Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα

ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες των δυο εκκρεμών αντικαθιστώντας όπου x 1 x m 1 m k 1 k k 3 Μπορούμε να γράψουμε δηλαδή: Οι λύσεις είναι της μορφής: z t ω 0 g a ω 0 k 0 m H μελέτη της κίνησης δίνει: m 1!!x 1 = k 1 x 1 + k x x 1 k 3 x (για k 1 =k 3 =k 0 m 1 =m =m) m!!x = k x 1 x m 1 0!!x 1 0 m!!x = k 1 + k k k k + k 3 Μ = z 1( t) ( t) z Κ = a 1 a eiωt = b 1e iδ1t b e iδ t a Επομένως καταλήγουμε: ω Mae iωt = Kae iωt K ω M M!!x = Kx x 1 x e iωt (μιγαδικές) Αλλά αφού έχουμε φυσικό σύστημα, η πραγματική λύση είναι το R z t

ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. Ø Έχουμε 3 πυκνωτές αντί για ελατήρια Ø Έχουμε πηνία αντί για μάζες Ø Η V L είναι ίση με V C1 V C Επομένως γράφουμε: L di a dt = Q 1 C Q C και L di b dt = Q C Q 3 C Παραγωγίζοντας ως προς t έχουμε:!! I a = I a LC + I b I a LC!! I b = I b LC I I b a LC 1 LC Αν Ι α = Ι b (συμμετρικός τρόπος), οι παραπάνω εξισώσεις δίνουν: ω 1 = Δηλαδή ο μεσαίος πυκνωτής δεν φορτίζεται ποτέ και μπορεί να αφαιρεθεί και Το ισοδύναμο κύκλωμα έχει πυκνωτές σε σειρά και πηνία σε σειρά: Αν Ι α = -Ι b τότε οι εξισώσεις δίνουν: ω = C oλ = C L oλ = L Ίδια περίπτωση με τις μάζες και 3 ελατήρια ίδιας σταθεράς K 3 LC ω = 1 LC

Το διπλό εκκρεμές Δουλεύοντας σε πολικές συντεταγμένες: Το εκκρεμές 1 έχει ταχύτητα: a 1!θ 1 a 1 ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 3 Το εκκρεμές έχει ταχύτητα: a!θ a + a 1! θ 1 Η γωνία Δθ μεταξύ των ταχυτήτων είναι: Δθ = θ θ 1 Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: U 1 = m 1 ga 1 cosθ 1 [ ] U = m g a cosθ + a 1 cosθ 1 Οι κινητικές ενέργειες των εκκρεμών είναι: T 1 = 1 m 1a 1!θ 1 = 1 m a T = 1 m a! "θ + a 1! "θ1 "θ ( + a 1 "θ 1 + a 1 a "θ 1 "θ cos Δθ ) Επομένως η Lagrangian του συστήματος γίνεται: ως προς το σημείο στήριξης L = 1 m a!θ + 1 m + m ( 1 )a 1!θ 1 + m a 1 a!θ 1!θ cos( θ θ 1 ) + + ( m 1 + m )ga 1 cosθ 1 + m ga cosθ

