Ενεργειακή Λύση για υσκαµψία Πασσάλων σε Ανοµοιογενές Έδαφος

Ενεργειακή Λύση για υσκαµψία Πασσάλων σε Ανοµοιογενές Έδαφος Energy Solution for Pile Stiffness in Inhomogeneous Soil ZΗΝΑ Α. Χ. Πολιτικός Μηχανικός, Geotechnical Engineer, Ove Arup & Partners lt, Lonon ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ Γ. E. Πολιτικός Μηχανικος, Επικ. Καθηγητής Πανεπιστηµίου Πατρών. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Παρουσιάζεται αναλυτική λύση για την δυσκαµψία ελαστικού κυλινδρικού πασσάλου σε κατακορύφως ανοµοιογενές έδαφος. Για το σκοπό αυτό προτείνεται αναλυτικό προσοµοίωµα Winler σε συνδυασµό µε ενεργειακή µέθοδο και κατάλληλες συναρτήσεις σχήµατος ανάλογες µε αυτές της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων. Παράγονται κλειστές λύσεις για την ακαµψία του πασσάλου σε: (1) µετάθεση της κεφαλής, (2) περιστροφή της κεφαλής, (3) σύζευξη µεταφοράςπεριστροφής. Μελετώνται οι παρακάτω µεταβολές εδαφικής στιφρότητας µε το βάθος: (α) παραβολική µεταβολή, (β) γραµµική µεταβολή, (γ) δίστρωτο έδαφος, και (δ) πολύστρωτο έδαφος. Τα αποτελέσµατα της µεθόδου βρίσκονται σε ικανοποιητική συµφωνία µε πιο αυστηρές λύσεις. ABSTRACT: An explicit analytical solution is presente for the lateral stiffness of an elastic pile in inhomogeneous soil. To this en, a Winler moel is propose in conjunction with an energy technique base on approximate shape functions analogous to those use in finite-element formulations. Close-form solutions are presente for the following response moes of the pile hea: (1) swaying; (2) rocing; (3) cross-swaying-rocing. The following variations of soil stiffness with epth are consiere: (a) linear; (b) parabolic; (c) two-layer; () multi-layer. Results from the metho are in goo agreement with more rigorous solutions. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η πιο εύχρηστη µέθοδος για τον υπολογισµό της δυσκαµψίας µιας πασσαλοθεµελίωσης είναι το µοντέλο Winler, στο οποίο η αλληλεπίδραση µεταξύ πασσάλου και εδάφους προσοµοιώνεται µε σειρά ελατηρίων οµοιόµορφα κατανεµηµένων κατά µήκος του πασσάλου. Παρότι προσεγγιστικό, το µοντέλο Winler είναι ευρέως αποδεκτό διότι : (1) οι προβλέψεις του είναι σε ικανοποιητική συµφωνία µε πιο αυστηρές λύσεις, (2) µπορεί εύκολα να επεκταθεί στην ανελαστική περιοχή µέσω µη-γραµµικών ελατηρίων, (3) απαιτεί µικρότερο υπολογιστικό κόπο απ ότι οι λύσεις πεπερασµένων και συνοριακών στοιχείων. Σύµφωνα µε την θεωρία Winler, η στατική ακαµψία ενός εύκαµπτου πασσάλου σε οµοιογενές έδαφος υπολογίζεται από τις σχέσεις (Hetenyi 1946, Poulos & Davis 1980): K hh = 4E p I p λ 3 K hr = 2E p I p λ 2 K rr = 2E p I p λ (1a) (1b) (1c) λ παράµετρος Winler µε διαστάσεις (Μήκος) 1 και Ε p Ι p η δυσκαµψία της διατοµής