6
Κεφάλαιο Η συµµετία στην κβαντοµηχανική, οµάδες Le Αχές της κβαντοµηχανικής Κατάσταση συστήµατος Στην κλασική µηχανική, κατάσταση κίνησης ενός συστήµατος ονοµάζεται κάθε δυνατή κίνηση του συστήµατος η οποία συµφωνεί µε τους νόµους του Νεύτωνα Ας υποθέσουµε ότι το σύστηµα µας αποτελείται από ένα σωµάτιο το οποίο κινείται στον Ευκλείδειο χώο στην γλώσσα των µαθηµατικών η κίνηση πειγάφεται από µία συνάτηση ( F( t r( t, p ( t, 3 R Τότε 3 3 F : R R R µε όπου 3 r, p : R R είναι οι πααµετίσεις της θέσης και της οµής του σωµατίου αντιστοίχως Κατάσταση του συστήµατος την χονική στιγµή t ονοµάζουµε την κατάστασή κίνησης την χονική στιγµή t, ( F( t r( t, p ( t Η κατάσταση του συστήµατος την χονική στιγµή t ( r( t, p( t ( r, p, καθοίζει µονοσήµαντα την κατάσταση κίνησης του Πάγµατι αν 3 3 F : R R είναι η λεία συνάτηση η οποία πειγάφει το πεδίο δυνάµεων, τότε από το θεώηµα Pcard-Ldelof το διανυσµατικό πόβληµα αχικών τιµών r p ( t m r r,, p ( t ( p p F r όπου m είναι η µάζα του σωµατίου, έχει τοπικά µοναδική λύση η οποία σε σχέση µε τις αχικές συνθήκες µποεί να επεκταθεί στο R Στην κβαντοµηχανική η ακιβής γνώση της θέσης και της οµής του σωµατίου, όπως είναι το ηλεκτόνιο στο άτοµο του υδογόνου, είναι αδύνατη Η «εικόνα» της κίνησης είναι διαφοετική από αυτή που είχαµε στην κλασική µηχανική 7
Η κατάσταση του πααπάνω απλού κβαντοµηχανικού συστήµατος, κάποια χονική στιγµή t, µποεί να πειγαφεί από ένα µη µηδενικό διάνυσµα ψ του µιγαδικού γαµµικού χώου Hlbert 3 L R C (, ύο γαµµικώς εξατηµένα διανύσµατα αντιστοιχούν στην ίδια κατάσταση Το διάνυσµα ψ το ονοµάζουµε κυµατοσυνάτηση του σωµατίου Όπως γνωίζουµε κάθε χώος Hlbert έχει µία οθοκανονική βάση Αν λοιπόν θεωήσουµε µία οθοκανονική βάση { } να γαφεί ως ένα άπειο άθοισµα e N του, τότε η κυµατοσυνάτηση ψ e,ψ e ψ µποεί Έτσι η κατάσταση του συστήµατος τώα θα καθοίζεται από µία άπειη ακολουθία µιγαδικών αιθµών (,ψ,,ψ,,,ψ, e e e, σε αντίθεση µε την κλασική µηχανική όπου η ακολουθία αυτή ήταν πεπεασµένη 3 Η φυσική σηµασία της κυµατοσυνάτησης Σύµφωνα µε όσα ποηγήθηκαν η κατάσταση ενός κβαντοµηχανικού συστήµατος κάποια χονική στιγµή t πειγάφεται από ένα µονοδιάστατο υπόχωο του χώου Hlbert και συνεπώς η κυµατοσυνάτηση ψ που την αντιποσωπεύει, µποεί πάντα να επιλέγεται έτσι ώστε ψ ψ 3 R Θεωούµε κάθε πείαµα εντοπισµού του σωµατίου στον χώο Ευκλείδειο χώο 3 R ως ένα πείαµα τύχης Τότε η θέση του σωµατίου r ( t την χονική στιγµή t θα είναι µία τυχαία µεταβλητή Το τετάγωνο της απόλυτης τιµής της κυµατοσυνάτησης ψ : 3 [, + R είναι η συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας της θέσης r ( t Συνεπώς η πιθανότητα σε µία µέτηση να εντοπίσουµε το σωµάτιο σε µία πειοχή 3 S R του χώου θα είναι ( r ( t S ψ S εν µποούµε λοιπόν να γνωίζουµε ακιβώς την θέση του σωµατίου αλλά µόνο την πιθανότητα να βίσκεται σε µία πειοχή του χώου 3 Η ενέγεια του σωµατίου Ένα πείαµα µέτησης της ενέγειας E του σωµατίου θεωείται ως ένα πείαµα τύχης και συνεπώς η ενέγεια είναι και αυτή µία τυχαία µεταβλητή Στο φυσικό µέγεθος ενέγεια E αντιστοιχούµε έναν γαµµικό τελεστή H, ο οποίος δα στον (πυκνό υπόχωο 8
{ f f λεία και όλες οι µεικές παάγωγοι της f κάθε τάξης } του χώου Hlbert Αν H : οίζεται ως V : 3 R R είναι η συνάτηση του δυναµικού, τότε ο τελεστής ħ m H + όπου ħ είναι η σταθεά του Plak Ο τελεστής H αναφέεται ως τελεστής Schrodger ή ακόµα και ως Hamltoa του συστήµατος Οισµός Ένας γαµµικός τελεστής T : πυκνό υπόχωο V,, λέγεται εµιτιανός αν για κάθε f, g ισχύει T( f, g f, T ( g, ο οποίος είναι οισµένος σε κάποιον Πόταση Ο τελεστής Schrodger H είναι ένας εµιτιανός γαµµικός τελεστής Απόδειξη Θα δείξουµε ότι ο γαµµικός διαφοικός τελεστής : είναι εµιτιανός Αχικά θα πειοιστούµε σε συνατήσεις του µε συµπαγή φοέα Έστω λοιπόν f, g συνατήσεις του χώου οι οποίες έχουν συµπαγή φοέα Τότε θα υπάχει ε > τέτοιος ώστε supp( f,supp( g B( ε όπου B( ε B(, ε είναι η ανοιχτή µπάλα µε κέντο το µηδέν και ακτίνα ε Από τους τύπους του Gree έχουµε 3 R ( f, g f g B( ε ( g f ( ( f g+ f g g f ds B( ε B( ε ( s ( + f, g f g d g f ds B( ε B( ε Όµως επειδή για κάθε x B( ε f ( x g( x, έπεται ότι και συνεπώς ( s ( g f d f g ds B( ε B( ε f, g f, g Τώα θα δείξουµε ότι οι συνατήσεις µε συµπαγή φοέα είναι πυκνές στον Για κάθε N υπάχει λεία bump fucto a : 3 R R τέτοια ώστε 9
( x B( a ( x ( supp( a B( + h ah Έστω τώα h Τότε η ακολουθία συνατήσεων { } συνατήσεων του µε φαγµένο φοέα, τέτοιες ώστε Πάγµατι για κάθε N έχουµε h h h h 3 R B( h h h h + h h + h h C B( + \B( B( + + h h + h C B( + \B( B( + είναι µία ακολουθία Όµως επειδή ισχύουν m Β ( + \ Β( και επειδή η h είναι τεταγωνικά ολοκληώσιµη θα h, h h C B( + B( + \B( και συνεπώς h h Έστω λοιπόν, πειγάψαµε πααπάνω, τέτοιες ώστε ϕψ Υπάχουν ακολουθίες { ϕ },{ ψ } όµοιες µε αυτήν που και για κάθε N ϕ ϕ, ψ ψ ϕ ψ, ϕ, ψ Λαµβάνοντας το όιο ποκύπτει ότι lm ϕ, ψ lm ϕ, ψ lm ϕ,lm ψ lm ϕ,lmψ,, ϕ ψ και ολοκληώνεται η απόδειξη του ισχυισµού Συνεπάγεται λοιπόν τώα ότι και ο H είναι εµιτιανός ως γαµµικός συνδυασµός εµιτιανών τελεστών Επειδή ο γαµµικός τελεστής H είναι εµιτιανός, οι ιδιοτιµές του είναι παγµατικές και έχουν φυσικό νόηµα: Τα µόνα δυνατά αποτελέσµατα, σε µία µέτηση της ενέγειας του ϕψ
σωµατίου, είναι οι ιδιοτιµές του H Αν η κατάσταση του σωµατίου κάποια χονική στιγµή πειγάφεται από ένα ιδιοδιάνυσµα ϕ του τελεστή H, τότε λέµε ότι το σωµάτιο βίσκεται σε µία ιδιοκατάσταση της ενέγειας Σε αυτή την πείπτωση το µόνο δυνατό αποτέλεσµα, σε µία µέτηση της ενέγειας, είναι η ιδιοτιµή E στην οποία αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσµα ϕ 4 Η ενέγεια του ηλεκτονίου στο άτοµο του υδογόνου Στην πείπτωση του ηλεκτονίου στο άτοµο του υδογόνου, η συνάτηση του δυναµικού V έχει τύπο V( x, y, z e x + y + z και οίζεται στο R 3 \{ }, δηλαδή παντού στο χώο εκτός από την αχή των αξόνων, όπου βίσκεται το πωτόνιο Συνεπώς αν f 3 και (,, \{ } x y z R, τότε ħ e Hf ( x, y, z f ( x, y, z f ( x, y, z m x + y + z Επειδή το ηλεκτόνιο στο άτοµο του υδογόνου είναι δέσµιο, δηλαδή δεν µποεί να διαφύγει, η ενέγεια του θα είναι ανητική ηλαδή σε οποιαδήποτε µέτηση της ενέγειας Ε του ηλεκτονίου θα έχουµε Ε< εν µποούµε να µιλήσουµε για συµµετία στην κβαντοµηχανική αν πώτα δεν πούµε τα ελάχιστα που απαιτούνται για τις οµάδες Le και τις αναπααστάσεις τους Οµάδες Le Οισµός Έστω G µία λεία πολλαπλότητα διάστασης N Αν η G µε µία πάξη : G G G έχει την δοµή οµάδας, έτσι ώστε οι απεικονίσεις, µ : G G G µε και ι : G G µε µ ( g, h g h ι( g g να είναι λείες, τότε το ζεύγος ( G, ονοµάζεται οµάδα Le διάστασης Μία ιδιότητα των συνεκτικών τοπολογικών οµάδων και κατά συνέπεια των οµάδων Le είναι ότι παάγονται από µία πειοχή της µονάδας Για την ακίβεια έχουµε την ακόλουθη πόταση Πόταση Έστω G µία συνεκτική τοπολογική οµάδα και U µία πειοχή της µονάδας Τότε η U παάγει την οµάδα G
