ΠΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΤΗΣ ΘΕΩΙΑΣ ΟΥΩΝ Εισαγωγή. Θεέιο της θεωίας που πόκειται να αναπτυχθεί στις σύντοες αυτές σηειώσεις του αθήατος της θεωίας ουών, αποτεούν οισένες κατανοές πιθανότητας διακιτών και συνεχών τυχαίων εταβητών. Λεπτοεέστατη πειγαφή των κατανοών αυτών βίσκει κανείς στο πόνηα των Johso και Koz(*). Μεταξύ των κατανοών που θα ας απασχοήσουν πειαβάνονται:. Η κατανοή Beoulli. H ιωνυική κατανοή 3. Η Γεωετική κατανοή 4. Η Κατανοή Poisso 5. H Εκθετική κατανοή. Η κατανοή Beoulli (Beoulli disibuio) Η δίτιη τυχαία εταβητή Χ ε τιές Χ και Χ και αντίστοιχες πιθανότητες P[X]q και P[X]p ακοουθεί κατανοή γνωστή ως Beoulli ε συνάτηση πιθανότητας P[X]p q -, X, Πάγατι για Χ η P[X] p q - q και για Χ η P[X]p q - p ε pq. Αν Χ τ. που ακοουθεί κατανοή Beoulli τότε η έση τιή της είναι και η διακύανση της Ε[Χ] XP[ X ] [ Χ ] [ Χ ] p
Va[X] E[X ]-{E[X]} Από την οποία ποκύπτει ότι Va[X]pq. Οι τιές, της δίτιης τυχαίας εταβητής Χ είναι τα δυνατά αποτεέσατα ενός δυαδικού πειάατος, ενός δηαδή πειάατος ε δύο δυνατά αποτεέσατα, που καούε συνήθως επιτυχία και την συβοίζουε ε Χκαι αποτυχία που την συβοίζουε ε Χ. Η εκτέεση ενός πειάατος στη δική ας γώσσα έγεται δοκιή. Στην πείπτωση δυαδικού πειάατος η δοκιή έγεται δοκιή Beoulli.. Η ιωνυική Κατανοή(Biomial disibuio) Έστω τώα δοκιές Beoulli. Μία πιθανή -άδα ονάδων και ηδενικών είναι.. (α) Υποθέτουε ότι κάθε πειαατική επανάηψη (δοκιή) γίνεται κάτω απότις ίδιες συνθήκες και συνεπώς η πιθανότητα εφάνισης ιας ονάδας πααένει σταθεή και ίση ε p.
Από τη φύση του πειάατος ποκύπτει ότι οι δοκιές είναι ανεξάτητες εταξύ τους και κατά συνέπεια η πιθανότητα εφάνισης της -άδας (α) είναι ίση ε το γινόενο των πιθανοτήτων των τιών Χ και Χ, δηαδή,.. pqqppppqpqppqpq..qp Αν στις επαναήψεις εφανίστηκαν ονάδες τότε για τη συγκεκιένη -άδα έχουε: P[X] p q -,,, Η (α) είναι ία πιθανή -άδα ε ονάδες. Το πήθος αυτών των -άδων είναι ίσο ε το πήθος των συνδυασών των ανά,! δηαδή.!( )! Άα η πιθανότητα σε δοκιές Beoulli να εφανιστούν επιτυχίες ανεξατήτως σειάς εφάνισης είναι: P[ X ] p q,,,,..., (β) Η (β) είναι η συνάτηση πιθανότητας της διωνυικής κατανοής. Για να δηώσουε ότι ία τυχαία εταβητή ακοουθεί διωνυική κατανοή γάφουε: Χ~Β(,p) Αν η τ. Χ ακοουθεί διωνυική κατανοή, τότε Ε[Χ] p και Va[X] pq. 3
3.Η γεωετική κατανοή (geomei disibuio) Μεικές φοές είναι αναγκαία η δειγατοηψία έχι την εφάνιση της πώτης επιτυχίας. Η πείπτωση αυτή απέχει από την δειγατοηψία που οδηγεί στην διωνυική κατανοή στην οποία ο αιθός των ποσπαθειών είναι σταθεοποιηένος ε τυχαίως εταβαόενη ποσότητα Χ τον αιθό των επιτυχιών. Στην πείπτωση που συζητάε, η εταβαόενη ποσότητα είναι ο αιθός των ποσπαθειών και η σταθεοποιηένη ποσότητα είναι ία επιτυχία. Ο πίνακας ποεί να βοηθήσει στην εντόπιση των διαφοών εταξύ της ιωνυικής και της υπό συζήτηση κατανοής γνωστής ε το όνοα γεωετική κατανοή. επιτυχιών Κατανοή Αιθός ποσπαθειών Αιθός ιωνυική Σταθεοποιηένος Μεταβητός Γεωετική Μεταβητός Σταθεοποιηένος 4
Ας δούε τις δύο αυτές κατανοές κάτω από το παάδειγα πωητού και πεατών ε πιθανότητα πώησης (πώησης),. Ένα από τα εωτήατα που πέπει να απαντηθούν είναι: Πόσους πεάτες πέπει να συναντήσει ο πωητής πιν επιτύχει την πώτη του πώηση; Έστω Χ ο αιθός των πεατών που θα συναντήσει ο πωητής πιν την πώτη του πώηση. Ο δειγατικός χώος της τ. Χ είναι το απείως αιθήσιο σύνοο Ω {,, }. Η διακιτή φύση του δειγατικού χώου αναδεικνύει σε διακιτή την τ. Χ.. Χειαζόαστε την συνάτηση άζας πιθανότητας της τ. Χ. (Χ) (Π ). (Χ) (Α Π ) (.9)(.) (όγω ανεξατησίας των ποσπαθειών) (Χ3) (Α Α Π 3 ) (.9) (.) Και γενικεύοντας (Χ) (.9) - (.),,, Όοι τέτοιας οφής συναντώνται σε γεωετικές σειές (γεωετικές ποόδους) το άθοισα των οποίων υποογίζεται εύκοα. Αν π.χ S 3 τότε S 3 5
Aφαιώντας έχουε, S -S οπότε ( - ) S και S ( )... Μποούε συνεπώς να αθοίσουε τις πιθανότητες της τ. Χ για όες τις τιές της στον δειγατικό χώο Ω ως εξής. ( X ) ( X ) ( X 3) (.) (.9)(.) (.9) (.)... (.)( (.9) (.9)...)... (.) (.9) όπως αναένονταν. Αυτό που είναι ιδιαίτεο στην γεωετική κατανοή είναι η δυνατότητα υποογισού του αθοίσατος των πιθανοτήτων οποιασδήποτε άνω ουάς της κατανοής, ως ακοούθως: P(Ο πωητής να συναντήσει πεισσότεους των πεατών πιν την πώτη πώηση)(χ>) (Χ)(Χ)(Χ3)... (.9) (.)(.9) (.)(.9) (.)... (.9) (.)((.9)(.9)...) (.9) (.) (.9).9 Έτσι υποογίζουε την πιθανότητα αποτυχιών και αφήνουε τις εοντικές δυνατότητες ανοικτές. Η γεωετική οικογένεια είναι ία από τις εάχιστες οικογένειες ε αυτή την χήσιη ιδιότητα. 6
Οισός. Μία διακιτή τυχαία εταβητή Χ ακοουθεί την γεωετική κατανοή αν (Χ ) (-p) - p q - p,,,3, <p< και q -p. Αν η διακιτή τυχαία εταβητή Χ ακοουθεί γεωετική κατανοή τότε Ε[Χ]/p και Va[X] q/p. Χαακτηιστικά δειγατοηψίας που οδηγεί σε γεωετική κατανοή (Samplig haaeisis leadig o a geomei disibuio) (α) Ο συνοικός αιθός ποσπαθειών Χ είναι τυχαία εταβητή (β) Υπάχουν δύο δυνατά αποτεέσατα σε κάθε ποσπάθεια αποκαούενα επιτυχία και αποτυχία (γ) Οι ποσπάθειες είναι ανεξάτητες (δ) Η πιθανότητα επιτυχίας (p) είναι σταθεή σε κάθε ποσπάθεια όπως και η πιθανότητα αποτυχίας q -p. (ε) Ο αιθός των ποσπαθειών που απαιτούνται για την εφάνιση της πώτης επιτυχίας είναι τυχαία εταβητή ε δειγατικό χώο Ω {,,3, } 7
Για να δηώσουε ότι η διακιτή τυχαία εταβητή Χ ακοουθεί γεωετική κατανοή, γάφουε: X~G(p) Παάδειγα. ίχνουε αεόηπτο δεκάεδο αιθηένο ε τους αιθούς του συνόου {,,,3,4,5,6,7,8,9}. (α) Αν τα ψηφία 3 και 7 θεωούνται τυχεά, να υποογιστεί η πιθανότητα κατά τη ίψη του δεκάεδου να εφανιστεί τυχεός αιθός. (β) Ποιά είναι η πιθανότητα να έχουε τέσσεις εφανίσεις τυχεών αιθών ετά από ίψεις του δεκαέδου; (γ) Να υποογιστεί η πιθανότητα το πώτο τυχεό ψηφίο να εφανιστεί (i) κατά την τέτατη ίψη του δεκαέδου (ii) ετά την τέτατη ίψη του δεκαέδου (α) Αν Χ η ένδειξη του δεκαέδου τότε η Χ ~ U(). Άα, (Τυχεό ψηφίο) (Χ3)(Χ7) ///5 (β) Αν Χ ο αιθός των τυχεών ψηφίων σε ίψεις τότε η Χ ~Β(,/5), ε συνέπεια 4 6 4 (Χ4) 4845(.6)(.8). 8 4 5 5 8
(γ) Αν Ζ ο αιθός των ποσπαθειών έχι την εφάνιση της πώτης επιτυχίας (δηαδή του πώτου τυχεού αιθού), τότε Ζ~Γεω(/5). (i) P(Z4) (-/5) 3 (/5).4 (ii) P(Z>4) (-/5) 4.496 Σηαντική ιδιότητα της γεωετικής κατανοής. (Sigifia popey of he geomei disibuio) Έστω Χ διακιτή τυχαία εταβητή που ακοουθεί γεωετική κατανοή πααέτου p και δύο ακέαιοι αιθοί s,. Αποδεικνύεται ότι: [ X > s X > s] [ X > ] / Απόδειξη [ X > s / X > s] q i s i q i s i s p q p q s i i q q i [ X > s X > s] [ X > s] i q [ X > ] [ X > s ] [ X > s], ( > ) Η ιδιότητα αυτή της γεωετικής κατανοής είναι γνωστή ως ιδιότητα της έειψης νήης (memoyless popey) 4. Υπεγεωετική Κατανοή (hypegeomei disibuio) Σε στένα ενός πειβοιού ζούν Ν το πήθος ψάια δύο ειδών, α από το πώτο είδος και β από το δεύτεο είδος, έτσι ώστε αβ Ν. 9
Παιδί που συνηθίζει να παίζει στο πειβόι ψαεύοντας στην στένα σκέφτεται την πιθανότητα ε την οποία στα ψάια που θα ψαέψει τα να είναι από το είδος α; Σχηατικά οι συνθέσεις του πηθυσού των ψαιών της στένας και του δείγατος δίνονται ε την βοήθεια του πίνακα: ΕΙ ΟΣ (α) ΕΙ ΟΣ (β) ΣΥΝΟΛΟ ΣΤΕΝΑ α β Ν (ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ) ΕΙΓΜΑ - Τα ψάια του πώτου είδους (α) ποούν να ψαευτούν κατά a τόπους και τα - ψάια του δεύτεου είδους κατά β τόπους. Το σύνοο των ψαιών ανεξατήτως είδους ποούν να πιαστούν κατά N τόπους. Έτσι κατά a β τόπους ποούν να πιαστούν ψάια από το πώτο είδος και - ψάια από το δεύτεο είδος. οθέντος ότι αυτοί οι τόποι είναι ο συνοικός αιθός ευνοικών πειπτώσεων, έχουε ότι η πιθανότητα σε σύνοο ψαιών τα να είναι από το πώτο είδος δίνεται από την ( X ) a β, N
στην οποία ], mi[ ], ma[ a β και α,β, πααέτους της κατανοής. Η τ. Χ συβοίζει και πάι τον αιθό των επιτυχιών σε επανααβανόενες δοκιές αά η πιθανότητα επιτυχίας από δοκιή σε δοκιή δεν πααένει σταθεή όπως στις πειπτώσεις των ποηγούενων κατανοών. Η κατανοή που όις πειγάψαε είναι γνωστή ε το όνοα υπεγεωετική κατανοή. Η ( ) N a X β είναι κατάηη συνάτηση άζας πιθανότητας αφού, (i) P(X) > και (ii) ( ) N N N a a N N a X β β β, ε την χήση της ταυτότητας του Cauhy. Αν η τυχαία εταβητή Χ ακοουθεί υπεγεωετική κατανοή τότε: E[X] N a και Va[X] N N N N a β Παάδειγα 3.