του πασσάλου. Η σταθερά λ υπολογίζεται από τη σχέση : λ= i j y 4E p I p { 1 4 (2) είναι η σταθερά ελατηρίων Winler. Η παραδοχή οµοιογενούς εδάφους αποτελεί σχεδόν πάντοτε υπεραπλούστευση της πραγµατικότητας. υστυχώς, ακόµη και στο απλοποιηµένο µοντέλο Winler, υπάρχει δυσκολία εξαγωγής ακριβών λύσεων σε ανοµοιογενή µέσα. Ανάµεσα στις λιγοστές τέτοιες λύσεις είναι αυτές των Hetenyi (1946) και Franlin & Scott (1979), οι οποίες υποθέτουν έδαφος µε στιφρότητα αυξανόµενη αναλογικά µε το βάθος. Σκοπός της παρούσας εργασίας ειναι η ανάπτυξη µιας απλής µεθόδου για τον υπολογισµό της δυσκαµψίας πασσάλου σε ανοµοιογενές έδαφος. H προτεινόµενη µέθοδος παρέχει ένα εύχρηστο εργαλείο έναντι των αριθµητικών λύσεων. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 1

2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Το υπό εξέταση πρόβληµα είναι αυτό ενός πλευρικά φορτισµένου απειροµήκη πασσάλου εµπεδωµένου σε έδαφος µεταβλητής στιφρότητας µε το βάθος. Ο πάσσαλος θεωρείται γραµµικώς ελαστική, κυλινδρική, οµοιογενής δοκός τύπου Euler-Bernoulli, µήκους L, διαµέτρου και µέτρου ελαστικότητας E p. Το έδαφος θεωρείται γραµµικώς ελαστικό υλικό, το οποίο χαρατηρίζεται από µέτρο ελαστικότητας E s και λόγο Poisson ν. Γίνεται η παραδοχή ότι ο πάσσαλος είναι εύκαµπος, συνεπώς δεν παραµορφώνεται σε όλο το µήκος του, παρά µόνο µέχρι βάθος L a, το οποίο ονοµάζεται ενεργό µήκος του πασσάλου (Poulos & Davis 1980). Για βάθη µεγαλύτερα του L a, ο πάσσαλος δεν αποκρίνεται σε φορτία στη κεφαλή, και ως εκ τούτου το ακριβές µήκος του δεν επηρεάζει την ακαµψία του. Το ενεργό µήκος εξαρτάται κυρίως από την σχετική στιφρότητα πασσάλου-εδάφους (E p /E s ) και κυµαίνεται τυπικά από 10 µέχρι 15 διαµέτρους πασσάλου. Για παράδειγµα, για πάσσαλο εµπεδωµένο σε οµοιογενές έδαφος, ο Syngros (2004) προτείνει την προσεγγιστική σχέση: L a 2.4 i j E p y E s { 0.25 (3) Στην περίπτωση εδάφους µε µέτρο ελαστικότητας αυξανόµενο αναλογικά µε το βάθος, η σχετική έκφραση είναι: L a 2.5 i j E p y E s { 0.20 (4) E s το µέτρο ελαστικότητας του εδάφους σε βάθος ίσο µε µία διάµετρο πασσάλου. Οι παραπάνω σχέσεις συγκρίνονται γραφικά στο Σχήµα 1 µε αντίστοιχες εκφράσεις από την βιβλιογραφία. Φαίνεται πράγµατι ότι για το εύρος τιµών του λόγου E p / E s µε το µεγαλύτερο πρακτικό ενδιαφέρον (100 < E p / E s < 10,000), το L a κυµαίνεται µεταξύ 10 και 15 διαµέτρων πασσάλου. L a / 40 Gaetas (1991) 30 20 10 0 Fleming et al (1985) Pener (1993) Syngros (2004) 0 E p / E s HOMOGENEOUS SOIL 50000 Σχήµα 1: Ενεργό µήκος πασσάλου: Σύγκριση διαθέσιµων σχέσεων από την βιβλιογραφία. Figure 1: Active pile length: comparison of available formulae from the literature. 