Απόδειξη Έστω U ένα ανοιχτό υποσύνολο της G µε U Τότε H U είναι µία ανοιχτή τοπολογική υποοµάδα της G Πάγµατι αν h H, τότε h U H είναι ένα ανοιχτό υποσύνολο της G µε h U h και συνεπώς το H είναι ανοιχτό στην G h Θα δείξουµε ότι το H είναι και κλειστό στην G Έστω { } ακολουθία της H και h G ώστε h h Υπάχει W U πειοχή του τέτοια ώστε W των πάξεων υπάχει V πειοχή του ώστε για κάθε h, g V Τότε για την ακολουθία { } κάθε N h h θα έχουµε h g W h h h h V U και από την συνέχεια και χωίς βλάβη της γενικότητας για Σταθεοποιούµε κάποιον N Τότε για κάθε N ( h h ( h h W και λαµβάνοντας το όιο της πααπάνω ακολουθίας Συνεπάγεται λοιπόν ότι συνεκτική τοπολογική οµάδα θα έχουµε G ( h h ( h h h h W U h h U H, οπότε το H είναι και κλειστό Επειδή όµως η G είναι H Για τυχόν N µποούµε να ταυτίσουµε τον χώο πινάκων C µε τον Ευκλείδειο χώο R και τον χώο πινάκων χώους πινάκων C, R µε τον Ευκλείδειο χώο R και αυτούς Ευκλείδειους χώους Παάδειγµα Θεωούµε τον Ευκλείδειο χώο det : C C Η απεικόνιση det είναι συνεχής και συνεπώς { C { }} { C } M det \ A det A είναι µια λεία ανοιχτή υποπολλαπλότητα του Ευκλείδειου χώου R Έτσι θα αποκαλούµε τους C και την απεικόνιση της οίζουσας C διάστασης Η M είναι κλειστή ως πος την πάξη του πολλαπλασιασµού µεταξύ πινάκων και έχει την δοµή οµάδας Τέλος επειδή οι απεικονίσεις, µ : M M M µε και ι : M M µε µ ( A, B A B ι( A A
έχουν συνιστώσες ητές συνατήσεις είναι λείες Έτσι M είναι µία οµάδα Le η οποία ονοµάζεται µιγαδική γενική γαµµική οµάδα και συµβολίζεται µε GL( C, Οµοίως οίζουµε και την γενική γαµµική οµάδα GL( R, η οποία έχει διάσταση Όσον αφοά τις Le οµάδες πινάκων που θα µας απασχολήσουν σε αυτό το κείµενο, είναι όλες κλειστές Le υποοµάδες της µιγαδικής γενικής γαµµικής οµάδας GL( C, και της γενικής γαµµικής οµάδας GL( R, Συγκεκιµένα είναι υποοµάδες οι οποίες είναι και οµαλές υποπολλαπλότητες των GL( C,, GL( R, Πότυπο οµαλής υποπολλαπλότητας του διάστασης k του είναι το υποσύνολο R, το οποίο είναι οµοιοµοφικό µε τον { (,,, k+ k+ x x x R x x x } R k R Αν θεωήσουµε µία λεία πολλαπλότητα M διάστασης, τότε µία οµαλή υποπολλαπλότητα της M διάστασης k θα «φαίνεται» τοπικά ως µία οµαλή υποπολλαπλότητα του R διάστασης k Παάδειγµα Η οµάδα των µοναδιακών πινάκων { C } U( A GL(, A A I GL(, C είναι µία συµπαγής οµαλή υποπολλαπλότητα της µιγαδικής γενικής γαµµικής οµάδας GL( C, διάστασης Για να το δείξουµε αυτό θα θεωήσουµε τον γαµµικό χώο των εµιτιανών πινάκων ο οποίος έχει διάσταση { } S(, C A C A A, και την λεία απεικόνιση Φ : GL(, S(, C C µε Επειδή η Φ είναι συνεχής και U( ( I Φ ( A A A Φ συνεπάγεται ότι το U( είναι κλειστό Ακόµη επειδή κάθε στήλη ενός στοιχείου g U( έχει µέτο θα έχουµε g και συνεπώς το U( είναι φαγµένο Ακεί τώα να δείξουµε ότι το Φ ( I είναι ένα οµαλό σύνολο στάθµης, δηλαδή για κάθε A U( το διαφοικό Φ : T ( GL(, C T ( S(, C της Φ στο A είναι επί Ο χώος TA ( GL(, C έχει διάσταση (, A A Φ( A ταυτίζεται µε τον χώο πινάκων C και οµοίως ο χώος TΦ( S( C, ταυτίζεται µε τον S( C, Επειδή η απεικόνιση της οίζουσας είναι συνεχής, για A κάθε B C υπάχει ε > ώστε η λεία καµπύλη γ : ( ε, ε C µε γ ( t A+ tb, 3
να παίνει τιµές στην GL( C, Επειδή λοιπόν γ ( A και γ ( B, συνεπάγεται ότι Έστω τώα C S(, C Τότε έχουµε d Φ, A( B t ( Φ γ dt d t Φ ( A+ tb dt d t ( A+ tb ( A+ tb dt B A+ A B Φ, A AC AC A+ A AC C A A+ A AC C+ C C, δηλαδή το διαφοικό είναι επί Έτσι από το θεώηµα οµαλού συνόλου στάθµης, η οµάδα U( των µοναδιακών πινάκων είναι µία οµαλή υποπολλαπλότητα της GL( C, διάστασης Συνοψίζοντας η µοναδιακή οµάδα U( είναι µία συµπαγής Le υποοµάδα της µιγαδικής γενικής γαµµικής οµάδας GL( C, διάστασης Παάδειγµα 3 Η ειδική µοναδιακή οµάδα { C } SU( A GL(, A A I και det A GL(, C είναι µία οµαλή υποπολλαπλότητα της GL( C, διάστασης οίζουσας det : U( S είναι λεία και το SU( det ( Πάγµατι η απεικόνιση της είναι ένα οµαλό σύνολο στάθµης Από το θεώηµα οµαλού συνόλου στάθµης η SU( θα είναι µία οµαλή υποπολλαπλότητα της U( διάστασης Τότε θα είναι και οµαλή υποπολλαπλότητα της GL(, C διάστασης Έτσι είναι µία κλειστή Le υποοµάδα της GL(, C διάστασης Μάλιστα για είναι απλό να επαληθεύσουµε ότι a b b a SU( GL(, C a + b Παάδειγµα 4 Η οµάδα των οθογωνίων πινάκων { T } O(, R A GL(, R A A I GL(, R είναι µία συµπαγής οµαλή υποπολλαπλότητα της γενικής γαµµικής οµάδας GL( R, διάστασης ( / Τα επιχειήµατα που χησιµοποιούµε για να το δείξουµε αυτό είναι 4
όµοια µε αυτά του πααδείγµατος Έτσι είναι µία συµπαγής Le υποοµάδα της GL( R, διάστασης ( / η οποία ονοµάζεται οθογώνια οµάδα Παάδειγµα 5 Η οµάδα των οθογωνίων πινάκων µε οίζουσα, { T } SO(, R A GL(, R A A I και det A είναι µία συµπαγής και συνεκτική οµαλή υποπολλαπλότητα της γενικής γαµµικής οµάδας GL( R, διάστασης ίσης µε την διάσταση της O(, είναι η απεικόνιση της οίζουσας, η οποία είναι συνεχής, τότε R Πάγµατι αν det :Ο(, R {,} SO(, R det ( Αυτό σηµαίνει ότι το SO( R, ανοιχτό και κλειστό υποσύνολο της O( R, Άα SO( R, είναι µία συνεκτική ανοιχτή υποπολλαπλότητα της O( R, µε διάσταση ( / Τότε όµως θα είναι µία οµαλή υποπολλαπλότητα της O( R,, άα και της GL( R, Τέλος θα είναι συµπαγής γιατί είναι κλειστό υποσύνολο της O(, R Συνοψίζοντας η ειδική οθογώνια οµάδα SO( R, είναι µία συµπαγής και συνεκτική Le υποοµάδα της GL( R, διάστασης ( / Μας ενδιαφέει η ειδική οθογώνια οµάδα SO(3, R, για την οποία µε απλούς υπολογισµούς µποούµε να δείξουµε ότι είναι µεταθετικές υποοµάδες της SO(3, R SO(3, R x θ cosθ sθ X θ R sθ cosθ cosθ sθ SO(3, R y θ Y θ R sθ cosθ cosθ sθ SO(3, R z θ sθ cosθ Z θ R Παάδειγµα 9 Έστω Q ένας γαµµικός χώος επί του R µε dm 4 Q και Β {,, j, k } µία βάση του Q Οίζουµε µία πάξη : Q Q Q ως εξής: Έστω a a + a + a + a j k, b b + b + b j + b k Q Τότε j k a b ( a b a b a b a b + ( a b + a b + a b a b j j k k j k k j + ( a b a b + a b + a b j+ ( a b + a b a b + a b k εν είναι δύσκολο να διαπιστώσουµε ότι για κάθε ιδιότητες ( a ( b c ( a b c j k j k k j j k j k a,b,c Q και για κάθε λ, µ R ισχύουν οι 5