Ένα από τα ποβήατα που ποούν να αντιετωπιστούν ε την χήση της υπεγεωετικής κατανοής είναι η εκτίηση του πηθυσού άγιων ζώων ή ζώων που ζούν εεύθεα σε συγκεκιένη πειοχή, όπως είναι τα δάση, οι ίνες, οι θαάσσιες πειοχές τα βουνά κ..π. Με την υπόθεση ότι κατά την φάση της δειγατοηψίας ο πηθυσός από τον οποίο ποέχεται το δείγα είναι σταθεός επιτέπεται η χησιοποίηση της εθόδου apue-eapue. Σύφωνα ε τη έθοδο αυτή συαβάνονται α το πήθος ζώα τα οποία αφού σηαδευτούν ε κάποιο τόπο (χωατισό, ταπέα, κ.α) αφήνονται εεύθεα. Μετά από πάοδο χονικού διαστήατος ικανού για την επάνοδο των ζώων στον χώο ζωής τους και την ανάειξή τους ε τα υπόοιπα ζώα, γίνεται νέα δειγατοηψία ζώων, στα οποία ετιέται ο αιθός των σηαδεένων ζώων. H τ. Χ ακοουθεί υπεγεωετική κατανοή ε συνάτηση πιθανότητας ( X ) a N a N ε την υπόθεση ότι η πιθανότητα eapue δεν εξατάται από το αν το ζώο είναι σηαδεένο ή όχι. Για την εκτίηση του συνοικού εγέθους Ν του πηθυσού των ζώων, επιέγουε την τιή εκείνη του Ν που εγιστοποιεί την
πιθανότητα (Χo) να παατηήσουε αυτό που πάγατι έχουε παατηήσει. Η τιή που εγιστοποιεί την (Χo) είναι Ν a o όπου ο ο αιθός των σηαδεένων zώων στο δείγα εγέθους. Η εκτίηση ιας άγνωστης ποσότητας, όπως η Ν από την τιή που εγιστοποιεί την πιθανότητα να παατηήσουε ότι έχουε στην πάξη παατηήσει, καείται έθοδος έγιστης πιθανοφάνειας και θα εετηθεί αγότεα επτοεώς. Αν οιπόν ο αιθός των ζώων που σηαδεύτηκαν είναι α και στο σύνοο 34 βέθηκαν o 4 σηαδεένα ζώα τότε από τον τύπο Ν 34 a είναι η εκτίηση έγιστης πιθανοφάνειας του o 4 εγέθους Ν του πηθυσού των ζώων. 3
Simeo.D. Poisso (78-84) Σπούδασε Μαθηατικά στην Eole Polyehique του Παισιού ε δασκάους τον Laplae (78-84)και τον Lagage. Από το 8έως το 88 δίδαξε στην Eole Polyehique και το 89 ανέαβε την έδα των καθαών Μαθηατικών. Το 837 σε δηοσίευσή του ε θέα τις πιθανότητες πωτοεφανίζεται η κατανοή Poisso. H κύια συνεισφοά του είναι ία σειά εγασιών για τα οισένα οοκηώατα και τις σειές Fouie 4
5. Η Κατανοή Poisso (Poisso disibuio) Κατά τον υποογισό διωνυικών πιθανοτήτων αντιετωπίζουε ποές φοές το πόβηα του υποογισού των διωνυικών συντεεστών της οφής,,,,..., όταν το είναι εγάο και το όχι πού κοντά στο ηδέν ή στο. Στην πείπτωση αυτή οι τιές των συντεεστών είναι εγάες ε συνέπεια ο υποογισός των πιθανοτήτων να γίνεται δύσκοος. ( Χ ) p ( p),,,,..., Κατά το έτος 837 ο Simeo.D. Poisso αναγνωίζοντας την δυσκοία αυτή εέτησε την διωνυική κατανοή και διαπίστωσε ότι στην πείπτωση κατά την οποία, το είναι πού εγάο ( ) η πιθανότητα επιτυχίας p είναι πού ική (p ) το γινόενο p συγκίνει σε ένα σταθεό αιθό > τότε, ποεί να βεθεί έεση έθοδος υποογισού των διωνυικών πιθανοτήτων όπως ποκύπτει από το οιακό θεώηα που δηοσίευσε. 5
6 Θεώηα. Αν η τ. Χ ακοουθεί διωνυική κατανοή Β(,p) ε συνάτηση πιθανότητας ( ) ( ) p p,,,...,, Χ και, p και p >, τότε, ( ) e,,,...,,! lim Χ Απόδειξη. Θέτοντας p έχουε, p και q p - οπότε, [ ] Χ παίνοντας το όιο του έχουε: [ ] ( )( ) ( )!! lim!...! lim lim lim e e X Η οιακή έκφαση που υποογίστηκε έχει τις ιδιότητες ιας συνάτησης πιθανότητας αφού για όα τα,,,, είναι ή ανητική και επιπέον ισχύει ότι:!! e e e e Η κατανοή ε την πααπάνω συνάτηση άζας πιθανότητας είναι γνωστή ως κατανοή Poisso.
