ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΚΑΙ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις προηγούμενων εξετάσεων Μαρίνος Καττής Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, 2012
Άσκηση 1 Στη δοκό του σχήματος: να υπολογιστεί η διανομή των ορθών και διατμητικών τάσεων στη διατομή της πάκτωσης λόγω της δύναμης P 1 = 20 kn, να προσδιοριστεί το μέγεθος της δύναμης P 2, έτσι ώστε στη διατομή της πάκτωσης να έχουμε ομοιόμορφη διανομή τάσεων. Άσκηση 2 Να προσδιοριστεί το μέγιστο φορτίο P που μπορεί να παραλάβει η οριζόνται δοκός του σχήματος όταν: η μικρή πλευρά της διατομής είναι οριζόντια η μεγάλη πλευρά της διατομής είναι οριζόνται Επιτρεπόμενη τάση υλικού σ = 5 MPa allow 1
Άσκηση 3 Για την δοκό του σχήματος να προσδιορισθούν: η διανομή των ορθών τάσεων στην διατομή της μέγιστης καμπτικής ροπής, η διανομή των διατμητικών τάσεων στην διατομή της μέγιστης τέμνουσας δύναμης. Άσκηση 4 Να προσδιοριστεί η ελάχιστη τιμή της δύναμης P που απαιτείται για να καλυφθεί η ανοχή s, που υπάρχει στην αφόρτιστη κατάσταση μεταξύ της οριζόντιας δοκού και του κατακόρυφου στοιχείου. Αν στην ίδια θέση που εφαρμόζεται η P, εφαρμοσθεί μια κατακόρυφη δύναμη ίση με 10P, όπου P η τιμή που υπολογίστηκε παραπάνω, να υπολογιστεί η επιβράχυνση του κατακόρυφου στοιχείου. Η επαφή μεταξύ οριζόντιας δοκού και κατακόρυφου στοιχείου να θεωρηθεί σημειακή. Δίνονται: a = 1 m, 11 2 13 EI = 10 Nmm, s = 600 a, E r = 200 GPa, 2 A r = 400 mm 2
Άσκηση 5 Το υποστύλωμα του σχήματος είναι πακτωμένο στην βάση του. Για τις φορτίσεις T και H να υπολογισθούν: η μέγιστη διατμητική τάση στην διατομή της πάκτωσης, η μέγιστη ορθή τάση στην διατομή της πάκτωσης, η οριζόντια στροφή της πάνω διατομής. Δίνονται: μέτρο ελαστικότητας υλικού υποστυλώματος: E = 22 GPa μέτρο διάτμησης υλικού υποστυλώματος: G = 12 GPa Άσκηση 6 Να προσδιορισθούν τα διαγράμματα M, V και N του φορέα του σχήματος. 3
Άσκηση 7 Να κατασκευασθούν τα διαγράμματα M, V, N του φορέα του σχήματος. Άσκηση 8 Στην οριζόντια δοκό του σχήματος να προσδιοριστεί η διανομή των ορθών και διατμητικών τάσεων στην διατομή της πάκτωσης όταν: η διατομή είναι αυτή του σχήματος α, η διατομής είναι αυτή του σχήματος β, η διατομή είναι αυτή του σχήματος γ. 4
Άσκηση 9 Η δοκός του σχήματος φορτίζεται με ομοιόμορφο φορτίο μεγέθους αξονική δύναμη P = 120 kn. Να προσδιορισθούν: p = 40 kn/ m και με την το μέγεθος και η θέση της μέγιστης (κατά απόλυτη τιμή) ορθής τάσης, που αναπτύσσεται σε διατομή της δοκού, το μέγεθος και η θέση της μέγιστης (κατά απόλυτη τιμή) διατμητικής τάσης, που αναπτύσσεται σε διατομή της δοκού, η μεταβολή του μήκους της δοκού. Μέτρο ελαστικότητας υλικού: E = 200 GPa Άσκηση 10 Να προσδιορισθούν τα διαγράμματα M, V και N της δοκού του σχήματος. 5
Άσκηση 11 Το δομικό στοιχείο του σχήματος είναι πακτωμένο στην βάση του και καταπονείται με την στρεπτική ροπή T = 2.5 knm. Να προσδιορισθεί η απαιτούμενη διάσταση b της διατομής για να μην γίνεται υπέρβαση της επιτρεπόμενης διατμητικής τάσης στο στοιχείο. Αν στην συνέχεια, η πάνω επιφάνεια του στοιχείου πακτωθεί σε μια επίπεδη και οριζόντια επιφάνεια, ποια θα είναι τότε η απαιτούμενη διάσταση b της διατομής; Δίνονται: G = 20 GPa, τ = 40 MPa allow Άσκηση 12 Να προσδιορισθούν τα διαγράμματα M, V και N του φορέα του σχήματος. 6