( a ( λ b+ µ c λ ( a b + µ ( a c ( ( λ a+ µ b c λ ( a c + µ ( b c και συνεπώς ο γαµµικός χώος Q µε την πάξη που οίσαµε είναι µία γαµµική άλγεβα επί του R, η οποία ονοµάζεται γαµµική άλγεβα των quateros επί του R Με απλές πάξεις µποούµε να δούµε ότι τα διανύσµατα της βάσης ικανοποιούν τις ακόλουθες χαακτηιστικές κυκλικές σχέσεις και την ισότητα j k Τώα επειδή για κάθε a Q j k, j k j k, k j k j, k j a a a συµπεαίνουµε ότι η τιάδα ( Q, +, είναι ένας δακτύλιος µε µοναδιαίο στοιχείο Έστω τώα a Q µε a και a a + a + a + a j k Τότε το διάνυσµα a a a a a j k ονοµάζεται συζυγές του a και ισχύει j k a a ( a + a + a + a j k j k Αν λοιπόν a a + a + a + a είναι το µέτο του διανύσµατος a, τότε επειδή a θα έχουµε j k a και a a a ηλαδή κάθε µη µηδενικό στοιχείο του Q έχει αντίστοφο στοιχείο Για λόγους απλότητας το διάνυσµα a Q µποούµε να το συµβολίζουµε απλά µε a και στα επόµενα θα υιοθετήσουµε τον συµβολισµό αυτό Θεωούµε τώα το σύνολο { } Q a Q a Q u των quateros τα οποία έχουν µέτο µονάδα Τότε είναι απλό να δούµε ότι οι απεικονίσεις, µ : Q Q Q µε u u u και ι : Q Q µε u u µ ( a, b a b ι( a a είναι λείες Έτσι ( Q, είναι µία Le οµάδα διάστασης 3 η οποία ονοµάζεται οµάδα των u µοναδιαίων quateros και συµβολίζεται απλά µε Qu 6
3 Οµοµοφισµοί οµάδων Le Οισµός 3 Έστω G, H δύο οµάδες Le και F : H G ένας οµοµοφισµός οµάδων Αν η απεικόνιση F είναι λεία, τότε ονοµάζεται οµοµοφισµός οµάδων Le Αν επιπλέον η F είναι µία αµφιδιαφόιση, τότε ονοµάζεται ισοµοφισµός οµάδων Le Αν υπάχει ένας τέτοιος ισοµοφισµός, τότε οι Le οµάδες G και H λέγονται ισόµοφες και γάφουµε H ταυτιστούν G ύο οµάδες Le οι οποίες είναι ισόµοφες, είναι ουσιαστικά οι «ίδιες» και µποούν να Παάδειγµα 3 Έστω V ένας γαµµικός χώος επί του C, πεπεασµένης διάστασης και eˆ ( e,, e µία διατεταγµένη βάση του V Η απεικόνιση Φ : ( V C που απεικονίζει έναν γαµµικό τελεστή στον πίνακα του ως πος την βάση ê Φ ( T ( T : eˆ, είναι ένας ισοµοφισµός γαµµικών χώων και συνεπώς µία αµφιδιαφόιση Τότε όµως ο πειοισµός Φ GL( V : GL( V GL(, C στην οµάδα GL( V των ισοµοφισµών του χώου V, είναι ένας ισοµοφισµός οµάδων Le Έχουµε λοιπόν GL( V GL(, C και συνεπώς η GL( V είναι µία οµάδα Le διάστασης, που µποεί να ταυτιστεί µε την µιγαδική γενική γαµµική οµάδα GL( C, Οµοίως αν ο V είναι ένας παγµατικός γαµµικός χώος, τότε η οµάδα GL( V είναι µία οµάδα Le διάστασης γαµµική οµάδα GL( R,, ισόµοφή µε την γενική Παάδειγµα 3 Έστω V µιγαδικός γαµµικός χώος µε εσωτεικό γινόµενο, και ˆ (,, µία διατεταγµένη οθοκανονική βάση του V Ένας γαµµικός τελεστής T : V e e e λέγεται µοναδιακός αν διατηεί το εσωτεικό γινόµενο ηλαδή αν για κάθε x, y V T( x, T ( y x, y Ο γαµµικός τελεστής T είναι µοναδιακός αν και µόνο αν ο πίνακας του ως πος µία οθοκανονική βάση είναι µοναδιακός, δηλαδή αν και µόνο αν Φ( T U( Συνεπάγεται λοιπόν ότι η οµάδα των µοναδιακών τελεστών ( υποπολλαπλότητα της GL( V διάστασης V Φ U( U( V είναι µία οµαλή Φ είναι και ο πειοισµός U( V : U( V U( ένας ισοµοφισµός οµάδων Le Έτσι η µοναδιακή οµάδα U( είναι ισόµοφη µε την U( V 7
Με παόµοια επιχειήµατα εξηγούµε ότι SU( V είναι µία οµαλή υποπολλαπλότητα της GL( V και κατά συνέπεια Le υποοµάδα της GL( V, ισόµοφη µε την ειδική µοναδιακή οµάδα SU( Παάδειγµα 33 Έστω V ένας παγµατικός γαµµικός χώος µε εσωτεικό γινόµενο, και eˆ ( e,, e µία διατεταγµένη οθοκανονική βάση του V Ένας γαµµικός τελεστής T : V V λέγεται ισοµετία αν για κάθε, x y V T( x, T ( y x, y ή ισοδύναµα αν για κάθε x V T( x x Ο γαµµικός τελεστής T είναι µία ισοµετία αν και µόνο αν ο πίνακας του ως πος µία οθοκανονική βάση είναι οθογώνιος, δηλαδή αν και µόνο αν Φ( T O(, R Για τον λόγο αυτό οι ισοµετίες λέγονται και οθογώνιοι µετασχηµατισµοί Συνεπάγεται λοιπόν ότι η οµάδα των ισοµετιών O( V ( O(, Φ R του χώου V είναι οµαλή υποπολλαπλότητα της GL( V, διάστασης ( / και ο πειοισµός Φ O( V : O( V O(, R είναι ένας ισοµοφισµός οµάδων Le Συνεπώς O( V O(, R Οµοίως SO( V είναι µία οµαλή υποπολλαπλότητα της GL( V διάστασης ( / η οποία είναι ισόµοφη µε την ειδική οθογώνια οµάδα, SO( V SO(, R χώου Αν ταυτίσουµε την οµάδα O( R των οθογώνιων µετασχηµατισµών του Ευκλείδειου R µε την οθογώνια οµάδα O( R,, τότε η ειδική οθογώνια οµάδα SO( R, πειέχει τους οθογώνιους µετασχηµατισµούς µε οίζουσα Αν ένας οθογώνιος µετασχηµατισµός T : R R είναι στοιχείο της SO( R,, τότε διατηεί τον ποσανατολισµό του µία δεξιόστοφη βάση του R Συνεπώς R θα απεικονίζεται µέσω της T σε µία δεξιόστοφη βάση Ισοδύναµα η οµάδα SO( R, πειέχει τις στοφές της O( R, Παάδειγµα 3 Η απεικόνιση Ψ : Q SU( µε u u+ x y+ z Ψ ( u+ x+ yj+ zk y+ z u x είναι ένας ισοµοφισµός οµάδων Le Πάγµατι µε απλούς υπολογισµούς µποούµε να δείξουµε ότι για κάθε a, b Q u Ψ( a b Ψ( a Ψ( b και συνεπώς Ψ είναι ένας οµοµοφισµός οµάδων Επίσης δεν είναι δύσκολο να δούµε ότι 8
KerΨ {} και συνεπώς η Ψ είναι ένας µονοµοφισµός οµάδων Η Ψ όµως είναι και ένας επιµοφισµός, γιατί αν είναι ένα τυχόν στοιχείο της SU(, τότε a b g b a ( Re( Im( Re( Im( Ψ a + a + b j+ b k g Η Ψ λοιπόν είναι ένας ισοµοφισµός οµάδων και µάλιστα η τύπο a b Ψ Re( a + Im( a + Re( b + Im( b b a j k Ψ :SU( Q u δίνεται από τον Για να δείξουµε ότι είναι ένας ισοµοφισµός οµάδων Le θα πέπει να δείξουµε ότι είναι και µία αµφιδιαφόιση, κάτι που δεν είναι δύσκολο 4 Αναπααστάσεις οµάδων και οµάδων Le Οισµός 4 Έστω G µία οµάδα (Le, V ένας µιγαδικός γαµµικός χώος (πεπεασµένης διάστασης και : G GL( V ένας οµοµοφισµός οµάδων (Le Τότε η τιάδα ( G, V, ονοµάζεται αναπαάσταση της οµάδας (Le G στον χώο V Αν ο V είναι ένας χώος µε εσωτεικό γινόµενο, και ( G U( V, τότε η αναπαάσταση ( G, V, ονοµάζεται µοναδιακή Παατήηση 4 Οίζουµε την αναπαάσταση µίας Le οµάδας µόνο σε χώους πεπεασµένης διάστασης, σε αντίθεση µε την αναπαάσταση µίας οµάδας που την οίζουµε σε οποιονδήποτε γαµµικό χώο Επίσης ο χώος µποεί να είναι και παγµατικός χωίς να αλλάζει κάτι στον οισµό Οισµός 4 Έστω G µία οµάδα (Le, V ένας µιγαδικός γαµµικός χώος (πεπεασµένης διάστασης και δ : G V V µία (λεία απεικόνιση η οποία ικανοποιεί τις ιδιότητες ( για κάθε x V δ ( e, x x ( για κάθε g, h G και για κάθε x V δ ( g, δ ( h, x δ ( gh, x ( για κάθε x, y V και λ, µ C δ ( g, λ x+ µ y λδ ( g, x + µδ ( g, y Τότε η δ ονοµάζεται δάση της οµάδας (Le G στον χώο V και γάφουµε δ ( g, x g x Παατήηση 4 Οµοίως οίζουµε την δάση µίας Le οµάδας µόνο σε χώους πεπεασµένης διάστασης σε αντίθεση µε την δάση µιας οµάδας που την οίζουµε σε 9