Αν η τυχαία εταβητή Χ ακοουθεί κατανοή Poisso, δηαδή αν Χ~P() τότε, Ε[Χ] και Va[X]. Η κατανοή Poisso είναι η όνη γνωστή κατανοή ε Ε[Χ]Va[X]. Ιδιότητες της κατανοής Poisso (Popeies of he Poisso disibuio) I. Αν η τ. Χ ακοουθεί κατανοή Poisso πααέτου τότε, Ε[Χ] Va[X]. II. Οι εγάης τάξης οπές της P() είναι πουώνυα Touhad ως πος 3 III. Η επικατούσα τιή ιας Poisso τ. Χ ε R ισούται ε το ακέαιο έος του, δηαδή ε []. όταν Z οι επικατούσες τιές είναι και -. IV. Αν X ( ), ε Χ i ανεξάτητες τ. τότε, η τ., i ~ i Υ X i i ~ i δηαδή το άθοισα i ανεξάτητων κατά Poisso κατανεόενων τυχαίων εταβητών ε παάετο i ακοουθεί Poisso κατανοή ε παά ετο ίση ε το άθοισα των πααέτων i. 7
V. H πγσ της κατανοής Poisso ε παάετο, είναι: Ε e [ e ] e [, ] e e ( e ).! VI. H ης τάξης πααγοντική οπή της Poisso P() είναι ίση ε. Σηαντική Παατήηση. Γνωίζουε από τα όσα έχουν ποηγηθεί ότι αν η τ. Χ~() και η παάετος είναι ο έσος υθός αφίξεων «εφανίσεων» ανά ονάδα χόνου, τότε η πιθανότητα να έχουε εφανίσεις ανά ονάδα χόνου δίνεται από την [ Χ ] e! έτσι αν η τ. Χ~(3) (δηαδή 3) τότε η [ Χ ], 4 3 e! Τί ποούε να πούε για ένα > όπου χόνος διάφοος της χονικής ονάδας. Στην πείπτωση αυτή έχουε ία τυχαία εταβητή X που ακοουθεί κατανοή Poisso ε Ε[Χ ]. H P[X ] ( )! Aν και πάι 3 εφανίσεις ανά ώα, είναι η τιή της e 3 πααέτου ανά χονική ονάδα (ώα) τότε η πιθανότητα ηδενικών εφανίσεων σε mi (/3 της ώας) είναι: ( 3 ) 3 3 e [ ] 3 X e,3679 αφού 3(/3).! 8
Στοχαστική ιαδικασία (Sohasi poess) Με τον όο διαδικασία αναφεόαστε σε κάθε φυσικώς ή τεχνητώς εφανιζόενη εταβοή ιδιοτήτων ή χαακτηιστικών ενός συστήατος ή ενός αντικειένου. Αν η διαδικασία σε κάθε της βήα (φάση) διέπεται από πιθανότητες τότε ονοάζεται στοχαστική. Πααδείγατα αποτεούν το στίψιο ενός νοίσατος, η διάδοση ενός νοσήατος (επιδηία), η οή της κυκοφοίας, ο τυχαίος πείπατος, η κίνηση Bow, η κοινωνική κινητικότητα κ..π. Κατάηα οντέα πειγαφής και εέτης τέτοιων φαινοένων αποτεούν οι στοχαστικές διαδικασίες. Μαθηατικός οισός της στοχαστικής διαδικασίας (Mahemaial defiiio of a sohasi poess) Ο Doob (996) οίζει ία στοχαστική διαδικασία ως ία οικογένεια τυχαίων εταβητών δηαδή ως την οικογένεια {Ν(), T}. Για τις ανάγκες ας το είναι χόνος. Ας υποθέσουε τώα ότι η Ν() ως τυχαία εταβητή ακοουθεί κατανοή Poisso ε συνάτηση πιθανότητας την [ Ν () ] e ( )!,,,,... Για χονικό διάστηα (, δ) εύους δ η πιθανότητα η τυχαία εταβητή Ν() να είναι ίση ε είναι : 9
[ N( δ) ] e δ ( δ) δ e -! δ ( δ)! -δo(δ) και η πιθανότητα της Ν() να είναι ίση ε είναι: [ N ( δ ) ] e δ ( δ ) ( δ )! δ δ! δ o ( δ ) Παατηούε ότι η πιθανότητα σε διάστηα εύους δ η τ. Ν() να πάει τιή εγαύτεη ή ίση του είναι πακτικά ηδέν. Πάγατι: [ Ν( δ) ] [ Ν( δ) ] [ Ν( δ) ] e δ δe δ ( δ)! o ( δ) Αν τώα η Ν() ακοουθεί κατανοή Poisso και συβοίζει τον αιθό των αφίξεων πεατών σε ένα σύστηα αναονής, τότε από τα πααπάνω ποκύπτουν τα ακόουθα.. H πιθανότητα ηδενικών αφίξεων σε διάστηα εύους δ ισούται ε -δ.. H πιθανότητα ιάς και όνο άφιξης σε διάστηα εύους δ ισούται ε δ 3. Η πιθανότητα πεισσοτέων της ιάς αφίξεων σε διάστηα εύους δ ισούται ε ο(δ). Όταν οιπόν αναφεόαστε σε αφίξεις που ακοουθούν κατανοή Poisso τότε σε διάστηα εύους δ δεν ποούν να εφανιστούν πεισσότεες της ιάς αφίξεις.
Αν η Ν() είναι στοχαστική διαδικασία και ακοουθεί κατανοή Poisso τότε η Ν() είναι στοχαστική διαδικασία Poisso. Η τυχαιότητα των αφίξεων κατά Poisso ποσδίδει τυχαιότητα και στους εταξύ των αφίξεων χόνους. Έτσι ο εταξύ των αφίξεων χόνος είναι τυχαία εταβητή. Το εώτηα που παίνει είναι: Πώς κατανέεται αυτή η τυχαία εταβητή; Η κατανοή του χόνου εταξύ αφίξεων (The disibuio of ieaival ime) Υποθέτουε ότι η Ν() ακοουθεί κατανοή () όπου είναι ο έσος αιθός αφίξεων ανά ονάδα χόνου και ότι η τ. W είναι ο χόνος αναονής έως την εφάνιση της επόενης άφιξης. Τα ενδεχόενα {W>} και {Ν() } είναι ισοδύναα και τούτο διότι, το πώτο ενδεχόενο οίζει χόνο αναονής έως την εφάνιση της επόενης άφιξης εγαύτεο του και το δεύτεο ενδεχόενο οίζει ηδενικές αφίξεις στο διάστηα (,). Άα, ( W > ) ( N ( ) ) ( ) e! e Συνεπώς η συνάτηση κατανοής είναι: F ( ) P ( W < ) e Και η συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: f () df d () e, >
στην οποία αναγνωίζουε τη σ.π.π της εκθετικής κατανοής ε υθό. Έτσι ο χόνος W εταξύ αφίξεων Poisso κατανέεται εκθετικά ε έσο Ε[W]/ και διακύανση Va[W]/. Πεισσότεα στις στοχαστικές διαδικασίες Είδαε ποηγουένως ότι ο οισός κατά Doob της στοχαστικής διαδικασίας είναι, κάθε οικογένεια τυχαίων εταβητών {X(), Τ },ε συνέπεια για κάθε του συνόου Τ η Χ() να είναι τυχαία εταβητή. Σε ότι ακοουθεί παατίθενται τα είδη των στοχαστικών διαδικασιών (σ.δ) που θα ας απασχοήσουν καθώς και οισένες από τις ιδιότητές τους. Αναόγως της φύσης του συνόου Τ έχουε τα ακόουθα είδη σ.δ. ιακιτή σ.δ (Disee sohasi poess) Αν το σύνοο Τ είναι αιθήσιο τότε η στοχαστική διαδικασία {X(), Τ }, είναι διαδικασία διακιτής πααέτου ή διαδικασία διακιτού χόνου.. Συνεχής σ.δ (Coiuous sohasi poess) Αν το σύνοο Τ είναι ή αιθήσιο τότε η στοχαστική διαδικασία {X(), Τ }, είναι διαδικασία συνεχούς πααέτου ή διαδικασία συνεχούς χόνου.
3. Σ. δ. ανεξάτητων ποσαυξήσεων (Sohasi poess of idepede iemes) Μία στοχαστική διαδικασία {X(), Τ }, είναι στοχαστική διαδικασία ανεξάτητων ποσαυξήσεων αν για κάθε επιογή,,...,,,3,... και < <... < οι τυχαίες εταβητές X ( ) X ( ), X ( ) X ( ),..., X ( ) X ( ) είναι ανεξάτητες. 4. Στοχαστική διαδικασία οογενών ποσαυξήσεων (Sohasi poess of homogeeous iemes) Μία στοχαστική διαδικασία {X(), Τ }, είναι στοχαστική διαδικασία οογενών ποσαυξήσεων αν για κάθε s,, s < η κατανοή της τ. X()-X(s) εξατάται όνο από τη διαφοά -s. 5. Συνάτηση κατανοής της στοχαστικής διαδικασίας (disibuio fuio of a sohasi poess) Η από κοινού συνάτηση κατανοής F,,...,,,..., ) των ( τυχαίων εταβητών X ), X ( ),..., X ( ) που οίζεται από τη σχέση ( F,,...,,,..., ) P X( ),..., X( ) } ( { είναι η συνάτηση κατανοής της διαδικασίας {X(), Τ }. 6. Συνάτηση έσης τιής (The fuio of he mea value) 3
Αν {X(), Τ }, στοχαστική διαδικασία, η συνάτηση () Ε( X ( ) ) Τ, είναι η συνάτηση έσης τιής της διαδικασίας. 7. Συνάτηση συνδιακύανσης (The ovaiae fuio) Αν {X(), Τ }, στοχαστική διαδικασία, η συνάτηση X ( s, ) Cov { X ( s ), X ( )} E [ X ( s ) X ( )] E [ X ( s )] E [ X ( )] ε s, έγεται συνάτηση συνδιακύανσης της διαδικασίας. Από τον οισό της X ( s, ) ποκύπτει ότι σ X () V ( X ( )) (, ) X και X ( s, ) (, s) s, X 8. Συνάτηση συσχέτισης (The oelaio fuio) Αν {X(), Τ }, στοχαστική διαδικασία, η συνάτηση X X ( s, ), ( X( s), X( )), s, σ ( s ) X () s σ () είναι η συνάτηση συσχέτισης της διαδικασίας. 9. Ισχυώς στάσιη διαδικασία (Sogly saioay poess) Η στοχαστική διαδικασία {X(), Τ }, έγεται ισχυώς στάσιη αν η από κοινού συνάτηση κατανοής των τυχαίων εταβητών X X ( ), X ( ),..., X ( ) 4