Το διπλό εκκρεμές ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 4 Θα μπορούσαμε να γράψουμε τις εξισώσεις κίνησης αλλά είναι περίπλοκες. Ø Θεωρώντας ότι οι γωνίες απόκλισης θ 1 και θ είναι μικρές, αναπτύσουµε κατά Taylor ως προς sinθ i και cosθ i κρατώντας τους πρώτους όρους: sinθ = θ θ 3 3! + θ 5 5!! θ cosθ = 1 θ! + θ 4 4!! 1 θ L = 1 m a!θ + 1 m + m ( 1 )a 1!θ 1 + m a 1 a!θ 1!θ cos( θ θ 1 ) + 1 γιατί θ!! μικρό + ( m 1 + m )ga 1 cosθ 1 + m ga cosθ L = 1 m a!θ + 1 ( m + m θ 1 )a 1!θ 1 + m a 1 a!θ 1!θ ( m 1 + m )ga 1 1 m ga θ αγνοώντας ( m 1 + m )ga 1 + m ga Εφαρμόζοντας τη εξίσωση Lagrange παίρνουμε τις εξισώσεις κίνησης: ( m 1 + m )a!! 1 θ 1 + m a 1 a!! θ = ( m 1 + m )ga 1 θ 1 m a 1 a!! θ 1 + m a!! θ = m ga θ Η προσέγγιση μικρών γωνιών οδήγησε σε ομογενή εξίσωση ου βαθμού και δευτεροβάθμια εξάρτηση από ταχύτητες και συντεταγμένες για Τ και U 1θ

ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 5 Το διπλό εκκρεμές Μπορούμε να γράψουμε τις δύο εξισώσεις κίνησης στην μορφή: M!! θ = Kθ ( m 1 + m )a 1 m a 1 a!! θ 1 ( m a 1 a m a!! θ = m 1 + m )ga 1 0 θ 1 0 m ga θ Ο πίνακας M δεν έχει μόνο μάζες αλλά έχει και τις ιδιότητες, αφού πολ/ζει τις επιταχύνσεις και επομένως παίζει το ρόλο της μάζας αδράνειας Ø Θεωρούμε ίσες μάζες και μήκη εκκρεμών για απλούστευση πράξεων ma 1 1 1!! θ 1!! = mga 0 0 1 θ Όπως και πριν οποιαδήποτε λύση μπορεί να γραφεί σαν το πραγματικό μέρος μιας μιγαδικής λύσης z(t) με χρονική εξάρτηση e iωt Ø Άρα θα πρέπει να ικανοποιείται η χαρακτηριστική εξίσωση: ( K ω M) = ω ω 0 ω ω ω 0 ω θ 1 θ όπου ω 0 = g a

Το διπλό εκκρεμές q Οι ιδιοσυχνότητες δίνονται από: Det K ω M Ø με λύσεις: ω = ( ± )ω 0 Ø Οι φυσικές συχνότητες είναι: ω 1 = ( )ω 0 ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 6 ω 4 4ω ω 0 + ω 0 4 q Από τις φυσικές συχνότητες βρίσκουμε τα ιδιοδιανύσματα και εποµένως τους φυσικούς τρόπους ταλάντωσης. και ω = ( + )ω 0 Ø Αντικαθιστώντας στη χαρακτηριστική εξίσωση τις ω 1 και ω έχουμε: q ω = ω 1 : ( K ω 1 M)a = ma ω ( 0 1) a 1 1 a eiωt Ø Η λύση της παραπάνω δίνει: a = a 1 Ø Τα εκκρεμή ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα και ίδια φάση q Για τη συχνότητα ω δίνει: a 1 = A e iδ t ( t) = R ae iω t ( t) θ 1 θ a = a 1 Ø Τα εκκρεμή ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα αλλά αντίθετη φάση q Γράφοντας: η κίνηση περιγράφεται από: 1 = A cos ω t δ

ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 7 Συζευγμένοι ταλαντωτές - Η γενική περίπτωση q Τα προηγούμενα παραδείγματα δείχνουν ότι για συστήματα με DoF υπάρχουν χαρακτηριστικές συχνότητες και τρόποι ταλάντωσης q Θεωρούμε ένα συντηρητικό σύστημα που περιγράφεται: Ø Από μια ομάδα από k-γενικευμένες συντεταγμένες q k Ø το χρόνο t Ø το σύστημα έχει n-βαθμούς ελευθερίας q Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια κατάσταση σταθερής ισορροπίας και ότι στην ισορροπία οι συντεταγμένες είναι: q k0. Οι εξισώσεις Lagrange ικανοποιούνται από q k = q k 0,!q k,!!q k, k = 1,,",n q Οι µή μηδενικοί όροι της μορφής d L dt!q k Ø Όλοι οι όροι αυτής της μορφής θα μηδενίζονται στην ισορροπία πρέπει να περιέχουν είτε!q k ή!!q k q Στην κατάσταση ισορροπίας, η εξίσωση του Lagrange θα γραφεί: L = T U

ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 8 Συζευγμένοι ταλαντωτές - Η γενική περίπτωση q Υποθέτουμε ότι οι εξισώσεις μεταξύ γενικευμένων και ορθογώνιων! συντεταγμένων δεν περιέχουν ακριβώς τον χρόνο: r a = r! a q 1,q,",q n L = T T ( q,!q ) = 1 U,k m k!q!q k Ø Επομένως (όπως ξέρουμε) η κινητική ενέργεια μπορεί να γραφεί: T = 1 T a m! "r a, k = 1,,!,n Όχι απαραίτητα νούμερα Μπορεί να εξαρτώνται από τις συντεταγμένες: r m k = m a, i a a q i q k0 r a, i q Αν υποθέσουμε ότι η θέση ισορροπίας είναι τέτοια ώστε Ø ενδιαφερόμαστε για μικρές μετατοπίσεις από τη θέση ισορροπίας Aνάπτυγμα Taylor: = U 0 + U q 1,q,!,q n U ( q 1,q,!,q n ) = 1 U σταθ., k = 1,,!,n U k qk q k k + 0q 1 U q q k +!,k q 0 U q q k V,k q q k = U U = 1 k V k q q k με 0,k q

ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 9 Συζευγμένοι ταλαντωτές - Η γενική περίπτωση q Ανάλογα με την δυναμική ενέργεια, αναπτύσσουμε κατά Taylor την Τ Ø Αφού δεν υπάρχει ακριβής χρονική εξάρτηση των q k και η Τ περιέχει μόνο όρους!q που είναι ου!q k βαθμού ως προς q k T ( q,!q ) = 1,k M k!q!q k Ø O όρος M k αποτελεί τον πρώτο μη μηδενικό όρο του αναπτύγματος των m k ως προς τη θέση ισορροπίας: m k Ø Αλλά ο σταθερός όρος ( q 1,q,!,q n ) = m k ( q l 0 ) + m k ( q l 0 ) m k l ql δεν μπορεί να είναι μηδέν 0 q l +! v Κρατώντας αυτό τον όρο έχουμε την ίδια τάξη προσέγγισης με το δυναμικό γιατί ο επόμενος όρος του αναπτύγματος της Τ θα δώσει όρους της μορφής!q!q k q l που είναι ανώτερης τάξης από το ανάπτυγμα της U Επομένως: M k = m k ( q l 0 )

ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 10 Συζευγμένοι ταλαντωτές - Η γενική περίπτωση Επομένως καταλήγουμε ότι για μικρές αποκλίσεις από τη θέση ισορροπίας: U = 1 V k q q k V k = U,k q T = 1 M k!q!q k M k = m k q l 0,k n n πίνακες αριθμητικών τιμών που καθορίζουν τους τρόπους σύζευξης των διαφόρων συντεταγμένων Αν M k 0 για k τότε η Τ περιέχει ένα όρο ανάλογο προς!q!q k και υπάρχει σύζευξη μεταξύ των και k συντεταγμένων. Αν ο πίνακας είναι διαγώνιος τότε Μ k 0 για = k ενώ Μ k για k τότε: T = 1 M!q Αν και o πίνακας V k είναι διαγώνιος τότε U είναι απλό άθροισμα ξεχωριστών δυναμικών ενεργειών και κάθε συντεταγμένη συμπεριφέρεται σαν να κάνει ταλαντώσεις με μια ορισμένη συχνότητα Άρα αν βρούμε ένα μετασχηματισμό συντεταγμένων που να διαγωνοποιεί τους πίνακες Μ και V τότε το σύστημα μπορεί να περιγραφεί με τον απλούστερο δυνατό τρόπο κανονικές συντεταγμένες

ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 11 Παράδειγμα προσέγγισης μικρών ταλαντώσεων Μια χάντρα μάζας m μπορεί να κινείται σε ένα λείο σύρμα που βρίσκεται στο επίπεδο x-y και το οποίο είναι λυγισμένο στο σχήμα μιας συνάρτησης y = f(x) και η οποία παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση (0,0). Να γραφεί η δυναμική και κινητική ενέργεια καθώς και η απλοποιημένη μορφή τους κατάλληλη για μικρές ταλαντώσεις γύρω από τη θέση (0,0). y 0 y = f(x) x 1 βαθμός ελευθερίας è γενικευμένη συντεταγμένη x U = mgy = mgf (x) Για μικρές ταλαντώσεις αυτό θα δώσει: U mgf x 0 Η κινητική ενέργεια θα είναι: T = 1 m (!x +!y ) = 1 m!x + dy dx + mg f ( x 0 ) + 1 mg f x 0 x U 1 T = 1 m!x 1+ f ( x) f (0) = f (x 0 ) mg f ( 0)x Από τη στιγμή που Τ περιέχει τον όρο!x μπορούμε να θέσουμε f (x) 1 m!x και για μικρές ταλαντώσεις: T = 1 m!x 1 + f (x) dx dt Άρα Τ και U έγιναν ομογενείς ου βαθμού συναρτήσεις του x και x!

ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Εξίσωση κίνησης συζευγμένων ταλαντωτών γενική περίπτωση Επιστρέφοντας στην απλοποιημένη μορφή των Τ και U, η Lagrangian γίνεται: = T (!q 1,!q,",!q n ) U ( q 1,q,",q n ) L q,!q και θα έχουμε n-εξισώσεις κίνησης της μορφής: d dt L!q i = L q i Αντικαθιστώντας τα Τ και U και παραγωγίζοντας έχουμε: T U = M i!q = V q!q i q i Η εξίσωση κίνησης γίνεται: M i!!q + V i q!q i d T U dt = T U d T q i dt!q i = U q i M i!!q + V i q γραμμικό σύστημα n-ομογενών Δ.Ε. ης τάξης Η παραπάνω εξίσωση γράφεται σε μορφή πίνακα: M!!q = Vq με q = και οι πίνακες Μ και V είναι οι ανάλογοι πίνακες Μαζών και σταθερών ελατηρίων q 1! q n

ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 13 Συζευγμένοι ταλαντωτές Γενική λύση συστήματος i(ωt δ ) Αναμένουμε λύσεις της μορφής: q (t) = a e Ø α είναι πραγματικοί αριθμοί (πλάτος) και δ η φάση Ø ω είναι πραγματικός αριθμός ü δεν είναι μιγαδικός γιατί δεν θα είχαμε διατήρηση ενέργειας Αντικαθιστώντας τη παραπάνω λύση στην εξίσωση της κίνησης έχουμε: ( V i ω M i ) a Για μη τετριμένη λύση για α θα πρέπει η ορίζουσα να μηδενίζεται: V 11 ω M 11 V 1 ω M 1 V 13 ω M 13! V 1 ω M 1 V ω M V 3 ω M 3! V 13 ω M 13 V 3 ω M 3 V 33 ω M 33! " " " # Εξίσωση n-βαθμού ως προς ω και επομένως n-λύσεις ω i Tα ω i ονομάζονται φυσικές ή χαρακτηριστικές συχνότητες Όταν μια ή περισσότερες συχνότητες είναι ίσες έχουμε εκφυλισμό Αντικαθιστώντας τιμές των ω i προκύπτουν τα ιδιοδιανύσματα a i H γενική λύση είναι υπέρθεση των λύσεων για κάθε n-τιμή της i