οποιονδήποτε γαµµικό χώο Μάλιστα ο χώος µποεί να είναι παγµατικός χωίς να αλλάζει κάτι στον πααπάνω οισµό Πόταση 43 Έστω G µία οµάδα Le και V ένας µιγαδικός γαµµικός χώος πεπεασµένης διάστασης Τότε ( G, V, είναι µία αναπαάσταση της οµάδας Le G στον χώο V αν και µόνο αν δ :G V V µε είναι µία δάση της οµάδας Le G στον V δ ( g, x ( g( x, Απόδειξη Έστω ( G, V, αναπαάσταση της οµάδας Le G στον χώο V και η απεικόνιση δ :G V V µε δ ( g, x ( g( x Είναι απλό να δούµε ότι η δ ικανοποιεί τις ιδιότητες του οισµού 4 και συνεπώς µένει να δείξουµε ότι είναι λεία Έστω eˆ ( e,, e είναι µία διατεταγµένη βάση του V Αν ταυτίσουµε την GL( V µε την µιγαδική γενική γαµµική οµάδα GL(, C,τότε για κάθε, j {,, } η συνάτηση ( g : G C είναι λεία Έτσι αν j x x x (,,, θα έχουµε και συνεπώς η δ είναι λεία j j δ ( g, x x ( g e Έστω δ :G V V δάση της οµάδας Le G στον χώο V και : G GL( V η απεικόνιση τέτοια ώστε ( g( x δ ( g, x Είναι απλό να δούµε ότι η είναι ένας οµοµοφισµός οµάδων Μένει να δείξουµε ότι η είναι λεία Πάγµατι για κάθε, j {,, } όπου π : η συνάτηση ( g j είναι λεία γιατί ( g π ( δ ( g, e j j π δ ( g, e, C C είναι η συνάτηση της ποβολής, η οποία είναι λεία Παατήηση 43 Υπάχει λοιπόν µία αντιστοιχία ανάµεσα στις αναπααστάσεις και τις δάσεις µίας οµάδας (Le σε έναν γαµµικό χώο (πεπεασµένης διάστασης Έτσι όταν αναφεόµαστε στην αναπαάσταση µίας οµάδας θα µιλάµε και για την αντίστοιχη δάση της όποτε το κίνουµε βολικό Παάδειγµα 4 Η γενική γαµµική οµάδα GL( R, δα µε «φυσιολογικό» τόπο στον χώο R ως εξής j j
x g ( x,, x ( T g x Είναι απλό να δούµε ότι η απεικόνιση αυτή είναι λεία και συνεπώς η GL( R, δα στον R ως µία οµάδα Le Η δάση της GL(, R αντιστοιχεί στην αναπαάσταση : GL(, R GL( R µε ( g( x g x Μάλιστα κάτω από την ταύτιση της GL( R µε την GL( R, θα έχουµε GL(, R για την δάση της µιγαδικής γαµµικής οµάδας GL( C, στον C Οµοίως και Παάδειγµα 4 Ο πειοισµός στο SO(, R R της «φυσιολογικής» δάσης της γενικής γαµµικής οµάδας GL( R, στον SO( R, στον στον R, µας δίνει την δάση της ειδικής οθογώνιας οµάδας R Επειδή ο πειοισµός αυτός είναι µία λεία απεικόνιση, η SO( R, δα R ως µία οµάδα Le Όταν ένα στοιχείο της SO( R, δα πάνω σε ένα διάνυσµα του R, τότε το αποτέλεσµα είναι η στοφή γύω από κάποιο άξονα Για κάθε g SO(, R και για κάθε x R g x x Για να γίνουµε πιο συγκεκιµένοι, η δάση της υποοµάδας SO(3, R z στον 3 R έχει ως αποτέλεσµα την στοφή των διανυσµάτων γύω από τον άξονα Oz Οµοίως η δάση της υποοµάδας τον άξονα Ox και της SO(3, R x, έχει ως αποτέλεσµα την στοφή των διανυσµάτων του SO(3, R y την στοφή γύω από τον Oy Παάδειγµα 43 Αν πειοίσουµε την πααπάνω δάση της SO( R, στο τότε ποκύπτει η δάση της SO( R, στην µοναδιαία σφαία 3 R γύω από SO(, S R, S Ο πειοισµός αυτός είναι µία λεία απεικόνιση και συνεπώς η ειδική οθογώνια οµάδα SO( R, δα στην οµάδα Le S ως µία Παάδειγµα 44 Αν πειοίσουµε στο U( C την «φυσιολογική» δάση της GL( C, στον C, τότε ποκύπτει η δάση της µοναδιακής οµάδας U( στον C Ο πειοισµός αυτός είναι λεία απεικόνιση και συνεπώς η U( δα στον κάθε x, y C και g U( θα έχουµε g x, g y x, y C ως µία οµάδα Le Μάλιστα για
Οµοίως η δάση της ειδικής µοναδιακής οµάδας SU( στον C ποκύπτει από τον πειοισµό στο SU( C της δάσης της GL( C, στον C Παάδειγµα 45 Η δάση της ειδικής οθογώνιας οµάδας SO( R, στον R επάγει µία αναπαάσταση :SO(, R GL( στον χώο Hlbert L ( R, C ως εξής: ( g f ( x f ( g x Η είναι καλώς οισµένη Πάγµατι επειδή το µέτο Lebesgue είναι αναλλοίωτο στις στοφές, η συνάτηση g f είναι µετήσιµη και R g f f Η είναι ένας οµοµοφισµός οµάδων, γιατί για κάθε g, h SO(, R R gh f x f gh x ( ( (( f h g x (( f h g x ( ( g f h x ( ( ( gh f ( x Συνεπάγεται λοιπόν ότι για κάθε g SO(, R η ( g είναι µία ισοµετία στον αναπαάσταση είναι µοναδιακή Το τελευταίο µποούµε να το δούµε ως εξής ( g ϕ, ( g ψ ( g ϕ( g ψ R g ( ϕψ R R ϕψ ϕψ, και η Επειδή ο χώος δεν είναι πεπεασµένης διάστασης, η SO( R, δεν δα στον ως µία οµάδα Le Αυτός είναι γενικά ο τόπος που η SO( R, δα σε χώους συνατήσεων οι οποίες είναι οισµένες στον R Το αποτέλεσµα της δάσης είναι η στοφή της συνάτησης γύω από κάποιον άξονα Αν θεωήσουµε µία κανονική βάση eˆ ( e,, e του συµβολίσουµε µε [ ] βάση ê, τότε x eˆ R και R την αναπαάσταση του διανύσµατος x ( x,, x R στην [ x] g [ x], g eˆ eˆ
όπου g eˆ ( g e,, g e µία επίσης οθοκανονική βάση του R Από την ισότητα αυτή διαπιστώνουµε ότι η δάση της SO( R, στον της πάνω στο σύστηµα συντεταγµένων είναι ισοδύναµη µε την αντίστοφη δάση Παάδειγµα 46 Η δάση της ειδικής οθογώνιας οµάδας SO( R, στην µοναδιαία σφαία S επάγει µία αναπαάσταση :SO(, GL( R, στον χώο Hlbert εξής: ( g f ( x f ( g x L C (S, ως Οµοίως όπως και ποηγουµένως µποούµε να δείξουµε ότι η είναι καλώς οισµένη και µάλιστα είναι µοναδιακή Η δάση της SO(, R στέφει της συνατήσεις του γύω από κάποιο άξονα Τέλος επειδή ο χώος δεν είναι πεπεασµένης διάστασης, η SO( R, δεν δα στον ως µία οµάδα Le Οισµός 4 Έστω G µία οµάδα (Le και ( G, V,, ( G, W, σ αναπααστάσεις της οµάδας (Le G στους µιγαδικούς γαµµικούς χώους (πεπεασµένης διάστασης V,W Είναι απλό να δούµε ότι η απεικόνιση σ : G GL( V W µε ( σ ( g( x+ y ( g x+ σ ( g y, όπου x V και y W είναι ένας οµοµοφισµός οµάδων (Le και συνεπώς ( G, V W, σ είναι µία αναπαάσταση της οµάδας (Le G στον χώο ευθύ άθοισµα V W Ακόµη η σ : G GL( V W µε ( σ ( g x y ( g x σ ( g y, όπου x V και y W είναι ένας οµοµοφισµός οµάδων (Le και συνεπώς ( G, V W, σ είναι µία αναπαάσταση της οµάδας (Le G στον χώο τανυστικό γινόµενο V W Ακόµη αν θεωήσουµε δύο αναπααστάσεις ( G, V,, ( H, W, σ των οµάδων (Le G, H στους χώους (πεπεασµένης διάστασης V, W, τότε µποούµε να γενικεύσουµε τον τελευταίο οισµό σε µία αναπαάσταση σ : G H GL( V W της Le οµάδας γινόµενο G H στον χώο V W ως εξής ( σ ( g, h x y ( g x σ ( h y Είναι απλό να δούµε ότι η απεικόνιση αυτή είναι ένας οµοµοφισµός οµάδων (Le και συνεπώς ( G H, V W, σ είναι µία αναπαάσταση της οµάδας (Le G H στον χώο V W Παάδειγµα 4 Η µιγαδική γενική γαµµική οµάδα GL( C, δα στον χώο C C ως εξής g ( z w g z g w Μάλιστα ο γαµµικός τελεστής µετάθεσης P : C C C C, για τον οποίο έχουµε 3