συπίπτει ε την από κοινού συνάτηση κατανοής των τυχαίων εταβητών X h), X( h),..., X( ) για κάθε h> και ( h για κάθε -άδα,...,.. Ασθενώς στάσιη διαδικασία (Wealy saioay poess) Η στοχαστική διαδικασία {X(), Τ }, έγεται ασθενώς στάσιη αν E ( X( )) δηαδή αν η συνάτηση έσης τιής είναι ανεξάτητη της εταβητής και ( s ) ( s) X (, h) ( h) h > X X X X, ή ισοδύναα Για ασθενώς στάσιη διαδικασία η V(X()) (). Κάθε ισχυώς στάσιη στοχαστική διαδικασία είναι ασθενώς στάσιη. X Πεισσότεα για την σηαντική στοχαστική διαδικασία Poisso Η ιαδικασία Poisso (Poisso poess) Το οντέο που αναπτύσσεται αποτεεί σηαντική στοχαστική διαδικασία που χησιοποιείται ως αθηατικό οντέο σε ευεία κίακα επειικών φαινοένων, συπειαβανοένων των τηεφωνικών κήσεων που φθάνουν σε συγκεκιένο τηεφωνικό κέντο, των εκποπών αδιενεγών σωατιδίων από αδιενεγό πηγή, των ατυχηάτων που συβαίνουν σε ναυπηγοεπισκευαστικές ονάδες, των ατυχηάτων που συβαίνουν σε συγκεκιένη 5
διάβαση πεζών, των αφίξεων πεατών σε συστήατα παοχής υπηεσιών κ..π. Υποθέτουε ότι τυχαία σηειακά ενδεχόενα εφανίζονται εονωένα στο χόνο έσα από την ακόουθη διαδικασία. εχόαστε την ύπαξη σταθεής ποσότητας > ε ονάδες [χόνος] την οποία καούε υθό εφάνισης. Αν Ν(, ) είναι ο αιθός των ενδεχοένων στο διάστηα (, ] υποθέτουε ότι: έτσι ώστε : { Ν(, ) } - o ( ) () { Ν(, ) } o ( ) () { Ν(, ) > } o ( ) (3) όπου, o ( ) συβοίζει συνάτηση που τείνει στο ηδέν ταχύτεα από την. Υποθέτουε επί πέον ότι η Ν(, ) είναι ανεξάτητη των εφανίσεων στο διάστηα (, ]. Μια στοχαστική διαδικασία σηειακών ενδεχοένων που ικανοποιεί τις συνθήκες -3 καείται διαδικασία Poisso υθού. Η τεευταία συνθήκη είναι ακιβής συνθήκη τυχαιότητας, ενώ η συνθήκη (3) υπογαίζει την εονωένη εφάνιση των ενδεχοένων. 6
Το αετάβητο της σταθεάς, εξασφαίζει την έειψη οποιασδήποτε τάσης (χονικής) ή άης συστηατικής εταβητότητας του υθού εφάνισης. ύο σηαντικές ιδιότητες της διαδικασίας Poisso είναι οι ακόουθες: (a) Ο αιθός των ενδεχοένων σε κάθε χονικό διάστηα (,h] έχει κατανοή Poisso ε έσο h. Ειδικά, η σταθεά είναι ο αναενόενος αιθός ενδεχοένων ανά ονάδα χόνου. (b) Το διάστηα από την χονική στιγή έως την εφάνιση του πώτου ενδεχοένου, καθώς και τα διαστήατα εταξύ διαδοχικών ενδεχοένων κατανέονται ανεξατήτως ε την εκθετική κατανοή (σ.π.π) f() e ( > ) (4) H οφοποίηση της διαδικασίας Poisso γίνεται ε την χήση των συνθηκών ()-(3) ως ακοούθως: ιαιούε την κίακα των χόνων σε πεπεασένα διαστήατα ήκους τέτοια ώστε <<, ας πούε <,. Χησιοποιώντας τον πίνακα των τυχαίων αιθών, εέγχουε για κάθε διάστηα (, () ) αν (α) ένα ενδεχόενο εφανίζεται ε πιθανότητα : (β) δεν εφανίζεται ενδεχόενο ε πιθανότητα : - 7
Η πιθανότητα ποαπών εφανίσεων έχει αποκειστεί και η επιογή του εξατάται από την ακίβεια ε την οποία θέουε να εετήσουε τη συπειφοά της διαδικασίας. Τα θεωήατα που ακοουθούν θα βοηθήσουν στην κατανόηση της συπειφοάς της διαδικασίaς Poisso. Θεώηα.. Εστω Ν() ο αιθός των ενδεχοένων που συβαίνουν στο διάστηα (,). Υποθέτουε ότι Τότε Απόδειξη: (i) P{N( )-N()} } o( ) (ii) P{N( )-N()} } o( ) (iii) Οι εταβητές N ( ) N( ) N( ) N( ), 4 3 ε < < <, είναι ανεξάτητες. 3 4 ( ) P{ N( ) } e,,,,...! ιαιούε το διάστηα (,) σε εγάο αιθό ίσων διαστηάτων ήκους /. Υποθέτουε ότι σε κάθε διάστηα παγατοποιείται είτε ένα ενδεχόενο ε πιθανότητα 8
p ο( ) () είτε κανένα ενδεχόενο ε πιθανότητα -p- -ο( ) ( ) Η πιθανότητα εφάνισης δύο ή πεισσοτέων ενδεχοένων σε διάστηα ήκους είναι αεητέα. Συνέπεια των πααπάνω είναι η τ. Ν() να κατανέεται στο διάστηα (,) διωνυικά ε πααέτους και p. Άα, { Ν() } p ( p),,,,..., () Αν, τοτε, p και η διωνυική πιθανότητα είναι: ( ) P{ N( ) } e,,,,...! (3) Πάγατι: Μετά τις υποθέσεις η σχέση () γίνεται: P!!( )! { N( ) },,,..., όταν το τότε: lim! P{ N() } lim! ( )! ( )( )...( )( ) ( ) ( ) lim! στην οποία αναγνωίζεται η κατανοή Poisso.! e! e,,,,... 9
Θεώηα: Άν { N () }, { N ( ), } οογενείς ανεξάτητες διαδικασίες, Poisso ε Ε [ ( ) ] Ε[ N () ] τότε η διαδικασία N, [ N () N () N (), ] είναι οογενής διαδικασία Poisso ε 3 Ε ( N () ) ) 3 ( Απόδειξη: Η διαδικασία [ N () N () N (), ] είναι οογενής διαδικασία 3 Poisso ε ανεξάτητες ποσαυξήσεις και N ( ). Για ή ανητικά s και έχουε: P 3 { N 3( s) N 3 ( s) } P{ [ N( s) N ( s) ] [ N( s) N ( s) ] } P{ [ N( s) N( s) ] [ N ( s) N ( s) ] } P{ N( s) N( s) } P{ N ( s) N ( s) } e e ( ) ( ) e! ( )! ( ) [( ) ]! e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!! ( )! ( ) ( )!!... Άα η διαδικασία [ N () N () N ( ), ] είναι οογενής διαδικασία 3 Poisso ε Ε ( N () ) ). Θεώηα 3. 3 ( Άν { N () }, { N ( ), } οογενείς ανεξάτητες διαδικασίες, Poisso ε Ε [ ( ) ] Ε[ N () ] τότε N, { N () N () N () },,,..., 3
3 Απόδειξη Από τον οισό της δεσευένης πιθανότητας έχουε () () () { } ( ) ( ) ( ) { } () () { } () () { } () () { } () { } ( ) { } () () { } N N P N P N P N N P N N P N N P N N N P N N N,, Από το ποηγούενο θεώηα () έχουε : () () { } ( ) ( ) [ ]! e N N P εποένως, () () () { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] e e e N N N P,,...,,!!! Θεώηα 4. Αν { } ), ( N οογενής διαδικασία Poisso ε N E )] ( [ και W ο χόνος αναονής έως την εφάνιση του - ου ενδεχοένου, τότε οι τυχαίες εταβητές W W T είναι ανεξάτητες και ακοουθούν εκθετική κατανοή ε συνάτηση κατανοής ( ), τ τ τ e F Απόδειξη H διαδικασία { } ), ( N έχει ανεξάτητες ποσαυξήσεις και ως εκ τούτου οι τυχαίες εταβητές W W T είναι ανεξάτητες, άα: ( ) { } y W W W P T F τ τ αά η δεσευένη πιθανότητα δεν επηεάζεται από την συνθήκη y W και δεδοένου ότι τα ενδεχόενα { w W > } και { ( ) w N < }είναι ισοδύναα έχουε:
3 ( ) { } y W W W P T F τ τ ( ) ( ) { } { } ( ) { }, ) ( ) ( > τ τ τ τ τ e N P y N y N P y N y N P που σηαίνει ότι οι ανεξάτητες εταβητές W W T ακοουθούν εκθετική κατανοή πααέτου. Θεώηα 5. Αν () { }, N οογενής διαδικασία Poisso ε Ε[Ν()] και W ο χόνος αναονής έως την εφάνιση του -ου ενδεχοένου, τότε η συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας ( ) w f της W είναι ( ) ( ) ( ),! w w e w f w Απόδειξη Αν ( ) w F η συνάτηση κατανοής της W,τότε ( ) { } { } ( ) { } ( ) { } ( )! w e w N P w N P w P W w P W w F w < > (4) Πααγωγίζοντας την (4) ως πος w βίσκουε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),!!! '!! ' w w e w w e w e w e w w w w δηαδή, ( ) ( ) ( ) ( ),! w w e w F dw d w f w (5) Θεώηα 6. Αν () { }, N οογενής διαδικασία Poisso ε Ε[Ν()] και s < τότε
P s s { N() s N() },,,,..., (6) Απόδειξη Η διαδικασία { N (), } έχει ανεξάτητες ποσαυξήσεις και συνεπώς οι τυχαίες εταβητές Ν(s)-N()N(s) και N()-N(s) είναι ανεξάτητες. Η δεσευένη πιθανότητα P { N( s ) N( ) } P { N( s), N( ) } P{ N( ) } P{ N() s } P{ N( ) N( s) } P{ N() } P { N( s), N( ) N( s) } P{ N() } Άα: P { N() s N( ) } ( s) ( s ) [ ( s) ] e! ( )! ( ) s e s s,,,..., e! ε συνέπεια η δεσευένη κατανοή (6) να είναι η διωνυική κατανοή ε πααέτους, p s/. Θεώηα 7. Έστω { N(), } οογενής διαδικασία Poisso ε Ε[Ν()] και έστω ότι κατά τη διάκεια του χονικού διαστήατος (,) συνέβη ενα ακιβώς ενδεχόενο. Αν η τ. W συβοίζει το χόνο παγατοποίησης αυτού του ενδεχοένου τότε 33
