Ημέθοδοςτωνμιγαδικώνμεγεθών Η επίλυση κυκλωμάτων εναλλασσομένου ρεύματος ανάγεται στην επίλυση κυκλωμάτων συνεχούςρεύματοςεάνθεωρήσουμεότιταμεγέθηv,iκαιζείναιμιγαδικοίαριθμοί.έστω ότιεφαρμόζουμετάσηv 0 sin(ωt)σταάκραενόςεξαρτήματος,οπότεαυτόδιαρρέεταιαπό ρεύμα sin(ωt + φ). Θεωρούμε τώρα την μιγαδική τάση V(t) = V 0 e iωt, δηλαδή, τέτοια ώστε V 0 sin(ωt) = Im(V). Το αντίστοιχο μιγαδικό ρεύμα γράφεται I(t) e i(ωt +φ ). Η μιγαδικήαντίστασητουεξαρτήματοςορίζεταιως Z = V I = V 0 eiωt e = V 0 e iφ = Ze iφ i(ωt +φ ) όπου Z είναιηεμπέδισητουεξαρτήματος. Μεταμιγαδικάμεγέθησεπολικήμορφήείναιπολύεύκολονακάνουμεπράξεις.Στοτέλος βρίσκουμετοαποτέλεσμάμαςπαίρνονταςτοφανταστικόμέρος. ΣτησυνέχειαδίνουμετιςμιγαδικέςαντιστάσειςτωνεξαρτημάτωνR,LκαιC,βασιζόμενοι στηνδιαφοράφάσηςμεταξύρεύματοςκαιτάσηςπουβρήκαμεσταπροηγούμενα. ΩμικήαντίστασηR:φ = 0 Z R = V 0 e 0 = R Z R = R ΠυκνωτήςC: φ = π ΠηνίοαυτεπαγωγήςL: φ = π Z C = V 0 e i π = i ωc Z C = iωc Z L = V 0 e i π = iωl Z L = iωl ΓιατηνεπίλυσηενόςκυκλώματοςACχρησιμοποιούμεμιγαδικέςαντιστάσειςγιαόλατα εξαρτήματακαιαναλύουμετοκύκλωμαωςκύκλωμασυνεχούςρεύματος. ) Γιαεξαρτήματασυνδεδεμένασε σειρά: Z = Z + Z + ) Γιαεξαρτήματασυνδεδεμένα παράλληλα: Z = Z + Z + 3) Ησυνολικήσύνθετηαντίστασητου κυκλώματοςγράφεται Z = Z 0 e iφ = Z + iz όπου εμπέδισητουκυκλώματος είναιη 4) Ηενεργόςτιμήτηςτάσηςσυνδέεταιμετηνενεργότιμήτηςέντασηςτου ρεύματοςμετηνσχέση: Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(05)
5) Ηφάσητηςτάσηςπροηγείταιτουρεύματοςκατάτηνφάση: 6) Ηκυκλικήσυχνότητασυντονισμούτουκυκλώματοςείναιεκείνηγιατηνοποία,δηλαδή. Χρήσιμεςείναιοιακόλουθεςιδιότητεςτωνμιγαδικώναριθμών:. Εάν,. Έστω.Εάν,τότε καιαντίστροφα. Παράδειγμα.ΝαβρεθείησυχνότητασυντονισμούενόςκυκλώματοςRLCσεσειρά. Ησυνολικήμιγαδικήαντίστασητουκυκλώματοςείναι: = R + iωl i ωc = R + i ωl Ηεμπέδισηείναι Ηεφαπτομένητηςδιαφοράςφάσηςμεταξύρεύματοςκαιτάσηςείναι Γιασταθερήενεργότάση,τοενεργόρεύμα γίνεταιμέγιστοότανηζ 0 γίνει ελάχιστη.αυτόσυμβαίνειστηνκυκλικήσυχνότητασυντονισμού Παρατηρήσατεότιστηνσυχνότητασυντονισμού, αντίστασηγίνεταιπραγματικόςαριθμός. καιησυνολικήσύνθετη Παράδειγμα.Ναβρεθείησυχνότητασυντονισμούτου κυκλώματος:
Z = + = Z C Z R iωc + R + iωl R + iω( R C + ω L C L) = = R + ω L Το/Ζ(άρακαιτοΖ)γίνεταιπραγματικόςαριθμόςόταν. Άρα, Παρατηρούμεότιεάνσυμβείναισχύειότι R C = L,τότετοκύκλωμααυτόδενέχει συχνότητασυντονισμού. Φίλτρασυχνοτήτων Η μέθοδος των μιγαδικών μεγεθών διευκολύνει την ανάλυση κυκλωμάτων φίλτρων συχνοτήτων. Τα κυκλώματα αυτά περιλαμβάνουν μία έξοδο, η οποία επιτρέπει την διέλευση εναλλασσομένων τάσεων μίας περιοχής συχνοτήτων ενώ παρεμποδίζει (αποκόπτει)τάσειςσεάλλεςπεριοχές. Στα επόμενα παραδείγματα, και είναι η ενεργός τιμή της τάσης εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα. Για να κατανοήσουμε την συμπεριφορά του κάθε κυκλώματος, υπολογίζουμετηναπολαβή,δηλαδή,τονλόγο. Παράδειγμα. ΚύκλωμαRCδιέλευσηςυψηλώνσυχνοτήτωνήαποκοπήςχαμηλώνσυχνοτήτων. Ησυνολικήμιγαδικήαντίστασητουκλειστούβρόχουείναι = R + iωc Άρα,ησυνολικήεμπέδισηείναι Z = R + Τοπλάτοςτηςτάσηςεισόδουείναι
Z R + καιτοπλάτοςτηςτάσηςεξόδουειναι R Άρα, = = R R + 0, (ω 0), (ω ) Άρα,τοκύκλωμαεπιτρέπειτηνδιέλευσηυψηλώνκαιαποκόπτειτηνδιέλευσηχαμηλών συχνοτήτων. Παράδειγμα. ΚύκλωμαRCδιέλευσηςχαμηλώνσυχνοτήτωνήαποκοπήςυψηλώνσυχνοτήτων. Ησυνολικήμιγαδικήαντίστασητουκλειστούβρόχουείναι = R + iωc Άρα,ησυνολικήεμπέδισηείναι Z = R + Τοπλάτοςτηςτάσηςεισόδουείναι Z R + καιτοπλάτοςτηςτάσηςεξόδουειναι Z C ωc
Άρα, = = ωc R + =, (ω 0) + ω R C 0, (ω ) Άρα, το κύκλωμα επιτρέπει την διέλευση χαμηλών και αποκόπτει την διέλευση υψηλών συχνοτήτων. Παράδειγμα3. ΚύκλωμαRLδιέλευσηςχαμηλώνσυχνοτήτωνήαποκοπήςυψηλώνσυχνοτήτων. Ησυνολικήμιγαδικήαντίστασητουκλειστούβρόχουείναι = R + iωl Άρα,ησυνολικήεμπέδισηείναι Z = R + ( ωl) Τοπλάτοςτηςτάσηςεισόδουείναι Z R + ( ωl) καιτοπλάτοςτηςτάσηςεξόδουειναι Z R R Άρα, = = R R + ωl 0, (ω ), (ω 0) ( ) Άρα, το κύκλωμα επιτρέπει την διέλευση χαμηλών και αποκόπτει την διέλευση υψηλών συχνοτήτων.
Πρόβλημα Το κύκλωμα σειράς RLC μπορεί να χρησιμεύσει σαν φίλτρο, εάν πάρουμε έξοδο από την αντίσταση.ναπροσδιορίσετετηναπολαβή. Ησυνολικήμιγαδικήαντίστασητουκλειστούβρόχουείναι = R + iωl + iωc = R + i ωl Άρα,ησυνολικήεμπέδισηείναι Z = R + ωl Τοπλάτοςτηςτάσηςεισόδουείναι Z R + ωl όπουω 0 = LC, R + ω LC ωrc ω ω R + 0 ωrc καιτοπλάτοςτηςτάσηςεξόδουειναι Z R R Άρα, ω = ω = + 0 ωrc Παρατηρούμε ότι στη συχνότητα συντονισμού, ω = ω 0, η απολαβή Vin =. Επίσης, όταν ω 0ή ω ηαπολαβή Vin 0.Άρα,τοκύκλωμαεπιτρέπειτηνδιέλευση συχνοτήτων στην περιοχή της συχνότητας συντονισμού και αποκόπτει την διέλευση τόσο τωνχαμηλώνόσοκαιτωνυψηλώνσυχνοτήτων.