P( z w w z, είναι ένας ισοµοφισµός και µετατίθεται µε την δάση της GL( C, στον g P( z w g ( w z ολοκληώνοντας την απόδειξη του ισχυισµού g w g z P( g z g w P( g ( z w, C C Πάγµατι Πόταση 43 Αν V,W είναι χώοι µε εσωτεικό γινόµενο και οι αναπααστάσεις ( G, V,, ( G, W, σ είναι µοναδιακές, τότε και η αναπαάσταση ( G, V W, σ είναι µοναδιακή Απόδειξη Ο χώος τανυστικό γινόµενο V γινόµενο, V W ως εξής, W είναι «φυσικά» εφοδιασµένος µε ένα εσωτεικό x y, u w x, u y, w V W V W Αν τώα οι αναπααστάσεις ( G, V, και ( G, W, σ είναι µοναδιακές, από τον οισµό που ποηγήθηκε θα έχουµε g x y, g u w g x g y, g u g w και ολοκληώνεται η απόδειξη της πότασης V W V W g x, g u g y, g w V x, u y, w V x y, u w Παατήηση 43 Επίσης µε όµοιο τόπο δείχνουµε ότι αν ( G, V,, ( H, W, σ είναι µοναδιακές αναπααστάσεις των οµάδων G, H στους χώους V, W, τότε και η αναπαάσταση ( G H, V W, σ είναι µοναδιακή Παακάτω οίζουµε τους αναλλοίωτους υπόχωους και τις ανάγωγες αναπααστάσεις Οι ανάγωγες αναπααστάσεις έχουν την έννοια αναπααστάσεων που δεν µποούν να απλοποιηθούν και όπως θα δούµε µποούµε να «χτίσουµε» τον χώο µίας αναπαάστασης από ανάγωγους αναλλοίωτους υπόχωους Οισµός 43 Έστω G µία οµάδα (Le, V ένας µιγαδικός γαµµικός χώος (πεπεασµένης διάστασης και ( G, V, µία αναπαάσταση της G στον V Ένας γαµµικός υπόχωος W V ονοµάζεται αναλλοίωτος υπόχωος της αναπαάστασης ( G, V,, αν για κάθε g ( g( W W Αν W είναι ένας αναλλοίωτος υπόχωος της αναπαάστασης ( G, V,, τότε : G W GL( W µε W ( g ( g W W V W W G 4
είναι ένας οµοµοφισµός οµάδων (Le και η αναπαάσταση ( G, W, W της οµάδας (Le G στον χώο W, λέγεται υποαναπαάσταση της ( G, V, στον W Αν η αναπαάσταση ( G, V, είναι µη τετιµµένη και οι µόνοι αναλλοίωτοι υπόχωοι της είναι οι V και { }, τότε η ( G, V, ονοµάζεται ανάγωγη αναπαάσταση Παάδειγµα 47 Η αναπαάσταση της ειδικής οθογώνιας οµάδας SO( R, στον R που πειγάψαµε στο παάδειγµα 4 είναι ανάγωγη Πάγµατι για κάθε x R µε x η εικόνα της απεικόνισης ϕ : R R µε είναι η µοναδιαία σφαία πέπει S V { κανονική βάση του R } Παάδειγµα 48 O υπόχωος του χώου Hlbert ϕ ( x g x, S Έτσι αν V είναι µη τετιµµένος αναλλοίωτος υπόχωος, τότε θα και συνεπώς V R { f f λεία και όλες οι µεικές παάγωγοι της f κάθε τάξης } L ( R, C είναι ένας αναλλοίωτος υπόχωος της αναπαάστασης (SO(, R,, που πειγάψαµε στο παάδειγµα 45 Αν στίψουµε µία συνάτηση του γύω από κάποιον άξονα θα «πέσουµε» πάλι στον ποκύπτει θα είναι στο εξής η αναπαάσταση της SO( R, στον Η υποαναπαάσταση που Πόταση 49 Έστω G µία οµάδα, V ένας µιγαδικός γαµµικός χώος µε εσωτεικό γινόµενο, και ( G, V, µία µοναδιακή αναπαάσταση της G στον V Αν W V είναι ένας αναλλοίωτος υπόχωος της ( G, V,, τότε και ο W είναι αναλλοίωτος υπόχωος της ( G, V, Απόδειξη Έστω g G και x W Θα δείξουµε ότι για κάθε y W Πάγµατι επειδή η είναι µοναδιακή θα έχουµε ( g( x, y ( g( x, y ( g ( g( x, ( g ( y ( e( x, ( g ( y x g y, ( ( Όµως επειδή W είναι ένας αναλλοίωτος υπόχωος θα έχουµε ( g ( y W και συνεπώς ( g( x, y x, ( g ( y 5
Συνεπάγεται λοιπόν ότι για κάθε g G ( g( W W ολοκληώνοντας της απόδειξη της πότασης Οισµός 44 Έστω G µία οµάδα και ( G, V,, ( G, W, σ αναπααστάσεις της G στους µιγαδικούς γαµµικούς χώους V, W αντιστοίχως Μία γαµµική απεικόνιση T : V λέγεται οµοµοφισµός των αναπααστάσεων ( G, V, και ( G, W, σ, αν για κάθε g T ( g σ ( g T W G ισχύει Αν επιπλέον η T είναι ισοµοφισµός γαµµικών χώων, τότε ονοµάζεται ισοµοφισµός των αναπααστάσεων ( G, V,, ( G, W, σ Σε αυτή την πείπτωση οι αναπααστάσεις λέγονται ισόµοφες και γάφουµε σ Αν S : V V είναι ένας γαµµικός τελεστής τέτοιος ώστε για κάθε g G να ισχύει S ( g ( g S, τότε λέµε ότι ο S µετατίθεται µε την αναπαάσταση ( G, V, ή µε την αντίστοιχη δάση Πόταση 4 Ο γαµµικός διαφοικός τελεστής της ειδικής οθογώνιας οµάδας SO(3, R στον : µετατίθεται µε την δάση Απόδειξη Έστω σ : SO(3, R GL( η αναπαάσταση της SO(3, R στον χώο και g SO(3, R Αν f, τότε R R είναι η αναπαάσταση της SO(3, R στον 3 :SO(3, GL( σ ( g( f f ( g 3 R και Θέτουµε ποκύπτει ότι ( g ( ( g, ( g, ( g και εφαµόζοντας δύο φοές τον κανόνα της αλυσίδας x x x3 ( f ( g (( x( g x ( x ( g x ( x ( g 3 x ( x f ( g + (( x( g ( ( ( ( ( ( x + x g x + x g 3 x x f g + (( x( g ( ( ( ( ( x + 3 x g x + 3 x g 3 x 3 x f ( g 3 ( + (( x( g ( ( ( ( ( ( ( ( x x g x + 3 x g x x g x + 3 x g 3 x ( + + + ( ( g ( ( g + ( ( g ( ( g + ( ( g ( ( g ( f ( g x x x x x x x x x3 x x3 x x x ( ( g ( f ( g x3 x3 x x3 + ( ( g ( ( g + ( ( g ( ( g + ( ( g ( ( g ( f ( g Έστω ê η κανονική βάση του ê Τότε για κάθε, j {,,3} και συνεπάγεται ότι x x3 x x x x3 x x x3 x3 x3 x x3 x 3 R και ( ( g : eˆ [ a j ] ο πίνακας της ( g ως πος την βάση a ( g j x j x 6
Όµως επειδή ο πίνακας ( 3 x f ( g ( a + a + a ( f ( g + ( a + a + a ( f ( g 3 x + ( a + a + a ( f ( g 3 3 33 x3 + ( a a + a a + a a ( f ( g 3 3 3 3 3 33 3 3 33 3 x x + ( a a + a a + a a ( f ( g x x3 + ( a a + a a + a a ( f ( g ( ( g : eˆ είναι οθογώνιος, θα έχουµε x3 x a+ a + a3 aa+ aa + a3a3 aa3 + aa3 + a3a 33 aa aa a3a3 a a a3 aa3 aa3 a3a 33 + + + + + + a3a a3a a33a3 a3a a3a a33a3 a3 a3 a + + + + + + 33 και συνεπάγεται ότι ( σ ( g ( f ( f ( g ( f ( g + ( f ( g + ( f ( g x x x3 ( f ( g ( σ g ( ( f Η f είναι τυχούσα συνάτηση και συνεπώς για κάθε g SO(3, R, σ ( g σ ( g Παατήηση 4 Με τον ίδιο τόπο µποούµε να γενικεύσουµε την πααπάνω πόταση για την δάση της SO( R, στον χώο µετατίθεται µε την δάση της SO( R, στον Ο διαφοικός τελεστής + + +, x x x : µε Πόταση 4 Έστω G µία οµάδα και ( G, V, µία αναπαάσταση της G σε έναν µιγαδικό γαµµικό χώο V Αν T : V V είναι ένας γαµµικός τελεστής ο οποίος µετατίθεται µε την δάση της G στον V, τότε κάθε ιδιόχωος του T είναι ένας αναλλοίωτος υπόχωος της αναπαάστασης ( G, V, Απόδειξη Έστω V ( λ ένας ιδιόχωος του T ο οποίος αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ C Τότε για κάθε g G και x V ( λ έχουµε T ( g x g T ( x g ( λx λ( g x και συνεπώς g x V ( λ Έτσι για κάθε g G έχουµε ( g( V ( λ V ( λ, ολοκληώνοντας την απόδειξη της πότασης 7