w P { W w N( ) }, w < (7) Aπόδειξη Η διαδικασία { N (), } έχει ανεξάτητες ποσαυξήσεις και συνεπώς οι τυχαίες εταβητές Ν(w)-N()N(w) και N()-N(w) είναι ανεξάτητες. Άα: P { } { W w, N( ) } w N( ) P{ N( ) } P{ N( w) } P{ N( ) N( w) } we P{ N( ) } e P W P e { N( w) N(), N( ) N( w) } P{ N( ) } w ( w) w, w < Θεώηα 8. Έστω { N(), } οογενής διαδικασία Poisso ε Ε[Ν()]. Υποθέτουε ότι κατά τη διάκεια του χονικού διαστήατος (,) συνέβησαν ενδεχόενα. Αν η τ. W συβοίζει το χόνο αναονής έως την εφάνιση του ενδεχοένου, τότε { w N( ) } (8) P W w w Απόδειξη Η διαδικασία { N (), } έχει ανεξάτητες ποσαυξήσεις και συνεπώς οι τυχαίες εταβητές Ν(w)-N()N(w) και N()-N(w) είναι ανεξάτητες. 34
35 { } { } { } ( ) { } { } { } { } { } ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) w w w w e w e w e N P w N N P w N P N P w N N w N P N P N w P W N w P W!!! ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) (, ) ( Θεώηα 9. Έστω () { }, N οογενής διαδικασία Poisso ε Ε[Ν()]. Υποθέτουε ότι κατά την χονική στιγή δεν παγατοποιήθηκε κανένα ενδεχόενο. Αν ε R() συβοίσουε την τ. που δίνει τον χόνο που διέευσε από τη χονική στιγή έχι την παγατοποίηση του επόενου ενδεχόενου, τότε:, } ) ( { e R P (9) Απόδειξη: Αν τ η χονική στιγή παγατοποίησης του τεευταίου (-) ενδεχοένου, τότε ε τη βοήθεια του διαγάατος Τ τ... R() -
ενδεχόενο ενδεχόενο ποκύπτει ότι: P { R( ) } P{ T τ T > τ} όπου Τ τυχαία εταβητή που συβοίζει τον χόνο εταξύ του - και του ενδεχοένου. Άα, P P { R( ) } P{ T τ T > τ} { τ T τ } P{ T > τ} ( τ ) ( τ ) [ e ] [ e ] ( ) e. τ e P T { τ } P{ T τ} P{ T > τ} Στο θεώηα που αποδείξαε η τυχαία εταβητή R() συβοίζει τον χόνο που διέευσε από την χονική στιγή έχι την εφάνιση του επόενου ενδεχοένου. Στο θεώηα που ακοουθεί οίζεται η εταβητή S() που συβοίζει τον χόνο που διέευσε από την παγατοποίηση του τεευταίου ενδεχοένου έχι την χονική στιγή. Θεώηα. Έστω { N(), } οογενής διαδικασία Poisso ε Ε[Ν()]. Υποθέτουε ότι κατά την χονική στιγή δεν παγατοποιήθηκε κανένα ενδεχόενο. Αν S() τυχαία εταβητή που παιστάνει τον χόνο που διέευσε από την παγατοποίηση του τεευταίου ενδεχοένου έχι την χονική στιγή, τότε: 36
P P { S( ) } e { S( ) } e, < () Απόδειξη: Από τον οισό της τ. S() ποκύπτει : και P P { S( ) } P{ N( ) } e { S( ) } P{ N( ) N( ) > } P{ N( ) N( ) } e, < Θεώηα. Έστω { N(), } οογενής διαδικασία Poisso ε Ε[Ν()] και W ο χόνος αναονής έχι την εφάνιση του ενδεχοένου. Τότε,! P { W w,..., W w N( ) }... du... du () ww w u u Απόδειξη Έστω T W -W - ο χόνος που διέευσε από το - έως το ενδεχόενο,,, Από τον οισό του T ποκύπτει ότι: W T T T () Άα, P { W w W w, N() } P{ W w,..., W w W }, >,..., (3) 37
Λαβάνοντας υπόψιν ότι W από τις () και (3) ποκύπτει ότι P { W w,..., W w, N() } P{ W w,..., W w W }, > P{ T w T T > },...,... (4) Από το θεώηα (4) οι εταβητές Τ,...,Τ είναι ανεξάτητες και έχουν κοινή εκθετική κατανοή. Συνεπώς: P w w (... ) (... ),...,... e d... (... ) ww w (... ) (... )... e d... d (... ) ww w (... ) (... )... e e d... d (... ) { T w T... T w, T... T > } ww w (... ) e... d... d (5) Αν στην (5) χησιοποιήσουε τις εταβητές u u... u... τότε από την (5) ποκύπτει ότι, { w,..., W w, N() } e... du... du (6) P W ww w u u d Αά, { w,..., W w / N() } P W { w,..., W w, N( ) } P{ N( ) } P W 38
και P { N( ) } e ( )! οπότε από την (6) ποκύπτει! ww P { W w,..., W w / N() }... du... du (7) w u u Αν τώα g( w,... w / N( ) ) είναι η από κοινού συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων εταβητών W,...,W δοθέντος ότι N ( ), τότε από την (7) ποκύπτει ότι! g( w,... w / N( ) ) (8) Αν τώα Y, Y,..., Y ανεξάτητες και ισόνοες τυχαίες εταβητές ε συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας f (y), τότε η από κοινού συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας f y, y,..., y ) των εταβητών Y, Y,..., είναι Y ( f y, y,..., y ) f ( yi ), i,,..., ( i (9) ιατάσσοντας το δείγα των Y, Y,..., Y παίνουε το δείγα Y,..., των διατεταγένων στατιστικών των οποίων η από (), Y( ) Y( ) κοινού συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από την ( y ) g,..., ( ) ( ) ( ( )) f ( y( )) (), y( ) y( )! f y(), y( ),..., y( )! f y() f y... () Ας θεωήσουε την οογενή διαδικασία Poisso { N ( ), } ε E[ N( )] και τις τυχαίες εταβητές V, V,..., V που παιστάνουν τον χόνο παγατοποίησης ενδεχοένων της διαδικασίας στο διάστηα (,). 39
ιατάσσοντας το δείγα των V,...,, V V παίνουε τους διατεταγένους χόνους παγατοποίησης των ενδεχοένων δη. τους χόνους V (), V ( ),..., V ( ) που συπίπτουν ποφανώς ε τους χόνους αναονής W...,, W, W. Έστω f ( v, v...,, v / N( ) ) η από κοινού συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας των V,...,, V V δοθέντος ότι ) N ( και ( w, w,..., w / N() ) g η από κοινού συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας των W W..., W,, δοθέντος ότι N ( ). Από το θεώηα και τη σχέση () ποκύπτει ότι: ( v, v...,, v / N() ) f, () < v <,,..., Από την τεευταία σχέση () ποκύπτει ότι η από κοινού συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας των V,...,, V V συπίπτει ε την από κοινού συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας των ανεξάτητων τυχαίων εταβητών U,...,, U U οι οποίες κατανέονται οοιόοφα στο διάστηα (, ). Γεννήτιες Συνατήσεις (Geeaig fuios) Στα Μαθηατικά ε τον όο Γεννήτια Συνάτηση αναφεόαστε σε δυναοσειά της οποίας οι συντεεστές κωδικοποιούν την πηοφοία γύω από ία ακοουθία α όπου φυσικός αιθός. 4
Υπάχουν διάφοοι τύποι γεννητιών συνατήσεων, εταξύ αυτών είναι οι συνήθεις γεννήτιες συνατήσεις, οι εκθετικές γεννήτιες συνατήσεις, οι σειές Lambe, οι σειές Bell οι σειές Diihle, πααδείγατα των οποίων δίνονται πιο κάτω.κάθε ακοουθία έχει γεννήτια συνάτηση κάθε τύπου. Η κατά πείπτωση χησιότεη συνάτηση εξατάται από τη φύση της ακοουθίας καθώς και από την εξειδίκευση του ποβήατος που επιχειούε να ύσουε. Οι γεννήτιες συνατήσεις εκφάζονται συχνά ως συνατήσεις του. Μεικές φοές η γεννήτια συνάτηση υποογίζεται για συγκεκιένη τιή του. Να θυόαστε ότι οι γεννήτιες συνατήσεις ως δυναοσειές δεν συγκίνουν κατ ανάγκη για όες τις τιές του. Συνήθης γεννήτια συνάτηση (Odiay geeaig fuio) Η συνήθης γεννήτια συνάτηση ιας ακοουθίας α είναι G(α, ) α Αν α είναι η συνάτηση πιθανότητας ιας διακιτής τυχαίας εταβητής, τότε η συνήθης γεννήτια συνάτηση έγεται πιθανογεννήτια συνάτηση. Εκθετική γεννήτια συνάτηση (Epoeial geeaig fuio) Η εκθετική γεννήτια συνάτηση ιας ακοουθίας α είναι 4
EG(α, ) a! Γεννήτια συνάτηση Poisso (Poisso geeaig fuio) Η γεννήτια συνάτηση Poisso ιας ακοουθίας α είναι G a (, )! ae Η σειά Lambe (Lambe seies) Η σειά Lambe ιας ακοουθίας α είναι LG( a, ) a Στη σειά Lambe η άθοιση αχίζει από Η σειά Bell (Bell seies) Η σειά Bell ιας αιθητικής συνάτησης f() και ενός πώτου p είναι: ( ) f ( p ). f p Γεννήτιες συνατήσεις πουωνυικής ακοουθίας (Geeaig fuios of a polyomial seies) Η ιδέα των γεννητιών συνατήσεων ποεί να επεκταθεί σε ακοουθίεςάων αντικειένων. Έτσι για παάδειγα, πουωνυικές ακοουθίες διωνυικού τύπου δηιουγούνται από την σειά 4