Άσκηση 13 Η δοκός του σχήματος φορτίζεται με την κατακόρυφη δύναμη οριζόντια δύναμη P = 120 F = 100 kn, και με την kn, που εφαρμόζεται κεντρικά στην δοκό. Να προσδιορισθούν: το μέγεθος και η θέση της μέγιστης (κατά απόλυτη τιμή) ορθής τάσης, που αναπτύσσεται σε διατομή της δοκού, το μέγεθος και η θέση της μέγιστης (κατά απόλυτη τιμή) διατμητικής, τάσης που αναπτύσσεται σε διατομή της δοκού, οι τιμές και οι διευθύνσεις των κυρίων τάσεων στο κέντρο βάρος της διατομής της πάκτωσης. Άσκηση 14 Να προσδιορισθούν τα διαγράμματα M, V και N της δοκού του σχήματος. 7
Άσκηση 15 Το υποστύλωμα του σχήματος είναι πακτωμένο στην βάση του και καταπονείται με την κατακόρυφη δύναμη P και την στρεπτική ροπή T. Να προσδιορισθούν οι μέγιστες τιμές των φορτίων που καταπονούν το υποστύλωμα, ώστε να μην γίνεται υπέρβαση των επιτρεπόμενων τάσεων. Στην συνέχεια, για τις τιμές που θα βρεθούν, να υπολογισθεί η γωνία στροφής και η μέση κατακόρυφη βύθιση της πάνω επιφάνειας του στοιχείου. Δίνονται: E = 30 GPa, G = 12 GPa, σ = 35 MPa, τ = 7 MPa allow allow Άσκηση 16 Να προσδιορισθούν τα διαγράμματα M, V και N της δοκού του σχήματος. 8
Άσκηση 17 Λόγω των εδαφικών συνθηκών και της δύναμης που εξασκεί το καλώδιο, ο κατακόρυφος στύλος της γραμμής μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας του σχήματος πήρε μια κλίση 5 κινούμενος πάνω στο κατακόρυφο επίπεδο ( x, z ). Η δύναμη που εξασκεί το καλώδιο στο στύλο, που θεωρείται ότι βρίσκεται πάνω στο επίπεδο ( x, z ), έχει μέγεθος F = 900 N και κλίση ω = 15 ως προς τον ορίζοντα. Αν ο στύλος έχει μια διανεμημένη μάζα 25 kg/m και μήκος 9 m, να βρεθεί η συνισταμένη δύναμη και ροπή της δύναμης F και του βάρους W του στύλου ως προς το σημείο O της βάσης, να κατασκευασθεί το διάγραμμα ελεύθερου σώματος του στύλου, και να υπολογισθεί η ροπή των F και W ως προς τον κεκλιμένο άξονα του στύλου. (Το κέντρο βάρος του στύλου να ληφθεί στο μέσο του.) Άσκηση 18 Η άκαμπτη πλάκα της κατασκευής του σχήματος μεταβιβάζει στα υποστυλώματα το κατακόρυφο φορτίο W. Λόγω σεισμού με επιτάχυνση μεγέθους a g αναπτύσσεται η οριζόντια δύναμη aw, όπως δείχνεται στο σχήμα ( g = η επιτάχυνση της βαρύτητας, a = ποσοστό επί τοις %). Η οριζόντια μετατόπιση της πλάκας λόγω της δύναμης που παραλαμβάνει το κάθε υποστύλωμα. 9
Υπόδειξη: Για την απάντηση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα στοιχεία που δείχνονται στο Σχήμα 1β. Άσκηση 19 Στη δοκό του σχήματος να προσδιορισθούν: οι αντιδράσεις στηρίξεων, τα διαγράμματα M και V. 10
Άσκηση 20 Η δοκός του σχήματος φορτίζεται με ομοιόμορφο φορτίο Οι αντιδράσεις στηρίξεων. Τα διαγράμματα καμπτικών ροπών M και τεμνουσών V. q = 20 kn/ m. Να προσδιορισθούν: Η διανομή των ορθών και διατμητικών τάσεων στη διατομή που βρίσκεται αμέσως δεξιά από την στήριξη Α. Η κατακόρυφη βύθιση της δοκού στο μέσο Μ του ανοίγματος ΑΒ ( E = 20000 MPa). Άσκηση 21 Λόγω της συνδυασμένης δράσης P+ T, να υπολογιστούν: οι μέγιστες διατμητικές τάσεις που αναπτύσσονται στη δοκό, η στροφή και η κατακόρυφη βύθιση της ακραίας ελεύθερης διατομής. Δίνονται: E = 200 GPa, G = 80 GPa, P = 100 kn, T = 50 knm. 11