Το λήµµα του Schur Έστω ( G, V,, ( G, W, σ ανάγωγες αναπααστάσεις της οµάδας G στους µιγαδικούς γαµµικούς χώους V, W Αν ο χώος V είναι πεπεασµένης διάστασης και T : V V είναι ένας γαµµικός τελεστής ο οποίος µετατίθεται µε την ( G, V,, τότε υπάχει λ C ώστε Ακόµη αν ( G, V, ( G, W, σ και S : V τότε S T λ V W είναι ένας οµοµοφισµός αναπααστάσεων, Απόδειξη Ο T θα έχει µία τουλάχιστον ιδιοτιµή λ C και ο ιδιόχωος V ( λ που αντιστοιχεί σε αυτή την ιδιοτιµή θα είναι, σύµφωνα µε την πόταση 4, ένας αναλλοίωτος υπόχωος της ( G, V, Τότε όµως θα πέπει V V ( λ και συνεπώς T λ V Για το δεύτεο µέος παατηήσουµε ότι, εφόσον ο S είναι οµοµοφισµός αναπααστάσεων, ο πυήνας του ker( S V και η εικόνα του Im( S W είναι αναλλοίωτοι υπόχωοι των ( G, V, και ( G, W, σ αντιστοίχως Αλλά επειδή είναι ανάγωγες θα πέπει και { } ker( S V ή { } Im( S W ή ηλαδή ο S είναι ισοµοφισµός ή S Επειδή οι αναπααστάσεις δεν είναι ισόµοφες θα έχουµε S, ολοκληώνοντας την απόδειξη του ισχυισµού Πόισµα 4 Αν ( G, V, είναι ανάγωγη αναπαάσταση µίας µεταθετικής οµάδας G, τότε ο χώος V είναι µονοδιάστατος Απόδειξη Επειδή η οµάδα είναι µεταθετική, για κάθε g G ο γαµµικός τελεστής ( g µετατίθεται µε την ( G, V, Τότε όµως από το λήµµα του Schur θα έχουµε και συνεπώς για κάθε x V Θα έχουµε λοιπόν dmv ( g λ( g V ( g x λ( g x Οισµός 44 Έστω G µία οµάδα και ( G, V, αναπαάσταση της G στον µιγαδικό γαµµικό χώο V Αν υπάχουν ανάγωγες αναπααστάσεις {(,, } ( G, V, ( G, V,, I I G V I τότε λέµε ότι η ( G, V, αναλύεται σε ευθύ άθοισµα ανάγωγων αναπααστάσεων της G τέτοιες ώστε 8
Η ακόλουθη πόταση µας λέει ότι κάθε µοναδιακή αναπαάσταση µίας οµάδας Le σε έναν γαµµικό χώο πεπεασµένης διάστασης αναλύεται σε ευθύ άθοισµα ανάγωγων αναπααστάσεων Πόταση 45 Έστω G µία οµάδα Le, V ένας µιγαδικός γαµµικός χώος πεπεασµένης διάστασης µε εσωτεικό γινόµενο, και ( G, V, µία µοναδιακή αναπαάσταση της G στον V Τότε η ( G, V, αναλύεται σε ευθύ άθοισµα ανάγωγων αναπααστάσεων Απόδειξη Θα δείξουµε την πόταση µε επαγωγή ως πος την διάσταση N του χώου V Αν, τότε η αναπαάσταση ( G, V, είναι ανάγωγη και έχουµε τελειώσει Έστω ότι η πόταση είναι αληθής για κάθε k N και dmv k+ Αν η ( G, V, είναι ανάγωγη, τότε έχουµε τελειώσει Αν δεν είναι ανάγωγη θα υπάχει αναλλοίωτος υπόχωος W της ( G, V, µε dmw < k+ Σύµφωνα όµως µε την πόταση 49, ο W είναι επίσης αναλλοίωτος υπόχωος της ( G, V, και µάλιστα V W W Τότε όµως θα πέπει dmw < k+ και ακόµη ( G, V, ( G, W W, W W µ ( G, V, Τώα από την υπόθεση της επαγωγής υπάχουν ανάγωγες αναπααστάσεις { } και ν {( G, Wj, σ j } j τέτοιες ώστε και µ µ ( G, W, ( G, V, W ( G, W, ( G, W, σ ν ν W j j j j Τότε όµως θα έχουµε ( G, V, G, V W, σ ολοκληώνοντας την απόδειξη της πότασης µ ν µ ν j j j j, Λήµµα 45 Αν ( G, V,, ( G, W, σ είναι ισόµοφες αναπααστάσεις της οµάδας G στους µιγαδικούς γαµµικούς χώους V, W και T : V µετατίθεται µε την ( G, V,, τότε υπάχει ένας ισοµοφισµός S : V να µετατίθεται µε την ( G, W, σ S T S : W W V είναι ένας γαµµικός τελεστής ο οποίος W τέτοιος ώστε ο Απόδειξη Εφόσον ( G, V, ( G, W, σ υπάχει ένας ισοµοφισµός αναπααστάσεων S : V W και θέτουµε A S T S Τότε για κάθε g G θα έχουµε 9
ολοκληώνοντας την απόδειξη του λήµµατος σ ( g A σ ( g ( S T S ( σ ( g S T S S ( ( g T S S T g S ( ( σ ( S T S ( g A σ ( g, Ας υποθέσουµε τώα ότι ( G, V, είναι µία τυχούσα αναπαάσταση της οµάδας G στον µιγαδικό χώο πεπεασµένης διάστασης V, η οποία αναλύεται σε ευθύ άθοισµα ανάγωγων αναπααστάσεων ώστε ( G, V, ( G, V,, j ( G, V, ( G, V, j j και T : V V ένας γαµµικός τελεστής ο οποίος µετατίθεται µε την ( G, V, Τότε υπάχει ένας ισοµοφισµός S : V V και µιγαδικοί αιθµοί S T S λv λ, λ,, λ ώστε Πάγµατι σύµφωνα µε το λήµµα 45 υπάχει ισοµοφισµός S : V V ώστε ο τελεστής A S T S V V να µετατίθεται µε την : ( G, V, Για κάθε, j {,,, } θέτουµε A Π ( A : V V, όπου j j V j Π είναι η συνάτηση ποβολής στον : j V Vj υπόχωο V j Τότε A A και για κάθε g G j j ( g A ( g Π ( A j j j j V Π Π j j ( g ( A V ( A ( g j V A ( g, δηλαδή ο A είναι ένας οµοµοφισµός των αναπααστάσεων ( G, V, και ( G, V, Όµως j j j ( G, V, επειδή { } του Schur θα υπάχουν,, είναι ανάγωγες και µη ισόµοφες ανά δύο αναπααστάσεις, από το λήµµα λ λ C ώστε για κάθε {,,, } A λ V 3
και ακόµη για κάθε, j {,,, } µε j θα έχουµε A Συνεπάγεται λοιπόν ότι A A λ V j Αν µέσω του ισοµοφισµού S ταυτίσουµε τους χώους V και V ώστε για κάθε {,,, } να έχουµε V V, τότε µποούµε απλούστεα να γάψουµε T λ V και για τα επόµενα θα υιοθετήσουµε την σύµβαση αυτή Οι αιθµοί λ είναι ιδιοτιµές του T, όχι απααίτητα διάφοες µεταξύ τους, έτσι για κάθε {,,, } θα έχουµε V V ( λ, όπου V ( λ είναι ο ιδιόχωος της ιδιοτιµής Συγκεκιµένα αν V ( λ είναι ένας ιδιόχωος του T ο οποίος αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ C, τότε µποούµε να τον «χτίσουµε» µε ανάγωγες αναπααστάσεις Θα υπάχουν δηλαδή { },, k ( λ,,, ώστε k ( λ V ( λ V Έτσι η αναπαάσταση ( G, V, µποεί να µας βοηθήσει να διαγωνοποιήσουµε τον τελεστή T Αν η οµάδα G είναι ακετά «µεγάλη», τότε οι ιδιόχωοι του T θα συµπέσουν µε τους m ανάγωγους αναλλοίωτους υπόχωους της ( G, V, Ας θεωήσουµε τώα ότι V είναι ένας οποιοσδήποτε γαµµικός χώος ώστε η αναπαάσταση ( G, V, να αναλύεται σε ευθύ άθοισµα ανάγωγων αναπααστάσεων m ( G, V, ( G, V,, όπου { V} είναι χώοι πεπεασµένης διάστασης και οι αναπααστάσεις {(,, } I µη ισόµοφες ανά δύο Τότε οµοίως θα δούµε ότι ένας γαµµικός τελεστής T : V µετατίθεται µε την ( G, V, είναι διαγωνίσιµος και για κάθε I υπάχει λ C ώστε I I I λ G V είναι V ο οποίος T λ I V Οι µιγαδικοί αιθµοί λ είναι ιδιοτιµές του T, όχι απααίτητα διακεκιµένες Αν V ( λ είναι ένας ιδιόχωος του T ο οποίος αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ, τότε υπάχει ένα σύνολο δεικτών I ( λ I τέτοιο ώστε V ( λ V I ( λ 3