e f ( ) p ( )! όπου η p () είναι ακοουθία πουωνύων και f() συνάτηση συγκεκιένης οφής. Πααδείγατα Γεννήτιες συνατήσεις της ακοουθίας των τεταγώνων των φυσικών αιθών α Συνήθης γεννήτια συνάτηση ( ) ( ), G ( ) 3 Εκθετική γεννήτια συνάτηση (, ) ( ) e ΕG! Η σειά Bell f ( ) p p p Σηαντική παατήηση Με την επέκταση απών γεννητιών συνατήσεων ποούε να κατασκευάσουε άες γεννήτιες συνατήσεις. Π.χ αχίζοντας ε την γεννήτια 43
G (, ) και αντικαθιστώντας το ε το ποκύπτει G (, ) () () ()... G(, ) Πιθανογεννήτιες Συνατήσεις (Pobabiliy geeaig fuios) Έστω Χ διακιτή τυχαία εταβητή ε συνάτηση πιθανότητας P[X] p(),,,, Καούε γεννήτια πιθανοτήτων ή πιθανογεννήτια συνάτηση της τ. Χ την συνάτηση G () s p() s Ε( s ), s X Αποδεικνύεται ότι: E[X(X-)(X-) (X-)] G () X (),,, () Όπου ε G X συβοίζουε την τάξης παάγωγο της G X ως πος s. Ειδικότεα, Ε d ds [ X ] GX () s s και Va d ds d ds d ds X s X s s [ X ] G () s G () s G() s 44
Παάδειγα. Έστω Χ διακιτή τ. που ακοουθεί γεωετική κατανοή ε συνάτηση πιθανότητας [ Χ ] p( ) p( p),,,,... p Η πιθανογεννήτια συνάτηση της συγκεκιένης τ. είναι G X () s p( p) s p ( qs) p qs [ X ] G () s p ( p) s Ε s Ετσι, () Ε[ X ] G Η διακύανση της Χ δίνεται ε βάση την pq q G () s, [ qs] p Va Va [ X ] G p qs ( p) p pq q s [ ( p) s] p p q p () G () [ G () ] [ X ] G () G () { G () } q p Σηείωση: Από την E[X(X-)(X-) (X-)] G X () (),, για έχουε: q p q p q p E[X(X-)] G ( ) ( () s Ε[ Χ ] Ε[ Χ] G ) ( s) s q G p ( και [ Χ ] ) () Ε[ X ] Ε q q q Va p p p { }, πάι. Άα, [ X ] Ε[ X ] Ε[ Χ] q p q p 45
οπογεννήτια συνάτηση (Mome geeaig fuios) Για ία τυχαία εταβητή Χ οίζουε την συνάτηση () Ε[ e ] R Μ, και την καούε οπογεννήτια συνάτηση, αν η Ε[ e ] υπάχει. Η οπογεννήτια συνάτηση (πγνσ) παάγει τις οπές της συνάτησης πιθανότητας της τ. Χ. Αν η πγνσ υπάχει σε πειοχή πεί το τότε η η οπή δίνεται από την Ε ( [ ] ) d Χ Μ ( ) Μ () Αν η Χ είναι συνεχής τ. ε σ.π.π f() τότε η πγνσ δίνεται από την d Μ () e f ( ) m m! d ( )! f ( ) d Όπου m i είναι η i ης τάξης οπή. Αν η Χ,Χ,...,Χ ακοουθία ανεξάτητων τυχαίων εταβητών όχι κατ ανάγκη ισόνοων και S a X, ε α i σταθεές, τότε η σ.π.π i i i της S είναι η πειέιξη των σ.π.π κάθε τ. Χ i και η πγνσ της S είναι: Μ S () Μ Χ ( α i) I i Συνεχείς Κατανοές Πιθανότητας 46
(Coiuous Pobabiliy Disibuios) Οι κατανοές που αναφέθηκαν στα ποηγούενα έχουν κοινό χαακτηιστικό ότι είναι κατανοές διακιτών τυχαίων εταβητών. Σε ότι ακοουθεί θα αναφεθούε σε κατανοές συνεχών τυχαίων εταβητών. Κάθε κατανοή συνεχούς εταβητής είναι συνεχής κατανοή. Εναακτικός οισός (Aleaive defiiio) Υποθέτουε την ύπαξη τυχαίου πειάατος ε δειγατικό χώο Ω και έτο πιθανότητας. Μία τυχαία εταβητή Χ ε τιές στο S R έχει συνεχή κατανοή αν [ ] X για κάθε S Το γεγονός ότι η τ. Χ παίνει οποιαδήποτε τιή του S ε πιθανότητα ηδέν, ενδεχοένως να φαίνεται παάδοξο, όως στην ουσία είναι το ίδιο ε το γεγονός ότι ένα διάστηα του R ποεί να έχει θετικό ήκος αν και αποτεείται από σηεία καθένα των οποίων έχει ηδενικό ήκος. Οοίως, ία πειοχή του R ποεί να έχει θετικό εβαδό αν και αποτεείται από σηεία (ή καπύες) καθένα των οποίων η κάθε ία των οποίων έχει ηδενικό εβαδό. Έτσι οι συνεχείς κατανοές είναι σε πήη αντίθεση ε τις διακιτές κατανοές για τις οποίες όες οι πιθανότητες είναι 47
συγκεντωένες σε διακιτό σύνοο. Για συνεχή κατανοή, η άζα πιθανότητας είναι κατά συνεχή τόπο διεσπαένη στο S. Να σηειωθεί φυσικά ότι το S δεν ποεί να είναι αιθήσιο Στο σχήα το πάσινο χώα χησιοποιείται για να δείξει ια συνεχή κατανοή πιθανότητας. f() Σχ. () Τυπική οφή συνεχούς κατανοής πιθανότητας Συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας. (σ.π.π) Pobabiliy desiy fuio Υποθέτουε ότι η τ. Χ έχει συνεχή κατανοή πιθανότητας στο S R. Μία συνάτηση f, παγατικών τιών στο S είναι συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας της τ. Χ αν ικανοποιεί τις ακόουθες ιδιότητες.. f ( ), S 48
. f ( ) d S, Α 3. f ( ) d ( X Α) Α S Αν το > τα οοκηώατα στις ιδιότητες και 3 είναι ποαπά οοκηώατα οιζόενα σε υποχώο του R ε (,,, ) και d d d d. Η συνάτηση κατανοής F(X). (Disibuio fuio F(X)) Οι κατανοές πιθανότητας δίνονται και ε τις αθοιστικές συνατήσεις κατανοής ή απώς συνατήσεις κατανοής F(X) που οίζονται από τη σχέση: F ( ) P[ X ], R Και έχουν τις ακόουθες ιδιότητες: F( ) F( ). α) ( α X β ) F( β ) F( α ) β ) Αν η τ. Χ είναι συνεχής τότε F ( ) f ( y) dy και f ( ) F ( ), R γ ) Η F() είναι ή φθίνουσα: αν < τότε δ ) Η F() είναι συνεχής από δεξιά ε ) ( X < ) lim F( y) F( ) y ( X ) F( ) F( ) στ ) R 49
Η αθοιστική συνάτηση κατανοής ιας διακιτής τυχαίας εταβητής είναι κιακωτή συνάτηση ε αιθήσιο πήθος ασυνεχειών (πηδηάτων). Αντίθετα η αθοιστική συνάτηση κατανοής ιας απούτως συνεχούς τ. είναι συνεχής παντού. Υπάχουν τ. που δεν είναι διακιτές ή συνεχείς. Είναι ικτού τύπου και οι αθοιστικές συνατήσεις κατανοής τους έχουν συνεχή και κιακωτά τήατα. Η αθοιστική συνάτηση κατανοής ιας τ. είναι πααγωγίσιση παντού εκτός συνόου σηείων το πού αιθησίου πήθους. Υπάχουν συνεχείς αθοιστικές συνατήσεις κατανοής των οποίων η παάγωγος είναι σχεδόν παντού ηδέν. Κατανοές ε τέτοιες αθοιστικές συνατήσεις κατανοής έγονται ιδιάζουσες. Ειδικές συνεχείς κατανοές. (Speial oiuous disibuios). Οοιόοφη κατανοή (Uifom disibuio) Η τ. Χ ακοουθεί οοιόοφη κατανοή στο [a,b] γνωστή και ως οθογώνια κατανοή αν η συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από την 5
f ( ) b a < a a < < b > b () ε συνέπεια η αθοιστική κατανοή ή η συνάτηση κατανοής F() να δίνεται από την < a a F( ) a < < b () b a > b Αν η τ. Χ ακοουθεί οοιόοφη κατανοή στο διάστηα [a,b] η αθηατική επίδα, η διακύανση και η οπογεννήτια συνάτηση δίνονται από τις εκφάσεις Ε a b [ X ], Va[ X ] ( b a), m X () b e e b a a αντιστοίχως. Αναυτικότεα αν είναι γνωστό ότι οι τιές ιας τυχαίας εταβητής Χ ανήκουν σε ένα πεπεασένο διάστηα [a,b] και αν υποθέσουε ότι δύο οποιαδήποτε υποδιαστήατα του [a,b] ίσου ήκους έχουν ίσες πιθανότητες να πειαβάνουν την Χ, τότε η Χ ακοουθεί οοιόοφη κατανοή στο [a,b]. Τέος κάθε αναφοά ας σε τυχαίο αιθό του διαστήατος [,] είναι αναφοά σε τιή οοιοόφως κατανεόενης τ. Χ στο διάστηα [,].. Ο ετασχηατισός Υ F(X) (The asfomaio YF(X)) 5
Αν η τ. Χ είναι συνεχής και έχει αυστηώς αύξουσα συνάτηση κατανοής F(X) τότε, η τ. Υ F(X) ακοουθεί οοιόοφη κατανοή στο διάστηα [,], έχει δηαδή συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας f ( y) < > Θα αποδείξουε το σηαντικό αυτό συπέασα ως εξής: Η συνάτηση κατανοής της τ. Υ είναι F ( y) P[ Y y] P[ F( X ) y] y Η συνάτηση κατανοής F(.) είναι αύξουσα και ως εκ τούτου F ( y) P[ X F ( y) ] F[ F ( y) ] y y Άα η τ. Υ F(X) ακοουθεί οοιόοφη κατανοή στο [,]. Το σηαντικό αυτό συπέασα ας δείχνει τον τόπο ετάβασης από ία οποιαδήποτε συνεχή κατανοή, στην οοιόοφη κατανοή, έσω του ετασχηατισού Υ F(X). 3. Η εκθετική κατανοή (The epoeial disibuio) Η τ. Χ ακοουθεί εκθετική κατανοή πααέτου, αν η συνάτηση πυκνότητας της πιθανότητας δίνεται από την f ( ) e,, < (3) ε >. Η συνάτηση κατανοής της Χ είναι συνεπώς: F( ), < (4) e, 5