3 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΣΤΙΦΡΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ ΜΕ ΤΟ ΒΑΘΟΣ Η παρούσα εργασία εστιάζει στην παρακάτω µορφή εδαφικής ανοµοιογένειας: E s HL E s 9α+H1 αl =n (5a) E s η τιµή της συνάρτησης E s () σε βάθος = και α i j E 1 s0 y n E s { σταθερά εδαφικής ανοµοιογένειας. (5b) Με την απλοποιητική (αλλά εύλογη) υπόθεση ότι η σταθερά ελατηρίων Winler είναι ανάλογη του µέτρου ελαστικότητας του εδάφους, η συνάρτηση s () γράφεται: s HL s 9α+H1 αl =n (6) s η τιµή της σταθεράς ελατηρίου σε βάθος =. Η εξίσωση (6) παρουσιάζεται γραφικά στο Σχήµα 2, συναρτήσει του αδιάστατου βάθους / για διάφορες τιµές του συντελεστή ανοµοιογένειας n. Σηµειώνεται ότι η κανονικοποίηση µε την τιµή s, δηλαδή µε την εδαφική στιφρότητα σε βάθος =, είναι εύλογη καθώς η στιφρότητα ενός πασσάλου επηρεάζεται από την αντίδραση του εδάφους σε βάθος µερικών µόνο πασσαλοδιαµέτρων από την επιφάνεια. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 2

0 α n 1.0 s ()/ s (1980) και οι Gaetas et al (1992) πρότειναν την παρακάτω απλοποίηση: δ=1.2 (9) L α / 1.0 Πιο πρόσφατα, ο Syngros (2004), πρότεινε την παρακάτω σχέση για οµοιογενές έδαφος και για πάσσαλο και πάσσαλο χωρίς δυνατότητα στροφής στην κεφαλή E p, β p n = 0 n < 1.0 n = 1 n > 1.0 Σχήµα 2: Μεταβολή της εδαφικής στιφρότητας µε το βάθος βάσει της σχέσης (6). Figure 2: Variation of soil stiffness with epth accoring to equation (6). Η σταθερά των κατανεµηµένων ελατηρίων Winler,, µπορεί να συσχετιστεί µε την εδαφική στιφρότητα ως, δ E s (7) δ αδιάστατος συντελεστής. Η παραπάνω σχέση µπορεί να θεωρηθεί πλεονεκτικότερη αυτών οι οποίες βασίζονται στο µέτρο διάτµησης καθώς: (1) το εδαφικό υλικό µπροστά από τον πάσσαλο καταπονείται κυρίως σε συµπίεση παρά σε διάτµηση, (2) έχει παρατηρηθεί από αριθµητικές λύσεις ότι οι συσχετίσεις που βασίζονται στο µέτρο του Young επηρεάζονται λιγότερο από το λόγο Poisson απ ότι αυτές που βασίζονται στο µέτρο διάτµησης (Roesset 1980, Dobry et al 1982). Για παράδειγµα, συνδυάζοντας προβλέψεις από αναλύσεις Winler και πεπερασµένων στοιχείων, οι Dobry et al (1982) πρότειναν την ακόλουθη έκφραση για τον συντελεστή δ: δ > 1.67 i j E p y E s { 0.053 (8) η οποία είναι ανεξάρτητη του λόγου Poisson. Αναφορικά µε την παραπάνω εξίσωση, σηµειώνεται ότι το δ επηρεάζεται ελάχιστα από το λόγο E p /E s. Παραδείγµατος χάριν, για λόγους (E p / E s ) = 100 και, η εξίσωση (8) προβλέπει τις τιµές δ = 1.31 και 1.16 αντίστοιχα, οι οποίες διαφέρουν µόνο κατά 10%. Βάσει αυτής της παρατήρησης ο Roesset δ > 2 i j E p y E s { 0.075 (10) Σύγκριση διαθέσιµων αλγεβρικών τύπων και αναλυτικών λύσεων γίνεται στο Σχήµα 3. Η εξίσωση που προτάθηκε από Gaetas et al (1992) χρησιµοποιείται στο υπόλοιπο αυτού του άρθρου. WINKLER PARAMETER δ 2 1 Roesset (1980) Vicente (1978) Dobry et al (1982) Vesic (1961) Mylonais (2001) Syngros (2004) 0 300 0 PILE-SOIL RELATIVE STIFFNESS E p /E s Σχήµα 3: Παράµετρος ελατηριωτής σταθεράς Winler. Σύγκριση διαθέσιµων αλγεβρικών σχέσεων από την βιβλιογραφία. Figure 3: Winler parameter δ. Comparisons of available expressions from the literature. 