5 Η οµάδα συµµετίας κβαντοµηχανικού συστήµατος Ας θεωήσουµε το απλό κβαντοµηχανικό σύστηµα ενός σωµατίου, το οποίο κινείται στον Ευκλείδειο χώο 3 R και η κατάσταση του οποίου, κάποια χονική στιγµή, πειγάφεται από ένα διάνυσµα ψ του χώου Hlbert Αν δάσουµε µε κάποιο στοιχείο g SΟ(3, R στο σύστηµα συντεταγµένων {, j, k } θα ποκύψει ένα νέο σύστηµα συντεταγµένων, {, j, k } g {, j, k } «σταµµένο» ως πος το αχικό γύω από κάποιον άξονα Στο νέο σύστηµα συντεταγµένων η κατάσταση του σωµατίου θα πειγάφεται από το διάνυσµα ψ g ψ και η νέα Hamltoa θα είναι όπου :SΟ(3, R GL( H ( g H ( g, είναι η αναπαάσταση της οµάδας SΟ(3, R στον όπως την έχουµε πειγάψει στο παάδειγµα 45 Αν για κάποια υποοµάδα G της SΟ(3, R έχουµε H ακόλουθο οισµό H, τότε η υποοµάδα G λέγεται οµάδα συµµετίας του συστήµατος και έχουµε τον Οισµός 5 Μία υποοµάδα G της SΟ(3, R λέγεται οµάδα συµµετίας του συστήµατος αν αφήνει την Hamltoa του συστήµατος αναλλοίωτη ηλαδή αν για κάθε g G H ( g ( g H Πόταση 5 Αν G είναι µία οµάδα συµµετίας και ( G,, η αναπαάστασή της στον χώο, τότε κάθε ιδιόχωος της Hamltoa είναι αναλλοίωτος υπόχωος της ( G,, Απόδειξη Σύµφωνα µε τον οισµό της οµάδας συµµετίας, η Hamltoa H µετατίθεται µε την αναπαάσταση ( G,,, H ( g ( g H και από την πόταση 4 έχουµε τον ζητούµενο ισχυισµό Αν G είναι µία οµάδα συµµετίας έτσι ώστε η αναπαάσταση ( G,, να αναλύεται σε ευθύ άθοισµα ανάγωγων αναπααστάσεων όπου { V} {(,, } G V I ( G,, ( G, V,, I είναι µιγαδικοί γαµµικοί χώοι πεπεασµένης διάστασης και οι αναπααστάσεις I I υπάχει λ R ώστε είναι µη ισόµοφες ανά δύο, τότε η Hamltoa H είναι διαγωνίσιµη και για κάθε I 3
H λ I V Η γνώση λοιπόν της συµµετίας του συστήµατος µποεί να µας βοηθήσει στην διαγωνοποίηση της Hamltoa Όµως η καθαά «γεωµετική» συµµετία που πειγάψαµε πααπάνω ίσως να µην είναι ακετή ώστε οι ανάγωγοι αναλλοίωτοι υπόχωοι V να συµπίπτουν µε τους ιδιόχωους της Hamltoa Για το λόγο αυτό θα πέπει να γενικεύσουµε την έννοια της συµµετίας στον ακόλουθο οισµό Οισµός 5 Μία οµάδα H λέγεται οµάδα συµµετίας του συστήµατος αν υπάχει αναπαάσταση ( H,, της H στον η οποία µετατίθεται µε την Hamltoa H 6 Η οµάδα συµµετίας στο άτοµο του υδογόνου Ας θεωήσουµε τώα το ηλεκτόνιο στο άτοµο του υδογόνου Η Hamltoa αυτού του συστήµατος µετατίθεται µε την δάση της ειδικής οθογώνιας οµάδας SΟ(3, R στον και συνεπώς η SΟ(3, R είναι οµάδα συµµετίας του συστήµατος Πάγµατι σύµφωνα µε την πόταση 48 για κάθε g SΟ(3, R έχουµε ( g ( g Ακόµη επειδή το δυναµικό από όπου ποκύπτει ότι V : 3 R R στο άτοµο του ηλεκτονίου είναι κεντικό, θα έχουµε ( gv V ( g V V ( g Συνεπάγεται λοιπόν ότι H ( g ( g ( + V + ( g ( g V ( g V ( g + + ( V ( g H ( g Για να είµαστε ακιβείς, η οθογώνια οµάδα Ο(3, R είναι επίσης µία οµάδα συµµετίας, η οποία πειέχει την SΟ(3, R Τα να λάβουµε όµως υπόψη και τις ανακλάσεις δεν µας βοηθάει ουσιαστικά στην διαγωνοποίηση της Hamltoa Για να το δούµε αυτό θα θεωήσουµε την επέκταση : O(3, R GL( της αναπαάστασης : SO(3, R GL( Πόταση 5 Οι ανάγωγοι αναλλοίωτοι υπόχωοι της αναπαάστασης είναι της µοφής V + ( I V, όπου V είναι ένας ανάγωγος αναλλοίωτος υπόχωος της 33
Απόδειξη Έστω V ένας ανάγωγος αναλλοίωτος υπόχωος της αναπαάστασης Επειδή η είναι επέκταση της, ο V θα πειέχει κάποιον ανάγωγο αναλλοίωτο υπόχωο V της Παατηούµε ότι κάθε στοιχείο g Ο(3, R \ SΟ(3, R γάφεται g ( I ( g ( g ( I, όπου το στοιχείο I Ο(3, R \ SΟ(3, R αναπαιστά την ανάκλαση ως πος την αχή και g SΟ(3, R Τότε όµως ( g V ( I ( g V ( I V και συνεπώς V + ( I V V είναι ένας αναλλοίωτος υπόχωος της Επειδή όµως ο V είναι ανάγωγος και V ( I V { } πότασης +, θα πέπει V V + ( I V ολοκληώνοντας την απόδειξη της Με µία πώτη µατιά φαίνεται ότι οι αναλλοίωτοι υπόχωοι «µεγαλώνουν» κάτω από την «µεγαλύτεη» οµάδα συµµετίας Ο(3, R Στην παγµατικότητα όµως κάτι τέτοιο δεν συµβαίνει γιατί οι ανάγωγοι αναλλοίωτοι υπόχωοι της χωίζονται σε δύο µεγάλες κλάσεις: Σε αυτούς που πειέχουν άτιες συνατήσεις και σε αυτούς που πειέχουν πειττές Αυτό έχει ως αποτέλεσµα, σε κάθε πείπτωση να έχουµε V V + ( I V Για να το δούµε αυτό θα θεωήσουµε τον τελεστή οµοτιµίας P : ως P( f ( I f ο οποίος οίζεται Ο P είναι διαγωνίσιµος µε ιδιοτιµές {, + } Ο ιδιόχωος V ( που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή είναι ο χώος των πειττών συνατήσεων του και ο ιδιόχωος V ( + που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή + είναι ο χώος των άτιων συνατήσεων του Επειδή κάθε συνάτηση µποεί να γαφεί ως άθοισµα µίας άτιας και µίας πειττής θα έχουµε V ( V ( + Το σηµαντικό όµως είναι ότι ο P µετατίθεται µε την αναπαάσταση Πάγµατι για κάθε h SO(3, R και f έχουµε ( ( h( I f (( I h f ( I ( h f h P( f h ( I f P( h f 34
Συνεπώς κάθε ανάγωγος αναλλοίωτος υπόχωος της θα πειέχεται σε έναν από τους ιδιόχωους του P, δηλαδή θα πειέχει άτιες ή πειττές συνατήσεις Κλείνουµε το κεφάλαιο αυτό µε την ακόλουθη πόταση Πόταση 5 Αν E< είναι µία ιδιοτιµή της Hamltoa H, τότε η διάσταση του ιδιόχωου V ( E στον οποίο αντιστοιχεί η ιδιοτιµή E είναι πεπεασµένη Απόδειξη ες [] σελ 64-66 Έτσι σε κάθε ιδιόχωο ( E της Hamltoa που αντιστοιχεί σε ανητική ιδιοτιµή E έχουµε µία µοναδιακή αναπαάσταση της οµάδας Le SΟ(3, R, η οποία αναλύεται σε ευθύ άθοισµα ανάγωγων αναπααστάσεων Εδώ όµως σταµατάµε για να παουσιάσουµε την Le άλγεβα της SΟ(3, R και να δούµε πως µποεί αυτή να µας βοηθήσει στην µελέτη της πααπάνω αναπαάστασης Στόχος µας είναι να βούµε τις ιδιοτιµές και την διάσταση των ιδιόχωων της Hamltoa 35