Ακόη αν η τ. Χ ακοουθεί εκθετική κατανοή, ε παάετο, τότε,η έση τιή η διακύανση και η οπογεννήτια συνάτηση δίνονται από τις εκφάσεις Ε[Χ] /, Va[X] / και m () / -, αντιστοίχως. Η ύπαξη της οπογεννήτιας συνάτησης εξασφαίζεται για τιές του στο ανοικτό διάστηα (-, ). Σηαντικές ιδιότητες της εκθετικής κατανοής. (Impoa popeies of he epoeial disibuio). Έειψη νήης ή Μακοβιανή ιδιότητα (memoyless popey)(maovia popey) Κάθε τ. Χ η οποία, για κάθε s, ή ανητικές ποσότητες ικανοποιεί την συνθήκη ( X > s / X > ) P( X s) (5) P > έε ότι στεείται νήης ή έχει έειψη νήης. Έστω τώα Χ τ. που ακοουθεί εκθετική κατανοή ε σ.π.π την s (3). Αν s και δύο ή ανητικές ποσότητες τότε η P( X > s) e και ( s ) η P( X > ) e. Αά ισχύει επίσης ότι, P( X > s ) e και συνεπώς η συνθήκη (5) ικανοποιείται από την εκθετικά κατανεόενη τ. Χ. Στην πείπτωση αυτή η εκθετική κατανοή έε ότι στεείται νήης.. Αν Χ,Χ,...,Χ ανεξάτητες εκθετικά κατανεόενες τ. ε πααέτους,,..., αντιστοίχως, τότε, η τ. Υ mi(χ,χ,...,χ ) ακοουθεί εκθετική κατανοή ε παάετο.... 53
3. Αν Χ,Χ,...,Χ ανεξάτητες εκθετικά κατανεόενες τ. ε κοινή κατανοή πααέτου και άα έσου Ε[Χ i ] / για όα τα i,,, τότε η τ. Y X i i, ακοουθεί κατανοή γνωστή ως Elag ε έσο /. Η συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας της τ. Υ είναι : f ( y) ( y) y e, y >. (6) ( )! όπου η παάετος κίακας και η παάετος σχήατος. Παάδειγα. Έστω ότι η τ. Χ ακοουθεί εκθετική κατανοή πααέτου. Υποθέτουε ότι η Χ συβοίζει την τυχαία διάκεια ιας τηεφωνικής κήσης. Αν η κήση διακεί ήδη χόνο, ποιά είναι η πιθανότητα η διάκεια της κήσης να είναι εγαύτεη του. Ζητάε την [ X > / X > ] [ X >, X > ] [ X > ] [ X > ] [ X > ] e e Ετσι, [ X > / X > ] [ X > ] Από τα αποδειχθέντα ποκύπτει ότι: ( ) e [ X > ]. Η κατανοή της υποοιπόενης χονικής διάκειας ιας κήσης δεν εξατάται από τον χόνο που έχει ήδη διακέσει η κήση. 54
. Η υποοιπόενη χονική διάκεια ακοουθεί εκθετική κατανοή πααέτου όπως η συνοική διάκεια της κήσης. Παάδειγα. Σύστηα αναονής έχει εξυπηετητές που εξυπηετούν ε Comme [f]: εκθετικά κατανεόενους χόνους πααέτου. Κατά την άφιξη ενός πεάτη ( ) και οι δύο εξυπηετητές ( ) είναι απασχοηένοι, ενώ δεν υπάχει άος πεάτης σε αναονή. Εώτηα. Ποιά είναι η πιθανότητα ο πεάτης ( ) να είναι ο τεευταίος που θ αποχωήσει από το σύστηα; Το επόενο ενδεχόενο είναι η αποχώηση ενός των δύο πεατών ( ) και η είσοδος του πεάτη ( ) στη φάση εξυπηέτησης. Από την ιδιότητα της έειψης νήης της εκθετικής κατανοής ποκύπτει ότι η κατανοή των χόνων εξυπηέτησης των πεατών ( ),( ) είναι η εκθετική ε την ίδια παάετο (ισόνοες). Η κατάσταση είναι πήως συετική και συνεπώς η πιθανότητα του πεάτη ( ) ν αποχωήσει από το σύστηα τεευταίος είναι ίση ε ½.. Με τον όο σύστηα αναφεόαστε σε ένα σύνοο ανεξάτητων αά ενδοσυσχετιζόενων στοιχείων συναποτεούντων ένα όον. 55
Παάδειγα 3. Ποιά είναι η πιθανότητα ήξης της τηεφωνικής κήσης σε διάστηα εύους δ. Υποθέτουε ότι ο χόνος κήσης είναι εκθετικά κατανεόενος πααέτου και ότι έχει διακέσει χόνο. Ποιά είναι η πιθανότητα η κήση να ήξει κατά τη διάκεια του διαστήατος δ; Ζητάε την πιθανότητα : [ X δ / X > ] [ X δ] e δ δ ( δ)! δ o ( δ) Συνεπώς η πιθανότητα ήξης ανά ονάδα χόνου είναι ίση ε, άα σταθεή. Πόταση Έστω Ν() ο αιθός των εφανίσεων ενός ενδεχοένου σε χονικό διάστηα εύους. Υποθέτουε ότι η Ν() ακοουθεί κατανοή Poisso πααέτου. Συβοίζουε ε Τ τον χόνο που απαιτείται έως ότου εφανιστεί το ενδεχόενο φοές. Ως ενδεχόενο ποεί να θεωηθεί η άφιξη ενός πεάτη σε σύστηα αναονής. 56
57 3 4 T N() αφίξεις Απόδειξη: Η συνάτηση κατανοής του χόνου T είναι: () [ ] () [ ] [ ] ( ) i i i T i e i N N T F! ) ( H σ.π.π της T είναι η παάγωγος της ( ) F T που ισούται ε : () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i T T e e i e i e i e i i F d d f!!!!! Η συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας της T είναι η σ.π.π της κατανοής Elag(,)
Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Εισαγωγή Σε ποές δάστηιότητες της ζωής ας είαστε υποχεωένοι να χάσουε χόνο πειένοντας. Η είωση του χόνου αναονής απαιτεί επιπέον επενδύσεις. Η απόφαση για επένδυση εξατάται από το κατά πόσο θα ειώσει τον χόνο αναονής. 58
Στο παίσιο των σηειώσεων αυτών εξετάζουε ένα σύνοο στοιχειωδών οντέων γαών αναονής. Σε ότι ακοουθεί η γαή αναονής θα έγεται ουά (queue). Ας δούε όως πώτα το όγο ή τους όγους για τους οποίους υπάχει αναονή. Ο βασικός και επικατέστεος όγος είναι η εγάη ζήτηση υπηεσιών από σύστηα παοχής υπηεσιών που αδυνατεί να τις παέξει. Η αδυναία παοχής των υπηεσιών αυτών οφείεται σε ποικιία όγων, όπως η οικονοική αδυναία του συστήατος να αντιετωπίσει τη ζήτηση, ο ικός αιθός εξυπηετητών σε αυτό, ο ικός χώος αναονής των πεατών. Σε γενικές γαές οι πειοισοί αυτοί ποούν να αθούν, ε την επένδυση απαιτούενου κεφααίου ικανού να απαντήσει σε εωτήσεις της οφής: Πόσο χόνο πέπει να πειένει ένας πεάτης ; και Πόσοι πεάτες θα δηιουγήσουν ουά; Η θεωία ουών επιχειεί να δώσει απάντηση στα εωτήατα αυτά τις πεισσότεες πειπτώσεις επιτυχώς, χησιοποιώντας επτοεή αθηατική ανάυση.. ΠΕΙΓΑΦΗ ΤΟΥ ΠΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΟΥΑΣ (Desibig he queue poblem) Ένα σύστηα ουάς ποεί να πειγαφεί από την άφιξη πεατών που επιθυούν να εξυπηετηθούν, την αναονή τους γι αυτό, την εξυπηέτησή τους και την εν συνεχεία αποχώησή τους. 59
Ο όος πεάτης δεν αναφέεται κατ ανάγκη σε ανθώπινη ύπαξη. Πεάτης ποεί να είναι ένα αεοσκάφος που πειένει να απογειωθεί από τον αεοδιάδοο ενός αεοδοίου, ένα ποίο που πειένει άδεια εισόδου σε ιάνι, ένα κείενο που πειένει τη σειά του να εκτυπωθεί σε ένα εκτυπωτή, ένα όχηα που πειένει στο χώο ενός βενζινάδικου να ποηθευτεί καύσια κ..π. Η θεωία ουών αναπτύχθηκε στη ποσπάθειά της να εηνεύσει και να ποβέψει τη συπειφοά συστηάτων ουάς που θα κηθούν να παάξουν εξυπηέτηση σε τυχαία ζήτηση. Το 99 ο ανός αθηατικός A.K.Elag δηοσίευσε The Theoy of Pobabiliies ad Telephoe Covesaios. Σε ετέπειτα εέτες διαπίστωσε ότι ένα τηεφωνικό σύστηα χαακτηίζεται από αφίξεις (ipu) Poisso, εκθετικούς χόνους εξυπηέτησης και ποαπούς εξυπηετητές ή από αφίξεις (ipu) Poisso σταθεούς χόνους εξυπηέτησης και ένα εξυπηετητή.. Χαακτηιστικά ιας διαδικασίας ουάς (The queue poess haaeisis) Για την πειγαφή διαδικασιών αναονής (ουάς) είναι ακετά έξη βασικά χαακτηιστικά του συστήατος αναονής.. Τόπος άφιξης των πεατών στο σύστηα. Τόπος εξυπηέτησης 3. Συπειφοά ουάς 6