4.1 ΓΕΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Η εξίσωση ισορροπίας πασσάλου σταθερής διατοµής σε ελαστικό έδαφος είναι 4 Y HL 4 + 4 λ 4 Y HL = 0 1/4 () λ=λ()= 4E p I p παράµετρος Winler µε διαστάσεις Μήκος 1. (11) (12) 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 3

4.2 ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ Ε ΑΦΟΣ εν υπάρχει γενική αναλυτική λύση της εξίσωσης (11) για µεταβλητή εδαφική στιφρότητα () τυχαίας µορφής. Οι µόνες ακριβείς λύσεις που εµπλέκουν µεταβλητή στιφρότητα είναι αυτές των Hetenyi (1946) και Franlin & Scott (1979), οι οποίες περιορίζονται στην ειδική περίπτωση = s /, δηλαδή στιφρότητα αυξανόµενη αναλογικά µε το βάθος. Οι λύσεις αυτές εκφράζονται ως δυναµοσειρές απείρων όρων, οι οποίες δεν ευνοούν χρήση σε πρακτικά προβλήµατα. Μία εύχρηστη προσεγγιστική λύση για ανοµοιογενές έδαφος έχει προταθεί από τον Mylonais (1995). Η µέθοδος αυτή βασίζεται στην αντικατάσταση της άγνωστης συνάρτησης-λύσης Υ() µε προσεγγιστικές συναρτήσεις χ() και φ(), οι οποίες παρουσιάζονται γραφικά στο Σχήµα 4. Η συνάρτηση χ() αντιστοιχεί στο σχήµα παρεκτροπής του πασσάλου για µοναδιαία µετάθεση της κεφαλής υπό µηδενική περιστροφή, ενώ η συνάρτηση φ() εκφράζει το σχήµα παρεκτροπής λόγω µοναδιαίας περιστροφής της κεφαλής υπό µηδενική µετάθεση (Σχήµα 4). Στις παραπάνω εξισώσεις, η παράµετρος σχήµατος µ είναι αντίστοιχη της παραµέτρου λ της εξίσωσης (12), και λαµβάνεται προσεγγιστικά ως η µέση τιµή της λ στο ενεργό µήκος L a του πασσάλου, µ= 1 L a 0 La λ HL (14) Θέτοντας Υ() = Υ 0 χ() ή Υ 0 φ() στην εξίσωση (11), Υ 0 η µετάθεση της κεφαλής του πασσάλου, πολλαπλασιάζοντας µε φ() και ολοκληρώνοντας ως προς το µήκος του πασσάλου προκύπτει η ολοκληρωµατική σχέση: K ij = E p I p 0 L χi HL χ j HL + + 0 L HL χi HL χ j HL (15) Στην εξίσωση (15), οι δείκτες i και j αναφέρονται στους τρεις όρους ακαµψίας (µετάθεσης, λικνισµού και σύζευξης πλευρικής µετάθεσης-λικνισµού). Παραδείγµατος χάριν, όταν χ i = χ j = χ() λαµβάνεται η ακαµψία σε µετάθεση (K ij = K hh ), ενώ χρησιµοποιώντας χ i = χ j = φ() λαµβάνεται η ακαµψία σε περιστροφή (K ij = K rr ). Η ακαµψία σε σύζευξη πλευρικής µετάθεσης-λικνισµού λαµβάνεται για χ i = χ(), χ j = φ(). 5. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΥΣΚΑΜΨΙΑΣ Στην περίπτωση η σταθερά των ελατηρίων αυξάνεται αναλογικά µε το βάθος (n =1 στην εξίσωση 6), οι συντελεστές δυσκαµψίας υπολογίζονται από τις σχέσεις: Σχηµα 4: Ορισµός συναρτήσεων χ() και φ(). Figure 4: Definition of functions χ() an φ(). Για εύκαµπτους πασσάλους, οι συναρτήσεις αυτές µπορούν να προσεγγιστούν µέσω αυτών για απειροµήκη πάσσαλο σε οµοιογενές έδαφος (Scott 1981, Mylonais 1995), χ HL = µ Hsin µ+ cos µl (13a) και φ HL = µ µ sin µ (13b) K hh = E p I p µ 3 + 3 s@h1 αl +2αµD 8µ 2 (16a) K rr = 3 2 E p I p µ + 3 s@h1 αl+ 2 α µ D 8µ 4 (16b) K hr = E p I p µ 2 + s@3h1 αl +4αµD 16 µ 3 (16c) 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 4

µ= i j s y 4E p I p { 1 4 4 5 J L α N 1 AH1 αl I L α M+αE 5 4 α 5 4 1 α (17) Για παραβολική µεταβολή της τιµής των ελατηρίων µε το βάθος ξεκινώντας από µηδενική τιµή στην επιφάνεια (α = 0), οι συντελεστές ακαµψίας δίνονται από τις σχέσεις: K hh = E p I p µ 3 H5+3 nl + s 2 2 i j 1 y n µ { Γ H1+ nl i j2 H3+nL 2 + 2sinψ y µ { (18a) K rr = 3 2 E p I p µ+ s 2 H9+3nL 2 i j 1 y n µ{ Γ H1+nL i µ 3 j2 H5+nL 2 4 cosψ y { (18b) K hr = E p I p µ 2 + s 2 H9+3nL 2 i j 1 y n µ{ Γ H1+nL i µ 2 j2 H5+nL 2 4 cosψ+4 sinψ y { (18c) µ= 4 4+ n J L a N n 4 i j s y 4 E p I p { 1 4 (19a) K rr = E pi p 2 µ 3 Σ m 2 µ AIµ 4 4 λi M i=1 Hsin2 µ cos2 µl 2 Iµ 4 4 +λ i MEi HtopL (20b) K hr = E p I p m µ 2 Σ 2 µ AIµ 4 4 λi M i=1 sin 2 µ 2 Iµ 4 4 +λ i MEi HtopL i Hbot.L i Hbot.L (20c) i (top) και i (bot.) τα υψόµετρα της κορυφής και της βάσης του εδαφικού στρώµατος i αντίστοιχα. Για δίστρωτο έδαφος, οι παραπάνω σχέσεις απλοποιούνται ως εξής (Mylonais 1995): K hh = EI µ A 2 µ h 1 4 4 Iλ 2 λ1 M Hsin 2 µh 1 + cos 2 µh 1 + 2L +µ 4 4 + 3 λ 1 E (21a) K rr = EI 2 µ 3 A 2 µ h 1 4 4 Iλ 2 λ1 M Hsin 2 µh 1 cos 2 µh 1 + 2L +3 µ 4 4 +λ 1 E (21b) K hr = EI µ 2 A 2 µ h 1 4 4 Iλ 2 λ1 M Hsin 2 µh 1 + 1L+µ 4 4 +λ 1 E (21c) και ψ= π 4 H1+nL (19b) λ 1 = $%%%%%%%%%%%%%%% 4 1 4 E p I p (22a) Γ(1+n) παριστάνει την συνάρτηση Γάµµα µε όρισµα (1+n). Στην περίπτωση πολύστρωτου εδαφικού µέσου οι αντίστοιχες σχέσεις είναι (Mylonais, 1995): K hh = E pi p µ m Σ 2 µ AIµ 4 4 λi M i=1 i Hbot.L Hsin2 µ+cos2 µl 2 Iµ 4 4 +λ i MEi HtopL (20a) λ 2 = $%%%%%%%%%%%%%%% 4 2 4 E p I p και µ=a λ 1 h 1 + λ 2 HL a h 1 L L a E (22b) (23) Στις παραπάνω εξισώσεις, h 1 αντιστοιχεί στο πάχος του επιφανειακού στρώµατος. Η εξίσωση (23) ισχύει για L a > h 1. Αν το επιφανειακό στρώµα είναι παχύτερο από L a, τότε το µ λαµβάνεται ίσο µε λ 1. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 5