Εφαρμογή της γενικής λύσης Να βρεθούν οι χαρακτηριστικές συχνότητες του συστήματος ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 14 x 1 x m 1 m k 1 k 1 k 3 Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: U = 1 kx 1 + 1 k 1 ( x x 1 ) + 1 kx Υπολογίζουμε τα V k : V 11 = U x 1 0 = k + k 1 V = U x U = 1 ( k + k 1 ) x 1 + 1 ( k + k 1 ) x k 1 x 1 x 0 = k + k 1 V 1 = U x 1 x 0 = k 1 = V 1 Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: T = 1 m!x 1 + 1 m!x Αλλά είδαμε ότι: T = 1,k M k!x!x k Από την χαρακτηριστική εξίσωση παίρνουμε: k + k 1 Mω k 1 k 1 k + k 1 Mω ω = k + k 1 ± k 1 M m 11 = m = M m 1 = m 1 ω 1 = k + k 1 M ω = k M

Κανονικές συντεταγμένες ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 15 q Η γενική λύση για την κίνηση της συντεταγμένης q είναι ένας γραμμικός συνδυασμός διαφόρων όρων καθένας από τους οποίους εξαρτάται από μια ξεχωριστή συχνότητα. q Τα ιδιοδιανύσματα a r είναι επίσης ορθοκανονικά μεταξύ τους: M k a r a ks = δ rs = 0 r s,k 1 r = s q Για να αποφύγουμε το περιορισμό από την αυθαίρετη κανονικοποίηση χρησιμοποιούμε κάποιο συντελεστή κλίμακας που εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες και μπορούμε να γράψουμε την κίνηση της q (t): q (t) = r = α r a r e i ω rt δ r r β r a r e iω rt q Ορίζουμε τώρα την ποσότητα η r : έτσι ώστε: q (t) = a r η r (t) Τα η r ικανοποιούν εξισώσεις της μορφής: r όπου β r είναι ο συντελεστής κλίμακας η r = β r e iω rt κανονικές συντεταγμένες!! η r + ω r η r q Υπάρχουν n ανεξάρτητες τέτοιες εξισώσεις, και οι εξισώσεις κίνησης εκφρασμένες σε κανονικές συντεταγμένες γίνονται διαχωρίσιμες

Μεθοδολογία ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 16 q Επιλογή γενικευμένων συντεταγμένων και εύρεση των Τ και U σύμφωνα με το συνηθισμένο τρόπο των προβλημάτων με Lagrangian. U = 1 V k q q k V k = U,k q T = 1 M k!q!q k M k = m k q l 0,k q Αντικατάσταση των V k και M k σαν πίνακες n x n και χρησιμοποίηση της εξίσωσης M!!q = Vq για εύρεση των n τιμών των ιδιοσυχνοτήτων ω r q Για κάθε τιμή ιδιοσυχνότητας ω r, προσδιορισμός των λόγων α 1r :α ri :α 3r : :α nr αντικαθιστώντας στην εξίσωση: ( V i ω r M i ) a r q Αν χρειαστεί, προσδιορίζονται οι σταθερές κλίμακας β i από αρχικές συνθ. q Προσδιορισμός των κανονικών συντεταγμένων η i με κατάλληλους γραμ. συνδυασμούς των q συντεταγμένων που φαίνονται να ταλαντώνουν στην συγκεκριμένη ιδιοσυχνότητα ω i. H κίνηση για τη συγκεκριμένη κανονική συντεταγμένη ονομάζεται normal mode. Η γενική κίνηση του συστήματος είναι υπέρθεση όλων των normal modes.