4. Χωητικότητα συστήατος 5. Αιθός καναιών εξυπηέτησης 6. Αιθός θέσεων εξυπηέτησης.. Τόπος άφιξης των πεατών στο σύστηα (The aival poess ) Σε συνήθεις πειπτώσεις ουάς ο τόπος άφιξης των πεατών είναι στοχαστικός ε συνέπεια να είναι απααίτητη η γνώση της κατανοής των χόνων εταξύ διαδοχικών αφίξεων. Είναι ακόη, σε οισένες πειπτώσεις απααίτητο, να γνωίζουε αν η άφιξη των πεατών γίνεται κατ άτοο ή καθ οάδες. Στην πείπτωση των οαδικών αφίξεων είναι επιθυητή η γνώση της κατανοής του εγέθους των οάδων πεατών. Κατά την είσοδο του πεάτη στο σύστηα είναι χήσιο να γνωίζουε τον τόπο αντίδασής του. Ένας πεάτης εισεχόενος ενδέχεται να είναι ποετοιασένος να πειένει στην ουά ποκειένου να εξυπηετηθεί ανεξατήτως του απαιτούενου χόνου αναονής ή να φύγει από την ουά αν η ουά είναι εγάη. Πεάτης που εισέχεται στο σύστηα και αποχωεί αέσως απ αυτό όγω εγάης ουάς έε ότι έχει baled. Αν πεάτης εισεχόενος στο σύστηα πειένει στην ουά για κάποιο χονικό διάστηα και αποχωεί χάνοντας την υποονή του έε ότι έχει eeged. Σε πείπτωση που υπάχουν πεισσότεες της ιάς ουές αναονής οι 6
πεάτες ενδέχεται ν αάξουν ουά εταπηδώντας από τη ία ουά στην άη, έε ότι οι πεάτες ae joeyig. Όες αυτές οι πειπτώσεις αφοούν ουές ε ανυπόονους πεάτες. Βασικός τέος παάγων για την πήη εέτη του συστήατος αναονής είναι ο τόπος ααγής του τόπου αφίξεων σε συνάτηση ε τον χόνο. Αν η κατανοή πιθανότητας που πειγάφει τον τόπο ααγής της διαδικασίας αφίξεων είναι ανεξάτητη του χόνου τότε η διαδικασία αφίξεων είναι saioay. Κάθε άη διαδικασία χονοεξατώενη χαακτηίζεται ως osaioay... Τόπος εξυπηέτησης (The sevie poess) Και στην πείπτωση του τόπου εξυπηέτησης είναι απααίτητη η γνώση της κατανοής των χόνων εξυπηέτησης. Η εξυπηέτηση ενδέχεται να παέχεται κατ άτοο ή καθ οάδες, αφού υπάχουν πειπτώσεις κατά τις οποίες η παεχόενη από ένα εξυπηετητή υπηεσία παέχεται ταυτοχόνως σε πήθος ατόων. Παάδειγα τέτοιου τόπου εξυπηέτησης είναι ο seve ενός υποογιστή, η διδασκαία σε αθητική τάξη, εταφοά επιβιβαζοένων στο meo ατόων κ..π. 6
Η εξυπηέτηση ποεί να εξατάται από τον αιθό των αναενόντων πος εξυπηέτηση ατόων. Πάγατι η ταχύτητα εξυπηέτησης ποεί να επηεάζεται από το άγχος του εξυπηετητή κατά τόπο αντίστοφο της ζήτησης. Έτσι π.χ ένας εξυπηετητής ενδεχοένως να επηεάζεται ανητικά από την αύξηση του ήκους της ουάς. Στην πείπτωση που η εξυπηέτηση εξατάται από τον αιθό των πεατών στην ουά το σύστηα αναφέεται ως «σύστηα εξατηένο από την φάση» «sae depede sysem». H διαδικασία εξυπηέτησης όπως και η διαδικασία αφίξεων ποεί να είναι στάσιη saioay ή ή στάσιη osaioay ως πος τον χόνο. Παάδειγα αποτεεί η διαδικασία άθησης η οποία επιταχύνεται ε την απόκτηση επειίας, όπως και η παοχή εξυπηέτησης η οποία γίνεται αποτεεσατικότεη όσο ο εξυπηετητής αποκτά επειία. Η εξάτηση από τον χόνο δεν πέπει να συγχέεται ε την εξάτηση από την φάση. Ένα σύστηα όως είναι δυνατόν να είναι εξατηένο από την φάση που βίσκεται όπως επίσης και από τον χόνο. Ακόη και στην πείπτωση που ο υθός εξυπηέτησης είναι υψηός, είναι πιθανό εικοί πεάτες να καθυστεούν στην ουά. Η άφιξη και η αποχώηση των πεατών γίνεται σε ακανόνιστα χονικά διαστήατα ε συνέπεια η οφή της ουάς να ήν έχει 63
συγκεκιένη οφή, εκτός και αν οι αφίξεις και οι αναχωήσεις είναι ντετεινιστικές. Συνεπώς η κατανοή πιθανότητας του ήκους της ουάς είναι το αποτέεσα δύο ξεχωιστών διαδικασιών-αφίξεων και εξυπηετήσεων που είναι σε γενικές γαές ανεξάτητες εταξύ τους...3 Συπειφοά ουάς (Queue disiplie) Με τον όο συπειφοά ουάς αναφεόαστε στον τόπο που επιέγονται οι πεάτες της ουάς ποκειένου να εξυπηετηθούν. Οι συνηθέστεοι τόποι εξυπηέτησης είναι οι ακόουθοι: FIFO (Fis I Fis Ou) ή FCFS (Fis Come Fis Seved): Οι πεάτες εξυπηετούνται σύφωνα ε την σειά άφιξής τους LIFO (Las I Fis Ou) ή LCFS (Las Come Fis Seved): Ο πεάτης ε τον πιο πόσφατο χόνο άφιξης εξυπηετείται πώτος. FIRO (Fis I Radom Ou). Τυχαία σειά εξυπηέτησης πεατών. Σχεδιασός ποτεαιότητος(pioiy Shedulig). Οι πεάτες χωίζονται σε κατηγοίες ε διαφοετικές ποτεαιότητες. ιακίνουε δύο τύπους ποτεαιοτήτων: 64
Απή ποτεαιότητα ή ποτεαιότητα χωίς διακοπή (opeempive): ετά το τέος της εξυπηέτησης επιέγεται για την επόενη εξυπηέτηση ο πεάτης ε την υψηότεη ποτεαιότητα. Απόυτη ποτεαιότητα ή ποτεαιότητα ε διακοπή (peempive): όταν πεάτης που φθάνει στο σύστηα βίσκει ένα πεάτη ε χαηότεη ποτεαιότητα να εξυπηετείται, τον διακόπτει και αχίζει την δική του εξυπηέτηση...4 Χωητικότητα συστήατος (Sysem s apaiy) Σε οισένες διαδικασίες ουών ενδέχεται να υπάχει πειοισός του χώου αναονής των πεατών, ε συνέπεια όταν η ουά αποκτά συγκεκιένο ήκος να ήν επιτέπεται η είσοδος άων πεατών στο σύστηα αναονής, έως ότου εκκενωθεί χώος ετά την οοκήωση της εξυπηέτησης και της αποχώησης ενός τουάχιστον πεάτη. Το πόβηα αυτό αφοά ποφανώς συστήατα πεπεασένου εγέθους. Κάθε ουά πειοισένης χωητικότητας ποεί να θεωηθεί ως ουά αναγκαστικής αποχώησης (άνησης) (balig) των πεατών της, αποχώηση που εφανίζεται στην πείπτωση άφιξης πεάτη που δεν βίσκει χώο αναονής στην ουά...5 Αιθός Καναιών Εξυπηέτησης (Numbe of sevie haels) 65
Οίζοντας τον αιθό των καναιών εξυπηέτησης οίζουε ουσιατικά τον αιθό των παάηων σταθών εξυπηέτησης που ποούν να εξυπηετήσουν ταυτοχόνως ένα αιθό πεατών. Στο σχήα δίνεται η απεικόνιση δύο πουκαναικών συστηάτων εξυπηέτησης. Τα δύο πουκαναικά συστήατα διαφέουν στο ότι το πώτο έχει ία ουά ενώ στο δεύτεο επιτέπεται ία ουά για κάθε κανάι. Ένα κοωτήιο ε ποές πουθόνες αποτεεί παάδειγα συστήατος της πώτης οφής, ενώ ένα supemae είναι παάδειγα συστήατος δευτέου είδους...6 Φάσεις εξυπηέτησης The sages of sevie Μία διαδικασία εξυπηέτησης ενδέχεται να είναι ονοφασική, όπως π.χ το κοωτήιο ή πουφασική όπως η διαδικασία ιατικής εξέτασης η οοκήωση της οποίας απαιτεί την ήψη ιστοικού, αιθό εγαστηιακών εξετάσεων, την ήψη ακτινογαφιών κ..π ιατικών πάξεων. Σε εικές πουφασικές διαδικασίες δεν είναι σπάνιο το φαινόενο της ανακύκωσης ή επανατοφοδότησης. Η ανακύκωση είναι συνήθης στις βιοηχανικές διαδικασίες στις οποίες ο ποιοτικός έεγχος γίνεται κατά τακτά χονικά διαστήατα, ετά το πέας του οποίου τα ποιόντα που δεν ικανοποιούν τις ποδιαγαφές εανέχονται στη φάση της εκ νέου πααγωγής. 66
Παάδειγα συστήατος ε επανατοφοδότηση δίνεται στο σχήα: Τα χαακτηιστικά που αναφέθηκαν στα ποηγούενα είναι σε γενικές γαές επακή για την πειγαφή ία διαδικασίας εξυπηέτησης..3 Κασσικοποίηση των ουών κατά Kedall. Kedall s lassifiaio of a queueig sysem To 953 o David G. Kedall εισήγαγε τόπο συβοισού των ουών. Σύφωνα ε τον συβοισό αυτό ία ουά ποεί να παασταθεί ως Α/Β/C. Από τότε ο συβοισός αυτός επεκτάθηκε στον //3/(4/5/6/) όπου οι αιθοί αντικαθίστανται ως εξής:. Κωδικός που πειγάφει την διαδικασία άφιξης. Οι χησιοποιούενοι κωδικοί είναι: M, για την εκθετική κατανοή των χόνων εταξύ αφίξεων, καθώς και των χόνων εξυπηέτησης. Μ [Χ], για την εκθετική κατανοή ε πήθος αφίξεων, όπου Χ τυχαία εταβητή που συβοίζει τον αιθό των πεατών στην οάδα αφίξεων D συβοίζει τετιένη συνάτηση κατανοής, ή ποκαθωισένους χόνους άφιξης. 67