Ισοδύναµο Οµοιογενές Έδαφος Είναι χρήσιµο να οριστεί ένα οµοιογενές εδαφικό προφίλ µέσης στιφρότητας. Αυτό µπορεί να γίνει εύκολα µέσω της σταθεράς µ της εξίσωσης (12), η οποία είναι ανεξάρτητη του βάθους και οδηγεί στην έκφραση: K ij,hom = E p I p 0 L χi HL χ j HL + +4 E p I p µ 4 0 L χi HL χ j HL (24) ιαιρώντας τις εξισώσεις (15) και (24) προκύπτει µία αδιάστατη παράµετρος στιφρότητας: X E p I L pÿ0 χ i HL χ j HL +Ÿ L ij = 0 HL χ i HL χ j HL E p I p Ÿ L 0 χ i HL χ j HL +4E p I p µ 4 Ÿ L 0 χ i HL χ j HL (25) Στο Σχήµα (5) παρουσιάζεται γραµµικό εδαφικό προφίλ µε πεπερασµένη στιφρότητα στην επιφάνεια. Τα γραφήµατα έγιναν για τρεις διαφορετικούς λόγους µέτρων ελαστικότητας, Ε p /Ε s, και µε α να ποικίλλει από 0 µέχρι 1. Σηµειώνεται ότι µε α = 1 περιγράφεται οµοιογενές έδαφος και µε α = 0 έδαφος µε µηδενική στιφρότητα στην επιφάνεια. Η αναλυτική λύση της εξίσωσης (25) συγκρίνεται µε ακριβέστερη αριθµητική λύση βάσει του µοντέλου Winler µέσω του προγράµµατος DAP (Mylonais, 1996). Σε όλες τις περιπτώσεις η αναλυτική λύση συµφωνεί ικανοποιητικά µε την αριθµητική. Επιπλέον διαπιστώνεται ότι στον λικνισµό η κανονικοποιηµένη στιφρότητα δεν είναι ευαίσθητη στη σταθερά ανοµοιογένειας α. Το γεγονός αυτό δικαιολογείται γιατί στον συγκεκριµένο τρόπο παραµόρφωσης, ο πάσσαλος κινητοποιεί την αντίδραση του εδάφους καθ όλο το ενεργό µήκος του και έτσι η παραδοχή ενός ισοδύναµου εδαφικού προφίλ οδηγεί σε ακριβή αποτελέσµατα. Μια µέση συµπεριφορά παρατηρείται για τη σύζευξη πλευρικής µετατόπισης-περιστροφής. Η διακεκοµµένη γραµµή στο δεύτερο γράφηµα που αναφέρεται στην περίπτωση αυτή, αναπαριστά την προσέγγιση X hr = 0.35 X hh + 0.65 X rr (26a) X rr > 1.0 (26b) η οποία δηλώνει ότι η δυσκαµψία σύξευξης µετάθεσης-λικνισµού εξαρτάται σε µεγαλύτερο βαθµό από τον όρο λικνισµού παρά από εκείνον της µετάθεσης. Οι παραπάνω προσεγγίσεις επιτρέπουν τον καθορισµό της συνολικής στιφρότητας σε όλους τους τρς παραµόρφωσης µε τον υπολογισµό µόνο της δυσκαµψίας σε µετάθεση. Οι εξ. (26) έχουν υπολογιστεί για Ε p /Ε s = 0, αλλά είναι φανερό ότι ο λόγος στιφρότητας δεν τις επηρεάζει ουσιωδώς. Το Σχήµα (6) παρουσιάζει τους τρεις όρους της κανονικοποιηµένης εδαφικής στιφρότητας για εδαφικό προφίλ µε µηδενικό µέτρο ελαστικότητας στην επιφάνεια (α=0). Τα γραφήµατα αντιστοιχούν σε τρεις διαφορετικούς λόγους µέτρων ελαστικότητας, Ε p /Ε s =, 0 και 00 και δείκτη ανοµοιογένειας n από 0 µέχρι 2. Σηµειώνεται ότι n = 0 δηλώνει οµοιογενές έδαφος και n = 1 γραµµικό εδαφικό προφίλ. Η αναλυτική λύση συγκρίνεται µε την αριθµητική λύση του Mylonais (1995). Σε όλες τις περιπτώσεις και για όλες τις τιµές των λόγων µέτρων ελαστικότητας, η αναλυτική λύση βρίσκεται σε ικανοποιητική συµφωνία µε την αριθµητική. Επιπλέον διαπιστώνεται ότι στο λικνισµό η εδαφική στιφρότητα µπορεί να θεωρηθεί σταθερή για οποιαδήποτε τιµή του δείκτη ανοµοιογένειας n. Έτσι, η προσέγγιση της εξίσωσης (26b) ισχύει για οποιοδήποτε τιµή του n µεταξύ του µηδενός και του ένα. Η διακεκοµµένη γραµµή στο δεύτερο γράφηµα που αναφέρεται στην σύζευξη πλευρικής µετατόπισης-περιστροφής, αναφέρεται στις εξισώσεις (26) και παρέχει µία καλή προσέγγιση του X