Παράδειγμα ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 17 Εύρεση των ιδιοσυχνοτήτων, ιδιοδιανυσμάτων και κανονικών συντεταγμένων του συστήματος που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Υποθέτουμε ότι k 1 = k x 1 x m 1 m k 1 k 1 k 3 Στο παράδειγμα της σελ. 14 στο 1 ο βήμα βρήκαμε τα Τ και U και τους πίνακες M και V: V = k + k 1 k 1 k 1 k + k 1 και M = m 0 0 m όπου m 11 = m = m Ιδιοσυχνότητες: Χρησιμοποιώντας την χαρακτηριστική εξίσωση βρίσκουμε τις ιδιοσυχνότητες: k + k 1 mω k 1 k 1 k + k 1 mω ω = k + k ± k 1 1 m ω 1 ω = k m k + k 1 3k m m = =

Ιδιοδιανύσματα ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 18 Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα χρησιμοποιούμε την εξίσωση: ( V i ω r M i ) a r όπου α r οι συνιστώσες του ιδιοδιανύσματος a r τo οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοσυχνότητα ω r V 11 ω r M 11 V 1 M 1 a 1r ( V 1 M 1 V ω r M a r = V 11 ω r M 11 )a 1r + ( V 1 M 1 )a r ( V 1 M 1 )a 1r + ( V ω r M )a r εξισώσεις για κάθε τιμή του r, αλλά μπορούμε να βρούμε μόνο το α 1r /α r επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τη μια εξίσωση. k Για r=1, δηλαδή την 1 η ιδιοσυχνότητα: ω1 = αντικαθιστώντας τα V i, M i m έχουμε (χρησιμοποιούμε k 1 = k) : k a11 1 k ma 11 + ka1 ka11 ka 1 = 1 άρα: a m a 1 = a 11 1 (1) 1 k+k 1 =V 11 ω 1 M 11 V 1 Ανάλογα για τη η ιδιοσυχνότητα ω k + k 1 3k m m = k 3k m m a 1 + ka ka 1 ka a 1 1 = 1 άρα: a a = a 1 ()

Ιδιοδιανύσματα - Ορθοκανονικότητα ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 19 Αφού τα a 1 και a είναι ορθοκανονικά θα έχουμε:, k M k a r a ks = δ rs = M 11 a 1r a 1s + M 1 a 1r a s + M 1 a r a 1s + M a r a s M 11 r s a1 r a1 r + M1a1 rar + M1ara1 r + M arar = 1 r = Αντικαθιστώντας α r στην εξίσωση και αφού Μ 1 =0 και Μ 11 = Μ = m: M 11 a 1r a 1r + M 1 a 1r a r + M 1 a r a 1r + M a r a r = 1 r = 1, ma 11 + ma 1 = 1 s Αλλά α 11 =α 1 οπότε: ma 11 = 1 a 11 = 1 m a 1 = 1 m Κατά τον ίδιο τρόπο βάζοντας για r = έχουμε: a = 1 m a = 1 m 1 1 1 1

Κανονικές συντεταγμένες ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 0 Η γενική λύση θα είναι της μορφής: q ( t) = a r η r ( t) όπου η r t r β r e iω rt Επομένως θα έχουμε: μάζα 1: x 1 = a 11 η 1 + a 1 η = a 11 η 1 a η μάζα : x = a 1 η 1 + a η = a 11 η 1 + a η Προσθέτοντας και αφαιρώντας τα x 1 και x έχουμε: 1 η1 = ( x 1 + x ) η a = 1 ( x 1 x ) 11 a Όταν το σύστημα κινείται κάτω από ένα από τα normal modes έχουμε: η 1 = 1 ( x 1 + x ) a και η ή η = 1 ( x 1 x ) 11 a και η 1 Όταν η x 1 = x Άρα για mode 1 x 1 και x σε φάση Όταν η 1 x 1 = x Άρα για mode x 1 και x έχουν αντίθετη φάση Σημειωτέον ότι στο πρόβλημα δεν μας δίνονται αρχικές συνθήκες και επομένως δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε το β r ούτε την πλήρη λύση