Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

1 Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Έστω ότι έχουμε την συνάρτηση: f(x) = x + 3x 1 H γραφική της παράσταση είναι: Και την συνάρτηση f(x) = x + 3x + η οποία έχει προκύψει από την προηγούμενη αφού προστέθηκαν 3 μονάδες. Δηλαδή φ(χ) = x + 3x 1 + 3 φ(χ) = x + 3x +. Τώρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης θα είναι: www.ma8eno.gr Σελίδα 1

Συγκρίνοντας τις γραφικές παραστάσεις: f(χ) = x + 3x + φ(χ) = x + 3x 1 www.ma8eno.gr Σελίδα

3 Γενικεύοντας μπορούμε να πούμε : f(x) = φ(x) + c γραφική παράσταση f(x) = φ(x) + c, c > 0, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω. Έστω τώρα ότι έχουμε την συνάρτηση: f(x) = x + 3x 1 f(x) = x + 3x 3 H γραφική της παράσταση είναι: = x + 3x 1 = x + 3x 3 γραφική παράσταση f(x) = φ(x) - c, c > 0 προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω. www.ma8eno.gr Σελίδα 3

4 Έστω οι συναρτήσεις : f(x) = x + 3x 3 f(x) = φ(x 50) = (x 50) + 3(x 50) 3 f(x) = (x 50) + 3(x 50) f(x) = x + 3x 3 γραφική παράσταση f(x) = φ(x - c), c > 0 προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά. Έστω οι συναρτήσεις : f(x) = x + 3x 3 φ(χ + 1) = (x + 1) + 3(x + 1) 3 www.ma8eno.gr Σελίδα 4

5 f(x) = x + 3x 3 φ(χ + 1) = (x + 1) + 3(x + 1) 3 γραφική παράσταση f(x) = φ(x + c), c > 0 προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά. Έστω οι συναρτήσεις: f(x) = x + 3x 3 f(x) = φ(x 50) = (x 50) + 3(x 50) 3 + 100 = (x 50) + 3(x 50) + 7 www.ma8eno.gr Σελίδα 5

6 = (x 50) + 3(x 50) + 97 = x + 3x 3 γραφική παράσταση της f(x) = φ(x - c) + ρ, c > 0, ρ > 0 προκύπτει συγχρόνως από μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της φ. Μια οριζόντια κατά c μονάδες προς τα δεξιά και μια κατακόρυφη κατά ρ μονάδες προς τα πάνω. Αντίστοιχα η γραφική παράσταση της f(x) = φ(x + c) + ρ, c > 0, ρ > 0 προκύπτει συγχρόνως από μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της φ. Μια οριζόντια κατά c μονάδες προς τα αριστερά και μια κατακόρυφη κατά ρ μονάδες προς τα πάνω. γραφική παράσταση της f(x) = φ(x + c) - ρ, c > 0, ρ > 0 προκύπτει συγχρόνως από μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της φ. Μια οριζόντια κατά c μονάδες προς τα αριστερά και μια κατακόρυφη κατά ρ μονάδες προς τα κάτω. www.ma8eno.gr Σελίδα 6

7 Παραδείγματα Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της: f(x) = x, να γίνει η γραφική παράσταση της: g(x) = x - 8x + 14. Λύση: f(g(x)) = (x - 8x + 14) = [( x - ) +3] = ( x - ) + 6 = f(x - ) + 6 Άρα η γραφική παράσταση της g(x) είναι η μετατόπιση της f κατά μονάδες δεξιά και 6 μονάδες προς τα πάνω. = x = (x ) + 6 www.ma8eno.gr Σελίδα 7

8 Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : φ(x) = x, f(x) = x + και g(x) = x Λύση Γνωρίζουμε ότι η αποτελείτε από τις διχοτόμους της 1 ης και ης γωνίας των αξόνων. προκύπτει από την ανοδική κατακόρυφη μετατόπιση της κατά μονάδες. C f C g προκύπτει από την καθοδική 4 C f C g -5 O 5 x - κατακόρυφη μετατόπιση της κατά μονάδες Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : φ(x) = x, h(x) = x+ και q(x) = x Λύση Γνωρίζουμε ότι η αποτελείτε από τις διχοτόμους της 1 ης και ης γωνίας των αξόνων. προκύπτει από την αριστερά οριζόντια μετατόπιση της κατά μονάδες. C h C q προκύπτει από τη δεξιά οριζόντια 4 C h C q -5 O 5 x μετατόπιση της κατά μονάδες. www.ma8eno.gr Σελίδα 8

9 Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : φ(x) = x, F(x) = x+ + 1 και G(x) = x 1 Λύση Γνωρίζουμε ότι η αποτελείτε από τις διχοτόμους της 1 ης και ης γωνίας των αξόνων. C F προκύπτει από την αριστερά 4 C F C G οριζόντια κατά μονάδες και ανοδική O 5 x κατακόρυφη κατά 1 μονάδα μετατόπιση - της. C G προκύπτει από τη δεξιά οριζόντια κατά μονάδες και καθοδική κατακόρυφη κατά 1 μονάδα μετατόπιση της. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης φ που αποτελείται από τη διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων και από το ημικύκλιο που ανήκει στο 1 ο τεταρτημόριο και έχει διάμετρο που ορίζουν τα σημεία Ο(0, 0) και Α(, 0). Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : O A x i) f(x) = φ(x) + και g(x) = φ(x) ii) h(x) = φ(x + 3) και q(x) = φ(x 3) iii) F(x) = φ(x + 3) + και G(x) = φ(x 3) www.ma8eno.gr Σελίδα 9

10 Λύση i) C f C f προκύπτει από την ανοδική κατακόρυφη μετατόπιση της κατά μονάδες. C g προκύπτει από την καθοδική C g O A x κατακόρυφη μετατόπιση της κατά μονάδες. - ii) προκύπτει από την αριστερά οριζόντια μετατόπιση της κατά 3 C h μονάδες. C προκύπτει από τη δεξιά οριζόντια μετατόπιση της κατά 3 q μονάδες. C h C q O A 5 x iii) ανοδική προκύπτει από την αριστερά οριζόντια κατά 3 μονάδες και κατακόρυφη κατά μονάδες μετατόπιση της. C F C G κατακόρυφη προκύπτει από τη δεξιά οριζόντια κατά 3 μονάδες και καθοδική κατά μονάδα μετατόπιση της. www.ma8eno.gr Σελίδα 10

11 4 C F O A 5 x C G - Δίνεται η συνάρτηση φ(x) = 1. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της φ : i) κατά μονάδες προς τα δεξιά και κατά 1 μονάδα προς τα πάνω. ii) κάτω. iii) πάνω. iv) κάτω. Λύση i) κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά και κατά μονάδες προς τα κατά μονάδες προς τα αριστερά και κατά 1 μονάδα προς τα κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και κατά μονάδες προς τα δεξιά (x ) 1 και 1 πάνω Α(x) = (x ) 1+ 1 ii) x Α(x) = (x ) 3 δεξιά (x 3) 1 και κάτω Β(x) = (x 3) 1 Β(x) = (x 3) 3 www.ma8eno.gr Σελίδα 11

1 iii) αριστερά (x+ ) 1 και 1 πάνω Γ(x) = (x+ ) 1 + 1 iv) Γ(x) = (x+ ) 3 αριστερά (x + 3) 1 και κάτω Δ(x) = (x + 3) 1 Δ(x) = (x + 3) 3 www.ma8eno.gr Σελίδα 1