hr. Το Σχήµα (7) παρουσιάζει την κανονικοποιηµένη συνολική στιφρότητα για αυθαίρετο εδαφικό προφίλ και αυθαίρετο µέτρο ελαστικότητας στην επιφάνεια συναρτήσει του δείκτη ανοµοιογένειας n. Τα γραφήµατα υπολογίστηκαν βάσει αριθµητικών λύσεων από το πρόγραµα DAP (Mylonais, 1996) για λόγο µέτρων ελαστικότητας, Ε p /Ε s =. Οι λύσεις αυτές συγκρίνονται µε τις αντίστοιχες και όσες διαθέσιµες αναλυτικές. Είναι προφανές ότι υπάρχει ικανοποιητική συµφωνία σε όλες τις περιπτώσεις. Το Σχήµα (7) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον προσεγγιστικό υπολογισµό της συνολικής στιφρότητας στην επιφάνεια, για περιπτώσεις που δεν υπάρχουν διαθέσιµες αναλυτικές λύσεις. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 6

Analytical solution Numerical solution (DAP) Analytical solution Numerical solution (DAP) X hh E p /E s =00 Xhh 0 0.56 E p /E s =00 0 0.81 00 0 X hr 0.35 K hh + 0.65 K rr ( E p /E s =0 ) X hr 0.35 K hh + 0.65 K rr ( E p /E s =0 ) 00 0 0.95 X rr E so Es E s E so = 1, homogeneous soil α = ( { 1/n ) E s = 0, ero Young's Moulus E p at the surface linearly-increasing moulus X rr E so = 0 E s E s E p E s = E s ( n ) 0,25 0,00 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 inhomogeneity factor, α inhomogeneity exponent, n Σχήµα 5: Κανονικοποιηµένη εδαφική στιφρότητα για γραµµικό εδαφικό προφίλ (n=1). Σύγκριση της προτεινόµενης αναλυτικής λύσης µε ακριβή ανάλυση Winler. Οι καµπύλες σχεδιάστηκαν για Ε p /E s = 00, 0 και ; ν = 0.5, δ = 1.2 Figure 5: Normalie pile stiffness for a linear soil profile (n = 1). Comparison of the propose analytical solution with an exact Winler analysis. Curves correspon to E p /E s = 00, 0, an ; ν = 0.5, δ = 1. Σχήµα 6 Κανονικοποιηµένη δυσκαµψία πασσάλου για ανοµοιογενές εδαφικό προφίλ µε µηδενική ελαστική σταθερά στην επιφάνεια (α=0). Σύγκριση της προτεινόµενης αναλυτικής λύσης µε ακριβή ανάλυση Winler; ν=0.5, δ=1.2 Figure 6: Normalie pile stiffness for an inhomogeneous soil profile with ero elastic moulus at the surface (α = 0). Comparison of the propose analytical solution with an exact Winler analysis; ν=0.5, δ=1.2 6 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Παρουσιάστηκε προσεγγιστική αναλυτική λύση για την ακαµψία πλευρικά φορτισµένου πασσάλου σε ανοµοιογενές έδαφος. Η µέθοδος βασίζεται στο ελατηριωτό πρότυπο Winler σε συνδυασµό µε προσεγγιστικές συναρτήσεις σχήµατος για την παρεκτροπή πασσάλου, όταν η κεφαλή υπόκειται σε µετατόπιση και ροπή. Τα κυριότερα συµπεράσµατα από την εργασία είναι: 1. Η προτεινόµενη µέθοδος επιτρέπει την εξαγωγή κλειστών λύσεων, οι οποίες προσφέρουν εποπτεία στη φυσική του προβλήµατος. 2. Τα αποτελέσµατα της προτεινόµενης µεθόδου συµφωνούν µε τα αποτελέσµατα αυστηρότερων αριθµητικών λύσεων. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 7