Άσκηση 22 Το υποστύλωμα του σχήματος καταπονείται με τις κατακόρυφες δυνάμεις P 1 = 120 kn, P 2 = 20 kn και με την οριζόντια δύναμη H = 20 kn. Να προσδιορισθεί τη διανομή των ορθών και των διατμητικών τάσεων στην διατομή της πάκτωσης. Άσκηση 23 Να υπολογισθεί η διανομή των ορθών και διατμητικών τάσεων στη διατομή της πάκτωσης λόγω της ομοιόμορφης φόρτισης q = 5 kn/m. Να προσδιορισθεί το μέγεθος της δύναμης P, έτσι ώστε στη διατομή της πάκτωσης να έχουμε ομοιόμορφο εφελκυσμό. 12
Άσκηση 24 Το υποστύλωμα του σχήματος είναι πακτωμένο στην βάση του και καταπονείται με την κατακόρυφη δύναμη P και την στρεπτική ροπή T στην ακραία διατομή του: Πάνω στην ακραία διατομή του υποστυλώματος, να σημειωθεί το σύνολο των σημείων, στα οποία, αν εφαρμοσθεί η P, αναπτύσσονται μόνο θλιπτικές ορθές τάσεις στις διατομές του υποστυλώματος. Να δειχθεί ότι ο άξονας του υποστυλώματος, μετά την παραμόρφωση λόγω της δύναμης P, γίνεται τόξο κύκλου. Στις θέσεις της διατομής της πάκτωσης που αναπτύσσονται οι μέγιστες διατμητικές τάσεις λόγω P+ T, να σημειωθούν όλες οι αναπτυσσόμενες τάσεις σε σχετικό απειροστό ορθογωνικό στοιχείο του υποστυλώματος. 13
Άσκηση 25 Ο πυλώνας του σχήματος είναι πακτωμένος στην βάση του και έχει κατασκευασθεί για την ανάρτηση ενός καλωδίου, που μεταφέρει στην κορυφή του πυλώνα μια δύναμη F = 100 kn, που έχει μία κλίση 60 ως προς τον ορίζοντα. Για την μείωση των φορτίων που μεταβιβάζονται στην βάση του πυλώνα, τοποθετήθηκαν δύο τένοντες στις θέσεις που δείχνονται στο σχήμα. Αν ο κάθε τένοντας παραλαμβάνει μια δύναμη ίση με 30 kn ( = T1 = T2), να βρεθεί η δύναμη και η ροπή που μεταβιβάζονται στην βάση του πυλώνα. (Η δύναμη F βρίσκεται στο επίπεδο y z). Άσκηση 26 Ο φορέας του σχήματος στηρίζεται στο έδαφος με μια άρθρωση στο Δ και με μια μεταλλική ράβδο ΑΒ κυκλικής διατομής. Η διατομή του φορέα συντίθεται από τέσσερα καρφωμένα ξύλινα τμήματα διαστάσεων 10x40 cm, όπως δείχνεται στο σχήμα (β). Να βρεθούν τα διαγράμματα Μ, V και N του φορέα. Να προσδιορισθεί η διανομή των ορθών και των διατμητικών τάσεων στην διατομή α-α. Να προσδιορισθεί ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός των καρφιών ανά μέτρο που πρέπει να χρησιμοποιηθεί για την ένωση των ξύλινων στοιχείων (αντοχή καρφιού σε διάτμηση: 100 N ). Να προσδιορισθεί η κατάλληλη κυκλική διατομή της μεταλλικής ράβδου ΑΒ και η βύθιση του σημείου Α, όταν σ = 200 MPa, E=200.000 MPa. allow 14
Άσκηση 27 Το νέο δένδρο, που δείχνεται στο σχήμα, ήταν αρχικά υπό κλίση και έχει φερθεί στην κατακόρυφη θέση χρησιμοποιώντας δύο τένοντες, όπως δείχνεται στο σχήμα. Αν oι τένοντες AΒ, AC καταπονούνται με εφελκυστικές δυνάμεις 500 N και 600 Ν, αντίστοιχα, να βρεθεί η δύναμη και η ροπή που μεταβιβάζονται στην βάση Ο του κορμού του δένδρου. (Να αμεληθεί το βάρος του δένδρου). 15
Άσκηση 28 Ο φορέας του σχήματος (α) είναι πακτωμένος στο Α και καταπονείται με δύο συγκεντρωμένες δυνάμεις 3.5 kn και 6.5 kn. Ο φορέας συντίθεται από τέσσερες καρφωμένες σανίδες, όπως δείχνεται στο σχήμα (β). Τα καρφιά, που έχουν διάμετρο 5 mm, είναι τοποθετημένα σε δύο σειρές σε κάθε πλευρά της δοκού και σε αποστάσεις 100 mm. Να βρεθούν τα διαγράμματα Μ V και N του φορέα. Να προσδιορισθεί η διανομή των ορθών και διατμητικών τάσεων στην διατομή της πάκτωσης. Να προσδιορισθεί η μέση διατμητική τάση στο κάθε καρφί. Να προσδιορισθεί η βύθιση του σημείου Γ, όταν E=200.000 MPa. 16