Κεφάλαιο Αναπααστάσεις Le αλγεβών και οι ανάγωγες αναπααστάσεις της Le άλγεβας so(4, Γενικά πεί Le αλγεβών Οισµός Έστω g ένας γαµµικός χώος επί του R και [, ]: g g g µία πάξη η οποία για κάθε A, B, C g και για κάθε λ, µ R ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες [ A, B] [ B, A] ( [ λ A+ µ B, C] λ [ A, C] + µ [ B, C], [ A, λ B+ µ C] λ [ A, B] + µ [ A, C] ( A[ B C] B [ C A] C [ A B] (,, +,, +,, Τότε η πάξη [, ] ονοµάζεται αγκύλη Le στον χώο g και το ζεύγος ( g,[, ] λέγεται άλγεβα Le επί του R ή παγµατική Le άλγεβα Αν V g ένας γαµµικός υπόχωος κλειστός ως πος την αγκύλη Le, τότε η παγµατική Le άλγεβα (,[, ] [, ] ονοµάζεται Le υποάλγεβα της ( g,[, ] και V V V V γάφουµε ( V,[, ] ( g,[, ] ή απλά V g V Παάδειγµα Έστω V ένας γαµµικός χώος επί του C και ο γαµµικός χώος ( V επί του R Στον χώο ( V οίζουµε µία αγκύλη Le [, ] ως εξής Έτσι ( ( V,[, ] [ f, g] fg gf είναι µία Le άλγεβα επί του R την οποία συµβολίζουµε µε gl( V Παάδειγµα 3 Έστω Q η γαµµική άλγεβα των quateros επί του R και {,, j, k } η βάση του χώου Q Στον υπόχωο g, j, k οίζουµε µια αγκύλη Le [, ]: g g g Q Q Q Q ως εξής [ a b], Π( a b, 36
όπου Π : Q g Q είναι η οθογώνια ποβολή του Q επί του g Q εν είναι δύσκολο να επαληθεύσουµε ότι η απεικόνιση αυτή ικανοποιεί τις ιδιότητες µίας αγκύλης Le και συνεπώς το g είναι µία Le άλγεβα επί του R, την οποία συµβολίζουµε απλά µε g Q ζεύγος ( Q,[, ] Με κάποιους στοιχειώδεις υπολογισµούς βίσκουµε ότι οι αγκύλες Le των διανυσµάτων της βάσης {, j, k } του χώου g Q ικανοποιούν τις ακόλουθες «κυκλικές» σχέσεις [, ], [, ], [, ] j k j k k j Πάγµατι αν a a+ aj+ a3k, b b + b j+ b3k g Q θα έχουµε [ a, b] ( a b a b + ( a b a b j+ ( a b a b k 3 3 3 3 και θέτοντας a, b j παίνουµε την ισότητα [, j] Παάδειγµα 4 Θεωούµε τον γαµµικό χώο πινάκων και την πάξη [, ]: C C C µε [ A, B] AB BA k Οµοίως για και τις άλλες δύο εν είναι δύσκολο να δούµε ότι η πάξη [, ] είναι µία αγκύλη Le στον C επί του R, για κάποιον N ( C,[, ] είναι µία Le άλγεβα επί του R Η Le άλγεβα (,[, ] gl ( C, C οπότε το ζεύγος C συµβολίζεται µε Με όµοιο τόπο µποούµε να οίσουµε την Le άλγεβα gl ( R, επί του R η διάσταση της οποίας είναι gl R, µικότεη δηλαδή από την διάσταση της ( C, dm (, gl που είναι gl C Θα πέπει µάλιστα να ποσέξουµε ότι ( C, dm (, επί του R και όχι επί του C gl είναι ένας γαµµικός χώος Παάδειγµα 5 Θεωούµε τώα την Le άλγεβα gl (, C και τον γαµµικό υπόχωο { C } V A A+ A και TrA gl (, C εν είναι δύσκολο να δείξουµε ότι A, B V [ A, B] V και συνεπώς ο πειοισµός [, ] [, ] είναι µία αγκύλη Le στον χώο V Πάγµατι αν A, B V, τότε [ ] [ ] V V A, B + A, B ( AB BA + ( AB BA ( AB ( BA + AB BA B A A B + AB BA BA + AB + AB BA B( A + A + A( B + B B+ A V 37
και ακόµη Την Le υποάλγεβα (,[, ] V επαληθεύσουµε ότι ([ ] Tr A, B Tr( AB BA Tr( AB Tr( BA V της gl (, C την συµβολίζουµε µε su ( Επίσης είναι απλό να su a b+ c a b c b+ c a R ( C,, και συµπεαίνουµε ότι dm su ( 3 Ακόµη το σύνολο είναι η κανονική βάση της su(,, Παάδειγµα 6 Έστω η Le άλγεβα gl (3, R και ο γαµµικός υπόχωος T { l R } W A g (3, A+ A gl (3, R Μποούµε µε απλές πάξεις να δείξουµε ότι A, B W [ A, B] W και κατά συνέπεια ο πειοισµός [, ] [, ] είναι µία αγκύλη Le στον χώο W Την Le άλγεβα (,[, ] W να δούµε ότι, so W W W την συµβολίζουµε µε so (3, R εν είναι δύσκολο c b R c a R a b c R b a 3 3 (3,,, και τώα γίνεται ποφανές ότι dm so (3, R 3 Μία βάση λοιπόν της so (3, R είναι το σύνολο,, Οµοίως οίζουµε και την Le άλγεβα so (4, R ως την Le υποάλγεβα της gl (4, R και βίσκουµε ότι so { A gl (4, R A+ A T } f e d f c b R R a b c d e f R e c a d b a 4 4 (4,,,,,, W 38
Η διάσταση λοιπόν της so (4, R είναι dm so(4, R 6 Οισµός 7 Έστω (,[, ] g g, (,[, ] h h Le άλγεβες επί του R, g h ο γαµµικός χώος ευθύ άθοισµα και η απεικόνιση [, ]: ( g h ( g h g h την οποία οίζουµε ως εξής [ A+ B, C+ D] [ A, C] + [ B, D] g h εν είναι δύσκολο να δούµε ότι η απεικόνιση [, ] είναι µία αγκύλη Le στον χώο ( g h,[, ] είναι µία Le άλγεβα επί του R Η Le άλγεβα (,[, ] άλγεβα ευθύ άθοισµα των g, h και συµβολίζεται απλά µε g h g h και g h ονοµάζεται Le Η Le άλγεβα µίας οµάδας Le Ας θεωήσουµε µία οµάδα Le G διάστασης N Έστω g G ένα τυχόν σηµείο και e το µοναδιαίο στοιχείο της οµάδας εν είναι δύσκολο να δείξουµε ότι η απεικόνιση l g : G G µε l g ( x g x είναι µία αµφιδιαφόιση µε ( l g l Πάγµατι η απεικόνιση ιg : G G G µε ι ( h g ( g, h g είναι λεία και l g µ ιg, όπου µ : G G G είναι η απεικόνιση της πάξης της οµάδας Τότε το διαφοικό της στο σηµείο e ( l : T ( G T ( G g, e e g είναι ένας ισοµοφισµός γαµµικών χώων Πειγάφοντας λοιπόν τον εφαπτόµενο χώο T ( e G της G στην µονάδα e έχουµε πειγάψει τον εφαπτόµενο χώο της στο τυχόν σηµείο g, g g, e e ( T G T ( G ( l ( Σε αυτό το κείµενο ασχολούµαστε µε Le οµάδες πινάκων και αυτή την πείπτωση το διαφοικό ( l παίνει την απλή µοφή πολλαπλασιασµού από αιστεά, όπως πειγάφουµε στο g, I ακόλουθο παάδειγµα Παάδειγµα Ας θεωήσουµε την γενική γαµµική οµάδα GL( R, και ένα στοιχείο g GL(, R Τότε για κάθε A T ( GL(, R R θα έχουµε I ( l ( A ( g A g, I j j g j x 39
Πάγµατι αν A R, τότε υπάχει λεία καµπύλη c : R GL(, c ( A Μποούµε λοιπόν να υπολογίσουµε R µε αχή το σηµείο I και d ( l g, I ( A t ( l g c( t dt d t ( l g ( c( t dt d t g c( t dt ( g c ( j j j ( g A j j x j x g j g και συνεπώς το διαφοικό ( l g, I είναι ουσιαστικά ένας πολλαπλασιασµός από αιστεά Οµοίως και για την µιγαδική γενική γαµµική οµάδα GL( C, Ο Te ( G ως γαµµικός χώος είναι εφοδιασµένος µε µία αγκύλη Le [, ], την οποία σκοπεύουµε να οίσουµε παακάτω Πώτα όµως θα µιλήσουµε για λεία διανυσµατικά πεδία σε λεία τοπολογική πολλαπλότητα Οισµός Έστω M µία λεία πολλαπλότητα διάστασης N Ένα διανυσµατικό πεδίο X στην M λέγεται λείο, αν για κάθε χάτη ( U, ( x, x,, x {,,, }, η συνάτηση a : U R η οποία οίζεται από την σχέση είναι λεία X a ( p, p U p p x ϕ στην M και για κάθε Ας θεωήσουµε µία λεία τοπολογική πολλαπλότητα M διάστασης N και X ένα διανυσµατικό πεδίο στην M Το διανυσµατικό πεδίο X µποούµε να το «δούµε» ως έναν M γαµµικό τελεστή X : C ( M, R R, όπου M R είναι το σύνολο των παγµατικών συνατήσεων οισµένων στην M, που δα στην γαµµική άλγεβα των λείων συνατήσεων C ( M, R ως εξής: Αν X T ( M είναι η τιµή του X στο σηµείο p και f C ( M, R, τότε p p X ( f ( p X ( f Οδηγούµαστε λοιπόν στον ακόλουθο χαακτηισµό των λείων διανυσµατικών πεδίων Πόταση 4 Έστω M µία λεία πολλαπλότητα διάστασης N και X ένα διανυσµατικό πεδίο στην M Τότε το διανυσµατικό πεδίο X είναι λείο αν και µόνο αν για κάθε λεία συνάτηση f C ( M, R η συνάτηση X ( f : M R είναι λεία p 4