K hh 1.0 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 α = 0 3. Η παραδοχή ισοδύναµου οµοιογενούς εδάφους µε µέσα χαρακτηριστικά είναι ρεαλιστική για τη δυσκαµψία σε λικνισµό, υπερεκτιµά όµως τη δυσκαµψία σε µετάθεση και σε σύζευξη πλευρικής µετατόπισης περιστροφής. 7. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ K hr K rr E p E so Numerical Solution (DAP) Analytical Solution Analytical Solution E s E s E s =E s [ α+ ( 1 - α) ] n 1/n α = (E so /E s ) E p /E s = 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 inhomogeneity exponent, n 0.9 0.3 0.7 1.0 0.7 0.3 α = 0 0.9 α = 0 Σχήµα 7: Κανονικοποιηµένη δυσκαµψία πασσάλου χρησιµοποιώντας το πρόγραµµα DAP. Σύγκριση µε την προτεινόµενη αναλυτική λύση. Οι καµπύλες σχεδιάστηκαν για α = 0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9, και 1.0; ν = 0.5, δ = 1.2 Figure 7: Normalie pile stiffness using computer program DAP. Comparison with the propose analytical solution; curves were obtaine for a = 0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9, an 1.0; ν = 0.5, δ =1.2 Fleming et al (1991). Piling engineering, 2 n eition, John Wiley & Sons. Franlin & Scott (1979). Beam equation with variable founation coefficient, J. Engineering Mechanics, ASCE, 105, 5, 811-827 Gaetas (1990). Founation Vibrations, in Founation Engineering Hanboo (H.Y. Fang, e.)van Nostran Reinhols, NY, pp. 553-593 Gaetas et al (1992). Seismic response of soil-pile-founation-structure systems: some recent evelopments, Piles Uner Dynamic Loas, Geotech. Sp. Publ. No34, ASCE, 56-93 Hetenyi, M. (1946). Beams on elastic founations, University of Michigan Press. Mylonais, G. (1995) "Contributions to the Static an Seismic Analysis of Piles an Pile- Supporte Brige Piers Ph.D. Dissertation, State University of New Yor. Mylonais, G. (2001). "Elastoynamic Moel for Large-iameter En-bearing Shafts", Soils & Founation, 41(3), pp.31-44 Mylonais, G. an Roumbas, D. (2001). "Lateral Impeance of Single Piles in Inhomogeneous Soil", Proceeings, Fourth International Conference on Recent Avances in Geotechnical Earthquae Engineering an Soil Dynamics, San Diego, pp. 26-31 Pener, M. (1993). "A seismic pile founation esign analysis", Bulletin of the New Zealan National Society for Earthquae Engineering, Vol. 26, No. 1, pp. 49-160 Poulos H.G. & Davis E. (1980). "Pile founation analysis an esign", John Wiley Scott R. F (1981). Founation Analysis, Prentice Hall Syngros, K (2004). Contributions to the static an seismic analysis of piles an pile supporte brige piers evaluate through case histories Ph.D. Dissertation, City University of New Yor. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 8